Modélisation surfacique Partie I : Représentation de …SurfaciquevsVolumique Volumique:...

Modélisation surfaciquePartie I : Représentation de surfaces

Ulysse Vimont

Inria, Équipe Imagine

2014-2015

1 Introduction

2 Modèles volumiques

3 Modèles surfaciques

4 Bilan

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1 IntroductionObjectifs du coursSurfacique vs VolumiqueContinu vs Discret

2 Modèles volumiques

3 Modèles surfaciques

4 Bilan

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Objectifs du cours

définition d’une grille d’analyse pour les modèles de représentationd’objetsprésentation de différents modèlescomparaison de ces modèles

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Surfacique vs Volumique

Volumique :

le modèle contient del’information en chaque pointde l’espace

Surfacique :le modèle contient del’information en unsous-ensemble de l’espaceapparenté à une surfacele modèle volumique contientdes données visuelles, le modèlesurfacique des positions en plus

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Un peu de calcul

ExerciceCalculer le volume de données pour représenter un cube de1000× 1000× 1000 (où chaque élément contient un double) pour unmodèles volumique, et pour un modèle surfacique. Comparer à la mémoirevive d’une machine standard.

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Continu vs discret

Discret :le modèle utilise des primitiveslocalisées, en quantitédénombrable et bornée.représentation non lisseniveau de détail limité

Continu :le modèle utilise des primitivesétenduesrésultat potentiellement lisseniveau de détail extensible(multirésolution)

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Un peu de calcul (bis)

ExerciceCalculer le volume de données pour représenter la surface d’un terrain de10x10km2 à une résolution de 10cm2.

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1 Introduction

2 Modèles volumiquesCSGSurface impliciteBlobtreeSurface de convolutionÉnumération spatiale

3 Modèles surfaciques

4 Bilan

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CSG

PrincipeAssembler des primitives simples grâce à des opérations booléennes.

Arbre d’évaluation :primitives terminales :

I demi-plan (px (X ) > α)I sphère (‖X‖ < ρ)I cylindre (‖px ,y (X )‖ < ρ)I ...

primitives intermédiaires :I union (

⋃)

I intersection (⋂)

I différences (\)I ...

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CSG

Plus :définition mathématiqueCAO (usinage)simplicité d’implémentation(ray-tracer)

Moins :faible liberté de formenon représentabilité des objetscomplexes, organiquesinformation non empirique

Utilisé dans Solidwork, Pov-Ray, ...

ExerciceOn dispose de deux fonction booléennes IA, IB : R3 → {0, 1}. TrouverIA∪B, IA∩B, et IA\B.

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Surface implicite

PrincipeOn décrit la surface comme l’isopotentielle d’une fonction scalaire del’espace.

On prend une fonction scalaire del’espace :

f : R3 → R

La surface est définie implicitementpar une équation ouverte :

S = f −1(cst) = {X ∈ R3|f (X ) = cst}

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Surface implicite

Plus :définition mathématiquemélangeformes "bloby"conversion en maillagedéfinition de la normale(gradient)

Moins :

paramétrisation

contrôle de la topologie

effacement des détails

Très utilisé pour représenter les fluides (approche lagrangienne).

ExerciceTrouver une fonction f représentant une sphère de centre C et de rayon ρà l’isopotentielle 0.

Démo Blender.

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BlobtreePrincipeLa surface est assemblée à partir de primitives implicites et d’opérateurs dedéformations.

Analogie avec le CSG-tree, avec enplus :

blendingwarping...

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Blobtree

Similaire aux surfaces implicites simples, avec une plus grande facilitéd’édition.

ExerciceTrouver l’équation du blend et du twist.

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Surface de convolutionPrincipeLa surface est déduite d’un skelette par convolution avec un noyau àsupport compact.

Cas particulier de surface implicite où f = k ∗ s et :{k est une fonction à support compactS est une fonction type "dirac"

Cf. théorie des distribution.Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 15 / 34

Surface de convolution

Plus :facilité d’éditionextension pour rayon variableétendue spatiale limitée

Moins :

comme les surfaces implicites

problème du bulge

ExerciceTrouver un exemple de fonction à support compact.

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Énumération spatiale

PrincipeOn définit une propriété donnée de l’objet à représenter dans un ensemblede points de l’espace (grille 3D).

Modèle discret.

Différentes propriétés :

booléen (intérieur / extérieur)

entier (couleur)

double (coefficientd’absorption)

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Énumération spatiale

Plus :topologie arbitrairedonnée naturelle, mesurable(scanner CT, IRM,échantillonnage d’un fonctionde potentielle scalaire...)rendu volumique par absorption/ émission

Moins :

volume de données

création de données

caractère surfacique (réflexion,...)

anisotropie liée à la grille

Utilisé en imagerie médicale, en simulation de fluide (champs eulerien), etpour certaines applications de sculptures virtuelles.

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1 Introduction

2 Modèles volumiques

3 Modèles surfaciquesReprésentation paramétriqueB-repNuages de pointsMaillagesSurfaces de subdivisionHeightfield

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Représentation paramétriquePrincipeLa surface est donnée directement par une équation paramétriquecalculable.

On définit un mapping del’espace des paramètres, qu’onpeut ensuite échantillonner.Conversion en maillage.Donnée explicite.

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Représentation paramétrique

Plus :surface paramétrée(coordonnées de texture, ...)conversion en maillage

Moins :donnée non intuitive (équation)variété des objetsreprésentables

ExerciceCalculer l’équation de la surface de révolution de la courbe f : R→ R

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B-rep

PrincipeLa surface est définie par un ensemble de patch se raccordant de manièrelisse.

Patchs :

Coons

Béziers / Nurbs

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Nuages de points

PrincipeLa surface est définie par un ensemble de points supposés êtres dessus.

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Nuages de points

Plus :

donnée simple et compacte

visualisation

Moins :structure / informationtopologiquedensité nécessaire

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MaillagesPrincipeLa surface est composée d’un ensemble de polygones s’appuyant sur unnuages de points.

technique universellementutilisé

approximation d’ordre 1 d’unesurface

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Maillages

Plus :stockage informatique (point +connectivité)rapidité de visualisation(rasterisation)liberté de forme et de topologiedéfinition d’une géométriediscrète (voisinage, courbure)interpolation decaractéristiques sur la surface

Moins :polygone = donnée nonnaturellerésultats anguleux

Demo Blender.

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Surfaces de subdivisionPrincipeUn maillage est raffiné autant de fois que nécessaire dans le but d’enaugmenter la résolution.

Chaque face est transformée enplusieurs faces plus petites.

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Surfaces de subdivision : schéma de Catmull-Clark1 remplacer chaque face par un point en son barycentre2 remplacer chaque segment par un point en son milieu3 placer chaque point original P en :

F + 2N + (n − 3)Pn

où :I F est le barycentre des points voisins de P ajoutés à l’étape 1I N est le barycentre des points voisins de P ajoutés à l’étape 2I n est le nombre de ces voisins

Demo Blender.nb : il existe bien d’autres schémas de subdivision :

Loop√3-Kobbelt

Butterfly (interpolation)Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 28 / 34

Surfaces de subdivision

Plus :représentation au niveau dedétail adaptéedonne un aspect lisse à desobjets anguleux (convergenceG2 presque partout)

Moins :fortement dépendant dumaillage initial

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Heightfield

PrincipeL’altitude de la surface est définie en chaque point d’une grille.

représentation matricielle

surtout utilisé pour les terrains

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Heightfield

Plus :pas de topologie à encodersimple à éditer (Gimp)méthodes de générations debruits procédurauxd

Moins :structure rigide (rotation, miseà l’échelle ?)niveau de détail fixétopologie fixe (pas d’arches, degrottes)

ExerciceTrouver une manière de représenter les surplombs avec un champs dehauteur modifié.

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1 Introduction

2 Modèles volumiques

3 Modèles surfaciques

4 Bilan

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Conclusion

Pour résumer :les modèles volumiques sont adaptée à :

I la représentation d’objets à la topologie quelconqueI un mode de visualisation off-line (pour l’instant)

les modèles surfaciques sont adaptée à :I la représentation d’objets à la topologie fixeI un mode de visualisation on-line (rasterisation)

les modèles continus sont adaptée à :I la représentation d’objets lissesI la représentation d’objets multirésolution

les modèles discrets sont adaptée à :I la représentation du modèle dans un ordinateurI la visualisation efficace de ce modèle

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Fin !