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NOMBRES ENTIERS ET DECIMAUX
Cycles 2 et 3
Roland Charnay - 2017
1
Sur les enjeux d’apprentissage
Roland Charnay - 2017
2
La résolution de problèmes constitue le critère principal de la
maitrise des connaissances dans tous les domaines des
mathématiques….
… mais elle est également le moyen d’en assurer une
approriation qui en garantit le sens.
On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour
apprendre à chercher qui ne soient pas directement reliés à la
notion en cours d’étude, qui ne comportent pas une seule
solution, qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou
plusieurs opérations mais par un raisonnement et des
recherches par tâtonnement. Extrait du programme C3
Roland Charnay - 2017
3
- 30 000
Tablette sumérienne - 3 500
- 300 400 (avec 0)
800
1 585 Stevin
1 592 Magini 19,178
° 19178 1 595 Bürgi
1 200
LES LIMITES DE L’APPRENTISSAGE A COUP DE REGLES
Enseigner des règles ou aider à comprendre ?
L’exemple de la multiplication par 10, 100…
Roland Charnay - 2017
4
Multiplier par 100
Règle pour les nombres entiers :
Écrire deux 0 à droite
24 x 100 = 2 400
Règle pour les nombres décimaux :
Déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite
2,345 x 100 = 234,5
2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule)
4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule, et … apparition de 0 !)
Roland Charnay - 2017
5
Résultats et difficultés
2,3 x 10 (évaluation 6e) 23 64 %
20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 % La virgule "frontière" et "écrire un 0"
230 5 % La virgule "absente" et "écrire un 0"
35,2 x 100 (évaluation 6e) 3 520 47 %
3500,2 ou 35,200 ou 3 500,200 15 % La virgule "frontière"
352 15 % Que faire quand la virgule "disparaît" ?
Roland Charnay - 2017
6
Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 ? Ou comment trouver la réponse sans connaître de règle ?
Comprendre l'écriture 20,45, par exemple en unités de numération :
2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes
Savoir que multiplier 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient :
20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes
Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)…
Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité)
Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième)
2 centaines + 4 unités+ 5 dixièmes
Roland Charnay - 2017
7
En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45 x 10
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
2
2
0
0,
4,
4
5
5
Roland Charnay - 2017
8
,
La virgule n’a pas changé de place !
Mais chaque chiffre a pris une valeur « 10 fois plus grande ».
en réalité…
Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place (déplacement vers la gauche)
C'est le même phénomène pour les entiers que pour les décimaux !
Roland Charnay - 2017
9
En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45 x 10 37 x 10 0,4 x 10
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
2
3
2
0
3
7
0
0,
4,
7
0
0,
4
4
5
4
5
Roland Charnay - 2017
10
,
Illustration par un matériel (bande déplaçable)
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
Roland Charnay - 2017
11
, 2 0 4 5
2 0 4 5
3 7
3 7 0
0 4
0 4
Avec d’autres systèmes de numération (exemple du système romain)
CCXL (240)
Roland Charnay - 2017
12
Multiplier XXIV par D (24 par 10)
Méthode :
Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur dix fois supérieure.
TACHES, TECHNIQUES et JUSTIFICATIONS
Roland Charnay - 2017
13
Enseignement centré sur…
Multiplier par 10, 100…
Tâche
- Déplacement
de la virgule
- ou des chiffres
Technique
MECANISME
Chaque chiffre prend une valeur 10
fois, 100 fois supérieure
Justification
COMPREHENSION
Avec du matériel Exemple de 12 x 10
Roland Charnay - 2017
14
12
120
10 fois 12 ?
1
Avec du matériel Exemple de 0,12 x 10
Roland Charnay - 2017
15
0,12
1,2
10 fois 0,12 ?
1
UN TRIPLE CODE POUR REPRÉSENTER
LES NOMBRES.
Roland Charnay - 2017
16
Triple code et « petits nombres »
Roland Charnay - 2017
17
quatre 4
Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres
Roland Charnay - 2017
18
1
174 cent soixante-quatorze
Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres
Triple code et « numération des entiers »
Roland Charnay - 2017
19
1,74
Un, sept dixièmes et quatre centièmes
Un et soixante-quatorze centièmes
1
Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres
Triple code et « numération des décimaux »
REPÈRES POUR L’ENSEIGNEMENT
Des premières connaissances sur les nombres…
… aux nombres décimaux
Roland Charnay - 2017
20
Roland Charnay - 2017
21
MAITRISER LES NOMBRES
Connaitre des problèmes qu’ils permettent de
résoudre
Utiliser et élaborer des résultats, des
techniques
Connaitre des propriétés
Maitriser des désignations
- numération
- arithmétique
Premières connaissances arithmétiques sur les nombres,
de la maternelle au CP
Roland Charnay - 2017
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Les nombres pour exprimer, mémoriser, communiquer…
…des quantités
aspect cardinal
Prendre une quantité de valeur
donnée
Réaliser une quantité égale
(plus importante, moins
importante) qu’une quantité
donnée
Modifier une quantité pour la
rendre égale à une quantité
donnée
Comparer des quantités
… des rangs
aspect ordinal
Indiquer une position
Replacer un objet à sa
position
Comparer des positions
Roland Charnay - 2017
23
Les nombres pour anticiper…
Sur des quantités
aspect cardinal
Résultat d’une augmentation ou d’une diminution
Valeur de la transformation
Etat avant transformation
Résultat d’un partage
Sur des rangs
aspect ordinal
Position après un déplacement (en avant ou en arrière)
Valeur du déplacement
Position avant déplacement
Roland Charnay - 2017
24
Exemple de l’utilisation des nombres pour
anticiper le résultat d’actions sur les quantités.
Augmentation et diminution.
Exemple en début de CP
Roland Charnay - 2017
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Roland Charnay - 2017
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Un exemple de problème fondamental Dix dans la boite (Cap maths CP)
- 2 joueurs
- 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.
- Faire en sorte d’arriver à avoir 10 jetons dans la boite
Roland Charnay - 2017
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Dix dans la boîte : 3 problèmes
Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup
Plusieurs solutions… dont la notation avec les nombres
Connaître le contenu de la boîte Vers l’addition
Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant
Vers le complément
Roland Charnay - 2017
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ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation
Réel
Il favorise l’appropriation de la situation et du
problème
Anticipation
Elle incite à
l'expérience mentale
Il permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Elle oblige à élaborer des procédures
Roland Charnay - 2017
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Le travail sur fiche
ne remplace pas l'expérience…
mais peut la prolonger.
(entrainement nécessaire).
Situation « Dix dans la boite »
resituée dans une progression.
Roland Charnay - 2017
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Avant "Dix dans la boite"
Combien de jetons dans la boîte ? (nombres de 1 à 10)
• Expérience effective avec anticipation : ajout et retrait de 1, de 2 ou de 3
• Expérience évoquée (idem)
• Décontextualisation : "3, j'ajoute 2"
Roland Charnay - 2017
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Après "Dix dans la boite"
• Entraînement : calcul oral
"trois plus un", "quatre moins deux"
• Nouveaux problèmes : "Où suis-je ?" déplacements sur la ligne numérique
• Mise en place d'un langage symbolique (3 + 1, 4 – 2) répertoire de ce qu'on sait par cœur
• Décomposition des nombres sous forme de sommes et de différences
Roland Charnay - 2017
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Roland Charnay - 2017
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NOMBRES ENTIERS NUMERATION
Cycle 2
Roland Charnay - 2017
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Des réussites parfois trompeuses (à l’entrée en sixième)
• Les compétences « techniques » sont les plus évaluées
– Lire / écrire des nombres 85 % à 95 %
– Comparer / ranger des nombres 70 % à 90 %
• Pourtant à l'entrée en sixième…
– Ecris en chiffres 25 dizaines 41 %
Roland Charnay - 2017
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NUMÉRATION ORALE JUSQU’À 99
Numération écrite et numération orale Etude conjointe ou étude disjointe ?
Roland Charnay - 2017
36
Pas de système
Un chiffre un mot (jusqu’à 9)
Deux chiffres un mot (jusqu’à 16)
Une dizaine un mot (de 20 à 69)
Une dizaine un ou plusieurs mots (de 70 à 99)
NUMÉRATION ORALE JUSQU’À 999
Un système On dit le nombre de « cents » (ou le sous-entend) 312 trois-cent-douze (112 cent-douze)
NUMÉRATION ORALE AU-DELÀ DE 1 000
Un nouveau système Base mille On dit le nombre de « mille », de « millions »… 602 012 six-cent-deux-mille-douze
NUMÉRATION ÉCRITE
Numération écrite et numération orale Etude conjointe ou étude disjointe ?
Roland Charnay - 2017
37
Un système général Comprendre un nombre permet de les comprendre tous
Chaque chiffre indique une valeur liée à son rang
Au CP 32 3 dizaines , 2 unités 76 7 dizaines , 6 unités 90 9 dizaines , 0 unité
Au CP, en particulier, l’étude de la numération écrite peut (doit) être, à certains moments, disjointe de celle de la numération orale.
La lecture de certains nombres n’aide pas à comprendre leur désignation écrite.
La désignation écrite peut être comprise sans que la lecture soit assurée.
VALEUR POSITIONNELLE DES CHIFFRES
Deux moments importants au CP
- Passage de la suite orale aux groupements par dix (appui
possible sur la désignation orale)
- Groupements par dix et place des chiffres
Roland Charnay - 2017
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Roland Charnay - 2017
39
Passage de la suite orale aux groupements par dix (appui sur la désignation orale)
Les régularités des suites écrites et orales… …jusqu'à 39, puis jusqu'à 59
• Dès la GS et en début de CP, les élèves sont familiarisés avec :
– les régularités de la suite écrite (référence au compteur)
– les régularités de la suite orale organisée par des mots-clés (au-
delà de vingt) :
• vingt et trente, d'abord
• vingt, trente, quarante et cinquante, ensuite (de dix en dix)
• D'où possibilité de dénombrer et de réaliser des quantités
par "comptage de dix en dix"
Roland Charnay - 2017
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Roland Charnay - 2017
41
Groupements par dix et rang des chiffres
Un exemple de problème de référence (Cap Maths CP)
Le problème
Demander juste ce qu’il faut de « gommettes » pour
réparer le grand ziglotron
Les gommettes étant « fournies » à l’unité ou par groupes de dix.
L’objectif Mettre en évidence la "valeur positionnelle" des chiffres
Roland Charnay - 2017
42
Matériel
Roland Charnay - 2017
43
Etape 1 / 3
- Les élèves disposent du ziglotron (entre 20 et 40 gommettes à demander).
- Pas de contrainte sur la demande (elle peut être orale ou écrite).
- Une seule demande possible.
- Au retour, ils placent les gommettes pour valider leur commande.
Pour répondre, les élèves peuvent :
- Dénombrer les emplacements et formuler une demande orale (trente-quatre) ou écrite (34) du nombre total de gommettes qui sont alors servies à l’unité ou par paquets de dix gommettes (3) et des gommettes isolées (4) si le marchand sait décoder 34.
- Entourer des groupes de 10 emplacements et demander des paquets de 10 gommettes et des gommettes à l’unité (ils ne sont alors pas obligés de passer par le nombre total de gommettes).
Roland Charnay - 2017
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Etape 2 / 3 - Les élèves disposent du ziglotron (entre 20 et 40 gommettes à demander)
- Quatre contraintes sur la demande :
- commande écrite (cf. bon de commande)
- ne pas demander plus de 9 gommettes isolées
- le marchand donne ce qui est commandé
- vérification différée : les commandes sont discutées avant d’être validées
Pour répondre, les élèves peuvent :
- Dénombrer les emplacements et écrire le nombre total souhaité (37, par exemple), puis entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande (3 paquets de dix boutons / 7 boutons)
- Entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande, puis dénombrer les emplacements en comptant de dix en dix… (dix, vingt, trente, trente-et-un, trente-deux…)
- Entourer des groupes de dix et écrire le nombre (37 par exemple) en codant 3 paquets de dix gommettes et 4 gommettes isolées…
Roland Charnay - 2017
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Etape 3 / 3 - Les élèves ne disposent pas du ziglotron
- Ils disposent d’un bon de commande
que l’enseignant à commencer à remplir
et qu’ils doivent compléter
- La vérification est toujours différée : les commandes sont discutées avant d’être validées
Pour répondre, les élèves peuvent :
- Dessiner les 34 gommettes, puis entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande (3 paquets de dix boutons / 4 boutons).
- Décomposer 34 en 10 + 10 + 10 + 4 et compléter le bon de commande.
- Décoder directement 34 en 3 paquets de dix et 4 unités.
34
Synthèse
Roland Charnay - 2017
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Roland Charnay - 2017
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Entraînement (sur fiche)
SUITE DES ÉCRITURES CHIFFRÉES ET
VALEUR POSITIONNELLE DES CHIFFRES
Un moment important au CE1
Roland Charnay - 2017
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Roland Charnay - 2017
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Une situation : quantités, compteur et calculette D'après Cap Maths CE1
Le problème
Gérer les effets de l'ajout de 1, 10, 100 objets sur différents matériels qui permettent de représenter les nombres
Les objectifs
- Comprendre que avancer de 1, 10… revient à ajouter 1 unité, 1 dizaine…
- Comprendre qu'à chaque rang correspond un type de groupement (aspect positionnel de la numération)
- Connaître les équivalences 1 dizaine = 10 unités et 1 centaine = 10 dizaines (aspect décimal de la numération)
Roland Charnay - 2017
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10 cartes portant « 1 centaine » de perles 10 cartes portant « 1 dizaine de perles » 40 cartes portant 1 perle (« unité »)
Matériel
1 boîte
Roland Charnay - 2017
51
Questions
• Ajout de perles de 1 en 1 jusqu'à 37
– Quelle action sur la calculette à chaque ajout ?
– Quelle action sur le compteur à chaque ajout ?
– Y a-t-il adéquation entre le contenu de la boîte, l’affichage de la calculette
et celui du compteur
• Ajouts d’une ou plusieurs cartes portant soit 1, soit 10, soit 100
perles
– Mêmes questions
Roland Charnay - 2017
52
Un premier exemple de problème
Il y a déjà 28 perles dans la boîte (2 cartes avec 10 perles
et 8 perles isolées). On ajoute 2 fois de suite une perle.
Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage du
compteur et celui de la calculette coïncident ?
- Contenu de la boîte : 2 paquets de dix et 8 perles isolées / 2
paquets de dix et 10 perles isolées / 2 paquets de dix et 10 perles isolées
- Affichage de la calculette : 28 / 29 / 30 (avec +1, deux fois)
- Compteur : 028 / 029 / ??? (que faire quand la roue des unités est sur
9 ?)
Roland Charnay - 2017
53
Un deuxième exemple de problème
Il y a déjà 92 perles dans la boîte (9 cartes avec 10 perles et 2
perles isolées). On ajoute 1 carte « 1 dizaine » de perles.
- Contenu de la boîte : 10 paquets de dix et 2 perles isolées /
10 paquets de dix et 2 perles isolées
- Affichage de la calculette : 92 / 102 (avec +10, une fois)
- Compteur : 092 / ??? (que faire quand la roue des dizaines est sur 9 ?)
Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage
du compteur et celui de la calculette coïncident ?
Roland Charnay - 2017
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Un troisième exemple de problème
Il y a déjà 199 perles dans la boîte (1 carte de 100 perles, 9 cartes
avec 10 perles et 9 perles isolées). On ajoute 1 carte de 1 perle.
Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage
du compteur et celui de la calculette coïncident ?
- Contenu de la boîte : 1 paquet de cent, 9 paquets de dix et 9 perles
isolées / 1 paquet de cent, 9 paquets de dix et 10 perles isolées
- Affichage de la calculette : 199 / 200 (avec +1, une fois)
- Compteur : 199 ??? (que faire quand les roues des dizaines et des
unités sont sur 9 ?)
A la fin du CE2, des connaissances essentielles pour la suite….
• Connaissances relatives à l’aspect positionnel de la numération
– Valeur de chaque chiffre en fonction de son rang
• Connaissances relatives à l’aspect décimal de la numération
• Valeurs référées à l’unité
– 1 dizaine = 10 unités - 1 centaine = 100 unités - 1 millier = 1 000 unités
• Relations entre valeurs
– 1 dizaine = 10 unités - 1 centaine = 10 dizaines - 1 millier = 10 centaines
• Maitrise de diverses expressions des nombres
– 2 047 = 2 milliers, 4 dizaines, 7 unités
– 2 047 = 20 centaines, 47 unités
– 2 047 = 204 dizaines, 7 unités
• Tout cela référé au triple code : verbal, symbolique (chiffrée), matériel
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Roland Charnay - 2017
Roland Charnay - 2017
56
MERCI POUR VOTRE
ATTENTION.
Roland Charnay - 2017
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