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Introduction la notion de srie numrique

Soit 1( )n nu une suite relle, on note 1( )n nS la suite dont le terme gnral est donn par : 1

n

n k

k

S u=

= .

On se propose ici dtudier la nature de la suite 1( )n nS en fonction de la suite 1( )n nu .

Partie I Etude de quelques exemples

1. On se propose dtudier dans un premier temps le cas o 1( )n nu est la suite gomtrique de terme gnral n

nu q= avec q fix.

1.a Dterminer la nature de 1( )n nS dans le cas 1q = . 1.b On suppose 1q .

Exprimer le terme gnral de 1( )n nS puis discuter la nature de 1( )n nS en fonction de q .

2. On sintresse ici la suite 1( )n nu de terme gnral1

nun

= .

2.a Etablir que , ln(1 )x x x+ + puis que 1,ln( 1) ln( )n n nn

+ .

2.b En dduire que pour tout n , ln( 1)nS n + .

Que dire de 1( )n nS ?

3. On sintresse maintenant la suite 1( )n nu de terme gnral 21

nun

= .

3.a Etablir que { }\ 0,1n , 21 1 1

1n n n

.

3.b En dduire que la suite 1( )n nS est majore. 3.c Dterminer la nature de 1( )n nS .

4. On sintresse dsormais la suite 1( )n nu de terme gnral ( 1)n

nun

= .

4.a Montrer que les suites extraites 2 1 1( )n nS et 2 1( )n nS sont adjacentes. 4.b Quelle est la nature de 1( )n nS ?

Partie II Proprits gnrales.

On revient au cadre gnral : 1( )n nu suite relle quelconque et 1( )n nS dfinie par 1

n

n k

k

S u=

= .

1. Montrer que si la suite 1( )n nS converge alors 0nu . Observer que la rciproque est fausse en vous appuyant sur lun des exemples tudis prcdemment. 2. On suppose dans cette question que la suite 1( )n nu est forme de rels positifs. Etudier la monotonie de 1( )n nS . 3. On suppose encore que 1( )n nu est une suite de rels positifs.

On considre de plus une suite 1( )n nv telle qu partir dun certain rang 0n on ait n nu v et on

introduit 1( )n nT dfinie par 1

n

n k

k

T v=

= .

3.a Former une ingalit permettant de comparer nS et

nT pour tout entier 0n n .

3.b On suppose que 1( )n nT converge. Montrer que 1( )n nS converge aussi.

3.c Application : Montrer que si la suite 2 1( )n nn u converge alors 1( )n nS converge.

4. On revient au cas gnral : 1( )n nu suite de rels de signes quelconques.

On suppose que 1 1

n

k

k n

u=

converge et on dsire tablir que 1

1 1

( )n

n n k

k n

S u=

= converge.

Pour cela on dfinit deux nouvelles suites de rels positifs 1( )n nu+ et 1( )n nu par : max( ,0)

n nu u+ = et max( ,0)

n nu u =

puis on introduit 1( )n nS+ et 1( )n nS dfinies par :

1

n

n k

k

S u+ +

=

= et 1

n

n k

k

S u

=

= .

4.a Exprimer nu et

nu en fonction de

nu+ et

nu .

4.b Justifier que 1( )n nS+ et 1( )n nS convergent. 4.c Conclure. 5. Gnraliser limplication du 3.c aux suites rels de signes quelconques.