Plan d'étude d'une isométrie

Plan dtude dune isomtrie vectorielle ou affinedun espace euclidien orient de dimension 2 ou 3.

Essaidi Ali

20 dcembre 2013

Endomorphismes orthogonaux

Soit E un espace euclidien euclidien orient muni dune base orthonorme directe B.Soit f O(E) de matrice A dans la base B.On pose Invf = {x E/f(x) = x} = ker(f idE) = E1(f) lespace des invariants de f ou encore lespace propre associ un.

1 Cas dimE = 2 :Dimension de Invf Nature de f

2 Identit.1 Symtrie orthogonale par rapport Invf .0 Rotation vectorielle dangle . est dterminer par :

cos = a11 et sin = a21.Trucs et astuces :

Il faut toujours sassurer que tAA = I2. On peut faire ltude sans passer par le sous-espace des points fixes en calculant juste detA. Si detA = 1 alors f est une

rotation vectorielle sinon cest une symtrie orthogonale. Si A est symtrique alors f est une symtrie orthogonale. Lidentit est une rotation vectorielle dangle 0.

2 Cas dimE = 3 :Dimension de Invf Nature de f

3 Identit.2 La symtrie orthogonale par rapport Invf .1 Rotation vectorielle dangle et daxe Re orient par e unitaire.

On calcul partir de trA = 2 cos + 1 avec [0, pi].

On a A tA = 0 c bc 0 ab a 0

donc e est le vecteur unitaire du vecteur x(a, b, c).0 Anti-rotation : Produit commutatif dune rotation re, et dune symtrie orthogonal

sP avec P = {e}.Si A est symtrique alors A = I3, cest la compose du retournement daxe ~k et dela symtrie orthogonale par rapport au plan Vec{~i,~j}.Sinon, on calcul partir de trA = 2 cos 1 avec [0, pi].

On a A tA = 0 c bc 0 ab a 0

donc e est le vecteur unitaire du vecteur x(a, b, c).Le plan P = {x} donc P : ax+ by + cz = 0.

Trucs et astuces :Si det f = 1 alors f est une rotation vectorielle.On suppose que A 6= I3 et det f = 1. Si A est symtrique alors f est une symtrie orthogonale par rapport un plan. Sinonf est une antirotation.

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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

Isomtries affines

Soit E un espace euclidien euclidien orient muni dune base orthonorme directe B.Soit f Is(E) de matrice A dans la base B.On pose Invf = {x E/f(x) = x} lespace affine des invariants ou des points fixes de f .

3 Cas dimE = 2 :Nature de Invf Nature de f

E Lidentit sur E.Une droite D Symtrie orthogonale par rapport D.

un point Rotation de centre et dangle celui de ~f .Lensemble vide et det ~f = 1 Translation

Lensemble vide et det ~f = 1 Une symtrie glisse f = sD tu = tu sDSoit M E Alors u = 12

Mf2(M) et D = I + Ru avec I le milieu de [M,f(M)].

4 Cas dimE = 3 :Nature de Invf Nature de f

E Lidentit de E.Un plan P La symtrie orthogonale par rapport P .

Une droite D La rotation daxe D orient par e et dangle avec ~f = re,.Un point Anti-rotation : Produit commutatif dune rotation rD,e, et dune symtrie orthogonal

sP .On calcul e et partir de lanti-rotation vectorielle ~f .D = + Re et P = + {e}.

et ~f = IdE Translation. et det f = 1 et ~f 6= IdE Vissage daxe D orient par e, dangle et de vecteur u.

f = r(D, e, ) tu = tu r(D, e, ).~f est une rotation vectorielle dangle et de vecteur e.On a D = {M E/

(Mf(M), e

)li}.

Pour tout M D on a u = Mf(M). et det f = 1 Une symtrie glisse f = sP tu = tu sP

Soit M E Alors u = 12Mf2(M).On a ~f est une symtrie orthogonale par rapport E1(A). Donc, P = I+E1(A) avecI le milieu de [Mf(M)].

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