Présentation d’un exercice sur les matrices

Présentation d’un Présentation d’un exercice exercice

sur les matricessur les matrices

Par Julien TisonPar Julien Tison

Énoncé :Deux briques de longueur 4 et de hauteur 2 sont

disposées comme sur le schéma. Quelle est la hauteur du sommet supérieur de la brique inclinée?

Nous devons tout d’abord fixer des axes sur notre schéma afin de déterminer les coordonnées des sommets des deux

rectangles.L’exercice est donc de calculer l’ordonnée du sommet

supérieur du rectangle incliné.

Nous remarquons que le rectangle incliné est en fait le résultat de la rotation d’un rectangle (vert),

identique au rectangle horizontal de départ mais décalé de 1.5 vers la gauche sur l’axe des abscisses .

Le point recherché est donc la rotation par un angle B du sommet supérieur droit du rectangle vert.

Nous allons donc appliquer la matrice de rotation au point (4 ; 2).

Or la matrice de rotation d’angle B est :

Nous allons maintenant calculer cos B et sin B

à partir du triangle formé par les deux rectangles.

Le cosinus d’un angle, dans un triangle rectangle, est le quotient du côté adjacent de l’angle sur l’hypoténuse.

Or l’hypoténuse dans ce cas est égale à 2,5 (Pythagore).

Le sinus d’un angle, dans un triangle rectangle, est le quotient du côté opposé de l’angle sur l’hypoténuse.

La matrice de cette rotation est donc :

Appliquons cette matrice de rotation au point (4;2) c’est à dire, faire le produit matriciel :

Le point recherché a donc pour Le point recherché a donc pour coordonnées :coordonnées :

(4/5 ; 22/5)(4/5 ; 22/5)

La hauteur de la brique estLa hauteur de la brique est

22/5.22/5.