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Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Mécanique Spatiale
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
La Mécanique Spatiale est l’art de guider les engins spatiaux vers leur destination
Cette technique est mise en œ uvre par les agences spatiales et les opérateurs de satellites
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Les acteurs françaisCentre National d’Etudes Spatiales
Siège
PARIS192
Daumesnil Lanceurs
234
TOULOUSESatellites
1752
KOUROU
265
Base de lancement
Trajectographie
Mécanique Orbitale
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Les acteurs françaisOpérateurs, Industriels, Laboratoires
TOULOUSECANNES
PARIS
Opérateur de satellites: EUTELSAT (Paris)
Industriels: ASTRIUM (Toulouse, Les Mureaux, Kourou)THALES-ALENIA SPACE (Cannes, Toulouse)Sociétés de service
Astronomes IMCCE (Paris, Lille), OCA (Grasse)
Communauté de Géodésie Spatiale
Labos Maths Appli./Optimisation
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Les bases
Le mouvement orbitalperturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Lois de Kepler
L’orbite d’une planète est une ellipse dont le Solei l occupe un foyer.
Le carré de la période orbitale de la planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de l’ellipse.
µa2T
3Π=
Le segment joignant la planète au Soleil balaye une aire égale durant des intervalles de temps égaux.
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Lois de Newton
Principe fondamental de la dynamique
..→
=→
=→
rmm γF
Loi Universelle de la Gravitation
Problème à deux corps (Soleil + planète) obéit au trois lois de Képler
→−=
→r
r
GMmF3
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Le mouvement d’un point dans l’espace est défini pa r six composantes (position et vitesse)dans un repère cartésien
z,y,xz,y,x,
Cette représentation est souvent mal adaptée car peu “physique”. On lui préfère souvent une représentation équivalente en éléments orbitaux ou “képlerien”
Représentation des orbites
( )V,,i,e,a, Ωω
Cette représentation n’est pas unique, il en existe beaucoup de variantes
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
La forme de l’orbite: a et e
Ve
ear
cos1
)1( 2
+−=
τ
Perigee
Apogee
2a (a = demi-grand axe )
ra rp
a.e
b
pτ
A P
S e = excentricité
V
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i : inclinaison sur l’équateurvarie entre 0 et 180 degrés (i > 90 °°°° = orbite rétrograde)
ΩΩΩΩ : ascension droite du noeud ascendant = angle entre l’axe X et l’intersection du plan de l’o rbite avecl’équateur
Ligne des noeuds
Nœud ascendant
x
z
y
EquateurΩΩΩΩ i
L’orientation du plan : i et ΩΩΩΩ
Pole Nord
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ωωωω : argument du perigee= angle entre la direction du noeud ascendant et la directiondu périgée
V : anomalie vraie= angle entre la direction du périgée et la direction de l’objet
Ligne des apsides
DN
Nœud ascendant
x
z
y
Equateur
Ω i
ωωωω
Perigee
La position sur orbite: et V
V
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Le mouvement est périodique de période
mais le mouvement n’est pas uniforme le long de l’orbite (loi des aires)
On introduit un point fictif qui tourne à vitesse constante (moyen mouvement) qui sert à définir l’anomalie moyenne
GM
aT
3
2Π=
)(et 2
périgéettnMT
n −== π
Le mouvement sur l’orbite
Un autre angle: l’anomalie excentrique
E v
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L’anomalie moyenne M est liée à l’anomalie excentrique E par l’équation de Kepler
L’anomalie vraie se calcule à partir de l’anomalie excentrique par
En pratique on calcule M en fonction du temps, puis E en résolvant l’équation de Kepler par itérations, puis V avec la formule ci-dessus
EeEM sin−=
−+=
21
12
Etg
e
earctgV
Le mouvement sur l’orbite
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
De même que le mouvement n’est pas uniforme, la vitesse n’est pas constante le long de l’orbite
−=
arµV 12
Va=1,6km/sVp=10,25km/s
τ
Exemple d’orbite de transfert vers l’altitude géostationnaire
La vitesse sur l’orbite
La vitesse est maximale au périgéeet minimale à l’apogée
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
a
GMV
a
GM
r
GMvEnergie
e
e
e
pr
=⇒
=−
+−=
+=
inf
2
2
22
cos1
1
cos1 θθ
P
arp
p
Foyer A
a
ββββθθθθinf
Ligne des apsides
|ra|
Moins fréquentes mais définies de la même façon
Asymptotiquement
V∞
Les orbites hyperboliques
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Les bases
Le mouvement orbitalperturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Dans la réalité la trajectoire n’est jamais simpleme nt Képlérienne car l’objet (satellite, planète) est soumis à des fo rces perturbatricesEquations du mouvement perturbé
Différentes approches existent pour intégrer ces éq uations: l’intégration numérique directe les développements analytiques par approximation successive en développant suivant différents “petit s paramètres” l’intégration analytique des équations moyennées etc.
→+
→−= pγr
rGM
2dt
r2d3
Le mouvement perturbé
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Equations de Lagrange
∂∂∂∂Ω∂
∂∂∂∂∂∂∂
−−
−−
−−
−−
−
−−
−
=
−
Ω
M
R
R
Ri
Re
Ra
R
ena
e
na
enaena
eiena
enaiena
ena
e
ena
ena
ndt
dMdt
ddt
ddt
didt
dedt
da
ωω
.
000012
0001
icotg10
000sin1
100
01
icotg
sin1
1000
110000
200000
2
2
222
2
22
2222
2
2
2
2
→−
→= RgradpγLorsque la force perturbatrice dérive d’un potentiel
Applicable aux perturbations dues aux inhomogénéités dupotentiel terrestre, aux autres corps, etc.
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Equations de Gauss
mouvementmoyen
vitesse
==
++=
n
V
wWnNtTp
γ
VTandt
da2
2=
( )
−+= Na
rvTve
Vdt
desincos2
1
( )( ) W
ena
vr
dt
di2122 1
cos
−+= ω
( )( ) W
iena
vr
dt
d
sin1
sin2122 −
+=Ω ω
( )( ) W
iena
vir
ve
veveNvT
Vedt
d
sin1
sincoscos1
coscos2sin2
12122
2
−+−
++++= ωω
+−+
++−−=
ve
evN
ve
evT
eV
en
dt
dM
cos11
coscos1
1sin21 222
En écrivant la force perturbatrice dans le repère orbital loc al
t : le long du vecteur vitesse
w : le long du moment cinétique
n : perpendiculaire aux précédents, de façon à former un trièredirect t, n, w
y
n
OS
wtz
x
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Equations de Gauss
mouvementmoyen
vitesse
==
++=
n
V
wWnNtTp
γ
VTandt
da2
2=
( )
−+= Na
rvTve
Vdt
desincos2
1
( )( ) W
ena
vr
dt
di2122 1
cos
−+= ω
( )( ) W
iena
vr
dt
d
sin1
sin2122 −
+=Ω ω
( )( ) W
iena
vir
ve
veveNvT
Vedt
d
sin1
sincoscos1
coscos2sin2
12122
2
−+−
++++= ωω
+−+
++−−=
ve
evN
ve
evT
eV
en
dt
dM
cos11
coscos1
1sin21 222
En écrivant la force perturbatrice dans le repère orbital loc al
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Paramètres osculateurs
Orbite moyenne (“abstraite”)
Orbite “réelle”Orbite osculatrice (“théorique”)
Orbite osculatrice = ellipse théorique tangente en position et vitesse = le mouvement qu’aurait l’objet si la perturbation disparaissait
Orbite moyenne = orbite dont on a supprimé les courtes périodes= ne conserve que les évolutions àlong terme des paramètres
Conséquence des perturbations: tous les paramètres orbitaux évoluentavec le temps
Certains paramètres évoluent plus vite que d’autres (typiquement àla période orbitale)
Certains paramètres évoluent de façon séculaire
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Le champ de gravité terrestreAplatissement C 2,0=-J2
Forme de poire C 3,0 = -J3
Harmonique zonal (9,0) Harmonique tesseral (9,6)Harmonique sectoriel (9,9)
Décomposition du potentiel sur une base d’harmoniques sphériques
( ) ( ) ( )( )
++
+= ∑∑
=
∞+
=
ϕλλϕ sinsincossin1 ,1
,,1
mn
n
mmnmnnn
n
n
eq PmSmCPJr
r
r
GMU
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)sin32)()1(4
3(
)sin54()1(4
3
cos)1(2
3
22/3227
23
22227
2
22272
2
2
2
iea
.J.R
a
dt
dM
iea
.J.R
dt
d
iea
.J.R
dt
d
/
T
/
T
/
T
−−
+=
−−
=
−−=Ω
ω
La plus grosse perturbation est celle due à l’aplatissement ter restre. Ses effets se calculent à partir des équations de Lagrange. La principale cons équence est la dérive séculaire de la longitude du nœud ascendant (précess ion du plan de l’orbite) et de la position du périgée sur l’orbite
Effet de l’aplatissement terrestre
Conséquence utile: si a, e et i sont tels que dΩΩΩΩ/dt = 0,98 °°°°/jour alors le plan de l’orbite suit le mouvement du Soleil au long de l’année: ce sont les orbites héliosynchrones
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Les équations de Lagrange permettent aussi de calculer les p erturbations « rapides » dues à l’aplatissement de la Terre (courtes périodes )
~ 2
7 km
Variation de l’altitude
Effet de l’aplatissement terrestre
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Le champ de gravité de la Terre n’est pas constant: il varie sous l’influence des marées, océaniques et solides (terre élastique)
Marées
Les marées se décomposent en ondes qui correspondent aux différentes fréquences excitatrices du mouvement relatif de la Lune et du Soleil
Le potentiel du à la masse d’eau déplacée par chaque onde est décomposé sur la base d’harmoniques sphériques
Composante principale de lamarée (onde semi-diurne M2)
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
La fonte des glaces ou les variations hygrométriques d ans les grands bassins causent des déplacements d’importantes masses à grande échelle qui sont visibles depuis l’espace
Dérives du champ de gravité
Effet sur l’altitude du satellite Envisat en millimètre par an
Variation du champ de gravitéen mètres d’eau par an
Les effets du champ de gravité sont amplifiés par les résonances
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Résonances
( ) ( )[ ]
222 avec
sincosa
U0 02
πεθωψ
ψψµ
lmlmpq
lmpqnmlmpqlm
l
m
l
p qlpqlmp
l
l
e
) - m( q)M p (l - p) (l -
S CeGIFa
R
+Ω+++=
+
= ∑∑ ∑∑= =
∞
−∞=
∞
=
Le cas où la dérivée de est nulle correspond aux effets séculaires.Lorsque cette dérivée est proche de zéro il y a rés onance. Cela correspond à une relation entière approchée entre la période orbitale et la durée du jour
Exprimé au niveau du satellite en orbite le potentie l terrestre dépend des paramètres orbitaux et de l’orientation de la T erre (temps sidéral)
θ mM q)p (l - ≈+2
Pour un satellite en orbite basse on a environ 13 à 14 orbites par jour. Le mouvement orbital est donc très sensible aux termes du potentiel de m multiple de 13 et 14.
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Influence des « troisièmes » corps
Pour un satellite en orbite terrestre les troisième s corps sont la Lune, le Soleil, et les planètes.
De même que pour le potentiel central, des résonances entre les différentes fréquences en jeu peuvent conduire àdes évolutions complexes de l’orbite
L’influence de la Lune et du Soleil est importante lorsque le satellite est éloigné de la Terre. Elle devient déterminante pour les orbites très excentriques
( ) ( ) ( )( ) ( )**2
*222
Ω−Ω++−−−−+−+−=Ψ
mMjhl
hlMqplpllmphqj ωω
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La composante principale est la pression directe due au Soleil
La pression due à la lumière rediffusée par la Terre (albedo) -représente 10 % du terme principal en orbite basse
L’émission infra-rouge thermique du satellite (faible mais permanente)
L’émission radio du satellite uniquement pour de fortes puissances)
Pression de radiation
La pression de radiation résulte du transfert de quant ité de mouvement entre photons et satellite
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Le frottement atmosphérique est le résultat de l’in teraction du satellite avec les atomes de l’atmosphère encore présents à haute a ltitude (jusqu’à plus de 1000 km). Le frottement engendre principalement une force de tra inée de direction opposée à la vitesse (la composante de portance est très faible). Il a pour effet une décroissance du demi grand-axe (pe rte d’énergie).
Frottement atmosphérique
La densité de chacun des constituants diminue de façon exponentielle avec l’altitude La densité résiduelle à haute altitude est très sensible au chauffage de l’atmosphère par le Soleil: pic de densité vers 15h locale, cycle solaire à 11 ans, éruptions solaires
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Les vraies équations du mouvement qui décrivent le mouvement des satellites sont celles de la Relativité Générale et non celles de la théorie Newtonienne
En pratique la Relativité Générale est traitée comme une perturb ation àla théorie Newtonienne qui se traduit par des forces supplémentaires (approximation post-Newtonienne)
Relativité Générale
Les corrections relativistes sont indispensables pour calculer les trajectoires dans le système solaire (précession du périgée des planètes notamment)
Pour un satellite en orbite basse, le plus gros impact de la relativitégénérale est un décalage de l’altitude d’environ 4 millimètres
( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]
( ) rR
JrJrrr
rrrrrr
RR
Rc
GM
rrc
GM
rGM
rc
GM
S
E
EE
××−
⋅+⋅×+
⋅+−=∆
332
232
32
3
2
44
3
2
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La propulsion embarquée
Le principe de base des propulseurs spatiaux consis te en l’éjection de matière à haute vitesse (propulsion par réaction).La relation entre la masse d’ergol consommée et l’i ncrément de vitesse est donnée par l’équation de la fusée
−=∆
∆−sp0IgV
0 e1mm
L’impulsion spécifique Isp caractérise la performanc e du propulseur.
Les satellites utilisent 3 types de propulseurs pour les changements d’orbite Gaz froid: gaz stocké à haute pression avec
détendeur-régulateur; poussée 0,01 à 10 N / Isp50 à 170 s
Liquide: réaction de décomposition ou de combustion des ergols; poussée 5 à 500 N / Isp 280 à 340 s
Electrique: ionisation et accélération électrique d u fluide propulsif; poussée 0,02 à 0,3 N / Isp 1200 à 2500 s
propulseur à plasma SPT100
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Les bases
Le mouvement orbitalperturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Changements d’orbite
Les satellites changent d’orbite en modifiant leur vitesse à l’aide de propulseurs (une poussée) La durée d’une poussée peut varier de la seconde à l’heure L’incrément de vitesse résultant d’une poussée peut varier du mm/s au km/s
La trajectoire du satellite est continue, donc l’or bite avant et l’orbite après la manœuvre ont nécessairem ent un point en commun Pour passer d’une orbite donnée à une orbite
quelconque sans intersection, il faut nécessairemen t au moins une orbite intermédiaire et donc plusieurs manœuvres
Le choix de l’orbite intermédiaire se fait en minimisant le coût global (somme des valeurs absolues des incréments de vitesse)
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Changements d’orbite
Seconde poussée
Première poussée
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Effet des manœuvres courtes
( )( )
( )( )
( )( )
( ) W
WNT
W
NT
T
Viena
vr
Viena
virV
ve
veveVv
Ve
Vena
ri
Va
rVVVe
Ve
VVan
a
∆−
+=∆Ω
∆−
+−
∆
++++∆=∆
∆−
+=∆
∆−∆+=∆
∆=∆
sin1
sinsin1
sincos
cos1
coscos2sin2
11
cos
sincos21
2
2122
2122
2
2122
2
ω
ωω
νω vraieanomalie
mouvementmoyen
satellitedu vitesse
===
∆+∆+∆=∆
ν
n
V
wVnVtVV WNT
Lorsque la poussée est très courte on peut facileme nt en calculer l’impact à l’aide des équations de Gauss
On en déduit quelques règles simples: pour changer a ou e il faut pousser dans le plan, pour changer i ou ΩΩΩΩ il faut pousser hors plan il est plus efficace de corriger a là où la vitesse est maximale (périgée), de corriger i au nœud
( +νννν=0), de corriger ΩΩΩΩ à latitude élevée ( +νννν=90°°°°)
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Changement d’excentricité
Une poussé tangentielle permet de changer l’excentri cité. Exemple: mise en orbite des satellites géostationnaires
i = 7 degT = 10,5 h
570 km
Earthi = 3,4 degT = 13 h
7360 km
DV1
i = 0,4 degT = 20,5 h
27650 km
DV2
i = 0 degT = 23,9 h
35620 km
DV3
Orbite initiale
Orbite finale
Orbites intermédiaires
Le transfert réel vers l’orbite géostationnaire implique au ssi un changement d’inclinaison
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−≈∆2
sin2 121
iiVV
12 VV
≈i2
→2V
→∆V
Ligne des noeuds
Equateuri1
→1V
Le changement d’inclinaison se fait de façon optima le en poussant perpendiculairement au plan de l’orbite au nœud (as cendant ou descendant)
Cette manœuvre est très couteuse car les vitesses orbitale s sont très élevées. En orbite basse la vitesse est environ 7 km/s et il faut donc en viron 130 m/s pour corriger d’un degré !
C’est pour cette raison que les sites de lancement proches de l ’équateur sont très favorables: on ne peut injecter naturellement un satellite q ue sur une orbite d’inclinaison supérieure à la latitude du site de lancement, donc les fusées lancées depuis des sites à latitude élevée doivent consommer beaucoup d ’ergols pour réduire l’inclinaison lorsqu’elles visent l’orbite géostationnaire .
Changement d’inclinaison
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( ) 1211
21 rrrr
r2V
µ−+
µ=∆
( ) 2212
12 rrrr
r2V
µ++
µ−=∆
Transfert à coût minimum entre deux orbites circulai res coplanaires
Comme il n’y a pas d’intersection entre les orbites il y a utilisation d’une orbite intermédiaire et deux poussées
Terre
∆V1
∆V2
Transfert de Hohmann
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Les bases
Le mouvement orbitalperturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
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Application au transfertentre planètes
Le transfert de Hohman donne une idée des conditions d’un transfert interplanétaire
Il faut que la planète de départ et la planète d’arrivée se trouvent au bon endroit au bon moment !
La géométrie planétaire fixe les créneaux de lancement
l’écart entre deux créneaux est la période synodique
21
21.
TT
TTP
−=
378399781584116Période (j)
SaturneJupiterMarsVénusMercurePlanète
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Transferts interplanétaires réels
Dans la réalité les orbites des planètes ne sont ni circulaires ni coplanaires du fait de la différence de plans, le transfert
de Hohman est le plus couteux, et il existe deux transferts optimaux, l’un plus court, l’autre plus long que celui de Hohman
Du fait de l’excentricité de la planète de départ et de la planète d’arrivée certaines opportunités sont plus favorables que d’autres
Type IIType I Durée du transfert Terre-Mars
Type I : 6 à 7 moisType II: 10 à 12 mois
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Le transfert complet
Le transfert complet comprend trois phases: L’échappée de la Terre Le transfert La capture autour de la
planète cible
La sphère d’influence est le lieu oùl’accélération centrale est comparable à l’accélération due au Soleil
L’énergie de la trajectoire de transfert est par construction supérieure à la vitesse de libération: à l’intérieur des sphères d’influence, dans les repères planétoc entriques, la trajectoire est hyperbolique
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200 km
Sphère d’influence
Orbite autour du Soleil
Trajectoire hyperbolique( )rVV lib>
222libVVV −=∞
La sphère d’influence est loin (« à l’infini ») par rapport à la Terre
Toute trajectoire avec une vitesse initiale supérieure à la vitesse de libération est une hyperbole qui quitte la sphère d’influence
( )r
GMrVlib =
La vitesse finale autour du Soleil est la combinaison de la vitesse relative à la Terre et de la vitesse orbitale de la Terre
L’échappée de la Terre
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Assistance gravitationnelle
Le principe de composition des vitesses conduit à de s effets intéressants lors des survols planétaires
V ∝a
V ∝d
V ∝a
V ∝d
La vitesse relative à la planète change de direction lors du survol, ce qui génère suivant les cas une augmentation ou une diminution de la vitesse absolue par rapport au Soleil
VP/*
ΔV
θ
L’angle de déflection se contrôle en jouant sur l’altitude du périapse
12
12
sin
−
∞
+=
GM
Vrpθ
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Applications de l ’assistance gravitationnelle
Aller au-delà de Venus et de Mars avec un transfert direct requiert un incrément de vitesse au départ trop élevé pour le s lanceurs actuels (et un freinage à l’arrivée trop difficile à réaliser)
Deux solutions existent L’utilisation de la propulsion électrique sur le satellite, qui permet de
pousser très longtemps et donc d’augmenter petit à petit la vitesse L’assistance gravitationnelle qui permet d’augmenter la vites se
Ces deux solutions sont de plus en plus souvent com binées
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Exemple: Voyager
Lancées en 1977 les sondes Voyager-1 et 2 tirent pr ofit d’un alignement optimal des planètes et de l’assistance gravitationnelle pour visiter Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune
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Exemple: ROSETTA
Mission européenne d’étude de la comète 67P /Churyumov-Gerasimenko lancée le 2 mars 2004 par Ariane 5 ( v∞∞∞∞ = 3,5 km/s)
Croisière de 10 ans avec 4 assistances gravitationnelles à la Terre (2005, 2007, 2009) et à Mars (2007)
4 manœuvres en croisière (∆∆∆∆V = 204m/s) plus 2 manœuvres de rendez-vous ( ∆∆∆∆V = 1583m/s)
A titre d’exemple le 2 ème survol de la Terre (altitude 3350 km) a augmenté la vitesse de la sonde de 3,6 km/s soit l’équivalent de 2 tonnes d’ergols !
Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »
Exemple: BEPI-COLOMBO
Mission européenne d’étude de Mercure qui doit être lancée par Ariane 5 en 2015 ( v∞∞∞∞ = 3,5 km/s)
Utilise la propulsion électrique et les assistances gravitationnelles pour réduire la vitesse
Les deux survols de Venus suffisent pour abaisser le périgée au niveau de Mercure !
La première phase de la capture en orbite autour de Mercure est passive (sur une orbite 490 x 178 000 km) !
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Capture passive
Certaines trajectoires venant des points de Lagrange et approchant la Terre (ou une autre planète) peuvent passer suffisamment prés pour que l’objet soit « capturé » et reste en orbite au moins pendant quelques orbites
Ce mécanisme est utilisé pour aider à la mise en orbite d’un satellite autour d’une planète sans avoir à fournir une grosse décélération: au lieu d’aller directement àla planète on vise un passage au voisinage d’un point de Lagrange
Particulièrement adapté au cas des poussées faibles (ex. SMART-1, BEPI-COLOMBO)
Transfert Terre-Lune SMART-1
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Points de Lagrange
Cinq zones de l’espace où force de gravitation et force centr ifuge s’équilibrent
Force Centrifuge
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Problème circulaire restreint à 3 corps
Modèle simplifié où:- Il n’y a que trois corps, les deux corps principaux (Soleil+Terr e ou
Terre+Lune) et le satellite- Le satellite a une masse négligeable- Les deux corps principaux ont un mouvement circulaire
Utilisé pour étudier la dynamique du satellite
i
j
m1 m2
msat
k
r
G
1ρ 2ρ
x
y
232
213
1
1 ρρ
ρρ
mGmmGmrm −−=
Etudié en détail à la fin du 19 ème siècle
Admet 5 points d’équilibre (Points de Lagrange)
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Points de Lagrange
Les équations de Lagrange dans le repère tournant s ’écrivent
( ) ( )2
2
1
1222
2
1,,
ρρmm
yxnzyxU +++=
zU
yU
xU
z
xny
ynx
∂∂
∂∂
∂∂
==+=−
2
2
avec
L1 L2L3L5
Cinq extrema locaux3 points selle2 minima
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Mouvement autour des extrema
Développement au premier ordre autour d’un extremum local E
zzz
yyy
xxx
E
E
E
~
~
~
+=+=+= ( ) ( )
( ) ( )
( )Ez
Uzz
Ey
UyEyxUxxny
ExyUyE
xUxynx
2
2
2
22
2
2
2
~~
~~~2~
~~~2~
∂∂=
∂∂+∂∂
∂=+∂∂
∂+∂∂=−
car ( ) ( ) 022
=∂∂∂=∂∂
∂ EzyUEzx
U
Il y a découplage du mouvement dans le plan et du m ouvement hors plan.
Le mouvement hors plan est périodiqueLe mouvement dans le plan dépend de la nature des v aleurs propres
(1 réelle + 1 imaginaire pour L1, L2 et L3, 2 réell es pour L4 et L5)
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Mouvement autour de L1 et L2
Combinaison de deux mouvements périodiques, un hors plan et un dans le plan, et d’un mouvement divergeant => orbites quasi-périodiques, instables sur le long terme
La divergence est lente, il est donc possible de la compenser grâce à de très petites manœuvres(qq mm/s 2 fois par an)
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Intérêt des points de Lagrange
Perturbations faibles, maintien de l’orbite peu cou teux en ergolsPas (ou peu) d’éclipses, très grande stabilité therm iqueVisibilité permanente avec la Terre pour transmettre les données
(mais loin ~50 fois la distance géostationnaire)
Source: ESA
Lieu idéal pour les missions d’astronomie: toutes les futures grandes missions d’astronomie iront au point de Lagrange L2
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Comment y aller ?
Les orbites autour de L1 ou L2 étant naturellement instables, si on propage la trajectoire depuis tout point de ces orb ites on peut se retrouver n’importe où !
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Comment y aller ? (suite)
Si on choisit des conditions initiales sur l’orbite de Lissajous qui mènent prés de la Terre, inversement on dispose d’une trajectoire qui mène de la Terre àcette orbite !
Il suffit de s’injecter sur cette orbite de transfert et de la suivre jusqu’à l’orbite cible !
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Encore plus fort !
Les régions autour de L1 et L2 correspondant à des n iveaux d’énergie semblables on peut transiter de l’une vers l’autre … en étant très patients !
SunEarthL3
L4
L5
L1 L2
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Exemple: GENESIS
Mission de collecte d’échantillons des particules constituant le vent solaire
A rejoint le point L1 avant de repartir vers L2 puis de revenir sur Terre
Calendrier:Lancement: 8 août 2001Insertion en orbite à L1: novembre 2001Quitte orbite en L1: avril 2004Passage par la Terre vers L2: mai 2004Retour sur Terre: 8 septembre 2004
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Interplanetary Highways
Source: UniversitatPolitècnica de Catalunya
Des « sentiers » pour ceux qui ont peu de moyens et beaucoup d e temps !
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Optimum local vs global
Les approches précédentes permettent de trouver des trajectoires optimales, mais il est souvent difficile de savoir s’il s’agit d’un optimum global. Exemple: le transfert depuis une orbite circulaire autour de la Terre vers une orbite circulaire autour de la Lune
Plusieurs solutions sont possibles: Hohman, transfe rts directs, avec survol, via les points de Lagrange, etc. Elles cond uisent toutes à des optimums différents.
Terre
∆V1
∆V2
Lune
Coût V= V1+ V2
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Synth èse des transferts Terre-Lune
Source: F. Topputo IAC-11-C1.1.12
F. Topputo (Polit. Di Milano) a récemment (2011) exploré tous c es transferts dans le cadre du problème à 4 corps (Terre, Lune, Sole il, satellite) planaire bi-circulaire et les a classés en fonction de la durée et du coût.
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Synth èse des transfertsTerre-Lune
Source: F. Topputo IAC-11-C1.1.12
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Les bases
Le mouvement orbitalperturbé
Transferts interplanétaires
Changements d’orbite
Bilan et perspectives
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Bilan et perspectives
Le développement des missions spatiales a suscité des progrès rapides dans la maîtrise des techniques nouvelles 1957: 1er satellite en orbite (Spoutnik-1) 1959: 1er satellite atteignant la vitesse de libération (Luna -1)
1er satellite impactant la Lune (Luna-2) 1962: 1er survol de Venus (Mariner-2) 1965: 1er rendez-vous orbital (Gemini-6)
1er survol de Mars (Mariner-4) 1966: 1er atterrissage sur la Lune (Luna-9) 1967: 1ère capsule sur le sol de Venus (Venera-4) 1971: 1er orbiteur martien (Mariner-9)
1er atterrisseur martien (Mars-2) 1974: 1ère assistance gravitationnelle (Mariner-10 survol de V enus pour rejoindre
Mercure) 1977: 1er grand voyage interplanétaire (Voyager-1 & 2) 1978: 1er satellite sur une orbite de halo en L1 (Internation al Sun/Earth Explorer 3) 1995: début du grand tour de Galileo 1998: 1ère mission utilisant la propulsion électrique (Deep Spa ce 1)
sauvetage de Asia-Sat-3 en utilisant un transfert p ar la Lune 2001: 1er satellite sur une orbite de Lissajous en L2 (WMAP)
1er satellite exploitant les transferts à faible énergie (GENESIS)
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Bilan et perspectives
L’Europe a progressivement rattrapé son retard et dispose maintenant de compétences de pointe dans le domaine de l’astrodynamique
GIOTTO (avec NASA) 1985 Comète de HalleyULYSSES (avec NASA) 1990 SoleilSOHO (avec NASA) 1995 Halo en L1MARS EXPRESS 2003 MarsSMART1 2003 Lune (poussée électrique) ROSETTA 2004 Comète 67P/CGVENUS EXPRESS 2005 VenusPLANCK 2009 Lissajous en L2HERSCHEL 2009 Halo en L2GAIA 2013 Lissajous en L2BEPI-COLOMBO 2015 Mercure (poussée électrique)SOLAR-ORBITER 2017 SoleilEUCLID 2019 Lissajous en L2JUICE 2022 Jupiter
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Bilan et perspectives
Le coût très élevé des grandes missions spatiales, c ombiné avec la stagnation, voire la réduction, des budgets en Euro pe, entraine une baisse notable du nombre de projets complexes.
Dans le même temps, les missions d’observation de l a Terre et de navigation par satellite, assez simples sur le plan de la Mécanique Spatiale, se multiplient.
Les efforts en Mécanique Spatiale s’orientent souve nt aujourd’hui vers de nouveaux sujets « à la mode » qui sont perçus (proba blement à tort) comme pouvant déboucher sur des missions à court ter me: Le service en orbite La récupération de satellites morts, et leur désorbitation Le vol en formation, qui combine plusieurs satellites volant a proximité l’un
de l’autre pour remplir une mission
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Quelques problèmes actuels
L’optimisation des transferts interplanétaires avec recherche automatique des séquences d’assistances gravitationn elles, avec ou sans propulsion électrique.
L’évolution à long terme des orbites des satellites morts qui gravitent autour de la Terre, et plus généralement, la modélisation de l’évolution statistique de la population des obj ets en orbite avec prise en compte des collisions.
La dynamique des objets à grand rapport surface sur masse, soit en relation avec le problème précédent, soit en relati on avec les voiles solaires.
La dynamique du problème planète + lunes + satellit e.
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Pour en savoir plus
De nombreux ouvrages dont le livre de Mécanique Spa tiale du CNES chez Cepadues (un peu ancien sur certains sujets)
Beaucoup d’informations sur les sites Web des agenc es spatiales (CNES, ESA, NASA), dont le très bon www.jpl.nasa.gov/basics
Expérimenter par vous-même avec les fonctions de Mé canique Spatiale disponibles en SCILAB dans la bibliothèque CELESTLAB (contribution CNES) - voir www.scilab.org le mode demo permet d’obtenir des résultats sans efforts !
Résoudre les problèmes passés des Global Trajectory OptimizationCompetition (GTOC) www.esa.int/gsp/ACT/mad/index.html
Me contacter jean-paul.berthias@cnes.fr
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