Présentation UnivEté Mécanique Spatiale - …maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/conference_2_jean-paul_berthias.pdf · dérive séculaire de la longitude du nœud ascendant (précess

Ecole d’été de Mathématiques 2012 « Modèles Mathémati ques et Réalité »

Mécanique Spatiale


La Mécanique Spatiale est l’art de guider les engins spatiaux vers leur destination

Cette technique est mise en œ uvre par les agences spatiales et les opérateurs de satellites


Les acteurs françaisCentre National d’Etudes Spatiales

Siège

PARIS192

Daumesnil Lanceurs

234

TOULOUSESatellites

1752

KOUROU

265

Base de lancement

Trajectographie

Mécanique Orbitale


Les acteurs françaisOpérateurs, Industriels, Laboratoires

TOULOUSECANNES

PARIS

Opérateur de satellites: EUTELSAT (Paris)

Industriels: ASTRIUM (Toulouse, Les Mureaux, Kourou)THALES-ALENIA SPACE (Cannes, Toulouse)Sociétés de service

Astronomes IMCCE (Paris, Lille), OCA (Grasse)

Communauté de Géodésie Spatiale

Labos Maths Appli./Optimisation


Les bases

Le mouvement orbitalperturbé

Transferts interplanétaires

Changements d’orbite

Bilan et perspectives


Lois de Kepler

L’orbite d’une planète est une ellipse dont le Solei l occupe un foyer.

Le carré de la période orbitale de la planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de l’ellipse.

µa2T

3Π=

Le segment joignant la planète au Soleil balaye une aire égale durant des intervalles de temps égaux.


Lois de Newton

Principe fondamental de la dynamique

..→

=→

=→

rmm γF

Loi Universelle de la Gravitation

Problème à deux corps (Soleil + planète) obéit au trois lois de Képler

→−=

→r

r

GMmF3


Le mouvement d’un point dans l’espace est défini pa r six composantes (position et vitesse)dans un repère cartésien

z,y,xz,y,x,

Cette représentation est souvent mal adaptée car peu “physique”. On lui préfère souvent une représentation équivalente en éléments orbitaux ou “képlerien”

Représentation des orbites

( )V,,i,e,a, Ωω

Cette représentation n’est pas unique, il en existe beaucoup de variantes


La forme de l’orbite: a et e

Ve

ear

cos1

)1( 2

+−=

τ

Perigee

Apogee

2a (a = demi-grand axe )

ra rp

a.e

b

pτ

A P

S e = excentricité

V


i : inclinaison sur l’équateurvarie entre 0 et 180 degrés (i > 90 °°°° = orbite rétrograde)

ΩΩΩΩ : ascension droite du noeud ascendant = angle entre l’axe X et l’intersection du plan de l’o rbite avecl’équateur

Ligne des noeuds

Nœud ascendant

x

z

y

EquateurΩΩΩΩ i

L’orientation du plan : i et ΩΩΩΩ

Pole Nord


ωωωω : argument du perigee= angle entre la direction du noeud ascendant et la directiondu périgée

V : anomalie vraie= angle entre la direction du périgée et la direction de l’objet

Ligne des apsides

DN

Nœud ascendant

x

z

y

Equateur

Ω i

ωωωω

Perigee

La position sur orbite: et V

V


Le mouvement est périodique de période

mais le mouvement n’est pas uniforme le long de l’orbite (loi des aires)

On introduit un point fictif qui tourne à vitesse constante (moyen mouvement) qui sert à définir l’anomalie moyenne

GM

aT

3

2Π=

)(et 2

périgéettnMT

n −== π

Le mouvement sur l’orbite

Un autre angle: l’anomalie excentrique

E v


L’anomalie moyenne M est liée à l’anomalie excentrique E par l’équation de Kepler

L’anomalie vraie se calcule à partir de l’anomalie excentrique par

En pratique on calcule M en fonction du temps, puis E en résolvant l’équation de Kepler par itérations, puis V avec la formule ci-dessus

EeEM sin−=

−+=

21

12

Etg

e

earctgV

Le mouvement sur l’orbite


De même que le mouvement n’est pas uniforme, la vitesse n’est pas constante le long de l’orbite

−=

arµV 12

Va=1,6km/sVp=10,25km/s

τ

Exemple d’orbite de transfert vers l’altitude géostationnaire

La vitesse sur l’orbite

La vitesse est maximale au périgéeet minimale à l’apogée


a

GMV

a

GM

r

GMvEnergie

e

e

e

pr

=⇒

=−

+−=

+=

inf

2

2

22

cos1

1

cos1 θθ

P

arp

p

Foyer A

a

ββββθθθθinf

Ligne des apsides

|ra|

Moins fréquentes mais définies de la même façon

Asymptotiquement

V∞

Les orbites hyperboliques


Les bases






Dans la réalité la trajectoire n’est jamais simpleme nt Képlérienne car l’objet (satellite, planète) est soumis à des fo rces perturbatricesEquations du mouvement perturbé

Différentes approches existent pour intégrer ces éq uations: l’intégration numérique directe les développements analytiques par approximation successive en développant suivant différents “petit s paramètres” l’intégration analytique des équations moyennées etc.

→+

→−= pγr

rGM

2dt

r2d3

Le mouvement perturbé


Equations de Lagrange

∂∂∂∂Ω∂

∂∂∂∂∂∂∂

−−

−−

−−

−−

−

−−

−

=

−

Ω

M

R

R

Ri

Re

Ra

R

ena

e

na

enaena

eiena

enaiena

ena

e

ena

ena

ndt

dMdt

ddt

ddt

didt

dedt

da

ωω

.

000012

0001

icotg10

000sin1

100

01

icotg

sin1

1000

110000

200000

2

2

222

2

22

2222

2

2

2

2

→−

→= RgradpγLorsque la force perturbatrice dérive d’un potentiel

Applicable aux perturbations dues aux inhomogénéités dupotentiel terrestre, aux autres corps, etc.


Equations de Gauss

mouvementmoyen

vitesse

==

++=

n

V

wWnNtTp

γ

VTandt

da2

2=

( )

−+= Na

rvTve

Vdt

desincos2

1

( )( ) W

ena

vr

dt

di2122 1

cos

−+= ω

( )( ) W

iena

vr

dt

d

sin1

sin2122 −

+=Ω ω

( )( ) W

iena

vir

ve

veveNvT

Vedt

d

sin1

sincoscos1

coscos2sin2

12122

2

−+−

++++= ωω

+−+

++−−=

ve

evN

ve

evT

eV

en

dt

dM

cos11

coscos1

1sin21 222

En écrivant la force perturbatrice dans le repère orbital loc al

t : le long du vecteur vitesse

w : le long du moment cinétique

n : perpendiculaire aux précédents, de façon à former un trièredirect t, n, w

y

n

OS

wtz

x


Equations de Gauss

mouvementmoyen

vitesse

==

++=

n

V

wWnNtTp

γ

VTandt

da2

2=

( )

−+= Na

rvTve

Vdt

desincos2

1

( )( ) W

ena

vr

dt

di2122 1

cos

−+= ω

( )( ) W

iena

vr

dt

d

sin1

sin2122 −

+=Ω ω

( )( ) W

iena

vir

ve

veveNvT

Vedt

d

sin1

sincoscos1

coscos2sin2

12122

2

−+−

++++= ωω

+−+

++−−=

ve

evN

ve

evT

eV

en

dt

dM

cos11

coscos1

1sin21 222

En écrivant la force perturbatrice dans le repère orbital loc al


Paramètres osculateurs

Orbite moyenne (“abstraite”)

Orbite “réelle”Orbite osculatrice (“théorique”)

Orbite osculatrice = ellipse théorique tangente en position et vitesse = le mouvement qu’aurait l’objet si la perturbation disparaissait

Orbite moyenne = orbite dont on a supprimé les courtes périodes= ne conserve que les évolutions àlong terme des paramètres

Conséquence des perturbations: tous les paramètres orbitaux évoluentavec le temps

Certains paramètres évoluent plus vite que d’autres (typiquement àla période orbitale)

Certains paramètres évoluent de façon séculaire


Le champ de gravité terrestreAplatissement C 2,0=-J2

Forme de poire C 3,0 = -J3

Harmonique zonal (9,0) Harmonique tesseral (9,6)Harmonique sectoriel (9,9)

Décomposition du potentiel sur une base d’harmoniques sphériques

( ) ( ) ( )( )

++

+= ∑∑

=

∞+

=

ϕλλϕ sinsincossin1 ,1

,,1

mn

n

mmnmnnn

n

n

eq PmSmCPJr

r

r

GMU


)sin32)()1(4

3(

)sin54()1(4

3

cos)1(2

3

22/3227

23

22227

2

22272

2

2

2

iea

.J.R

a

dt

dM

iea

.J.R

dt

d

iea

.J.R

dt

d

/

T

/

T

/

T

−−

+=

−−

=

−−=Ω

ω

La plus grosse perturbation est celle due à l’aplatissement ter restre. Ses effets se calculent à partir des équations de Lagrange. La principale cons équence est la dérive séculaire de la longitude du nœud ascendant (précess ion du plan de l’orbite) et de la position du périgée sur l’orbite

Effet de l’aplatissement terrestre

Conséquence utile: si a, e et i sont tels que dΩΩΩΩ/dt = 0,98 °°°°/jour alors le plan de l’orbite suit le mouvement du Soleil au long de l’année: ce sont les orbites héliosynchrones


Les équations de Lagrange permettent aussi de calculer les p erturbations « rapides » dues à l’aplatissement de la Terre (courtes périodes )

~ 2

7 km

Variation de l’altitude

Effet de l’aplatissement terrestre


Le champ de gravité de la Terre n’est pas constant: il varie sous l’influence des marées, océaniques et solides (terre élastique)

Marées

Les marées se décomposent en ondes qui correspondent aux différentes fréquences excitatrices du mouvement relatif de la Lune et du Soleil

Le potentiel du à la masse d’eau déplacée par chaque onde est décomposé sur la base d’harmoniques sphériques

Composante principale de lamarée (onde semi-diurne M2)


La fonte des glaces ou les variations hygrométriques d ans les grands bassins causent des déplacements d’importantes masses à grande échelle qui sont visibles depuis l’espace

Dérives du champ de gravité

Effet sur l’altitude du satellite Envisat en millimètre par an

Variation du champ de gravitéen mètres d’eau par an

Les effets du champ de gravité sont amplifiés par les résonances


Résonances

( ) ( )[ ]

222 avec

sincosa

U0 02

πεθωψ

ψψµ

lmlmpq

lmpqnmlmpqlm

l

m

l

p qlpqlmp

l

l

e

) - m( q)M p (l - p) (l -

S CeGIFa

R

+Ω+++=

+

= ∑∑ ∑∑= =

∞

−∞=

∞

=

Le cas où la dérivée de est nulle correspond aux effets séculaires.Lorsque cette dérivée est proche de zéro il y a rés onance. Cela correspond à une relation entière approchée entre la période orbitale et la durée du jour

Exprimé au niveau du satellite en orbite le potentie l terrestre dépend des paramètres orbitaux et de l’orientation de la T erre (temps sidéral)

θ mM q)p (l - ≈+2

Pour un satellite en orbite basse on a environ 13 à 14 orbites par jour. Le mouvement orbital est donc très sensible aux termes du potentiel de m multiple de 13 et 14.


Influence des « troisièmes » corps

Pour un satellite en orbite terrestre les troisième s corps sont la Lune, le Soleil, et les planètes.

De même que pour le potentiel central, des résonances entre les différentes fréquences en jeu peuvent conduire àdes évolutions complexes de l’orbite

L’influence de la Lune et du Soleil est importante lorsque le satellite est éloigné de la Terre. Elle devient déterminante pour les orbites très excentriques

( ) ( ) ( )( ) ( )**2

*222

Ω−Ω++−−−−+−+−=Ψ

mMjhl

hlMqplpllmphqj ωω


La composante principale est la pression directe due au Soleil

La pression due à la lumière rediffusée par la Terre (albedo) -représente 10 % du terme principal en orbite basse

L’émission infra-rouge thermique du satellite (faible mais permanente)

L’émission radio du satellite uniquement pour de fortes puissances)

Pression de radiation

La pression de radiation résulte du transfert de quant ité de mouvement entre photons et satellite


Le frottement atmosphérique est le résultat de l’in teraction du satellite avec les atomes de l’atmosphère encore présents à haute a ltitude (jusqu’à plus de 1000 km). Le frottement engendre principalement une force de tra inée de direction opposée à la vitesse (la composante de portance est très faible). Il a pour effet une décroissance du demi grand-axe (pe rte d’énergie).

Frottement atmosphérique

La densité de chacun des constituants diminue de façon exponentielle avec l’altitude La densité résiduelle à haute altitude est très sensible au chauffage de l’atmosphère par le Soleil: pic de densité vers 15h locale, cycle solaire à 11 ans, éruptions solaires


Les vraies équations du mouvement qui décrivent le mouvement des satellites sont celles de la Relativité Générale et non celles de la théorie Newtonienne

En pratique la Relativité Générale est traitée comme une perturb ation àla théorie Newtonienne qui se traduit par des forces supplémentaires (approximation post-Newtonienne)

Relativité Générale

Les corrections relativistes sont indispensables pour calculer les trajectoires dans le système solaire (précession du périgée des planètes notamment)

Pour un satellite en orbite basse, le plus gros impact de la relativitégénérale est un décalage de l’altitude d’environ 4 millimètres

( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]

( ) rR

JrJrrr

rrrrrr

RR

Rc

GM

rrc

GM

rGM

rc

GM

S

E

EE

××−

⋅+⋅×+

⋅+−=∆

332

232

32

3

2

44

3

2


La propulsion embarquée

Le principe de base des propulseurs spatiaux consis te en l’éjection de matière à haute vitesse (propulsion par réaction).La relation entre la masse d’ergol consommée et l’i ncrément de vitesse est donnée par l’équation de la fusée

−=∆

∆−sp0IgV

0 e1mm

L’impulsion spécifique Isp caractérise la performanc e du propulseur.

Les satellites utilisent 3 types de propulseurs pour les changements d’orbite Gaz froid: gaz stocké à haute pression avec

détendeur-régulateur; poussée 0,01 à 10 N / Isp50 à 170 s

Liquide: réaction de décomposition ou de combustion des ergols; poussée 5 à 500 N / Isp 280 à 340 s

Electrique: ionisation et accélération électrique d u fluide propulsif; poussée 0,02 à 0,3 N / Isp 1200 à 2500 s

propulseur à plasma SPT100


Les bases







Les satellites changent d’orbite en modifiant leur vitesse à l’aide de propulseurs (une poussée) La durée d’une poussée peut varier de la seconde à l’heure L’incrément de vitesse résultant d’une poussée peut varier du mm/s au km/s

La trajectoire du satellite est continue, donc l’or bite avant et l’orbite après la manœuvre ont nécessairem ent un point en commun Pour passer d’une orbite donnée à une orbite

quelconque sans intersection, il faut nécessairemen t au moins une orbite intermédiaire et donc plusieurs manœuvres

Le choix de l’orbite intermédiaire se fait en minimisant le coût global (somme des valeurs absolues des incréments de vitesse)



Seconde poussée

Première poussée


Effet des manœuvres courtes

( )( )

( )( )

( )( )

( ) W

WNT

W

NT

T

Viena

vr

Viena

virV

ve

veveVv

Ve

Vena

ri

Va

rVVVe

Ve

VVan

a

∆−

+=∆Ω

∆−

+−

∆

++++∆=∆

∆−

+=∆

∆−∆+=∆

∆=∆

sin1

sinsin1

sincos

cos1

coscos2sin2

11

cos

sincos21

2

2122

2122

2

2122

2

ω

ωω

νω vraieanomalie

mouvementmoyen

satellitedu vitesse

===

∆+∆+∆=∆

ν

n

V

wVnVtVV WNT

Lorsque la poussée est très courte on peut facileme nt en calculer l’impact à l’aide des équations de Gauss

On en déduit quelques règles simples: pour changer a ou e il faut pousser dans le plan, pour changer i ou ΩΩΩΩ il faut pousser hors plan il est plus efficace de corriger a là où la vitesse est maximale (périgée), de corriger i au nœud

( +νννν=0), de corriger ΩΩΩΩ à latitude élevée ( +νννν=90°°°°)


Changement d’excentricité

Une poussé tangentielle permet de changer l’excentri cité. Exemple: mise en orbite des satellites géostationnaires

i = 7 degT = 10,5 h

570 km

Earthi = 3,4 degT = 13 h

7360 km

DV1

i = 0,4 degT = 20,5 h

27650 km

DV2

i = 0 degT = 23,9 h

35620 km

DV3

Orbite initiale

Orbite finale

Orbites intermédiaires

Le transfert réel vers l’orbite géostationnaire implique au ssi un changement d’inclinaison


−≈∆2

sin2 121

iiVV

12 VV

≈i2

→2V

→∆V

Ligne des noeuds

Equateuri1

→1V

Le changement d’inclinaison se fait de façon optima le en poussant perpendiculairement au plan de l’orbite au nœud (as cendant ou descendant)

Cette manœuvre est très couteuse car les vitesses orbitale s sont très élevées. En orbite basse la vitesse est environ 7 km/s et il faut donc en viron 130 m/s pour corriger d’un degré !

C’est pour cette raison que les sites de lancement proches de l ’équateur sont très favorables: on ne peut injecter naturellement un satellite q ue sur une orbite d’inclinaison supérieure à la latitude du site de lancement, donc les fusées lancées depuis des sites à latitude élevée doivent consommer beaucoup d ’ergols pour réduire l’inclinaison lorsqu’elles visent l’orbite géostationnaire .

Changement d’inclinaison


( ) 1211

21 rrrr

r2V

µ−+

µ=∆

( ) 2212

12 rrrr

r2V

µ++

µ−=∆

Transfert à coût minimum entre deux orbites circulai res coplanaires

Comme il n’y a pas d’intersection entre les orbites il y a utilisation d’une orbite intermédiaire et deux poussées

Terre

∆V1

∆V2

Transfert de Hohmann


Les bases






Application au transfertentre planètes

Le transfert de Hohman donne une idée des conditions d’un transfert interplanétaire

Il faut que la planète de départ et la planète d’arrivée se trouvent au bon endroit au bon moment !

La géométrie planétaire fixe les créneaux de lancement

l’écart entre deux créneaux est la période synodique

21

21.

TT

TTP

−=

378399781584116Période (j)

SaturneJupiterMarsVénusMercurePlanète


Transferts interplanétaires réels

Dans la réalité les orbites des planètes ne sont ni circulaires ni coplanaires du fait de la différence de plans, le transfert

de Hohman est le plus couteux, et il existe deux transferts optimaux, l’un plus court, l’autre plus long que celui de Hohman

Du fait de l’excentricité de la planète de départ et de la planète d’arrivée certaines opportunités sont plus favorables que d’autres

Type IIType I Durée du transfert Terre-Mars

Type I : 6 à 7 moisType II: 10 à 12 mois


Le transfert complet

Le transfert complet comprend trois phases: L’échappée de la Terre Le transfert La capture autour de la

planète cible

La sphère d’influence est le lieu oùl’accélération centrale est comparable à l’accélération due au Soleil

L’énergie de la trajectoire de transfert est par construction supérieure à la vitesse de libération: à l’intérieur des sphères d’influence, dans les repères planétoc entriques, la trajectoire est hyperbolique


200 km

Sphère d’influence

Orbite autour du Soleil

Trajectoire hyperbolique( )rVV lib>

222libVVV −=∞

La sphère d’influence est loin (« à l’infini ») par rapport à la Terre

Toute trajectoire avec une vitesse initiale supérieure à la vitesse de libération est une hyperbole qui quitte la sphère d’influence

( )r

GMrVlib =

La vitesse finale autour du Soleil est la combinaison de la vitesse relative à la Terre et de la vitesse orbitale de la Terre

L’échappée de la Terre


Assistance gravitationnelle

Le principe de composition des vitesses conduit à de s effets intéressants lors des survols planétaires

V ∝a

V ∝d

V ∝a

V ∝d

La vitesse relative à la planète change de direction lors du survol, ce qui génère suivant les cas une augmentation ou une diminution de la vitesse absolue par rapport au Soleil

VP/*

ΔV

θ

L’angle de déflection se contrôle en jouant sur l’altitude du périapse

12

12

sin

−

∞

+=

GM

Vrpθ


Applications de l ’assistance gravitationnelle

Aller au-delà de Venus et de Mars avec un transfert direct requiert un incrément de vitesse au départ trop élevé pour le s lanceurs actuels (et un freinage à l’arrivée trop difficile à réaliser)

Deux solutions existent L’utilisation de la propulsion électrique sur le satellite, qui permet de

pousser très longtemps et donc d’augmenter petit à petit la vitesse L’assistance gravitationnelle qui permet d’augmenter la vites se

Ces deux solutions sont de plus en plus souvent com binées


Exemple: Voyager

Lancées en 1977 les sondes Voyager-1 et 2 tirent pr ofit d’un alignement optimal des planètes et de l’assistance gravitationnelle pour visiter Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune


Exemple: ROSETTA

Mission européenne d’étude de la comète 67P /Churyumov-Gerasimenko lancée le 2 mars 2004 par Ariane 5 ( v∞∞∞∞ = 3,5 km/s)

Croisière de 10 ans avec 4 assistances gravitationnelles à la Terre (2005, 2007, 2009) et à Mars (2007)

4 manœuvres en croisière (∆∆∆∆V = 204m/s) plus 2 manœuvres de rendez-vous ( ∆∆∆∆V = 1583m/s)

A titre d’exemple le 2 ème survol de la Terre (altitude 3350 km) a augmenté la vitesse de la sonde de 3,6 km/s soit l’équivalent de 2 tonnes d’ergols !


Exemple: BEPI-COLOMBO

Mission européenne d’étude de Mercure qui doit être lancée par Ariane 5 en 2015 ( v∞∞∞∞ = 3,5 km/s)

Utilise la propulsion électrique et les assistances gravitationnelles pour réduire la vitesse

Les deux survols de Venus suffisent pour abaisser le périgée au niveau de Mercure !

La première phase de la capture en orbite autour de Mercure est passive (sur une orbite 490 x 178 000 km) !


Capture passive

Certaines trajectoires venant des points de Lagrange et approchant la Terre (ou une autre planète) peuvent passer suffisamment prés pour que l’objet soit « capturé » et reste en orbite au moins pendant quelques orbites

Ce mécanisme est utilisé pour aider à la mise en orbite d’un satellite autour d’une planète sans avoir à fournir une grosse décélération: au lieu d’aller directement àla planète on vise un passage au voisinage d’un point de Lagrange

Particulièrement adapté au cas des poussées faibles (ex. SMART-1, BEPI-COLOMBO)

Transfert Terre-Lune SMART-1


Points de Lagrange

Cinq zones de l’espace où force de gravitation et force centr ifuge s’équilibrent

Force Centrifuge


Problème circulaire restreint à 3 corps

Modèle simplifié où:- Il n’y a que trois corps, les deux corps principaux (Soleil+Terr e ou

Terre+Lune) et le satellite- Le satellite a une masse négligeable- Les deux corps principaux ont un mouvement circulaire

Utilisé pour étudier la dynamique du satellite

i

j

m1 m2

msat

k

r

G

1ρ 2ρ

x

y

232

213

1

1 ρρ

ρρ

mGmmGmrm −−=

Etudié en détail à la fin du 19 ème siècle

Admet 5 points d’équilibre (Points de Lagrange)


Points de Lagrange

Les équations de Lagrange dans le repère tournant s ’écrivent

( ) ( )2

2

1

1222

2

1,,

ρρmm

yxnzyxU +++=

zU

yU

xU

z

xny

ynx

∂∂

∂∂

∂∂

==+=−

2

2

avec

L1 L2L3L5

Cinq extrema locaux3 points selle2 minima


Mouvement autour des extrema

Développement au premier ordre autour d’un extremum local E

zzz

yyy

xxx

E

E

E

~

~

~

+=+=+= ( ) ( )

( ) ( )

( )Ez

Uzz

Ey

UyEyxUxxny

ExyUyE

xUxynx

2

2

2

22

2

2

2

~~

~~~2~

~~~2~

∂∂=

∂∂+∂∂

∂=+∂∂

∂+∂∂=−

car ( ) ( ) 022

=∂∂∂=∂∂

∂ EzyUEzx

U

Il y a découplage du mouvement dans le plan et du m ouvement hors plan.

Le mouvement hors plan est périodiqueLe mouvement dans le plan dépend de la nature des v aleurs propres

(1 réelle + 1 imaginaire pour L1, L2 et L3, 2 réell es pour L4 et L5)


Mouvement autour de L1 et L2

Combinaison de deux mouvements périodiques, un hors plan et un dans le plan, et d’un mouvement divergeant => orbites quasi-périodiques, instables sur le long terme

La divergence est lente, il est donc possible de la compenser grâce à de très petites manœuvres(qq mm/s 2 fois par an)


Intérêt des points de Lagrange

Perturbations faibles, maintien de l’orbite peu cou teux en ergolsPas (ou peu) d’éclipses, très grande stabilité therm iqueVisibilité permanente avec la Terre pour transmettre les données

(mais loin ~50 fois la distance géostationnaire)

Source: ESA

Lieu idéal pour les missions d’astronomie: toutes les futures grandes missions d’astronomie iront au point de Lagrange L2


Comment y aller ?

Les orbites autour de L1 ou L2 étant naturellement instables, si on propage la trajectoire depuis tout point de ces orb ites on peut se retrouver n’importe où !


Comment y aller ? (suite)

Si on choisit des conditions initiales sur l’orbite de Lissajous qui mènent prés de la Terre, inversement on dispose d’une trajectoire qui mène de la Terre àcette orbite !

Il suffit de s’injecter sur cette orbite de transfert et de la suivre jusqu’à l’orbite cible !


Encore plus fort !

Les régions autour de L1 et L2 correspondant à des n iveaux d’énergie semblables on peut transiter de l’une vers l’autre … en étant très patients !

SunEarthL3

L4

L5

L1 L2


Exemple: GENESIS

Mission de collecte d’échantillons des particules constituant le vent solaire

A rejoint le point L1 avant de repartir vers L2 puis de revenir sur Terre

Calendrier:Lancement: 8 août 2001Insertion en orbite à L1: novembre 2001Quitte orbite en L1: avril 2004Passage par la Terre vers L2: mai 2004Retour sur Terre: 8 septembre 2004


Interplanetary Highways

Source: UniversitatPolitècnica de Catalunya

Des « sentiers » pour ceux qui ont peu de moyens et beaucoup d e temps !


Optimum local vs global

Les approches précédentes permettent de trouver des trajectoires optimales, mais il est souvent difficile de savoir s’il s’agit d’un optimum global. Exemple: le transfert depuis une orbite circulaire autour de la Terre vers une orbite circulaire autour de la Lune

Plusieurs solutions sont possibles: Hohman, transfe rts directs, avec survol, via les points de Lagrange, etc. Elles cond uisent toutes à des optimums différents.

Terre

∆V1

∆V2

Lune

Coût V= V1+ V2


Synth èse des transferts Terre-Lune

Source: F. Topputo IAC-11-C1.1.12

F. Topputo (Polit. Di Milano) a récemment (2011) exploré tous c es transferts dans le cadre du problème à 4 corps (Terre, Lune, Sole il, satellite) planaire bi-circulaire et les a classés en fonction de la durée et du coût.


Synth èse des transfertsTerre-Lune

Source: F. Topputo IAC-11-C1.1.12


Les bases







Le développement des missions spatiales a suscité des progrès rapides dans la maîtrise des techniques nouvelles 1957: 1er satellite en orbite (Spoutnik-1) 1959: 1er satellite atteignant la vitesse de libération (Luna -1)

1er satellite impactant la Lune (Luna-2) 1962: 1er survol de Venus (Mariner-2) 1965: 1er rendez-vous orbital (Gemini-6)

1er survol de Mars (Mariner-4) 1966: 1er atterrissage sur la Lune (Luna-9) 1967: 1ère capsule sur le sol de Venus (Venera-4) 1971: 1er orbiteur martien (Mariner-9)

1er atterrisseur martien (Mars-2) 1974: 1ère assistance gravitationnelle (Mariner-10 survol de V enus pour rejoindre

Mercure) 1977: 1er grand voyage interplanétaire (Voyager-1 & 2) 1978: 1er satellite sur une orbite de halo en L1 (Internation al Sun/Earth Explorer 3) 1995: début du grand tour de Galileo 1998: 1ère mission utilisant la propulsion électrique (Deep Spa ce 1)

sauvetage de Asia-Sat-3 en utilisant un transfert p ar la Lune 2001: 1er satellite sur une orbite de Lissajous en L2 (WMAP)

1er satellite exploitant les transferts à faible énergie (GENESIS)



L’Europe a progressivement rattrapé son retard et dispose maintenant de compétences de pointe dans le domaine de l’astrodynamique

GIOTTO (avec NASA) 1985 Comète de HalleyULYSSES (avec NASA) 1990 SoleilSOHO (avec NASA) 1995 Halo en L1MARS EXPRESS 2003 MarsSMART1 2003 Lune (poussée électrique) ROSETTA 2004 Comète 67P/CGVENUS EXPRESS 2005 VenusPLANCK 2009 Lissajous en L2HERSCHEL 2009 Halo en L2GAIA 2013 Lissajous en L2BEPI-COLOMBO 2015 Mercure (poussée électrique)SOLAR-ORBITER 2017 SoleilEUCLID 2019 Lissajous en L2JUICE 2022 Jupiter



Le coût très élevé des grandes missions spatiales, c ombiné avec la stagnation, voire la réduction, des budgets en Euro pe, entraine une baisse notable du nombre de projets complexes.

Dans le même temps, les missions d’observation de l a Terre et de navigation par satellite, assez simples sur le plan de la Mécanique Spatiale, se multiplient.

Les efforts en Mécanique Spatiale s’orientent souve nt aujourd’hui vers de nouveaux sujets « à la mode » qui sont perçus (proba blement à tort) comme pouvant déboucher sur des missions à court ter me: Le service en orbite La récupération de satellites morts, et leur désorbitation Le vol en formation, qui combine plusieurs satellites volant a proximité l’un

de l’autre pour remplir une mission


Quelques problèmes actuels

L’optimisation des transferts interplanétaires avec recherche automatique des séquences d’assistances gravitationn elles, avec ou sans propulsion électrique.

L’évolution à long terme des orbites des satellites morts qui gravitent autour de la Terre, et plus généralement, la modélisation de l’évolution statistique de la population des obj ets en orbite avec prise en compte des collisions.

La dynamique des objets à grand rapport surface sur masse, soit en relation avec le problème précédent, soit en relati on avec les voiles solaires.

La dynamique du problème planète + lunes + satellit e.


Pour en savoir plus

De nombreux ouvrages dont le livre de Mécanique Spa tiale du CNES chez Cepadues (un peu ancien sur certains sujets)

Beaucoup d’informations sur les sites Web des agenc es spatiales (CNES, ESA, NASA), dont le très bon www.jpl.nasa.gov/basics

Expérimenter par vous-même avec les fonctions de Mé canique Spatiale disponibles en SCILAB dans la bibliothèque CELESTLAB (contribution CNES) - voir www.scilab.org le mode demo permet d’obtenir des résultats sans efforts !

Résoudre les problèmes passés des Global Trajectory OptimizationCompetition (GTOC) www.esa.int/gsp/ACT/mad/index.html

Me contacter [email protected]

Documents

Présentation UnivEté Mécanique Spatiale - …maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/conference_2_jean-paul_berthias.pdf · dérive séculaire de la longitude du nœud ascendant (précess