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PH DUCHEMIN – 2017/2018
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Principes du Cours
Pas de démonstrations
Nombreux exercices
Différentes méthodes pour résoudre le même problème
Compréhension des principes financiers
Exemples:
Quel est le plus court
chemin entre le point A et
le point B en passant par
la ligne horizontale (L)?
A
B
LIGNE (L)
Comment déterminer le point X entre C et D optimum?
X C D
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Indice
A
B
Z
X D
Le plus court chemin entre 2 points est la ligne droite.
Si Z est le symétrique de B, par rapport à la ligne H, la distance XB est égale
à la distance XZ et BD=DZ.
Si le point X est retenu, la distance totale est égale à AX + XZ = AX + XB
Le problème consiste à obtenir la distance la plus courte possible en plaçant
X entre C et D
C
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Solution
Méthode:
Déterminer le point Z, symétrique de B par rapport à (L)
Prendre l’intersection X de la droite (AZ), avec la ligne (L)
Le plus court chemin est : (AX) et (XZ)
Preuve: la distance XB est égale à la distance XZ
Solution géométrique.
Chemin utilisé par un rayon lumineux.
A
B
Z
X D
Chemin optimum : A -> X ->Z
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Solution géométrique
A
B
Z
X D
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice – plus court chemin
Distance la plus courte pour aller du point A au point B
o Verre à eau cylindrique
o Hauteur: 15 cm
o Diamètre: 10 cm
Point A
o à 5 cm du haut du cylindre
o à l’extérieur du verre
Point B
o à 5 cm du haut du cylindre
o Diamétralement opposé à A (par rapport à l’axe du verre)
o à l’intérieur du verre
Quelle est en cm, la distance du plus court chemin entre A et B
A
B
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Plus court chemin
o Solution: développons le cylindre
5 π
10 π
5 cm
5 cm
Distance de A à B:
102 + (5. π)2
= 18,62 cm A
B
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Modèle Binomial: les taux
Transformation des taux d’intérêt
Données:
Le taux d’intérêt annuel: R
Le taux d’intérêt de la période: r
La durée totale T en années (nombre décimal).
Le nombre de périodes: n
Etapes:
Durée de la période: t = T / n
Formule de conversion:
Les formules de p et q, utilisent le taux période T: (1+R)
c: taux d’intérêt continu
nT rR )1()1(
cttnT eRRr )1()1()1( /
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Chemins Aléatoires
Calculer le nombre de chemins « monotones », pour aller de A (coin
inférieur gauche), à B (coin supérieur droit).
Chemin monotone: chemin ne revenant jamais en arrière: uniquement des
mouvement à droite et vers le haut.
Et dans un rectangle de largeur m et de hauteur n:
n = 3 n = 4
A
B
A
B
A
B m = 7 et n = 4
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Chemins Aléatoires - solutions
La longueur totale du chemin est égale à 2.n pour le carré et m.n pour le
rectangle.
Le choix d’un chemin consiste à choisir les mouvements vers le haut ou
vers la droite (dans l’un ou l’autre cas, on obtient le même résultat)
Solution: choisir n parmi 2n, ou choisir m parmi m.n
Solutions:
n = 3 n = 4
A
B
A
B
A
B m = 7 et n = 4
n
2.n
n
nm
m
nm
n Chemins
1 2
2 6
3 20
4 70
5 252
6 924
7 3432
8 12870
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Marche Aléatoire
Aller du point A( m, a) au point B( n, b) avec une suite de nombres pris
dans { -1 , 1 }, par exemple (1 1 -1 -1 -1 1 1 -1) = xi
Les caractéristiques d’une MA sont sa longueur (m-n) et sa somme S = S
xi = (b-a) Principe de réflexion
(
A B
A
B
1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1
1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1
#(m,a)->(n,b)/0 = #(m,a)->(n,-b)
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Chemins Aléatoires Contraints
Calculer le nombre de chemins « monotones », pour aller de A (coin
inférieur gauche), à B (coin supérieur droit) sans traverser la diagonale
et en restant « sous la diagonale ».
Cela revient à calculer le nombres de chemins dans l’arbre binomial qui
partent de zéro pour arriver à zéro, après 2n étapes, sans devenir négatif.
n = 3 n = 4
A
B
A
B
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Nombres de Catalan
Résultat: les nombres de Catalan:
Suite OEIS A000108:
n = 3 n = 4
A
B
A
B
n
n.2.
1n
1Cn
n Chemins Cn
1 2 1
2 6 2
3 20 5
4 70 14
5 252 42
6 924 132
7 3432 429
8 12870 1430
nombre de chemins non négatifs de (0,0) à (n,0)
nombre d’arbres binaires avec racine
nombre de « paires de parenthèses »
nombre de « montagnes »
nombre de « triangulations » d’un polygone
nombre de partitions « non croisées »
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Triangle de Catalan
Triangle de Catalan, nombre de chemins non négatifs avec « décalage »
Chaque case est la somme du dessus et de gauche
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 3 5 5 0 0 0 0 0 0 0
1 4 9 14 14 0 0 0 0 0 0
1 5 14 28 42 42 0 0 0 0 0
1 6 20 48 90 132 132 0 0 0 0
1 7 27 75 165 297 429 429 0 0 0
1 8 35 110 275 572 1001 1430 1430 0 0
1 9 44 154 429 1001 2002 3432 4862 4862 0
1 10 54 208 637 1638 3640 7072 11934 16796 16796
𝐶 𝑛; 𝑘 =𝑛 + 1 − 𝑘
(𝑛 + 1) + 𝑘𝑛 + 1 + 𝑘
𝑘 𝐶 𝑛 − 1; 𝑘 =
𝑛 − 𝑘
𝑛 + 𝑘𝑛 + 𝑘𝑘
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Arbre du Premier Passage
1 1
1
1 1
1
1 2
3 4
2 5
9
1 1
5 6
14
5
14
28
14
20
7
1
S
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Call
Pay-off: modèle Monte Carlo:
CALL = MAX( S-K , 0 ) à l’échéance
Formule analytique
:
Formule binomiale
inin
wcin
inin
wci
qpi
n
r
KSqp
i
nCall
..
)1(*.*.
Kr T
dNSdNall
)1(
)()(C 2
1
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Option digitale à barrière
Formule de pricing de l’option digitale à barrière UI (up et in)
Recherche de l’équivalent binomial !
2
)1(2
2 yNS
LxNeUI rT
t2
1
t
t).rr(
t
)L
Sln(x fd
2
t
2
1
t
t).rr(
t
)S
Lln(y fd
2
t.
2/t.t).rr(2)1.(2
2
2fd
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Passage au logarithme
Construction de l’arbre ln(S) à partir de S
Equidistance des intervalles entre les états adjacents
Ecart égal à ln(u) – ln(d) = ln(u/d)
Valeur maxi: S.n.ln(u)
Valeur mini: S.n.ln(d)
)dln().in()uln(.i)Sln()Sln( i
inii d.u.SS
)d/uln(.i)dln(.n)S/Sln( i
ln(u/d)
))(S.d /ln(Sii
n
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Bornes Arbre Binomial
Option CALL européenne: pay-off = (S>K).(S-K)
Option PUT européenne: pay-off = (S<K).(K-S)
Le call revient à prendre la partie supérieure de l’arbre binomial
Le put revient à prendre la partie inférieure de l’arbre binomial
Calcul de l’indice w, à partir duquel la sommation est effectuée
Cet indice w, correspond à la valeur du prix d’exercice K
Wc= arrondi.sup(w)
Wp=arrondi.inf(w)
wp+wc=n-1 𝑤 =ln
𝐾𝑆
− 𝑛. ln(𝑑)
ln(𝑢/𝑑)
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 01-03
Marché : u=2, d=1/2, R=1/4, S=4,
Instrument: Call avec prix d’exercice: K=5, Durée: T= 1 an
Modèle; N=6 - pas de calcul: 2 mois = 1/6 = 0,1666 an
Calcul du taux période
Arbre des probabilités
Calcul des probabilités RN: p et q
Calcul des probabilités à maturité
Calcul du nombre de chemins avec le coefficient binomial
Vérifier que sur la somme des probabilités est égale à l’unité
Arbre des prix
Calculer les valeurs finales
Calculer le pay off final de l’option
Valorisation
Calculer la valeur de l’option
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 01-03- Correction
Marché : u=2, d=1/2, R=1/4, S=4, n=6
Instrument: K=5 T=1
Durée: 1 an = 6 périodes
Calcul du taux période
1+r = (1+R)^(1/6) = (1+0,25)^(1/6) = 1,0379 alors r = 3,79%
p= (1,0379 – 0,5) / (2-0,5) = 0,3585 et q=0,6414
Probabilités Chemins P finale
1 0,358594 0,128590 0,046111 0,016535 0,005929 0,002126 1 0,002126
0 0,641406 0,230004 0,082478 0,029576 0,010606 0,003803 6 0,022819
0 0,000000 0,411402 0,147526 0,052902 0,018970 0,006803 15 0,102040
0 0,000000 0,000000 0,263876 0,094624 0,033932 0,012168 20 0,243354
0 0,000000 0,000000 0,000000 0,169251 0,060693 0,021764 15 0,326460
0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,108559 0,038929 6 0,233571
0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,069630 1 0,069630
1,000000
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 01-03 - Correction
S(6)
PayOff
Call
Nb de
Chemins Probabilité Probabilité
Valeur à
t=6
Pay Off
Put
6 256 251 1 0,002126 0,00213 0,5337 0
5 64 59 6 0,003803 0,02282 1,3463 0
4 16 11 15 0,006803 0,10204 1,1224 0
3 4 0 20 0,012168 0,24335 0,0000 1
2 1 0 15 0,021764 0,32646 0,0000 4
1 0,25 0 6 0,038929 0,23357 0,0000 4,75
0 0,0625 0 1 0,069630 0,06963 0,0000 4,9375
chemins: 64 1,0000 3,0025 3,0025
chemins: 64 2,4020
Marché : u=2, d=1/2, R=1/4, S=4, n=6
Instrument: Call avec prix d’exercice: K=5
w(inf) = ln(K / (S . d^n)) / ln(u/d) = 3,08 donc wc=4 et wc*=2
W(sup) = ln(S . u^n / K) / ln(u/d) = 2,91 donc wp=3
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Double Digital Option
Double Digitale (DDO): avec K1<K2.
Pay-off : si K1 < S < K2 pay-off = M sinon 0
o Achat ou Vente
o Complément: non(K1 < S < K2) = S > K1 ou S > K2
o Option TOR ou COR
K1 K2
2
1
.)1(
w
wi
ini
npq
i
n
r
MDDO
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Changement de probabilité
Terme avec pay-off constant: Put TOR
Terme avec pay-off égal à ST put COR
avec
On retrouve la même formule que précédemment avec K actualisé
remplacé par S, et (p,q) remplacé par (p*,q*) –
C’est un changement de probabilité
iniw
in
qpi
n
r
K
...
)1( 0
)(0 )1.()1(
)..().(..
ini
iniw
i rr
dqup
i
nS
iniw
i
qpi
nS
*).(*).(.
0
iniiniw
i
qpduSi
n
r
).()().().(.
).1(
1
0
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Formules Binomiales d’Options
Valorisation des options Call et Put par le modèle binomial:
CALL
PUT
)0,Kd.u.Smax(q.p.i
n
)r1(
1CALL iniini
n
0in
)0,d.u.SKmax(q.p.i
n
)r1(
1PUT iniini
n
0in
inin
wcin
inin
wciq.p.
i
n
)r1(
KS*q.*p.
i
nCALL
iniwp
0in
iniwp
0iq.p.
i
n
)r1(
KS*q.*p.
i
nPUT
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Code VBA – BinomialUDR
Function BinomialUDR (PC, S, K, u, d, R, T, n)
Dim dt As Double, taux As Double, bin As Double, p As Double
Dim wc As Integer, i As Integer
dt = T / n
taux = (1 + R) ^ dt
p = (taux - d) / (u - d)
bin = 0
wc = Ceiling(Log(K / S / d ^ n) / Log(u / d), 1)
Select Case PC
Case "call":
For i = wc To n
bin = bin + COMB(n, i) * p ^ i * (1 - p) ^ (n - i) _
* (S * u ^ i * d ^ (n - i) – K)
Next i
Case "put":
For i = 0 To (wc - 1)
bin = bin + COMB(n, i) * p ^ i * (1 - p) ^ (n - i) _
* (K - S * u ^ i * d ^ (n - i))
Next i
End Select
BinomialUDR = bin / (1 + taux) ^ n
End Function
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 01-04
Marché : S=100 u=1,10 d=0,95 R=2%
Instrument: prix d’exercice: K = 105 durée: T=2 ans
Données: simulation avec n=21 pas
1 - Calculer: le taux d’intérêt de la période, les probabilité RN
2 - Produire l’arbre binomial du sous-jacent
3 - Produire l’arbre binomial des probabilités
4 - Calculer la valeur Wc pour le call et Wp pour le put, avec un K=105
5 - Calculer la valeur du call et du put
6 - Retrouver ces valeurs avec le programme VBA
7 - Donner une expression générale du Call à l’aide de la fonction
LOI.BINOMIAL d’Excel
8 – Faire varier le nombre de pas: n – identifier la limite pratique de calcul
sur n (en trouver la cause)
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Exercice 01-04 - Correction
S=100, u=1,10 d=,95 n=21, R=2%, T=2
ans
Instrument: Call Tout ou Rien avec
K=105 et S = 100 euros
n=21
1+r = 1,001888
DF = (1+r)^n = 1,0404
p = 0,3459 p* = 0,3798
q = 0,6541 q* = 0,6202
w = 7,6802
wc = 8 wp=7
wc* = 13
VF Call = 13,0660, Call = 12,5586
VF Put = 14,0260, Put = 13,4813
Relation de Parité : S – K/(1+r)^n
A=LOI.BINOMIALE(13;21;0,6541;1) = 0,4476
B=LOI.BINOMIALE(13;21;0,6202;1) = 0,5775
C=LOI.BINOMIALE(7;21;0,3459;1) = 0,5524
D=LOI.BINOMIALE(7;21;0,3798;1) = 0,4225
call:
B 100 - A . 105 / DF
= 57,7429 – 45,1843 = 12,5586
put:
-(1-B) 100 + (1-A) . 105 / DF
= -42,2571 + 55,7385 = 13,4813
call put
21 12,5586 13,4813
50 19,2399 20,1627
100 27,1016 28,0243
200 37,6751 38,5978
500 56,3893 57,3120
1000 72,9909 73,9136
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Modèle Binomial - Calibration
Recherche de u et d en fonction de la volatilité de l’actif
risqué: .
Modèle CRR:
Modèle Jarrow Rudd , avec p=q=0.5
Modèle Rendlemann Barter, avec p=q=0.5
n/Teu n/Ted
n/Tn
T).
2
2(
eu
n/T
n
T).
2
2(
ed
n/Tn
T).2(
eu
n/T
n
T).2(
ed
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Code VBA – BinomialCRR
Function BinomialCRR (CP As String, S As Double, K As Double, T As Double, _
R As Double, vol As Double, n As Long) As Double
Dim dt As Double, taux As Double, bin As Double, p As Double
Dim wc As Integer, i As Integer, u As Double, d As Double
Dim binp As Double, binpp As Double, pp As Double
dt = T / n
taux = (1 + R) ^ dt
u = Exp(vol * Sqr(dt))
d = 1 / u
p = (taux - d) / (u - d)
pp = p * u / taux
bin = 0
wc = Application.Ceiling(Abs(Log(K / S / d ^ n) / Log(u / d)), 1)
Select Case CP
Case "call":
binp = BINO(n - wc, n, 1 - p)
binpp = BINO(n - wc, n, 1 - pp)
BinomialCRR = (S * binpp - K * binp / taux ^ n)
Case "put":
binp = BINO(wc - 1, n, p)
binpp = BINO(wc - 1, n, pp)
BinomialCRR = (-S * binpp + K * binp / taux ^ n)
End Select
End Function
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Simulations n=4
-1 8 4 2 1 8 4 2 1
0 0000 -1 -1 -1 -1 0 -1 -2 -3 -4
1 0001 -1 -1 -1 1 0 -1 -2 -3 -2
2 0010 -1 -1 1 -1 0 -1 -2 -1 -2
3 0011 -1 -1 1 1 0 -1 -2 -1 0
4 0100 -1 1 -1 -1 0 -1 0 -1 -2
5 0101 -1 1 -1 1 0 -1 0 -1 0
6 0110 -1 1 1 -1 0 -1 0 1 0
7 0111 -1 1 1 1 0 -1 0 1 2
8 1000 1 -1 -1 -1 0 1 0 -1 -2
9 1001 1 -1 -1 1 0 1 0 -1 0
10 1010 1 -1 1 -1 0 1 0 1 0
11 1011 1 -1 1 1 0 1 0 1 2
12 1100 1 1 -1 -1 0 1 2 1 0
13 1101 1 1 -1 1 0 1 2 1 2
14 1110 1 1 1 -1 0 1 2 3 2
15 1111 1 1 1 1 0 1 2 3 4
MINIMUM
FIN Level -4 -3 -2 -1 0
4 1 0 0 0 0 1 1
2 4 0 0 0 1 3 4
0 6 0 0 1 3 2 6
-2 4 0 1 3 0 0 4
-4 1 1 0 0 0 0 1
1 1 4 4 6 16
MAXIMU
M
0 1 2 3 4
4 1 0 0 0 0 1 1
2 4 0 0 3 1 0 4
0 6 2 3 1 0 0 6
-2 4 3 1 0 0 0 4
-4 1 1 0 0 0 0 1
6 4 4 1 1 16
PH DUCHEMIN – 2017/2018
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Simulations n=6 MINIMUM
FIN Level -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
6 1 0 0 0 0 0 0 1 1
4 6 0 0 0 0 0 1 5 6
2 15 0 0 0 0 1 5 9 15
0 20 0 0 0 1 5 9 5 20
-2 15 0 0 1 5 9 0 0 15
-4 6 0 1 5 0 0 0 0 6
-6 1 1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 6 6 15 15 20 64
MAXIMUM
0 1 2 3 4 5 6
6 0 0 0 0 0 0 1 1
4 0 0 0 0 5 1 0 6
2 0 0 9 5 1 0 0 15
0 5 9 5 1 0 0 0 20
-2 9 5 1 0 0 0 0 15
-4 5 1 0 0 0 0 0 6
-6 1 0 0 0 0 0 0 1
20 15 15 6 6 1 1 64
64 44 29 14 8 2 1
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Distribution du Maximum
Résultats sur la répartition du maximum
Hypothèse fondamentale: « arbre horizontal », donc u.d=1.
afin d’avoir un nombre limité de valeurs dans l’arbre
Les valeurs possibles sont les valeurs supérieures ou
égales à l’origine:
- à T=n , dernière période
- à T=n-1 , avant dernière période
soit au total:
si n est pair (n=2i) : i+1 états à n, i états à n-1, total 2i+1 états
si n est impair (2i+1) : états à n, i états à n-1, total 2i
Si u.d=1, la distribution correspond au double de la
distribution binomiale.
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Résultat empirique:
En triant les valeurs maximales par ordre
décroissant, en alternant les valeurs à T=n
(u+d=n), et les valeurs à T=n-1 (u+d=n-1)
Distribution avec les coefficients du binôme
doublé
Le total est bien égal à la somme des
chemins, soit 2n
(repli du triangle de pascal par rapport
à sa médiane).
Distribution du Maximum
Max n=6
u d nombre
6 0 1
5 0 1
4 1 6
3 1 6
2 2 15
1 2 15
0 3 20
64
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LookBack - valorisation
Fixed Strike LookBack: call
pay-off (Smax-K)*(Smax>K)
K est fixe à un niveau entre 2 et 3
MAXIMUM
0 1 2 3 4 5 6
6 1 0 0 0 0 0 0 1
4 6 0 0 0 0 5 1 0
2 15 0 0 9 5 1 0 0
0 20 5 9 5 1 0 0 0
-2 15 9 5 1 0 0 0 0
-4 6 5 1 0 0 0 0 0
-6 1 1 0 0 0 0 0 0
64 20 15 15 6 6 1 1
64 44 29 14 8 2 1
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Digitale à Barrière
Autrement dit:
A l’origine, nous avons obligatoirement: S0>L
option DI
option DO
DI+DO=(1+R)^T
A l’origine, nous avons obligatoirement: S0<L
option UI
option UO
UI+UO=(1+R)^T
L)t(S,T,0t,t
L)t(S,T,0t,t
L)t(S,T,0t,t
L)t(S,T,0t,t L T
S0
L
T S0
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Pricing Digitale à Barrière
Niveaux de barrière: hypothèse forte: « arbre horizontal »,
avec u.d=1, afin d’avoir un nombre limité de valeurs dans
l’arbre
Les valeurs possibles des niveaux sont
- à T=n , dernière période
- à T=n-1 , avant dernière période
soit au total,
si n est pair (n=2i) : i états à n, i états à n-1, total 2i=n
si n est impair (2i+1) : (i+1) états à n, i états à n-1, total
2i+1=n
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Indices dans l’arbre des prix
Calcul de l’indice l et l’, des barrières L et L’, avec LL’=SS
W(K), correspond à K, à partir de S min
l(L), correspond à K, à partir de S0
𝑤 =ln
𝐾𝑆
− 𝑛. ln(𝑑)
ln(𝑢/𝑑)
𝑙(𝐿) =ln
𝐿𝑆
ln(𝑢) 𝑙 𝐿′ =
ln 𝑆/𝐿
ln 𝑢= −𝑙(𝐿)
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Option Barrière
Comptage des chemins qui franchissent
la barrière (L) à un instant t<T.
Ces chemins se regroupent en 2 ensembles:
-ceux qui se terminent au dessus de (L): NSUP
-ceux qui se terminent en dessous de (L): NINF
PRINCIPE DES MIROIRS;
Ces 2 ensembles contiennent autant de chemins
A chaque chemin se terminant au dessus de
(L) est associé un chemin se terminant en
dessous.
S
L
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Option Barrière - Miroir
Le symétrique d’un chemin est obtenu à partir de l’instant du premier
franchissement de la barrière.
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Option Barrière - Pricing
Après le comptage des chemins, il faut
caler ces chemins par rapport
aux probabilités de la loi binomiale.
On reprend l’arbre des probabilités défini
précédemment
Le sous ensemble des chemins NSUP,
correspond exactement à un CALL
Le sous ensemble des chemins NINF,
est décalé vers l’autre extrêmité
de l’arbre pour correspondre à un PUT
Cette translation va de L à son symétrique L’
par rapport à S: L:L’ = S.S
et correspond à un décalage de (p/q)^l(L)-l(L’)
S
L
L’=SS/L
CALL
PUT
PUT
inii q.p
i
nP
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Options Digitales Barrières
Méthode Classique horizontale
Option UI égale à la somme de 2 options classiques:
CALL sur les chemins se terminant au dessus de (L) égale à
une option digitale classique de type COR ou TOR
PUT sur les chemins terminant en dessous de (L) égale à
une options digitale classique de type COR ou TOR sur
laquelle est appliqué un facteur multiplicateur pour tenir
compte du décalage de probabilité.
)p,n,wp(BINO.)q/p()p,n,wcn(BINOUI
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Règles d’application
o Cas, barrière > 0.5 : pas de symétrie (pic)
pas de symétrie: nombre de chemins décroissant après le
maximum
nombre de chemins pour le call: de 0 à wc
nombre de chemins pour le put: de 0 à wc-1
décalage pour le put: 2*wc – n
o Cas, barrière < 0.5 : symétrie totale (palier)
Symétrie: nombre de chemins identique de chaque coté de la
barrière
nombre de chemins pour le call: de 0 à wc
nombre de chemins pour le put: de 0 à wc
décalage pour le put: 2*wc – n - 1
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Code VBA – BinomialBarBinaire Function BinomialBarBinaire (Ctype As String,S As Double,L As Double,T As Double,R As Double, F As
Double, vol As Double, n As Long)
Dim dt As Double, taux As Double, u as double, d as double, binc As Double, binp As Double
Dim w As Double, wp As Double, wc As Double, i As Integer, alpha As Double
dt = T / n
taux = ((1 + R) / (1 + F)) ^ dt
u = Exp(vol * Sqr(dt))
d = 1 / u
p = (taux - d) / (u - d)
binc = 0
binp = 0
w = Abs(Log(L / S / d ^ n) / Log(u / d))
If (w - Int(w)) > 0.5 Then alpha = 1 Else alpha = 0
Select Case Ctype
Case "ui" , "uo" :
wc = Int(w) + 1
wp = n - wc - alpha
Case "di", "do " :
wp = Int(w)
wc = n - wp - alpha
End Select
binc = BINO(n - wc, n, 1 - p)
binp = BINO(wp, n, p)
Select Case Ctype
Case "ui": BinomialBarBinaire = binc + binp * (p / (1 - p)) ^ (2 * wc - n - 1 + alpha)
Case "uo": BinomialBarBinaire = 1 - binc - binp * (p / (1 - p)) ^ (2 * wc - n - 1 + alpha)
Case "di": BinomialBarBinaire = binp + binc * ((1 - p) / p) ^ (2 * wc - n - 1 + alpha)
Case "do"":BinomialBarBinaire = 1 - binp - binc * ((1 - p) / p) ^ (2 * wc - n - 1 + alpha)
End Select
BinomialBarBinaire = BinomialBarBinaire / taux ^ n
End Function
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Classification
Classement selon l’activation: option « in » et « out »
Options “IN”: à l’origine, l’option est désactivée et devient activée
Options “OUT”: à l’origine, l’option est activée et devient désactivée
Classement selon la position de la barrière
si L < S0 : option « Down », mouvement à la baisse
si L > S0 : option « Up », mouvement à la hausse
Classement selon le mode de paiement
Paiement cash (COR) ou asset (TOR)
Cela génère 2.2.2 = 8 types d’options différentes: DI DO UI UO x
COR/TOR
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Digitale à Barrière at Hit
Dans le cas des options IN, on distingue le temps à maturité T et le temps
« at hit », noté t, non connu d’avance, qui correspond au PREMIER
moment de franchissement de la barrière:
Définition du temps d’arrêt:
En cas de franchissement, le paiement peut prendre 3 formes différentes:
Options COR:
paiement du montant unitaire à T, déjà compté précédemment
paiement du montant unitaire à t : DI* et UI* COR
Options TOR:
paiement du montant S(T) à T, déjà compté précédemment
paiement du montant S(t) à T: DI* et UI* TOR
paiement du montant S(t) à t: DI** et UI** TOR
Cela produit 6 types d’options supplémentaires
L)t(S,T,0tmin)up( L)t(S,T,0tmin)down(
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Option Barrière - Binomial
Exemple avec n=4 et L=premier niveau up
« Hit »: 10 sur 16
Premier « hit » à
T= 1 8 soit 1 x 23
T= 3 2 soit 2 x 21
Total = 10
k comb hit 1 3
4 1 1 1
3 4 4 3 1
2 6 4 3 1
1 4 1 1 0
0 1 0 0
16 10 8 2
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Option Barrière - Binomial
Exemple avec n=6 et L= premier niveau up
« Hit »: 44 sur 64
Premier « hit » à
T= 1 32 soit 1 x 25
T= 3 8 soit 1 x 23
T= 5 4 soit 2 x 21
k comb hit 1 3 5
6 1 1 1
5 6 6 5 1
4 15 15 10 3 2
3 20 15 10 3 2
2 15 6 5 1
1 6 1 1
0 1 0
64 44 32 8 4
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Option Barrière - Binomial
Exemple avec n=6 et L= second niveau up
« Hit »: 29 sur 64
Premier « hit » à
T= 2 16 soit 1 x 24
T= 4 8 soit 1 x 22
T= 6 5 soit 5 x 20
k comb hit 2 4 6
6 1 1 1
5 6 6 4 2
4 15 15 6 4 5
3 20 6 4 2
2 15 1 1
1 6 0
0 1 0
64 29 16 8 5
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Distribution du temps d’arrêt
Définition du temps d’arrêt:
Distribution:
Chaque chemin franchissant la barrière, passe
nécessairement par un point de premier passage.
Cela permet de regrouper tous ces chemins en groupes
associés aux points de premier passage noté Pi.
Ces points sont situés sur la barrière:
TD: temps du premier passage (temps départ)
TM=n-TD : longueur de la barrière (temps maturité)
Pi = TD + 2*i : espacement de 2 unités entre chaque Pi
L)t(S,T,0tmin)up( L)t(S,T,0tmin)down(
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Calcul des Chemins
Comptage des chemins entrant et sortant de chaque point
de passage Pi:
Avec:
TD=temps de départ de la barrière
TPi = TD + 2*i: temps de passage à Pi
TMi =N-TPi: durée à maturité du point Pi
Nombre de chemins arrivant POUR LA PREMIERE FOIS
en Pi:
Catalan(TD+2*i,i-1)
Nombre de chemins sortant de Pi: 2^(TMi)
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Binomial à Barrière Digital
Identifier le niveau Li immédiatement supérieur à la barrière
Faire la liste de tous les premiers temps de passage sur ce niveau: Pi
Calculer le temps de premier passage: TD
Calculer le nombre de chemins arrivant sur chaque Pi
Calculer le nombre de chemins partant de chaque Pi
Calculer la probabilité d’arriver à chaque nœud
Sommer les différents éléments
Actualiser
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Arbre du Premier Passage
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
2
5
9
1
1
5
6
14
5
14
28
14
20
7
1
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Pricing Binomial – Exo 03-01
Marché : vol=20%, R=2%, S=4, n=6, T=1an
Instrument: Barrière: L=4,2
• Calculer le prix d’un option digitale barrière: UI et UO par la
méthode 1 dite Verticale
• Génération une liste des chemins possibles
• Calcul de la valeur finale et du maximum
• Calcul du pay-off: identifier les valeurs maximales supérieures à la
barrière pour l’option UI
• Calcul des probabilités finales de chaque chemin en identifiant le
nombre de u et de d
• Calcul de l’espérance
• Option UI: prendre les chemins qui touchent la barrière
• Option OI: prendre les chemins qui ne touchent pas la barrière
• Actualisation
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
3-01: Binomial à Barrière Digital - Réponses
11 UI
S(0) S(0) S(1) S(2) S(3) S(4) S(5) S(6) MAX hit u proba q 0,68725
4 4,0000 4,3403 4,7096 5,1102 5,5450 6,0167 6,5286 6,5286 1 6 0,0156 0,01559
4 4,0000 3,6864 4,0000 4,3403 4,7096 5,1102 5,5450 5,5450 1 5 0,0156 0,01560
4 4,0000 4,3403 4,0000 4,3403 4,7096 5,1102 5,5450 5,5450 1 5 0,0156 0,01560
proba hit produit no hit cumul cumul décalage
décompositi
on
1 0,015591 1 0,01559 0 0,0156 1,0000 0,0156
6 0,015603 6 0,09362 0 0,1092 0,9844 0,0936
15 0,015614 15 0,23421 0 0,3434 0,8908 0,2342
20 0,015625 15 0,23437 5 0,6559 0,6566 0,2344
15 0,015636 6 0,09382 9 0,8905 0,34409 0,999283 0,0938
6 0,015647 1 0,01565 5 0,9843 0,1095 0,999283 0,0156
1 0,015659 0 0 1 1,0000 0,0157 0,999283
64 44 0,68725 0,31275 0,68725
64 1,00 UI UO call 0,34341 0,34341
put 0,34384 0,34384
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
3-01: Binomial à Barrière Digital - Réponses
Calcul de l’option UI « at maturity): 0,67378
Calcul de l’option UI « At Hit »: 0,68335
départ t 2^t proba produit at hit
1 5 32 0,4998 0,49982 0,9967 -1
1 3 8 0,1250 0,12496 0,9901 -3
2 1 2 0,0312 0,06248 0,9836 -5
44 0,68725
0,67378 0,68335
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 03-02 Binomial à Barrière Digital
Marché: =10%, R=2% , S=100
Produit: Barrière UI et UO à L=115, T=2ans
Méthode: arbre binomial avec n=21
Refaire l’exercice précédent, selon les 2 dernières méthodes (la première méthode n’étant pas applicable avec n=21)
Question complémentaire: calculer l’option avec L=110.
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 03-02 : Correction
Marché: =10%, R=2% , S=100
Produit: Barrière UI et UO à L=115,
T=2ans, n=21 r=0,189%
DF=0,9611
u=1,0313 d=0,9696
p=0,5228 q=0,4771
S0=52,30, S21=191,18
L=115 wL= 12,76 wp=12, indice supérieur à 12,5
L’= 86,95 wL’=8,24 wp’=8
Chemins: 600370 / 2^21 = 28,63%
V1 = 0,3553, UI = 0,3415
call = B(8,21,q,1)=0,2545
put = B(7,21,p,1)=0,0638 et décalage (p/q)^5 = 1,5803
V1 = (0,2545 + 0,0638*1,5803)*0,9611=0,3415
S21 hit no hit
21 191,186 1 0
20 179,742 21 0
19 168,984 210 0
18 158,869 1330 0
17 149,360 5985 0
16 140,420 20349 0
15 132,015 54264 0
14 124,113 116280 0
13 116,684 203490 0
12 109,700 116280 177650
11 103,134 54264 298452
10 96,961 20349 332367
9 91,157 5985 287945
8 85,701 1330 202160
7 80,572 210 116070
6 75,749 21 54243
5 71,215 1 20348
4 66,952 0 5985
3 62,945 0 1330
2 59,177 0 210
1 55,635 0 21
0 52,305 0 1
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 03-02 - correction
Marché: =10%, R=2% , S=100
Produit: Barrière UI et UO à L=115,
T=2ans, n=21
Méthode par temps d’arrêt
Temps de passage à la barrière:
Calcul de l'option
départ probabilité 5 at hit
1 0,03908 0,039080 0,990614
5 0,00975 0,048747 0,986885
20 0,00243 0,048645 0,983170
75 0,00061 0,045510 0,979468
275 0,00015 0,041630 0,975781
1001 0,00004 0,037804 0,972107
3640 0,00001 0,034295 0,968447
13260 0,00000 0,031168 0,964801
48450 0,00000 0,028411 0,961169
0,35529
0,34149 0,34719
départ Catalan t:fin 2^t produit
P1 5 1 16 65536 65536
P2 7 5 14 16384 81920
P3 9 20 12 4096 81920
P4 11 75 10 1024 76800
P5 13 275 8 256 70400
P6 15 1001 6 64 64064
P7 17 3640 4 16 58240
P8 19 13260 2 4 53040
P9 21 48450 0 1 48450
600370
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Triangle de Catalan
Triangle de Catalan, nombre de chemins non négatifs avec « décalage »
Chaque case est la somme du dessus et de gauche
b
ba
ba
ba
k
kn
kn
kn
nk
knknC
kn
)1(
)1(
)1(
)!1()!(
)1()!(
Somme 1
2 1 1
5 1 2 2
14 1 3 5 5
42 1 4 9 14 14
132 1 5 14 28 42 42
429 1 6 20 48 90 132 132
1430 1 7 27 75 165 297 429 429
4862 1 8 35 110 275 572 1001 1430 1430
16796 1 9 44 154 429 1001 2002 3432 4862 4862
58786 1 10 54 208 637 1638 3640 7072 11934 16796 16796
PH DUCHEMIN – 2017/2018
PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 03-02 : Correction
Marché: =10%, R=2% , S=100
Produit: Barrière UI et UO à L=112
T=2ans, n=21 r=0,189%
DF=0,9611
u=1,0313 d=0,9696
p=0,5228 q=0,4771
S0=52,30, S21=191,18
L=112 wL= 12,34 wp=12, indice inférieur à 12,5
L’= 89,28 wL’=8,24 wp’=8
Chemins: 803860/ 2^21 = 38,33%
V1 = 0,45537, UI = 0,43768
call = B(8,21,q,1)=0,2545
put = B(8,21,p,1)=0,1393 et décalage (p/q)^4 = 1,4421
V1 = (0,2545 + 0,1393*1,4421)*0,9611=0,43768
S21 hit no hit
21 191,186 1 0
20 179,742 21 0
19 168,984 210 0
18 158,869 1330 0
17 149,360 5985 0
16 140,420 20349 0
15 132,015 54264 0
14 124,113 116280 0
13 116,684 203490 0
12 109,700 203490 90440
11 103,134 116280 236436
10 96,961 54264 298452
9 91,157 20349 273581
8 85,701 5985 197505
7 80,572 1330 114950
6 75,749 210 54054
5 71,215 21 20328
4 66,952 1 5984
3 62,945 0 1330
2 59,177 0 210
1 55,635 0 21
0 52,305 0 1
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Exercice 03-02 - correction
Marché: =10%, R=2% , S=100
Barrière UI et UO à L=112
Calcul de l'option
départ probabilité 5 at hit
1 0,07474 0,074741 0,990614
4 0,01865 0,074585 0,986885
14 0,00465 0,065125 0,983170
48 0,00116 0,055705 0,979468
165 0,00029 0,047771 0,975781
572 0,00007 0,041315 0,972107
2002 0,00002 0,036075 0,968447
7072 0,00000 0,031792 0,964801
25194 0,00000 0,028256 0,961169
0,45537
0,43768 0,44578
départ Catalan t:fin 2^t produit
P1 4 1 17 131072 131072
P2 6 4 15 32768 131072
P3 8 14 13 8192 114688
P4 10 48 11 2048 98304
P5 12 165 9 512 84480
P6 14 572 7 128 73216
P7 16 2002 5 32 64064
P8 18 7072 3 8 56576
P9 20 25194 1 2 50388
803860
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Formules analytiques
Formule de pricing des options digitales à barrière L : UI, UO, et DI, DO
2
)1(2
2rT
t yNS
LxNe)L(minPDI
2
)1(2
2rT
t yNS
LxNe)LMax(PUI
2
)1(2
2rT
t yNS
LxNe)Ln(miPDO
2
)1(2
2rT
t yNS
LxNe)LMax(PUO
t2
1
t
t).rr(
t
)L
Sln(x fd
2
t
2
1
t
t).rr(
t
)S
Lln(y fd
2
t.
2/t.t).rr(2)1.(2
2
2fd
rT22
rT exNxNeUOUI
rT22
rT exNxNeDIDO
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Formule des Options Barrière Digitales
Interprétation des formules des barrières digitales:
La première option est une digitale UI, avec seuil = (L)
La seconde option, est aussi une digitale, mais avec des transformations!
Si rd=rf, alors l’exposant de (L/S) est -1 et UI devient
)t
2/t.t).rr(
t
)L
Sln((N.eUI
2fdrT
1
)t
2/t.t).rr(
t
)L
Sln((N.
S
L.eUI
2fd
2/)2/2rfrd(2rT
2
2
)1(2
2 yNS
LxNeUI rT
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Formules analytiques
Formules élémentaires des probabilités liées au prix à terme et aux
maximum/minimum.
T.
T.y.2xN
SL
T.
T.xN)yMax;xS(P
)1(2
t
t2
1
t
t).rr(
t
)L
Sln(x fd
2
t
2
1
t
t).rr(
t
)S
Lln(y fd
2
t.
2/t.t).rr(2)1.(2
2
2fd
T.
T.y.2xN
SL
T.
T.xN)yMin;xS(P
)1(2
t
)yMax;xS(P)yMax(P)yMax;xS(P ttt
)yMin;xS(P)yMin(P)yMin;xS(P ttt
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
FINKEYS FRANCE
6 - Options Barrières Classiques
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Options Barrières
Les options barrières « classiques », ont un pay-off « classique:
Call, pay-off si option activée en T: max (S(T)-K,0)
Put, pay-off si option activée en T: max (K-S(T),0)
L’activation/désactivation, dépend du niveau de barrière (L) et le pay-off dépend du prix d’exercice (K).
Ces options sont soit régulières (ou normales), soit « reverses » (voir les digitales).
Options barrières régulières (ou normales)
Down Call et Up Put
Options barrières reverses:
Up Call et Down Put
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Digitale à Barrière – Profil de Risque
Les options barrières ont des comportements très variées, en fonction de la
position du prix du sous-jacent (S) par rapport à la barrière (L) et au prix d’exercice
(K).
Illustration sur un Call – si down: L < S,
Call « normal » (« down »), avec L<K<S ou L<S<K (barrière OTM):
Call « normal » (« down »), avec K<L<S (barrière ITM):
l’option « in », possède un profil de Put
Call « reverse » (« up »), avec S<L<K (barrière OTM): option identique à une
option vanille!
Call « reverse » (« up »), avec S<K<L ou K<S<L (barrière ITM): le profil de risque
est peu différent de l’option vanille pour l’option « in », et donc l’option « out »
possède une valeur faible
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Graphiques
CALL DOWN OUT - regular
DOWN IN - regular
UP OUT – not regular
UP IN – not regular
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Options à Barrière
Catégorie d’option avec prix d’exercice (K) et un niveau (L) de barrière.
Options « IN »: paiement à maturité, si l’option est dans la monnaie à
maturité et si la barrière a été touchée (hit)
4 types d’options « IN » : CDI, PDI, CUI, PUI
Options « OUT »: paiement à maturité, si l’option est dans la monnaie à
maturité et si la barrière n’a pas été touchée (no hit)
4 types d’options « OUT » : CDO, PDO, CUO, PUO
Parités:
CDI + CDO = CUI + CUO = CALL et PDI + PDO = PUI + PUO = PUT
)T(payS_alors_K)T(S_,et_L)t(S,T,0t,t
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Valorisation
Les options barrières se valorisent par des formules analytiques depuis 1991 (Reiner & Rubinstein), pour les options de type « européennes ».
Cette valorisation reposte sur la valorisation des options barrières digitales.
Une fois, l’activation/désactivation faite, l’option devient:
les options OUT, la valeur devient nulle
pour les options IN, la valeur devient celle d’une option vanille
Les formules de valorisation reposent donc sur un cadre théorique très proche de celui donnée par BSM.
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Chemins des Barrières
Distribution Totale
Distribution « in »
Distribution « out »
Call=0 si K < ’Smax-2L’
Put binaire=Put Classique
si K< ’Smax-2L’
Distribution « up »
Put binaire=Put Classique
si K< ’Smax-2L’
Call=0 si K > L
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Option Barrière - Call
Option Type Barrière non touchée Dès que L est touchée
CDO
Normal L < S
CDO = Call ITM si L<K<S CDO = Call OTM si L<S<K
S =< L at hit L’option disparaît
CDI
Normal
L < S L’option disparaît
S =< L at hit
CDI = Call ITM si K<S CDI = Call OTM si S<K
CUO
Reverse
S < L
CUO = Call ITM si K<S CUO = Call OTM si S<K
S => L at hit L’option disparaît
CUI
Reverse
S < L L’option disparaît
S => L at hit
CUI = Call
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Options Barrières
Relations de parités sur les options barrières
CDI+CDO=CUI+CUO=Call
PDI+PDO=PUI+PUO=Put
Transformations inverses; (S,K,L,rd,rf) <-> (1/S,1/K,1/L,rf,rd) exemples:
PUO(S,K,L,T,rd,rf)=S.K.CDO(1/S,1/K,1/L,T,rf,rd)
PDO(S,K,L,T,rd,rf)=S.K.CUO(1/S,1/K,1/L,T,rf,rd)
PUI(S,K,L,T,rd,rf)=S.K.CDI(1/S,1/K,1/L,T,rf,rd)
PDI(S,K,L,T,rd,rf)=S.K.CUI(1/S,1/K,1/L,T,rf,rd)
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Formule des Options Barrière
Définitions:
2
1)(2
r
ttL
S
x
)ln(
1
tt
SL
y
)ln(
1
ttK
S
d
)ln(
1
tt
KSLL
z
)
..ln(
1
2
1)(1
2
r
tdd 12
txx 12
tyy 12
tzz 12
1)(2
222
r
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Options Barrières - Pricing
(1) = ΦSe-t N(Φd1) – ΦKe-rt N(Φd2)
(2) = ΦSe-t N(Φx1) – ΦKe-rt N(Φx2)
(3) = ΦSe-t (L/S)2e N(ηy1) – Ke-rt (L/S)2(e-1) N(ηy2)
(4) = ΦSe-t (L/S)2e N(ηy1) – ΦKe-rt (L/S) 2(e-1) N(ηy2)
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PRICING AVANCE POUR OPTIONS EXOTIQUES FINKEYS FRANCE
Livres en Français
Options, Futures and Other Derivatives – John Hull
Mathématiques Financières – Poncet, Portait, Hayat – 2nd éd 1996 - Dalloz
Finance de Marché – Poncet, Portait – Nov 2008 - Dalloz
Livres en Anglais
Options, Futures and Other Derivatives – John Hull
Mathematics of Financial Derivatives – Wilmott, Howison, Dewynne
Mathematical Techniques in Finance – Ales Cerny
Option, Pricing & Volatility – Rouah Vainberg,Wiley Finance
Advanced Modelling in Finance using Excel Vba – Jackson & Staunton
Financial Modeling – Benninga
Les examens et certificats
GARP :Global Association of Risk Professionals
CFA: Certification for Financial Analysts
Les Références
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