Principe de Pauli. Indiscernabilité des particules dun système à N corps identiques...

Principe de Pauli

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

px.

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

1

2

px.

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

px.

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

px.

22)2,1()1,2(

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

px.

)2,1()1,2(

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Quantique

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

)2,1()1,2( Symétrie permutationnelle

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Quantique

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

)2,1()1,2( Symétrie permutationnelle

+ ou - ???

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Quantique

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

)2,1()1,2( Symétrie permutationnelle

+ ou - ???

R: Principe de Pauli

Principe de Pauli

• Pour Bosons:

• Pour Fermions:

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 (

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 (

Principe de Pauli

• Pour Bosons: fonction d’onde symétrique

• Pour Fermions: fonction d’onde antisymétrique

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 (

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 ( S

A

Principe de Pauli

• Pour Bosons: fonction d’onde symétrique

par rapport à la permutation 12

• Pour Fermions: fonction d’onde antisymétrique

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 (

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 ( S

A

par rapport à la permutation 12

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

RyE 42 0 Niveau fondamental

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

RyE 42 0 Niveau fondamental

sans principe de Pauli, on peut avoir

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

sans principe de Pauli, on peut avoir

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

sans principe de Pauli, on peut avoir

niveau 4 x dégénéré???

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

ss21

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

ss21

S

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

ss21

S

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

ss

ss S

21

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

ss

ss S

21S

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

ss

ss S

21S

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

ss

ss

ss

ss S21

S

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

ss

ss

ss

ss S21

S

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1

(1,2) 0

ss

ss

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

examinons

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

)1()1(1)2()2(1

ss

ss

ss

ss S21

S

fonction 2 et fonction 3 peuvent être combinées pour former une fonction antisymétrique

Exemple 1

• Atome He sans répulsion électronique

)2()2(1)1()1(1

)2()2(1)1()1(1(1,2) 0

ss

ss

RyE 42 0 Niveau fondamental

)2()2(1)1()1(1)2()2(1)1()1(1(1,2) A0 ssss

combinaison antisymétrique unique

antisymétrisation

Exemple 1: conclusion

• Atome He sans répulsion électronique

RyE 42 0 Niveau fondamental

)2()2(1)1()1(1)2()2(1)1()1(1(1,2) A0 ssss

non-dégénéré: état antisymétrique unique

Exemple 1: conclusion

• Atome He sans répulsion électronique

RyE 42 0 Niveau fondamental

)2()2(1)1()1(1)2()2(1)1()1(1(1,2) A0 ssss

non-dégénéré: état antisymétrique unique

)2()2(1)2()2(1

)1()1(1)1()1(1

ss

ss déterminant de Slater

Exemple 1: conclusion

• Atome He sans répulsion électronique

RyE 42 0 Niveau fondamental

)2()2(1)1()1(1)2()2(1)1()1(1(1,2) A0 ssss

non-dégénéré: état antisymétrique unique

)2()2(1)2()2(1

)1()1(1)1()1(1

ss

ss déterminant de Slater

)2()1()2()1()2(1)1(1 ss

Exemple 1: conclusion

• Atome He sans répulsion électronique

0)2()2(1)2()2(1

)1()1(1)1()1(1

ss

ss

Principe d’exclusion

Exemple 1: conclusion

• Atome He sans répulsion électronique

0)2()2(1)2()2(1

)1()1(1)1()1(1

ss

ss

Principe d’exclusion

Forme « antisymétrisée » de )2()2(1)1()1(1 ss

Exemple 1: conclusion

• Atome He sans répulsion électronique

0)2()2(1)2()2(1

)1()1(1)1()1(1

ss

ss

Principe d’exclusion

Forme « antisymétrisée » de )2()2(1)1()1(1 ss

2 électrons de même (état de) spin

Exemple 1: conclusion

• Atome He sans répulsion électronique

0)2()2(1)2()2(1

)1()1(1)1()1(1

ss

ss

Principe d’exclusion

Forme « antisymétrisée » de )2()2(1)1()1(1 ss

2 électrons de même (état de) spin dans la même orbitale

Exemple 1: conclusion

• Atome He sans répulsion électronique

0)2()2(1)2()2(1

)1()1(1)1()1(1

ss

ss

Principe d’exclusion

Forme « antisymétrisée » de )2()2(1)1()1(1 ss

2 électrons de même (état de) spin dans la même orbitale

situation interdite

Exemple 2

• 2 particules (indépendantes) dans une boîte:

l’une au niveau n=1

l’autre au niveau n=2

Exemple 2

2 bosons (s=0, par exemple)

} ) 2

sin()

sin(

) 2

sin()

sin( {)2,1(

12

21

L

x

L

xL

x

L

xS

X fonctions de spin

1x

2x

+

-

Exemple 2

2 bosons (s=0, par exemple)

} ) 2

sin()

sin(

) 2

sin()

sin( {)2,1(

12

21

L

x

L

xL

x

L

xS

X fonctions de spin

1x

2x

21pour 0 )2,1( xxA

+

-

Exemple 2

2 fermions (s=1/2)

} ) 2

sin()

sin(

) 2

sin()

sin( {)2,1(

12

21

L

x

L

xL

x

L

xS

1x

2x

) 2 ( ) 1 ( -

+

Exemple 2

2 fermions (s=1/2)

} ) 2

sin()

sin(

) 2

sin()

sin( {)2,1(

12

21

L

x

L

xL

x

L

xA

1x

2x

) 2 ( ) 1 (

21pour 0 )2,1( xxA

+

-

Exemple 2

2 fermions (s=1/2)

} ) 2

sin()

sin(

) 2

sin()

sin( {)2,1(

12

21

L

x

L

xL

x

L

xA

1x

2x

) 2 ( ) 1 (

21pour 0 )2,1( xxA

2 FERMIONS dans le même état de spin S’ÉVITENT

+

-

•Principe de Pauli=principe de symétrie de

permutation (de particules indiscernables)

•Fonction d’onde de N bosons symétrique

•Fonction d’onde de N fermions antisymétrique

•Principe d’exclusion = corollaire du

principe de Pauli

Résumé