Processus de Hawkes Applications en Finance

PROCESSUS DE HAWKESAPPLICATIONS EN FINANCE

Soutenance du projet Innovation

Sami BEN EL MAMOUN

Edouard MAFTEI

PLAN: I) Présentation du projet II) Introduction des processus

1) Processus de poisson 2) Processus de Hawkes monodimensionnel 3) Processus de Hawkes multidimensionnel

III) Applications IV) Conclusion

PROCESSUS DE POISSON

Processus de comptage {N(t), t≥0} tel que:•N(0)=0•Accroissements indépendants et stationnaires•Pas d’occurrences simultanéesOn a que:•N(t) suit une loi de Poisson•Le temps d’attente suit une loi exponentielle•Ex: Théorie des queues, l’émission radioactive

PROCESSUS DE POISSON HOMOGÈNE

λ = 1.8

λ>0, P{N(t+τ)-N(t)=k}= e-λτ (λτ)k/k!, k=0, 1...

PROCESSUS DE POISSON NON-HOMOGÈNE λa,b=∫a

b λ(t)dt, P{N(b)-N(a)=k}= e-λτ (λa,bτ)k/k!

λ(t)= λ0+αe-βt ,

λ0=0.1, α=4.5, β=0.7

MODÈLE DE PRIX

2 processus de comptage {N+(t), t≥0} et {N-(t), t≥0} et le prix P est:

P(t)=Δp(N+(t)- N-(t)) On utilise le théorème de Donsker pour faire le

scaling de prix et le faire tendre en loi vers un mouvement brownien

THÉORÈME DE DONSKER

Suite des v.a d’espérance nulle et variance σ²>0, et

tend en loi vers un MB

1ER CAS: SCALING DES PROCESSUS DE POISSON

[(N+(t)- N-(t))-∫t λ(t)+- λ(t)-dt]/t1/2 → N(0, ∫t λ(t)++ λ(t)-dt)

PROCESSUS DE HAWKES

et avec v un noyau exponentiel (le cas mono-varié)

Processus ponctuel linéaire auto-excité ou l’intensité λ(t) a la forme suivante:

SIMULATION D’UN HAWKES MONO-VARIÉ

λ=1, α=0.6 β=0.8

STATIONNARITÉ

La condition pour avoir stationnarité de processus est que le rayon spectral de la matrice (αmn/βmn)m,n=1,...M soit plus petit que 1.

λ=1, α=0,99 β=1

SCALING

3) PROCESSUS DE HAWKES MULTIDIMENSIONNEL

a) Simulation du processus b) Vérification de la simulation c) Détermination des prix pour un scaling

donné

A) SIMULATION DU PROCESSUS

simulation des instants d’arrivée t[i]. attribution à un processus donné.

B) VÉRIFICATION DE LA SIMULATION

Calcul des intégrales entre deux instants d’arrivée ti et ti+1 :

=

Etude de leur distribution Calcul de la moyenne et de la variance Test de Kolmogov Smirinov.

C) DÉTERMINATION DES PRIX POUR UN SCALING DONNÉ ) - - E(

- E() – (

III) APPLICATIONS

1) The lead-lag effect:

MICROSTRUCTURE NOISE

CONCLUSIONS Clustering Cross correlation Lead-lag effet

Calibration d’un système(déterminer les paramètres)

Carnet d’ordre Processus de Hawkes marqué