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Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie
1
Les mathématiques utilisées dans les Les mathématiques utilisées dans les Les mathématiques utilisées dans les Les mathématiques utilisées dans les
métiers de l'assurance ou de la banquemétiers de l'assurance ou de la banquemétiers de l'assurance ou de la banquemétiers de l'assurance ou de la banque
Association
des Professeurs
de Mathématiques
de l’Enseignement
Public
Journée de la Régionale de Poitou-Charentes
16 octobre 2013
Cédric LOIRAT
Parnasse-MAIF
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie
2
Sommaire
1. Principes généraux de l’assurance-vie
2. Applications de base
� Mutualisation
� Tarification
� Mathématiques financières
� Probabilités
3. Cas pratiques
� Epargne
� Assurance Temporaire Décès (tarification)
� Assurance décès Vie Entière (tarification)
� Fonctions actuarielles
� Rentes
� Assurance en couverture de prêt
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie
3
1. Principes généraux de l’assurance vie (1/4)
Aspects généraux
Assurance de
personnes
Assurance
de biens
garanties portant sur la personne humaine garanties portant sur le patrimoine
Assurance
vie
Assurance
dommages
corporels
Accident / Maladie Risques liés à la
durée de vie humaine
� La survie
� Le décès
�Cas particuliers : les assureurs vie peuvent proposer des garanties dommages corporels àtitre d’assurance complémentaire.
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie
4
1. Principes généraux de l’assurance vie (2/4)
Définition d’un contrat d’assurance vie
Un contrat par lequel un ASSUREUR, en l’échange d’unePRIME, s’engage à verser au SOUSCRIPTEUR ou au(x)BENEFICIAIRE(S) qu’il a DÉSIGNÉ(S), une PRESTATION pourun montant déterminé en cas de survenance du risque couvert(décès ou survie de l’assuré).
�Caractère onéreux : « en l’échange d’une PRIME »
�Caractère forfaitaire et non indemnitaire : « unePRESTATION pour un montant déterminé » (Art. L131-1 du Code des Assurances)
�Principe de stipulation pour autrui : « au(x)BENEFICIAIRE(S) qu’il a DÉSIGNÉ(S) »
Souscripteur
Désigne Verse
la prestation
Paye la
prime
Bénéficiaire
Assureur
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie
5
1. Principes généraux de l’assurance vie (3/4)
Typologie des contrats d’assurance vie
Rassurcap SolutionsNouveau cap
Assurance vie
Responsable et SolidaireSollicitudes
Assurance Emprunteur
MAIF
� Selon la nature des risques couverts
� Selon l’activité
� Risque de survie
� Épargne et retraite � Prévoyance
Perp-MAIF
� Risque de décès
• Monosupport (€)
• Multisupports (€ et Unités de Compte)
Temporaire Décès
Décès Vie Entière
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes mathématiques dans l’assurance-vie
66
1. Principes généraux de l’assurance vie (4/4)
Problématiques mathématiques
« L’actuariat est un mélange subtil, aussi subtil que ce que savent faire
les Ecossais pour le whisky et les Hollandais pour le tabac à pipe, de
probabilité et de statistique, qui permet de traiter intelligemment du risque
et de l’incertitude »
Denis Kessler
Les méthodes actuarielles de l’assurance-vie ont pour objet l’évaluation du risque pris en charge par l’assureur et sont à la base de la détermination des primes demandées aux assurés.
Le recours à ces méthodes est indispensables pour évaluer les provisions dites mathématiques, et qui doivent permettre à l’assureur de faire face à l’évolution future des risques.
Ces méthodes utilisent les résultats élémentaires de la théorie des probabilités ainsi que les concepts de base des mathématiques financières.
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie 2. Applications de base : la mutualisation (1/2)
Mutualisation
Réduite à un seul contrat et un seul assuré, l’opération d’assurance ne serait qu’un pari pour l’assureur.
• Si le risque ne se réalise pas, l’assureur fait un gain égal à la prime
• Si le risque se réalise, l’assureur fait une grosse perte
Pour que chaque opération d’assurance ne soit pas un pari, l’assureur doit avoir réuni un grand nombre d’assurés.
L’ensemble des assurés forme une mutualité au sein de laquelle l’assureur mutualise (compense) les risques : l’assureur paiera, avec les primes reçues de tous, les prestations des « malchanceux »
7
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie 2. Applications de base : la mutualisation (2/2)
Loi des grands nombres
Soit un contrat qui garantit le versement d’un capital en cas de décès (Rassurcap Solutions). Il est souscrit par 10.000 assurés qui ont chacun une probabilité de 1% de décéder dans l’année.
Statistiquement, le nombre de décès est une variable aléatoire binomiale• Espérance (moyenne) = 10.000 x 1% = 100• Ecart-type =racine carré (100 x 99%) = 9.95• Probabilité que le nombre de décès soit compris entre 67 et 133 est de 99.9%, soit une incertitude de 33%
Si l’assureur a fait souscrire 1 million d’assurés, les mêmes formules conduisent à un nombre de décès entre 9672 et 10328 soit une incertitude de 3.3%.
Si les risques sont suffisamment nombreux, identiques et indépendants,Si on multiplie par 100 le nombre de risquesAlors la loi des grands nombres précise que l’incertitude est divisée par 10
Il est nécessaire de se réassurer si les conditions d’application de la loi ne sont pas respectées
8
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie 2. Applications de base : la tarification (1/4)
La tarification
9
EPARGNE / RETRAITE PREVOYANCE
���� Versement effectué
���� Taux de frais sur épargne gérée
Frais prélevés à chaque versement
Frais prélevés en fin d’année ou à chaque retrait sur la valeur globale du contrat.
���� Montant de prime pure
���� Frais
Montant à verser par l’assuré selon : - son âge- le capital garanti
Frais prélevés sur chaque prime
Tarifer c’est définir :
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie 2. Applications de base : la tarification (2/4)
Calcul de la prime commerciale� Prévoyance
� Prime Pure + Frais = Prime Commerciale
� Les frais sont exprimés en % de la prime
commerciale (f)
� Prime Commerciale = Prime Pure / (1-f)
� Epargne
� Montant investi = Montant versé – Frais sur versement
� Les frais sur versement sont exprimés en % du montant
versé (fv)
� Montant investi = Montant versé x (1-fv)
10
%1
*%
f
PPPC
PCfFrais
FraisPPPC
−=
=
+=
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie 2. Applications de base : la tarification (3/4)
Calcul de la prime pure (Prévoyance)
La prime doit vérifier l’égalité entre la valeur actuelle probable de l’engagement de l’assureur et celle de l’assuré à la date de l’adhésion
11
2 calculs à effectuer
Valeur actuelle probable
Engagement de l’assureur
V
Valeur actuelle probable
Engagement de l’assuré
W
Engagement ?
Valeur probable ?
Valeur actuelle ?
V = W
Conditions Générales Contrat
Réglementation
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12
2. Applications de base : la tarification (4/4)
Les conditions générales du contrat précisent les éléments
permettant d’apprécier le niveau respectif de l’engagement de
l’assureur et de l’assuré
� Engagement de l’assureur
� Montant forfaitaire : capital ou rente
� Survenance : décès de l’assuré et/ou survie de l’assuré sur
une période déterminée
� Engagement de l’assuré
� Versement d’une prime : unique, périodique ou viagère
� modalités : fractionnement possible (mois, trimestre),
paiement en début ou en fin de période
Notion d’engagement
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie
13
2. Applications de base : math financières (1/3)
� Intérêts simples� Les intérêts sont proportionnels à la durée t� Montant des intérêts : S * i * t� Epargne acquise : S + S * i * t = S (1+it)
� 1 an : S (1+i)
� 2 ans : S (1+2i)
� N ans : S (1+Ni)
� Intérêts composés (capitalisation)� L’intérêt simple obtenu est ajouté au capital pour porter à son tour intérêt simple
pendant la période suivante (effet dit de « cliquet »)� Epargne au bout de 1 an : S1 = S * (1+i)� Epargne au bout de 2 ans : S2 = S1 * (1+i) = S * (1+i) * (1+i)=S * (1+i)²� Epargne au bout de N ans : S * (1+i)N
Calculs d’intérêts
Quelle est l’épargne acquise si l’on place une somme S au taux d’intérêt i pendant t années ?
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2. Applications de base : math financières (2/3)
� Quelle somme dois-je placer à 3% pour disposer de 4000 € dans un an ?
� Quelle somme dois-je placer à 3% pour disposer de 4000 € dans 6 mois ?
4000 €
6 mois
S = ?
( )eurosS 32,3941
%31
40005,0=
+=
4000 €
1 an
S = ?
( )eurosS 50,3883
%31
4000 =+
=
Notion d’actualisation
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15
2. Applications de base : math financières (3/3)
Eléments de calcul d’un prêt� Caractéristiques du prêt :
� Capital : C
� Durée : n
� Amortissement régulier
� Taux fixe t
� Taux mensuel
� Mensualité d’un prêt immobilier
� Capital restant dû d’un prêt immobilier après paiement de l’échéance au rang j
( )m
j
m
m
jn
jt
mt
t
mC
vtm
vtmvtmmCRD ++×
−=
−−
××=−
11
10
12
ttm =
m
tmt
v+
=1
1
nvtm
vtm
vtmCm
−
−××=1
110
Les Mathématiques dans l’assurance-vieLes Mathématiques dans l’assurance-vie 2. Applications de base : probabilités (1/2)
Notion de probabilité de décès / probabilité de vie
Age 0b vivants
0 100000
1 99511
2 99473
20 98921
30 97870
40 96369
50 92736
60 85538
70 72019
74 63637
75 61239
76 58718
77 56072
107 9
108 4
109 2
110 1
111 0
112 0
� 61239 vivants à 75 ans
� 58718 vivants à 76 ans
� Soit 2521 décès entre 75 ans et 76 ans
� Probabilité à 75 ans de décéder avant 76 ans : 2521 / 61239 = 4.12%
� Probabilité à 75 ans d’être vivant à 76 ans: 58718/61239 = 95,88%
� 2 vivants à 109 ans
� 1 vivant à 110 ans
� Soit 1 décès entre 109 et 110 ans
� Probabilité à 75 ans de décéder entre 109 et 110 ans : 1 / 61239 = 0.002%
� 56072 vivants à 77 ans
� Soit 2646 décès entre 76 ans et 77 ans
� Probabilité à 75 ans de décéder entre 76 et 77 ans : 2646 / 61239 = 4.32%
� Probabilité à 75 ans d’être vivant à 77 ans : 56072/61239=91,56%
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2. Applications de base : probabilités (2/2)
Table de mortalité (INSEE 2000-2002)
0
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0ombre de vivants :
Hommes
Femmes
Lx = 85538
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3. Cas pratique 1 : Epargne
Certificat d’adhésion
Epargne
versée
Epargne
investie
Valeurs
de
rachat
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3. Cas pratique 1 : Epargne
Epargne investie
� Barème tarifaire
� Epargne investie et Frais sur versement
Epargne investie = 9.760 €
Fv = 10.000 x 2,40% = 240 €
< 30 000 € 2,40%
[30 000 - 50 000 K€ [
[50 000 - 75 000 K€ [
[75 000 - 100 000 K€ [
[100 000 - 150 000 K€ [ 1,50%
[150 000 - 200 000 K€ [
[200 000 K€ et + [
2,00%
1,00%
( )VFC V−= 10
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3. Cas pratique 1 : Epargne
Valeurs de rachat
date début date fin nb de jours base annuelle montant investi TAG brut TFGE PM
19/01/2013 31/12/2013 347 365 9 760,00 2,52% 0,60% 9936,67Année 1 01/01/2014 18/01/2014 18 365 0,00% 0,60% 9933,72
19/01/2014 31/12/2014 347 365 0,00% 0,60% 9877,05Année 2 01/01/2015 18/01/2015 18 365 0,00% 0,60% 9874,11
( ) ( )( )[ ]nV FegTAGVFC −+−= 11*1
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3. Cas pratique 2 : Assurance Temporaire Décès
Tarification (1/3)
�Caractéristiques du contrat
• Capital décès : 100.000 €
• Age assuré : 40 ans
• Taux d’actualisation : i = 2%
�Principe de calcul
�Engagement de l’assuré
Valeur actuelle probable
Engagement de l’assureur
V
Valeur actuelle probable
Engagement de l’assuré
W
Engagement ?
Valeur probable ?
Valeur actuelle ?
Prime
Capital Décès
1 an
6 mois
L’engagement de l’assuré correspondant au paiement de la prime.
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3. Cas pratique 2 : Assurance Temporaire Décès
Tarification (2/3)
�Engagement de l’assureur
Age TF TH40 98 242 96 36941 98 130 96 141
60 93 329 85 53861 92 892 84 558
C
iqx *
)1(
1*
5.0+ ( )
x
xx
xL
LLq 1+−
=
Où Lx est le nombre de vivants à l’âge x
Coefficient d’actualisation : 0,99
Capital décès : 100.000 €Probabilité de décès
Par construction, l’engagement de l’assuré est égal celui de l’assureur. On en déduit que la primepure à 40 ans avec la table de mortalité TH (resp. TF) est de 234 € (resp. 113 €).
Qx TF TH40 0,11% 0,24%60 0,47% 1,15%
Qx TF TH40 113 € 234 € 60 464 € 1 134 €
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3. Cas pratique 2 : Assurance Temporaire Décès
Tarification (3/3)
�Prime commerciale
Avec des frais à hauteur de 20%, on obtient une prime commerciale de :
Les écarts de tarif proviennent de la table de mortalité utilisée.
Réglementairement, c’est la table la plus prudente qui doit être prise en compte.Il s’agit de la table de mortalité des hommes.
Qx TF TH40 141 € 293 € 60 580 € 1 418 €
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3. Cas pratique 3 : Assurance Décès Vie Entière
Tarification (1/7)
� Valeur actuelle probable de l’engagement de l’assureur à T0
� Engagement de l’assureur
L’assureur s’engage à verser 4000 € en cas de décès de l’assuré quelque soit la date du décès à compter de la date T0
109 ans 110 ans 111 ans77 ans 78 ans76 ans75 ans
S1 = ? S35 = ?S3 = ?S2 = ? S36 = ?
V0= ?
S3 correspond à la somme que s’attend à régler l’assureur compte tenu de la
probabilité de décès de l’assuré à 75 ans entre 77 et 78 ans
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3. Cas pratique 3 : Assurance Décès Vie Entière
Tarification (2/7)
� Valeur actuelle probable de l’engagement de l’assureur à T0
� Calcul des flux probabilisés
109 ans 110 ans 111 ans77 ans 78 ans76 ans75 ans
S1 = ? S35 = ?S3 = ?S2 = ? S36 = ?
V0= ?
� L’assureur s’engage à verser 4000 € en cas de décès de l’assuré entre 75 et 76 ans : S1 = 4000 x 4,12% = 164,67 €
� L’assureur s’engage à verser 4000 € en cas de décès de l’assuré entre 76 et 77 ans : S2 = 4000 x 4,32% = 172,83 €
� L’assureur s’engage à verser 4000 € en cas de décès de l’assuré entre 77 et 78 ans : S3 = 4000 x 4,52% = 180,87 €
�……………
� L’assureur s’engage à verser 4000 € en cas de décès de l’assuré entre 109 et 110 ans : S35 = 4000 x 0,002% = 0,07 €
� L’assureur s’engage à verser 4000 € en cas de décès de l’assuré entre 110 et 111 ans : S36 = 4000 x 0,002% = 0,07 €
S1 + S2 + S3 +…+ S35 +S36 = 4000 €
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3. Cas pratique 3 : Assurance Décès Vie Entière
Tarification (3/7)
� Valeur actuelle probable de l’engagement de l’assureur à T0
77 ans 78 ans 109 ans76 ans75 ans 110 ans 111 ans
S1 = 164,67 S35 = 0,07S3 = 180,87
S2 = 172,83
S36 = 0,07
V0 = ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5,355,345,25,15,0%75,11
07,0
%75,11
07,0..........
%75,11
87,180
%75,11
83,172
%75,11
67,1640
++
+++
++
++
+=V
70,335904,004,0..........19,17339,16824,1630 =+++++=V
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3. Cas pratique 3 : Assurance Décès Vie Entière
Tarification (4/7)
� Valeur actuelle probable de l’engagement de l’assuré à T0
� Engagement de l’assuré
L’assuré s’engage à payer une cotisation unique à la date T0
109 ans 110 ans 111 ans77 ans 78 ans76 ans75 ans
W0= ?
P = ?
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3. Cas pratique 3 : Assurance Décès Vie Entière
Tarification (5/7)
� Valeur actuelle probable de l’engagement de l’assuré à T0
� Calcul des flux probabilisés
� Calcul de l’actualisation
� Calcul de la prime unique pure
109 ans 110 ans 111 ans77 ans 78 ans76 ans75 ans
W0= ?
P = ?
PW =0
70,33590 =⇔= PRIMEVOW
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3. Cas pratique 3 : Assurance Décès Vie Entière
Tarification (6/7)
� Calcul de la prime temporaire pure (4 ans)
� Calcul des flux probabilisés
� Calcul de l’actualisation
109 ans 110 ans 111 ans77 ans 78 ans76 ans75 ans
W0= ?
PT= ? PT= ? PT= ? PT= ?
PTL
LvPT
L
LvPT
L
LvPTW
x
x
x
x
x
x 33221
0
+++ +++=
PTL
Lv
L
Lv
L
LvW
x
x
x
x
x
x *1 33221
0
+++= +++
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30
3. Cas pratique 3 : Assurance Décès Vie Entière
Tarification (7/7)
� Calcul de la prime temporaire pure (4 ans)
� Calcul de l’actualisation
� Principe de tarification
( ) ( ) ( )PTW *
%75.11
%04.87
%75.11
%56.91
%75.11
%88.951
3210
++
++
++=
PTW *65.30 =
72.91965.3/70.335900 ==⇔= PTVW
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31
3. Cas pratique 4 : Fonctions actuarielles (1/4)
Commutations
Les commutations permettent une écriture rapide des formules actuarielles en
combinant probabilité et actualisation.
Soit i, le taux d’actualisation, on appelle v le coefficient d’actualisation
Soit Lx est le nombre de vivants à l’âge x
)1(
1
iv
+=
x
x
x LvD = ( )15.0
+++++
+ −= kxkx
kx
kx LLvC
∑=
+=0k
kxx CM ∑=
+=0k
kxx D"
x
x
xD
MA =
x
dxx
dxD
""ä +−
=:
x
xx
D
"ä =
x
x
xD
"a 1+=
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32
3. Cas pratique 4 : Formules actuarielles (2/4)
Assurance Décès Vie Entière : Tarification
� Engagement de l’assureur :
� Engagement de l’assuré (primes temporaires)
� Tarification
( ) ( ) ( )............325.2215.115.0
0 +−
+−
+−
= +++++ CL
LLvC
L
LLvC
L
LLvV
x
xx
x
xx
x
xx
PTL
LvPT
L
LvPT
L
LvPT
L
LvPTW
x
dxd
x
x
x
x
x
x 11332210 ........ −+−+++ +++++=
CACD
MC
D
C
V x
x
x
x
k
kx
***0 0 ===∑=
+
( )15.0
+++++
+ −= kxkx
kx
kx LLvC
∑=
+=0k
kxx CM
x
x
x LvD =
( )PT
D
DDDW
x
dxxx 110
..... −++ +++=
∑=
+=0k
kxx D"
x
dxxdx
D
""ä +−
=:
PTäW dx *:0 =
CAPU x *=
Cä
APT
dx
x *:
=
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33
3. Cas pratique 4 : Formules actuarielles (3/4)
Assurance Décès Vie Entière : ProvisionnementLa provision mathématique à une date k correspond à la différence entre la valeur actuelle probable de l’assureur et celle de l’assuré
� Prime unique
� Primes temporaires
( )15.0
+++++
+ −= kxkx
kx
kx LLvC
∑=
+=0k
kxx CM
x
x
x LvD =
∑=
+=0k
kxx D"
x
dxxdx
D
""ä +−
=:
CAPM kxk *+=
kx
dxkx
dkxD
""ä
+
+++
−=:
PTäCAPM dkxkxk ** :++ −=
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34
3. Cas pratique 4 : Formules actuarielles (4/4)
Assurance Temporaire Décès
� Engagement de l’assureur :
� Tarification en prime annuelle
( )C
L
LLvV
x
xx 15.0
0
+−=
CD
CPA
x
x
x *=
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35
3. Cas pratique 6 : Rente de retraite (1/3)
� Calcul de la rente viagère
� Calcul des flux probabilisés
� Engagement de l’assureur
109 ans 110 ans 111 ans77 ans 78 ans76 ans75 ans
W0= ?
R= ? R= ? R= ? ..............................................................R= ? R= ? R= ?
........33221
0 +++= +++ RL
LvR
L
LvR
L
LvV
x
x
x
x
x
x
RL
Lv
L
Lv
L
LvV
x
x
x
x
x
x *.......332210
+++= +++
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36
3. Cas pratique 6 : Rente de retraite (2/3)
� Calcul de la rente viagère
� Engagement de l’assureur
Soit C, le capital à disposition du futur bénéficiaire de la rente
Soit R, le montant de la rente annuelle viagère
xa
CR =
RD
D
D
D
D
DV
x
x
x
x
x
x *.......321
0
+++= +++
RaRD
"V x
x
x **1
0 == +
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37
3. Cas pratique 6 : Rente de retraite (3/3)
� Calcul de la rente viagère
� Applications numériques
� Tables générationnelles 2005 Femmes (TGF05)
� Capital à convertir : 100.000 €
� Taux technique : 1,50%
� Frais sur rente : 3%
1960 1965 1970
60 3 816 3 748 3 683 65 4 293 4 204 4 120 70 4 947 4 829 4 713
Age
Retraite
Année de naissance
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38
3. Cas pratique 7 : Assurance Emprunteur
Engagement de l’assureur
( )∑−
=
++++ −=
1
0
15.0 **n
h x
hxhxh
hL
LLvimCRDVAPA
( ) ( ) ( )∑∑−
=
++++−
=
++++
−+
−+
−=
1
0
15.01
0
15.0
0 ****1*n
h x
hxhxh
m
n
h x
hxhxhh
m
m L
LLvim
t
e
L
LLvimt
t
eCVAPA
( )m
j
m
m
jn
jt
mt
t
mC
vtm
vtmvtmmCRD ++×
−=
−−
××=−
11
10
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39
3. Cas pratique 7 : Assurance Emprunteur
Engagement de l’assureur
Soit im, le taux mensuel d’actualisation égal à ((1+i)1/12-1), on note
m
imi
v+
=1
1
x
x
imx LvD *= ( )
( ) xx
m
x
m
x Li
tD *
1
1'
+
+=
( )15.0 * ++ −= xx
x
x LLvimC
( )( )
( )15.0
' *1
1++
−+
+= xxx
m
x
m
x LLi
tC
∑−−
=+=
1
0
x
k
kxx CMω
∑−−
=+=
1
0
'x
k
kxx CMω
( ) ( )x
nxx
mx
nxx
m D
MM
t
e
D
MM
t
eCVAPA ++ −
+−
−= **
'
''
0
( ) ( ) ( )∑∑−
=
++++−
=
++++
−+
−+
−=
1
0
15.01
0
15.0
0 ****1*n
h x
hxhxh
m
n
h x
hxhxhh
m
m L
LLvim
t
e
L
LLvimt
t
eCVAPA
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40
3. Cas pratique 7 : Assurance Emprunteur
Engagement de l’assuré
La prime en % du capital initial peut alors s’écrire :
∑−
=
+++=1
0
11 ***n
h x
hxhCI
mL
LCIvimVAPa α
( )x
nxxCI
mD
""CIVAPa 11** +++ −
=α
( ) ( )
( )x
nxx
x
nxx
mx
nxx
mCI
m
D
""CI
D
MM
t
e
D
MM
t
eC
11
'
''
0
*
**
+++
++
−
−+
−
−
=α
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41
4. Questions
Questions ?
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5. Rappel de probabilités (1/3)
Variables aléatoires
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Les variables aléatoires liées à une épreuve aléatoire sont les nombres X dont la valeur dépend entièrement du résultat de cette épreuve.
On dit qu’une variable aléatoire X est discrète si l’ensemble de ces valeurs possibles est une suite finie x1, x2, x3, QQ.., xn associée aux probabilités p1, p2, p3, QQ.., pn
Une variable aléatoire Bernouilli Z(p) admet pour valeurs possibles les nombres 0 et 1 avec respectivement pour probabilité q et p.
Une variable aléatoire Binomiale est une somme de n variables aléatoires de Bernouilli Z(p) indépendantes et de mêmes paramètres.
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43
5. Rappel de probabilités (2/3)
Espérance mathématique
Variance (Moment centré d’ordre 2)
L’espérance mathématique de X est le nombre certain, égal à la somme des valeurs possibles pondérées par les probabilités. Elle correspond à la valeur moyenne si on réalise un grand nombre de tirage.
� Bernoulli : E(Z) = p
� Binomiale : E(X) = np
D’où dans notre exemple, E(X) = 10.000 x 1% = 100
� Bernoulli : V(Z) = p-p² = pq
� Binomiale : V(X) = npq
D’ou dans notre exemple, V(X) = 10.000 x 1% x 99% = 99
Ecart-type = 9,95
( ) ( )[ ]2XEXEXV −= ( ) ( ) ( )[ ]22 2 XEXXEXEXV +−=
( ) [ ] ( ) ( )[ ][ ]22 2 XEEXXEEXEXV +−= ( ) [ ] ( )[ ]22 XEXEXV −=
Développement polynôme
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44
5. Rappel de probabilités (3/3)
Loi normale
Théorème de la limite centrale
Si n est grand et si p n’est pas petit, la variable binomiale X suit à peu près une loi normale.
Si la variable aléatoire U suit une loi normale normée réduite N(0,1)
Alors d’après la table de la loi normale, Probabilité [-3,3 < U < 3,3] = 99,9%
D’où dans notre exemple:
� Probabilité [-3,3 < N(0,1) < 3,3] = 99,9%
� Probabilité [-3,3 < (X-100) / 9,95 < 3,3] = 99,9%
� Probabilité [67 < X <133 ]= 99,9%
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45
6. Rappel demathématiques financières (1/2)
Calcul d’une échéance de prêt
Soit un prêt d’un montant et d’une durée de n mois
Soit t, le taux annuel et on note le taux mensuel
12
ttm =
……………………………
m= ? m= ? m= ? m= ? m= ?
C
( ) ( ) ( ) ( )nmmmm t
m
t
m
t
m
t
mC
+++
++
++
+=
1......
111 320
( ) ( ) ( ) ( )
+++
++
++
+=
n
mmmm ttttmC
1
1......
1
1
1
1
1
1*
320
vtm
vtmvtmmC
n
−−
=1
1**0
Suite géométrique de n termes, de 1er terme vtm et de raison vtm
m
tmt
v+
=1
1
[ ]nvtmvtmvtmvtmmC ++++= ......* 32
0
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6. Rappel demathématiques financières (2/2)
Calcul du capital restant dû
� Le capital restant dû à la date j est une suite géométrique de n-j termes, de 1er terme m*vtm et de raison vtm.
vtm
vtmvtmmCRD
jn
j −−
=−
1
1**
� Le capital restant dû d’une période à l’autre peut s’écrire grâce à la formule des intérêts sous la forme :
( ) mCRDtmCRDtCRDCRD jmjmjj −+=−+= −−− 111 *1*
� En appliquant un raisonnement par récurrence, il vient :
� Supposons
� Démonstration :
( )mm
j
mjt
m
t
mCtCRD +
−+= 01
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) CQFDt
m
t
mCtCRD
mt
mt
t
mCtm
t
m
t
mCttCRD
mCRDtCRD
mm
j
mj
m
m
m
j
m
mm
j
mmj
jmj
+
−+=
−++
−+=−
+
−++=
−+=
++
++
+
0
1
1
0
1
01
1
1
*1111
1
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