Quelques calculs de probabilités

Quelques calculs de probabilités

Expérience aléatoire à une étape

( exemple : 1 tirage )

nombre de cas favorables

nombre de cas favorables

Calcul de la probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement se calcule comme suit :

P(événement) = nombre de cas possibles

Exemple :

P(cœur) =nombre de cas possibles 52

13

quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »?

=

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes,

4

1=

On a donc 1 chance sur 4 de piger une carte de cœur.

P( choisir une carte de cœur ) =4

1

nombre de cas favorablesP(événement) =

nombre de cas possibles

Comme il y a toujours moins de cas favorables que de cas possibles, la probabilité d’un évènement est toujours comprise entre 0 et 1.

Exemple : quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »?

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes,

Remarque

Remarque : Une probabilité peut être exprimée sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.

4

1= 0,25 = 25 %

nombre de cas favorablesP(cœur) =nombre de cas possibles 52

13=

4

1=

Problème

On lance 2 dés semblables. On voudrait connaître la probabilité « d’obtenir une somme de 7 ».

Pour faciliter le dénombrement, construisons une table de résultats.

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Nombre de cas possibles :

6 X 6 = 36

Nombre de cas favorables : 6

P (obtenir une somme de 7) :

nombre de cas favorables

nombre de cas possibles

6

36=

1

6=

+

P (obtenir une somme de 7) :1

6

Expérience aléatoire à plusieurs étapes

( exemple : 2 tirages )

Lorsqu’une expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes, il faut savoir si une étape a une influence sur l’étape suivante.

Si la 1ère étape n’a pas d’influence sur la 2e étape, les évènements sont indépendants un de l’autre.

Si la 1ère étape a une influence sur la 2e étape, les évènements sont dépendants un de l’autre.

Les tirages avec remise et sans remise en sont des exemples.

Si les tirages se font avec remise, alors les évènements n’ont pas d’influence les uns envers les autres; ce sont des évènements indépendants.

Si les tirages se font sans remise, alors les évènements ont une influence les uns envers les autres; ce sont des évènements dépendants.

Deux événements peuvent être indépendants

C’est-à-dire que la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de réalisation de l’autre.

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billesbleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie d’une bille bleue si on remet la boule dans l’urne?

Exemple

Comme on remet la boule dans l’urne, le deuxième tirage ne sera pas influencé par le premier tirage.

C’est ce qu’on appelle un tirage avec remise.

Deux événements peuvent être dépendants

C’est-à-dire que la réalisation de l’un influence la probabilité de réalisation de l’autre.

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues.Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne.

Le deuxième tirage sera donc influencé par le fait que l’on ne remet pas la boule obtenue au premier tirage.

Exemple

C’est ce qu’on appelle un tirage sans remise.

Regardons la différence entre ces deux évènements et regardons également comment calculer leur probabilité en utilisant un arbre de probabilités.

Arbre de dénombrement et arbre de probabilités

L’arbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer les résultats d’une expérience aléatoire.

Exemple

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, on voudrait connaître la probabilité d’obtenir 2 fois « pile ».

1er lancer 2e lancerArbre de dénombrement

P , P

P , F

F , P

F , F

pièce

P

F

F

P

P

F

résultats

L’arbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer les résultats d’une expérience aléatoire.

1er lancer 2e lancerArbre de dénombrement

P , P

P , F

F , P

F , F

pièce

P

F

F

P

P

F

résultats

P( P , F ) = 1 résultat4 résultats

= 1 4

pièce

1er lancer 2e lancer

P

F

F

P

1

21

2

1

2

1

2

P

F

1

21

2

1

4

probabilités

Il y a une chance sur deux d’obtenir pile.

L’arbre de probabilités est obtenu en inscrivant sur un arbre de dénombrement la probabilité de chaque résultat.

Pour obtenir la probabilité, on multiplie ensemble les nombres sur chacune des branches.

P( P , F ) = 1 4

L’arbre de probabilités permet de calculer directement la probabilité de chaque résultat.

1

4

1

4

1

4

Arbres de probabilités

pièce

1er lancer 2e lancer

P

F

F

P

1

21

2

1

2

1

2

P

F

1

21

2

1

4

1

4

1

4

1

4

probabilités

La probabilité d’obtenir « pile » suivie de « face » se calcule comme suit :

P( pile suivie de face ) = P(A) X P(B) =

A : obtenir pile

B : obtenir face

1

2

1

2X =

1

4

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie d’une bille bleue si on remet la boule dans l’urne?

Exemple

R

B

R

B

R

B

3/10

7/10

3/10

7/10

3/10

7/10

3/10 X 3/10 = 9/100

3/10 X 7/10 = 21/100

7/10 X 3/10 = 21/100

7/10 X 7/10 = 49/100

1ère pige 2e pige probabilités

Avec la formule:

P( rouge suivie bleue ) = P(R) X P(B) =3

10X =

7

10

21

100

Probabilité de deux évènements indépendants

R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue.

L’arbre de probabilités (avec remise)

L’arbre de probabilités (sans remise)

R

B

R

B

R

B

3/10

7/10

2/9

7/9

3/9

6/9

3/10 X 2/9 = 6/90 = 1/15

3/10 X 7/9 = 21/90 = 7/30

7/10 X 3/9 = 21/90 = 7/30

7/10 X 6/9 = 42/90 = 7/15

1ère pige 2e pige probabilités

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne. Quelle est la probabilité de tirer 1 bille rouge suivie d’une bille bleue ?

R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue.

Il ne reste que 9 boules dans l’urne

Exemple

P( rouge suivie bleue ) =3

10X =

7

9

21

90=

7

30

et 2 boules rouges.

L’arbre de probabilités (sans remise)

R

B

R

B

R

B

3/10

7/10

2/9

7/9

3/9

6/9

3/10 X 2/9 = 6/90 = 1/15

3/10 X 7/9 = 21/90 = 7/30

7/10 X 3/9 = 21/90 = 7/30

7/10 X 6/9 = 42/90 = 7/15

1ère pige 2e pige probabilités

3

10

7

9X =

21

90

Dans l’exemple, la probabilité de tirer une bille bleue étant donné le tirage sans remise de la bille rouge.

Ici, il faut lire la probabilité de l’évènement B sachant l’évènement R.

Avec la formule: P(R) X P(B R)

P(R) X P(B R)

=7

30

- s’il n’y a pas de remise de la bille dans l’urne (sans remise) :

10

3

9

2X90

6=15

1=

On n’a pas remis la première bille dans l’urne.

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. La probabilité de l’événement « tirer successivement 2 billes rouges » se note :

P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) X P(Rouge)

- s’il y a remise de la bille dans l’urne (avec remise) :

10

3

=

10

3X100

9=

P(Rouge suivie de Rouge) =

les 2 évènements sont indépendants un de l’autre.

le 2e évènement est dépendant du premier.

P(R) X P(R R)

P(A) X P(B)

A : obtenir pile B : obtenir le nombre 4

Quelle est la probabilité d’obtenir pile suivie du nombre 4 ?

1

2

1

6X =

1

12

P ( P , 4 ) =

Problème

Ici, le premier tirage n’a aucune influence sur le deuxième tirage.

Les 2 évènements sont indépendants l’un de l’autre.

P ( obtenir pile ) =1

2P ( obtenir 4 ) =

1

6

Lors d’une expérience aléatoire, on lance successivementune pièce de monnaie et un dé.

Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la suite de l’autre deux évènements indépendants se calcule par :

P(A) X P(B)

Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la suite de l’autre deux évènements dépendants se calcule par :

P(A) X P(B I A)