Quelques problèmes d’échantillonnage en traitement linéaire et quadratique des signaux...

Q U E L Q U E S P R O B L ~ M E S D'I~CHANTILLONNAGE EN T R A I T E M E N T LINI~AIRE

ET Q U A D R A T I Q U E D E S SIGNAUX ALI~ATOIRES*

p a r

Georges BONNET,

Professeur 5, la Facultd des Sciences**

SOMMAIRE. - - AprOs avoir dtabli les principales proprHtds de l'dchanlillonnage d'un signal aldaloire stationnaire et l'avoir rapportd ~ un type/ondamental , ou ~ dchantillonnage propre ~), on aborde dans un esprit de s!Inth~se di[[~rents probl~mes de trailement du signal dans lesquels intervient celte technique. Sont ~tudids les problOmes lin~aires, pour lesquels on /ormule les conditions d'approche optimale d'une trans/ormde lindaire du signal et les conditions d'une inlerpolation sans erreur. On traite ensuite l'estimation de moments d'orclre deux el /ormule les conditions d'dchantillonnage conduisant d u n e eslimation sans biais, en metlanl en dvidence l'absence d'influence sur eerie derniOre de la cadence d'dchantillonnage. L'expression de l'erreur stalistique d'estimation, lide par contre directement it la cadence, est ~lablie; de mdme les conditions pour la rendre insensible & l'dchantillonnage. Enf in , les problOmes de traitement quadralique des s ignaux soul trai l ,s en ddtail el g~n~ralisent Iargement des r~sultats comms autdrieurement, tout en les rattachant aux probldmes

d' estimation el d'interpolation.

PLAN. - - �9 l . Introduction. �9 2. E c h a n t i l l o n n a g e 2.1. Espdrance mathdmatique ; 2.2. Covariance ; 2.3. Distribution spectrale ~nerg~tique; 2.4. Fluctuations. �9 3. Probldmes de traitement Un~aire (interpolation optimale) 3.1. Formation /r~quentielle 3.2. Erreur minimale d'inlerpolation; 3.3. Compen- sation d'~chantillonnage ; 3.4. Le probl~me de traitement optimal pour un appareil physique d'dchantillonnage ; 3.5. Interpolation convergente. �9 4. P r o b l d m e s d ' e s t i m a t i o n de m o m e n t s du second ordre (variances el covariances) 4.1. Estimation sans biais de la covariance; 4.2. Erreur statistique d'estimation d'une covariance 4.3. Moments g~n6ralisds da second ordre. �9 5. Prob l~ .mes de t ra i t ement quadrat ique des s i g n a u x ~aibles 5.1. Correlation sans dchantillonnage; 5.2. Corrdlation avec dchantillonnage; 5.3. Conditions d'invariance du rapport signal~bruit; 5.4. Traitement quadratique gdndral avec dchan- tillonnage. �9 6. Appendice : Formule de sommat ion de P o i s s o n 6.1. PremiOre /ormule de Poisson;

6.2. Formule gdndrale de sommation de Poisson. �9 Bibliographic (12 rdf.).

i. INTRODUCTION

L'extens ion considdrable des techniques de t rai te- men t diseret a donnd une impor tance eroissante l 'd tude de l ' influenee d ' un dchanti l lonnage au eours du t r a i t emen t du signal. Des reeherehes assez exhaus- fives ont dtd conduites dans le domaine des s ignaux certains, parmi les plus rdeentes desquelles eelles de C. van Schooneveld [1], faisant suite h A. Kohlen- berg [2], ont dtudid le t r a i t ement quadra t ique apr~s dehant i l lonnage ; par eontre, peu de t r a v a u x ont dtd eonsaerds dans ee domaine aux s ignaux aldatoires et, h notre eonnaissanee, seul J. DUFLOS [3] s 'est at tachd h l 'dtude des ddgradations du rappor t s ignal/bruit , pour un type d 'dchant i l lonnage un peu part i- culier et une hypoth~se gaussienne un peu l imitat ive.

Nous nous proposons d 'aborder une dtude systdma- t ique de ees probl~mes dans un cadre aussi large et aussi uni ta i re que possible et en adop tan t d 'emblde le cas d ' u n signal al~aloire stationnaire, pour lequel

nous dvoquerons sueeessivement les probl~mes posds

par l 'dehant i l lonnage pour les t ra i t ements lindaires ( in terpola t ion d 'une fonctionnelle lindaire), l 'es t ima- t ion de moments gdndraux du second ordre et enfin les t ra i t ements quadrat iques.

2. ~CHANTILLONNAGE

Soit un signal aldatoire ayan t pour reprdsenta t ioa

temporelle la fonctioa aldatoire (f.a.) X(t) supposde stationnaire de second ordre avec une covariance propre (alias fonction d 'autocorrdlat ion) :

r~(~) = E { X ( t ) X * ( t - - v)},

(E : espdrance mathdmat ique)

et une distribution spectrale dnergdtique (d.s.d.) yx(~), transformOe de Fourier de cette derni~re. L 'opdra t ion

d 'dchant i l lonuage consiste, comme on le sait, h sub-

* Le sujet de cet article a fait l'objet d'une conf~l'ence au Colloque O.T.A.N. sur ~ les probl~mes aldatoires en acoustique sous-marine~, La Spezia-Lerici (sept. 1967). Un article sur lcs ~( Corrdlateurs hybrides h dchantillonnage ,, paraltra dans un prochain num6ro.

** Centre d'Etudes des ph6nom~ncs aldatoires (CEPHAG) (associd au C.N.R.S.), 46, avenue Fdlix-u 38-Grenoble.

- - 17 - -

2/13

s t i tuer h la fonct ion al~atoire X(t) - - que nous nom- merons #ndratrice - - une nouvel le fonct ion al~atoire Z(t), l'~chantillonn~e, d6dui te de la p r&6den te pa r :

a) le choix d 'une suite p~riodique d'instants ... t~, t~+~ ... auxquels est observ~e la g~n6ratrice. La cadence d'~chantillonnage 1/0 est l ' inverse de la p~riode

0 = t ] + l - - [ ~ , V: f ;

b) le ehoix d 'une fonction de pondEration H(t) affect& par les va leurs successives X(tt) de la g~n& ratr ice. On supposera H ~ L~ (de earr~ sommable) et, colnme telle, dot~e d ' une t ransform~e de Four ie r h(v) elle-m~me de L ~ (en r~gle gdn~rale tou tes les fonctions d~!terministes consid~r~es ici sont de L~) ;

c) une superposition lindaire, du t y p e X(t /)H(t - - t~) ;

i

d) il est nficessaire que l '6chant i l lonn6e soit une fonct ion alfiatoire stationnaire, ce h quoi nous par- v iendrons en i n t rodu i san t a rb i t r a i r emen t une date origine to, supposfie al~atoire h r6par t i t ion uniforme dans un in terva l le de mesure 0 et ind6pendan te de la g6n6ratrice ; de ce f a r :

tj = to + ]0 (avee j ent ier d e - - ~ h + o o ) ;

e) en pond~ran t pa r 0 pour des raisons de coh6rence avec le cas l imi te 0 - ~ 0 (formule d 'Eu le r -McLaur in [12]) nous adop tons la d~finit ion su ivante de la fonct ion ~chanti l lonn6e :

+ . .

(1) Z(t) = 0 ~] X(to + ]0) H(t - - to - - /0) .

I1 est in t6ressant de r emarque r d6s h p r & e n t que tou t e 6chanti l lonn6e peu t 6tre consid6r~e comme r & n l t a n t dn f i l t rage fictif Z ~ J~[Y] [dans un filtre l ingaire /~ de r6ponse percusionnel le H(t)] d ' un processus-d i s t r ibu t ion :

+oo

Y(t) = 0 E X(to + ]o) ~(t - - to --10), j = - - ~ .

ee dernier ~tant d6fini uniquement, pour X(t) donn6, pa r le choix de la cadence 1/0 (et, pour mdmoire, de l 'or igine auxi l ia i re to) : Y(t) appa raR comme l'dchan- tillonnde propre de la g~n~!ratrice X(t), et l '~ tude des propri~t~s s t a t i s t iques de second ordre de Z(t) se f a m i n e s implement h celle de l 'dchant i l lonn~e p ropre Y(t). Afin d ' en 6tabl i r r ap idemen t les r&ul t a t s , nous t rans formerons l ' express ion de Y(t) en t e n a n t compte de la propri6t~i d 'une d i s t r ibu t ion de Dirae :

x(t) ~ ( t - ~) = x (~ ) ~ ( t - ~)

pour t o u t e fonct ion X(t) cont inue en moyenne qua- dra t ique . On peu t alors ~erire l '~ehant i l lonn6e propre sous la forme d 'un p rodu i t :

(2a) Y(t) = X(t) h0(t - - to) ,

off A0(t ) peu t s ' expr imer , eu ~gard fa la formule de sommat ion de Poisson (ef. Appendiee w 6), sous les deux formes ~quivalentes 0' d i s t r ibu t ion peigne Q :

+o* + ~

(2b) Ao(t ) = 0 E S(t - - ]0) = E e2~i'ntl0 j= - ,. 111~- O~

G. B O N N E T [ANNALES DES T~L#,COMMUNICATION$

E t a n t donn~ la p r&ence de la var iab le aMatoire to, A0(t - - to) est une distribution pEriodique aldatoire et

stationnaire. Si l 'on t i en t compte de ce que to a pour densit6 de probabi l i t6 1/0 dans l ' in te rva l le de d6finit ion [0, 0], la s ta t i s t ique d 'o rdre deux de cet te d i s t r ibu t ion al6atoire s '6 tabl i t de la mani~re suivante , h pa r t i r de la seconde expression (2b) :

a) au premier ordre :

+~" S O e2~lm](t--to)O d t o e I o(t-to)}= Z 0 -

+ ~

b) au second ordre, la covar iance s ' expr ime pa r :

r ~ ( , ) = E I ao(t - - to) A~( t - - �9 - - to) } =

+ ~ ~0 e2~lnxlO e2~i (m--n)l(t--to}~ did 0

--~o t/O In, n

soit, compte tenu de la formule de Poisson et dans

l '~cri ture (2b) :

+ ~ + ~

F~(r = Z e2=in~/~ = 0 E 8 ( x - - m 0 ) --___ A 0 ( - ) ,

d 'ofl r~sulte, pa r t r ans fo rma t ion de Four ier , la dis t r i -

bu t ion spect ra le ~nerg6tique YA('0 ~ I'A(~) :

yA(~) = E ~(~--n]O) = 0 ~ e 2 ~ i ~ ~

Du fa i t que X et Ao sont i nd@endan te s , la s ta t i s - t ique d 'o rdre deux de l '~chant i l lonn~e p ropre Y(t) --- X(t)Ao(t - - to) v a s '6 tabl i r sans difficult6.

2 .1 . E s p 6 r a n c e m a t h 6 m a t i q u e .

On a E[YI = E IXI E[Aol, soit :

(3a) ElY} = E I X }-

La va leur moyenne de l '~ehant i l lonn~e Z en d6eoule, conform~ment aux re la t ions de t r ans fo rma t ion dans

le filtre l in6aire 3r :

(3b)

E[Z} = E{ Y} H(t)dt = E I x } < I , H > = E[Xlh(o).

2 .2 . C o v a r i a n c e .

a) Vu l ' i nd6pendan tce entre X et Ao, on a r r =

F x F a ; soit F r ( v ) = E/Y(/) Y * ( t - x) / = Fx(~) Ao(~),

ou encore :

(4a) + ~ +o0

r r ( ~ ) = 0 r x ( ~ ) E s ( ~ - - m 0 ) = r x ( ~ ) ~ e ~ l ' ~ l ~ �9 r t l~-- ~ tl = - - do

La covar iance de l '~chant i l lonn~e propre a p p a r a i t ainsi eomme l'Echantiltonn& propre de la eovarianee de la gEnEratrice, ceci pour la m~me cadence 1/0.

b) Si m a i n t e n a n t nous in t roduisons la /onction dp correlation (au sens d6terminis te) associ6e h la fonct ion

de pond6ra t ion H(t), h savoir :

- - 1 8 - -

t. 24, n ~ 1-2, 1969]

L (5) FH(, 0 = (H , H~)(~/ = H(0 H * ( t - ~) dt

[ol, H~ (t) = H * ( - - t)l,

les propri~t6s eonnues (voir par exemple [4]) d 'un flltrage lin6aire permet tent de d~terminer la eovarianee de l '~ehantillonn6e Z = ~ [ Y ] ; nous avons, eompte tenu de la premiere expression (4a),

(4b) rA.)=(r,..r.)(~)=o Z r~(mO) r , , ( ~ - - toO).

c) On obtiendrait des expressions tou t fi fait simi- laires pour la covariance mutueIIe (ou fonction d' inter- corr61ation) de deux 6chantillonn~es, Z~ et Z 2.

Q U F ~ L Q U E S P R O B L / ~ M E S D ' . ~ C H A N T I L L O N N A G E

(6)

}

2 .3 . D i s t r i b u t i o n s p e c t r a l e 6 n e r g 6 t i q u e .

Soit 7y(v) la distribution spectrale ~nerg6tique de Y(t), donc la transform6e de Fourier de Fy(~). Si nous utilisons la dernibre expression (4a) de cette covariance, nous obtenons imm6diatement :

(5a) vvO') = ~ vx(" + n/O).

3/13

et $r(~) = Yr(v) - - [ E{ Y} [z ~(~)

ou rx( , ) = r ~ ( , ) - [ z i x } i =.

On tire de (5a) et compte tenu de (3a) : (7)

+av

~O) = Z ~x(~ + n/0) + I E {x} I ~ Z ~(~ + k/0), n----~r k~O

(k de - - o o ~ + o o saul 0)

d'ofl rdsulte l 'expression de yz(~) = t h ( v ) [ ~ yr(V)- Comme il se doit, ces spectres de fuc tua t ions ne comportent pas de raie /~ l'origine, et nous avons en particulier les expressions suivantes 6tendues par l 'emploi de la formule de sommation de Poisson (cf. Appendiee, w 6) :

(8a) 7r(0) = ~ Vx(m/0)= 0 ~ r~(n0),

(8b) + ~ ~ + ~

vz(0) = Ih(0) 12 ~ 7x(rnlO) = 0 [ h ( 0 ) [z ~ rx(nO),

La distribution spectrale 6nerg6tique de l '6chan- tillonn6e propre apparai t ainsi comme la superposiiion de routes les translations de puissances multiples de 1/0 - - cadence d'dehantil lonnage - - obtenues it part ir de la distribution speetrale 6nerg6tiqne de la g6n6- ratriee.

Pour ce qui a trai t uniquement h la statistique de second ordre et h t i tre d ' fquivalence purement for- melle, on peut dire que le spectre yr(v) de l '6chan- tillonn6e propre est le m~me que celui yx(V) de la g6nfratrice h laquelle se superposerait un brui t additif ((, bruit d ' fchant i l lonnage ~>) ind6pendant, centr6 et de distribution spectrale 6nerg6tique : Z vx (~+ k/0).

k r

Pour l '6ehantil lonnage g6n6ral, on obtient h part ir du r6sultat pr6e6dent :

Les propri~t6s (4b) et (5b) s 'appl iquent sans modifi- cation de forme h la statist ique conjointe de deux 6chantillonn6es d 'une m6me g~n6ratrice X avec une suite syncbrone des t~ : Z~(t) et Z2( 0 obtenues respec- t ivement par les fonctions de pond6rat ion Hl(t ) et Hu(t). Dans ces conditions, la fonction d'intercorr6- lation F H = (H 1 * H2#)(~) est h utiliser dans (4b), alors que sa transform6e de Fourier h~(~) h2*(~ ) se substi tue h I h(~) [z dans (5b).

2 .4 . F l u c t u a t i o n s .

I1 est utile pour la suite d'6tablir une cons6quence de (5) po r t an t sur la distr ibution spectrale 6nerg6tique des fluctuations de l '6chantillonn6e, quantit~ ayan t t rai t h la composante centrde de Y (on de Z). Affectons du symbole tilde les grandeurs relatives aux compo- santes centr~es ; par exemple :

3. P R O B L ~ . M E S D E T R A I T E M E N T L I N I ~ A I B E

( i n t e r p o l a t i o n o p t i m a l e )

Le problbme g~n6ral sera pos6 de la mani~re sui- vante : un signal continu al6atoire (au sens large d ' un m~lange de signal et de bruit), reprO!sent6 par la fonetion aldatoire X(t) devrait subir un filtrage lin6aire 9 donn6, de fa~on h c e que sa transformde 9 [ X ] satis- fasse h u n certain crit~re. Lorsque X est ~chantillonn~e, il s 'agit alors de rechereher la forme de la fonct ion de pond6rat ion H(t) qui, soit directement, soit aprds t ransformat ion dans un certain filtre lin~aire h d6flnir, fournit une 6chantillonn~e Z(I) approchant au mieux en moyenne quadratique la transform6e g [ X ] d6sir6e, c'est-h-dire :

(9) 9 [ X ] t = (G * X)~t_~),

oh G(t) est la r~ponse pereussionnelle du filtre 9 ; ceei avee un d~ealage temporel 6ventuel v. I1 s 'agit done de rendre minimale la distance :

(lo) ~ = n { [ z(t) - - (G , x)~,_ , 1~ }, par le choix opt imal de H(t) dans

Z(t) = 0 Z X(tj) H(t - - tj). 1

En d6veloppant r on obtient tou t d 'abord, d'apr~s (4b) :

E I I Z [2 I = rz(o) = o Z rx(mO) r . ( - - m O ) = m

0 5 Y~ rx(m0) m

puis, selon la d~finition rapidement h :

__~H(;~) H*()~ + m0) dX ;

(1), un calcul simple conduit

n I z ( 0 . (G , X ) L , t =

~H(X) r~(~ + ~ x) ; G*(~) d~ d~

- - 19 - -

4 /13

d'ofi l ' express ion de la dis tance h minimal iser :

=0Z rx(m0)J/H(x) H* ( X +m0) dX + E l i ( G . E 2 x)12 I -

,I,I[H(X),,. G*(~) r x ( ~ + ~ - x) +

H * ( ; 0 G(Iz) r~ (~ + ~ t - - k)] dX diz.

Ce probl6me de va r ia t ions condui t h annuler s imul ta- ndment les ddriv6es par t ie l les de ~2 pa r r a p p o r t h H et H* considdrdes comme ind6pendantes . I1 en r~sulte deux dquat ions d 'Eu l e r qui s ' av~rent 6tre conjugu~es l ' une de l ' a u t r e ; il suffit donc d ' en consi- ddrer une seule, qui assure la condi t ion d ' ex t r~mum sous la forme (on a t enu compte de la symdtr ie her- mi t ique I ' ( - - -:) = U*(~)) :

(12a) 0 5~ rx(m0 ) H(X - - m0) = (G , rx)(x_,) ,

off _H(t) est la r6ponse ext r6male .

Si nous faisons appel h la premi6re expression (4a) de ]a covar ianee Fy(x) de l 'dchant i l lonnde propre , nous pouvons rdcrire cet te condi t ion sous la forme :

(12b) ( H , l~r)(?,, = (G * Fx)(z_z) ,

ce qui pe rme t de donner h la condi t ion d ' e x t r d m u m l ' i n t e rp rd ta t ion su ivan te : la t ransformde de la cova- r iance l~r de l 'dchant i l lonnde propre dans un filtre a y a n t pour r6ponse percussionnel le la fonct ion de ponddra t ion ex t rdmale H(t) s ' ident i f ie h la t rans- form6e de la covar iance F x de la g6nfra t r ice dans le filtre 9 considdrd, ceci au r e t a r d v pr~s.

En outre, du fai t qu 'une covariance p ropre est dd/inie positive, il est ais6 de voir que la va r i a t ion seconde de r est non n6gat ive lorsque l a c o n d i t i o n (12a) est respect~e : l ' cx t rdmum assur6 est b ien un minimum pour r

3.1 . F o r m u l a t i o n fr6quent ie l le .

Prenons les t rans formdes de Four ie r des deux membres de (12b), en in t rodu i san t le gain complexe g(v) .~- G(t) du filtre 9 et la t ransform~e de Four ie r h(v) de la fonct ion de pond~ra t ion op t imale H(t). Usan t de l ' express ion (5a) de yy(V), le th~or~me de Planchere l nous condui t h la fo rmula t ion fr~quentiel le de l'interpolation optimale :

(13) h(v) = g(v) + . e

Z ~'x(v + k/O) k=--oo

3.2 . Erreur m i n i m a l e d ' in terpo lat ion .

P o r t a n t la condi t ion (12) dans (11), nous obtenons l ' e r r eu r min imale :

Inf ~2 = E I [ (G * X) t 2 } - - (/./__ * G $ * r*)(~). Le premier t e rme du second membre reprdsente la puissance h la sort ie du filtre 9 excitd pa r X et s 'ex- p r ime ais~ment au moyen de la d i s t r ibu t ion spectra le 6nerg~tique de X ; le second te rme peu t s ' expr imer

G. BONNET [ANNALES DES T/2LI2COMMUNICATIONS

f r~quent ie l lement au moyen du thdor~me de P lan- cherel ; ce qui donne :

~RR! 2~1~ I n f e 2 = [ g(~)[2 yx(V ) _ e h(v) g* (v) yx(V)] d r ,

(Yx ~- Yx # est rdel et pa i r ) ; ou encore, en u t i l i sant (13) :

VxO) Z Vx( v + klO) (14) Inf e ~ = ~ l g ( v ) ] 2 k:#0

+~ dr . t/Rt

Z "~x( v + klO)

La dis t r ibut ion spectra le dnerg6tique yx(V) 6 tant rdelle et non ndgat ive, il a p p a r a i t que ce t te er reur est d is t r ibude sur l ' axe des frdquences avec une densitd rdelle et non ndgative repr6sentde par I ' i n t6gran t de (14).

3 .3 . C o m p e n s a t i o n d ' 6 c h a n t i l l o n n a g e .

Les re la t ions (13) et (14) reprdsen ten t un rdsu l ta t in t f r e s san t pa r l ' i n t e r p r f t a t i o n que l 'on peu t en obte- nir : supposons t ou t d ' a b o r d que le f i l t rage g h appro- cher pa r l '6chant i l lonnage soit un /iltre identitd, G(t) = 8(t) ; g(v) = 1 Yr. Les condi t ions t rouv fe s sont celles qui conduisent h la restitution optimale de la gdndratrice et les formules (13) et (14) se r6duisent h celles d6jh publi6es an t f r i eu remen t [5] ; en pa r t i - culier :

(15) ho0) = . ~ e ,

Z ~x( v + k/O)

reprdsente la t rans formde de Four i e r de la f0nct ion de pond6ra t ion Ho fournissant la compensation optimale des e/[els d'dchantillonnage. En nous r e p o r t a n t h l ' i n t e rp r6 ta t ion de p a r a g r a p h e 2, on p e u t dire aussi bien que ho(v) est le gain complexe d 'un fi l tre ~ o qui, a t t aqu6 pa r l'dchantillonnde propre de X(t), recons t i tue ce t te gdndratr ice avec le m i n i m u m d 'er reur .

a) Alors la formule (13), qui pcu t s '6crire :

(16) hO) = g(v) ho(v) ,

mon t r e c la i rement qu ' i l rev ien t au m6me de r4aliser d i rec tement l ' i n t e rpo la t ion de g [ X ] au moyen de la fonct ion de pond6ra t ion Ho ~ ho, puis de fl l trer ce t te ~chanti l lonn4e dans un filtre , o rd ina i re , qui se confond avec le filtre envisag6 G # g ; ou encore de fi l trer l 'dchant i l lonn~e p ropre (2) dans une cascade de filtres de r4ponses Ho et G, ce qui ~quivaut fi un filtre unique de rdponse (H 0 * G).

b) R4alisabi l i t4 phys ique : la formule (15) m o n t r e

que Ho(t ) est rdelle, car h o ( - - v) = h*O) ; de plus, elle donne man i fes t emen t :

+co 2~,i (~ +k/0) x Z hoO + klO) e = 1 ' i v ,

k = . - ~o

re la t ion qui, conform6ment h un th6or6me de l ' a u t e u r [6] mon t r e que Ho(t) est soumise h la eon t r a in t e Ho(*) = 1]0 avec l ' a l t e rna t i ve :

- - ou bien Ho(t) s ' annule pour t = �9 + m0, Am

- - 20 - -

t . 24, n os 1-2, 1969]

entier =7 (: 0. Ce cas es~ le seul possible si he(v) et donc y.x(v) est h suppor t born6 ;

- - ou bien, He(t) est "h support bornd [.~ --- O, v + 0] et s ' annule aux fronti6res. Alors Ho(t + z --- 0) = 0 pour t < 0, r6pond au pr incipe de causalit6 tou t en demeuran t r4elle. Nous en d6duisons pour ce cas que la compensation optimale d'dchantillonnage est phgsiquement r~alisabIe mogennant un retard "~ > 0 au plus dgal it la pdriode O. De plus, en nous r epo r t an t

(13) et (16), nous voyons que, si de son e6t6 le filtre est phys iquemen t r6alisable (G(t) r & l et nul pour t < 0), l ' i n t e rpo la t ion op t imale pa r (Ho * G) est r6alisable m o y e n n a n t un r e t a rd au plus 6gal h 0.

Pour ce qui est li6 h la premi6re condit ion, la r6al isabil i t6 n6cessite d ' a d o p t e r un r e t a rd plus im- po r t an t , m6thode ne p o u v a n t s 'av6rer g6nante qu 'except ionne l lement .

3.4. Le problbme de tra i tement opt imal pour u n appareil phys ique d '6ehant i l lonnage .

L'6quiva lence 6voqude entre pond6ra t ion et f i l t rage va s 'av6rer pr6cieuse en p ra t ique : des consid6rat ions technologiques conduisent ~ pond6rer chaque prise d '6chant i l lon pa r une fonct ion He(t) de forme s imple plus ou moins impos6e (par exemple une impuls ion rectangulaire) . L ' appa re i l phys ique d 'dchant i l lonnage ainsi cons t ru i t se t r a d u i t pa r un mod61e 6quivalent form6 de (Fig. 1) :

a) un opdrateur non homogdne ~,o t r a n s f o r m a n t la g6n6ratrice X(t) en son 6chanti l lonn6e p ropre Y(t), conform6ment h la d6finit ion (2a) : Y(I) = G0[X(t)] =

x( t ) a0(t - - to);

b) un [iltre lindaire 3Ce de r6ponse percusionnelle H~(t) ~ ho(~).

On pour ra i t en t reprendre un nouveau calcul de var ia t ions pour d6 te rminer quel t y p e de filtre op t imal ~- de rdponse pereussionnel le F doit 6tre appliqu6 h la sort ie de l ' appa re i l phys ique d '4ehant i l lonnage , de fa~on h min imal i se r la d i s tance E { I (Z * F ) - - (X * G) I ~ ]. Un te l ealcul peu t cependant 6tre 6vit6 grace fi la consid6ra t ion des mod61es 6quivalents .

En effet, d 'apr6s ce qui pr6c6de, la solut ion du t ra i - t emen t l in6aire o p t i m a l eonsis tera ~ faire suivre l ' appa re i l pr6c6dent d ' un filtre lin6aire Y de gain eomplexe / ~ F tel que f(v) he(v) ~- _h(v) d6crit pa r (13) ; soit encore :

he(v) g(v) f(v)

he(v)

conform6ment h (16). On a donc F = JCe -1 JCo g et ce filtre est form4 :

a) du filtre inverse JCe -1 de JC e qui redonne l'dchan- tillonnde propre de X(t) ;

b) du fittre JCo qui assure la compensation d'dchan-

tillonnage, cf. (15) ;

c) du filtre ~ r fa l i san t le traitement lindaire souhait6.

Dans ces condi t ions, l ' e r reur d ' i n t e rpo la t i on demeure eelle donnfe pa r l ' express ion (14).

Q U E L Q U E S P R O B L I ~ ; M E S D ' E C H A N T I L L O N N A G E 5/13

Y "~X

k _ _ ) \ ~ 1

appareil filtre optimal

Fro. 1. --- Structure du filtre optimal d'interpolation h la sortie d'un appareil physique d'6chantillommge.

3.4 .1 . Une premi6re remarque nous pe rme t m6me de pr6ciser c la i rement darts quelles condi t ions la forme exacte impos6e h la fonct ion de pond6ra t ion p a r l ' appare i l phys ique a peu d ' impor t a nc e pour la s t ruc - ture du filtre op t imal : il suflit que le t emps de r4ponse du filtre 9 h approcher soit trds grand devant la p6riode O. En effet, il en est alors a/ort iori de m6me (en tan t que p rodu i t de convolut ion) pour te t emps de rdponse du filtre JCog; h l 'oppos6 la fonct ion de pond6ra t ion de l ' ap- p a r e i l - - r 6 p o n s e du filtre ~ e - - a tou jours pa r construc- t ion une darde in/drieure it 0 et 3Ce -1 est ~ la rge bande devan t ~o.q. I1 en r6sulte que l ' influence de 3Ce -1 sera r i t e n6gligeable e t cela d ' a u t a n t plus que l ' impuls ion sera br6ve d e v a n t 0. Ainsi, la condi t ion pr@it6e pe rme t d ' ass imi le r JCo9 /a 5- = JCe -1JEog, au t r emen t dit , de r6aliser le t r a i t e m e n t op t imal au moyen d ' un filtre combinan t le filtre ~ recherchd et le /iltre JCo de compensation d'dchantillonnage, ceci p resque ind6pen- d a m m e n t de la forme exacte de l ' impuls ion phys ique d 'dchant i l lonnage (sous la r~serve indiqu6e pour sa dur6e). Enfin, si ~ est ex t r~mement s61ectif, la no t ion de filtre op t ima l finit pa r pe rd re tou t int6r6t, car ~- ~ 9 et l ' e r renr q u a d r a t i q u e m o y e n n e sur l ' in te r - po la t ion ne d @ e n d plus que de la seule cadence d'dchantillonnage :

vx(o) Z v~(k/0) k ~ 0

+o 1[ g l l : II g II est la yx(k/0) norme L ~ de g(v).

3.4 .2 . Remarquons enfin quc t o u s l e s r4sul ta ts prdc6dents s ' app l iquen t h t ou t e fonct ion al6atoire X(t) s ta t ionnai re , en pa r t i cu l i e r lorsque cet tc dernibre repr4sente la superpos i t ion d ' u n signal et d ' un b ru i t al6atoires s ta t ionnaires . Ains i ~- = J~e -1 J~o9 per- m e t t r a d ' app roche r au mieux, dans une t e chn ique d 'dchant i l lonnage , un flltrc de pr6dict ion, de lissage, etc.

3.5. Interpolat ion convergente .

En consid6rant la re la t ion (14) qui donne l ' e r r e u r d ' in te rpo la t ion , on voit que la d is tance est nulle si (en dehors du eas t r iv ia l yx(V) = 0, Vv) l'on a :

u N y.,.(v + k/0) = o , u k-dO

Comme yx(V) est non n6gatif, eet te condi t ion se ram6ne h :

(17) 7x(v) yx(V + k[O) = 0 , Vk entier ~ O e t V v .

Si cet te re la t ion est respect6e, l '6chant i l lonn6e Z(t) et la fonet ion al6atoire rechereh6e g [X] convergent en

- - 21 J

6/13

mogenne quadratique : il y a (~ interpolatiou convergente ~>.

Or, (17) ne peu t ~tre respect6e que si 7x(~) est ~ suppor t born6 : l ' i n t e rpo la t ion convergente n ' es t done possible que pour des signaux ~ spectre limitd. Nous considd- rerons deux cas.

3.5.1. Cos gdndral.

Le suppor t de Yx occupe la bande [ - - B, § B]. Alors 7x(v) et yx(V + k/O) seront dis joints Vk si,

et seulement si : '

(18) 110 >1 2 B .

La borne inf6rieure 2 B admise pour la cadence s ' ident i f ie h la tr6s c616bre <~ /rdquence de Nyquist ~) de la thdorie de l ' in format ion ,

3.5.2, Cos particuUer : signal d spectre dtroit.

7x(V) a pour suppor t une bande de la rgeur B centr6e sur une frdquence Vo ainsi que sa sym6t r ique du c6t6 des fr6quences n6gat ives ( B e t Vo > 0). La formule (18) indique une frdquence de Nyqu i s t @ale h 110 N = 2 vo -~- B ; cependant , on peu t voir ais~!ment que ce t te forme par t icul i6re de spectre pe rme t d '6v i te r des empi6 tements et donc, de sat isfaire (17) pour certaines cadences in/drieures ~ la /rdquence de Ngquist. n faut pour cela, en consid6rant les premiers voisins de la bande spec t ra le posi t ive pa r exemple :

a) t ou t d ' a b o r d que ~o + . B ] 2 - 1/0 ~< Vo--__B]2 et s imul tan6ment , Vo - - (B]2) + 1]0 /> Vo § B]2, a u t r e m e n t di t que 1/0 >i B,

b) qu ' i l exis te un ent ier k (ici posit if) te l que :

- -~o + B]2 + k]O <~ v o - - B / 2 e t s imul tan6ment :

- - v o - - B / 2 + (k + 1)]0 ~< Vo + B]2, d ' o f l l ' o n t i r e

en posan t :

( 1 9 ) ~ = ~olB ~ ~ >1 112

quant i t6 6gale h l ' inverse de la la rgeur de bande re la t ive du signal, la bande permise pour la cadence d '6chant i l lonnage :

(20) --ff-e 2 B k + l , 2 B - - .

I1 en d~eoule la condi t ion sine qua non :

(21) 0 ~< k <~ E n t ( ~ - 1/2)

avec, pa r sym6tr ie , des r6sul ta ts similaires pour la b a n d e speetra le n6gative. On en d6dui t l ' ex is tence d 'une cadence minimale :

a -4- 1]2 (22) Inf 1/0 = 2 B E n t ( a + 1/2) '

va leur sup6rieure ou 6gale ik 2 B e t comparab le ~ ce t te quan t i t6 ( Inf 1/0 ~ [2 B, 4 B ] ) , p o u v a n t s 'av6rer tr6s inf6rieure h la fr6quence de Nyqu i s t :

(23) 1/0 N = 2vo + B = 2 B ( a -/- 1 / 2 ) ,

si a est tr6s grand.

I1 en r6sulte que :

G. B O N N E T [ANNALES DIIS TELFiCOMMUNICATIONS

a) la fr6quence de Nyqu i s t (23) reprdsente la borne inf6rieure de la cadence t a n t que = ~ (1/2, 3/2), soit k = 0 ; il s ' ag i t de largeurs de b a n d e sup~rieares dt 1 octave ;

b) d6s lors que a 1> 3/2 (moins de 1 octave) , inter- v iennen t dans (21) d ' au t r e s va leurs pour k et, d ' apr6s (20), d ' au t r e s ensembles de cadences possibles. Ces derniers sont repr6sent6s (Fig. 2) en va leur r(!duite et en fonct ion de ~, les zones hachur6es co r re spondan t aux cadences permises pour une in t e rpo la t ion conver- gente.

0 ! ~ o i

=9

2 i ' i '

Nyquist

�9 ~ i (2 Be;"

FIG. 2. - - Ensemble des cadences permises pour l'interpolation convergente (h comparer avee J. Duflos [3]).

Les r6sul ta ts exprim6s pa r (20), (21) et (22) coin- c ident avec ceux obtenus pa r t rois au teurs dans des domaines diff6rents de celui 6tudi6 ici concernan t l ' i n t e rpo la t ion op t imale d ' une t rans formde l indaire de fonct ion al6atoire.

a) A. Koh lenberg [2] expr ime les condi t ions n6ces- saires pour la r e s t i t u t ion sans er reur d 'une /onction ddterministe ~ bande 6troi te 6chanti l lonn6e. I1 est alors normal qu ' i l y air concordance, puisque les condi t ions qui assurent la r e s t i t u t ion sans er reur d ' une covar iance - - fonct ion d6terminis te - - sont celles qui conduisent (cf. w 3) fi l ' i n t e rpo l a t i on convergente .

b) J . Duflos [3] expr ime les condi t ions n6cessaires pour que l ' 6chan t inonnage ne pe r tu rbe pas le rapport signal~bruit lors d ' un t r a i t e m e n t quad ra t i que en pr6sence d ' un spect re 6troit . I1 est normal de s ' a t t e n d r e

ce que ce r6sul ta t soit a t t e i n t d6s lors que sont acquises les condi t ions qui r e spec ten t la quant i t6 d ' i n fo rma t ion contenue darts X(t) (ceci sera consid6r6 en ddtai l au pa r a g ra phe 5).

c) C. van Schooneveld [1] a 6tabl i pa r les condi t ions prdcit6es la possibi l i t6 de respecter une cer ta ine fonct ionnel le du signal, a u t r e m e n t di t de r6aliser sans er reur un t r a i t e m e n t l in6aire, lorsqu ' i l s ' ag i t d ' un signal ddterministe h bande 6troite. I1 est heu reux de cons ta te r l ' ident i t6 des condi t ions avec le cas al6a- toire , ce qui s ' in te rpr6 te comme pour A. Kohlenberg .

4. P R O B L ~ . M E S D ' E S T I M A T I O N D E M O M E N T S D U S E C O N D O R D R E

( v a r i a n c e s e t c o v a r i a n c e s )

Consid6rons le couple { Xl(1) , X2(t ) J de fonct ions al6atoires s ta t ionnai res dans leur ensemble. Supposons-

- - 22

t . 24 , n os 1-2, 1969] Q U E L Q U E S P n O B L / ~ M E S

les centr6es pour simplifier, car l ' es t imat ion de moments

du premier ordre - - t r a i t ement linfiaire - - entre dans le cadre du paragraphe prfie~dent. Soit :

F~(v) = E t X ~ ( I ) X~(t - - v )} ,

leur covariance mutuelle. On cherchera h estimer cette derni~re quant i t~ h la suite d ' un dchantillonnage sgnchrone du couple (Xe 6tant retard6e de v au pr~alable), h la m~me cadence 1/0 et avec ta m~me fonct ion de pond~rat ion H. In t e rv i ennen t ensuite une mul t ip l ica t ion des ~chantillonn6es, puts un filtrage lin~aire passe-bas ~- (Fig. 3) fournissant la variable

al6atoire f2a2('r ) h la fin d ' un interval le d 'observat ion [0, T].

Le probl~me est d ' abou t i r pour ft~2/~ une esp6rance ma th6mat ique 6gale h la covariance recherch6e r x (es t imat ion sans biais) et de d6terminer l 'erreur

s ta t is t ique de eette est imation (rapport signal/bruit) .

Z~ (t)

Retard s Z~ (t) F[It[e P.B.

O,H

�9 ~n (r

Fro. 3. - - Estimation d'une covariance apr~s ~chantillonnage (corr~lateur ~ ~chantillonnage).

4.1. E s t i m a t i o n sans biais de la covar iance .

Int roduisons la fonction al~atoire produit :

(23a) (I)x2(t, z) = Xx(t) X ~ ( t - z)

telle, par d6finition, que :

(23b) E / q)~2(t' z) / = F v~e(v).

Ecri~ons sa covarianee propre :

(24) Fr = E / ~(t, z) r u, , ) } =

E / X t ( t ) X ~ ( t - - u ) X ~ ( t - - ~ ) X 2 ( t - - u - - ~ ) 1 ,

et yr ~ - r e sa dis t r ibut ion spectrale 6nerg6tique. Introduisons, d ' au t re part , la fonction al6atoire

produi t associ~e aux ~chantillonnfies Z 1 et Z2 des signaux, soit :

(25) W~2(t , v) = ZI(t ) Z~(I).

Normalisons, d~s ma in tenan t , le filtre passe-bas ~- de r~ponse F(t) de telle fa~on que son grain ~ l 'origine soit uni taire :

(26) f(0) = 1 soit < F, 1 > = F(t) dt = 1 .

II en r~sulte que E t a ~ } = E I ~F~2(t , , ) } e t e'est eette derni~re quant i t6 qu ' i l convient done de rendre

~gale /~ la covariance rx( -0 pour une es t imat ion sans biais. Nous repor tan t ~ l 'expression (1) de l '~chantil- lonn~e Zf l ) et h l '~eriture (5) il nous est facile de

parvenir , m o y e n n a n t une man ipu la t ion tr~s simple,

la condit ion :

(27) ~ao

E t , r~dt , ~) I = o E r ~ ( ~ - - too) r . (mO) ---- r ~ ( ~ ) ,

D ' I ~ C H A N T I L L O N N A G E 7/13

d'ofl l 'on tire, par t ransformat ion de Fourier en x :

(28) 0 E e r . ( m 0 ) = 1 , V ~ .

On peut obtenir en formulat ion frgquentielle la corldi-

t ion sur h(v) en t e n a n t compte de ee que I h(v) i 2 est la transformge de Fourier de F u = ( H . H # ) et en

appl iquant la formule de Poisson, ce qui donne :

(29) ~, l h(v + k[O) ]2 = 1 .

La relation (28) devant ~tre v~rifi6e Vv, il en r~stllte une condit ion suffisante [6] pour obtenir la proprl6t6 recherch~e, ~ savoir que Pn(mO ) = 0 pour tou t m entier v~ 0 et que, s imul tangment , FH(0 ) = 1/0. Ainsi, les condit ions d 'une estimation sans biais s0nt-

elles :

a) la /onction de ponddration H(t) de l'dchantillonnage dolt dtre h support bornd, d'une mcsure au plus dgale

la pdriode 0 :

(30) H(t) = 0 sauf t ~ [%,0o + 0], (0o arbitraire).

En effet, F H = ( H * H # ) a alors pour support [ - - 0 , + 0] et s ' annule aux fronti~res, ee qui fait que :

I ~ (m0) = 0, sauf m = 0 ;

b) le carrd de la norme dans L 2 de la /onetion de ponddration doit ~tre ~gal gt la cadence d'dchantillonnage :

(31) 11HII2 = 1/o on r . ( o ) = I N ( t ) ] dt = - - ar

Alors que la condit ion (31) peut ne pas ~tre respect6e, quitte/~ introduire un facteur de correction dans l 'esti- ma t ion de la covariance, la relat ion (30) pr6sente une importance prat ique considerable ; nous pouvons conclure en disant qu'un corr~lateur it ~chantillonnage esl susceptible de [ournir l'eslimation exacte en valeur moyenne d'une covariance avec deux propri~t6s de

grande valeur prat ique.

Le r~sullat E I tFa2 I - F12 est ind~pendant de la cadence d'~chantillonnage et aucune consid6ration de signal h bande limit6e ou de fr6quence de Nyquis t n ' a besoin d ' in tervenir .

La ]orme de l 'impulsion de portal,ration de l'dchan- lillonneur peut ~tre quelconque sons r~serve que sa duroc soit inf~rieure/t la p~riode 0.

On pourrai t choisir par exemple une forme rectan- gulaire de dur6e a0 (cr ~< 1), la condit ion (31) imposant alors une hau teur 6gale h ~-112. Notons que ees pr6-

visions th6oriques ont 6td ent i~rement confirm~es par

les exper imentat ions de C. Lardat [9] et D. Berthier

[10].

Nous allons voir m a i n t e n a n t que, si la forme des

6chantil lons peut demeurer arbitraire (ceci ~ tant rapprocher des conclusions du paragraphe 3.4.1), la cadenee in te rv ien t directement clans l ' impor tance de l 'erreur statist ique.

I 23 - -

8/13

4 . 2 . E r r e u r s / a t i s t i q u e d ' e s t i m a t i o n d ' u n e c o v a r i a n c e .

I1 nous faut calculer la var iance de la g randeur de sortie ~2 de fa~on h connal t re l ' e r reur moyenne quadra - t ique d ' e s t ima t ion ou h ut i l iser la not ion de r a p p o r t s ignal /brui t , le (, signal ~> ~tant ici la covariance estim6e :

[ @ ] = IFx(v) l~Varf t

Une 6tude s~rieuse consis tera i t h reehercher le filtre ~- op t imal qui min imal i se ra i t la var iance Var f~ ; les condit ions habi tuel les , pour lesquelles la dur6e d 'obse rva t ion T e s t tou jours ex t r6mement grande devan t lc t emps de corr61ation des ph6nom~nes, nous pe rme t t en t cependan t de nous en dispenser. C'est en effet un r6sul ta t fort b ien connu que, dans de telles condit ions, on peut , sans p e r t e appreciable , subs t i tue r au filtre op t ima l un filtre in t6gra teur de t emps de r@onse T, ou m~me un filtre passe-bas quelcouque dont la bande passan te 6nerg~tique est choisie 6gale h l I T et que l 'on ob t i en t alors :

(32) Var f2 = ~ ~,+(o),

off yq.(v) est la d i s t r ibu t ion spectra le 6nerg6tique de

la fonct ion al6atoire centrde ~F = ~F - - E { 'F } . Dans la mesure off la condi t ion (30) est respect6e,

le calcul de 7,r,(v) est g r andemen t facilit6 si nous

remarquons que ~Fl~(t, z), d6fini pa r (25) en t a n t que p rodu i t d '6chant i l lonn6es , est ident ique h la fonct ion al6atoire que l 'on ob t i endra i t en ~chant i l lonnant , ~ la cadence 1[0 et au moyen d ' une fonct ion de pond6- ra t ion H'(t) = 0 [ H(t) 12, Ia fonct ion p rodu i t r .r) d6finie pa r (23). Nous pouvons done d6crire la dis t r i -

but ion spectrale 6nerg6tique y~(v) des f luc tuat ions de r en u t i l i san t les r6sul ta t s de pa r ag raphe 2.3.

Ainsi, dans (32), les re la t ions (8b) p e r m e t t e n t

d '6cr i re :

1 ]h , (0 ) ]~ E Yr ' Var s -- T ,,=_

off h' est la t ransform6e de Four i e r de la fonct ion de pond~ra t ion H ' = 0 ] H ]L Or, h'(0) = < H ' , 1 > = 0 II nil v a u t 1 d 'apr~s la condi t ion (31) et nous ob tenons les deux formula t ions 6quivalentes :

1 + ~ (33a) Var I2 -- T,,,=_~ u 1 6 2 (m]O) ,

( formula t ion fr6quentielle),

0 + ~ - ~ (33b) Var f~ -- T , = _ ~ ~ F ~ ( n 0 ) ,

( fo rmula t ion temporel le) ;

off, rappelons- le , ~.~ represente la d i s t r ibu t ion spect ra le 6nerg6tique de la fonct ion al6atoire centrde

q) = ( I ) - - E l ( I ) } et F r sa covarianee, m o m e n t

G. B O N N E T [ANNALES DES TELECOMMUNICATIONS

(34)

F~(u) = E { XI(I ) X ~ ( t - - z ) X ~ ( t - - u) X z ( t - - v - - u ) } - -

I E I x (t) x (t- Envisageons m a i n t e n a n t deux cas extr6mes.

4 .2 .1 . C a d e n c e s f a i b l e s .

I1 convient de recouri r h l ' express ion (33b) de la var iance. Lorsque 0 est suff isamment grand pour que X3.(t) et Xj.(t - - 0) ne soient plus corr6lfs, l ' express ion (34) mon t re que Fr = 0 pour tou t ent ier n ~ 0 et la var iance se r f d u i t h :

(35) o o

l im Var f~ = ~ - F r - ~ 0 ~

I E{ x (t) )11 �9 Ce r~sul ta t est int~ressant : il m o n t r e que la var iance de l ' e s t ima t ion est, pour une cadence faible, p ropor - t ionnel le h l 'inverse du hombre T[0 d'dchantillons non corr~lds ulilisds pour l'observation. Dans un au t r e langage, le r a ppo r t S [ B est p ropor t ionne l h ce nombre .

Si les Xj sont r6els gaussiens, le m o m e n t du 4e ordre s ' expr ime au moyen des covar iances (P~ 1 et I 'x ~2, covarianees propres des s ignaux, ainsi que Fix 2 leur covar ianee mutuel ie) ; on ob t ien t h pa r t i r de (35) :

0 (353) Y a r n = ~ [a~z~ + ( F p ( , ) ) 2] , (z~ = F/x/(0)) ;

enfin, si X 1 = X 2 , de var iance z~ :

0 21 �9 (35b) V a r n = ~ [ ~ + ( r : ( ( v ) )

4 . 2 . 2 . C a d e n c e s ~ l e v ~ . e s .

D'apr6s la formule d 'Eu le r -McLaur in [12], la pa r t i e pr iac ipa le de (33b) est alors repr6sent6e pa r l ' in tdgra le :

1 ~ +~r 1 , ~ p.p. V a r a = T J _ ~ I ' r du = ~ - u

qui est le t e rme de rang nul de la s6rie (33a) h laquel le il est done pr6f6rable de recouri r pour d~crire la v a - riance. E t a n t donn6 que ff~(l, ~) = X(/) X*(t - - ~),

la quant i t~ l i T ~2"~(0) = a~ s 'av6re jus t emen t , pa r analogie avec (32), represen te r la var iance de l ' e s t i - mar ion que l 'on ob t i endra i t sans recouri r h u n ~chan- t i l lonnage tou t en respec tan t la mdme dur6e T d 'obser - va t ion (corr61ateur analogique). On peu t donc r a p p o r t e r la va r iance Var ~2 d ' un corr61ateur h 6chant i l lonnage h celle Var A d ' un corr~lateur ana logique en 6crivant ,

selou (33a) :

Z r (36) Var ~2 = Var A =

re (o )

Var a 1 + [2/u ~ , ~ ( m [ O ) ,

off ~.v(~) est toujours la t rans formde de Four i e r de du 4 e ordre en X exprim6 h p a r t i r de (24) et de (23b) p a r : Pc(u) exprim6 pa r (34).

- - 2 4 - -

I. 24, n "~ I-2, 19(;9]

On peut en d~duire les conditions pour tesquelles l'dchantillonnage n'augmente pas l'erreur d'estimation :

Otant donn6 que 7~ est r6et non n4gatif, il faut et i 1

suffit que yo soit fi suppor t born6, done que les X] g~J

soient it spectres bornds, c 'es t -h-dire y@(v) = 0 pour v ~ [ - - N, + N]. Alors l ' e r reur &es t ima t ion sera inva r i an te pa r 6chant i l lonnage si l 'on adop te une cadence 1]0 supfirieure h N.

Ce rOsultat appa raR cla i rement dans deux cas :

a) X 1 et X~ sont ind~pendants, de spectres ~ner- g6tiques a y a n t leur suppor t ~ [ - - B, + B]. On a alors, d 'apr6s (34) :

Pr r ~ ( u ) 22* = r x ( u ) .

D'ofi ~L'~(v) -- ( y ~ , u dont le suppor t ff [-- 2B, + 2 B ] . I1 faut done adopte r , pour une pe r t e nulle, une eadenee 1/0 /> 2 B ;

b) X~ et X~ sont r6els et gaussiens darts leur ensemble.

On a : r ~ ( u ) = " r~?(u) 12 rx(U F x (1l) + § ~) r21(u--- ~).

I1 en rdsulte :

22

I ' + " 12 21 e -2:i''~ e ~ixz yx(X) yX(V - - X) dX.

Si les d i s t r ibu t ions speetrales finerg6tiques u out leur suppor t ~ [-- B, + BI, il e n e s t de m~me a/ortiori des d is t r ibu t ions speetrales d ' i n t e r ae t ion y~'(v) ; il s ' ensui t que la eadenee min imale pour un t r a i t e m e n t sans per tes vau t 2 B.

On t rouvera i t sans peine, pour le ehoix des cadences autoris~es, des r4sul ta ts ident iques h eeux du para - graphe 3.5.2 darts le eas de s ignaux h speetre 6troit .

4 .3 . M o m e n t s g~n~ra l i s~s du s e c o n d ordre.

Le probl6me d ' e s t ima t ion q u a d r a t i q n e le plus g6n6ral a t r a i t h u n vecteur al6atoire J Xl(t) , X2(t) ... XN(t) I dont les eomposantes sont s ta t ionna i res clans leur ensemble. I1 s ' ag i t d ' e s t imer :

~ = E I ~,d ~i'X~(ti) X~(tJ) i '

~l~ 6 tant un nombre complexe. En in t rodu i san t les ~14ments F!( de la mat r ice de covariance, ce t te quai1- t i t6 s 'dcri t :

#

~, J

La th6orie de l ' e s t ima t ion dans une technique d '~chan- t i l lonnage se calque d i ree tement sur celle des para - graphes pr4c~dents. Elle donne lieu h des caleuls for t simples, mais longs, que nous ne d~velopperous pas ici, nous bo rnan t h me t t r e en relief les earaet~res p r inc ipaux du r~sul ta t , qui sont :

a) on obt ien t une estimation sans biais en u t i l i san t une fonct ion de portal , rat ion H(t) de forme quelconque, mais fi suppor t born6 d 'une dur4e inf6rieure h la p~riode

Q U E L Q U : E S P R O B L I ~ M E S D ' t ~ C H A N T I L L O N N A G E 9/13 0 d '6chant i l lonnage. Cct te fonct ion est soumise (en th~orie) h une normal i sa t ion tcl le que 011 H I] 9' = 1 ;

b) l ' e s t ima t ion est, en va leur moyenne , inddpendante de la cadence d'~chantillonnage ;

c) pour des cadences tr~s faibles, la var iance de l ' e r reur d ' e s t ima t i on est inversement p ropor t ionne l le au nombre d '4chant i l lons non corra l , s utilis~s ;

d) si los Xi( t ) sont h spectre bornd, il existe uue cadence l imi te au-delh de laquelle l ' e r reur quad ra - t ique a la m~me va leur que celle ob tenue avec une es t imat ion sans 6chant i l lonnage d '4gale dur~e d 'obser - vat ion.

5. P R O B L ] ~ M E S D E T R A I T E M E N T Q U A D R A T I Q U E

D E S S I G N A U X F A I B L E S

Nous abordons cet te ~tude pa r la d6tec t ion d ' u n signal pa r corr6lat ion ; un tel t r a i t e m e n t por t e sur :

X l ( t ) = S(t) + B t ( t ) , (37)

X2(t) = S(t) + B~(t) ;

a) S(t) cst le signal utile, fonet ion al~atoire r~ellc centr~e et s ta t ionna i re , de eovar iance rs (~) et de d i s t r ibu t ion speet ra le 4nerg~tique "~s(V). On suppose qu 'un r e t a rd pr~alable a permis de me t t r e le signal en concordance avee les deux voles ;

b) Bl( t ) et B2(t ) sont les bruits parasites, fonet ions al~atoires r~elles eentr4es, s ta t ionnai res , ind~pendantes entre elles, ainsi que de S(t) et de memes propri~t~s s ta t i s t iques repr~sent~es pa r Fl~(v ) et ~',(v) ;

c) le eorr41ateur eompor te : un ~ehant i l lonnage synehrone de cadence 1[0 et de fonct ion depond~ra t i on It(t), lequel t r ans fo rme X 1 et X 2 en Zl(t) et Z~(t) (Fig. 4 ) ; puis l '~ labora t ion du p rodu i t Za(t ) Z~(t) ; enfin, un f i l t rage passe-bas tr6s s~lectif ~ de r4ponse pereussionnel le F(t) et de gain /(v), lequcl fourn i t /~ la sort ie la fonct ion al~atoire ~2(t) = ~ [Z l ( t ) Z2(t)].

On supposcra le gain de ~ tel que f(0) = 1, &off r~sulte l ' express ion de la bande passan te 4nerg~tique

- - II i l l : -- II F I I".

Z1

X2 ~ ' ~ ~ Echant. Z2 MuItip[. Filtre P.B.

�9 n (0

FIG. 4. - - D6tection par corr61ation avec 6chantilloanage.

Proposons-nous de caleuler la t r a n s f o r m a t i o n du r a p p o r t s igna l /b ru i t dans ce t y p e de t r a i t e m e n t , en a d o p t a n t les crit6res expos4s dans [7] et en e f fec tuan t une compara i son avec la d6tect ion pa r corr61ation sans ~chauti l lonnage.

5.1 . Corr61ation s a n s 6 c h a n t i l l o n n a g e (corr41a- t eur analogique), soit Z = X.

- - 25 - -

10/13

Le rapport s ignal /brui t it l'entrde est 6gal au rappor t des variances eorrespondantes, soit :

r~(o) (38) . [ S lB l e - I',~(0~'

et, dans le cas pr6sent, la grandeur de sortie est sim- plement ~[Xx( t ) X2(t)].

Le bruit de sortie B s est celui observ6 en l 'absence

de signal. Le produit Xx(t) X2(t) se r6duit ici h :

(39) O(t) = Ba(t) B2(t) ,

d o n c � 9 ainsi que ~-[~] sont centr6es (B 1, B2 ind6pen- dants centr6s) et la covariance h l 'entr~e du filtre ~- vaut :

(40a)

ro (v ) = E [ S l(t) B l ( t - - v) I E I B 2(0 B2 ( l - - v) I = F~(~),

d'ofl la distr ibution spectrale 6nerg6tique :

(40b) 7o(~) = (7u * 7u)(v ) �9

Les propri6t6s fort connues et d6jh 6voqu6es au para- graphe 4.2 d 'nn filtre passe-bas tr~s s61eetif permet tent d 'exprimer la puissance de brui t de sortie par :

1 1 1 (41) B~ = ~ 7, (0) = -~-II II = u II II ,

l'6galit6 des deux derniers membres 6tant l'6galit6 de Parseval entre normes.

Le s ignal de sortie S s repr6sente par d6finition [7] la eomposante certaine que l 'on y observe lorsque le signal d 'entr6e est pr6sent. Puisque /(0) = 1, nous avons, compte tenu de (37) et des propri6t6s statis- tiques postul6es :

(42) S s = E [ ~-[X 1 X2] } ----" E [ X1 X2 ] = Fs(0 ) .

I1 rfsulte de (41) et (42) la double expression du carr6 du rappor t signal/bruit h la sortie du corr61ateur analogique, compte tenu de (38) :

1 (43) = T [ - - ] r~(0) y~(~) dv = s l - B i g

[ + d ~ ] -~ .

5.2. Corr61ation avec 6chantil lonnage.

a) Signal prdsent. Le signal de sortie est :

Ss.,~h. = E I , ~ ' [ Z 1 Z 2 I I = E I Z I Z 2 1 .

Pour effectuer une comparaison commode, nous adoptons des conditions telles que Ss.,~h. ait la m~rne

valeur que S s donn6 en (42) :

(44) Ss.~h. = r s ( 0 ) ,

ce qui revient h r6aliser E I Z1 Z 2 I ----- E I X1 X 2 I" Or, d'apr~s l '6tude d6jh faite au paragraphe 4.1, nous savons qu'i l faut pour cela choisir pour l '~chantillon- nage une fonction de pond6rat ion H(t) telle que :

G . B O N N E T [ A N N A L E S DES T I ; Z L E C O M M U N I C A T I O N S

H(t) ait un support born6 de mesure au plus 6gale h la p6riode 0 d'~ehantillonnage, sa forme 6taut, par ailleurs, arbitraire ;

01l ll - - 1 .

b) Signal absent .

Pour d~terminer le brui t en sortie, nous consid~rons :

~F'(t) = Z~(t) Z~(t), (signal absent),

et, d'apr~s ce qui pr6c~de, f~(t) est eentr~e, car E I l l I = E I tF I = 0. Des formules (33) du paragra- phe 4.2, nous ddduisons alors la valeur de la variance en sortie du filtre ~-, soit :

1 1 +~ 0 +~ BLo . - T (nO),

d'ofi r4sulte la double formulat ion du carr6 du rapport signal/bruit h la sortie, compte tenu de (44) et de (40) :

(45) S 2 -1

= r / - - I r g ( 0 ) L E ( Y . * �9 . [ B J e =_

S " 2 2 +or - - 1

Suivant l 'esprit de J. Duflos [3], nous effectuons la comparaison entre les t ra i tements avec et sans dehantillonnage en formant le quotient R des rapports signal/bruit de sortie correspondants, dont (43) et (45) nous permet ten t d 'obteni r deux formulations ~quivalentes :

(46a) R 2 __ s.~h. =

[5] '

0 Z r~(n0) S t l ~ - - ar

(formulation temporelle),

(7~ * 7n)(o ) (46b) R 2 =

(u * YB)lm/0 ) m = - - - ~

(formulat ion fr~quentielle).

La formulat ion temporelle (46a) est celle dtablie par d. Duflos [3, 6q. 2.3.4] ; notons qu'elle correspond ici h des conditions beaucoup moins restrictives, puisque d 'une par t signal et brui t ne sont pas astreints

dtre gaussiens et que, d ' au t re part , la forme de l ' im- pulsion d'~chantil lonnage est arbitraire, h la restriction pros impos~c sur son support.

5.3. Conditions d'invariance du rapport s ignal/bruit .

La formulat ion fr~quentielle (465) a l ' avantage de met t re directement en 6vidence les conditions pour lesquelles le rappor t signal/bruit n 'es t pas alt6r6 par l '6chantillonnage. On voit imm6diatement que R = 1 si le carr6 de convolut ion de la distr ibution spectrale ~nerg~tique du brui t d 'entr6e est tel que :

(47) (Yn ")(" TB)(mIO ) = 0 , pour tou t m entier v~ 0 ,

- - 26

t. 2[~, n ~* 1-2, 1969] Q U E L Q U E S PROBLI~MES

ceci r6sul tant de la propri6t6 d 'une dis t r ibut ion spec- t rale 6nergdtique d'6tre non n~gative.

E t a n t donn6 la parit6 de y~(,), on peut r6crire (47) sous la forme :

L I Yt~(~) Y~(~ + k]O) d~ = 0, pour tou t k entie.r ~ O,

et puisque l ' in t6grant est forc6ment non n6gatif, ceei se r6duit h :

(48) ~(~) ~,~(v + k[O) = 0, u entier va 0 et Vv.

Nous voyons ainsi que les conditions (48) qui assurenl l ' invariance du rapport signal/bruit darts un traitement

quadratique sont exaetement les m~mes que celles expri- m~es par (17) au paragraphe 3.5 assurant une inter- polation convergente.

a) Toutes les d6duetions que nous en avons fa res au paragraphe 3.5 demeurent valables iei pour ce qui touche h la n6eessit6 d ' u n bru i t d 'entr6e h spectre born6 et /~ la d6terminat ion des cadences autoris6es d '~ehanti l lonnage. I1 est done normal d ' about i r aux m~mes r6sultats que J. Duflos [3] en pr6cisant bien qu ' i l n 'es t pas n6cessaire de se l imiter aux brui ts spectre uniforme, mais que les r6sultats expos6s au

paragraphe 3.5 n ' 6 t an t li6s qu'au seul support de ce spectre, l '6volut ion de ee dernier dans la bande oeeup6e est ent i~rement arbitraire.

b) Faisons une autre remarque impor tan te : il r6sulte de la th6orie que nous venons d 'exposer et de

ses relations avec celle de l ' in te rpola t ion convergente qu' aucune condition pour la cadence n'est tide au spectre du signal, ee qui rejoint dans une eertaine mesure les conclusions du paragraphe 4.1 sur l ' es t imat ion sans

biais (ee qui est estim6 ici ~tant Fs(0 ) = Se~).

5.4. Traitement quadratique g6n6ral avec 6chantillonnage.

On dispose d ' u n syst~me h N entr6es sur lesquelles le signal S(t) est supposd avoir 6t6 rendu identique, grfice h u n t r a i t emen t pr6alable, et entach6es de brui ts Bj(t), centr~s, ind6pendants et de m6mes propri~t6s stat is t iques. Chaque voie comporte ainsi h l 'entr~e :

X~(t) = S(t) + B~(t), ] = 1 h N .

Le t r a i t emen t quadra t ique le plus g6n6ral [11] est une m6thode de d6tection du signal faisant appel h :

- - l%chanti l lonnage de chaque vole X~(t) - + Zdt ) ; N

- - la format ion de tF ( t )= ~] ~ Zl(t) Z~(t) , i , j = t

off les coefficients a~l sont rdcls et hermit iques ;

- - un filtrage passe-bas ~ = ~-[W].

5.4.1. Sans dchantilllonnage, la grandeur de sortie serait y [ O ] avee :

N

~)(t) = E ~ j x d t ) x / t ) ; i, j = t

a) en l 'absenee de signal, les X~ se r6duisent aux

D' t~CHANTILLONNAGE 1 1 / l 3

Bj et l 'on a, vu l ' ind6pendanee s ta t is t ique de ces quant i t6s :

N

E I (I)B I = ~] =*J FB(0)' ,/= t

[ r , ( , ) = r,,(o) ~jj + 2 rg( , ) 2 ~j ;

&off la covarianee eentr~e et sa d is t r ibut ion speetrale 6nerg6tique :

N N 2 2 r~,(~) = 2 Z ~s ' r~ (~ ) ,

i, j= !

N N

i, j= t

b) en pr6senee du signal h l 'entr6e, on consid~re

eomme signal de sortie l ' augmenta t ion de la compo- sante certaine fi la sortie [7] :

N N

i, j=t i, .i=t

I1 en r6sulte t 'expression du earr6 du rappor t s ignal /brui t de sortie :

[L +" ]-' T I S [ 2 (Z~,1)2

- - 2 L B J e Z ~ / I~B2(0) [ ( Y " * VB)(0)]--I "

5.4 .2 . A v e e dehantillonnage.

On adopte une fonction de pond6rat ion H(t) h

support born6 de mesure inf6rieure h 0 et telle que

011.11~ = ~. De ee f a i t , nous savons que E { ~ } -= E{r - - signal de sortie : SS.~ch. -- S s = rs(O ) ~ alj ;

td

1 +~ - - b ru i t de sortie : B 2 s ~ r - Tm~ ffr

- - rappor t s ignal[brui t :

[ S ] 2 B s.~r ~ ' J ~ i , T [ - S ] ' ( Z ~ ' ) 2 ~ + " - - ~/~/ ~ r . ( o ) 0,=_~Z r ~ ( n O ) =

T r S ] 2(Z~v) 2 _ +" r (o)

[S/B]]~. et le rappor t R 2 -- a bien la m~me

[Sln]~

expression que celle (46a) ou (46b) relat ive au corr6- la teur h deux entr6es. Ces r6sultats ont 6t6 donn6s par J. Duflos clans son article fondamenta l [3] et nous en connaissons toutes les implications pour ce qui a t ra i t & l ' invar iance du rappor t s ignal[bruit . Ce qui est nouveau ici, r~p6tons-le, c 'est que ces propri~t~s sont ~tendues au cadre beaucoup plus vaste repr6sent6 par :

a) une fonct ion de pond6ra t ion H(t) de /orme

quelconque restreinte un iquemen t h poss6der un suppor t

born6 de mesure inf6rieure h 0 ;

b) des s ignaux et des brui ts de loi statistique quel- conque, astreints un iquemen t ~ ~tre s ta t ionnaires et

ind6pendants .

- - 2 7 - -

12/13

N o u s pensons 6 g a l e m e n t avo i r fa i t le p o n t en t r e

des p rob l~mes c o n s i d e r & a u p a r a v a n t c o m m e dis jo in ts ,

e t qu i ne fon t que t r a d u i r e diff6rents aspec t s des

m d m e s p r o p r i d t & f o n d a m e n t a l e s de l ' ~ c h a n t i l l o n n a g e

des fonc t ions a l~atoi res ( d e n t les fonc t ions ce r ta ines ,

cf. [1], [2], r e p r & e n t e n t un cas par t icu l ie r ) .

G . B O N N E T [ANNALES DES Tt~LI~CO,MMUNICATIONS

et est e l l e -m~me temp6r6e . On r e s t r e i n t p a r h y p o t h & e

la classe des d i s t r i bu t ions X(t) h ceUes d e n t les t r ans -

form6es de F o u r i e r x(v) s en t des [onctions (c ' es t le cas,

p a r exemple , l o r sque X(/) est une f o n c t i o n de L ~ ou

encore une d i s t r i b u t i o n h s u p p o r t born6).

a) Consid~rons la d i s t r i b u t i o n s u i v a n t e , c o n s t r u i t e

sur les t r ans l a t~es (*) de X(t) :

6. A P P E N D I C E :

FOB1VIULE D E S O M M A T I O N D E P O I S S O N (52) z(t) = E x ( t + kO).

k ~ - , o

6 .1 . P r e m i b r e f o r m u l e de P o i s s o n .

Consid6rons la (~ f o n c t i o n en den t s de scie ,> :

[:] , (49) S(t) = E n t - - - - 0 - + 2

a) P o u r t o u t e v a l e u r de t ~gale h u n m u l t i p l e en t i e r

de 0, S(t) p r & e n t e une d i scon t inu i t~ de p r e m i e r e esp~ee,

a v e e un sau t de + 1. P a r sui te , sa d6riv~e pr ise au

seus des d i s t r i b u t i ons s '6cr i t :

dS +~ 1 = E ~ ( t - - k 0 ) - - - - "

dt ~ =_~ 0

b) D ' a u t r e pa r t , S(t) es t une f o n e t i o n de p~r iode 0

e t p e u t done s ' e x p r i m e r au m o y e n d ' u n e s6rie de

F o u r i e r ; on a de ce fa i t :

e2~Im rio s(t) = E

m~0 2 =ira

(oh ~ symbol i se une s o m m a t i o n sur t ous les indiees me0

ent iers m, sau l z6ro). D 'of l r & u l t e une au t r e ~er i ture

de la d i s t r i b u t i o n d & i v ~ e :

C 'es t une d i s t r i b u t i o n de p6r iode 0, d o n t la t r ans fo rm6e

de F o u r i e r s ' e x p r i m e i m m 6 d i a t e m e n t p a r :

z(t) ~ z(~) = x(~) E e ~l~j'~ k ---.~e

E n a p p l i q u a n t la p r emib re f o r m u l e de Po i s son (51),

n o u s p o u v o n s ~crire :

1 +'~ z(v) = ~ - x ( v ) E 8 ( ' - - m / O ) .

C e t t e dern i~re d i s t r i b u t i o n a d o n e u n seas, ~ t a n t

donn6 que x(v) est une f o n c t i o n ; done Z(t) a ~ga l emen t

un sens et est t emp6r6e . D ' a u t r e pa r t , la propr i~t~

d ' u n e d i s t r i b u t i o n de D i r ac p e r m e t d ' & r i r e :

1 +~ z(~) = -~,,=~_.x(m[O) ~(v - - m/O) .

b) E f f e c t u o n s m a i n t e n a n t su r c e t t e express ion de

z(v) la t r a n s f o r m a t i o n de F o u r i e r i n v e r s e ; nous

t r o u v o n s :

1 +~ (53) Z(t) = O - =--=E x(m/0) e ~=i" qo .

dS 1 1" +~ - Z e2'~i'n qo _ Z e 2 ~ i " q0 _ _ t / 0 .

dt 0 ,,,~o 0 . . . . .

c) Si nous iden t i f ions les d e u x express ions de la

dS d 6 r i v ~ e - ~ - , nous s o m m e s c o n d u i t s h la premikre

/ormule de Poisson :

+'~ 1" + *

(50) E ~(t -- k0) = -g Z e 2~i'~ t0 k = - - ~ 111:-- )o

I1 v a de soi que ce t t e 6gali t6 d e m e u r e si l ' on r e m p l a e e

k p a r - - k ou m p a r - - m.

d) E n e f f ec tuan t les e h a n g e m e n t s s u i v a n t s d ' i nd ices

et de p a r a m ~ t r e s : 0 +-+ 110 , l +-+ ,), k +-+ m, on o b t i e n t

u n e seeonde f o r m u l a t i o n :

E n i d e n t i f i a n t les d e u x express ions (52) c t (53) de Z(t), nous o b t e n o n s l '~gal i t6 s u i v a n t e , v a l a b l e sauf p e u t -

~tre sur un e n s e m b l e de m e s u r e nul le :

+ ~ 1 + : r

(54) E X ( t + k0) = ~ - E x(m/0) e '-'~l'''t/0 p. p.

Ceci est l ' exp re s s ion la p lus g6n6rale de la /ormule de sommat ion de Poisson. U n te l r & u l t a t exp r ime , p a r

a i l leurs , le fa i t que la d i s t r i b u t i o n p~r iod ique Z(t) a

1 x(m/0). p o u r coeff icients de F o u r i e r ~ -

c) D a n s le cas p a r t i c u l i e r off X(t) se r6du i t e l l e -m6me

une [onclion, on p e u t o b t e n i r une f o r m u l a t i o n

encore p lus s imple . P o s a n t l = 0 et 0 = 1 dans (54),

nous averts :

(5t) E e2~i~k~ = _ E ~ ( ~ - - m / 0 ) - q_~o + o r

(55) x(t) ~ - x O ) * Z X(k) = E x(m).

6 . 2 . F o r m u l e g b n 6 r a l e de s o m m a t i o n de P o i s s o n .

Soi t X( t ) u n e d i s t r i b u t i o n t emp~r6e sur I ~ R ;

h ee t i t r e , la t r a n s f o r m 6 e de F o u r i e r x(~) ex i s te t o u -

j ou r s :

x(~) ~ X(t) ,

Manuscr i t rer le 17 ]uillet 1968.

(*) La distribution translat6e X(I - - "r) est d6finie par la forme lin6aire (fP(t) , X ( / - - "r) ) = ( r -[- "r), X(/) ) sur toute fonctlon r ind6finiment d6rivable /t d6erotssanee rapide. Elle a pour transform6e de Fourier x(~) exp[ - - 2 rdwr]. - - Voir L. Schwartz [13].

M 28 - -

[. 24, n ~ 1-2, 1~69]

[ t ] VAN SCNOONEVELD (C,). Some r e m a r k s on sampling methods for a bandpass signal (Remarques sur les mdthodes d 'dchanti l lonnage des signaux h bande limit6e). Coll. O T A N Traitement du Signal, CEPHA G, Grenoble (1964), pp. 409-422.

[2] KOHLE~Ea~ (A.). Exac t interpolat ion of band- l imited functions (Interpolation exaete des fonctions

spectre born6). J. Appl. Phys., U. S. A., 24, no 12 [10] (1953), pp. 1432-1~43.

[3] DU~LOS (J.). E tude des effets de l 'dchanti l lonnage en d6tection des signaux faibles. Onde Electr., Ft. (t964), 44, no 443, pp. 197-211. [11]

[4] BLhNe-LAPIERRE (A.), FORTET (R.). Thdorie des fonctions aldatoires. Masson, Paris (1953), 693 p.

[5] BONNET (G.). Sur l ' interpolat ion opt imale d 'une fone- tion al6atoire 6chantillonn~e. C.B. Acad. Sci., Fr. (1965), 260 pp. 784-787. [12]

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QUELQUES PROBLI~MES D'I~CHANTILLONNAGE

B I B L I O G R A P H I E [7] I~LANE-LAPIERRE

IS]

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F. COSTES~QUE. - - Les restaurants administrat ifs des P.T.T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

L. GAIT.LAnD. - - Historique du r~seau pneumat ique de Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

L ' emprun t P.T.T. 6 ,50% 1968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Philat~lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Textes ldgislatifs et rdglementaires . . . . . . . . . . . . . . . 48 Jurisprudence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Les v~hicules P.T.T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Stat ist iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Documentat ion-bibl iographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

S o m m a i r e d u n ~ 5 , S e p t e m b r e - O c t o b r e 1 9 6 8

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R. ROQUET. - - Les tdldeommunications au service de l 'entreprise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

J. SARaAZIN. - - L '~tude des courants de trafic de la poste aux let tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Y. DIET. - - Organisation gdndrale de l 'enseignement professionnel des Postes et Tdldcommunications . 33

H. DUPONT. - - Le cinquanti6me anniversaire du premier service postal adrien rdgulier du monde . 69

Philatdlie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Stat ist iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Jur isprudence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Textes ldgislatifs et r~glementaires . . . . . . . . . . . . . . . 81 D ocumentat ion-bibl iographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

S o m m a l r e d u n o 6 N o v e m b r e - D 6 c e m b r e 1 9 6 8

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H. SOULIEm - - R61e des technologies modernes dans l 'dvolut ion du materiel de transmission sur c~ble. 43

Jur isprudence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Textes l~gislatifs et rdglementaires . . . . . . . . . . . . . . . 56 Les vdhicules P.T.T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Stat ist iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Les chiffres-clds de la Poste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Phflatdlie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Documenta t ion bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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