Rapport ecrit TSI 2017 Modélisation

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RAPPORTSURL’ÉPREUVEÉCRITE2017DEMODÉLISATIONDELAFILIÈRETSI

1/Présentationdel’épreuve Le sujet de l’épreuve, consacré au procédé de vibrofonçage en génie civil, portait sur l’étude dumouvement del’ensemble composéduvibrateuretduprofilé àenfonceren s’intéressantplus spécifiquementau comportementvibratoiredel’ensembleetlesconséquenceséventuellespourl’environnement.Danslapremièrepartiesurlevibrofonçageàbassefréquence,ondéterminaituneexpressiondel’effortharmoniqueexercéparlevibrateursurleprofilé,puisonétudiaitundispositiftechnologiquepermettantdelimiterlatransmissionauvoisinagedevibrationsnuisibles.Onétablissaitensuite,ensupposantuncomportementrigideduprofilé,l’équationdemouvementdel’ensembledontlasolutionenrégimeharmoniqueillustraitdemanièresimplel’interactionentrelamachineetsonenvironnement.Danslasecondepartie,leprofiléétaitconsidérécommeunmilieudéformabledetypepoutre,cequiconduisaitàunmodèlede comportementpermettantde caractériser lephénomènede résonancedesmodesélastiquespour leshautesfréquencesetdemettreenévidencel’intérêtduvibrofonçageditrésonantpourlaréductiondesnuisances.LesconnaissancesmobiliséespourlapartiePhysiqueetSciencesdel’IngénieurrelevaientessentiellementdudomainedelaMécanique:accélérationd’unpointd’unsolide,théorèmedelarésultantedynamique(àplusieursreprises),loidecomportementd’unressort,définitiondel’effortnormaldansunepoutre,relationaveclacontraintenormale.Bienque limitéesennombreetenétendue,ellesnécessitaientdans lecontextedecesujetunemaîtrisesolidede leurapplicationetunebonnecompréhensiondesconceptsetphénomènesassociés.Cetteexigenceafaitdéfautchezlescandidatsquiparmanquederecullimitentleuractionàl’applicationde«recettes»etdeformulessouventsanslarigueurnécessaireetquidefaitseretrouventvitedépassésdansdessituationssortantducadrehabituel.Sur le plan des Mathématiques, les développements demandés empruntaient au programme des deux annéespréparatoires et permettaient d’illustrer dans un contexte de modélisation et de résolution de problématiquesscientifiqueset technologiquesdesnotions tellesque leséquations trigonométriques, l’étudeet la représentationgraphiquedefonctions, leséquationsdifférentiellesordinairesouauxdérivéespartielles, lessystèmes linéaires, lecalcul intégral, leproduitscalaireet lessériesnumériques.Concernant lesprérequis,oneffectue lemêmeconstatqu’enMécaniqueetlaremarqueprécédentepeutdoncs’appliqueràl’identique.2/RemarquesgénéralesL’énoncéétaitcomposédedeuxpartiescomportantchacuneunevingtainedequestionsdedifficultésvariéesallantdelaréponsequasiimmédiatedetypecoursàladémonstrationenplusieurspoints.Lavolontédenenégligeraucunedesétapesdeconstructiondumodèle,depuislestadeélémentairejusqu’àl’élaborationdelaréponsefinale,rendaitlesujetassezlongetprobablementambitieux.Unerelativeindépendanceentrelesquestionspermettaitcependantdepasseroutrelessituationsdeblocage.Deplus,toutaulongdusujet,desquestionsdemandantderetrouverunrésultat donné permettait de vérifier sa progression en agissant comme un filet de sécurité. Enfin, une certaineprogressivitédansladifficultédonnaitl’occasionauxcandidatsplusàl’aisedesedistinguer.Demanièregénérale, cette troisièmeéditionde l’épreuvedemodélisationn’apasdonné lieuàuneaméliorationsensibleduniveauscientifiquedescopiesetdelaréussite.Lecaractèremultidisciplinairedecetteépreuveencorerécentesembletoujoursposerdesproblèmesd’adaptationauxcandidats.Ainsilapremièrepartiedusujet,conçuecommeuneentréeenmatièreplutôtsimpleetquinerequéraitpourtantqu’unoutillagemathématiqueélémentaire,n’a-t-ellerencontréqu’unsuccèsmitigéentermesderésultats.Enfin,danslesquestionsdesynthèse,lescandidatsnesontpastoujoursparvenusàfairelelienentrelesdéveloppementseffectuésetlaproblématiquetraitée.

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Sur la forme, les correcteurs ont apprécié les efforts déployés par lamajorité des candidats pour présenter leurstravauxdefaçonclaireetstructurée.Pareffetdecontraste,lemanquedesoinetderigueurdecertainescopiesn’enapparaîtqueplusflagrant.3/RemarquesparticulièresquestionparquestionQ1. Lescandidatsontgénéralementprocédépardoubledérivationduvecteurpositionoudérivationduvecteur

vitesseobtenuparcompositiondemouvement.Danstouslescasonrecommandel’utilisationduthéorèmedelabasemobilepouréviterlesprojectionshasardeusesetlesdérivationslaborieuses.Enfin,onrappellequelacompositiondesaccélérationsdiffèredecelledesvitessesenfaisantintervenirun3etermeditdeCoriolisfortheureusementnulici.

Q2. Beaucoupdecandidatssemblentignorerladéfinitiond’unrepèregaliléen.Lebilandesactionsmécaniquesn’a

pas toujoursétéeffectuédemanièrerigoureuseconduisantàdeserreursdesignesur l’effort recherchéoul’apparitiond’uneffort«centrifuge»danslaliaisonpivot.Laréponseétantdonnéedansl’énoncé,certainesdémonstrations sont très tortueuses ou relèvent du miracle, en particulier lorsque le candidat n’a pas surépondreàlaquestionprécédente.

Q3. Laréponseétaitimmédiateenconsidérantlecontactextérieur,cependantlesigneestfauxdanslamoitiédes

copies.Onne demandait pas de justification dans ce cas,mais certains candidats ont néanmoins calculé lavitessedeglissement.

Q4. Un raisonnement élémentaire conduisait à l’expression recherchée. Les problèmes sont survenus lors de la

simplification:carrénégatif,confusiondesvecteurs,….Q5. Peudecandidatsontcomprisqu’ils’agissaitd’unequestiondemathématiques.Labonnepropriétéàutiliser

étaitl’orthogonalitéetnonlacolinéaritédedeuxvecteurs.Cependant,unebonnepartiedescandidatsquiontcomprislanécessitédeprojeterlaforcesurunaxenel’ontpasprojetésurlebon.

Q6. La relation s’obtient de manière immédiate à partir de Q5 mais rares sont les candidats à avoir justifié

correctementlaformuleobtenue.Lespropositionsontéténéanmoinstrèsvariées,souventencontradictionaveclerésultatdeQ3etjusqu’àl’obtentiondevaleursconstantespourlesangles,uncomblepourunemachinetournante!Unepartiedescandidatsatracélebondessinsansavoirauparavantfaitlescalculsmaislaconsigned’angledonnéedepi/4n’apastoujoursétérespectée.

Q7. Laquestionadonnélieuàdenombreuxdessinsfantaisistes.Lescandidatsn’ontpastoujoursremarquéque

danslecasalpha=0,ondemandedetraceruncosinus.Letracédelafonctionsommed’uncosetd’unsinaposébeaucoupdedifficultésetraressontlescourbesprésentantundéphasageetuneamplitudecorrectes.

Q8. L’intérêt du dispositif a été généralement mal perçu et beaucoup de réponses ont consisté à paraphraser

l’énoncé.Q9. Il fallait ici simplement utiliser les symétries du solide. L’argument de colinéarité du vecteur position est

évidemmentinsuffisant.Q10. Ils’agissaitd’effectueràlamain4multiplicationsetunedivisionavecdesnombresrelativementsimplesetle

résultataétépeusatisfaisantmêmeenaccordantunemarged’erreurgénéreuse.Celatraduitévidemmentunmanquedepratiquedanslaposed’opérationsoulecalculmental.Anoteretc’estdommage,quebeaucoupdecandidatsnevontpasauboutdescalculs.

Q12. Cettequestionaétébientraitéedansl’ensemble,auxerreursdesigneprès.Ilestprobablequelaprésencedes

effortsrecherchésdansl’équationdeQ14apermisàdescandidatsd’adapterfavorablementleurréponse.

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Q13. Onattendaitunenouvelleapplicationduthéorèmedelarésultantedynamiqueenprenantencompted’unepart l’accélération de l’ensemble mobile et d’autre part les actions exercées, en particulier l’excitationharmonique.Beaucoupdecandidatssesontcontentésd’uneversionstatiqueduthéorèmemêmeenprésenced’uneactionmécaniquepourtantbienvariabledansletemps.

Q14. La réponse à cette question découlait immédiatement de la question précédente et ne présentait pas de

difficulté.Q15. Letermed’inertie,pourtantlargementignoréenQ13,refaiticisurfacedansbeaucoupdecopiessansquecela

n’évoqued’interrogations.Laquestionsusciteparfoisdesdéveloppementsunpeulongsalorsqu’ilsuffisaitderetrancherleséquationsdeQ15etQ14pourfaireapparaîtrenaturellementlechangementdevariablessuggéré.

Q16. Laquestionaététrèsmalcomprise.Onnedemandaitpasderésoudrel’équationmaisdetrouverunesolution

particulièresouslaformeproposéedansl’énoncé.Ilfallaitdoncsimplementcalculerlesdérivéestemporellesduudonnéetlesremplacerdanslaformulepourentireruneexpressionalgébriquedufacteurs.Denombreuxcandidats,parréflexe,sesontlancésenpurepertedanslarecherched’unesolutiongénérale.

Q17. Laquestionaétépeutraitéemêmeparceuxquiontréussilaquestionprécédente.Onsouhaitaitconnaîtrele

comportementàl’infinietmettreenévidencelavaleurdepulsationproblématique.Q18. D’après le résultat précédent, l’appareil est susceptibled’entrer en résonance lors desphasesd’arrêt et de

marche.L’amplitudenepeutévidemmentêtreinfinieenprésenced’amortissement,notammentauniveaudescoussins.EnfinlerecoursaudispositifétudiéenQ6permetd’annulertotalementceteffet.

Q19. Cettequestion,quidépendaitfortementdeQ16,aétérarementtraitée.Q20. L’objetdelaquestionn’étaitpasd’améliorerleprocédédevibrofonçagecommeonapulerencontrerparfois

maisbiendecompléterlemodèleétudiéenintroduisantparexempleunfrottementfluideentreleprofiléetlesol.

Q21. Ondemandaittoutsimplementauxcandidatsderappelerlarelationentrecontrainteeteffortnormal.Seulun

petit nombre a su le faire correctement, en conservant parfois dans l’expression de c un rapport S sur Appourtantégalà1,fautedenepasavoirpus’émanciperdelanotation«vueencours».Pourlesautresquiontremplacél’effortparunecontrainteouunedéformation,unerapideanalysedimensionnelledelacéléritéleurauraitpermisd’identifierleurerreur.

Q22. L’équation (3) est issue de l’application du théorèmede la résultante dynamique à lamasseM seule. Pour

l’équation(4),c’estuneconséquencedirectedeladéfinitiondel’effortnormalcommeétantl’effortexercéparlapartiedroite,icileressort,surlasectionconsidérée.

Q23. Laquestionaétébienréussieglobalement.Onpeutnéanmoinsdéplorerquecertainscandidatsnesachentpas

dérivercosousin(problèmedesigne).Q24. Laquestionaégalementétébientraitéemêmesidenombreusescopiesindiquent«enremplaçantonvoitque

celafaitzéro».Laréponseétantdansl’énoncé,celanerapportepasdepoint.Onattendaitdonciciunminimumde calcul et il ne suffisait pas de dire que le résultat était évident. La démonstration va de quelqueslignes à une page suivant les candidats, ainsi beaucoup d’entre eux développent pour montrer que(a+b)(c+d)-(a+b)(c+d)=0!

Q25. Peudecandidatsontréussicorrectementcettequestion.Lanotiondesystèmelinéairenesemblepasconnue

etlefaitqueFe=0estsouventpasséinaperçu.Q26. Beaucouptropdecandidatsénoncentdesrésultatssanslesjustifier.Certainsontdonnédesvaleursdealpha

enfonctiondeAetB,parfoisaprèsdelaborieusesdiscussions!Quelquescandidatsonttoutdemêmeréussià

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traitercettequestionenutilisantledéterminant(àderaresexceptionsontrouvelaconditionattenduedet=0)ouensubstituantl’unedeséquationsdansl’autre.

Q27. Ils’agissaitd’étudierdanscettequestionleszérosd’unefonctionsanscalculersadérivée(cardemandéedans

laquestionsuivante)enutilisantlesignedelafonctionetsacontinuité(TVI).Direqu’onalerésultatd’aprèslacourbedonnéedansl’énoncén’estpasunargument.

Q28. Laquestionaétésouventbientraitée,avecuneréponsesousformenonsimplifiée.Denombreuxcandidatsne

sontpasàl’aisepourcalculerladérivéed’unproduitdefonctions.Q29. Trèspeudecandidatsontsucommentabordercettequestion.Certainsontétudiélesignedehaulieudeh’,

d’autresontprocédéparlecturegraphique.Q30. Onattendaitunesynthèsedesquestionsprécédentes.Q31. CertainscandidatsontpenséàlaméthodedeNewtonouàcellededichotomie,maisraresontétéceuxquiont

pudécrirecorrectementlaméthodeénoncée.Q32. Trèspeudecandidats sontallésauboutdescalculs. Ilnesuffisaitpasde remplacer lesconstantespar leur

valeur,onattendaituneexpressionnumérique.Q33. Il s’agissait de constater dans un cas un comportement rigide du profilé, dans l’autre un comportement

déformableassociéàunmouvementd’ensemble.Q34. Laquestionaététraitéepardenombreuxcandidatsmaisavecbeaucoupd’approximations.Pourlalinéarité,on

démontref+gsansconstanteoubienjusteaveclambda*f.Concernantlapositivité,laplupartutilisedessignesstrictsàlaplacedesigneslarges(parexemplef*f>0).Enfin,l’hypothèsedecontinuitéestrarementénoncéepourlecaractèredéfiniduproduitscalaire.

Q35. Certainescopiesontsuutiliserlefaitquelafonctionphi_nétaitsolutionde(2)pourrésoudrecettequestion.Q39. Cettequestionàlalimiteduprogrammen’apasdéstabilisélescandidatsquiontmontrélaconvergencedela

sérienumériquefn(x0).Q40. Laquestionaétéabordéeparunbonnombredecandidats,parfoiscorrectementjusqu’aubout.Ils’agissaitici

derésoudreunsystèmeàdeuxinconnues.Unedifficultéconsistaitàpenseràutiliserlesformulesdelapage8.4/Conseilsetencouragementspourl’annéesuivantePourlaphasedepréparation,leconseilestnaturellementdes’entraîneraucaractèrespécifiquedel’épreuvesurlessujetsdesannéesprécédentes.Encoursd’épreuve,onrecommandeauxcandidatsdeprendreletempsdebienlirel’énoncé,deveilleraurespectdesnotationsainsiquedefairel’effortdeprésenterleurdémarcheetderédigerlessolutionsdansunsoucideclartéetd’efficacité.

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