Cours de Mathematiques

Sup MPSI PCSI PSI TSI Spe MP PC PSI TSI

Alain Soyeur - Emmanuel Vieillard-Baron

Table des matieres

1 Nombres complexes 201.1 Le corps C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.2 Proprietes des operations sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Parties reelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1 Partie reelle, partie imaginaire dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Representation geometrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 Representation dArgand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.2 Interpretation geometrique de quelques operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Module dun nombre complexe, Inegalites triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.1 Groupe U des nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.1 Argument dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Racines nieme de lunite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.8 Equations du second degre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.8.1 Racines carrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8.2 Equations du second degre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.9 Applications a la trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9.1 Problemes de linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9.2 Factorisations dexpressions trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.10 Nombres complexes et geometrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.10.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.10.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.10.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.11 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.11.1 Translations, homotheties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.11.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.11.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.12.1 Equations trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.12.2 Forme algebrique - Forme trigonometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.12.3 Modules et arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.12.4 Polynomes, equations, racines de lunite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.12.5 Application a la trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.12.6 Application des nombres complexes a la geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2

1.12.7 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2 Geometrie elementaire du plan 632.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.2 Produit dun vecteur et dun reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.3 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2 Modes de reperage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.1 Reperes Cartesiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.2 Changement de repere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Equation cartesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.3 Reperes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Equation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3.2 Interpretation en terme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3.3 Proprietes du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3.4 Interpretation en termes de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.4 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.2 Interpretation en terme daire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4.3 Proprietes du determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.4 Interpretation en termes de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.5 Application du determinant : resolution dun systeme lineaire de Cramer de deux equations a deux

inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.5.1 Preambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.2 Lignes de niveau de M 7 ~u. ~AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.3 Lignes de niveau de M 7 det(~u, ~AM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5.4 Representation parametrique dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.5.5 Equation cartesienne dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.5.6 Droite definie par deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.5.7 Droite definie par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.5.8 Distance dun point a une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.5.9 Equation normale dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5.10 Equation polaire dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5.11 Intersection de deux droites, droites paralleles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.6.2 Equation cartesienne dun cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6.3 Representation parametrique dun cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.6.4 Equation polaire dun cercle passant par lorigine dun repere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.6.5 Caracterisation dun cercle par lequation ~MA. ~MB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.6.6 Intersection dun cercle et dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.7.1 Produit scalaire et determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.7.2 Coordonnees cartesiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.7.3 Geometrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.7.5 Coordonnees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3

3 Geometrie elementaire de lespace 1153.1 Preambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2 Mode de reperage dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.2.1 Coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Calcul algebrique avec les coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Norme dun vecteur, distance entre deux points dans un repere orthonorme . . . . . . . . . . . . . . 117

3.2.2 Coordonnees cylindriques et spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.3 Proprietes du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.4.1 Orientation de lespace, base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.4.2 Definition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4.3 Interpretation geometrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.4.4 Proprietes du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Quelques exemples dapplications lineaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.4.5 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.5 Determinant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.5.3 Proprietes du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.5.4 Interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6 Plans dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.6.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.6.2 Representation parametrique des plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.6.3 Representation cartesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Interpretation geometrique de lequation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.6.4 Distance dun point a un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Deux methodes de calcul de la distance dun point a un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.7 Droites dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.7.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.7.2 Representation parametrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.7.3 Representation cartesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.7.4 Distance dun point a une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.7.5 Perpendiculaire commune a deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.8 Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.8.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.8.2 Spheres et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.8.3 Spheres et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.9.2 Coordonnees cylindrique et spherique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.9.3 Coordonnees cartesiennes dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.9.4 Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4

4 Fonctions usuelles 1564.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.1.1 Logarithme neperien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.1.2 Exponentielle neperienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.1.4 Exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.2 Fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2.1 Rappels succints sur les fonctions trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.2.5 Formulaire de trigonometrie reciproque[Hors Programme] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.3.1 Definitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.3.2 Formulaire de trigonometrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.3.3 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Fonction argument sinus hyperbolique Arg sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Fonction Argument cosinus hyperbolique Arg ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Fonction Argument tangente hyperbolique Arg th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4.4 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.5.1 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.5.2 Fonctions exponentielles et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.5.3 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.5.4 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5 Equations differentielles lineaires 2035.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.2 Deux caracterisations de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.2.1 Caracterisation par une equation differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.2.2 Caracterisation par une equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.3 Equation differentielle lineaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.3.2 Resolution de lequation differentielle homogene normalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.3.3 Resolution de lequation differentielle normalisee avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.3.4 Determination de solutions particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Deux cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Methode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5.3.5 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.3.6 Methode dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.4 Equations differentielles lineaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.4.2 Resolution de lequation differentielle homogene du second ordre dans C . . . . . . . . . . . . . . . 2175.4.3 Resolution de lequation differentielle homogene du second ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . 2195.4.4 Equation differentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.5.1 Equations differentielles lineaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.5.2 Equations differentielles lineaires du premier ordre avec problemes de raccord des solutions . . . . . 2245.5.3 Equations differentielles lineaires du second ordre a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . 229

5

5.5.4 Resolution par changement de fonction inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.5.5 Resolution dequations differentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2325.5.6 Quelques exercices doraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.5.7 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6 Corps R des nombres reels 2386.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.2 Le corps des reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Proprietes de laddition dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Proprietes de la multiplication dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238(R,+, .) est un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239(R,+, .) est un corps totalement ordonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.3 Majorant, minorant, borne superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.4 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.5 Droite numerique achevee :R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.6 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.7 Propriete dArchimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.8 Partie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.9 Approximation decimale des reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.10 Densite de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.11.1 Inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.11.2 Borne superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.11.3 Rationnels, irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.11.4 Valeurs absolues, Parties entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7 Suites de nombres reels 2587.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.1.2 Operations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.2 Convergence dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.2.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7.3 Proprietes des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.3.1 Suites convergeants vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.3.2 Suites bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.3.3 Operations algebriques sur les limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.3.4 Limites et relations dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

7.4 Suite extraite dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7.5.1 Theoreme de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.5.3 Segments emboites et theoreme de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.6 Image dune suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.7 Suites definies par recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.7.1 Suites geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.7.2 Suites arithmetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.8 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.8.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.8.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.8.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.9 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.9.1 Suite dominee une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.9.2 Suite negligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767.9.3 Suite equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6

7.10 Comparaison des suites de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.11 Comparaison des suites de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.12 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

7.13.1 Avec les definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2827.13.2 Convergence de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2837.13.3 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2877.13.4 Suites monotones et bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2947.13.5 Suites arithmetico-geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2997.13.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3007.13.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3037.13.8 Suites equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3047.13.9 Etude de suites donnees par une relation de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3127.13.10 Etude de suites definies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

8 Fonctions dune variable reelle a valeurs reelles 3198.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8.1.1 Lensemble F (I,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3198.1.2 Fonctions bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3208.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3218.1.4 Parite periodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3228.1.5 Fonctions Lipschitzienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

8.2 Limite et continuite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.2.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.2.3 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3268.2.4 Limite a gauche, a droite, continuite a gauche, a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3268.2.5 Sous espace vectoriel des fonctions tendant vers 0 en un point a de R . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.2.6 Operations algebriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3298.2.7 Limites et relation dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Passage a la limite dans les inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331Existence de limite par encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

8.2.8 Theoreme de composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3328.2.9 Image dune suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.2.10 Cas des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

8.3 Etude locale dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348.3.1 Domination, preponderance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Operations sur les relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.3.2 Fonctions equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.4 Proprietes globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3408.4.1 Definitions et proprietes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Operations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Restrictions dune application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

8.4.2 Les theoremes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Le theoreme des valeurs intermediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Recherche dun zero par dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Image dun intervalle, dun segment par une application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Fonction uniformement continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

7

Reciproque dune application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3448.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

8.5.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3458.5.2 Limites dune fonction numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3458.5.3 Comparaison des fonctions numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3528.5.4 Continuite des fonctions numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3628.5.5 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3658.5.6 Theoreme des valeurs intermediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3668.5.7 Continuite sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3698.5.8 Uniforme continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3738.5.9 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3748.5.10 Bijection continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

9 Derivation des fonctions a valeurs reelles 3779.1 Derivee en un point, fonction derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

9.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3779.1.2 Interpretations de la derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

Interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378Interpretation cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Interpretation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

9.1.3 Derivabilite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3799.1.4 Fonction derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

9.2 Operations sur les derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3809.3 Etude globale des fonctions derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

9.3.1 Extremum dune fonction derivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3839.3.2 Theoreme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Interpretation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Interpretation cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

9.3.3 Egalite des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Interpretation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Interpretation cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

9.3.4 Inegalite des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3859.3.5 Application : Variations dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3869.3.6 Application aux suites definies par recurrence : majoration de lerreur . . . . . . . . . . . . . . . . . 3879.3.7 Condition suffisante de derivabilite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

9.4 Derivees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3899.4.1 Derivee seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Interpretation cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3899.4.2 Derivee dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3899.4.3 Fonctions de classe Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

9.5 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3919.6 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

9.6.1 Derivee en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3959.6.2 Derivee sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3959.6.3 Applications de la derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3969.6.4 Derivees dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3969.6.5 Calcul de derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

9.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3979.7.1 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3979.7.2 Derivees dordre n, formule de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4059.7.3 Applications de la derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4089.7.4 Recherche dextremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4089.7.5 Theoreme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4099.7.6 Theoreme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

8

9.7.7 Etudes de suites reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4169.7.8 Convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4189.7.9 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

10 Integration sur un segment des fonctions a valeurs reelles 42110.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42110.2 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

10.2.1 Subdivision dun segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42110.2.2 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42210.2.3 Integrale dune fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42310.2.4 Proprietes de lintegrale dune fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

10.3 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42510.3.1 Definition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42510.3.2 Approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier . . . . . . . . . . 42710.3.3 Integrale dune fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42910.3.4 Proprietes de lintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43010.3.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43110.3.6 Majorations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43210.3.7 Valeur moyenne dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43310.3.8 Nullite de lintegrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43410.3.9 Invariance de lintegrale par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

10.4 Primitive et integrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43510.5 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

10.5.1 Integration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43810.5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43810.5.3 En general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43810.5.4 Changement de variable affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43910.5.5 Etude dune fonction definie par une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

10.6 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44210.6.1 Formule de Taylor avec reste integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44210.6.2 Inegalite de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

10.7 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44310.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

10.8.1 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44510.8.2 Calcul dintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44610.8.3 Linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44610.8.4 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44710.8.5 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44910.8.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45010.8.7 Calcul de primitives et dintegrales - Techniques melangees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45210.8.8 Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45810.8.9 Proprietes de lintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45810.8.10 Majorations dintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46010.8.11 Limite dintegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46210.8.12 Theoreme fondamental, etude de fonctions definies par une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46510.8.13 Suites dont le terme general est defini par une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47110.8.14 Algebre lineaire et integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47910.8.15 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47910.8.16 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48210.8.17 Problemes de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

9

11 Developpements limites 48811.1 Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

11.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48811.1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48811.1.3 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

11.2 Developpement limite en 0 des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49011.2.1 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

11.3 Operations sur les developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49211.3.1 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49211.3.2 Composee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49311.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49311.3.4 Developpement limite dune primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

11.4 Applications des developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49511.4.1 Recherche de limites et dequivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49511.4.2 Prolongement dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49611.4.3 Tangente au graphe dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49611.4.4 Etude locale dune courbe parametree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

11.5 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49911.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

11.6.1 Calcul de developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50011.6.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50611.6.3 Applications a letude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51111.6.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51611.6.5 Developpements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51911.6.6 Applications a letude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51911.6.7 Applications a letude locale des courbes parametrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

12 Nombres entiers naturels, ensembles finis, denombrements 52512.1 Ensemble des entiers naturels - Recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

12.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52512.1.2 Principe de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52512.1.3 Suite definie par recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52612.1.4 Notations

et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

12.1.5 Suites arithmetiques et geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52712.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

12.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52812.2.2 Proprietes des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52812.2.3 Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

12.3 Operations sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53012.4 Denombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

12.4.1 Applications dun ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532Nombre de p-listes dun ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532Nombre dapplications dun ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53812.5.1 Nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53812.5.2 Principe de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53812.5.3 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54012.5.4 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54312.5.5 Factoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54412.5.6 Coefficients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54512.5.7 Denombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

10

13 Structures algebriques 55713.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

13.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55713.1.2 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56013.1.3 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

13.2 Anneau, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56313.2.1 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56313.2.2 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

13.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56613.3.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56613.3.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56713.3.3 Sous groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57413.3.4 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57513.3.5 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57713.3.6 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

14 Arithmetique 58314.1 Anneau Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58314.2 Relation de divisibilite, division euclidienne, ideaux de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

14.2.1 Relation de divisibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58314.2.2 Congruence, division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

14.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58514.3.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58514.3.2 Decomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58714.4.1 Divisibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58714.4.2 Bezout, PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58814.4.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59214.4.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

15 Espaces vectoriels 59415.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

15.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59415.1.2 Espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59415.1.3 Espaces de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59515.1.4 Trois autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59615.1.5 Espace des polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59615.1.6 Espace des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59615.1.7 Espace des fonctions de classe Cn (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59615.1.8 Regles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

15.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59815.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59815.2.2 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

15.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60115.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60115.3.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60115.3.3 Sous-espaces supplementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

15.4 Application lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60315.4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60315.4.2 Noyau, image dune application lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60415.4.3 Etude de L (E, F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60515.4.4 Etude de L (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60615.4.5 Etude de Gl (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

15.5 Equations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60715.5.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

11

15.5.2 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60815.6 Projecteurs et symetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

15.6.1 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60815.6.2 Symetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

15.7 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61015.7.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61115.7.2 Sous espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61115.7.3 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

15.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61615.8.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61615.8.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61715.8.3 Operations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62015.8.4 Sous-espace vectoriel engendre par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62115.8.5 Sous-espaces vectoriels supplementaires - Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62415.8.6 Applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62815.8.7 Image et noyau dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62915.8.8 Endomorphismes inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63815.8.9 Transformations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

16 Dimension des espaces vectoriels 64516.1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

16.1.1 Combinaisons lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64516.1.2 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64516.1.3 Familles generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64716.1.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

16.2 Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64916.2.1 Espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64916.2.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

16.3 Dimension dun sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65216.3.1 Dimension dun sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65216.3.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

16.4 Applications lineaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65516.4.1 Bases et applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65516.4.2 Dimension et isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65716.4.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65716.4.4 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

16.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66116.5.1 Sous-espace vectoriel engendre par une famille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66116.5.2 Systeme libre, systeme lie, systeme generateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66116.5.3 Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66616.5.4 Obtention de base en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66716.5.5 Sous-espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67216.5.6 Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67416.5.7 Sous-espaces supplementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67416.5.8 Rang dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67616.5.9 Applications lineaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67716.5.10 Rang dune application lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68416.5.11 Formes lineaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

17 Notions sur les fonctions de deux variables reelles 68817.1 Continuite des fonctions a deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68817.2 Derivees partielles, fonctions C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69217.3 Differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69717.4 Extremum dune fonction a deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69817.5 Derivees partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702

12

17.6 Exemples dequations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70417.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

17.7.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70917.7.2 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70917.7.3 Derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71017.7.4 Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71217.7.5 Derivees de fonctions composees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71317.7.6 Fonctions de classe C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71417.7.7 Extremum de fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71517.7.8 Equations aux derivees partielles dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71617.7.9 Equations aux derivees partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71717.7.10 Integrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71817.7.11 Integration en coordonnees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72017.7.12 Application du theoreme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

18 Calcul matriciel 72218.1 Matrice a coefficients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

18.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72218.1.2 Matrice dune dune famille de vecteurs relativement a une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72318.1.3 Matrice dune application lineaire relativement a deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

18.2 Operations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72518.2.1 Lespace vectorielMq,p (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72518.2.2 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72718.2.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

18.3 Matrices carrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72918.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72918.3.2 Elements inversibles dansMn (K), groupe GLn (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73018.3.3 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73318.3.4 Matrices carrees remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734

Matrices scalaires, diagonales, triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734Matrices symetriques, antisymetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Matrices de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

18.4 Changement de coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73718.4.1 Pour un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73718.4.2 Pour une application lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73818.4.3 Pour un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73818.4.4 Pour une forme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

18.5 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73918.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

18.6.1 Operations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74218.6.2 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74418.6.3 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74518.6.4 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74818.6.5 Calcul des puissances dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75018.6.6 Representation matricielle dune application lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75318.6.7 Structure formee de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75618.6.8 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75918.6.9 Matrices semblables, equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

19 Systemes lineaires 76819.1 Operations elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768

19.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76819.1.2 Interpretation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76819.1.3 Application au calcul du rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76919.1.4 Methode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

13

19.2 Systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77119.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77119.2.2 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771

Interpretation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771Interpretation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771Interpretation en termes de formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772Interpretation en termes dapplications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

19.2.3 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77219.2.4 Cas Particulier : Les systemes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77319.2.5 Methode du Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

19.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77419.3.1 Systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774

20 Determinants dordre 2 et 3 77820.1 Determinants dune matrice carree de taille 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

20.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77820.1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

20.2 Determinants dordre 2 ou 3 dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77920.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77920.2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78020.2.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

20.3 Determinants dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78220.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78220.3.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

20.4 Methodes de calcul du determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78220.4.1 Operation sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78320.4.2 Developpement dun determinant suivant une rangee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

20.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78520.5.1 Colinearite de deux vecteurs du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78520.5.2 Formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78520.5.3 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78620.5.4 Orientation du plan et de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786

20.6 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78720.6.1 Calcul Matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78720.6.2 Systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78820.6.3 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

20.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78920.7.1 Calcul de determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78920.7.2 Exercices theoriques sur les determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

22 Polynomes 79922.1 Polynomes a une indeterminee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

22.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79922.1.2 Degre dun polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80022.1.3 Composition de polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80222.1.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

22.2 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80422.2.1 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80422.2.2 Racines dun polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80522.2.3 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

22.3 Polynomes derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80722.3.1 Definitions et proprietes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80722.3.2 Derivees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

22.4 Polynomes scindes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81022.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810

14

22.4.2 Factorisation dans C [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81022.4.3 Interlude : polynomes conjugues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81022.4.4 Factorisation dans R [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81222.4.5 Polynomes irreductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81222.4.6 Relations coefficients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

22.5 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81422.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815

22.6.1 Lanneau des polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81522.6.2 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81622.6.3 Arithmetique des polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81822.6.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82122.6.5 Lespace vectoriel des polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82222.6.6 Endomorphismes operant sur les polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82322.6.7 Racines dun polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82422.6.8 Factorisations de polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82822.6.9 Relations entre coefficients et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82922.6.10 Familles de polynomes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83122.6.11 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

23 Fractions rationnelles 83923.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83923.2 Decomposition en elements simples dune fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840

23.2.1 Decomposition en elements simples dans C (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841Recherche des coefficients associes aux poles multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841

23.2.2 Decomposition en elements simples dans R (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84223.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

23.3.1 Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84423.3.2 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

24 Geometrie affine euclidienne 84524.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84524.2 Equations normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846

24.2.1 Equation normale dune droite dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84724.2.2 Droites perpendiculaires du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84724.2.3 Equation normale dun plan dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84824.2.4 Deux plans perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84824.2.5 Distance dun point a une droite du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84824.2.6 Distance dun point a un plan dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84924.2.7 Distance dun point a une droite dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

24.3 Isometries du plan et de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85024.4 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85224.5 Cercles, Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85324.6 Nombres complexes en geometrie plane euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

24.6.1 Multiplication complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85424.6.2 Produit scalaire, norme, angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85524.6.3 Condition dalignement de trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85524.6.4 Expression complexe dune similitude directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

24.7 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85524.7.1 Equation polaire dune conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85524.7.2 Equations cartesiennes reduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

24.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86124.8.1 Equations de droites-plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86124.8.2 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86124.8.3 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86124.8.4 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861

15

25 Geometrie 86225.1 Sous espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86225.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86325.3 Reperes cartesiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865

25.3.1 Equations de droites-plans dans le plan et dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86625.4 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86825.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

25.5.1 Feuille dexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

25.5.2 Colles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874Calculs dans un repere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

26 Groupe symetrique, determinant 87626.1 Le groupe symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

26.1.1 Signature dune permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87826.2 Construction du determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

26.2.1 Formes n-lineaires alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88126.2.2 Determinant de n vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88326.2.3 Determinant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88526.2.4 Determinant dune matrice carree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886

26.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89526.3.1 Groupe symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89526.3.2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

27 Integrales multiples 89827.1 Integrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89827.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90027.3 Aire dun domaine plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90127.4 Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90227.5 Formes differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90427.6 Integrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90527.7 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90727.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908

28 Isometries affines 91128.1 Points-vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91128.2 Sous espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91128.3 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91328.4 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91428.5 Isometries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91728.6 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91928.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921

29 Produit scalaire 92229.1 Definitions et regles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922

29.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92229.1.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

29.2 Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92529.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

29.3.1 Bases orthogonales, orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92729.3.2 Procede dorthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92829.3.3 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929

16

29.4 Projecteurs et symetries orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93129.4.1 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93129.4.2 Symetries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933

29.5 Espaces euclidiens orientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93329.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935

29.6.1 Espaces prehilbertiens reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93529.6.2 Etude dendomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94229.6.3 Isometries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .