View
225
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Résumé de Mécanique des structures
Pierre Lorne François de la Barre
13 mai 2013
Table des matières
1 Tenseur contrainte, contraintes principales et critères de plastification 3
1.1 Tenseur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Etat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Traction et Compression 6
3 Traction plastique 7
3.1 Un seul matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Deux matériaux 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Flexion plane 8
4.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Section symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Section non symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4 Acier et béton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Flexion plastique plane 10
5.1 Section à deux axes (y et z) de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Section à un seul axe (y) de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Section composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4 Loi moment-courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.6 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Torsion uniforme 12
6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 Section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
6.3 Section massive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.1 Elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.2 Rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3.3 Sections fermées à parois minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3.4 Sections ouvertes à parois minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3.5 Section composée de deux matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.3.6 Sections composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Contraintes dues à l’effort tranchant 15
7.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.2 1er cas : poutres massives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.3 2eme cas : poutres à parois minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8 Travaux virtuels 18
8.1 Général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.2 Théorème de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.3 Théorème de réciprocité de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.4 Théorème de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9 Déformée des poutres (flexion simple) 20
9.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.2 Equations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.3 Résolution de la déformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10 Calcul des déplacements 22
11 Analyse limite : hyperstaticité 23
12 Flambement 25
12.1 Flambement par divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
12.2 Flambement par bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
12.3 Elancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
12.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
1 Tenseur contrainte, contraintes principales et critères de plastification
1.1 Tenseur contrainte
σ =
σx τxy τxz
τyx σy τyz
τzx τzy σz
=
σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
=
σI 0 0
0 σII 0
0 0 σIII
=
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3
σ selon les axes x, y, z σ selon les axes 1, 2, 3 σI ≥ σII ≥ σIII on ne sait pas quelle
contrainte est la plus
grande/petite/milieu
σ selon les axes principaux
=
σ0 0 0
0 σ0 0
0 0 σ0
+
σ11 − σ0 σ12 σ13
σ21 σ22 − σ0 σ23
σ31 σ32 σ33 − σ0
=
σ0 0 0
0 σ0 0
0 0 σ0
+
SI 0 0
0 SII 0
0 0 SIII
tenseur volumétrique tenseur déviatorique SI = σI − σ0
SII = σII − σ0
SIII = σIII − σ0
1.2 InvariantsIσ = trσ
IIσ = 12 (σiiσjj − σijσji)
IIIσ = detσ
i 6=j
Iσ = σx + σy + σz = σI + σII + σIII
2IIσ = σxσy + σyσz + σzσx − τ2xy − τ2
yz − τ2zx = σIσII + σIIσIII + σIIIσI
IIIσ = σIσIIσIII
Equation caractéristique :
−λ3 + Iσλ2 − IIσλ+ IIIλ = 0
⇒ les solutions de λ
permettent de trouver
σI , σII , σIII⇒ (σij − λδij)ni = 0
En remplaçant λ par
σI
σII
σIII
, on trouve les composantes
nIx, nIy, nIz
nIIx, nIIy, nIIz
nIIIx, nIIIy, nIIIz
de la direction principale
I
II
III
1.3 Etat plan de contrainte
σz = τxz = τzx = τyz = τzy
σ =
σ1 0
0 σ2
=
σx τxy
τyx σy
=
σx τxy 0
τyx σy 0
0 0 0
Critère de plastification de von Mises : σ∗ =
√σ2x + σ2
y − σxσy + 3τ2xy
3
I1 = σx + σy = σ1 + σ2
II2 = σxσy − τ2xy = σ1σ2
σ1 =σx+σy
2 +
√(σx−σy
2
)2
+ τ2xy
σ2 =σx+σy
2 −√(
σx−σy
2
)2
+ τ2xy tan (αJ) =
τxy
σJ−σy= σJ−σx
τxy
tan (α1) tan (α2) = −1avec J = 1, 2, αJ l’angle entre l’axe x et la direction principale J .
σx′ = σx cos2 α+ σy sin2 α+ τxy sinα cosα
τx′y′ = 2(σy − σx) sinα cosα+ τxy(cos2 α− sin2 α)
⇒ contraintes dans les directions x′ et y′ : rotation des
axes d’un angle α
1.4 Cercle de Mohr
τmax = ±σ1−σ2
2 = r
avec r : rayon du cercle de Mohr
τmax : contrainte tangentielle maximum
σ1, σ2 : contraintes principales
∗ Critère de Mohr-Coulomb
FMohr−Coulomb = |τ |+ σ tan (φ)− c = 0 (courbe intrinsèque)
c : cohésion
φ : angle de frottement interneet c = 1
2
√σCσT
sinφ = σC−σT
σC+σT
4
∗ Critère de von Mises : σ∗ = 1√2
√(σI − σII)
2+ (σII − σIII)
2+ (σIII − σI)
2
FvonMises = σ∗ − σe =
< 0 ni plasticité ni rupture /intérieur
= 0 plasticité (ou rupture) /surface
> 0 impossible /extérieur
→
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
τe = 0.577σe cisaillement pur
σ∗ =√σ2x + σ2
y − σxσy + 3τ2xy état plan de contrainte σ∗ =
√σ2 + 3τ2 poutre à plan moyen (von Mises)
σ∗ =√σ2 + 4τ2 poutre à plan moyen (Tresca)
Sécurité : γ = σe
σ∗
5
2 Traction et Compression
Effort normal/contrainte Dilatation Allongement
Section constanteN = σA↔ σ = N
A
σ = Eεε = u
L = σE u = NL
EA
Section variable σ(x) = N(x)A(x) ε(x) = N(x)
EA(x) u(x) =∫ L
0N(x)EA(x)dx
Deux matériaux 1 et 2
N = N1 +N2 = σ1A1 + σ2A2
= E1εA1 + E2εA2
= ε(E1A1 + E2A2)
ε = ε1 = ε2
= NE1A1+E2A2
u = NLE1A1+E2A2
Cas particulier : acier-
béton. Coefficient
d’équivalence : n = Ea
Eb
(rapporté à l’acier)
N = σaAa + σbAb
= σaAa + σa
n Ab
= σa(Aa + Ab
n
)= σaAa
::
ε = εa = εb
= σa
Ea= σb
Eb
⇒ σb = σa
n
u = NLEaAa::
Aa::
:
aire équivalente
rapportée à
l’acier
Anneau de rayon r et
d’épaisseur t ≤ r10 , q :
force répartie radiale
N = qr ⇔ σcir = qrA
ε = qrEA
r : rayon de l’anneau
urad = qr2
EA
urad : allongement du
rayon r
Cylindre (épaisseur t,
rayon r , t ≤ r10 ), p :
pression intérieure
N = pr ⇔ σcir = prt
A = lt = t (l : longueur unité)
σcir = 0
εrad = prEt
εlon = −ν prEt
urad = pr2
Et
ulon = −ν prLEt
Cylindre de longueur
infinie (ou indéfor-
mable)
σcir = prt , σlon = νσcir
ν =
0.3 acier
0.15 béton
voir état plan de contrainte
Récipient cylindrique σcir = prt , σlon = 1
2σcriεlon = σlon−νσcir
E
εcir = σcir−νσlon
E
ulon = σlonL
ucir = σcirr
Température σ = −Eα∆T εth = α∆T uth = αL∆T
Hypothèse : élasticité (on est dans le domaine élastique d’un matériau)
6
3 Traction plastique
Critère de plasticité :
σ∗ < σe domaine élastique
σ∗ = σe domaine plastique
Hypothèses :
N < Ne : domaine élastique
Ne ≤ N < Npl : domaine élasto-plastique
N = Npl : domaine plastique
3.1 Un seul matériau
Charge limite : Npl = Ne = Aσe
Ne : effort normal élastique maximal
Npl : effort normal plastique
3.2 Deux matériaux 1 et 2
Coefficient d’équivalence : n = E1
E2
Ne : un seul matériau plastifie (matériau déterminant)
Npl : les deux matériaux plastifient (charge limite)
Calcul élastique (Ne) Calcul plastique (Npl)
Matériau 1 déterminant Matériau 2 déterminant Charge limite atteinte
σ1 = σe1 = Ne
A1:;σ2 < σe2 σ1 < σe1;σ2 = σe2 = Ne
A2:σ1 = σe1; σ2 = σe2
Ne = σe1A1::
= σe1A1 + A2
n Ne = σe2
(nA1
::
)= σe2 (nA1 +A2) Npl = σe1A1 + σe2A2
Gain (plastification de la section droite) : Npl
Ne(≥ 1)
Décharge élastique : εdec,1 = εdec,2
Contraintes résiduelles :σred,1 = σe1 − Npl
A1:
σred,2 = σe2 − Npl
nA1:
Cas acier-béton : Matériau 1 = acier (a), Matériau 2 = béton (b) (Le béton est déterminant)
7
4 Flexion plane
z : axe neutre : - contenu dans le plan neutre ε = 0
σ = 0
- passe par le centre géométrie
4.1 Divers
N : effort normal
V : effort tranchant
M : moment de flexion
σ : contrainte normale
ε : dilatation de la fibre étudiée
E : module d’élasticité
y : distance de l’axe neutre à la fibre étudiée
S : moment statique
I : moment d’inertie
W : module de flexion
A : aire de la section
8
4.2 Section symétrique
Principe d’équivalence : Cinématique : N =∫AσxdA
M =∫AyσxdA (autour de z)
ε = −yr(ε < 0 : compression, ε > 0 : traction)
⇓ ↓ N = −Er Sz = 0 Sz =∫AydA
M = Er Iz Iz =
∫Ay2dA
−→Loi constitutive : σ = Eε = −Eyrσ = −MIz y (Navier)
⇒ pour trouver la position du plan neutre et le rayon de courbure ⇓
⇓ σ = ±MW ;W =
∣∣∣ Izy ∣∣∣Courbure : 1r = M
EIz· σinf = −MIz yinf ; Winf =
∣∣∣ Izyinf
∣∣∣· σsup = −MIz ysup; Wsup =
∣∣∣ Izysup
∣∣∣4.3 Section non symétrique
M = Mz =∫AyσxdA
My =∫AzσxdA = −Er Iyz
Iyz =∫AyzdA
4.4 Acier et béton
Courbure : 1r = M
EaIa+EbIb
Moment statique équivalent : Sa::
= Sa + Sb
n
Moment d’inertie équivalent : Ia:
= Ia + Ibn
Coefficient d’équivalence rapporté à l’acier : n = Ea
Eb
Contraintes : σa = Eaε = −MIa: y
σb = Ebε = − MnIa:
y
Flexion oblique : σ(y, z) = NA −
Mz
Izy +
My
Iyz
9
5 Flexion plastique plane
5.1 Section à deux axes (y et z) de symétrie
Me = Eσe = I|ymax|σe ψ = Me
EI εe = σe
E
Mpl = Zσe z = 2Sdemi = 2∫A/2|y|dA ye = − εeψ
σrad = ±(σe − M
W
)
5.2 Section à un seul axe (y) de symétrie
Me = I|ymax|σe
N =∫AσdA = 0 A2 = A1 = A
2
= σe(A2 −A1) = 0
Mpl = Zσe Z = A2 (|y1|+ |y2|)
G1,2 : centre géométrique
de l’aire 1,2
N = 0 : permet de
trouver l’axe p-p
y1,2 : distance entre l’axe
p-p et le point G1,2
A2 : aire de chaque côté de
l’axe p-p
5.3 Section composée
N =
∫AσdA∑iAiσei
= 0
Mpl = −∑iAiσeiyi
5.4 Loi moment-courbure
MMe
= f(ψψe
)α =
Mpl
Me= Z
W : gain (plastification de la section droite)
10
5.5 Exemples
· Section rectangulaire :
W = bh2
6 Sdemi = bh2
8 Z = bh2
4
Me = bh2
6 σe Mpl = bh2
4 σe
MMe
= ψψe
MMe
=Mpl
Me
[1− 1
3
(ψe
ψ
)2]
MMe→ Mpl
Me= 1.5
· Section âme-semelle bisymétrique :MMe
= ψψe
(1− bh2
8
)+ bh2
4W
[1− 1
3
(ψe
ψ
)2]
→ âme élastique, semelle partiellement plastiqueMMe
=Mpl
Me− twh
2
12W
(ψe
ψ
)2
→ semelle plastique, âme partiellement plastique
5.6 Notations
Me : moment élastique maximal
Mpl : moment plastique
ψ = 1r : courbure
ψe : courbure élastique maximale
εe : dilatation élastique maximale
ye : distance de l’interface élastique/plastique à l’axe neutre n− n
n− n : axe neutre élastique
p− p : axe neutre plastique (confondu avec n− n si la section est bisymétrique)
Z : module plastique
α : gain
11
6 Torsion uniforme
6.1 Généralités
T = −∫AτxyzdA+
∫AτxzydA
Torsion (ou moment de torsion) → T = 0 au bord de la poutre : τn = 0 (bord libre)
T = GχJ ⇒
χ = dθx
dx angle de torsion par unité de longueur
G module de glissement
J constante de torsion
θx =
∫ L
0χdx =
∫ L0
TGJ dx
torsion
section
variable(s)
χL = TLGJ torsion et section constates
angle de torsion total (L : longueur de la poutre)
6.2 Section circulaire
Hypothèses :
– symétrie de révolution
– linéarisation géométrique
– conservation des sections planes
– élasticité (loi de Hooke)
– principe d’équivalence
γ = rχ angle de glissement (r : rayon (variable))
J = Ip =∫Ar2dA = πR4
2 = π(a4−b4)2
cylindre plein cylindre creux
(rayon R) b : rayon intérieur
a : rayon extérieur
T = GχIp χ = TGIp
G = TLθxIp
= E2(1+ν) (ν : coefficient de Poisson (matériaux isotropes))
τ = γG = TIpr τmax = T
IpR τ ≤ τe = σe√
3τ ≤ τu
γ∗
γ∗ : coefficient de sécurité
τu : voir la courbe intrinsèque
matériaux ductiles matériaux raides
6.3 Section massive
6.3.1 Elliptique
T = JGχ
J = πa3b3
a2+b2 = A4
4π2Ip, A : aire = πab
Ip = 4(a2+b2)πab
12
6.3.2 Rectangulaire
T = αbc2τa = βbc2τB
τA = τmax τB = Tβbc2
= Tαbc2
= TJ
(γα
)c
J = γbc3
6.3.3 Sections fermées à parois minces
A
B
b
c
b ≥ 10t
Tension et contrainte tangentielle : T = GχJ , τ = T2Ωt
J = 4Ω2∮dst
=
2πtR3 tube4Ω2tLΩ
(t=cste)Flux de cisaillement : f = τt = T
2Ω = cste
Ω : aire de la cellule
LΩ : périmètre de la cellule (ligne moyenne)
6.3.4 Sections ouvertes à parois minces
T = GχJ
J = 13bt
3 J = 13
∑bit
3i
τmax = TJ t = 3T
bt2 τmax,i = TJ ti
b est pris à la ligne moyenne
13
6.3.5 Section composée de deux matériaux
Coefficient d’équivalence : m = Ga
Gb
(6= n = Ea
Eb
)Section ouverte Section fermée
Ja::
= Ja + 1mJb (GJ
::)a = GaJa
::ta:
= 1m tb (GJ
::)a = GaJa
::
τmax,a = TJa:ta τmax,b = T
mJa:tb Ja
::= 4Ω2∮
Sa
dsta
+m∮Sb
dstb
6.3.6 Sections composées
Deux élémentsT = T1 + T2
χ = χ1 = χ2
J = J1 + J2
⇒ T1 = J1
J T
T2 = J2
J T
G = G1 = G2 G1 6= G2
même matériau matériaux différents
Section fermée à paroi d’épaisseur modéréeT = Tf + T0
τ = τf + τ0
J = Jf + J0
⇒ Tf =
JfJ T
T0 = J0
J T
14
7 Contraintes dues à l’effort tranchant
7.1 Hypothèses
– élasticité linéaire (loi de Hooke)
– poutre prismatique (axe droit, section constante)
– contraintes selon les axes principaux d’inertieEffort tranchant Résultante des σdA Effort rasant Contrainte normale Contrainte tangentielle
V = −dMdx H = MI S dR = dH = (−V )S
I dx σ = −MyIz
τ = (−V )SIt
7.2 1er cas : poutres massives
∗ Section rectangulaire
τ = 3V2A
[1− 4y2
h2
]avec A = b · h
τmax = 3V2A approximation pour h
b ≥ 1
τmax = α 3V2A sinon
hb α erreur
2 1.028 3%
1 1.105 11%
0.5 1.330 33%
7.3 2eme cas : poutres à parois minces
∗ Section fermée (cas général) :
τ = (−V )SIt
cz = TV position du centre de torsion cT par rapport à G
flux de cisaillement : f = τt = (−V )SI [N.m−1]
∗ Poutre tubulaire (cas symétrique) :
L’effort tranchant V agit dans un plan de symétrie. Les contraintes τ sont nulles sur ce plan. On calcule la distribution
des contraintes en effectuant une coupe à l’n des points (ici, A ou B) où la section traverse le plan de symétrie.
15
∗ Section ouverte (cas général) :
τ = (−V )SIt = (−V )
It
∫ S0y(s)t(s)ds en B
(−V )I = cste et S
t = vable
cz = TV position du centre de torsion cT par rapport à
G
Si les lignes moyennes de la section convergent en un point A⇔ ct = A
∗ Poutre âme-semelles/profilés
τmax =∣∣∣ V SIztw
∣∣∣S
Iz
tw
⇒ dans les tables
cz = 0⇔ cT = G (double symétrie)
∗ Poutre en U :
- dans les ailes : τ = V st2I avec 0 ≤ s ≤ b
→ contrainte linéaire
F =∫ A
0τdA = τbtb
2 = V tb2h4I
→ résultante des contraintes dans l’aile
16
- dans l’âme : τ = V h2
8I
[1− 4y2
h2
]+ V tbh
2± tw︸ ︷︷ ︸=τa
→ contrainte
parabolique
I = h3tw12 + bth2
2
τmax = V h2
8I + V tbh2Itw
τm = VAw
= Vhtw
contrainte moyenne dans l’âme
Fw = V résultante des contraintes dans l’âme
Fw = (2τmax + τa) · htw3 → ailes non horizontales
cz = tb2h2
4I + d position du centre de torsion cT par rapport à G
τa = τbttw
∗ Section composée de deux matériaux :
n = Ea
Ebcoefficient d’équivalence
Sa::
= Sa + 1nSb moment statique équivalent
f =(−V )Sa:
Ia:flux de cisaillement
⇓
τa = fta
=(−V )Sa:
Ia: ta
τb = ftb
=(−V )Sa:
Ia: tb
17
8 Travaux virtuels
8.1 Général
Forme différentielle (forte)
Equilibre Cinématique∂σij
∂xi+ bj = 0 (= ρaj) njσij = tj εij = 1
2
(∂ui
∂xj+
∂uj
∂xi
)u : champ de déplacement
bj = 0⇔ autocontrainte ! ! respecter les conditions homogènes d’appui
⇓ Forme intégrale (faible) ⇓
Equilibre Cinématique∫Vσij
12
(∂wi
∂xj+
∂wj
∂xi
)dV =
∫VεijwijdV =∫
VbiwidV +
∫AtiuidA
∫A
(njwji)uidA−∫V∂wij
∂xjuidV
⇒ conditions aux limites incluses w : champ scalaire/vectoriel de pondération
⇓ Principes ⇓
Déplacements virtuels : wi = δui Forces virtuelles : wij = δσij
compatible en équilibre∫Vσijδεij =
∫VbiδuidV +
∫AtiδuidA
∫Vδσijεij =
∫VδbiuidV +
∫AδtiuidA
résultat : équilibre résultat : comptabilité cinématique
δWint = δWext δW ∗int = δW ∗ext
(travail virtuel intérieur) (travail virtuel extérieur) (travail virtuel (travail virtuel
complémentaire intérieur) complémentaire extérieur)
∗ exprime l’équilibre ∗ exprime la comptabilité cinématique
∗ forces et contraintes réelles ∗ déplacements et déformations réels
8.2 Théorème de Clapeyron
U =
12
∫VσijεijdV
12
[∫VbiuidV +
∫AtiuidA
]12
∑Fu
⇒ énergie (potentielle) de déformation d’un matériau élastique linéaire
8.3 Théorème de réciprocité de Betti
∫Vσijε
′ijdV =
∫Vσ′ijεijdV ⇔
∑Fiu′i =
∑F ′iui ⇔
∫Vbiu′idV +
∫Atiu′idA =
∫Vb′iuidV +
∫At′iuidA
18
8.4 Théorème de Maxwell
Cas particulier du théorème de réciprocité de BettiF1 = 1 F ′1 = 0
F2 = 0 F ′2 = 1
u1 = uAA u′1 = uAB
u2 = uBA u′2 = uBB
⇒F1u
′1 + F2u
′2 = F ′1u1 + F ′2u2
→ uAB = uBAA,B : lieu d’application de F
A,B : lieu du déplacement
19
9 Déformée des poutres (flexion simple)
9.1 Hypothèses
– Flexion simple et plane
– Axe de la poutre rectiligne
– Linéarisation géométrique
– Effets de M et V dissociés
9.2 Equations d’équilibre
dMdx = −V dV
dx = −q d2Mdx2 = q
9.3 Résolution de la déformée
– écrire l’équation de la déformée v(x)
– utiliser les conditions limites
vtot = vM + vV
vM (moment de flexion) vV (effort tranchant)
En général, on ignore la déformée due à l’effort tranchant
→ v(x) déformée → v(x) déformée
→ dvdx = θ(x) rotation → dv
dx = β = VGB glissement M
EI : polynôme de degré p en x
v(x) : polynôme de degré p+ 2
avec G : module de glissement
B : aire réduite
B = I2∫a
(S2
t2
)dA
→ d3vdx3 = − V
EI → d2vdx2 = − 1
GBd2Mdx2
→ d4vdx4 = q
EI Si G et B sont constants, si les conditions aux
limites sont identiques pour la flexion et l’effort
tranchant, alors :
v(x) = −M(x)GB
Si la courbure est trop difficile à calculer :
théorème de la force unité
Mmax 1 1.5 6
vmax 1 5 50
20
Section droite
(effort tranchant
V selon l’axe y)
Aire réduite B 56A
2732A
512A
12A ∼ Aw ∼ 0.8Aw
21
10 Calcul des déplacements
Principe des déplacements virtuels Principe des forces virtuelles
δWint = δWext∫L
(Nδε+ V Sβ +Mδψ)dx =∑FδuF +
∑RδuR
δW ∗int = δW ∗ext∫L
(δNε+ SV β + δMψ)dx =∑δFuF +
∑δRuR
équilibre statique : statique réelle, comptabilité géométrique : statique virtuelle,
cinématique virtuelle cinématique réelle
→ trouver le jeu des forces → calcul des déplacements
Ces expressions : - sont valables pour toutes poutres droites ou courbes
- sont indépendantes de tous types de lois constitutives
- ne sont pas une conséquence du principe de superposition
Cas particuliers : - flexion pure → δW ∗int =∫LδMdθ
δWint =∑Nδu
- treillis → δW ∗int =∑δNu
δWext =∫Lqδuqdx (charge répartie)
Principe des forces virtuelles ⇒ théorème de la force unité
∗ Pour calculer :
– la variation de distance entre deux points
– la rotation dans un angle de structure
– la rotation relative dans un angle de poutre
– la rotation en bloc dans une barre de treillis
∗ Hypothèses simplificatrices :
– N et V négligés dans les poutres (sauf âme mince, h/L grand (V ), arc surbaissé (N), cellules triangulaires (N))
– on ne néglige pas N dans les barres
– EI constant ⇒ tables∫ L
0Mmdx ; sinon intégration
∗ Théorème : déplacement (point choisi, direction donnée, soumis à une force virtuelle associée) = t.v.c interne
(structure) - t.v.c externe (réactions d’appui)
1uA =∫
poutres(N1ε+ V1β +M1ψ)dx−
∑R1uR
⇒ 1, N1, V1,M1, R1 connus/calculables ; ε, β, ψ connus ; uR connu ; uA inconnu.
– 1uA =∫LN1
NEAdx+
∫LV1
VGBdx+
∫LM1
MEI dx−
∑R1uR (loi de Hooke : matériau élastique linéaire)
– 1uA =∫LN1αT0dx (variation uniforme de la température)
– 1uA =∫LN1αT0dx+
∫LM1
(−α∆T
h
)dx (variation linéaire de la température)
avec
h = ysup − yinf ; ysup > 0, yinf < 0
∆T = Tsup − TinfT0 =
ysupTinf−yinfTsup
h
– 1uA =∑bN1NLEA +
∑bN1αT0L−
∑r R1uR (treillis)
– 1θA = 1EI
∫poutres
Mmdx (structures hyperstatiques : 1er théorème de réduction : on coupe pour obtenir une
structure isostatique)
22
11 Analyse limite : hyperstaticité
Données : structure hyperstatique de degré h
Hypothèses :
– plasticité (Mpl = Zσe)
– loi constitutive M = f(θ)
– formation d’une rotule ⇒ -1 degré d’hyperstaticité
On cherche à calculer le multiplicateur limite λlim (charge limite réelle Qlim)∑Mplθ =
∑Fu
⇒ seules les zones plastiques travaillent
⇒ travail interne=travail aux rotules
Loi constitutive : M = f(θ) :
– rigide parfaitement plastique
– condition statique de plasticité : −Mpl ≤M ≤Mpl
– condition cinématique de plasticité : τint = Mplθ > 0
⇒
θ = 0 si −Mpl < M < Mpl
θ > 0 si M = Mpl
θ < 0 si M = −Mpl
théorème combiné : λ− ≤ λlim ≤ λ+
statique licite :
- équilibre satisfait
- Mpl ≥M ≥ −Mpl
théorème → plasticité : calcul par équilibre
statique : → sécurité assurée
λ− ≤ λlim → valable pour tout
cinématique licite :
- mécanisme correct
- chaque Mplθ > 0
théorème → plasticité : calcul par mécanisme
cinématique : → méthode simple
λlim ≤ λ+ → sécurité non-assuréeDans la pratique, on utilise la méthode cinématique :
– calcul des λ+ (mécanismes de ruine les plus probables)
– choix du λ+ le plus petit
– vérification de −Mpl ≤M ≤Mpl
Gains : α =Mpl
Me= Z
WQlim
Qe
(plastification) (redistribution des efforts dans la poutre)
– Mécanisme de ruine :
– formation de la h+ 1 rotule
– effondrement sous charge constante
– redistribution des efforts intérieurs (réserve de résistance)
– déterminer la sécurité vis-à-vis de la charge limite
– Ruine partielle : ruine d’une portion de la structure
– Ruine plus que complète : pour certaines structures symétriques, apparition de plus que h+ 1 rotules
23
– Domaine de validité de l’analyse limite :
– loi élastique parfaitement plastique
– ductilité : zones propices aux rotules plastiques (moments les plus importants)
– Mpl caractéristique de la section : non affecté par N ni V
– croissance proportionnelle du chargement extérieur
– linéarité géométrique
– pas d’instabilité (donc pas de flambement)
– assemblages dimensionnés pour Mpl
– pas de fatigue
– Les autocontraintes ne modifient que Qe (diminution voire annulation), pas Qlim
24
12 Flambement
Instabilité des structures
compression → flambement (ou flambage)
→ flexion → déversement
torsion → voilement
Courbure initiale traction → convergence (la courbure diminue) → stabilité
compression → divergence (la courbure augmente) → instabilité
12.1 Flambement par divergence
– flexion (très fréquent)
– torsion (rare)
– mixte (fréquence moyenne)
• théorie non linéaire (second ordre) :
– configuration déformée
– rotations modérées (<0,1 rad)
• problème flexionnel :
∣∣∣∣∣∣∣∣cinématique : 1
r = v′′
loi constitutive (Hooke) : 1r = M
EI
statique : M = M(v, F, ...)
⇒ v′′ = M(v,F,...)EI
1. Poutre droite comprimée excentriquement
∗ M = −F (r + v) ∗ k =√
FEI ∗ Fcr = EI
(πL
)2 ∗ v(x) = e
[cos (kx)
cos (kL2 )− 1
]∗ a = vmax = e
[1
cos (kL2 )− 1
]2. Poutre droite comprimée légèrement courbe
∗ M = −F (v0 + v) ∗ v0(x) = a0 sin(πxL
)∗ Fcr = EI
(πL
)2 ∗ v(x) =[a0k
2L2
π2−k2L2
]sin(πxL
)∗ a = vmax = a0F
Fcr−F
3. Généralisation
∗ Fcr = K EIL2 ∗ a ≈ alin 1
1− FFcr
∗ M ≈Mlin1
1− FFcr
∗ atot = a01
1− FFcr
cette fraction est le facteur d’amplification du second ordre (voir tableau p. 326)
∗
alin
Mlin
⇒ calculés dans la configuration initiale (non déformée)
12.2 Flambement par bifurcation
∗ charge critique d’Euler : Fcr = EI(πL
)2∗ cas fondamental d’Euler : Fcr = EI
(πLK
)2
12.3 Elancement
∗ Fcr = EI(
πLK
)2
charge critique
∗ σcr = Fcr
A = EIA
(πLK
)2
= E(iπLk
)2
= E(πλ
)2 contrainte critique
25
∗ i =√
IA rayon d’inertie de la section
∗ λ = LK
i = LK
√AI élancement (sensibilité du flambement)
si λ < 20→ plus de risque de flambement
B
• Poutre à travées multiples
• Cadres
• EI variables
• N variable
2
0 0 0 0
f ft tk
k k p k k
M MM M TU N N Tdx dx dx dxP EF P GI P EI P GF P
KGwww w w
w w w w w³ ³ ³ ³
" " " "
k
Théorème de Menabrea
1 2 3
0; 0; 0;.....; 0; k
U U U UR R R Rw w w w
w w w w
Chapitre 12 : Flambage des poutre droites
2
20
cEIN S
"
; 2 2 2 2
2 2 2 20 0 0 /cEI Ei E EF i
S S S SV2
2O " " "
;
/p pEO S V ; ( )c BC BC pp
OV V VO
V
2
2 2
0 0 0
1 1; ' ; ''2 2 2
fc
MU EN t y dx U dx yt EI
³ ³ ³" " "I dx
Chapitre 13 : Analyse des états de contrainte et de déformation
Janvier 2005 page3/6
(EI = cste, remplacer l0 par LK)
12.4 Remarques
• Tout ce qui précède concerne les pièces de structure sans défaut
• Réalité industrielle : existence d’imperfections :- poutres non rectilignes (avec courbure initiale)
- forces appliquées excentrées
- section variable
géométriques
- contraintes résiduelles
- hétérogénéité des matériaux
matérielles
• Imperfections géométriques ⇒ flambement par divergence
• Imperfections matérielles ⇒ sections fragilisées (plastification prématurée)
26
Recommended