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DIFFRACTION DES RX

Science des MatériauxCRISTALLOGRAPHIE

DEFAUTS CRISTALLINSSOLIDIFICATION - ALLIAGESTRAITEMENTS THERMIQUES

CRISTALLOGRAPHIELa structure réticulaire des cristaux :Rangée - Plan - Réseaux direct et réciproque

Les sept systèmes cristallins et les 14 réseaux de Bravais.Les principales structures cristallines des métaux : CC - CFC - HC

GénéralitésA l’échelle macro-structurale, les matériaux peuvent être considérés comme homogènes et isotropes.

Des « défauts » peuvent venir perturber ces structures cristallines :Impuretés, Lacunes, Dislocations, …

Ce n’est plus vrai à l’échelle micro-structurale où nous constatons l’existence de grains ou monocristaux. Les matériaux les plus usuels sont donc des matériaux polycristallins.Chaque grain monocristallin est alors constitué d’un empilement tridimensionnel et régulierd’atomes.

GénéralitésLe milieu cristallin est un état solide qui est ramené sur lui-même par translation suivant trois vecteurs de base non coplanaires.

a2

a1

a3 T = n1a1 + n2a2 + n3a3

La translation n’est pas la seule transformation qui permet de ramener le cristal sur lui-même : rotations et/ou symétries.

Structure réticulaire des cristauxPour décrire la structure d’un cristal, on commence par décrire le réseau ou support de la structure cristalline.

Le réseau est caractérisé par trois vecteurs de base non coplanaires. Le parallélépipède construit sur les trois vecteurs de base est appelé maille origine. Les autres mailles, obtenues par translations quelconques, sont identiques à la maille origine.Les sommets des mailles sont appelés les nœuds du réseau.Le contenu d’une maille est appelé le motif cristallin. a2

a1

a3 T = n1a1 + n2a2 + n3a3

a1

b1

a2

b2

Choix de la maille primitive

a1a2

a3 b2b1

b3Maille Multiplea1,a2,a3

Mailleprimitiveb1,b2,b3

Structure Cubique Centrée : C. C.

Cubique Faces Centrées : C. F. C.

b1

b3b2 a2

a1

a3

Maille Multiplea1,a2,a3

Mailleprimitiveb1,b2,b3

Les rangées réticulaires du réseau

a2a1

a3

[ 1 1 0 ][ 1 0 0 ]

[ 1 1 1 ]

Originequelconque

Représenter :

[ 1 0 0 ][ 1 1 0 ][ 1 1 1 ]

Les rangées réticulaires du réseau

a1

a2

a3

[ 1 1 0 ][ 0 1 1 ][ 1 0 1 ]

Représenter :

[ 1 1 0 ][ 0 1 1 ][ 1 0 1 ]

Les rangées réticulaires du réseauIndexer les grandes diagonales du cube

Les rangées réticulaires du réseauIndexer les grandes diagonales du cube

[ -1 1 -1 ]

[ 1 -1 -1 ]

[ 1 1 1 ]

[ 1 1 -1 ]

+/-

+/-

+/-

+/-

< 1 1 1 >

même paramètre de rangée ( | r | )

Les plans réticulaires du réseau

M1

M2

M3

a1a2

a3

OM1 = n1.a1

OM2 = n2.a2

OM3 = n3.a3

( h k l )

h =

k =

l = nnn 21×

nnn 32×

nnn 31×

n = PGCD ( n1n2 , n2n3 , n1n3 )

h’ =

k’ =

l’ = 31n

11n

21n

Les plans réticulaires du réseau

OM1 = 3.a1

OM2 = 2.a2

OM3 = 6.a3

Plans ( 2 3 1)

M2

M1

M3

a2a1

a3

Les plans réticulaires du réseau

Indexer les faces visiblesdu cube

Les plans réticulaires du réseau

( 1 0 0 )

( 0 1 0 )

( 0 0 1 )

Indexer les faces visiblesdu cube

+/-

+/-

+/-{ 1 0 0 }

même distance entre plans ( dhkl : distance interréticulaire )

[ 1 -1 -1 ]

[ -2 1 -2 ]

( 1 -1 -1 )

( -2 1 -2 )

Exercices

Représenter :

a2

a1

a3

[ 1 -1 -1 ]

[ -2 1 -2 ]

( 1 -1 -1 )

( -2 1 -2 )

Remarque : [ h k l ] ⊥ ( h k l ) pour le système cubique

ExercicesMontrez que : [ 1 1 0 ] ⊂ ( 1-1 1 )

[ 1 1 0 ]

( 1 -1 1 )

Par le dessin

Par le calcul

Réseau réciproque / réseau directLe réseau réciproque permet, de façon simple, la détermination des distances interréticulaires.

Définition : Soient aj les vecteurs de base du réseau direct, le réseau réciproqueassocié à ce réseau direct est défini à partir d’une origine arbitraire et de trois vecteurs de base notés ai* tels que

ai*. aj = δij (1 si i = j et 0 si i ≠ j).

Propriétés :A toute famille de plans réticulaires h,k,l , de distance inter-réticulaire dhkl , correspond un vecteur du réseau réciproque r*hkl

- perpendiculaire aux plans h,k,l ,- de module 1 / dhkl .

Différents types de réseau

Motif : 1 atome

1818 =×Réseau Primitif

Nombre d’atomes par maille :

Réseau P

Nombre d’atomes par maille :

22128

18 =×+×

(u,v,w), (u+1/2,v+1/2,w)

Réseau C (ou A ou B)

Réseau à une base centrée

Position des deux atomes du motif :

Motif : 2 atomes

Réseau I

Nombre d’atomes par maille :

21818 =+×

Réseau cubique centré

Motif : 2 atomes

Position des deux atomes du motif :

(u,v,w), (u+1/2,v+1/2,w+1/2)

Réseau F

Nombre d’atomes par maille :

42168

18 =×+×

Réseau cubique faces centrées

Motif : 4 atomes

Position des quatre atomes du motif :

(u,v,w), (u+1/2,v+1/2,w)

(u+1/2,v,w+1/2), (u,v+1/2,w+1/2)

Les 7 Systèmes CristallinsGéométrie et Symétries

aγ

α βb

c

TRICLINIQUE

1 centre de symétriea ≠ b ≠ c

α ≠ β ≠ γ

Réseau P

S

a

b

c

γα β

MONOCLINIQUE

1 axe de symétrie d’ordre 2

1 miroir

1 centre de symétrie Sa ≠ b ≠ c

α = β = 90° ≠ γ

Réseaux P et C

2/m

a ≠ b ≠ c

α = β = γ = 90°

ORTHORHOMBIQUE

3 axes de symétrie d’ordre 2

3 miroirs

1 centre de symétrie S

S

Réseaux P, C, I et F

2/m 2/m 2/m

a = b ≠ c

α = β = γ = 90°

1 axe d’ordre 4

4 axes d’ordre 2

5 miroirs

1 centre de symétrie

QUADRATIQUE

Réseaux P et I

4/m 2/m 2/m

X3 axes d’ordres 4

4 axes d’ordre 3

6 axes d’ordre 2

9 miroirs

1 centre de symétrie

CUBIQUE

a = b = cα = β = γ = 90°

X

Réseaux P, I et F

4/m 3 2/m

1 axe d’ordre 6

6 axes d’ordre 2

7 miroirs

HEXAGONAL

a = b ≠ cα= β = 90°

γ = 120°

c

ab

1 centre de symétrie

X XRéseau P

6/m 2/m 2/m

a = b = cα = β = γ≠ 90°

1 axe d’ordre 3

3 axes d’ordre 2

3 miroirs

RHOMBOEDRIQUEX

X

1 centre de symétrie

Réseau P

3 2/m 2/m

Type A B A B A B A

Empilement

Ex : structure Hexagonale Compacte

Empilement

Type A B C A B C A B C

ex : structure Cubique Faces Centrées

Principales structures cristallines

44C.F.C.

H.C.

22C.C.

Directions denses

Plans denses

Nbred’atomes par maille

motifstructure

Plans denses

Calcul de la densité :

²1

²1

414 aa =××

²2

2²1)14

14( aa=

××+×

3²1

3²2

613

aa=

×××

C-C Parmi les plans ( 1 0 0 ), ( 1 1 1 ) et ( 1 1 0 ),

quel est le plan le plus dense ?

( 1 0 0 ) :

( 1 1 0 ) :

( 1 1 1 ) :

aa

a

Principales structures cristallines

44C.F.C.

H.C.

22C.C.

Directions denses

Plans denses

Nbred’atomes par maille

motifstructure

( 1 1 0 )

Plans denses

²2

²1)14

14( aa =×+×

²2

2²1)2

12414( aa

=×

××+×

3²4

3²2)2

13613(

aa=

×××+×

Calcul de la densité :

C-F-C Parmi les plans ( 1 0 0 ), ( 1 1 0 ) et ( 1 1 1 ),

quel est le plan le plus dense ?

( 1 0 0 ) :

( 1 1 0 ) :

( 1 1 1 ) :

Principales structures cristallines

44C.F.C.

H.C.

( 1 1 0 )22C.C.

Directions denses

Plans denses

Nbred’atomes par maille

motifstructure

( 1 1 1 )

Distances entre atomesC-C

2×= ad

23×= ad

d = a[ 1 0 0 ] :

[ 1 1 0 ] :

[ 1 1 1 ] :

Calcul de la distance entre atomes :

Parmi les directions [ 1 0 0 ], [ 1 1 0 ] et [ 1 1 1 ],

quelle est la plus dense ?

a

a

a

Principales structures cristallines

( 1 1 1 )44C.F.C.

H.C.

( 1 1 0 )22C.C.

Directions denses

Plans denses

Nbred’atomes par maille

motifstructure

[ 1 1 1 ]

Distances entre atomes

22×= ad

3×= ad

C-F-C Parmi les directions [ 1 0 0 ], [ 1 1 1 ] et [ 1 1 0 ],

quelle est la plus dense ?

d = a

Calcul de la distance entre atomes :

[ 1 0 0 ] :

[ 1 1 0 ] :

[ 1 1 1 ] :

Principales structures cristallines

( 1 1 1 )44C.F.C.

H.C.

[ 1 1 1 ]( 1 1 0 )22C.C.

Directions denses

Plans denses

Nbred’atomes par maille

motifstructure

[ 1 1 0 ]

Structure hexagonale compacte

Maille élémentaire :prisme droit à base losange

Maille multiple :maille triple à base hexagonale

a = b ≠ cα= β = 90°

γ = 120°

b a

c

Structure hexagonale compacte

Projection des atomes de B

A

B

A

a

b

Position des deux atomes du motif :

(u,v,w), (u+2/3,v+1/3,w+1/2)

Principales structures cristallines

[ 1 1 0 ]( 1 1 1 )44C.F.C.

[ 1 1 0 ]( 1 1 1 )22H.C.

[ 1 1 1 ]( 1 1 0 )22C.C.

Directions denses

Plans denses

Nbred’atomes par maille

motifstructure

Principales structures cristallines

Be, Cd, Mg, Zn, …

Fe γ, Ni,Cu, Al, Ag, Au, …

Fe α, Fe δ, Cr α, Ti β,Mo, Nb, V, W, …

Exemples

12

12

8

Coordinance

Z

0.74H.C.

0.74C.F.C.

0.68C.C.

CompacitéStructure

Sites interstitielsCes structures, bien que compactes (de part leur construction), ont un coefficient de remplissage (volume des sphères contenues dansla maille / volume de la maille) inférieur à 1.On constate en effet l’existence de trous ou vides, encore appelés cavités ou interstices.

Site octaédrique

métal

site octa.

Structure C-C

Sites octaédriques

Structure C-C

Site tétraédrique

métal

site tétra.

Structure C-C

Sites tétraédriques

Structure C-C

Site octaédrique

Structure C-F-C

métal

site octa.

Structure C-F-C

Sites octaédriques

métal

site tétra.

Structure C-F-C

Site tétraédrique

Structure C-F-C

Sites tétraédriques

Sites interstitiels

Dans ces différents sites peuvent venir se loger des atomes de plus petites tailles.⇒ mélanges, alliages / solutions solides d’insertion, phases.On distingue les solutions solides d’insertion précédemment évoquées (dures et fragiles) et les solutions solides de substitution (plus ductiles).

Ces structures, bien que compactes (de part leur construction), ont un coefficient de remplissage (volume des sphères contenues dansla maille / volume de la maille) inférieur à 1.On constate en effet l’existence de trous ou vides, encore appelés cavités ou interstices.

« Défauts » ponctuels

- Atomes étrangers interstitiels

Auto-interstitiel

Atome étranger interstitiel

Lacune

Atome étranger substitutionnel

- Atomes étrangers substitutionnels- Atomes auto-interstitiels- Lacunes

!!