LE RESEAU RECIPROQUE – solution

La page 85 de votre poly de physique est consacrée à la définition du réseau réciproque, un concept initialement introduit par J.W. Gibbs (1839-1903). Ce concept, plutôt abstrait, est absolument central en physique du solide : le but de ce TD est de vous donner l’occasion de manipuler le réseau réciproque et d’en comprendre quelques utilisations. A - Rangées cristallines, plans réticulaires… et réseau réciproque Un plan cristallographique (ou plan réticulaire) est un plan déterminé par les nœuds qu'il contient. On le définit par ses indices de Miller.

Imaginons un plan qui coupe les axes du repère quelconque en trois nœuds du réseau A, B, C.

Les unités choisies sur les trois axes sont a, b et c ; on peut écrire : OA = x.a OB = y.b OC = z.c Les coordonnées de A sont (x,0,0) ; celles de B sont (0,y,0) et celles de C sont (0,0,z) où x, y, z sont des entiers

Prenons leurs inverses 1/x, 1/y, 1/z et multiplions les par leur plus petit commun multiple. On obtient trois nombres premiers entre eux h,k,l qui sont les indices de Miller du plan considéré.

Les indices de Miller d'un plan sont notés entre des parenthèses : (h,k,l).

L'équation du plan ABC s'écrit h x + k y + l z = N. Vous pouvez le vérifier aux points A, B, C ; la constante entière N est nulle lorsque le plan passe par l'origine.

1. Imaginez un réseau quelconque ; portez les nœuds A,B,C,D,E et F de coordonnées : 100, 010, 001, 200, 020, 002. Quels sont les indices de Miller du plan ABC puis ceux du plan DEF ?

Réponse : (111) pour les deux plans… on définit donc une famille infinie de plans parallèles

2. Considérons maintenant le réseau orthogonal ci-contre

(l’axe c est perpendiculaire au plan de la feuille). Donnez les indices de Miller du plan vertical dont la trace est matérialisée sur la figure.

Réponse : (120)…

Vous avez compris ? alors, résolvez le problème suivant :

3. Dans un repère orthogonal tel que le rapport des paramètres 3a b = , trouvez l'angle qui existe entre la rangée [1 -1 0]

et la normale au plan (1 -1 0).

Réponse : Le dessin ci-dessous indique, dans les plans de base a,b (001) la trace du plan (1 -1 0) marquée T et la rangée [1 -1 0] marquée R. La normale au plan est indiquée par N. 1) - On remarque que R et N, contenus dans les plans (001), ne sont pas colinéaires.

3a b = donc � = 60degrés et � = 30deg..

Si on examine attentivement les différents rectangles, on voit que l'angle entre R et N est:

Donc, la normale à un plan n'est pas, en général,

la rangée qui a pour indices les indices de Miller du plan.

4. Construisez le réseau réciproque associé au réseau hexagonal (on tracera la projection des réseaux direct et réciproque sur le plan (001), à partir de la même origine).

Réponse : on rappelle la définition des vecteurs du réseau réciproque

2 0 0

0 2 0

0 0 2

A a A b A c

B a B b B c

C a C b C c

ππ

π

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

�� � �� � �� �

�� � �� � �� �

�� � �� � �� �

ainsi que la définition de la maille élémentaire du réseau hexagonal : 2

,2 3

a b c etπ πα β γ= ≠ = = =

d’où le schéma suivant, dans le plan de base (001) :

Avec 4 13

A Ba

π= =

Quant au vecteur C��

, il est colinéaire à c�

et 2

Ccπ=

5. Sur le schéma que vous venez de tracer, construisez la rangée [120] du réseau réciproque, et la trace du plan (120) du réseau direct. Que remarquez-vous ?

a�

b�

A��

B��

3π

a�

b�

A��

B��

3π

On remarque évidemment que la rangée [120] du réseau réciproque n’est autre que la normale au plan (120) du réseau direct.

Vous venez de découvrir une propriété fondamentale du réseau réciproque : la normale au plan d’indices de Miller (hkl) est la rangée réciproque de composantes [HKL]. On pourra le démontrer de la façon classique suivante : on considère le vecteur N

��� définissant

la rangée du réseau réciproque [HKL], et on construit l’ensemble des vecteurs OM�����

du réseau direct tels que M corresponde à tous les nœuds du plan cristallographique (P) perpendiculaire à N���

.

( )( )2

N hA k B lC

OM ua vb wc

OM N OQ N cste M P

soit hu kv lw csteπ

= + +

= + +

⋅ = ⋅ = ∀ ∈

+ + =

��� �� �� ��

����� � � �

����� ��� ���� ���

On obtient donc l’équation du plan d’indices de Miller (hkl).

6. Calculez la distance interréticulaire entre deux plans successifs d’une même famille

dans un réseau hexagonal.

(P) et (P’) sont deux plans cristallographiques successifs de la famille (hkl). D’après ce qui précède on a les relations suivantes :

( )2

2 1

OM N OQ N K

OM N OQ N K

ππ

⋅ = ⋅ = ⋅

′ ′⋅ = ⋅ = ⋅ +

����� ��� ���� ���

������ ��� ����� ��� avec K entier

d’où ( ) 2OQ OQ N π′ − ⋅ =����� ���� ���

soit : 2

hkldN

π= ���

a�

b�

A��

B��

3π

( )120direct

[ ]120réciproque

a�

b�

A��

B��

3π

( )120direct

[ ]120réciproque

Dans le cas du réseau hexagonal, on pourra se rappeler les caractéristiques du réseau réciproque et calculer

( ) ( )

( )

( )

2

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2

22 2 2

2 2

2

16 4 162 cos

3 3 34

43

hkl hkl hklN N N

hA k B lC hA k B lC

h A k B l C hk A B

h k l hka c a

lh k hk

a c

π π π π

π

= ⋅

= + + ⋅ + +

= + + + ⋅

= + + +

� �= + + +� �

� �

����� ����� �����

�� �� �� �� �� ��

�� ��

D’où

( )2

2 2 22

43

hkl

ad

ah k hk l

c

=+ + +

7. Toujours dans le réseau hexagonal, calculez l’angle entre les plans (101) et (111) (on

supposera que le rapport c/a est égal à 1,538). Réponse : on calcule l’angle entre les plans (hkl) et (h’k’l’) en calculant l’angle entre leurs normales respectives par la formule classique :

cosN N

N Nφ ′⋅=

′⋅

��� ���

��� ���

après quelques calculs sans difficultés on obtient, dans le cas du réseau hexagonal :

( )2

2

2 22 2 2 2 2 2

2 2

1 32 4cos

3 34 4

ahh kk hk h k ll

ca a

h k hk l h k h k lc c

φ′ ′ ′ ′ ′+ + + +

=� � � �′ ′ ′ ′ ′+ + + + + + � � � �

application numérique pour l’angle entre les plans (101) et (111) on trouve 29,61φ = ° (pour les détails, voir ci-dessous)

( )

( ) ( )

( )( )

2

2

2 2

2 2

2

2 2

1 31 0 1 0

2 4cos3 3

1 0 0 1 1 14 4

1,5 0,75*(0,65)

1 0,75*(0,65) 3 0,75*(0,65)

1,5 0,316875

1+0,316875 3 0,316875

1,8168751,316875*3,316875

1,8168754,367909765625

0,869337

ac

a ac c

φ+ + + +

=� � � �

+ + + + + + � � � �

+=+ +

+=+

=

=

=

A ce stade, il est essentiel de comprendre que tous les calculs de géométrie concernant les plans cristallographiques se réalisent aisément dans l’espace réciproque – c’est absolument indispensable dès lors que le repère du réseau direct n’est plus orthonormé… B - Réseau réciproque et microscopie électronique en transmission J’en vois déjà qui râlent : « ouais, c’est pas de la physique çà, c’est des maths… y en a marre ». Très bien. Nous allons donc montrer ici que le réseau réciproque n’est pas qu’une construction purement abstraite…

Le schéma ci-contre illustre le trajet des électrons dans un microscope électronique en transmission (pour ceux que ça intéresse, nous disposons de ce type d’équipement à l’EMSE). Le faisceau incident parallèle traverse l’échantillon (par exemple un monocristal de silicium sous forme d’une « lame mince » de ~100 nm d’épaisseur). On suppose que le monocristal est orienté de façon à ce qu’une famille de plans réticulaires (hkl) est en position de Bragg exacte. L’objectif est constitué d’un jeu de lentilles électromagnétiques, et peut-être assimilé à une lentille mince convergente. Dans le plan focal image nous obtenons un cliché de diffraction constitué de deux taches :

1. Montrer, grâce à la construction d’Ewald, que ce cliché de diffraction n’est rien d’autre qu’une coupe de l’espace réciproque… si ça c’est pas de la physique !

Réponse : voir la construction complète ci-dessous… où l’on remarque que :

*

*sin2 2

hkl hklB

hkl

O P gAO d

λ λθ = = =

remarque : le facteur de normalisation 2ππππ utilisé en physique du solide est pénalisant dans l’analyse de la diffraction – en fait le réseau réciproque utilisé dans ce cas est couramment défini par :

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A a A b A c

B a B b B c

C a C b C c

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

�� � �� � �� �

�� � �� � �� �

�� � �� � �� � d’où la relation 1

hklhkl

gd

=����

R=…..

A

OPlans (hkl)

θB R=…..

A

OPlans (hkl)

θB

Maintenant que vous savez matérialiser le réseau réciproque dans un microscope électronique en transmission, retrouvez les conditions d’extinction obtenues page 94 par le calcul du facteur de structure. Pour ce faire, on construira et comparera les réseaux réciproques des structures cubique simple, cubique centrée et cubique face centrée… Utilisez la maille primitive pour votre construction. Réponse : oui, je sais, c’est bêtement calculatoire, mais l’idée c’est de leur faire entrer dans la tête que le réseau réciproque caractérise le phénomène de diffraction.

Réseau direct Réseau réciproque

Cubique simple :

a i

b j

c k

a

a

a

=

=

=

� �

� �

� �

( )3V a=

b c 2A 2 i

c a 2B 2 j

a b 2C 2 k

V a

V a

V a

ππ

ππ

ππ

∧= =

∧= =

∧= =

� ��� �

� ��� �

� ��� �

Cubique centré :

( )( )( )

a i j k2

b i j k2

c i j k2

a

a

a

= − + +

= − +

= + −

� � � �

� � � �

� � � �

( )3 2V a=

( )( )( )

2A j k

2B i k

2C i j

a

a

a

π

π

π

= +

= +

= +

�� � �

�� � �

�� � �

Cub. Face Centrée :

( )( )( )

a j k2

b i k2

c i j2

a

a

a

= +

= +

= +

� � �

� � �

� � �

( )3 4V a=

( )( )( )

2A i j k

2B i j k

2C i j k

a

a

a

π

π

π

= − + +

= − +

= + −

�� � � �

�� � � �

�� � � �

Cubique simple Cubique centré Cubique faces centrées Pas d’extinction Somme des indices paires Indices de même parité

(000)

(100)

(200)

A��

B��

C��

A��

B��

C��(000)

(200) (220)(110)

2aπ 4

aπ

A��

B��

C��

(000)

(200)

(111)

4aπ

(000)

(100)

(200)

A��

B��

C��

A��

B��

C��(000)

(200) (220)(110)

2aπ 4

aπ

A��

B��

C��

(000)

(200)

(111)

4aπ