Semigroupes faiblement irréductibles de contractions linéaires surC(X)

Semigroup Forum Vol. 58 (1999) 452-462 © 1999 Springer-Verlag New York Inc.

RESEARCH ARTICLE Semigroupes Faiblement Irreductibles

de Contractions Lineaires sur C(X)

Etienne Menard'

Communicated by K. H. Hofmann

1. Introduction

Soient X un espace compact et C(X) l'espace vectoriel sur lK de toutes les applica-tions continues de X dans lK, muni de la norme uniforme et de l'ordre usuel (lK = lR ou C). Dans [6] (1970), Jamison demontre le theoreme de convergence suivant: Si Test un operateur de Markov irreductible sur C(X) et si fest une fonction de C(X) telle que lim (Tn f)(x) = 0 pour tout x EX, alors lim IITn fll = O. Jami-

n~+oo n~+oo

son demontre egalement qu'un operateur de Markov irreductible faiblement presque-periodique sur C(X) est presque-periodique. Dans [ll] (1989), Sine a ensuite etendu ces resultats au cas Oll Test une contraction lineaire irreductible quelconque sur C(X).

Ces proprietes concernent en fait des representations du semigroupe (N, +) par des contractions lineaires sur C(X). Dans un travail realise conjointement avec Troallic [9], nous avons obtenu des resultats analogues a ceux de Sine en rempla~ant le semigroupe (N, +) par un semigroupe semitopologique localement compact non compact S tel que S \ sS et S \ Ss soient relativement compacts dans S pour tout sES. Rappeions que Junghenn avait deja obtenu dans [7] une extension de ce type pour des operateurs de Markov sur C(X).

Dans [12] (1988), Wittmann a etendu le theoreme de convergence de Jamison au cas Oll l'operateur de Markov Test seulement faiblement irreductible. L'objet principal du present travail est d'etendre les resultats de [9] au cas de semigroupes faiblement irreductibles de contractions lineaires sur C(X). Les techniques de de-monstration utilisees ici permettent egalement de montrer que toute contraction lineaire faiblement irreductible et faiblement presque-periodique sur C(X) est presque-periodique.

Tous les espaces topologiques consideres sont supposes separes.

2. Preliminaires

Soient X un espace compact et .c(C(X)) l'algebre de Banach usuelle des operateurs lineaires continus sur C(X).

Definitions et notations 2.1. On note C+(X) l'ensemble des elements f de C(X) tels que f(X) C lR+ et T;;(X) l'ensemble des applications bornees de X dans

* L'auteur remercie J.P. Troallic pour les nombreux echanges qu'ils ont eus apropos de ce travail.

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IR+ semicontinues inferieurement. 1) Soit T E .L:(C(X)). On dit que Test positif si pour tout I E C+(X), TI E C+(X). Si Test positif et si Tl = I, on dit que Test un operateur de Markov. Si pour toute fonction non nulle I de C+(X), TI est une fonction non nulle de C+(X), on dit que Test strictement positif. 2) Soit Tune contraction lineaire sur C(X), c'est-a-dire un element de .L:(C(X)) de norme inferieure ou egale a 1. Pour tout I E rt (X), on pose TI = sup{ ITgl : 9 E C(X), Igl :s: J}; Test une application de rt(X) dans rt(X). On pourra trouver dans [9] de plus am pies details sur la construction de T, ainsi que sur les proprietes de cette fonction; rappeions, par exemple, que si T, Tl, T2 sont des contractions lineaires sur C (X) et si I, 9 sont des elements de rt (X), on a TU + g) = TI + T g, T(>.J) = ATI (ou A E IR+), TI:S: Tg si I:S: 9 et T j T2 :S: TiT2 .

Rappels 2.2. (cf. [1]). 1) Soit S un semigroupe de contractions lineaires sur C(X) (Ja loi interne sur S etant la composition des operateurs). Un element I de C(X) est S-presque-periodique (respectivement, S-faiblement presque-periodique) si {TI: T E S} est relativement compact (respectivement, faiblement relativement compact) dans C(X). Si tout I E C(X) est S-presque-periodique (respectivement, S-faiblement presque-periodique), on dit que S est presque-periodique (respective-ment, faiblement presque-periodique).

Notons .L:w(C(X)) l'algebre localement convexe separee sur lK obtenue en munissant .L:(C(X)) de la topologie faible des operateurs. Supposons S faiblement presque-periodique; alors l'adherence S"' de S dans .L:w(C(X)) et l'enveloppe convexe fermee coSw de S dans .L:w(C(X)) sont des semigroupes semitopologiques compacts (de contractions lineaires sur C(X)). Supposons de plus que l'intersection K.(S"') des ideaux bilateres de S"' soit un groupe (ce qui sera le cas si S est commutatif ou si S est un groupe); alors:

a) Pour tout I E C(X), on a I = h + h ou h est une fonction de C(X) teile que 0 soit faiblement adherent a Sh, et ou h est une fonction de C(X) S-presque-periodique (d'apres le theoreme de decomposition de Glicksberg et de Leeuw [3]).

b) Il existe dans coSw un zero (c'est-a-dire un element Z tel que ZT = TZ = Z pour tout TE coSw

).

2) Soit S un semigroupe semitopologique. Soit U une representation de S par des operateurs lineaires continus sur C(X) (c'est-a-dire une application s --+ Us de S dans .L:(C(X)) teile que Ust = UsUt pour tous s, tE S). On dit que U est faiblement (respectiver."i:.mt, fortement) continue si U est continue quand on munit .L:(C(X)) de la topologie faible (respectivement, forte) des operateurs.

3. Ensembles S -invariants minimaux

Dans toute cette section, X est un espace compact et S est un semigroupe de con-tractions lineaires sur C(X).

Definitions 3.1. 1) Une partie A de X est dite S-invariante si A est un ferme de X et si pour toute fonction I de C(X) nulle en tout point de A et pour tout TE S, la fonction TI est nulle en tout point de A. Une partie fermee A de X est donc

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S-invariante si et seulement si pour tout xE A et tout TE S, (T1 x\A)(x) = O. Une partie A de X est un ensemble S-invariant minimal si A est un ensemble

S-invariant non vide et si 0 et A sont les seuls ensembles S-invariants inclus dans A. Il resulte du lemme de Zorn que toute partie S -invariante non vide de X contient un ensemble S -invariant minimal. 2) S est dit irreductible si X est un ensemble S-invariant minimal. S est dit faiblement irreductible si toute partie S-invariante non vide a un interieur non video (D'autres definitions de l'irreductibilite (voir [10]) et de la faible irreductibilite [12] peuvent etre donnees en faisant appel a la not ion de S-ideal; l'equivalence de ces definitions se deduit de 3.2 ci-dessous.) Notons qu'un semigroupe faiblement irreductible n'est pas necessairement irreductible, comme le montre l'exemple simple suivant: X ensemble discret fini ayant au moins deux elements et S = {idC(x)}. 3) Une partie I de C(X) est un S-ideal si lest un ideal ferme de C(X) verifiant T(I) c I pour tout TE S.

Les proprietes suivantes sont bien connues (cf. par exemple [2] et [10]).

Rappels 3.2. Soient A une partie de X et I un ideal de C(X); notons

.J(A) = {u: U E C(X), u(A) c {O}} et

V(I) = {x : x E X, Vu E I, u(x) = O}. Alors:

1) .J(A) est un ideal ferme de C(X). 2) V(I) est un ferme de X. 3) V(.J(A)) = A et .J(V(I)) = 1. 4) A est un ensemble S-invariant si et seulement si .J(A) est un S-ideal. 5) 1 est un S-ideal si et seulement si V(I) est un ensemble S-invariant.

Notation et remarque 3.3. Soit A une partie de X S-invariante. Pour tout TE S, on note TA l'application de C(A) dans C(A) definie par TAf = (T])IA OU ] est un prolongement continu de faX (TAfest independant du prolongement continu choisi). Alors SA = {TA: T E S} est un semigroupe de contractions lineaires sur C(A). De plus, si A est une partie S-invariante minimale, SA est irreductible.

Le lemme 3.4 et le theoreme 3.7 ci-dessous sont des extensions de resultats de Wittmann [12]. Dans [12], le semigroupe S est egal a {Tn : n E N} ou Test un operateur de Markov. Le theoreme 3.7 sera particuliE~rement important pour la suite.

Lemme 3.4. Soit f E C(X) tel que TU) = f po ur tout T ES. On suppose que po ur tout ensemble S -invariant minimal M, flM = o. Alors f = o. Demonstration. Posons

a = sup{lf(x)1 : x E X} et A = {x : x E X, If(x)1 = a};

A est un ferme non vide de X.

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Supposons que A ne soit pas S-invariant (ce qui implique A =f X); il existe alors Xo E A et T E S tels que (Tlx\A)(xo) > O. Soit V un ouvert de X tel que V C V c X \ A et (Tlv)(xo) > 0 (cf. [5]). Soit

b = sup{lf(x)1 : x E V};

on ab< a et Ifl + a1v ::; blv + a, done

Tlfl + aTl v = T(lfl + a1v) ::; T(bl v + a) ::; bTlv + a,

done Tlf! ::; (b - a)Tlv + a.

Par eonsequent

If(xo)! = !(Tf)(xo)1 ::; (TIf!)(xo) ::; (b - a)(Tlv)(xo) + a < a,

ce qui est absurde puique Xo E A. L'ensemble A est done S-invariant. Soit M un ensemble S-invariant minimal inclus dans A; on a

a = Ifl/M = O. • Proposition 3.5. Supposons que l'enveloppe convexe fermee eoSw de S dans Cw(C(X)) admette un zero Z et notons F la fermeture dans X de la reunion des ensembles S -invariants minimaux. Alors Zlx\F = O. De plus si Z est strictement positij, alors X = F .

Demonstration. On a

ZIX\F = sup{!Zf! : f E C(X), Ifl::; lX\F}.

Soit f E C(X) tel que 1ft ::; lX\F; alors pour tout ensemble S-invariant minimal M, on a f/M = 0 et done (Tf)/M = 0 pour tout TE S; ainsi (Zf)/M = O. Comme T(Zf) = Zf pour tout TE S, il resulte du lemme 3.4 que Zf = 0 et par eonsequent Zlx\F = O. •

Remarque 3.6. Si S est un semigroupe de eontractions lineaires positives sur C(X) et si l'enveloppe eonvexe fermee eoSw de S dans Cw(C(X)) admet un zero Z strietement positif, alors les elements de S sont des operateurs de Markov. En effet, supposons qu'il existe T E S tel que T ne soit pas un operateur de Markov; alors la fonction 1-Tl de C+(X) est non nulle et la fonetion Z(l- Tl) est nulle, ce qui est impossible.

Theoreme 3.7. Si S est faiblement irreductible, alors il n'y a qu 'un nombre fini d'ensembles S -invariants minimaux.

Demonstration. Supposons qu'i! existe une suite (Kn)nEN d'ensembles S-in-variants minimaux distinets deux a deux. Posons pour tout n E N

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(Cn)nEN est une suite decroissante d'ensembles S-invariants non vides. Soit H = n Cn ; H est S -invariant et par compacite de X, H i= 0. Pour tout n E N, nEN

on a Cn+1n Kn= 0, donc Hn Kn = 0; par consequent KnnH = 0 pour tout n E N (si non il existerait n E N tel que K n n H i= 0; on aurait alors K n C H par minimalite de Kn, ce qui est en contradiction avec Kni= 0 et Hn Kn= 0). Comme par ailleurs Bi= 0, on a H n( U K j ) i= 0 pour tout nE N, ce qui est en

j>n contradiction avec le fait que K n n H = 0 pour tout nE N. -

De 3.5 et 3.7, on deduit immediatement le resultat suivant:

Corollaire 3.8. Si S est faiblement irreductible et si l'enveloppe convexe fermee coSw de S dans .cw(C(X)) admet un zero Z strictement positif, alors X est l'union (finie) des ensembles S -invariants minimaux. -

4. Irreductibilite faible et presque-periodicite. Etude d'un cas particulier

Nous allons etudier ici le cas d'un semigroupe S d'operateurs de Markov pour lequella faible irreductibilite et la faible presque-periodicite impliquent la presque-periodicite. Notons que nous ne nous appuyons pas sur les resultats de ce type obtenus par Junghenn dans [7J.

Dans toute cette section, X est un espace compact et S est un semigroupe d'operateurs de Markov sur C(X) Oll tout T E S est un homomorphisme de lattis (cf. [10]). On sait qu' alors pour tout T ES, il existe une unique application continue de X dans X, que l'on notera gT, telle que TI = logT pour tout I E C(X) (voir par exemple [10]). On verifie aisement que pour toute partie fermee A de X, A est S-invariant si et seulement si gT(A) cA pour tout TE S. On note ra F la reunion des ensembles S-invariants minimaux de X.

Lemme 4.1. Supposons S faiblement irreductible. Alors pour tout x EX, il existe T E S tel que gT(X) E F. Demonstration. Soit x E X. Notons AI = {gT(X) : T ES}; Ax est un ensemble S-invariant non video Soit M ensemble S-invariant minimal inclus dans Ax (cf. 3.1). Comme Mi= 0, on aM nA:" i= 0 et par consequent, il existe TE S tel que gT(X) E F. _

Lemme 4.2. Supposons que l 'enveloppe convexe fermee co SW de S dans .cw(C(X)) admette un zero Z. Soit I E C(X) une Ionction S -Iaiblement presque-periodique teile que 0 E {TI: TESt. Alors I/F = O.

Demonstration. {T I : TESt est une partie faiblement compacte de C(X) contenant 0; {IT 11 : T E S} West donc aussi une partie faiblement compacte de C(X) contenant 0 (d'apres le theoreme 5 de [4]). Soit M un ensemble S-invariant minimal

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et soit x E M; l'applieation 9 -+ (Zg)(x) de C(X) dans lK est une moyenne S-invariante sur C(X) de support M. Soit E un reel > 0; il existe T E S tel que (ZITfl)(x) < E et l'on a

(Zlfl)(x) = (ZTlfl)(x) = (ZITfl)(x) < E;

par eonsequent (Zlfl)(x) = 0 . On en deduit que f s'annule sur M et done que J;F = O. -

Theoreme 4.3. Supposons que S soit un graupe (d'element neutre l'identite sur C(X)) faiblement irreductible et faiblement presque-periodique. Alors S est presque-periodique.

Demonstration. D'apres le lemme 4.1, on a X = F. Puisque COS'" admet un zero (ef. 2.2), il resulte du lemme 4.2 que tout f E C(X) verifiant 0 E {T f : T E S} w

est nulle. Par eonsequent, d'apres le theoreme de deeomposition de Glieksberg et de Leeuw (ef. 2.2), S est presque-periodique. _

Theoreme 4.4. Soit S un semigraupe semitopologique localement compact non compact tel que S \ sS soit relativement compact dans S pour tout sES. Soit U : S -+ C(C(X)) une representation de S par des operateurs de Markov tels que pour tout SES, Us est un homomorphisme de lattis. On suppose que le semigraupe Us = {Us : SES} est faiblement irreductible. Alors: a) Il existe un compact K de S tel que Us 1x \F = 0 pour tout sES \ K. b) Si U est forlement continue, si Us est faiblement presque-periodique et si le noyau IC(tJ;') de u;'" est un graupe, alors Us est presque-periodique.

Demonstration. a) D'apres le lemme 4.1, on a X = U g[J,I(F) et done il existe sES

n 0

SI,' .. , Sn E S tel que X = U gu,1 (F). On en deduit que i=l l

Soit K un eompaet de S tel que (S\SIS)U" .U(S\snS) C K. Soit s E S\K. Pour tout i E {I, ... , n}, il existe ti E S tel que s = Siti; on a done

Par eonsequent Uslx\F = O.

b) Soit JE C(X) tel que 0 E {Usi: s E st; alors, eomme eoUsw admet un zero,

il resulte du lemme 4.2 que f/F = O. Ainsi, d'apres a), il existe un eompaet K de S tel que IlUsill = 0 pour tout sE S\K; on a done lim IIUsili = O. On en deduit que

8-+00

fest presque-periodique et par eonsequent, d'apres le theoreme de deeomposition de Glieksberg et de Leeuw, Us est presque-periodique. -

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5. Irn3ductibilite faible et presque-periodicite pour un semigroupe de contractions lineaires

Rappels 5.1. Les proprietes 1) et 2) suivantes proviennent de [9] (theoremes 3.1 et 4.2): Soient X un espace compact et 5 un semigroupe semitopologique localement compact non compact tel que 5 \ s5 soit relativement compact dans 5 pour tout sE 5. Soit U : 5 -t C(C(X)) une representation faiblement continue de 5 par des contractions lineaires sur C(X). On suppose que le semigroupe Us = {U. : s E 5} est irreductible. 1) Si fest une fonction de C(X) telle que lim (U8 f) (x) = 0 pour tout x EX, alors

..... 00

lim IIUsfl1 = o. 8 .... 00

2) Si 5 \ 5s est relativement compact dans 5 pour tout s E 5, si Us est faiblement presque-periodique, si le noyau J((U?) de U? est un groupe, et si Us admet dans C(X) un point fixe autre que la fonction nulle, alors: a) pour tout fE C(X) telle que 0 E Usf w

, on a lim IIU8 fli = 0; 8 .... 00

b) si U est fortement continue, Us est presque-periodique.

Rappeions que lorsque toutes les contractions lineaires sont positives, nous n'avons pas besoin de supposer l'existence d'un element non nul de C(X) fixe par rapport aUs (cf. [8]). Rappeions egalement que les resultats ci-dessus ont ete obtenus par Junghenn lorsque Us est un semigroupe d'operateurs de Markov ([7]).

Nous nous proposons dans cette section d'etendre au cas " faiblement irreduc-tible " les proprietes rappelees en 5.1. Pour cela, les deux lemmes suivants seront necessaires. Les techniques de demonstration utilisees ici sont voisines de celles developpees dans [12] par Wittmann pour un operateur de Markov.

Le lemme 5.2 suivant montre que la reunion F des parties S-invariantes minimales de X est en quelque sorte " fortement rE~currente " au sens de Wittmann.

Lemme 5.2. 50ient X un espace compact et S un semigroupe faiblement irre-ductible de contractions lineaires sur C(X). Alors

X= U U {x:xEX, (t\ ... Vp)(lo)(x»O} pEN" U1, ... ,upESI F

(ou SI = S U {idc(x)} et OU Fest I 'union (finie) des ensembles S -invariants minimaux).

Demonstration. Soit x EX. Posons

n {f : f E C(X), (VI ... Vp)(lfl)(x) = O};

Ix est un S-ideal de C(X) et Ix =I C(X). Notons Ax = V(Ix) = {y : y E X, Vf E Ix, f(y) = O}; d'apres 3.2, Ax est

un ensemble S-invariant non video Soit donc M un ensemble S-invariant minimal inclus dans Ax ; on a M=I 0.

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Soient u EM et gE C+(X) tels que 9 ~ 1M et g(u) = 1. Alors 9 1- Ix (ear, d'apres 3.2, Ix = {h : hE C(X), h(Ax) c {O}}). Par eonsequent, il existe p E N* et U1, ... , Up E S1 tels que

ee qui entraine ([h ... Up )(1 0 )(x) > O.

F • Lemme 5.3. Soient X un espace compact et 5 un semigroupe semitopologique localement compact non compact tel que 5 \ s5 soit relativement compact dans 5 pour tout s E 5. 50it U : 5 -+ .L:(C(X)) une representation de 5 par des contractions lineaires sur C(X). On suppose que Us est laiblement irreductible et on note F l'union (finie) des ensembles Us -invariants minimaux. 50it 1 E C(X) et soit c un reel > o. Alors s 'il existe un compact K 1 de 5 tel que

on a

sup sup l(UsJ)(x)1 ~ c, SES\K1 xEF".

inf Kcompact

KCS

sup IIUs ll1 ~ c. SES\K

Demonstration. On definit 51 de la maniere suivante: si Us eontient idC(x), on pose 51 = 5; sinon on pose 51 = 5 u {e}, se = es = S pour tout S E 51 et Ue = idc(x).

D'apres le lemme 5.2, il existe des entiers P1, ... ,Pn > 0, des elements Si1, ... , Sipi E 51 (1 ~ i ~ n) et un reel a > 0 tel que

Soit ß = inf Kcompact

KCS

sup IIUs!lI; supposons ß > c. Soit TJ > 0 tel que SES\K

TJ(1- a) < a(ß - c)

et soit K 2 un eompaet de 5 tel que

sup IIUdll < ß + TJ· tES\K2

(1)

(2)

(3)

Posons Si = Si1 ... SiPi (1 ~ i ~ n) et K o = K 1 U K 2 et ehoisissons un eompact K de 5 tel que

[(5 \ S15) U S1KO)) U ... U [(5 \ sn5) U snKO)) c K. Soit sE 5 \ K. Pour tout i E {I, ... , n}, il existe ti E 5 \ K o tel que S = Si t i ; on a done

IUsll = IUsitJI = IUsi(UtJ)1 ~ UsilUtJI ~ (USi! ... USiP)OUtJD et par eonsequent

IUsll < inf (US1 ••• Us . )(IUt ll). - l~i~n' 'Pt t

(4)

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Pour tout i E {1, ... , n}, on a, compte-tenu de (3) et (*)

on a donc

et par consequent,

De (1), (4) et (5), on deduit que

IIUsIl1 :::; -(ß + 7] - c)a + ß + 7],

et par consequent, compte-tenu de (2), sup IIUsIl1 < ß, ce qui est absurde. -SES\K

Remarque 5.4. Notons que le lemme 5.3 reste vrai si on remplace l'hypothese "1 E C(X)" par "1 E rt(X)" (Us etant alors remplace par Us); en particulier si 1 = 1x \F' on obtient la conclusion suivante:

lim sup(Us 1x \F)(x) = 0, s-+oo xEX

ce qui generalise un resultat de Wittmann [12].

Theoreme 5.5. Saient X un espace campact et S un semigraupe semitapalagique lacalement campact nan campact tel que S\sS sait relativement campact dans S pa ur taut sES. Sait U : S -+ .L:(C(X)) une representatianiaiblement cantinue de Spar des cantractians lineaires sur C(X). On suppase que le semigraupe Us est Iaiblement irreductible. 1) Si 1 est une Ianctian de C(X) telle que lim (UsJ) (x) = 0 pa ur taut x EX, alars

s-+oo lim IIUsIl1 = o. s-+oo 2) Si S \ Ss est relativement campact dans S pa ur taut SES, si Us est Iaiblement presque-periadique, si le nayau K('[J';"') de '[J';"' est un graupe, et si, paur taut ensemble MUs-invariant minimal, Uf admet dans C(M) un paint fixe autre que la Ianctian nulle, alors: a) paur taut 1 E C(X) telle que 0 E UsI w

, an a lim IIUsIIi = 0; s-+oo

b) si U est Iartement continue, Us est presque-periodique.

Demonstration. Notons tout d'abord que si M est un ensemble Us-invariant minimal, Uf est un semigroupe irreductible de contractions lineaires sur C(M) (cf. 3.3). 1) Il resulte du theoreme 3.1 de [9] (cf. 5.1) que pour tout ensemble M Uf -invariant minimal, on a

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Soit c > O. Soit F l'union (finie) des ensembles Vs-invariants minimaux. Alors il existe un compact K 1 de S tel que

sup sup I(Vsf)(x)1 :S c. SES\Kl xEF

Par consequent d'apres le lemme 5.3

D'ou lim IIV.fll = O . • -tao

inf Kcompact

KCS

sup IIVsf11 :S c. .ES\K

2) Soit M un ensemble Vs-invariant minimal; Vr est faiblement presque-periodique. Soit Z un zero de ~ (cf. 2.2); ZM est un zero de co vrw

. Si f E C(X) et si OE Vsfw

, on a 0 E VrU/Mt et d'apres le theoreme 4.2 de [9J (cf. 5.1),

lim IIV~(J/M)II = O. s-too

Comme dans le 1), on obtient alors

lim IIV.fll = 0, .-tao

ce qui etablit le a). Le theoreme de decomposition de Glicksberg et de Leeuw (cf. 2.2) permet

alors d'obtenir le b). _

Remarque 5.6. Si dans 5.5 Vs est un semigroupe de contractions lineaires positives, l'hypothese " pour tout ensemble M Vs-invariant minimal, Vr admet dans C(M) un point fixe autre que la fonction nulle " peut etre supprimee. Au lieu d'utiliser le theoreme 4.2 de [9], on utilise alors le theoreme 4.2 de [8J.

En raisonnant de maniere similaire, on obtient l'extension suivante du theoreme 4.3 de [9J:

Theoreme 5.7. Soient X un espace compact et Tune contmction lineaire sur C(X). On suppose que {Tn : n E N} est faiblement irreductible et faiblement presque-periodique. Alors: 1) Si f E C(X) et si 0 E {Tn f : n E N} w, on a lim 11m fll = o.

n-too 2) Test presque-periodique. _

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UPRES-A CNRS 6085 Faculte des Sciences et Techniques Universite du Havre 25, rue Philippe Lebon F-76600 Le Havre France

Received January 2, 1997 and in final form June 11, 1997

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