Séries statistiques à une variable. Détermination de la médiane

1.   Dans le cas d’un caractère discret

  Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série.

   Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère.

Exemples :

Donner la valeur médiane de chacune des séries suivantes

a)   Série de prix de vente

Prix médian = 25 €

PV(€) 12 17 21 25 32 40 13

b)   Nombre d’achats journaliersb)   Nombre d’achats journaliers

Nombre d’achats médian Nombre d’achats médian

68 7672

2

Nombre de

d’achats 42 56 68 76 84 92

2. Cas d’un caractère continu

Exemple 1

Distance en Km

Nombre d’entreprises

ECC ECD

[0 ; 5[ 8 8 93

[5 ; 10[ 22 30 85

[10 ; 15[ 32 62 63

[15 ; 20[ 18 80 31

[20 ; 25[ 5 85 13

[25 ; 50[ 8 93 8

Total 93    

1. Tableau

2. Polygones des effectifs cumulésMédiane: Exemple 1

0 0

8

30

62

8085

9393

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Distance en km

Effe

ctifs

cum

ulés

ECC

ECD

75,12Me3. Par lecture graphique la médiane est: 75,12Me

4. Plus de la moitié des élèves effectue leur stage à une distance de 12,75 km

Exemple 2 :

Classes Effectifs ni

Centre des

classes xi

Produits ni × xi

ECC ECD Fréquences(%)

FCC

[100;140[

4 120 480 4 16 25,00 25,00

[140;180[

2 160 320 6 12 12,50 37,50

[180;220[

6 200 1200 12 10 37,50 75,00

[220;260[

2 240 480 14 4 12,50 87,50

[260;300[

2 280 560 16 2 12,50100,0

0N

=16 3040 100

1. Prix moyen: 190 €

3040

16x

190

2. Polygones des EC

Médiane: Exemple 2

0 0

4

6

12

14

1616

0

4

8

12

16

100 140 180 220 260 300

Prix de vente en €

Eff

ecti

fs c

um

ulé

s

ECC

ECD

Me = 195

3. Polygones des FCC

Paramètres de dispersion

La variance est donnée par lune des formules suivantes:

• V = -

 Variance

N

ni xxi )(2

=

Dans cette formule : est la moyennexN

xn ii 2

x2

L'écart-type : Il mesure la répartition des valeurs de la

variable autour de la moyenne ;Il est égal à la racine carrée de la variance.

Écart-type : =

: lire sigma; avec V : variance.

V

Pour calculer l'écart ‑ type, on calcule d'abord la variance V.

Puis on calcule l'écart type   par la formule:

V =

Plus l’écart – type σ est grand, plus les valeurs du caractère sont dispersées autour de la moyenne

Plus il est petit, plus les valeurs du caractère sont groupées autour de la moyenne.

Loi normale- courbe de Gauss

Si une série statistique se distribue suivant une loidite normale, sa courbe des effectifs, appelée

courbe de Gauss met en évidence que :• 68 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle

[ - ; ] x x

•  98 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle

• 95 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle

[ - 2 ; 2 ]x x

[ - 3 ; 3 ] x x

‑

Tableau 1

Classes Centres xi Effectifs niProduits ni xi

[2; 4[   8      

[4; 6[   15      

[6; 8[   18      

[8; 10[   11      

[10; 12[   14      

[12; 14[   13      

 79    

4,8

5

7

9

11

24

75

126

99

154

169

647

5,2

3,2

1,2

0,8

2,8

7,04

216,32

153,6

25,92

3

109,76

299,52

812,16Total

13

ix x 2( )i in x x

Calcul de la moyenne:

Paramètres du tableau 1

1

n

i ii

n xx

N 647

8,279

Calcul de la variance:

2

1

( )812,16

10,379

n

i ii

n x xV

N

Calcul de l’écart type:

10,3 3,2V

Tableau 2

Classes Centres xi Effectifs niProduits ni xi

[2; 4[   11      

[4; 6[   17      

[6; 8[   20      

[8; 10[   15      

[10; 12[   9      

[12; 14[   7      

5

7

9

11

3

13

85

140

135

99

33

91

583

4,4

2,4

0,4

1,6

3,6

3,6

38,4

212,96

97,92

3,2

116,64

219,52

688,6479Total

ix x 2( )i in x x

Calcul de la moyenne:

Paramètres du tableau 2

1

n

i ii

n xx

N

Calcul de la variance:

Calcul de l’écart type:

5837,38

79

2

1

( )688,64

8,779

n

i ii

n x xV

N

8,7 2,95V

2. Comparaison des 2 séries

L’écart type du 2ème tableau étant plus petit, les valeurs de cette série sont mieux réparties par rapport à la 1ère série.

’

Exercice 1: 1. Tableau

Classes Effectifs niFréquences en

%Centres de classes xi

ni×xiEffectifs cumulés

décroissants

Effectifs cumulés

croissants

[0; 3[ 5 10,0% 1,5 7,5 50 5

[3; 6[ 10 20,0% 4,5 45 45 15

[6; 9[ 19 38,0% 7,5 142,5 35 34

[9; 12[ 14 28,0% 10,5 147 16 48

[12; 15[ 2 4,0% 13,5 27 2 50

Total 50 100,0%   369

2. Calcul de la moyenne:

367,3

950

8i i

n xx

N

3.

Nombre de machines ayant nécessité moins de 9 interventions:

5 + 10 + 19 = 34

Nombre de machines ayant nécessité au moins 6 interventions:

2 + 14 + 19 = 35

4. Histogramme

Exercice 21) a. Tableau

Diamètre en mmnombre de pièces ni

centres de classes xi

Produit nixi

[31,70; 31,80[ 2 31,75 63,5

[31,80; 31,90[ 8 31,85 254,8

[31,9; 32[ 26 31,95 830,7

[32; 32,1[ 30 32,05 961,5

[32,1; 32,2[ 10 32,15 321,5

[32,2; 32,3[ 4 32,25 129

Total N = 80 2561

b. Calcul de la moyenne:

1

256132

80x

2) Dans nos calculs, nous supposons que les diamètres sont uniformément répartis dans les classes, alors que le logiciel prend en compte la répartition réelle.

mm

3) a) Calculs de k1 et k2

1

32,30 31,99 0,311,03

3 3 0,10 0,3LST x

k

2

31,99 31,70 0,290,97

3 3 0,10 0,3x LIT

k

b) La maintenance est nécessaire