Suite de Fibonacci - ac-lyon.fr · La suite de Fibonacci intervient de manière naturelle dans la...

SSUUII TTEE DDEE FFII BBOONNAACCCCII EETT NNOOMM BBRREE DD’’ OORR La suite des entiers de Fibonacci s’écrit 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , …… Chaque terme s’obtient en additionnant les deux nombres précédents . 1 + 1 = 2 , 1 + 2 = 3 , 2 + 3 = 5 , 3 + 5 = 8 , 5 + 8 = 13 … et on continue indéfiniment . Cette suite est apparue en 1202 dans le Liber Abaci publié par Léonard de Pise dit Fibonacci . Elle provient sans doute de recherches plus anciennes menées en Inde et transmises par les arabes .

FFiibboonnaaccccii ((11117755–– 11224400 ))

La suite de Fibonacci intervient de manière naturelle dans la situation suivante où l’on juxtapose successivement des carrés dont les côtés mesurent 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 …. .

En examinant les rectangles qui se forment au fur et à mesure ,

on se rend compte que le rapport longueur

largeur

tend vers une valeur Φ voisine de 1,6 .

s'appelle le nombre d'or Φ

longueur 1 = = 1

largeur 1

longueur 3 = = 1,5

largeur 2

longueur 2 = = 2

largeur 1

longueur 8 = = 1,6

largeur 5

longueur 5 = = 1,666...

largeur 3

longueur 21 = = 1,615 ...

largeur 13

longueur 13 = = 1,625

largeur 8

RECTANGLES D’OR

On dit qu’un rectangle est un rectangle d’or

lorsque longueur

= largeur

En ajoutant un carré Cela signifie aussi que ajoutant un carré , on obtient un nouveau

RECTANGLES D’OR

On dit qu’un rectangle est un rectangle d’or

longueur = Φ .

Cela signifie aussi que si l’on a un rectangle d’or , on obtient un nouveau rectangle

d’or , alors en rectangle d’or .

CALCUL DU NOMBRE D’OR Dans un rectangle d’or si la largeur vaut 1 , alors la longueur est Φ . En juxtaposant un carré de côté Φ , on trouve un rectangle d’or de largeur Φ et de longueur Φ + 1 .

2 + 1On a donc = et par conséquent = +

1

Φ ΦΦ

Φ Φ

2 2

2 2

1L'égalité = + 1 s'écrit 2 = 1

2

1 1 1 5puis = 1 et enfin = .

2 4 2 4

Φ Φ Φ − × × Φ

Φ − − Φ −

1 5 1 5

Il y a deux possibilités = ou = 2 2 2 2

1 + 5 1 5 c 'est à dire = ou = .

2 2

Mais comme est positif , on o

Φ − Φ − −

−− − Φ Φ

Φ 1 5 = btient

2

+Φ

DES RECTANGLES D’OR DANS LE DOMAINE DE L’ART

Léonard de Vinci ( peintre italien - 1452 – 1519 )

Pieter Mondrian ( peintre néerlandais - 1872 – 1944 )

Le Parthénon ( V ème

siècle avant J.C. ) Michel Ventrone ( La porte d’harmonie à Annemasse - 1997 )

LA SUITE DE FIBONACCI EN UTILISANT Xcas

Cet algorithme calcule le terme Fib(n) de rang n dans la suite

de Fibonacci

On calcule les termes Fib(19) , Fib(23) , Fib(200)