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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Théorie du Signal
A. POREBSKI
Bureau R8alice.porebski@eipc.fr
École d'Ingénieurs du Pas-de-Calais (E.I.P.C.)
Année 2009-2010
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
2 / 132
Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Théorie du Signal
Introduction
École d'Ingénieurs du Pas-de-Calais (E.I.P.C.)
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Introduction
Outils mathématiques pour le traitement du signalSérie de FourierTransformée de FourierTransformée de Laplace
Domaines d'applicationÉlectricité, électrotechnique, électronique de puissanceAsservissement, régulationThéorie des communications, théorie de l'informationTraitement de la parole, du son, des images et des vidéos...
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Introduction
Outils mathématiques pour le traitement du signalSérie de FourierTransformée de FourierTransformée de Laplace
Domaines d'applicationÉlectricité, électrotechnique, électronique de puissanceAsservissement, régulationThéorie des communications, théorie de l'informationTraitement de la parole, du son, des images et des vidéos...
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Références bibliographiques I
F. Auger.
Introduction à la théorie du signal et de l'information.
Édition Technip, 1999.
M. Chossat.
Mathématiques de l'ingénieur : aide mémoire.
Dunod, 2001.
F. Cottet.
Traitement des signaux et acquisition de données.
Dunod, 1997.
F. Cottet.
Traitement du signal : aide mémoire.
Dunod, 2000.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Références bibliographiques II
F. De Coulon.
Traité d'électricité (volume 6) : théorie et traitement des signaux.
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998.
D. Ghorbanzadeh, P. Mary, N. Point, and D. Vial.
Éléments de mathématiques du signal : exercices résolus.
Dunod, 2003.
M. Kunt.
Traité d'électricité (volume 20) : traitement numérique des signaux.
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1996.
H. Reinhard.
Éléments de mathématiques du signal (tome 1) : signaux déterministes.
Dunod, 1995.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Références bibliographiques III
M. Rivoire and J.-L. Ferrier.
Cours d'automatique (tome 1) : signaux et systèmes.
Eyrolles, 1995.
P. Thuillier and J.-C. Belloc.
Mathématiques : analyse 3.
Masson, 1989.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Liens
Application de la transformée de Fourierhttp:
//www.essi.fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier.html
Analyse de Fourierhttp://lumimath.univ-mrs.fr/~jlm/cours/fourier/fourier.htm
Introduction à l'analyse de Fourierhttp:
//lsiwww.epfl.ch/LSI2001/teaching/physiciens/lecon06/lecon6.html
Séries de Fourierhttp:
//www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/fourier.html
Synthèse de Fourierhttp:
//www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/syntfour.html
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Théorie du Signal
1ère partieSignaux et systèmes
École d'Ingénieurs du Pas-de-Calais (E.I.P.C.)
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Dé�nitions
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Dé�nitions
Signal
Entité (courant électrique, onde acoustique, onde lumineuse, suite de nombres)engendrée par un phénomène physique et véhiculant une information (musique, parole,son, image, température)
Système
Ensemble isolé de dispositifs établissent un lien de cause à e�et entre des signauxd'entrée (excitations : commandes, consignes, perturbations) et des signaux desortie (réponses ou mesures)
Bruit
Phénomène perturbateur gênant la perception ou l'interprétation d'un signal
Systèmesignal signal
bruit
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques
Soient deux messages di�usés par deux émetteurs radios :
Représentation temporelle
Évolution temporelle du signals1(t) correspondant au message 1
s1(t)
t
Évolution temporelle du signals2(t) correspondant au message 2
s2(t)
t
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques
Soient deux messages di�usés par deux émetteurs radios :
Représentation fréquentielle
Spectre du signal s1(t)
S1(f )
f
Spectre du signal s2(t)
S2(f )
f
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques
Signal s(t) capté par le récepteur :
Évolution temporelle du signal s(t)
s(t)
t
Spectre du signal s(t)
S(f )
f
Problème 1 : les signaux transmis s1 et s2 occupent le même domaine de fréquenceet sont émis en même temps.Problème 2 : les signaux de parole sont des signaux basses fréquences (BF) et lesupport de transmission, ici l'air et les antennes, n'est pas adapté à ce type designaux. En e�et, si on voulait transmettre les signaux BF tels quels, il faudrait desantennes de plusieurs kilomètres, la longueur des antennes étant inversementproportionnelle à la fréquence.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques
Solution : moduler chaque signal avec une fréquence élevée di�érente avant del'émettre. Cela revient généralement à multiplier chaque signal avec une sinusoïded'équation cos (2πfpt + ϕ), avec fp une haute fréquence
Spectre d'un signal sinusoïdal
f
−fp fp
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques
Spectre des signaux s1 et s2 modulés :
Spectre du signal modulé sm1 (t)
Sm1 (f )
f
−fp1 fp1
Spectre du signal modulé sm2 (t)
Sm2 (f )
f
−fp2 fp2
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques
On voit ici l'intérêt de passer dans le domaine fréquentiel : on arrive bien à distinguerles deux signaux.
Spectres des signaux sm1 (t) et sm2 (t) additionnés
f
−fp2 −fp1 fp1 fp2
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques
Le signal sr (t) reçu sur l'antenne du récepteur est en�n démodulé pour pouvoir êtreécouté : il subit un changement de fréquence (la fréquence utilisée est celle �xée parl'auditeur sur son poste de radio) et un �ltrage :
Changement du fréquence
Sr (f )
t
Filtrage du signal
Sr (f )
f
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Modélisation mathématique d'un signal réel
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Modélisation mathématique d'un signal réel
Signal expérimental
Un signal expérimental s(t) est généralement un signal électrique délivré par uncapteur ou un appareil de mesure et représente donc une tension ou un courant enfonction du temps. Il peut être de tout autre nature mais doit être physiquementréalisable et répondre à un ensemble de contraintes :
à énergie bornée,
à amplitude bornée,
continu,
causal, dé�ni sur R+ (s(t) = 0 pour t < 0),
à support borné (de durée limitée ou �nie),
de spectre à support borné.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Modélisation mathématique d'un signal réel
Représentation d'un signal expérimental
6
-temps
amplitude amplitude bornée
-�support bornée
R
causal
-continuénergiebornée
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Modélisation mathématique d'un signal réel
Signal théorique
Sur le plan théorique, un signal est représenté par une fonction ou une distributionréelle ou complexe qui permettent son étude de façon plus aisée. Ainsi les modèlesutilisés possèdent des caractéristiques di�érentes des signaux expérimentaux :
à énergie théorique in�nie,
à amplitude non bornée,
possédant des discontinuités,
dé�nie sur R ou C,à support non borné (observé durant un temps in�ni),
à spectre in�ni.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Modélisation mathématique d'un signal réel
Représentation d'un signal théorique
6
-temps
amplitude
support non bornée
-noncausal énergie
in�nie
-discontinu
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Rappels
Fonction paire
Une fonction réelle est paire si, pour tout t ∈ R, on a :f (−t) = f (t).
f (t)
t
Fonction paire
Propriété graphique
Graphiquement, une fonction paireprésente une symétrie horizontale parrapport à l'axe des ordonnées.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Rappels
Fonction impaire
Une fonction réelle est impaire si, pour tout t ∈ R, on a :f (−t) = −f (t) (ou f (t) = −f (−t)).
f (t)
t
Fonction impaire
Propriété graphique
Graphiquement, une fonction impaireprésente une symétrie par rapport àl'origine.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Rappels
Fonction périodique
Une fonction périodique fT (t) de période T est la répétition à l'in�ni avec une période T
d'une fonction f (t) dé�nie sur l'intervalle T et appelée motif.
fT (t)
t
Fonction périodique
Formule
Les signaux périodiques sont ainsidé�nis par la relation :
fT (t) =+∞∑
k=−∞f (t − kT ), k ∈ N.
Pour tout t ∈ R, fT (t) = fT (t + T ).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Décalage (translation verticale)
Un décalage est la transformation qui fait correspondre à toute fonction f (t), la fonctiong(t) telle que g(t) = f (t) + a avec a ∈ R.
f (t) et g(t)
t
Propriété graphique
Graphiquement, une fonction décalée subitune translation le long de l'axe desordonnées.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Fonction retardée (translation horizontale)
La fonction g(t) est la fonction f (t) retardée de t0 (t0 > 0) si, pour tout t ∈ R, on a :g(t) = f (t − t0).
f (t) et g(t)
t
Fonction retardée
Retard ou avance
En particulier, pour t = t0,g(t) = g(t0) = f (t − t0) =f (t0 − t0) = f (0).
Si t0 > 0, g(t) est en retard surf (t).
Si t0 < 0 (ou si g(t) = f (t + t0) ett0 > 0), g(t) est en avance sur f (t).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Changement d'échelle (dilatation ou compression)
Un changement d'échelle est la transformation qui fait correspondre à toute fonction f (t),la fonction g(t) telle que g(t) = f (at) (ou g(t) = f (t/a)) avec a, un réel strictementpositif (a ∈ R+∗).
f (t) et g(t)
t
Fonction dilatée
Dilatation
Si g(t) = f (at) et a < 1 ou sig(t) = f (t/a) et a > 1
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Changement d'échelle (dilatation ou compression)
Un changement d'échelle est la transformation qui fait correspondre à toute fonction f (t),la fonction g(t) telle que g(t) = f (at) (ou g(t) = f (t/a)) avec a, un réel strictementpositif (a ∈ R+∗).
f (t) et g(t)
t
Fonction compressée
Compression
Si g(t) = f (at) et a > 1 ou sig(t) = f (t/a) et a < 1
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
Impulsion (ou distribution ou pic) de Dirac
Impulsion (ou distribution ou pic) de Dirac
L'impulsion de Dirac, notée δ(t) se dé�nit comme la distribution qui fait correspondre àtoute fonction f (t) continue à l'origine sa valeur à l'origine :
f (0) =
+∞∫−∞
δ(t)f (t)dt.
Généralisation
D'une manière plus générale, pour toute fonction f (t) continue en t = t0 :
f (t0) =
+∞∫−∞
δ (t − t0) f (t)dt =
+∞∫−∞
δ(t)f (t + t0) dt.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
Impulsion (ou distribution ou pic) de Dirac
Propriété de localisation
f (t)δ(t) = f (0)δ(t), pic de Dirac de poids f (0) en 0.
f (t)δ (t − t0) = f (t0)δ (t − t0) , pic de Dirac de poids f (t0) en t0.
Représentation graphique
La représentation graphiqueconventionnelle d'une impulsion de Diracde poids f (t0) en t0 est une �ècheverticale placée en t = t0 de longueurproportionnelle au poids f (t0).
δ(t)
t
Pic de Dirac
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
Echelon de Heaviside (ou échelon unitaire)
Dé�nition
L'échelon de Heaviside, notée Γ(t) sedé�nit comme la primitive de l'implusionde Dirac :
Γ(t) =
t∫−∞
δ(u)du =
1 si t ≥ 0
0 si t < 0.
Γ(t)
t
Echelon unitaire
Remarque
La dérivée de Γ(t) est nulle sur R∗ et égale au pic de Dirac de poids 1 en t = 0 :
δ(t) = dΓ(t)dt
.
Γ(t) permet de rendre causal n'importe quel signal.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
Rampe unitaire
Dé�nition
La rampe unitaire, notée r(t) se dé�nitcomme la primitive de l'échelon unitaire :
r(t) =
t∫−∞
Γ(u)du = t · Γ(t).
r(t)
t
Rampe unitaire
Remarque
La dérivée de r(t) est égale à l'échelon unitaire :
Γ(t) = d r(t)dt
pour t 6= 0.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
Impulsion ou signal rectangulaire (ou signal porte)
Dé�nition
Le signal rectangulaire, noté rect(t) ouΠ(t), est dé�ni par :
rect(t) = Γ
(t +
1
2
)− Γ
(t −
1
2
)
rect(t) =
1 si |t| < 1
2
0 si |t| > 12
.
rect(t)
t
Signal rectangulaire
Remarque
Sa surface est égale à l'unité.
A partir de ce signal, on peut obtenir une impulsion rectangulaire de durée T ,d'amplitude A centrée en t = τ notée A rect
(t−τT
).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
Impulsion ou signal triangulaire
Dé�nition
Le signal triangulaire, noté tri(t) ou Λ(t),est dé�ni par :
tri(t) = r (t + 1)− 2 r(t) + r (t − 1)
tri(t) =
1− |t| si |t| ≤ 1
0 si |t| > 1.
tri(t)
t
Signal triangulaire
Remarque
Sa surface est égale à l'unité.
A partir de ce signal, on peut obtenir une impulsion triangulaire de base 2T ,d'amplitude maximum A centrée en t = τ notée A tri
(t−τT
).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
Impulsion exponentielle
Dé�nition
L'impulsion exponentielle est dé�nie par :
s(t) = exp (−at) · Γ(t), a ∈ R+∗.
s(t)
t
Impulsion exponentielle
Remarque
Sa surface est égale à l'unité.
L'impulsion exponentielle permet d'amortir n'importe quel signal.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Signaux types
Peigne de Dirac
Dé�nition
Le peigne de Dirac noté δT0 (t) ouPgnT0 (t) est une suite périodiqued'impulsions de Dirac régulièrementespacées de période T0 :
δT0 (t) =+∞∑
k=−∞δ(t − kT0), k ∈ N.
δT0 (t)
t
Peigne de Dirac
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Caractéristiques énergétiques
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Caractéristiques énergétiques
E , l'énergie totale dissipée par un signals(t)
E =
+∞∫−∞
|s(t)|2dt,
P, la puissance moyenne totale fournie parun signal s(t)
P = limT→∞
1
T
T/2∫−T/2
|s(t)|2dt
.
Remarque
Pour un signal périodique de période T0, la puissance moyenne totale est calculée surune période :P = 1
T0
∫T0|s(t)|2dt.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Caractéristiques énergétiques
Signal à énergie totale �nie (ouconvergente)
+∞∫−∞
|s(t)|2dt <∞.
s(t)
t
Impulsion rectangulaire centrée en zérod'amplitude A et de durée T , A rect
(tT
)
Remarque
Sa puissance moyenne totale estnulle (cas des signaux transitoires,des signaux physiques ouphysiquement réalisables).
Ce sont des signaux de carrésommable (ou intégrable).
s(t)
t
Impulsion exponentielle simple d'amplitudeA, A exp (−at) · Γ(t)
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Caractéristiques énergétiques
Signal à puissance moyenne totale �nie (oubornée)
0 < limT→∞
1
T
T/2∫−T/2
|s(t)|2dt
<∞.
s(t)
t
Échelon unitaire, Γ(t)
Remarque
Son énergie totale est in�nie (cas dessignaux périodiques, des signauxphysiquement irréalisables comme lesmodèles mathématiques)
s(t)
t
Signal rectangulaire périodique d'amplitudeA et de période T
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Caractéristiques fréquentielles ou spectrales
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Caractéristiques fréquentielles ou spectrales
Spectre d'un signal
Le spectre d'un signal est la représentation de son amplitude, de sa phase, de sonénergie ou de sa puissance en fonction de sa fréquence f (exprimée en Hertz (Hz)) oude sa longueur d'onde λ (exprimée en mètre ou en nanomètre (nm) avec λ = c
Foù
c = 300 000 Km/s représente la vitesse de la lumière).
Largeur de bande
C'est le domaine des fréquences occupé par le spectre d'un signal. Elle est dé�niecomme la di�érence entre les fréquences maximum et minimum de ce spectre. Enfonction de la largeur de bande et en fonction du domaine de fréquences dans lequel sesitue le signal, di�érent types de signaux se distinguent :
les signaux à bande étroite dont la largeur de bande est relativement petite,
les signaux à bande large dont la largeur de bande est relativement grande voirein�nie,
les signaux de basses fréquences (BF) dont la largeur de bande est centrée surdes fréquences relativement faibles,
les signaux de hautes fréquences (HF) dont la largeur de bande est centrée surdes fréquences relativement importantes.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Caractéristiques fréquentielles ou spectrales
Signal basses fréquences
f
Signal à bande étroite
f
Signal hautes fréquences
f
Signal à large bande
f
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Caractéristiques fréquentielles ou spectrales
Gain
Le gain A d'un système est dé�ni comme le logarithme à base 10 du rapport despuissances des grandeurs d'entrée Pe et de sortie Ps :
A = 10 log(Ps
Pe
).
A est exprimé en bel mais l'unité pratique est ici le décibel noté db.Lorsque A > 0, on parle de gain tandis que lorsque A < 0, on parle d'a�aiblissement.
Bande passante
C'est l'intervalle de fréquences pour lesquelles le gain A est supérieur à −3 db. Onparle alors de bande passante à −3 db mais on dé�nit également la bande passante à−6 db. Le gain est ainsi souvent utilisé pour étudier le comportement d'un système enfonction de la fréquence.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Systèmes : dé�nitions
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Systèmes : dé�nitions
Système intemporel (stationnaire ou invariant)
Les caractéristiques du système n'évoluent pas au cours du temps. Une expérienceréalisée à l'instant t donnera les mêmes résultats une heure après, le lendemain ou unan plus tard.
Système linéaire et système non linéaire
Un système linéaire véri�e le principe de superposition, à savoir, la réponse d'unesomme d'excitations est égale à la somme des réponses des excitationscorrespondantes.
Système monovariable et système multivariable
Un système est monovariable (S.I.S.O.) si il possède une seule entrée et une seulesortie et multivariable dans le cas contraire (M.I.M.O., M.I.S.O, S.I.M.O).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Systèmes : dé�nitions
Système causal
Un système est causal si sa réponse ne précède jamais l'excitation qui lui correspond.La réponse à un instant t0 ne dépend pas de l'excitation à un instant t < t0.
Système déterministe et système stochastique
Un système est déterministe si pour chaque excitation ne correspond qu'une seuleréponse et stochastique si plusieurs réponses existent.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Systèmes : dé�nitions
Réponse impulsionnelle (ou percusionnelle)
Une brève impulsion, injectée à l'entrée d'un système causal, linéaire, continu etinvariant donne en sortie un signal de durée �nie appelée réponse impulsionnelle. Laréponse impulsionnelle, notée h(t) est donc la réponse d'un système à une impulsionde Dirac.
δ(t)
t
Système
h(t)
t
Fonction de transfert
La réponse impulsionnelle caractérise le comportement temporel du système : ellecorrespond à sa fonction de transfert.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Systèmes : dé�nitions
Réponse indicielle
La réponse indicielle, noté γ(t), est la réponse d'un système à un échelon unitaire.
Γ(t)
t
Système
γ(t)
t
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Produit de convolution
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Produit de convolution
Dé�nition
L'opération de convolution, notée ∗, exprime la réponse s(t) d'un système linéaire,causal et invariant à une entrée quelconque e(t) à partir de sa réponse impulsionnelleh(t) qui le caractérise. Le produit de convolution est dé�nie par :
s(t) = e(t) ∗ h(t) =
+∞∫−∞
e(τ)h(t − τ)dτ .
Propriétés
Commutativité : f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t),
Distributivité : [f (t) + g(t)] ∗ h(t) = [f (t) ∗ h(t)] + [g(t) ∗ h(t)] ,
Associativité : [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] ,
Elément neutre : f (t) ∗ δ(t) = f (t).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Corrélation
1 Introduction
2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Corrélation
Dé�nition
L'opération de corrélation, notée ⊗, permet d'exprimer la ressemblance entre deuxsignaux f (t) et g(t) au niveau de la forme et de la position en fonction d'unparamètre de translation.La fonction de corrélation entre deux signaux f (t) et g(t), notée Cfg (t), est appeléefonction d'intercorrélation (ou corrélation croisée ou corrélation mutuelle) et estdé�nie par :
Cfg (t) = f (t)⊗ g(t) =
+∞∫−∞
f (τ + t)g(τ)dτ .
Par changement de variables, la fonction d'intercorrélation est également dé�nie par :
Cfg (t) =
+∞∫−∞
f (τ)g(τ − t)dτ .
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Corrélation
Application aux signaux réels
Les deux formes précédentes deviennent respectivement pour des fonctions f (t) etg(t) réelles :
Cfg (t) =
+∞∫−∞
f (τ)g(τ + t)dτ , Cfg (t) =
+∞∫−∞
f (τ − t)g(τ)dτ .
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Corrélation
Fonction d'autocorrélation
C� (t) = f (t)⊗ f (t) =
+∞∫−∞
f (τ + t)f (τ)dτ .
Application aux signaux réels
Si f (t) est réelle, l'autocorrélation s'écrit respectivement, en utilisant les deux formesprécédentes :
C� (t) =
+∞∫−∞
f (τ)f (τ + t)dτ , C� (t) =
+∞∫−∞
f (τ)f (τ − t)dτ ,
La fonction d'autocorrélation d'un signal réel est donc paire (C� (−t) = C� (t)). Deplus, elle est maximale pour t = 0 (pas de décalage).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Théorie du Signal
2ème partieSéries de Fourier
École d'Ingénieurs du Pas-de-Calais (E.I.P.C.)
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Séries de Fourier à coe�cients réels
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Séries de Fourier à coe�cients réels
Théorème de Fourier
Théorème
Soit s(t), une fonction périodique de période T0 (fréquence F0 = 1T0
et pulsationω0 = 2πF0).
s(t) peut s'écrire sous la forme d'une somme de fonctions sinusoïdales etcosinusoïdales d'amplitudes di�érentes et de fréquences f , multiples de la fréquenceF0, dite fréquence fondamentale :
s(t) = a0 +∞∑n=1
[an cos (nω0t) + bn sin (nω0t)] .
Les coe�cients an et bn sont les coe�cients réels de la série de Fourier oucoe�cients de Fourier trigonométriques. Cette forme est appelée le développement(ou la décomposition) en série de Fourier à coe�cients réels du signal s(t).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Séries de Fourier à coe�cients réels
Calcul des coe�cients réels de Fourier a0, an et bn
a0
a0 est appelée la composante continue. C'est la valeur moyenne du signal s(t) :
a0 =1
T0
∫T0
s(t)dt.
an
an est dé�ni pour n ≥ 1 par :
an =2
T0
∫T0
s(t) cos (nω0t) dt.
bn
bn est dé�ni pour n ≥ 1 par :
bn =2
T0
∫T0
s(t) sin (nω0t) dt.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Séries de Fourier à coe�cients harmoniques
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Séries de Fourier à coe�cients harmoniques
Développement en harmoniques
s(t) = ρ0 +∞∑n=1
ρn cos (nω0t − ϕn).
ρ0 = a0, l'harmonique d'ordre (ou de rang) 0,
ρ1 cos (ω0t − ϕ1) l'harmonique d'ordre 1 appelé aussi le fondamental car ilcorrespond à un terme de fréquence fondamentale F0,
ρn cos (nω0t − ϕn), l'harmonique d'ordre n.
ρn : module de chaque harmonique
ρn =
√an2 + bn
2.
ϕn : argument de chaque harmonique
ϕn = arctan(bn
an
).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Séries de Fourier à coe�cients complexes
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Séries de Fourier à coe�cients complexes
Développement à coe�cients complexes
s(t) =+∞∑
n=−∞cn exp (nω0t).
cn
Les coe�cients cn sont les coe�cients complexes de la série de Fourier ou coe�cients
de Fourier exponentiels : cn =1
T0
∫T0
s(t) exp (−nω0t) dt.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Relation entre les di�érents développements
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Relation entre les di�érents développements
c0 = a0,
cn =1
2(an − bn) , c−n =
1
2(an + bn) = cn,
|cn| =1
2
√an2 + bn
2 =ρn
2, arg (cn) = arctan
(−bn
an
)= −ϕn,
an = cn + c−n = 2< (cn) ,
bn = (cn − c−n) = −2= (cn) ,
a−n = an,
b−n = −bn.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Simpli�cations pour les fonctions paires et impaires
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Simpli�cations pour les fonctions paires et impaires
Cas des fonctions périodiques paires (s(−t) = s(t))a0 = 2
T0
T02∫0
s(t)dt,
an = 4T0
T02∫0
s(t) cos (nω0t) dt,
bn = 0,
cn =1
2an = c−n.
On obtient une série de cosinus.
Cas des fonctions périodiques impaires (s(−t) = −s(t))a0 = 0,an = 0,
bn = 4T0
T02∫0
s(t) sin (nω0t) dt,cn = −
1
2bn = −c−n.
On obtient une série de sinus.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Question
Décomposer en série de Fourier à coe�cients réels le signal suivant :s(t)
t
Réponse
Le développement en série de Fourier à coe�cients réels de s(t) s'écrit :
s(t) =∞∑n=1
A
nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Question
Décomposer la série en sommes de termes pairs et impairs
Réponse
Si n est pair (−1)n = 1 et bn = 0. Les harmoniques de rang pair du signal s(t)sont nuls. En e�et, on pose n = 2p (p ∈ N) et la somme des termes pairss'écrit :
∞∑p=1
A
2pπ
[1− (−1)2p
]sin (2pω0t) = 0.
Si n est impair (−1)n = −1 et bn = 2Anπ
. En e�et, on pose n = 2p + 1 (p ∈ N)et la somme des termes impairs s'écrit :
∞∑p=0
2A
(2p + 1)πsin ((2p + 1)ω0t) = s(t).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Signal obtenu en prenant le premier harmonique
s(t) =1∑
n=1
A
nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .
s(t)
t
sommes partielles de s(t)
t
série de Fourier de s(t)
t
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Signal obtenu en prenant les 3 premiers harmoniques
s(t) =3∑
n=1
A
nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .
s(t)
t
sommes partielles de s(t)
t
série de Fourier de s(t)
t
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Signal obtenu en prenant les 5 premiers harmoniques
s(t) =5∑
n=1
A
nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .
s(t)
t
sommes partielles de s(t)
t
série de Fourier de s(t)
t
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Signal obtenu en prenant les 10 premiers harmoniques
s(t) =10∑n=1
A
nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .
s(t)
t
sommes partielles de s(t)
t
série de Fourier de s(t)
t
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Signal obtenu en prenant les 50 premiers harmoniques
s(t) =50∑n=1
A
nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .
s(t)
t
sommes partielles de s(t)
t
série de Fourier de s(t)
t
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Spectres d'un signal
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Spectres d'un signal
Spectre en fréquence
Dé�nition
Composantes du spectre : la forme exponentielle du développement en série deFourier d'un signal s(t) réel fait apparaître, dans un but de simpli�cation, descoe�cients complexes cn où n peut être négatif. Ces coe�cients représententles composantes du spectre en fréquence de s(t).
Représentation du spectre : le spectre en fréquence S(f ) du signal périodiques(t) représente les composantes cn en fonction des fréquences nF0 = nω0
2π . S(f )est représentée par la fonction suivante :
S(f ) =+∞∑
n=−∞cnδ (f − nF0) .
S(f ) est donc un spectre de raies formé de pics de Dirac sur tout l'axe desfréquences (positives ou négatives). Chaque raie a une hauteur proportionnellesoit au module et à l'argument de cn (spectre d'amplitude et de phase), soit à la
partie réelle et à la partie imaginaire de cn.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Spectres d'un signal
Représentations spectrales
Spectre réel
S(f ) =+∞∑
n=−∞<(cn)δ (f − nF0) .
Spectre imaginaire
S(f ) =+∞∑
n=−∞=(cn)δ (f − nF0) .
Spectre d'amplitude
S(f ) =+∞∑
n=−∞|cn|δ (f − nF0) .
Spectre de phase
S(f ) =+∞∑
n=−∞arg(cn)δ (f − nF0) .
Spectre de puissance
S(f ) =+∞∑
n=−∞|cn|2δ (f − nF0) .
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Spectres d'un signal
Suite de l'exemple
Question
Représenter les di�érents spectres du signal s(t) :s(t)
t
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Spectres d'un signal
Suite de l'exemple
Réponse
cn = −1
2bn = −
A
2nπ[1− (−1)n] =
A
2nπ[(−1)n − 1] .
< (cn) = 0,
= (cn) = − A2nπ [1− (−1)n] ,
|cn| =
∣∣∣ A2nπ [(−1)n − 1]
∣∣∣ ,arg (cn) = −90◦ pour cn 6= 0.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Spectres d'un signal
Suite de l'exemple
Spectre réel
< (cn)
f
Spectre d'amplitude
|cn|
f
Spectre imaginaire
= (cn)
f
Spectre de phase
arg (cn)
f
Spectre de puissance
|cn|2
f
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés des coe�cients de Fourier
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés des coe�cients de Fourier
Notations
Soient f (t), g(t) et h(t), trois fonctions périodiques de périodes T0. Leursdéveloppements en séries de Fourier à coe�cients complexes s'écrivent :
f (t) =+∞∑
n=−∞c fn exp (nω0t) avec : c fn =
1
T0
∫T0
f (t) exp (−nω0t) dt,
g(t) =+∞∑
n=−∞cgn exp (nω0t) avec : cgn =
1
T0
∫T0
g(t) exp (−nω0t) dt,
h(t) =+∞∑
n=−∞chn exp (nω0t) avec : chn =
1
T0
∫T0
h(t) exp (−nω0t) dt.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés des coe�cients de Fourier
Linéarité
Si h(t) = af (t) + bg(t) : chn = ac fn + bcgn .
Translation verticale
Si g(t) = f (t) + a :
cgn = c fn pour n 6= 0,
cg0 = c f0 + a.
Translation horizontale
Si g(t) = f (t − t0) :
cgn = c fn exp (−nω0t0) pour n 6= 0,
cg0 = c f0 .
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés des coe�cients de Fourier
Dérivation dans le domaine temporel
Si g(t) = df (t)dt
: cgn = nω0cfn .
Si g(t) = dp f (t)dtp
: cgn = (nω0)p c fn .
Intégration dans le domaine temporel
Si g(t) =t∫−∞
f (u)du et c f0 = 0 : cgn =c fn
nω0.
Si g(t) =t∫−∞
t1∫· ··∫
−∞
tp−1∫−∞
f (u)du : cgn =c fn
(nω0)p,
où les composantes continues après chaque intégration sont nulles.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Égalité de Bessel-Parseval
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Égalité de Bessel-Parseval
Théorème
Soient f (t) et g(t), deux signaux périodiques de périodes T0 et c fn et cgn , leurscoe�cients de Fourier complexes respectifs. Le théorème de Bessel-Parseval conduit àla relation :
1
T0
∫T0
f (t)g(t)dt =+∞∑
n=−∞c fn c
gn =
+∞∑n=−∞
c fncg−n.
Conséquences
Il en découle que la puissance moyenne d'un signal périodique s(t) de période T0 estégale à la somme des modules aux carrés de ses coe�cients de Fourier cn :
1
T0
∫T0
|s(t)|2 dt =+∞∑
n=−∞|cn|2,
1
T0
∫T0
|s(t)|2 dt = a02 +
1
2
+∞∑n=1
(an
2 + bn2),
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de FourierDé�nitionExemplePropriétésÉgalité de Bessel-ParsevalTransformée de Fourier d'un signal périodique
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Théorie du Signal
3ème partieTransformée de Fourier
École d'Ingénieurs du Pas-de-Calais (E.I.P.C.)
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Dé�nition
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de FourierDé�nitionExemplePropriétésÉgalité de Bessel-ParsevalTransformée de Fourier d'un signal périodique
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Dé�nition
Dé�nition
Extension des séries de Fourier pour les signaux périodiques aux signauxquelconques en considérant qu'ils possèdent une période in�nie (T0 →∞).
Le spectre devient alors continu puisque F0 → 0.
La transformée de Fourier représente un signal sous forme d'une in�nité decomposantes sinusoïdales complexes et fournit ainsi des informations sur ladistribution fréquentielle de ce signal.
Transformée de Fourier S(f ) d'un signal s(t)
S(f ) = F {s(t)} =
+∞∫−∞
s(t) exp (−2πft) dt.
Transformée de Fourier inverse s(t) de S(f )
s(t) = F−1 {S(f )} =
+∞∫−∞
S(f ) exp (2πft) df .
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Dé�nition
Notation complexe
De façon générale S(f ) est appelé le spectre complexe du signal s(t). Il admet unepartie réelle, < [S(f )] et une partie imaginaire, = [S(f )] ainsi qu'un module, |S(f )| etun argument arg [S(f )].
Partie réelle de la transformée de FourierS(f ) d'un signal s(t)
< [S(f )] =
+∞∫−∞
s(t) cos (2πft) dt.
Module de la transformée de Fourier S(f )d'un signal s(t) (amplitude du spectre)
|S(f )| ={<2 [S(f )] + =2 [S(f )]
} 1
2 ,
Partie imaginaire de la transformée deFourier S(f ) d'un signal s(t)
= [S(f )] = −+∞∫−∞
s(t) sin (2πft) dt.
Argument de la transformée de FourierS(f ) d'un signal s(t) (phase du spectre)
arg [S(f )] = arctan{= [S(f )]
< [S(f )]
}.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de FourierDé�nitionExemplePropriétésÉgalité de Bessel-ParsevalTransformée de Fourier d'un signal périodique
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Question
Calculer la transformée de Fourier du signal s(t) suivant :s(t)
t
Réponse
La transformée de Fourier du signal s(t) s'écrit :
S(f ) = AT sinc (fT ).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Exemple
Représentation fréquentielle
S(f ) est une fonction réelle. Sa partie imaginaire est donc nulle et son module estégale à la valeur absolue de sa partie réelle.
Spectre réel
S(f )
f
Spectre d'amplitude
|S(f )|
f
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de FourierDé�nitionExemplePropriétésÉgalité de Bessel-ParsevalTransformée de Fourier d'un signal périodique
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Notations
Soient f (t), g(t) et h(t), trois fonctions et F (f ), G(f ) et H(f ) leurs transformées deFourier respectives.
Linéarité
Si h(t) = af (t) + bg(t) : H(f ) = aF (f ) + bG(f ).
Homothétie (changement d'échelle)
Si g(t) = f (at) : G(f ) =1
|a|F
(f
a
).
Conséquence :
Si g(t) = 1|a| f
(ta
): G(f ) = F (af ),
Si g(t) = f (−t) : G(f ) = F (−f ).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Translation temporelle (ou retard) et fréquentielle
Si g(t) = f (t − t0) : G(f ) = exp (−2πft0)F (f ),
Si g(t) = exp (2πf0t) f (t) : G(f ) = F (f − f0) .
Dérivation temporelle et fréquentielle
Si g(t) = df (t)dt
: G(f ) = 2πfF (f ),
Si g(t) = dp f (t)dtp
: G(f ) = (2πf )p F (f ),
Si g(t) = −2πtf (t) : G(f ) =dF (f )
df,
Si g(t) = (−2πt)p f (t) : G(f ) =dpF (f )
df p.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Intégration temporelle et fréquentielle
Si g(t) =t∫−∞
f (u)du : G(f ) =F (f )
2πf,
Si g(t) =t∫−∞
t1∫· ··∫
−∞
tp−1∫−∞
f (u)du : G(f ) =F (f )
(2πf )p,
Si g(t) = f (t)−2πt : G(f ) =
f∫−∞
F (u)du,
Si g(t) = f (t)(−2πt)p
: G(f ) =
f∫−∞
f1∫· · ·∫
−∞
fp−1∫−∞
F (u)du.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Symétrie (propriété de parité)
Signal réel (f (t) = f (t)) : F (f ) = F (−f ),
Signal pair (f (t) = f (−t)) : F (f ) = F (−f ),
F (f ) = 2
+∞∫0
f (t) cos (2πft) dt,
Signal impair (f (t) = −f (−t)) : F (f ) = −F (−f ),
F (f ) = −2+∞∫0
f (t) sin (2πft) dt.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Conséquences
f (t) F (f )réel complexe
réel pair réel pairréel impair imaginaire impairimaginaire complexe
imaginaire pair imaginaire pairimaginaire impair réel impair
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Convolution (Théorème de Borel)
Si h(t) = f (t) ∗ g(t) (produit de convolution) : H(f ) = F (f ) · G(f ),
Si h(t) = f (t) · g(t) (produit simple) : H(f ) = F (f ) ∗ G(f ).
Corrélation
Si h(t) = f (t)⊗ g(t) (intercorrélation) : H(f ) = F (f ) · G(f ),
Si g(t) = f (t)⊗ f (t) (autocorrélation) : G(f ) = |F (f )|2 .
|F (f )|2 est la densité spectrale d'énergie du signal f (t) qui est donc égale à latransformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation de f (t). La densité spectraled'énergie dé�nit le spectre d'énergie du signal f (t).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Spectre d'énergie
|F (f )|2
f
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Égalité de Bessel-Parseval
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de FourierDé�nitionExemplePropriétésÉgalité de Bessel-ParsevalTransformée de Fourier d'un signal périodique
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Égalité de Bessel-Parseval
Théorème
+∞∫−∞
f (t)g(t)dt =
+∞∫−∞
F (f )G(f )df .
Conséquences
+∞∫−∞
|f (t)|2 dt =
+∞∫−∞
|F (f )|2 df .
+∞∫−∞|f (t)|2 dt est l'énergie totale du signal f (t). Cette énergie est donc conservée par
la transformée de Fourier.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Transformée de Fourier d'un signal périodique
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de FourierDé�nitionExemplePropriétésÉgalité de Bessel-ParsevalTransformée de Fourier d'un signal périodique
5 Transformée de Laplace
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Transformée de Fourier d'un signal périodique
Forme exponentielle du développement en série de Fourier d'un signal périodiquesT0 (t) de période T0
sT0 (t) =+∞∑
n=−∞cn exp
(n
2π
T0t
).
Transformée de Fourier ST0 (f ) d'un signal périodique sT0 (t) de période T0
ST0 (f ) =+∞∑
n=−∞cnδ
(f −
n
T0
).
Le spectre d'un signal périodique est donc un spectre de raies.Si S(f ) est la transformée de Fourier du motif s(t) de sT0 (t), alors :
cn =1
T0S
(n
T0
).
S(f ) est appelée l'enveloppe complexe de ST0 (f ).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de LaplaceDé�nitionPropriétésTransformée de Laplace d'un signal périodiqueTransformée de Laplace inverseApplicationsReprésentation dans le plan complexe
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Théorie du Signal
4ème partieTransformée de Laplace
École d'Ingénieurs du Pas-de-Calais (E.I.P.C.)
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Dé�nition
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de LaplaceDé�nitionPropriétésTransformée de Laplace d'un signal périodiqueTransformée de Laplace inverseApplicationsReprésentation dans le plan complexe
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Dé�nition
Transformée de Laplace S(p) d'un signal s(t) causal
S(p) = L{s(t)} =
+∞∫0
s(t) exp (−pt) dt.
En posant p = 2πf = ω, la transformée de Laplace correspond à la transformée deFourier de signaux causaux.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de LaplaceDé�nitionPropriétésTransformée de Laplace d'un signal périodiqueTransformée de Laplace inverseApplicationsReprésentation dans le plan complexe
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Notations
Soient f (t), g(t) et h(t), trois fonctions et F (p), G(p) et H(p) leurs transformées deLaplace respectives.
Linéarité
Si h(t) = af (t) + bg(t) : H(p) = aF (p) + bG(p).
Symétrie
Signal réel (f (t) = f (t)) : F (p) = F (p).
Homothétie (changement d'échelle)
Si g(t) = f (at) (a > 0) : G(p) =1
aF(pa
).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Translation temporelle
Si g(t) = f (t − t0) : G(p) = exp (−pt0)F (p).
Translation dans le plan complexe
Si g(t) = exp (at) f (t) : G(p) = F (p − a) .
Dérivation et intégration temporelle
Si g(t) = df (t)dt
: G(p) = pF (p)− f (0+),
Si g(t) = dn f (t)dtn
: G(p) = pnF (p)− pn−1f (0+)− . . .− f (0+),
Si g(t) =t∫0f (u)du : G(p) =
F (p)
p.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Dérivation et intégration dans le plan complexe
Si g(t) = tf (t) : G(p) = −dF (p)
dp,
Si g(t) = tnf (t) : G(p) = (−1)ndnF (p)
dpn,
Si g(t) = f (t)t
: G(p) =
+∞∫p
F (u)du.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Propriétés
Valeurs initiales et �nales
Théorème de la valeur initiale : limt→0+
f (t) = limp→+∞
pF (p).
Théorème de la valeur �nale : limt→+∞
f (t) = limp→0
pF (p).
Convolution (Théorème de Plancherel)
Si h(t) = f (t) ∗ g(t) (produit de convolution) : H(p) = F (p) · G(p).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Transformée de Laplace d'un signal périodique
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de LaplaceDé�nitionPropriétésTransformée de Laplace d'un signal périodiqueTransformée de Laplace inverseApplicationsReprésentation dans le plan complexe
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Transformée de Laplace d'un signal périodique
Périodisation
Soit sT (t), un signal périodique causal de période T et de motif s(t) :
sT (t) =+∞∑n=0
s (t − nT ).
Transformée de Laplace ST (p) du signal périodique sT (t) :
ST (p) =S(p)
1− exp (−pT ).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Transformée de Laplace inverse
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de LaplaceDé�nitionPropriétésTransformée de Laplace d'un signal périodiqueTransformée de Laplace inverseApplicationsReprésentation dans le plan complexe
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Transformée de Laplace inverse
Transformée de Laplace inverse s(t) de S(p)
s(t) = L−1{S(p)} =1
2π
∫D
S(p) exp (pt) dp,
où D correspond au domaine de dé�nition de p.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Applications
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de LaplaceDé�nitionPropriétésTransformée de Laplace d'un signal périodiqueTransformée de Laplace inverseApplicationsReprésentation dans le plan complexe
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Applications
Résolution d'équations di�érentielles
Un système physique d'une entrée e(t) et d'une sortie s(t) peut être modélisé par uneéquation di�érentielle à coe�cient constant :
andns(t)
dtn+ an−1
dn−1s(t)
dtn−1+ . . .+ a0s(t) = bm
dme(t)
dtm+ . . .+ b0e(t) (m ≤ n).
La transformée de Laplace de cette équation lorsque le système démarre au repos(conditions initiales nulles) est :
(anp
n + an−1pn−1 + . . .+ a0
)S(p) = (bmp
m + . . .+ b0)E(p).
La résolution de cette équation dans le domaine de Laplace (équation algébrique) estplus aisée puisque s(t) = L−1{S(p)} avec :
S(p) =bmp
m + . . .+ b0
anpn + an−1pn−1 + . . .+ a0E(p).
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Applications
Fonction de transfert d'un système
Le rapport S(p)E(p)
= H(p) est appelé fonction de transfert du système :
H(p) =S(p)
E(p)=
bmpm + . . .+ b0
anpn + an−1pn−1 + . . .+ a0.
Les racines du dénominateur sont appelées les pôles et les racines dunumérateur sont appelées les zéros.
Le degré du dénominateur dé�ni l'ordre du système.
A partir de la fonction de transfert, il est possible de déterminer la réponse dusystème à un signal d'entrée ou d'analyser la précision, la rapidité et la stabilitédu système.
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Représentation dans le plan complexe
1 Introduction
2 Signaux et systèmes
3 Séries de Fourier
4 Transformée de Fourier
5 Transformée de LaplaceDé�nitionPropriétésTransformée de Laplace d'un signal périodiqueTransformée de Laplace inverseApplicationsReprésentation dans le plan complexe
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Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace
Représentation dans le plan complexe
Notation complexe
La transformée de Laplace S(p) d'un signal s(t) est un nombre complexe qui s'écritS(p) = < (S(p)) + = (S(p)).
Lieu de Nyquist
C'est la représentation de = (S(p)) en fonction de < (S(p)).
Lieu de Bode
C'est la représentation du gain (en décibels) et de la phase en fonction de la fréquence.
Lieu de Black
C'est la représentation du gain en fonction de la phase.
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