TP4: Dérivation. Rappels théoriques Formules standards de dérivées

TP4: Dérivation

Rappels théoriques

Formules standards de dérivées

²

''

'')'(

sin)'(cos

cos)'(sin

1)'(ln

)'( 1

g

fggf

g

f

fggffg

xx

xxx

x

nxx nn

A. Exercices du syllabus

Q68 4) ((2x²-1)5)’ = 5 (2x²-1)4(2x²-1)’

= 5 (2x²-1)4 4x 8)

9) (cos²x)’ = 2cosx(cosx)’=-2 cosx sinx

10) (cosx²)’ = -sinx²(x²)’= -2xsinx²

)'

12

3(

x

x

1212

2.

21

).3(12.1

xx

xx

12)12(

)3(12

xx

xx

12)12(

2

xx

x

A. Exercices du syllabus

Q68 12)

13)(x³cos2x)’ = 3x²cos2x+x³(-sin2x)(2x)’= 3x²cos2x-2x³sin2x

)21cos( x )'21).(21sin( xx

x

x21

2.

2

1).21sin(

x

x

21

)21sin(

A. Exercices du syllabus

20)

23)

2)sin1(

)cos)(sin1()sin1(cos

x

xxxx

2)sin1(

cossincossincoscos

x

xxxxxx

2)sin1(

cos2

x

x

)')sin1(

)sin1((

x

x

)'( 12 xe )'12(12 xe x

122

212

xe x

12

12

x

e x

A. Exercices du syllabus

24)

34) )'10(2ln x

²

210ln10

2ln

x

xx

²)'(ln10ln102ln xx

)'2( 1 x )'1.(2ln.2 1 xx

xx

12

1.2ln.2 1

A.Exercices du syllabus

41)

)'(lnbx

ax

bx

axbx

ax)'(

ax

bx

bx

axbx.

)²(

)()())(( bxax

ba

A.Exercices du syllabus

Q72: soit f une fonction de période 2 tq f(t)=1-t² pour -1≤t<1. Que vaut sa dérivée en 265,3?

f’(t)=-2t si t entre -1 et 1

265<t<267 f’(265,3)=-2. -0,7=1,4

A.Exercices du syllabus

Q75: solution versée dans un filtre conique à la vitesse de 3cm³ par seconde, et s’écoule à raison de 1cm³ par seconde. Rayon supérieur du filtre vaut 10cm et sa profondeur vaut 30cm. A quelle vitesse monte le niveau lorsque celui-ci a atteint 10cm? 20cm? Solution monte à 2cm³/s

= dV/dt rapport entre h et r : r= h/3 Volume d’un cone= pr²h/3

27

²3)

27

³()

3

²(

hh

dh

dhr

dh

d

dh

dV

dhdVdtdV

dt

dh

dt

dV

dt

dh

dh

dV

²

9.2

hdt

dh

A.Exercices du syllabus

Q80: les graphes de f(x)=x² et g(x)=x²-2x+1 se coupent au point p. Que vaut p? Montrer que f et g se coupent à angle droit.

1) x²=x²-2x+1 => 2x-1=0 => x=1/2 => y=1/4

2)f’(1/2)=2.1/2=1 et g’(1/2)=-1 tangentes perpendiculaires

A. Exercices du syllabus

Q84: déterminer le maximum, la valeur de x qui annule la dérivée , f(6) et f’(6) Maximum: 3,9 Dérivée nulle: aucune f(6)=4-3.3/4=7/4 f’(6)=-3/4

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

3 7 9 12

A. Exercices du syllabus

Q85. Tracer le graphe de la dérivée de

Quand la fonction monte, la dérivée est positiveQuand la fonction descend, la dérivée est négativeQuand la concavité est vers la bas, la dérivée est décroissanteQuand la concavité est vers le haut, la fonction est croissante

A. Exercices du syllabus

Q93: cylindre droit à base circulaire est inscrit dans une sphère de 12cm de rayon. Quelle est la hauteur du cylindre pour laquelle l’aire latérale a une valeur extreme? Le volume? S’agit-il d’un maximum ou de minimum? Rayon=12cm Rcyl= Aire latérale

Dérivée de l’aire latérale : Dérivée s’annule en

Aire latérale = 288p

4

²²h

r

hh

rhrc 4

²²22

4

²²

)4/²4/²²(2

hr

hhr

212et 212

A. Exercices du syllabus

Q96: A midi, un navire A se trouvait à 10km à l’est d’une certaine bouée et se dirigeait vers l’O à la vitesse de 20km/h. A la meme heure, B se trouvait à 40km au sud de la bouée et se dirigeait vers le N à la vitesse de 30km/h. Quelle heure est-il à l’instant ou la distance entre A et B est minimum?

D= )²2010()²3040( tt

bouée A

B

d(A,bouée)=10-20t

d(B,bouée)=40-30t

A. Exercices du syllabus

D= Dérivée

Dérivée s’annule en 14/13d’heure

)²2010()²3040( tt

)²2010()²3040(2

)20)(2010(2)30)(3040(2

tt

tt

)²2010()²3040(

4002009001200

tt

tt

)²2010()²3040(

13001400

tt

t

B. Exercices supplémentaires

1)Droite => tangente = coefficient angulaire de la droite

tg(P1)=tg(P2)

dérivéeP1= dérivée P2

Dérivée =2

B. Exercices supplémentaires

1) P1= maximum local

Dérivée =0

P2= se trouve sur la courbe descendante

dérivée négative

dérivée =-1

B. Exercices supplémentaires

2)

Fonction décroissante =>derivée négative

Fonction croissante =>derivée positive

concavité vers haut =>derivée croissante

concavité vers bas =>derivée décroissante

B. Exercices supplémentaires

2)

Fonction croissante => dérivée positive

Graphique d’une cubique => dérivée est une parabole

B. Exercices supplémentaires

2)

Fonction degré deux dérivée de degré 1 = droite

Fonction décroissante dérivée négative

Fonction croissante dérivée positive

B. Exercices supplémentaires

2)

Fonction décroissante, puis croissante, décroissante et à nouveau croissante Dérivée négative,puis positive, négative et à nouveau positive

B.Exercices supplémentaires

3)

a) Dérivée n’existe pas en 0; -2; 4

B.Exercices supplémentaires

3)

b) Dessiner la dérivée

[-4;0[:coefficient angulaire = 0,5

0: n’existe pas

]0;1[: Coeff angulaire négatif =-4]1;4[: Fonction constante dérivée= 0

]4;6[: Fonction croissante Coefficient angulaire positif = 2

C. Un petit test

C. Un petit test

Q3:Que vaut lim x sin(p/(2x)) lorsque x tend vers 1 B: 1

Q4: Laquelle est paire, admet un extrémum local au point d’abscisse 0 mais pas d’extrémum global ?Laquelle admet un extrémum global au point d’abscisse 0 ? C

C. Un petit test

Q5: Autre notation pour E

Q6: Quelle est la valeur maximale prise par la fonction f(x) = -sin(2x5 + 3x)? C: 1