Math Dérivation Et Trigonometrie

1Séquence 4 – MA12

Séquence 4

1ère partie : Dérivation (1)

2e partie : Trigonométrie

© Cned - Académie en ligne

2 Séquence 4 – MA12

Dérivation (1)

1ère partie

Sommaire

1. Pré-requis 2. Nombre dérivé d’une fonction en un point 3. Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence 4. Dérivation : opérations sur les fonctions 5. Premières applications de la dérivation 6. Synthèse de la partie 1 de la séquence 7. Exercices d’approfondissement



1 Pré-requisLes droitesDans les graphiques de cette partie 1 de la Séquence 4, on utilise des droites non parallèles à l’axe des ordonnées. On utilisera les équations réduites des droites (c’est-à-dire de la forme y mx p= + ).

Les propriétés concernant le cœfficient directeur m sont très utilisées.

Si une droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, passe par les points A et B dont les coordonnées

sont A et BA A B Bx y x y; ; ,( ) ( ) alors le cœfficient directeur de la droite est : my yx x

=−−

B A

B A.

Propriété

Si une droite (non parallèle à l’axe des ordonnées) a pour cœfficient directeur m l’un de ses

vecteurs directeurs est le vecteur u�

de coordonnées : u m�

1;( ).

Propriété

Il est très utile de savoir lire graphiquement un cœfficient directeur, de voir s’il est positif ou négatif, et de savoir comparer visuellement deux cœfficients directeurs.

Sur la figure ci-contre, d’après l’inclinaison des droites (D) et ( '),D le cœfficient m' est positif, le cœfficient m est négatif. Et plus précisément m' = 3 et m = −1.

Quant à la droite (D") son cœfficient directeur m"est positif et m m" '< car la droite (D") est « plus horizontale » que la droite ( ').D

Pour trouver le cœfficient directeur m", on cherche deux points de la droite (D") ayant des coordonnées entières.

On trouve les points A et B. On en déduit la lecture des valeurs 5 et 3 comme cela est indiqué sur la figure, le

cœfficient directeur est donc m"= 35

(ce résultat vient de

l’égalité : my yx x

" ).=−−

B A

B A

A

Lecture graphique

i

j

B (D”)

(D’)

(D)

A

0

m’

m

1

1

3

5



Équation d’une droite connaissant un point et le cœfficient directeur.

On considère une droite (D) non parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation réduite y mx p= + .

Soit A A A( ; )x y un point de cette droite.

On a alors y mx pA A= + , donc p y mx= −A A , et l’équation réduite de la

droite (D) devient y mx y mx= + −A A , c’est-à-dire y m x x y= −( )+A A.

Propriété

On considère la droite (D") de la figure précédente, passant par le point

A( ; )− −2 6 et de cœfficient directeur m" .= 35

Son équation réduite est y x y x= − − + − = −35

2 635

245

( ( )) ( ), .soit

Utilisation de GeoGebra

� Tracé d’une courbe : par exemple, on tape y x= 2 sur la ligne de saisie, et, quand on valide, la courbe s’affiche.

� Création d’un point dont on connaît les coordonnées : on crée le point A d’abscisse 1,5 et d’ordonnée 1 52, en entrant ( . , . )1 5 1 52 sur la ligne de saisie : il faut faire attention aux points et à la virgule… !

� Agrandissement : pour cela, il suffit d’utiliser la roulette de la souris ou l’agrandissement qui est une des fonctionnalités du bouton situé en haut à droite ou encore en faisant un clic droit et en choisissant le pourcentage du zoom.

� Création d’un point mobile sur une courbe : il suffit d’approcher la souris de la courbe avant de cliquer pour créer un point B sur la courbe (fonctionnalité du deuxième bouton en haut à gauche).

� Affichage du cœfficient directeur d’une droite : quand on crée une droite, une équation s’affiche à gauche. S’il ne s’agit pas de la forme réduite celle-ci peut être obtenue en faisant un clic droit sur l’équation affichée. On peut alors lire le cœfficient directeur.

� Exemple

B

i

j

B

A

0

1,52

a = 1,5

y = x2



Tableau de valeursDans une des activités, un tableau de valeurs est demandé mais on ne peut pas utiliser de façon habituelle les calculatrices car les valeurs de x ne sont pas régulièrement espacées, il n’y a pas de « pas ».

Prenons l’exemple simple de la fonction carré et du tableau :

x 0 0,5 1 2 5 10

x 2

� Avec un tableur

On remplit 6 cellules d’une ligne (ou d’une colonne) par les valeurs de x.

On calcule le carré de 0 (en utilisant le nom de la cellule qui contient 0) dans la première cellule de la ligne (ou la colonne) suivante, puis on recopie pour obtenir les autres carrés.

� Avec une calculatrice TI

On rentre la fonction carré dans Y1.

Dans TBLSET ( ou def table), on sélectionne Ask (ou Dem ), les calculs de valeurs sont alors faits « à la demande » c’est-à-dire que l’on peut entrer les valeurs de x que l’on veut dans la table.

� Avec une calculatrice Casio

Ces calculatrices, sauf la Graph25+ Pro et la Graph35+, disposent d’un tableur qu’on utilise avec le mode S*SHT.

Pour la Graph25+ Pro et la Graph35+, on peut utiliser les listes.

On rentre les valeurs de x dans List 1. Pour calculer les carrés dans la colonne suivante, on se déplace avec le curseur et on met en surbrillance List 2 en haut de la deuxième colonne. On rentre ensuite la formule de la fonction dans laquelle on remplace x par List 1 qu’on obtient par OPTN, List, encore List et 1. En validant, on obtient les valeurs attendues.

C



2 Nombre dérivé d’une fonction en un point

Activités

1. Activité 1� Avec une calculatrice ou un logiciel, afficher la courbe représentative de la fonction carré sur l’intervalle − 3 3; .

Faire ensuite plusieurs agrandissements successifs centrés au point A de la courbe, d’abscisse a = 1 5, .

Pour cela, avec une calculatrice, on peut changer la fenêtre ou utiliser un zoom (zoom in pour une calculatrice Casio, zoom+ pour une calculatrice TI). Pour le logiciel GeoGebra, voir les pré-requis.

Qu’observe-t-on ?

� Avec un logiciel de géométrie construire la figure ci-contre.

Le point A est sur la courbe et son abscisse est 1,5.

Le point B est un point mobile de la courbe. Comme on utilise la droite (AB), le point B sera toujours différent de A.

Observer l’évolution du cœfficient directeur de la droite (AB) quand le point B se rapproche du point A (on dit que la droite (AB) est une sécante en A à la courbe).

� Les coordonnées du point A sont ( , ; , ).1 5 1 52 Les coordonnées du point B sont

x x; 2( ) avec x ≠ 1 5, .

Déterminer le cœfficient directeur de la droite (AB) en fonction de x.

Avec un tableur ou une calculatrice, ou même ici en calculant mentalement, déterminer les valeurs de ce cœfficient pour les différentes valeurs de x du tableau.

x 1 1,3 1,4 1,45 1,49 1,495 1,499 1,4995 1,4999Cœfficient directeur

x 1,5001 1,5005 1,501 1,505 1,51 1,55 1,6 1,7 1,8Cœfficient directeur

� Pour mieux indiquer que l’étude faite ici est locale, autour du point A d’abscisse 1,5, on appelle 1 5, + h l’abscisse du point B avec h ≠ 0, c’est-à-dire qu’on pose x h= +1 5, . Comment exprimer que le point B se rapproche du point A ?

Quelle est l’ordonnée du point B en fonction de h ? Quelle est l’expression du cœfficient directeur de la droite (AB) en fonction de h ?

A

i

j

B

A

0

1,52

a = 1,5

y = x2



Afficher dans le tableau ci-dessous les valeurs de ce cœfficient directeur lorsque h prend des valeurs de plus en plus proches de 0 (strictement positives et strictement négatives).

h –1 –0,5 –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001Cœfficient directeur

h 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1Cœfficient directeur

Qu’observe-t-on ?

� Quel semble être le cœfficient directeur de la droite qui est apparue à la question � ? Pour terminer cette activité, on peut tracer cette droite sur le graphique (on sait aussi qu’elle passe par le point A).

2. Activité 2

On considère la fonction f définie sur � par f xx

( ) =+

1

12et on choisit a = 1.

Reprendre les questions �, �, � en admettant que le taux d’accroissement en

fonction de h est égal à − −

+ +

1 0 5

2 2 2,

,h

h h et finir par la question �.

3. Activité 3Reprendre la question � dans le cas suivant :

f est la fonction définie sur � par f x x( ) = −2 1 et a = 1(avec le logiciel GeoGebra la valeur absolue s’obtient en saisissant abs( )x 2 1− ).

4. Activité 4

Reprendre les questions �, �, � dans le cas de la fonction racine carrée avec

a = 0. C’est donc l’origine O du repère qui joue le rôle du point A des activités précédentes. On tiendra compte de l’ensemble de définition de la fonction racine carrée, l’abscisse du point B sera donc un nombre h strictement positif.

� Quelle est ici la droite « limite » des droites sécantes (OB) ?

Cours

1. Introduction

Dans cette séquence on introduit un nouvel outil dans le cours de mathématiques : la dérivation.

B



Les coordonnées commencent à être utilisées en mathématiques à partir de 1637 grâce à Descartes (d’où l’adjectif « cartésien ») et à Fermat. Vers 1680, Newton et Leibniz créent le calcul différentiel (autre nom de ce qui deviendra la dérivation) qui permet d’étudier les tangentes à une courbe moins simple que le cercle ou la parabole, de travailler avec la notion de vitesse instantanée et d’aborder des calculs avec des différences qui deviennent très proches de 0 (h x a= − dans nos exemples ci-dessus).

L’acquisition du concept de dérivée est un point fondamental du programme de première S.

Les activités précédentes permettent une approche intuitive de cette notion : une fonction est dérivable en a lorsque sa courbe représentative semble confondue avec une droite non parallèle à l’axe des ordonnées lorsqu’on agrandit suffisamment cette courbe autour de son point d’abscisse a.

La mise en forme rigoureuse est très délicate, mais l’essentiel est d’avoir compris l’idée, en particulier d’avoir une image mentale de la « droite limite » des sécantes en un point, la tangente en ce point. Donc, dans le cours de Première S, on se contentera d’un point de vue intuitif en ce qui concerne la définition de la dérivabilité et de la limite qui intervient dans cette définition.

Ce premier chapitre est essentiellement formé des définitions fondamentales et d’exemples.

2. Définitions fondamentales

Les activités ont montré dans plusieurs cas l’existence d’une « droite limite » des sécantes (AB) en un point A à une courbe quand le point B se rapproche du point A, en restant distinct de A.

Cette droite est définie par le point A et son cœfficient directeur.

C’est l’existence et la valeur de ce cœfficient directeur qui vont être à la base de la notion de dérivabilité.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle I.

Le point A est le point de la courbe d’abscisse a, ses coordonnées sont ( ; ( )).a f a

Le point B est le point de la courbe d’abscisse a h+ , ses coordonnées sont ( ; ( )).a h f a h+ +

Le point B est distinct du point A, donc h ≠ 0.

Le cœfficient directeur de la droite (AB) est égal au quotient y yx x

B A

B A

−−

, c’est-à-dire f a h f a

h( ) ( )

.+ −

B

A

0

y = f(x)

a+hai

j



Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a h h+ ≠( )0 deux éléments de l’intervalle I.

Le quotient f a h f a

h( ) ( )+ −

est appelé taux d’accroissement de la fonction

f entre a et a h+ .

Définition 2


Si le taux d’accroissement f a h f a

h( ) ( )+ −

tend vers un nombre réel quand

h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en a.

Le nombre réel qui est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers

0 est appelé le nombre dérivé de la fonction f en a, on le note f a'( ) et on écrit :

lim( ) ( )

'( ).h

f a h f ah

f a→

+ − =0

Le nombre f a'( ) se lit « f prime de a ».

La quantité lim( ) ( )

h

f a h f ah→

+ −0

se lit « limite de f a h f a

h( ) ( )+ −

quand h tend vers 0 ».

Il ne faut pas se laisser impressionner par cette définition qui est nécessaire pour savoir de quoi on parle.

On l’utilisera pour quelques exemples. Puis les résultats obtenus dans les chapitres 3 et 4 permettront d’éviter au maximum les calculs utilisant la limite du taux d’accroissement de la définition 2.

Montrer que la fonction carré est dérivable en a = 1 5, et déterminer le nombre dérivé correspondant.

Notons f la fonction carré. On étudie la dérivabilité en a = 1 5, : on étudie donc le

taux d’accroissementf a h f a

h

h

h( ) ( ) , ,+ − =

+( ) −1 5 1 52 2

quand h ≠ 0.

Comme on étudie ce qui se passe quand h tend vers 0, c’est-à-dire quand le dénominateur tend vers 0, le quotient sous cette forme ne nous donne aucun renseignement. On va donc le transformer en développant puis en simplifiant.

On a : 1 5 1 5 1 5 3 1 5 3

32 2 2 2 2

, , , , ( )+( ) −=

+ +( )−= + = +

h

h

h h

hh h

hh avec h ≠ 0.

Lecture

Commentaire

� Exemple 1

Solution



Comme le taux d’accroissement est égal à 3+ h, il a pour limite 3 quand h tend vers 0.

La fonction f, c’est-à-dire la fonction carré, est donc dérivable en 1,5 et f '( , ) .1 5 3=

On retrouve heureusement le résultat conjecturé d’après les tableaux de valeurs dans l’activité 1.

Montrer que la fonction racine carrée est dérivable en a = 1 et déterminer le nombre dérivé correspondant.

Notons f la fonction racine carrée. On étudie la dérivabilité en a = 1, on étudie

donc le taux d’accroissement f a h f a

hhh

( ) ( )+ − = + −1 1quand la racine

existe et que h n’est pas nul, c’est-à-dire pour h ≥ −1et h ≠ 0.

Comme on étudie ce qui se passe quand h tend vers 0, c’est-à-dire quand le dénominateur tend vers 0, le quotient sous cette forme ne nous donne aucun renseignement. On va donc le transformer en utilisant la quantité conjuguée du numérateur (voir la Partie 1 de la Séquence 1).

On a : 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1+ − =+ −( ) + +( )

+ +( ) = + −

+ +( ) =hh

h h

h h

h

h h

( )

11 1+ +h

car on a pu simplifier par h.

Sous cette forme, quand h tend vers 0, on obtient intuitivement que 1+ h a pour limite 1, que 1+ h a pour limite 1 , c’est-à-dire 1, que le dénominateur a pour

limite 2 et que le taux d’accroissement a donc pour limite 12

.

On peut donc conclure que la fonction racine carrée est dérivable en 1 et que

f '( ) .112

=

Là encore, on retrouve bien le résultat conjecturé d’après les tableaux de valeurs dans l’activité 4.

Comme on l’a vu dans l’activité 4 la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.

Comme on l’a vu dans l’activité 3, la fonction f définie sur � par f x x( ) = −2 1

n’est pas dérivable en 1, il en est de même pour la fonction valeur absolue en 0.

L’exemple de l’exercice I du chapitre 7 (approfondissement) ci-après, permet de voir à quoi peut ressembler la courbe d’une fonction non dérivable en une valeur a. Ces exemples sont donnés seulement pour mieux comprendre, par comparaison, ce qu’est une fonction dérivable en un point.

Toutes les fonctions étudiées dans les exercices seront « régulières », c’est-à-dire dérivables en chaque valeur de leur ensemble de définition, sauf la fonction racine et la fonction valeur absolue en 0.

� Exemple 2

Solution

� Exemple 3

Remarque



Définition 3

Soit a un nombre réel et f une fonction dérivable en a.

La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la

droite passant par le point de la courbe de coordonnées ( ; ( ))a f a et ayant

pour cœfficient directeur f a'( ), le nombre dérivé en a.

La définition 3 permet de lire des nombres dérivés sur des graphiques.

En effet, si la courbe représentative d’une fonction f est dessinée ainsi que la tangente en un point A d’abscisse a de la courbe, on peut lire le nombre dérivé en a puisque c’est le cœfficient directeur de la tangente en A.

Ci-contre, on lit f '( )943

= puisque l’abscisse

du point A est égale à 9 et que le cœfficient

directeur de la tangente est égal à 43

(voir les

pré-requis).

Il se peut que la fonction ne soit pas dérivable en a et qu’il existe néanmoins une tangente à la courbe représentative au point d’abscisse a. C’est le cas de la fonction racine en a = 0 et de sa courbe à l’origine O : c’est l’axe des ordonnées qui est la tangente et cet axe n’a pas de cœfficient directeur.

Propriété 1

Soit a un nombre réel et f une fonction dérivable en a.

La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la droite qui a pour équation

y f a x a f a= − +'( )( ) ( ).

On a simplement appliqué la propriété rappelée dans les pré-requis.

La notion de dérivabilité et la notion tangente sont des notions locales.

Dans les activités, on a zoomé autour d’un point de la courbe en ne voyant plus le reste de la courbe.

Et, quand on observe les tangentes dessinées à la fin des activités 1 et 2, on constate bien que, en dehors du voisinage du point de tangence, la tangente n’a pas de rôle particulier par rapport à la courbe.

Commentaire

i

j

A

0

Remarque

Démonstration

Remarque



Dans l’activité 1, la tangente à la courbe représentative de la fonction carré au point A d’abscisse 1,5 est la droite passant par le point A et dont le cœfficient directeur est égal à 3.

D’après la propriété 1, cette tangente a pour équation y f x f= − +'( , )( , ) ( , ),1 5 1 5 1 5soit y x= − +3 1 5 2 25( , ) ,c’est-à-dire y x= −3 2 25, .

Comme il s’agit d’une notion locale, autour du point A, on a tracé seulement une partie de la droite au voisinage de point A.

Dans l’activité 2, la tangente à la courbe représentative de la fonction définie sur

� par f xx

( ) =+

1

12 au point A d’abscisse 1 est la droite

passant par le point A et dont le cœfficient directeur est égal à −0 5, .Cette tangente a pour équation :

y f x f= − +'( )( ) ( ),1 1 1 soit y x= − − +0 5 1 0 5, ( ) , c’est-à-dire

y x= − +0 5 1, .

Les définitions de la dérivabilité d’une fonction f en a et de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse a donnent un moyen pour calculer des valeurs approchées de f x( ) lorsque x est proche de la valeur a.

En effet, comme la courbe d’équation y f x= ( ) est presque confondue avec sa tangente au voisinage du point A, les valeurs f x( ) seront très proches des valeurs obtenues à partir de la fonction affine représentée par la droite tangente d’équation y f a x a f a= − +'( )( ) ( ).

Définition 4


Si la fonction f est dérivable en a, on dit que la fonction affine x f a x a f a→ − +'( )( ) ( ) est l’approximation affine de f en a.

Au voisinage du point A, la courbe et la tangente en A sont presque confondues, on peut donc écrire que f a x a f a'( )( ) ( )− +est une valeur approchée de f x( ) :

f x f a x a f a( ) '( )( ) ( ).≈ − +

� Exemple 4

i

j

A

0

� Exemple 5

i

j

0

A

Commentaire

i

j

A

0

f(a)

f(x)f ’(a)(x–a)+f(a)

y=f(a)(x–a)+f(a)

a x



Toute droite passant par A permettrait aussi de donner un moyen d’approcher les valeurs f x( ) de façon affine mais moins précise. Etant donnée la position exceptionnelle de la tangente en A par rapport à la courbe, on utilise seulement la fonction affine x f a x a f a→ − +'( )( ) ( ).

On rappelle que, dans l’exemple 4, on a vu que la tangente à la courbe représentative de la fonction carré au point A d’abscisse 1,5 est la droite d’équation y f x f= − +'( , )( , ) ( , ),1 5 1 5 1 5 soit y x= −3 2 25, .

On obtient donc f x x( ) ,≈ −3 2 25 c’est-à-dire x x2 3 2 25≈ − , lorsque x est proche de 1,5.

Ainsi, on trouve 1 5002 3 1 5002 2 252, , ,≈ × − soit 1 5002 2 25062, , ,≈ alors que la valeur exacte est 1 5002 2 250600042, , .=

Dans le tableau de valeurs ci-contre, on a aussi indiqué les valeurs exactes dans la troisième colonne pour montrer la précision des approximations.

i

j

0 a

A h

a+h

f(a)

y=f(x)

Le cœfficient directeur est f’(a)

f(a+h)

f ’(a) h

f(a)+f ’(a) h

En posant x a h= + l’approximation f x f a x a f a( ) '( )( ) ( )≈ − + devient f a h f a h f a( ) '( ) ( )+ × +≈ qu’on écrit plutôt sous la formef a h f a f a h( ) ( ) '( ) .+ ×≈ +

Cette nouvelle expression montre mieux comment les valeurs approchées sont construites à partir de f a( ) comme on l’observe sur la figure.

Quand la variable augmente de la valeur h, on obtient une valeur approchée de l’image f a h( )+ en ajoutant le produit f a h'( ) × à l’image f a( ).

Remarque

� Exemple 6

x 3 2 25x − , x 2

1,45 2,1 2,10251,46 2,13 2,13161,47 2,16 2,16091,48 2,19 2,19041,49 2,22 2,22011,5 2,25 2,251,51 2,28 2,28011,52 2,31 2,31041,53 2,34 2,34091,54 2,37 2,37161,55 2,4 2,4025

Remarque



C’est toujours le même exemple mais avec ce nouveau point de vue.

Il s’agit donc de la fonction carré et a f a f a= = =1 5 2 25 3, , ( ) , , '( ) .

Dans ce cas, l’approximation f a h f a h f a( ) '( ) ( )+ × +≈ devient donc ( , ) ,1 5 2 25 32+ +≈h h le nombre h étant proche de 0.

Ainsi, en reprenant le calcul de l’exemple 6 : 1 5002 1 5 0 00022 2, ( , , )= + d’où :

( , , ) , ,1 5 0 0002 2 25 3 0 00022+ + ×≈ soit 1 5002 2 25062, , .≈

Pour ce tableau de valeurs, on a choisi de partir de la valeur a h+ = −1 5 0 005, , , soit h = −0 005, et d’utiliser 0,001 pour le pas.

On a encore indiqué les valeurs exactes pour montrer la précision des approximations.

Exercices d’apprentissage

On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur �.

Parmi les réponses proposées, cocher celles qui sont correctes.

� Une valeur approchée de f '( )4 est :

5/4 –5/4 9/5 5/9 9/5 4/5 –5/9 –9/5

� La droite (D) est tangente à courbe :

oui non

� La droite (AB) est tangente à la courbe

au point A : oui non

au point B : oui non

� Combien y a-t-il de nombres dérivés nuls :

0 1 2 3

On donne ci-après la courbe représentative d’une fonction f définie sur �.

Tracer les tangentes aux points A, B, C, D de la courbe représentative de f, d’abscisses respectives − −2 1 0, , .et 1 Donner des valeurs approchées des nombres dérivés de la fonction f en − −2 1 0, , .et 1

� Exemple 7

h 2 25 3, + h ( , )1 5 2+ h -0,005 2,235 2,235025-0,004 2,238 2,238016-0,003 2,241 2,241009-0,002 2,244 2,244004-0,001 2,247 2,247001

0 2,25 2,250,001 2,253 2,2530010,002 2,256 2,2560040,003 2,259 2,2590090,004 2,262 2,2620160,005 2,265 2,265025

C

Exercice 1

i

j

0

B

A

(D)

y=f(x)

Exercice 2



i

j

0

� Soit une fonction f définie sur �. En utilisant le tableau suivant, placer six points de la courbe ( )Cf représentative de f et tracer la tangente à la courbe ( )Cf en chacun de ces points.

x – 3 – 2 0 0,5 2 3

f (x) 1 0,75 1,75 2 –– 2 2

f’ (x) – 0,5 0 1 0 0 8

� On donne aussi le tableau de variation, tracer alors l’allure de la courbe ( ).Cf

x −∞ −2 0,5 2 +∞

f x( ) 2

0,75 –2

� Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) .= − +3 5 82 Démontrer que la fonction f est dérivable en a = 2 et donner la valeur de f '( ).2

� On note g la fonction inverse. Démontrer que la fonction inverse est dérivable en a = 2 et donner la valeur de g '( ).2

� Soit f une fonction dérivable en un réel a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf , représentant la fonction f, au point A d’abscisse a sachant que : a f a f a= = − =2 4 3, '( ) ( ) .et � Même question pour la fonction g avec a g a= = −1 3, '( ) et la tangente passe par l’origine du repère.

� Même question pour la fonction h avec h a h a'( ) ( ) .= =0 5et

On a démontré dans le cours que la fonction racine carrée est dérivable en 1

et que son nombre dérivé en 1 est égal à 12

. Donner une valeur approchée de

1 000002, et de 0 999999999, .

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6


� Représenter la fonction carré, la fonction inverse et la fonction racine carrée dans un même repère orthonormé.

� Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1 et m le nombre dérivée en a d’une de ces fonctions. Le nombre m est donc le cœfficient directeur de la tangente à l’une des courbes, au point d’abscisse a, a > 1.

En utilisant les représentations graphiques, cocher dans chaque cas la bonne réponse parmi les 4 :

Valeur de m C’est impossibleIl s’agit de la fonction

carré inverse racine carrée

m = 3m = 1m = 0,4m = 0m = –0,5m = –4

� Quelles conjectures, exprimées par des inégalités, peut-on faire sur les nombres dérivés en a, avec a > 1, pour chacune des trois fonctions ?

Exercice 7




3 Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence

Activités1. Activité 1On a étudié la dérivabilité de la fonction carré en a = 1 5, dans l’exemple 1 dans le chapitre précédent.

On demande ici d’étudier la dérivabilité en a, a étant un nombre réel fixé.

2. Activité 2� Étudier la dérivabilité de la fonction cube en a = 2.

On utilisera l’identité remarquable : ( )a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 33 3

(ce qui se démontre en développant ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...).a b a b a b a ab b a b+ = + × + = + + + =3 2 2 22� Soit a un nombre réel, étudier la dérivabilité de la fonction cube en a.

3. Activité 3Dans l’exercice 4, on a étudié la dérivabilité de la fonction inverse en a = 2.

On demande ici d’étudier la dérivabilité de la fonction inverse en a, a étant un nombre réel non nul.

Cours1. DéfinitionDans l’activité 1, on a montré que la fonction carré est dérivable en a quelque soit le nombre réel a et que, si on note f la fonction carré, on a f a a'( ) .= 2 On peut donc considérer la nouvelle fonction définie sur � par a a→ 2 , ou encore a f a→ '( ).

Puisque, dans la ligne précédente, a est une variable, on peut utiliser le nom habituel d’une variable et on obtient la fonction définie sur � par : x f x→ '( )avec f x x'( ) .= 2

Définition 5

On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I si f est définie sur I et dérivable en tout point de l’intervalle I.

La fonction, définie sur l’intervalle I et à valeurs dans �, qui à tout réel x de l’intervalle I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f ; cette fonction dérivée est notée f '.

A

B

� Exemple 8

Notation



Dans l’activité 2, on a montré que la fonction cube est dérivable sur � et, en notant f la fonction cube, la fonction dérivée de la fonction cube est définie sur � par f x x'( ) .= 3 2

De même, dans l’activité 3, on a montré que la fonction inverse est dérivable sur −∞ ∪ + ∞ ; ; 0 0 et, en notant f la fonction inverse, la fonction dérivée de

la fonction inverse est définie sur −∞ ∪ + ∞ ; ; 0 0 par f xx

'( ) .= −12

2. Fonctions dérivées des fonctions de référence

� Exemple 9

Propriété 2 : Résultats à connaître parfaitement

Fonctions Fonctions dérivées

Les fonctions constantesf

x k:� �→

→

Les fonctions constantes sont définies et dérivables sur �.

fx

' :� �→→ 0

Les fonctions affinesf

x mx p:� �→

→ +

Les fonctions affines sont définies et dérivables sur �.

fx m

' :� �→→

La fonction carré

f

x x

:� �→

→ 2

La fonction carré est définie et dérivable sur �.

fx x

' :� �→→ 2

Les fonctions puissances : soit n un entier naturel non nul

f

x xn

:� �→

→

Les fonctions puissances sont définies et dérivables sur �.

f

x nxn

' :� �→

→ −1

La fonction inverse

f

xx

: *� �→

→ 1

La fonction inverse est définie et dérivable sur −∞ ∪ + ∞ ; ; .0 0

f

xx

' :� �∗ →

→ −12

La fonction racine carrée

f

x x

: ; 0 + ∞ →

→

�

La fonction racine carrée est définie

sur 0 ; + ∞ et dérivable seulement sur

0 ; .+ ∞

Attention : la fonction racine carrée est définie en 0 mais n’est pas dérivable en 0.

f

xx

' : ; 0

1

2

+ ∞ →

→

�



La fonction valeur absolue n’apparaît pas dans ce tableau.

On a vu que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0, et d’ailleurs, si on rencontre une valeur absolue, il est souvent plus commode de travailler sans la valeur absolue en distinguant les deux cas suivant que la quantité dont on prend la valeur absolue est positive ou négative.

En Première S, pour la dérivation, on restera dans des situations simples, sans valeur absolue.

On a expliqué plus haut le changement de notation du nom de la variable.

Mais ici, dans les démonstrations qui suivent, on utilise la définition 2 et on revient à la notation a pour retrouver, dans ces calculs un peu désagréables, les quantités familières a+h, f(a+h)… dans le taux d’accroissement.

� Les fonctions constantes

Voir ci-dessous, car les fonctions constantes sont des cas particuliers des fonctions affines, avec m = 0.

� Les fonctions affines

Soit f une fonction affine, elle est définie sur �, et on a f x mx p( ) ,= + où m et p sont des constantes.

On sait que la courbe Cf représentative de la fonction f est une droite, donc, bien sûr, cette courbe Cf admet une tangente en tout point d’abscisse a, quelque soit le nombre réel a : elle est sa propre tangente ! Et comme le cœfficient directeur de la droite Cf d’équation y mx p= + est le nombre m on peut en déduire que la fonction affine f est dérivable en a, quel que soit le nombre réel a, et que f a m'( ) .=

Autre point de vue : on peut raisonner en utilisant le taux d’accroissement et la définition 2.

Pour la fonction affine f, on a donc pour tout h ≠ 0 :

f a h f ah

m a h p ma ph

mhh

m( ) ( ) ( ) ( )+ − = + + − + = = et donc, bien sûr, puisque ce

quotient est égal au nombre constant m, on a aussi :

lim( ) ( )

lim .h h

f a h f ah

m m→ →

+ − = =0 0

Donc la fonction affine f est dérivable en a pour tout réel a, et f a m'( ) .=

� La fonction carréLe résultat est démontré dans le corrigé de l’activité 1.

� Les fonctions puissances

Le résultat a été démontré pour n = 2 et n = 3 dans les activités 1 et 2.

En Première S, on admet le résultat pour les autres valeurs de n.

� La fonction inverseLe résultat est démontré dans le corrigé de l’activité 3.

Remarque 1

Remarque 2

Démonstration



� La fonction racine carrée

Soit g la fonction racine carrée, définie sur 0 ; + ∞ par g x x( ) .=

Soit a un nombre réel strictement positif.

On écrit le taux d’accroissement et on le transforme en utilisant la quantité conjuguée du numérateur (voir dans la partie 1 de la Séquence 1).

Pour tout h ≠ 0 on a :

g a h g ah

a h ah

a h a a h a

h a h a

a h

( ) ( )

(

+ − = + − =+ −( ) + +( )

+ +( )= + ))

.−

+ +( ) =+ +

a

h a h a a h a

1

C’est ici que la condition a ≠ 0 doit être réalisée car elle est indispensable pour obtenir un nombre réel en prenant la limite quand h tend vers 0.

Donc : lim( ) ( )

lim .h h

f a h f ah a h a a→ →

+ − =+ +

=0 0

1 1

2

Donc la fonction racine est dérivable en a quelque soit a réel strictement positif

f aa

'( ) .= 1

2

� La fonction affine f définie sur � par f x x( ) = −3 8 est dérivable sur � et sa fonction dérivée f ' est définie sur � par f x'( ) .= 3

� La fonction affine f définie sur � par f x x( ) = − +5 3 est dérivable sur � et sa

fonction dérivée f ' est définie sur � par f x'( ) .= −5

� La fonction puissance 5, notée f, définie sur � par f x x( ) = 5 est dérivable sur � et sa fonction dérivée f ' est définie sur � par f x x'( ) .= 5 4

Dans le chapitre suivant, les théorèmes sur les opérations permettront de déterminer les fonctions dérivées de très nombreuses fonctions fabriquées à partir des fonctions de référence.


� On considère la fonction puissance 7, définie et dérivable sur �.

Quel est son nombre dérivé en 1 ? en 3 ? en 0 ? en −1?

� On considère la fonction inverse, définie et dérivable sur −∞ ∪ + ∞ ; ; .0 0

Quel est son nombre dérivé en 1 ? en 3 ? en −1? en −5 ?

� Exemple 10

Commentaire

C

Exercice 8



� On considère la fonction racine carrée définie sur 0 ; + ∞ et dérivable sur 0 ; .+ ∞

Quel est son nombre dérivé en 1 ? en 3 ? en 0,25 ? en 0,49 ?

Démontrer la propriété obtenue avec les représentations graphiques dans la question � de l’exercice 7 du chapitre 2.

Soit (C) la courbe représentative de la fonction carré dans un repère orthogonal.

� Déterminer le(s) point(s) où la tangente (T) à la courbe (C) est parallèle à la droite (D) d’équation y x= +4 5.� Même question avec la droite (∆) d’équation y x= − + 3.� Faire une figure où l’on placera la courbe (C), les droites (D) et ( ),∆ et les tangentes trouvées aux questions précédentes.

Soit (C) la courbe représentative de la fonction inverse dans un repère orthogonal.

� Déterminer le(s) point(s) où la tangente (T) à la courbe (C) est parallèle à la droite (D) d’équation y x= − +0 25 3, .� Même question en remplaçant (D) par la droite ( ) tangente à la parabole d’équation y x= 2 au point d’abscisse −1.

� Faire une figure où l’on placera la courbe (C), les droites (D) et ( ), et les tangentes trouvées aux questions précédentes.

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11



4 Dérivation : opérations sur les fonctions

Activités

1. Activité 1

On considère les fonction u et v définies sur � par u x x( ) = +5 1 et v x x( ) .= 2

On a vu précédemment que les fonctions u et v sont dérivables sur �.

� Donner les valeurs de u '( )3 et v '( ).3

� On appelle f la fonction, définie sur �, égale à la somme des deux fonctions u et v : f u v= + .

En utilisant le taux d’accroissement de la fonction f en a et la définition 2, démontrer que la fonction f est dérivable en a = 3.

Quelle est la valeur de f '( )3 ? Qu’observe-t-on ?� Généralisation : démontrer, en utilisant la définition 2, que la propriété observée à la question � est vraie pour toute fonction f telle que f u v= + ,quelles que soient les fonctions u et v, et quelque soit le nombre réel a où les deux fonctions u et v sont dérivables.

2. Activité 2On considère les fonctions u et v définies sur � par u x x( ) = 5 et v x x( ) , .= 0 2

On a vu précédemment que les fonctions affines u et v sont dérivables sur �.

� Donner les valeurs de u '( )3 et v '( ).3

� On appelle f la fonction, définie sur 0 ; ,+ ∞ égale au produit des deux

fonctions u et v : f uv= .

Quelle est la valeur de f '( )3 ? Qu’observe-t-on ?

Cours

1. Opérations

On connaît depuis le chapitre précédent les fonctions dérivées des fonctions de référence.

À partir des fonctions de référence on peut fabriquer d’autres fonctions par addition, multiplication, quotient comme on l’a vu dans partie 2 de la Séquence 2.

A

B



Dans l’activité 1, on a vu que pour un exemple de fonction définie par une addition tout se passe simplement, on a même démontré que cette propriété est générale.

L’activité 2 a montré que, malheureusement, ce n’est pas aussi simple pour les produits.

Et, de même, la fonction dérivée de la fonction inverse montre que les inverses, et donc les quotients, ne se dériveront pas aussi aisément que les sommes.

Nous allons donner ici, puis démontrer, les formules qui permettent d’obtenir les fonctions dérivées lorsqu’on utilise des opérations.


Ces résultats sont établis, bien sûr, là où les fonctions u et v sont définies et dérivables, et là où le dénominateur ne s’annule pas pour les deux derniers cas.

Fonction Fonction dérivée

u v+ u v u v+( ) = +' ' '

ku k, constante réelle ku ku( ) =' '

uv uv u v uv( ) = +' ' '

u2 ( )' 'u u u2 2=

1u

12uu

u

= −''

uv

uv

u v uv

v

= −'' '

2

� Somme : voir le corrigé de l’activité1.

� Produit d’une fonction par un réel constant On considère une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I et soit a un nombre de l’intervalle I.

Soit k un nombre réel.

On appelle f la fonction, définie sur I, égale au produit ku : f ku= .

Pour étudier la dérivabilité de la fonction f en a on calcule le taux

d’accroissement f a h f a

h( ) ( )+ −

et on en cherche la limite éventuelle quand

h tend vers 0.

Démonstration



On a :

f a h f ah

ku a h ku a

h( ) ( ) ( ) ( )+ − =

( ) + − ( )

= + −k u a h u ah

( ( ) ( ))

= + −k

u a h u ah

( ) ( ).

On sait que lim( ) ( )

'( ),h

u a h u ah

u a→

+ − =0

donc lim( ) ( )

'( ).h

f a h f ah

ku a→

+ − =0

Donc la fonction f ku= est dérivable en a et f a ku a'( ) '( ).= Cette propriété est vraie pour tout a de l’intervalle I et f ku= , on obtient donc :

ku ku( ) =' '.

� Produit de deux fonctions

On considère deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle I et soit a un nombre de l’intervalle I.

On appelle f la fonction, définie sur I, égale au produit des deux fonctions u et v : f uv= .

Pour étudier la dérivabilité de la fonction f en a on calcule le taux d’accroissement f a h f a

h( ) ( )+ −

et on en cherche la limite éventuelle quand h tend vers 0.

On a : f a h f ah

uv a h uv ah

( ) ( ) ( )( ) ( )( )+ − = + −

= + × + − ×u a h v a h u a v ah

( ) ( ) ( ) ( ).

On sait que lim( ) ( )

'( )h

u a h u ah

u a→

+ − =0

et que lim( ) ( )

'( ).h

v a h v ah

v a→

+ − =0

Pour pouvoir faire intervenir ces deux quotients dans le calcul de f a h f a

h( ) ( )+ −

on soustrait et on ajoute la quantité u a v a h( ) ( )× + au numérateur, ce qui n’en change pas la valeur. On obtient :

f a h f ah

u a h v a h u a v a h u a v a( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (+ − = + × + − × + + × ++ − ×

= +

h u a v ah

u a h

) ( ) ( )

( )−− + + + −u ah

v a h u av a h v a

h( )

( ) ( )( ) ( )

.

On connaît la limite de chaque quotient et on a aussi lim ( ) ( ),h

v a h v a→

+ =0

donc

lim( ) ( )

'( ) ( ) ( ) '( ).h

f a h f ah

u a v a u a v a→

+ − = +0

Donc la fonction f est dérivable en a et f a u a v a u a v a'( ) '( ) ( ) ( ) '( ).= +

Cette propriété est vraie pour tout a de l’intervalle I et f uv= , on obtient donc :

uv u v uv( ) = +' ' '.

Attention, l’écriture ku a h( ) +( ) n’est pas l’écriture d’un produit.

C’est l’écriture de l’image du nombre a h+( ) par la fonction ku( ).



� Carré d’une fonction

On utilise le résultat précédent lorsque les fonctions u et v sont les mêmes, on

obtient ( )‘ ' .u u u2 2=

� Inverse

On considère une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I et soit a un nombre de l’intervalle I, on suppose de plus que u a( ) .≠ 0

On appelle f la fonction, définie en a, égale à l’inverse de u : fu

= 1.

Pour étudier la dérivabilité de la fonction f en a, on calcule le taux d’accroissementf a h f a

h( ) ( )+ −

et on en cherche la limite éventuelle quand h tend vers 0.

On a : f a h f ah

u a h u ah

( ) ( ) ( ) ( )+ − = +−1 1

=

− ++ ×

u a u a hu a h u a

h

( ) ( )( ) ( )

= − ++ ×

×u a u a hu a h u a h

( ) ( )( ) ( )

1

= − + ×+ ×

u a u a hh u a h u a

( ) ( )( ) ( )

.1

Comme lim( ) ( )

'( ),h

u a h u ah

u a→

+ − =0

on a lim( ) ( )

'( )h

u a u a hh

u a→

− + = −0

; et,

pour le deuxième quotient, on a lim ( ) ( ) ( ) .h

u a h u a u a→

+ × = ( )0

2On obtient donc

lim( ) ( ) '( )

( ).

h

f a h f ah

u a

u a→

+ − = −

( )0 2

Donc la fonction f est dérivable en a et f au a

u a'( )

'( )

( ).= −

( )2

Cette propriété est vraie pour tout a de l’intervalle I où u est dérivable et à valeurs

non nulles, or fu

= 1, on obtient donc :

12uu

u

= −‘'.

� Quotient

On considère deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle I, la fonction v ne s’annulant pas.

On appelle f la fonction, définie sur I, égale au quotient des deux fonctions u et

v : fuv

= .

Pour étudier la fonction dérivée de la fonction f, on utilise les résultats précédents.

En effet, la fonction f peut s’écrire sous la forme d’un produit : f uv

= × 1.



Comme on sait maintenant dériver un produit, on obtient f uv

uv

' ' .''

= × +

1 1

On sait aussi dériver une fonction inverse donc : f uv

uv

' ' .= × + × −1 12

Et finalement : fu v uv

v'

' '.= −

2

Voici six fonctions pour commencer à utiliser ces formules.

Pour chaque fonction suivante, donner l’ensemble de définition de la fonction dérivée et son expression.

� La fonction f est définie sur � par f x x( ) .= −5 8

� La fonction g est définie sur � par g x x x( ) .= − + −5 3 28 2

� La fonction h est définie sur � par h xx x

( ) .=+ +

1

12

� La fonction k est définie sur l’intervalle I = + ∞ 2 ; par k xxx

( ) .= +−

2 13 6

� La fonction m est définie sur 0 ; + ∞ par m x x x( ) ( ) .= +2 1

� La fonction p est définie sur � par p x x( ) ( ) .= +2 1 4

� On considère la fonction f définie sur � par f x x( ) .= −5 8 On peut écrire la fonction f sous la forme f ku= , k étant égal à −5 et u étant la fonction puissance 8, dérivable sur � telle que u x x'( ) .= 8 7 La fonction f est donc dérivable sur �et ku ku( ) =' ', donc f x x f x x'( ) , '( ) .= − × = −5 8 407 7

� Soit g la fonction définie sur � par g x x x( ) .= − + −5 3 28 2 Cette fonction g est la somme de trois fonctions dérivables sur � : la fonction f, la fonction définie par x x→ 3 2 qui a pour fonction dérivée x x→ ×3 2 et une fonction constante dont la dérivée est nulle. La fonction g est donc dérivable sur � et on

obtient g x'( ) en faisant la somme des dérivées g x x x'( ) ,= − + × +40 3 2 07 soit

g x x x'( ) .= − +40 67

� Soit h la fonction définie sur � par h xx x

( ) =+ +

1

12(on peut définir la

fonction h sur � car le polynôme x x2 1+ + ne s’annule jamais, son discriminant

valant −3).

On peut écrire la fonction h sous la forme hu

= 1, la fonction u étant définie

sur � par u x x x( ) .= + +2 1 Comme la fonction g précédente, la fonction u est

� Exemple 11

Solution



dérivable sur � et u x x'( ) .= +2 1 La fonction h, qui est l’inverse de la fonction u, est dérivable lorsque la fonction u ne s’annule pas et est dérivable, donc la

fonction h est dérivable sur � et h xu x

u x'( )

'( )

( ),= −

2

soit h xx

x x

'( )( )

.= − +

+ +( )2 1

12 2

� Soit k la fonction définie sur l’intervalle I = + ∞ 2 ; par k xxx

( ) .= +−

2 13 6

On peut écrire la fonction k sous la forme kuv

= , u et v étant les fonctions affines

définies sur l’intervalle I par u x x( ) = +2 1et v x x( ) .= −3 6 Ces fonctions u et v

sont dérivables sur leur intervalle de définition et on a : u x'( ) = 2 et v x'( ) .= 3 La fonction v ne s’annule pas sur I.

La fonction k est donc dérivable sur l’intervalle I et ku v uv

v'

' ',= −

2

donc, pour tout x de I, on a : k xu x v x u x v x

v x'( )

'( ) ( ) ( ) '( )

( ),= −

2

c’est-à-dire

k xx x

x'( )

( ) ( )

( ),= − − +

−

2 3 6 3 2 1

3 6 2 donc k x

x'( )

( ).= −

−

15

3 6 2

� Soit m la fonction définie sur 0 ; + ∞ par m x x x( ) ( ) .= +2 1

On peut écrire la fonction m sous la forme m uv= , où u est la fonction affine définie sur 0 ; + ∞ par u x x( ) = +2 1et v est la fonction racine carrée.

La fonction u est dérivable partout et u x'( ) ,= 2 la fonction racine carrée n’est

dérivable que sur 0 ; + ∞ et sa dérivée est telle que v xx

'( ) .= 1

2

Donc la fonction produit m est dérivable sur 0 ; + ∞ et m uv u v uv' ' ' '.= ( ) = +

Pour tout réel x de 0 ; ,+ ∞ on a m x u x v x u x v x'( ) '( ) ( ) ( ) '( ),= + soit

m x xx

x'( ) .= + +

22 1

2

� Soit p la fonction définie sur � par p x x( ) ( ) .= +3 1 4

On peut écrire la fonction p sous la forme p u= 2, où u est la fonction définie sur

� par u x x( ) .= +( )3 12

La fonction u est dérivable sur� comme carré d’une fonction et on a u x x'( ) .= × × +( )2 3 3 1

Donc la fonction p est dérivable sur � et p x x x'( ) ( ) ( ) ,= × + × +2 6 3 1 3 1 2 soit p x x'( ) ( )= +12 3 1 3.



On a très peu transformé les expressions qui ont été obtenues par les formules des dérivées.

En effet, il n’y a pas de raison de transformer une expression lorsqu’on ne sait pas à quoi elle va servir (ici il s’agit simplement de s’entraîner à appliquer les formules des opérations sur les dérivées).

2. Polynômes et fonctions rationnellesLes fonctions polynômes sont construites par additions et multiplications à partir des fonctions puissances et des constantes.

Les fonctions rationnelles sont les fonctions obtenues en faisant des quotients de fonctions polynômes.

Tous les résultats résumés dans le tableau précédent prouvent la propriété 4.

Propriété 4

Toute fonction polynôme est dérivable sur �.

Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

Les fonctions f , g et p de l’exemple 11 sont des fonctions polynômes, elles sont dérivables sur �.

Les fonctions h et k sont des fonctions rationnelles, elles sont dérivables chacune sur son ensemble de définition.

Les résultats sur les opérations permettent de calculer les fonctions dérivées de toutes les fonctions polynômes et de toutes les fonctions rationnelles.


Il s’agit ici d’exercices d’apprentissage des formules de dérivation.

Il est inutile pour l’instant de transformer l’expression obtenue pour une fonction dérivée.

Des transformations seront souvent nécessaires quand on utilisera la fonction dérivée et ces transformations dépendront du but recherché (pour l’étude d’un signe par exemple, factoriser est souvent plus efficace que développer).

Des calculatrices et des logiciels peuvent calculer des nombres dérivés et certain(e)s donnent même l’expression des fonctions dérivées. Il est cependant indispensable de savoir faire ces calculs en utilisant les fonctions de référence et les théorèmes sur les opérations.

Remarque

� Exemple 13

Remarque

CRemarque 1

Remarque 2



Dans chaque cas, on donne une fonction f définie sur un intervalle I.

Dans chaque cas, dire si la fonction f est dérivable sur I et donner l’expression de f x'( ).

� f xx

( ) , ; =+

= − + ∞

23 7

73

I

� f x x x x( ) , .= − + − + =3 4 7 35 4 2 I �

� f x x xx

( ) , ; .= + − = + ∞ 3 23

40I

� f x x x( ) , ; .= + = + ∞ 3 2 0I

� f x x x x( ) , ; .= + = + ∞ 2 0I

� f xx

x( ) , .= −

+=

3

21

1I �

� f xx

x( ) , ; .= − = + ∞ 5

50I

Mêmes questions qu’à l’exercice 12.

� f xx

( ) , ; .= −−

= + ∞

32 1

12

I

� f xx

x( ) , ; .= + − = + ∞ 1

2 0I

� f xx

( ) , ; .= − = + ∞ 1

23 0I

� f xx

x( ) , ; .= −

+= − + ∞

2 13

3I

� f x x( ) ( ) , .= − =3 1 2 I �

� f xx

( ) , ; .= +

= + ∞ 11

02

I

Dans chaque cas, on donne l’expression d’une fonction f et son ensemble de définition.

Déterminer une équation de la tangente ∆ à la courbe Cf , représentant la fonction f, au point d’abscisse a.

� f x x x a( ) , .= − =2 2 1sur�

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14


� f xx

a( ) ; , .=+

− + ∞ =11

1 0sur

� f x x a( ) , .= =3 5sur�

� f x x a( ) , .= ∞ =sur 0 ; + 3

� f x x a( ) ( ) , .= − =3 1 02 sur�

� f xx x

xa( ) ; , .= + +

−+ ∞ =

2 12

2 4sur




5 Premières applications de la dérivation

Dans ces premières applications, il va s’agir d’un exemple d’utilisation des approximations affines, et d’un exemple d’application en physique.

Activités

1. Activité 1Dans cette activité, on va utiliser une méthode qui permet de trouver des valeurs approchées pour une fonction f dont on ne connaît pas l’expression, mais pour laquelle on a seulement une valeur et des informations sur sa fonction dérivée.

Avec un tableur, on va déterminer des valeurs approchées de f x( ) de proche en proche en utilisant systématiquement l’approximation f a h f a f a h( ) ( ) ( )+ + ×≈ ' .

On admet l’existence d’une fonction f définie sur [1 ; 4] telle que f ( )1 0= et f x x'( ) .=

� Entrer la lettre x dans la cellule A1 puis 1, la première valeur de x, dans la cellule A2.

Faire apparaître, dans les cellules de la colonne A, les valeurs 1 à 4 avec le pas h tel que h = 0 5, .

� Entrer « valeur approchée de f (x) » dans la cellule B1, puis 0, c’est-à-dire f ( )1dans la cellule B2. La formule d’approximation affine donne ici : f ff( ) ( )( )1 0 5 1 0 51+ ×≈ +, ' , ou f f( , ) , .( )1 0 5 0 5 11+ ×≈ +

Dans la cellule B3, où on veut obtenir une valeur approchée de f (1,5), on rentre donc B2+0,5*RACINE(A2).

Compléter la colonne B en recopiant la formule de la cellule B3 pour avoir les autres valeurs approchées.

� Le diagramme suivant a été fait avec le tableur OpenOffice.

Pour cela, après avoir sélectionné la plage des huit cellules qui apparaissent ici, on a choisi Diagramme, puis successivement : Le type de diagramme : Ligne, puis le deuxième choix qui s’appelle Points et Lignes, puis après « suivant » on a coché : Première colonne comme étiquette et enfin on a cliqué sur Terminer.

On obtient ainsi des points ayant pour abscisses (étiquette) les nombres de la première colonne, la colonne A, et pour ordonnées les valeurs correspondantes de la colonne B. Le choix Points et Lignes permet de voir les points obtenus et les segments de droites qui les joignent.

A



Faire le diagramme complet en sé-lectionnant la plage des cellules à partir de A2 jusqu’à la dernière cel-lule remplie de la colonne B et faire un diagramme analogue au dia-gramme ci-contre, en choisissant Lignes au lieu de Points et Lignes pour une meilleure lisibilité.

� On admet que la fonction f est la fonction définie sur [0 ; 4] par

f x x x( ) ( )= −23

1 (on peut vérifier la valeur de f ( )1 et l’expression de f x'( )).

Sur la feuille de calcul, écrire « valeur de 23

1( )x x − » dans la cellule C1, dans

C2 calculer la valeur donnée par cette formule pour x = 1(1 est dans la cellule A2), puis compléter la colonne C en recopiant.

Faire un diagramme analogue au précédent en sélectionnant toutes les cellules remplies des colonnes A, B et C. Deux courbes doivent s’afficher : la courbe obtenue en joignant les points correspondants aux valeurs approchées et

la courbe obtenue avec les valeurs données par la formule f x x x( ) ( ).= −23

1

Qu’observe-ton ?

2. Activité 2Cette activité montre comment la dérivation peut intervenir en sciences physiques.

Une pie (oiseau réputé pour être voleur) est perchée sur un pont et laisse tomber bêtement un objet qu’elle vient de dérober.

La chute de l’objet est verticale. La courbe (C) ci-dessous représente, en fonction du temps t (en secondes) écoulé depuis le début de la chute, la distance d t( ) (en mètres) parcourue par l’objet.L’objet est lâché à l’instant t = 0 et la courbe correspond au déroulement de la chute jusqu’au moment où l’objet atteint la rivière.

O 2 s 3 s 4 s 5 s

20 m

100 m

d(t)

(t)1 s0,5 s



� Quelle est la durée de la chute ?� De quelle hauteur par rapport à la rivière l’oiseau a-t-il lâché l’objet ?� À quelle vitesse moyenne l’objet tombe-t-il ?

� La courbe (C) est en fait la représentation graphique de la fonction d définie par d t t( ) ,= 4 9 2 sur [ ; ].0 5

Quelle est la vitesse moyenne de l’objet entre les instants t = 2 et t = 2 1, ? entre t = 2 et t = 2 01, ? entre t = 2 et t = 2 001, ?

� Comment peut-on définir la vitesse instantanée de l’objet à l’instant t = 2 ?

� Quelle est la vitesse instantanée de l’objet quand il atteint la rivière ?

Cours

1. Approximations affines : méthode d’Euler

La méthode qui a été utilisée dans l’activité 1, s’appelle la méthode d’Euler (mathématicien suisse 1707-1783).

On applique cette méthode pour déterminer des valeurs approchées d’une fonction f pour laquelle on connaît seulement l’image d’un nombre et l’expression de la fonction dérivée en fonction de la variable.

Graphiquement, cela correspond à remplacer la courbe représentative de la fonction f par des segments de droites (tangentes ou parallèles à des tangentes) et pour les calculs à utiliser l’approximation f a h f a f a h( ) ( ) ( )+ + ×≈ ' .

On a repris l’exemple de l’activité 1 pour illustrer cette méthode, le repère n’est pas orthonormé pour mieux voir et comprendre les approximations.

� Première étape

On calcule l’ordonnée du point de la tangente en A qui a pour abscisse a h+ .

On appelle ce point M1, son ordonnée y1 est donc une valeur approchée de f a h( ).+ Le point M1 est un point approché du point B de la courbe, d’abscisse a h+ .

B

O

A

B

M1

f(1)=0

f(1,5)y1= f(1)+f’(1) 0,5

y= f(x)

a=1 a+h=1,5 2

tangente en A



� Deuxième étape

À partir du point M1 on trace une droite parallèle à la tangente en B (B est le vrai point de la courbe, on ne le connaît pas mais on connaît le cœfficient directeur de la tangente en B, c’est f f a h'( , ), '( ))1 5 soit + .Pour notre exemple, cette droite passe par le point M1 (d’abs-cisse 1,5) et son cœfficient direc-teur est f '( , ),1 5 donc le point M2 d’abscisse 2 a pour ordonnée y2avec y y f2 1 1 5 2 1 5= + × −'( , ) ( , ),

d’où y y f2 1 1 5 0 5= + ×'( , ) , .

Le nombre y2 est une valeur approchée de f f a h( ) ( ).2 2, soit +

On continue de la même façon (c’est pourquoi on a utilisé la fonctionnalité de recopie dans le tableur).

La ligne polygonale AM1M2M3… est une courbe approchée de la courbe représentative de f.

La figure suivante est la même que la précédente, mais les légendes concernent uniquement le cas général.

O

A

B

C

M1

M2

f(1)=0

f(a+h)

f(a+2h)

1

y1= f(a)+f’(a)xh

f ’(a)xh

y2= y1+f’(a+h)xh

f’(a+h)xh

y= f(x)

a

h

a+h a+2h

tangente en Acœfficient directeur : f’(a)

Droite (M1M2)cœfficient directeur égal à celuide la tangente en B : f’(a+h)

Cette méthode sera revue plus loin dans le cours, une autre notion en permettant alors une présentation plus complète. Vous pourrez donc l’assimiler petit à petit.

O

A

B

C

M1

M2

f(1)=0

f(1,5)

f(2)

1

y1= f(1)+f’(1)x0,5

f’(1)x0,5

y2= y1+f’(1,5)x0,5

f’(1,5)x0,5

y= f(x)

a=1 a+h=1,5 a+2h=2

tangente en Acœfficient directeur : f’(1)

Droite (M1M2)cœfficient directeur égal à celuide la tangente en B : f’(1,5)

Commentaire



2. Vitesse instantanée

Si d t( ) est la distance parcourue par un mobile de l’instant 0 à l’instant t, alors la vitesse moyenne de celui-ci, entre les instants t et t h+ , est égale à :

vdistance parcouruedurée du parcoursmoyenne = = d (tt h d t

h+ −) ( )

.

On a retrouvé le taux d’accroissement de la fonction d entre t et t h+ , ce qui permet de passer à la définition suivante.

Si d t( ) est la distance parcourue par un mobile de l’instant 0 à l’instant t,

alors la vitesse instantanée de celui-ci à l’instant t est le nombre v t( )

défini par : v td t h d t

hh( ) lim

( ) ( ),= + −

→0soit v t d t( ) '( ).=

Définition 6

Tout phénomène physique où une grandeur varie en fonction du temps peut amener à considérer des vitesses moyennes, des vitesses instantanées et donc à introduire des fonctions dérivées.

On peut généraliser encore à des phénomènes physiques où une grandeur dépend d’une autre (qui n’est plus le temps). Là encore on peut étudier les variations moyennes d’une grandeur en fonction des variations de l’autre, et on aboutit à des « variations instantanées » qui sont des dérivées.


On admet qu’il existe une fonction f définie et dérivable sur 0 ; + ∞ telle que

f ( )1 0= et f xx

'( ) = 1pour tout réel x strictement positif.

� Sur un tableur, appliquer la méthode d’Euler en utilisant le pas h tel que h = 0 1, et donner une valeur approchée de f ( ).2

� Modifier la feuille de calcul pour pouvoir choisir la valeur de h.

� Donner de nouveau une valeur approchée de f ( ),2 en utilisant h = 0 01, puis h = 0 001, .

Une voiture se déplace sur une route. Elle démarre à l’instant t = 0 et la distance d t( ) (en km) parcourue par le véhicule à l’instant t (en heure) est telle que d t t t( ) = − +120 1803 2 avec t ∈ 0 1; .

Généralisation

C

Exercice 15

Exercice 16


� Déterminer la distance parcourue au bout d’une heure, d’une demi-heure, de 10 minutes.

� Exprimer, en fonction de t, la vitesse instantanée v t( ) du véhicule à l’instant t.

� Déterminer la vitesse instantanée du véhicule à l’instant du départ, au bout de 1 heure, 30 minutes, 10 minutes ?

� Quelle est la vitesse maximum atteinte par le véhicule ?




6 Synthèse de la partie 1 de la séquence

Définitions et propriétés fondamentales

Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a h h+ ≠( )0 deux éléments de l’intervalle I.

Le quotient f a h f a

h( ) ( )+ −

est appelé taux d’accroissement de la fonction f entre a et a h+ .

Définition 2


Si le taux d’accroissement f a h f a

h( ) ( )+ −

tend vers un nombre réel quand h tend vers 0 on dit

que la fonction f est dérivable en a.

Le nombre réel qui est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0 est appelé le

nombre dérivé de la fonction f en a, on le note f a'( ) : lim( ) ( )

'( ).h

f a h f ah

f a→

+ − =0

Définition 3

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a, a étant un nombre réel appartenant à l’intervalle I.

La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la droite passant par le point de la courbe de coordonnées ( ; ( ))a f a et ayant pour cœfficient directeur f a'( ), le nombre dérivé en a.

i

j

A

0 a

Propriété 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a, a étant un nombre réel appartenant à l’intervalle I.

La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la droite qui a pour équation y f a x a f a= − +'( )( ) ( ).

A



Définition 4


Si la fonction f est dérivable en a, on dit que la fonction affine x f a x a f a→ − +'( )( ) ( ) est l’approximation affine de f en a.

On a ainsi un moyen pour calculer des valeurs approchées de certaines images : f x f a x a f a( ) '( )( ) ( )≈ − + ou, en posant x a h= + , f a h f a f a h( ) ( ) ( )+ + ×� ' .

Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence

Définition 5

On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I si f est définie sur I et dérivable en tout point de l’intervalle I.

La fonction, définie sur l’intervalle I et à valeurs dans �, qui à tout réel x de l’intervalle I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f ; cette fonction dérivée est notée f '.


Fonctions Fonctions dérivées

Les fonctions constantesf

x k:� �→

→

Les fonctions constantes sont définies et dérivables sur �.

fx

' :� �→→ 0

Les fonctions affinesf

x mx p:� �→

→ +

Les fonctions affines sont définies et dérivables sur �.

fx m

' :� �→→

La fonction carré

f

x x

:� �→

→ 2

La fonction carré est définie et dérivable sur �.

fx x

' :� �→→ 2

Remarque

B



Dérivation : opérations sur les fonctions


Ces résultats sont établis, bien sûr, là où les fonctions u et v sont définies et dérivables, et là où le dénominateur ne s’annule pas pour les deux derniers cas.

C

Propriété 2 : Résultats à connaître parfaitement (suite)

Fonctions Fonctions dérivéesLes fonctions puissances : soit n un entier naturel non nul

f

x xn

:� �→

→

Les fonctions puissances sont définies et dérivables sur �.

f

x nxn

' :� �→

→ −1

La fonction inverse

f

xx

: *� �→

→ 1

La fonction inverse est définie et dérivable sur −∞ ∪ + ∞ ; ; .0 0

f

xx

' :� �∗ →

→ −12

La fonction racine carrée

f

x x

: ; 0 + ∞ →

→

�

La fonction racine carrée est définie sur

0 ; + ∞ et dérivable seulement sur

0 ; .+ ∞

Attention : la fonction racine carrée est définie en 0 mais n’est pas dérivable en 0.

f

xx

' : ; 0

1

2

+ ∞ →

→

�

Fonction Fonction dérivée

u v+ u v u v+( ) = +' ' '

ku k, constante réelle ku ku( ) =' '

uv uv u v uv( ) = +' ' '

u2 ( )' 'u u u2 2=

1u

12uu

u

= −''

uv

uv

u v uv

v

= −'' '

2


Propriété 4

Toute fonction polynôme est dérivable sur �.

Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

Premières applications de la dérivation� Approximations affines : méthode d’Euler

On applique cette méthode pour déterminer des valeurs approchées d’une fonction f pour laquelle on connaît seulement l’image d’un nombre et l’expression de la fonction dérivée en fonction de la variable.

Graphiquement, cela correspond à remplacer la courbe représentative de la fonction f par des segments de droites (parallèles à des tangentes) et pour les calculs à utiliser l’approximation f a h f a f a h( ) ( ) ( )+ ×≈ + ' .

� Vitesse instantanée

Définition 6

Si d t( ) est la distance parcourue par un mobile à l’instant t, alors la vitesse instantanée de celui-ci à l’instant t est le nombre v t( ) défini par :

v td t h d t

hh( ) lim

( ) ( ),= + −

→0soit v t d t( ) '( ).=

D




7 Exercices d’approfondissement

On considère la fonction f, définie sur l’intervalle − 16 16; de la façon suivante : f ( )0 0= et sa représentation graphique, symétrique par rapport à l’axe (Oy), est expliquée ci-dessous.

Voici la représentation graphique sur l’intervalle [8 ; 16].

i0 8 12 16

y=x

j

x

y

On a construit de façon semblable la courbe représentative sur l’intervalle [4 ; 8] (dont l’amplitude est égale à la moitié de l’amplitude de l’intervalle [8 ; 16]) et on a complété par symétrie par rapport à (Oy).

i0 864-4-6 12 16

y=xy=–x

j

y

x

Exercice I

� Première étape

� Deuxième étape



� Construire, de façon semblable, la courbe sur les intervalles [2 ; 4] et [–4 ; –2].

� On continue ainsi et la fonction est définie sur − 16 16; . Que se passe-t-il pour la courbe si on fait des zooms-agrandissements centrés à l’origine ? Que peut-on alors conjecturer ?

Dans cet exercice, il s’agit de faire des pliages !

Sur une feuille de papier, dessiner un segment d’une droite (D) et placer un point F, comme dans la figure ci-contre.

Choisir un point H sur la droite (D).

Plier la feuille en superposant le point F et le point H et bien marquer la droite du pliage.

Recommencer avec d’autres points H sur la droite (D).

Qu’observe-t-on ?

Si vous faites cette activité avec un logiciel de géométrie dynamique, que se passe-t-il quand on éloigne le point F de la droite (D) ?

Soit f la fonction définie sur − 1 1; par f x x( ) ,= −1 2 et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

� En utilisant la définition, montrer que la fonction f est dérivable en a = 0 5, .Quelle est la valeur de f '( , )0 5 ?

� Soit A le point de la courbe Cf d’abscisse 0,5. Ecrire l’équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point M.

� Cette question est un peu différente des autres dans sa forme. On dit qu’elle est « avec prise d’initiative », c’est-à-dire que la démarche de résolution ne vous est pas donnée et que vous devez avoir l’initiative des différentes étapes.

Montrer que la courbe Cf est un demi-cercle. Or, pour un cercle, on a déjà employé le mot tangente dans les classes de collège.

Montrer que la droite (T) est tangente au demi-cercle au point M, le mot « tangente » étant utilisé ici avec la signification qu’il a en collège.

On cherche à construire un toboggan.Son « profil » en coupe doit être une courbe définie sur un intervalle a b; , la tangente au point d’abscisse a et la tangente au point d’abscisse b étant horizontales.

On va former le toboggan en « collant » des parties de deux courbes.

On modélise cette situation de la façon suivante.

On considère une fonction f définie sur 0 10; par f x kx k( ) ,= 3 étant un nombre réel constant.

On considère aussi une fonction g du second degré, définie sur 0 10; et dont le sommet est le point de coordonnées (10 ; 8).

Exercice II

F

H

F

(D)

Exercice III

Exercice IV



� Écrire l’expression de g x( ) dans laquelle un des cœfficients reste indéterminé pour l’instant (on choisira la forme la plus adapté : voir la partie 1 de la séquence 3).

� On pourra « recoller » les courbes si elles ont un point commun et la même tangente en ce point.

On souhaite que ce point commun ait pour abscisse 5.

Écrire le système de deux équations à deux inconnues traduisant ces conditions (les inconnues sont k et le cœfficient encore indéterminé de la fonction g).

� Résoudre le système.� Faire une figure en traçant seulement la courbe de la fonction f sur 0 5; et la courbe de g sur 5 10; .



2e partie

Sommaire

1. Pré-requis 2. Trigonométrie 3. Synthèse de la partie 2 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement

Trigonométrie



2 Pré-requis1Trigonométrie dans un triangle rectangle

1. Sinus et cosinus d’un angle dans un triangle rectangle

On considère un triangle ABC rectangle en A et on s’intéresse à l’un des angles en B ou en C.

Remarquons tout d’abord que ces deux angles ABC� et ACB�

sont nécessairement aigus (et non nuls).

Vous avez vu en collège les définitions suivantes.

Dans le triangle ABC rectangle en A, l’angle ABC� est aigu et, on définit le

sinus de cet angle par : sin ABCACBC

,�( ) = et le cosinus de cet angle par :

cos ABCABBC

.�( ) =

Définition

a) Ces deux nombres, sin ABC�( ) et cos ABC�( ) ne dépendent que de l’angle ABC�

et non pas du triangle dans lequel on observe cet angle.

Dans la figure ci-contre, les angles ABC� et A'BC'� qui sont égaux ont même sinus et même cosinus (conséquence du théorème de Thalès).

b) Chacun de ces deux nombres, sin ABC�( ) et cos ABC�( )caractérise l’angle ABC.�

Autrement dit si l’on connaît sin ABC�( ) ou cos ABC�( ) on connaît l’angle ABC.�

Vous avez déjà utilisé cette caractéristique en collège ou en seconde lorsque vous avez cherché, à la calculatrice, une valeur approchée d’un angle dont vous aviez calculé le sinus ou le cosinus.

A

A

C

B

Remarques

A

C

A’

C’

B



Vous avez calculé que cos ABC .�( ) = 0 9, A la calculatrice, vous allez calculer une

valeur approchée de ABC� en utilisant la fonction « réciproque » de la fonction cosinus, notée cos−1sur les TI et Acs sur les Casio, en ayant pris soin de vérifier

que la calculatrice est bien réglée en degrés.

On obtient : cos .− ( ) ≈1 0 9 25 842, , Donc l’angle ABC� vaut environ 25,842°.

c) Quel que soit l’angle ABC� on a toujours : sin ABC ABC .� �( )

+ ( )

=2 2

1cos

En effet, le triangle ABC étant rectangle en A on a : AB AC BC2 2 2+ = (théorème de Pythagore).

Ce qui nous donne : AB

BC

AC

BC,

2

2

2

21+ = que l’on peut écrire

ABBC

ACBC

.

+

=2 2

1

On retrouve bien : cos sinABC ABC .� �( )

+ ( )

=2 2

1

2. Tangente d’un angle dans un triangle rectangleDans les mêmes conditions que ci-dessus, on a aussi.

Dans le triangle ABC rectangle en A, l’angle ABC� est aigu et, on définit la

tangente de cet angle par : tan ABCACAB

.�( ) =

Définition

a) et b) On a les mêmes remarques à propos de tan ABC�( ) que les remarques a)

et b) à propos de sin ABC�( ) et cos ABC .�( )

c) On a : tan ABCsin ABC

ABC.�

�

�( ) =( )( )cos

Cercle trigonométrique

1. Cercle trigonométrique

Le plan est rapporté à un repère orthonormé O I J ., ,( )

On appelle cercle trigonométrique le cercle � de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Définition

0

J

J’

I’ I

+�

� Exemple

Remarques

B



a) Le sens inverse des aiguilles d’une montre est appelé sens positif, l’autre, sens négatif (on dit aussi sens direct et sens indirect).

b) Le cercle trigonométrique étant de rayon 1, il passe par les points I et J.

c) Sur le cercle trigonométrique, le trajet le plus court pour aller de I à J est d’y aller dans le sens positif. C’est pour cela que l’on dit que le repère O I J, ,( ) est orthonormé direct.

2. Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique

Etant donné le cercle trigonométrique � de centre O, dans le repère orthonormé direct O I J ,, ,( ) on considère la droite IK( ) tangente à � passant par I, K étant le point de

coordonnées K .1 1;( )

Sur cette droite, on considère le repère I K ,,( ) ce qui permet d’établir une graduation. A chaque point de cette droite correspond un nombre réel, et à chaque nombre réel correspond un point de la droite (0 correspond au point I, 1 au point K).

La droite IK( ) représente donc l’ensemble R des nombres réels.

Voir graphique ci-contre.

Ensuite, on « enroule » cette droite réelle IK( ) sur le cercle trigonométrique (voir graphiques ci-dessous).

0

y

x1

K

M

–1

–2

2

0

J

J’

I’ I

+

�

0

y

x1

K

M

–1

2

0

J

J’

I’ IN

+

�

Chaque graduation positive de la droite (par exemple x sur les graphiques ci-

dessus) correspond à un point M du cercle tel que la longueur de l’arc IM,�

parcouru dans le sens positif, soit égale à x.

Remarques

0

y

x1K

–1

–2

2

0

J

J’

I’ I

+�



De même, chaque graduation négative (par exemple y sur les graphiques ci-dessus) correspond à un point N du cercle tel que la longueur de l’arc IN,

�

parcouru dans le sens négatif, soit égale à y (valeur absolue).

Bien entendu, lorsque l’on continue à « enrouler » la droite réelle IK( ) sur le cercle trigonométrique, plusieurs graduations, aussi bien positives que négatives, correspondent au même point.

Par exemple, sur le graphique ci-contre, le point P correspondant à la graduation 2 correspond aussi à la graduation 2 2−( )π .

En effet, le cercle trigonométrique étant de rayon 1, son périmètre mesure 2π.Puisque P correspond à la graduation 2, l’arc IP,

�parcouru dans le sens positif,

a pour longueur 2.

Donc, l’arc IP,�

parcouru dans le sens négatif, a pour longueur 2 2π −( ). Le point P correspond donc à la graduation négative 2 2−( )π , dont 2 2π −( ) est la valeur absolue.

Lorsque l’on « enroule » la droite réelle IK( ) sur le cercle trigonométrique, chaque nombre réel correspond à un seul point du cercle.

Par contre chaque point du cercle correspond à une infinité de nombres réels.

Propriété

Puisqu’il faut faire un tour de cercle complet (dans le sens positif ou dans le sens négatif) pour retomber sur le même point, et puisque le périmètre du cercle est 2π, un point du cercle (par exemple M sur le graphique ci-dessus) correspondra à des réels dont la différence est un nombre entier de fois 2π.

Ainsi, si l’on parcourt le cercle dans le sens positif, le point M correspond aux réels x, x +( )2π , x +( )4π , x +( )6π , … etc.

Si l’on parcourt le cercle dans le sens négatif, le point M correspond aussi aux réels x −( )2π , x −( )4π , x −( )6π , … etc.

De la même façon, le point P correspond aux réels 2, 2 2+( )π , 2 4+( )π ,2 6+( )π , … etc. et 2 2−( )π , 2 4−( )π , 2 6−( )π , … etc.

0

y

x1

K

M

P

–1

2

2–2π

–2

0

J

J’

I’ IN

+

�

Remarque



Cosinus et sinus d’un nombre réel

1. Cosinus et sinus d’un nombre réelAprès avoir « enroulé » la droite réelle sur le cercle trigonométrique, on sait que chaque nombre réel x correspond à un point M du cercle (voir graphique ci-dessous).

a) Puisqu’une infinité de nombres réels correspondent au même point M, tous ces nombres ont le même cosinus et le même sinus. On a par exemple :

cos cos cos cos cosx x x x x( ) = +( ) = +( ) = −( ) = −( )2 18 2 6π π π π ..

sin sin sin sin sinx x x x x( ) = +( ) = +( ) = −( ) = −( )2 18 2 6π π π π ..

b) Comme certains points du cercle ont des abscisses négatives, ou des ordonnées négatives, certains nombres réels ont des cosinus ou des sinus négatifs.Sur le graphique ci-contre, on voit que cos 2 0( ) <

et sin 2 0( ) > .

Et bien sûr, cos 2 2 0+( ) <π , cos 2 18 0+( ) <π ,

cos 2 2 0−( ) <π .

Et bien sûr, sin 2 2 0+( ) >π , sin 2 18 0+( ) >π ,

sin 2 2 0−( ) >π . 2. Angles particuliers et réels particuliersLe cercle trigonométrique étant de rayon 1, son périmètre mesure 2π. Donc le demi-périmètre, c’est-à-dire la longueur

de l’arc I I',�

mesure π.Par conséquent le nombre π correspond au point I’ et l’angle IOI'� vaut 180° (voir ci-contre).De même, la longueur de l’arc I J

� (obtenu en se déplaçant

dans le sens positif), le quart du périmètre du cercle, mesure π2

. Par conséquent le nombre π2

correspond au point J et

l’angle IOJ� vaut 90°.

On peut faire de même avec les nombres π3

,π4

ou π6

en divisant le demi-

C

0

xK

M

–1

2sin(x)

cos(x)0

J

J’

I’ I

+

�On appelle cosinus du nombre x, et on note cos x( ),l’abscisse du point M dans le repère O I J ., ,( )De même, on appelle sinus du nombre x, et on note sin x( ), l’ordonnée du point M dans le repère O I J ., ,( )(Voir graphique ci-contre).

Définition

Remarques

0

xK

P

–1

2sin(2)

cos(2) 0

J

J’

I’ I

+

�

0Rπ

π—2 π—

3 π—4 π—6

5π—6 S

QT

–1

2

0

J

J’

I’ I

�



périmètre par 3, par 4 ou par 6.

Le nombre π3

correspond au point T et l’angle IOT� vaut 60°.

Le nombre π4

correspond au point Q et l’angle IOQ� vaut 45°.

Le nombre π6

correspond au point S et l’angle IOS� vaut 30°.

En étendant cette idée on peut aussi associer des angles particuliers aux nombres 23π

,34π

ou 56π

(point R sur le graphique).

Nombre réel x 0π6

π4

π3

π2

23π 3

4π 5

6π π

Angle IOM� (en degré) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

Plus généralement, si M est un point du cercle trigonométrique, la longueur de l’arc IM� est proportionnelle à l’angle IOM.�

Comme π correspond à un angle de 180°, un nombre positif x compris entre 0

et π correspondra à l’angle 180π

x

°.

Réciproquement, un angle de a° compris entre 0° et 180° correspondra au

nombre réel π

180a.

3. Cosinus et sinus des nombres compris entre 0 et π

2

Pour un nombre réel x compris entre 0 et π2

, donc

correspondant à un point M situé sur l’arc I J�

précisé page précédente, regardons à quoi correspondent cos x( ) et sin x( ).

Appelons H le projeté orthogonal de M sur la droite OI( )(voir graphique ci-contre), et notons a la valeur en degré de

l’angle IOM.�

Dans le triangle HOM, rectangle en H, on a :

cos cos( )HOMOHOM

� �( ) = =a et sin sin( )HOMHMOM

.� �( ) = =a

Or OM = 1 puisque c’est le rayon du cercle trigonométrique et OH = ( )cos xpuisque c’est l’abscisse du point M (abscisse qui est positive). On obtient donc :

cos cos( )cos

cosHOM1

.� �( ) = =( )

= ( )ax

x

Remarque

0

xM

H

–1

2sin(x)

cos(x)0

J

J’

I’ I

a°�



De même HM = ( )sin x puisque c’est l’ordonnée du point M (ordonnée qui est positive). On obtient donc :

sin sin( )sin

sinHOM1

.� �( ) = =( )

= ( )ax

x

Les cosinus et sinus d’un nombre x compris entre 0 et π2

, sont les

cosinus et sinus de l’angle IOM� correspondant.

On a, entre autres, les valeurs suivantes :

Nombre réel x 0π6

π4

π3

π2

Angle IOM� (en degré) 0° 30° 45° 60° 90°

cos cosx( ) = ( )IOM�

1 32

22

12

0

sin sinx( ) = ( )IOM�

012

22

32

1

De plus, pour tout réel x, on a :cos2(x ) + sin2(x ) = 1

Propriété



1 Trigonométrie2Activités

1. De quel côté ?� Construire un triangle équilatéral ABC, et un point D tel que BAD BDA� �= = °30 .

� Que peut-on dire du triangle ACD ?

2. Bissectrice ?� Construire un triangle ABC tel que BAC� = °45 et un point D tel que BAD� = °45 .� Que peut-on dire de la droite AB ?( ) Des points A, C et D ?

Cours

1. Cercle trigonométrique et angles orientés. Radian

On a vu dans l’activité 1 que, pour éviter certaines ambiguïtés dans les repérages angulaires, il était intéressant, voire indispensable d’orienter les angles.

Pour cela, il est nécessaire, lorsque l’on définit un angle, de préciser quel est le premier côté de l’angle, quel est le second côté.

Pour ce faire, à l’aide du cercle trigonométrique, nous allons définir des angles orientés dont le premier côté sera le vecteur OI

��et le second le vecteur OM,

� ��M

étant un point du cercle.

Par exemple, pour les points P et S tels que IOP IOS� �= = °30 on définit les angles orientés OI, OP

�� ( ) et OI, OS�� ( )

(voir graphique ci-contre).

Si l’on va, sur le cercle trigonométrique, de I à P par le plus court chemin, on voit que l’on tourne dans le sens direct, en décrivant un angle de 30° : on mesurera l’angle OI, OP

�� ( ) avec une valeur positive (30°).

A

B

0

J

J’

I’ I

P

S

330° 690°

–30°

30°



Si l’on va, sur le cercle trigonométrique, de I à S par le plus court chemin, on voit que l’on tourne dans le sens indirect, en décrivant un angle de 30° : on mesurera l’angle OI, OS

�� ( ) avec une valeur négative (–30°), ce qui le distingue du précédent.

Mais on peut aussi aller de I à S en tournant dans le sens direct, en décrivant alors un angle de 330° : on mesurera alors l’angle OI, OS

�� ( ) avec une valeur positive (330°).

On peut même aller de I à S en tournant dans le sens direct et en décrivant plus d’un tour complet ; on décrit alors un angle de 690° : on mesurera l’angle

OI, OS�� ( ) avec une valeur positive (690°).

Et ainsi de suite …

On voit que l’on va pouvoir, tout en faisant la distinction entre les angles orientés OI, OP�� ( ) et OI, OS

�� ( ) , mesurer chacun d’entre eux avec plusieurs valeurs, positives et négatives.

En fait on peut même énoncer la propriété suivante.

Propriété 1

Chaque angle orienté OI, OM�� ( ) a une infinité de mesures positives

(quand on va du premier côté au second en tournant dans le sens direct, et en faisant un certain nombre de tours complets avant de s’arrêter), et une infinité de mesures négatives (de la même façon en tournant dans le sens indirect).

On retrouve, pour les angles orientés OI, OM ,�� ( ) une situation analogue à celle

que l’on a vue pour le point M lorsque l’on « enroule » la droite réelle sur le cercle trigonométrique : M correspond à une infinité de nombre réels.

Cette analogie fait que l’on peut considérer que les nombres réels sur le cercle trigonométrique mesurent directement les angles orientés de la forme

OI, OM :�� ( ) π mesure l’angle plat, OI, OI' ,

�� ( ) que l’on peut aussi mesurer par 180°, π2

mesure l’angle droit direct, OI, OJ ,�� ( ) de 90°, − π

6mesure l’angle OI, OS ,

�� ( ) de

–30°, etc.

On a ainsi défini une nouvelle unité de mesure des angles orientés que l’on appelle le radian.

Définition 1

Le radian est l’unité de mesure des angles orientés telle qu’un angle plat direct mesure π radians. On le note rad.

Par exemple on notera : OI, OJ rad.�� ( ) = ° =90

2π



La proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians, due à l’enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, fait que l’on a la propriété suivante.

Comme on l’a vu en définissant la façon de mesurer les angles orientés,

chaque angle orienté OI, OM�� ( ) a une

infinité de mesures positives, et une

infinité de mesures négatives. Cela reste vrai lorsque l’on mesure les angles en radians.

Si l’une des mesures en radians de l’angle orienté OI, OM�� ( ) est α, on a une

infinité d’autres valeurs possibles pour le mesurer : α π+ 2 , α π+ 4 , α π+ 6 , … etc. α π− 2 , α π− 4 , α π− 6 , … etc.

Lorsque l’on veut donner la mesure en radians d’un angle orienté, en règle générale, on donne la mesure (il n’y en a qu’une) appartenant à l’intervalle

− π π; . On dit que c’est la mesure principale de l’angle.

Propriété 3

Un angle orienté de la forme OI, OM�� ( ) a une infinité de mesures en

radians.

Si l’une des mesures en radians de l’angle orienté OI, OM�� ( ) est α, les

autres mesures sont tous les nombres de la forme α π+ k2 avec k ∈�.

� Lorsqu’on écrit la mesure en radians d’un angle orienté, on omet souvent de préciser « k ∈� » ; il est sous entendu, car « évident », que k est un entier relatif.� De même, on écrit α π+ 2k plutôt que α π+ k2 , car cela se prononce plus facilement : « deux k pi » au lieu de « k fois deux pi ».

� Nous conserverons, la plupart du temps ces notations, mais on trouve aussi d’autres façons d’écrire.

Propriété 2

Comme π rad ,= 180� on a l’égalité 1180

� = πrad, et donc :

a a� = π180

rad.

Réciproquement, 1180

rad =

°

π, et donc : x xrad =

°180π

.

0

J M

J’

I’ I

α+2π α–2π

α

Remarques



Au lieu d’écrire OI, OM�� ( ) = +α π2k

avec k ∈�, on écrit souvent

OI, OM (�� ( ) = α π2 ) ou OI, OM (mod ,

�� ( ) = α π2 ) que l’on lit « OI, OM�� ( ) = α à un

multiple de 2π près », ou « OI, OM�� ( ) = α à 2π près », ou « OI, OM

�� ( ) = α modulo

2π ».

Toutes ces écritures veulent dire la même chose : il y a une infinité de mesures d’un angle orienté, et elles diffèrent toutes d’un nombre entier de tours.

Ce qui est important c’est de bien se souvenir qu’un angle orienté a une infinité de mesures en radians.Il arrive aussi que l’on omette d’écrire +2k π ou (2π) ou (mod .2π) C’est alors toujours sous-entendu.

Définition 2

Parmi toutes les mesures en radians de l’angle orienté OI, OM ,�� ( ) on appelle

mesure principale de l’angle celle qui appartient à l’intervalle − π π; .

2. Angle orienté de vecteurs non nuls. Mesure principale

Regardons maintenant comment l’on va étendre cette notion d’angle orienté à deux vecteurs non nuls quelconques du plan.

Si les deux vecteurs sont construits à partir du même point, prenons les vecteurs AB� ��

et AC,� ��

il est assez simple de voir comment l’on va mesurer l’angle qu’ils font.

On va « superposer » un cercle trigonométrique sur les deux vecteurs, en faisant coïncider le centre du cercle et le point commun A, et en faisant en sorte que le vecteur OI

�� du cercle trigonométrique soit colinéaire et de même sens que le

premier vecteur de l’angle.Ceci implique, bien entendu, que l’on ait décidé si c’est l’angle AB, AC

� �� ( ) ou l’angle AC, AB

� �� ( ) que l’on veut étudier. C’est d’ailleurs l’intérêt de la notion d’angle orienté.

Ensuite on détermine le point M du cercle trigonométrique tel que les vecteurs AC� ��

et OM� ��

soient colinéaires et de même sens (voir figure ci-dessous).On définit alors l’angle orienté AB, AC

� �� ( ) par l’égalité AB, AC OI, OM .� �� ( ) = ( )

C’est la même procédure que ce que vous avez déjà fait avec un rapporteur, mais en tenant compte de l’orientation.

0A

B

CJ

M

J’

I’

I

A

B

Cα



Si les deux vecteurs ne sont pas construits à partir du même point, par exemple vecteurs EF

��et GH,� ��

ou s’ils sont définis sans référence à des points, par exemple vecteurs u

�et v�, on construit d’abord, à partir de la même origine, deux vecteurs

égaux aux précédents, et on procède comme dans le premier cas (voir le graphique

ci-dessous pour mesurer l’angle u v� �

,( ) où AB� ��

= u et AC� ��

= v ).

0A

B

CJ

M

J’

I’

I

A

B

Cαvu

Bien entendu, comme on l’a vu dans le paragraphe précédent, une fois déterminée une valeur α de l’angle, on a une infinité d’autres valeurs possibles pour le mesurer : α π+ 2 , α π+ 4 , α π+ 6 , … etc. α π− 2 , α π− 4 , α π− 6 , … etc.

Définition 3

La donnée de deux vecteurs non nuls u�

et v�, dans cet ordre, détermine un

angle orienté u v� �

, .( )On définit les mesures en radians de l’angle orienté u v

� �,( ) en référence au

cercle trigonométrique.

Propriété 4

Un angle orienté u v� �

,( ) a une infinité de mesures en radians.

Si l’une des mesures en radians de l’angle orienté u v� �

,( ) est α, les autres

mesures sont tous les nombres de la forme α π+ 2k avec k ∈�.

Parmi toutes les mesures en radians de l’angle orienté u v� �

,( ) on appelle mesure principale de l’angle celle qui appartient à l’intervalle − π π; .

� Bien souvent, il arrive que l’on confonde une mesure d’un angle orienté et l’angle orienté lui-même. Ce n’est en général pas trop gênant.

� Pour mesurer l’angle AB, AC ,� �� ( ) on admettra que, au lieu de faire pivoter

le cercle trigonométrique de façon que le vecteur OI��

soit colinéaire et de même sens que AB,

� ��on peut garder le cercle trigonométrique dans sa position

« standard », mesurer l’angle orienté OI, AC ,�� ( ) mesurer l’angle orienté OI, AB

�� ( )et le retrancher de l’angle précédent.

Remarques



Sur le graphique ci-contre, on a OI, AC ,�� ( ) = β OI, AB ,

�� ( ) = γet AB, AC .� �� ( ) = − =β γ α

Ceci « marche » quelle que soit la position des vecteurs AB� ��

et AC.� ��

C’est une conséquence directe de l’orientation des angles, et l’une des raisons pour lesquelles on a introduit cette notion.

Nous admettrons les propriétés suivantes sur les angles orientés, propriétés faciles à vérifier sur des exemples.

Propriété 5

Quels que soient les vecteurs non nuls u�

, v�

et w��

on a :

a. u u k� �

,( ) = +0 2 π et u u k� �

, ;−( ) = +π π2

b. v u u v k� � � �

, , ;( ) = −( )+ 2 π

c. u v v w u w k� � � ��

, , , ;( )+ ( ) = ( )+ 2 π c’est ce que l’on appelle la relation de

Chasles pour les angles orientés ;

d. u v u v u v k� � � � � �

, , , .−( ) = −( ) = ( )+ +π π2

a. C’est évident.

b. C’est une conséquence immédiate de la notion d’orientation.

c. On admettra cette propriété (relation de Chasles) très utile pour les calculs angulaires.

d. Cette propriété se démontre facilement avec les précédentes. En effet on a :

u v u v v v� � � � � �

, , ,−( ) = ( )+ −( ) d’après la relation de Chasles, et donc

u v u v� � � �

, ,−( ) = ( )+ π d’après la première propriété.

Vous démontrerez vous-même la deuxième égalité.

3. Angle orienté de vecteurs et configurations de base

Quelques configurations élémentaires s’expriment facilement à l’aide des angles orientés de vecteurs.

0A

B

CJ

J’

M

I’ I

αβ γ

Démonstration



a. Alignement, parallélisme

Propriété 6

Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si :

CA , CB� �� ( ) = +0 2k π

ou CA , CB .� �� ( ) = +π π2k

C A B

On a même une propriété plus précise.

Les points A et B étant distincts, on a :

C AB CA, CB .∈ ⇔ ( ) = +� ��

π π2k

Propriété 7

Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si :

AB, CD� �� ( ) = +0 2k π ou AB, CD .

� �� ( ) = +π π2k

A B

D C

b. Orthogonalité

Propriété 8

Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seule-ment si :

AB, CD� �� ( ) = +π π

22k

ou AB, CD .� �� ( ) = − +π π

22k

A BC

D

CA B

π

Remarque



c. Bissectrice

d. Somme des angles d’un triangle

Propriété 10

Etant donnés trois points distincts A, B et C, on a :

AB, AC BC, BA CA , CB� �� ( )+ ( )+ ( ) = +π 22k π.

� Construisons les points D et E tels que BC AD��

= et BA AE.� ��

=

On a : BC, BA AD, AE�� ( ) = ( )+ 2k π

et CA , CB CA , DA .� �� ( ) = ( )+ 2k π

Or, d’après les propriétés vues au paragraphe précédent, on a :

− −( ) = −( )+ +u v u v k� � � �

, , .π π2

Donc − −( ) = ( )+ + = ( )+u v u v u v k� � � � � �

, , , .π π π2

On obtient donc : CA , CB CA , DA CA , DA A� �� ( ) = ( ) = − −( ) = CC, AD .

� �� ( )+ 2k π

Et par conséquent :

AB, AC BC, BA CA , CB AB� �� ( )+ ( )+ ( ) =

�� , AC AD, AE AC, AD( )+ ( )+ ( )+ 2k π..

La relation de Chasles, appliquée deux fois, nous permet de simplifier cette somme :

AB, AC BC, BA CA , CB AB� �� ( )+ ( )+ ( ) =

�� , AD AD, AE AB, AE( )+ ( ) = ( )+ 2k π..

Propriété 9

Étant donnés trois points distincts A, B et C, la droite AK( ) est bissectrice de

BAC� si et seulement si : AB, AK AK, AC .� �� ( ) = ( )+ 2k π

K

C

B

A

K

C

B

A

Démonstrations

A

B

CD

E



Comme les vecteurs AB� ��

et AE� ��

sont opposés, on obtient finalement :

AB, AC BC, BA CA , CB AB� �� ( )+ ( )+ ( ) =

�� , AE .( ) = +π π2k

� Proposons une autre démonstration où l’on voit l’efficacité des propriétés de calcul avec les angles orientés et en particulier de la relation de Chasles.

On a : AB, AC AB, CA� �� ( ) = ( )+ +π π2k puisque CA AC

� �� = −

et BC, BA CB, BA�� ( ) = ( )+ +π π2k puisque CB BC.

�� = −

Donc on a :

AB, AC BC, BA CA , CB AB� �� ( )+ ( )+ ( ) =

��

� ��, CA CB, BA

CA ,

( )+

+ ( )+

+

π π

CB .��( )+ 2k π

Soit :

AB, AC BC, BA CA , CB AB� �� ( )+ ( )+ ( ) =

�� , CA CA , CB CB, BA( )+ ( )+ ( )

++ +2 2π πk .

En appliquant la relation de Chasles on obtient :

AB, AC BC, BA CA , CB AB� �� ( )+ ( )+ ( ) =

�� , BA .( )+ +2 2π πk

Soit : AB, AC BC, BA CA , CB� �� ( )+ ( )+ ( ) = 3π ++ 2k π.

Et donc : AB, AC BC, BA CA , CB� �� ( )+ ( )+ ( ) = +π 22k π. Normalement, on devrait

noter « = +π π2k ' » car ce n’est pas le même coefficient multiplicateur qu’à la ligne précédente (on sait même que k k' = +1).

En fait, on fait souvent cet « abus de notation », car la signification de l’écriture +2k π est que k prend toutes les valeurs de �, or dans ce cas, k’ prend aussi toutes les valeurs de �.

1. Pour cette propriété, il est très important de prendre les trois angles du triangle avec des mesures principales de même signe (toutes les trois positives sur le dessin de gauche ci-dessous, toutes les trois négatives sur le dessin de droite).

A

B

C

A

B

C

2. Lorsque l’on passe successivement de A à B puis à C en tournant dans le sens direct sur le cercle circonscrit au triangle, on dit que le triangle ABC est direct.

Remarques



e. Angle inscrit, angle au centre

Propriété 11

Soit deux points distincts A et B d’un cercle de centre O.

Pour tout point M du cercle, distinct de A et B, on a :

OA , OB MA, MB .� �� ( ) = × ( )+2 2k π

0

A

B

M

Cette démonstration sera faite dans l’exercice 11.

4. Cosinus et sinus d’un angle orienté quelconqueOn peut maintenant revenir sur la trigonométrie, et définir les cosinus et sinus de n’importe quel angle orienté u v

� �, ,( ) en le mesurant en radians.

Définition 4

Le cosinus et le sinus d’un angle orienté u v� �

,( ) dont une mesure en

radians est x, sont le cosinus et le sinus du nombre x, c’est-à-dire l’abscisse

et l’ordonnée du point M du cercle trigonométrique correspondant à x.

La connaissance des cosinus et sinus des angles particuliers compris entre 0

radian et π2

radian (c’est-à-dire entre 0° et 90°), et les symétries présentes dans

le cercle trigonométrique, font que l’on connaît les cosinus et sinus d’une infinité

d’angles particuliers.

On a par exemple les valeurs suivantes :

x (mesure en radians de l’angle) −

7

6

π−

2

3

π−

π

4

2

3

π 17

6

π

Point du cercle R E F G R

cos x( )

− = −

cosπ

6

3

2

− = −

cosπ

3

1

2

cosπ

4

2

2

=

− = −

cosπ

3

1

2

−

= −cosπ

6

3

2

sin x( )

sinπ

6

1

2

=

− = −

sinπ

3

3

2

− = −

sinπ

4

2

2

sinπ

3

3

2

=

sinπ

6

1

2

=

Démonstration



En effet, on peut voir sur le graphique ci-dessous que :

0R

E

G

π

π—2

π—3 π—

4

π—4

π—6

2π—3

2π—3

S

F

QT

0

J

J’

I’ I

7π—6

17π—6

&

–

–

–

rapport à la droite OJ( ) ; ils ont donc des abscisses opposées et des ordonnées égales ;

abscisses opposées et des ordonnées opposées ;

OI( ) ; ils ont donc des abscisses égales et des ordonnées opposées ;

OJ( ) ; ils ont donc des abscisses opposées et des ordonnées égales.

De façon plus générale on a les résultats suivants.

Propriété 12

Pour tout réel quelconque x :

Mesure en radians de l’angle

−x π − x

Cosinus cos cos−( ) = ( )x x cos cosπ −( ) = − ( )x x

Sinus sin sin−( ) = − ( )x x sin sinπ −( ) = ( )x x


x + π π2

− x

Cosinus cos cosx x+( ) = − ( )π cos sinπ2

−

= ( )x x

Sinus sin sinx x+( ) = − ( )π sin cosπ2

−

= ( )x x



En effet, on peut voir sur le graphique ci-contre que :

à la droite OI ;( ) ils ont donc des abscisses

égales et des ordonnées opposées ;

à la droite OJ( ) ; ils ont donc des abscisses opposées et des ordonnées égales ;

point O ; ils ont donc des abscisses opposées et des ordonnées opposées ;

d (que l’on appelle première bissectrice du repère), dont l’équation est y x= ; l’abscisse de S est égale à l’ordonnée de M et l’ordonnée de S est égale à l’abscisse de M.

Cette connaissance des liens entre les sinus et les cosinus de différents angles va nous permettre de résoudre certaines équations dans lesquelles l’inconnue figure dans un sinus ou un cosinus.

Résoudre les équations suivantes :

a. cos ,x( ) = 0 5. b. sin x( ) = −1.

c. cos x( ) = 52

. d. sin x( ) = − 23

.

a. Une solution de cette équation, que l’on doit connaitre par cœur, est x = π3

.

Mais on sait que ce n’est pas la seule, puisqu’un point du cercle trigonométrique correspond à une infinité de réels.

Tous ces réels qui correspondent au même point que π3

conviennent, à savoir :

π π3

2+ ,π π3

4+ ,π π3

6+ , … etc. π π3

2− ,π π3

4− ,π π3

6− , … etc.

Mais il y a encore d’autres solutions !

En effet on a vu précédemment que x et −x ont le même cosinus.

Donc − − +π π π3 3

2, , − +π π3

4 , − +π π3

6 , … etc. − −π π3

2 , − −π π3

4 , − −π π3

6 ,

… etc, sont aussi des solutions.

On peut maintenant constater que l’on a toutes les solutions, car il n’y a que deux points du cercle trigonométrique qui ont la même abscisse.

On résume ces résultats en disant que les solutions sont tous les nombres réels de la forme : π π3

2+ k ou − +π π3

2k avec k ∈�.

Conséquence

� Exemple 1

Solution

0

2

R

Q

P

π

ππ–x

π – x

S

M

0

J

J’

I’ I

x

x–x

d



b. Une solution de cette équation, que l’on doit connaître par cœur, est x = − π2

.Mais on sait que ce n’est pas la seule, puisqu’un point du cercle trigonométrique correspond à une infinité de réels.

Tous ces réels qui correspondent au même point que − π2

conviennent, à savoir :

− +π π2

2 , − +π π2

4 , − +π π2

6 , … etc. − −π π2

2 , − −π π2

4 , − −π π2

6 , … etc.

On peut maintenant constater que l’on a toutes les solutions, car il n’y a qu’un point du cercle trigonométrique dont l’ordonnée soit égale à −1.

On résume ces résultats en disant que les solutions sont tous les nombres réels de la forme :

− +π π2

2k avec k ∈�.

c. La valeur 5

2ne fait pas partie des valeurs « remarquables » des sinus ou

cosinus, que l’on doit connaître.

Pour chercher une solution de cette équation, il faut tout d’abord que l’on ait une

idée d’une valeur approchée de 5

2, pour savoir si ce nombre est l’abscisse d’un

point du cercle trigonométrique. Si ce n’est pas le cas il n’y aura pas des solution.

On a : 5

2112≈ , .

On constate que ce nombre est strictement supérieur à 1. Ça ne peut donc pas être l’abscisse d’un point du cercle trigonométrique.

Donc l’équation cos x( ) = 52

n’a pas de solution.

d. La valeur − ≈ −23

0 67, ne fait pas partie des valeurs « remarquables » des

sinus ou cosinus, que l’on doit connaître.

Comme − < − <123

1

on sait que l’on va trouver deux

points du cercle trigonométrique dont l’ordonnée est − 23

.

Appelons M et N ces points, et une valeur en radian de

l’angle OI, OM�� ( ) (voir graphique ci-contre).

Cette valeur est une solution de l’équation sin x( ) = − 23

.

On peut, à l’aide de la calculatrice par exemple, trouver une

valeur approchée de cette solution : α = −

≈ −−sin ,1 23

0 73.

Mais on sait que ce n’est pas la seule solution, puisqu’un point du cercle trigonométrique correspond à une infinité de réels. Tous ces réels qui correspondent au même point que conviennent, à savoir :

α π+ 2 , α π+ 4 , α π+ 6 , … etc. α π− 2 , α π− 4 , α π− 6 , … etc.

0

N M

ππ−α

0

J

J’

I’ I 2–— 3

α



Mais il y a encore d’autres solutions.

En effet on a vu précédemment que x et π − x ont le même sinus.

Donc π α π α π− − +, ,2 π α π− + 4 , π α π− + 6 , … etc, π α π− − 2 ,π α π− − 4 , π α π− − 6 , … etc, sont aussi des solutions.

On peut maintenant constater que l’on a toutes les solutions, car il n’y a que deux points du cercle trigonométrique qui ont même ordonnée.

On résume ces résultats en disant que les solutions sont tous les nombres réels de la forme :

α π+ k2 ou π α π− + k2 avec k ∈�.

En généralisant les résultats de l’exemple ci-dessus, on peut énoncer la propriété suivante.

Propriété 13

Pour résoudre dans une équation de la forme cos x a( ) = ou sin x a( ) =

il faut d’abord vérifier si − ≤ ≤1 1a .

Si ce n’est pas le cas, l’équation n’a pas de solution.

Si c’est le cas, il y a des solutions.

Pour les trouver toutes, on cherche d’abord une solution particulière α.

L’équation peut alors s’écrire : cos cosx( ) = ( )α ou sin sinx( ) = ( )α et l’on a :

cos cosx x k x k( ) = ( ) ⇔ = + = − +α α π α πou ;2 2

sin sinx x k x k( ) = ( ) ⇔ = + = − +α α π π α πou .2 2


Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses ; justifier votre réponse.

� sin sin23

23

π π

=

V F

� cos sin54

54

π π

=

V F

� sin53

32

π

= V F

� sin sin76 6π π

= − −

V F

CExercice 1



� Pour tout réel x, cos cosx x+( ) = ( )5π V F

� Pour tout réel x, sin sin5π −( ) = ( )x x V F

� Pour tout réel x, sin sinx x−( ) = − ( )π

V F

� Pour tout réel x, cos cos2π −( ) = − ( )x x

V F

Pour les deux affirmations suivantes, A, B et C sont trois points distincts.

BA, CA AB, AC� �� ( ) = −( )+ 2k π � V � F

AB, CA AB, AC� �� ( ) = ( )+ +π π2k � V � F

Pour les deux affirmations suivantes, u�

et v�

sont deux vecteurs non nuls.

� u v u v k� � � �

, ,−( ) = −( )+ 2 π � V � F

� π π− ( ) = −( )+u v v u k� � � �

, , 2 � V � F

Soit x un réel. Écrire chacune des expressions suivantes uniquement en fonction de cos x( ) ou sin .x( )

� cos cos .π π−( )+ +( )x x 3

� sin sin .−( )− +( )x x3π

� cos sin sin .− −( )− −( )+ −( )π π πx x x3 4

� Conversion degrés-radians ; compléter le tableau suivant :

Mesures en radians92π

− 13

6π

−478

π

50

Mesures en degrés 225 −144 100

� Donner la mesure principale des angles orientés suivants :

Mesures21

2π

− 19

6π

374π

− 29

5π

1003

π

−478

π

50

Mesures principales

� On sait que sin α( ) = 35

et que α π π∈

2

, . Calculer cos .α( )� On sait que cos β( ) = − 1

3et que β π∈ − , .0 Calculer sin .β( )

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4



Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique.

� 2cos .x( )+ =3 0

� 2sin sin .2 x x( ) = − ( ) Remarque : la notation sin2 x( ) signifie sin .x( )( )2� 2cos .2 1x( ) = −

On donne u v k� �

,( ) = − +35

2π π et u w k

� ��, .( ) = +3

42

π π

Déterminer les mesures principales des angles suivants.

� v w� ��, .( ) � −( )u v

� �, . � u w

� ��, .−( )

On considère une figure où ABC est un triangle rectangle isocèle en A, ACE un triangle rectangle isocèle en E et BCD un triangle équilatéral.

Les triangles ABC, ACE et BDC sont directs.

� Faire une figure correspondant à l’énoncé.

� Donner les mesures principales des angles orientés suivants :

a. BC, BA�� ( ) b. AC, AB

� �� ( ) c. AB, AE� �� ( )

d. CD, CE� �� ( ) e. CA, DC

� �� ( ) f. AB, CE� �� ( )

ABCD est un parallélogramme tel que AB, AD .� �� ( ) = +5

82

π πk

� Faire une figure correspondant à l’énoncé et donner une mesure des angles orientés suivants :

a. BC, DC�� ( ) b. BC, BA

�� ( )

On suppose en plus que ABCD est un losange.

� Faire une nouvelle figure correspondant à l’énoncé et donner une mesure des angles orientés suivants :

a. CA, CD� �� ( ) b. DC, BD

� �� ( ) c. CA, AD� �� ( )

A, B et C sont trois points du plan tels que BC, BA�� ( ) = +3

72

π πk

et CA, CB .� �� ( ) = +2

92

π πk

� Faire une figure correspondant à l’énoncé et donner les mesures principales des angles orientés suivants :

a. AB, AC� �� ( ) b. CA, BC

� �� ( ) c. BC, AB�� ( )

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9


ABCD et AMCN sont deux parallélogrammes.

Faire une figure correspondant à l’énoncé et comparer les angles orientés

MA, MB� �� ( ) et NC, ND .

� �� ( )

Démonstration de la propriété 11 du cours : angle inscrit, angle au centre.


Soit M un point du cercle, distinct de A et B, et N le point diamétralement opposé à M sur ce cercle.

� Quelle est la nature du triangle AOM ?

En déduire que : 2 2× ( ) = − ( )+MA, MO OM, OA .� ��

π πk

Puis que : 2 2× ( ) = ( )+MA, MO OA, ON .� ��

k π

� De façon analogue, montrer que : 2 2× ( ) = ( )+MB, MO OB, ON .� ��

k π

� En déduire que : 2 2× ( ) = ( )+MA, MB OA, OB ,� ��

k π ce qui démontre la propriété du cours.

� Question complémentaire, pour aller un peu plus loin.

Peut-on en déduire que : MA, MB OA, OB ?� �� ( ) = ( )+1

22k π

Quelle propriété peut-on en déduire pour tous les points de l’un des arcs de cercle AB ?�

Exercice 10

Exercice 11




2 Synthèse de la partie 2 de la séquence3Cercle trigonométrique et angles orientés. Radian

Définition 1

Le radian est l’unité de mesure des angles orientés telle qu’un angle plat direct mesure π radians.

On le note rad.

Propriété 2

Comme π rad ,= 180� on a l’égalité 1180

� = πrad, et donc :

a a� = π180

rad.

Réciproquement, 1180

rad =

°

π, et donc :

x xrad =

°180π

.

Angle orienté de vecteurs non nuls. Mesure principale

Définition 3

La donnée de deux vecteurs non nuls u�

et v�, dans cet ordre, détermine un

angle orienté u v� �

, .( )On définit les mesures en radians de l’angle orienté u v

� �,( ) en référence au

cercle trigonométrique.

Propriété 4

Un angle orienté u v� �

,( ) a une infinité de mesures en radians.

Si l’une des mesures en radians de l’angle orienté u v� �

,( ) est α, les autres

mesures sont tous les nombres de la forme α π+ 2k avec k ∈�.

Parmi toutes les mesures en radians de l’angle orienté u v� �

,( ) on appelle mesure principale de l’angle celle qui appartient à l’intervalle − π π; .

A

B



Angle orienté de vecteurs et configurations de base

Propriété 6

Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si :

CA , CB� �� ( ) = +0 2k π

ou CA , CB .� �� ( ) = +π π2k

Propriété 7

Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si :

AB, CD� �� ( ) = +0 2k π ou AB, CD .

� �� ( ) = +π π2k

Propriété 8

Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et

(CD) sont orthogonales si et seulement si : AB, CD� �� ( ) = +π π

22k ou

AB, CD .� �� ( ) = − +π π

22k

Propriété 9

Etant donnés trois points distincts A, B et C, la droite AK( ) est bissectrice de

BAC� si et seulement si : AB, AK AK, AC .� �� ( ) = ( )+ 2k π

Propriétés 5

Quels que soient les vecteurs non nuls u�

, v�

et w��

on a :

a. u u k� �

,( ) = +0 2 π et u u k� �

, ;−( ) = +π π2

b. v u u v k� � � �

, , ;( ) = −( )+ 2 π

c. u v v w u w k� � � ��

, , , ;( )+ ( ) = ( )+ 2 π c’est ce que l’on appelle la relation de

Chasles pour les angles orientés ;

d. u v u v u v k� � � � � �

, , , .−( ) = −( ) = ( )+ +π π2

C



Propriété 10

Etant donnés trois points distincts A, B et C, on a :

AB, AC BC, BA CA , CB� �� ( )+ ( )+ ( ) = +π 22k π.

Propriété 11


Pour tout point M du cercle, distincts de A et B, on a : OA , OB MA, MB .� �� ( ) = × ( )+2 2k π

Cosinus et sinus d’un angle orienté quelconque

Définition 4

Le cosinus et le sinus d’un angle orienté u v� �

,( ) dont une mesure en radians est x, sont le cosinus et le sinus du nombre x, c’est-à-dire l’abscisse et l’ordonnée du point M du cercle trigonométrique correspondant à x.

Propriété 12

Pour tout réel quelconque x :


−x π − x

Cosinus cos cos−( ) = ( )x x cos cosπ −( ) = − ( )x x

Sinus sin sin−( ) = − ( )x x sin sinπ −( ) = ( )x x


x + π π2

− x

Cosinus cos cosx x+( ) = − ( )π cos sinπ2

−

= ( )x x

Sinus sin sinx x+( ) = − ( )π sin cosπ2

−

= ( )x x

D


Propriété 13

Pour résoudre dans une équation de la forme cos x a( ) = ou sin x a( ) =il faut d’abord vérifier si − ≤ ≤1 1a .

Si ce n’est pas le cas, l’équation n’a pas de solution.

Si c’est le cas, il y a des solutions.

Pour les trouver toutes, on cherche d’abord une solution particulière α.L’équation peut alors s’écrire : cos cosx( ) = ( )α ou sin sinx( ) = ( )α et l’on a :

cos cosx x k x k( ) = ( ) ⇔ = + = − +α α π α πou ;2 2

sin sinx x k x k( ) = ( ) ⇔ = + = − +α α π π α πou .2 2




4 Exercices d’approfondissement

Sans utiliser la calculatrice, calculer les nombres suivants.

A =

+

+

+

cos cos cos cosπ π π π8

38

58

78

.

B =

+

+

+cos sin cos sinπ π π π10

25

35

9100

1110

75

85

+

+

+

cos

sin cos

π

π π

+

sin1910

π.

C =

+

+

+sin sin sin sin25

45

65

85

π π π π

.

D =

+

+

+cos cos cos cos2 2 2 28

38

58

π π π 778π

. On rappelle que cos2 x( )signifie cos .x( )( )2

Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique.

� 2 sin .x( )− =1 0 � 2cos 3cos .2 x x( )+ ( )+ =1 0

� cos .3 0x( ) = � 2sin cos .2 x x( )+ ( ) = 2

On admet que cos .π12

6 24

= +

� Calculer :

a. cos −

π12

b. cos1112

π

c. cos1312

π

d. cos3512

π

� Montrer que : sin .π12

6 24

= −

� Calculer :

a. sin −

π12

b. sin1112

π

c. sin1312

π

d. sin3512

π

Exercice I

Exercice II

Exercice III



On considère un carré ABCD direct, c’est-à-dire tel que AB, AD .� �� ( ) = +π π

22k On

construit les triangles ABE et BFC équilatéraux et directs.

� Faire une figure correspondant à l’énoncé et donner les mesures principales des angles orientés suivants :

a. AE, AD� �� ( ) b. BC, BE

�� ( ) c. CD, CF� �� ( )

� En déduire les mesures principales des angles orientés des triangles ADE, BCE et CDF.

� a. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté EC, ED .�� ( )

b. En déduire la mesure principale de l’angle orienté DE, DC .�� ( )

� a. Comparer cette mesure avec celle de l’angle orienté DF, DC�� ( ) trouvée au �.

b. Qu’en déduit-on pour les points D, E et F ?

Propriété établie en fin de l’exercice 11 : soit deux points distincts A et B d’un cercle de centre O. Pour tout point M de l’un des arcs de cercle AB,� distinct de A et B, l’angle orienté MA, MB

� �� ( ) est constant.

Dans cet exercice, nous allons établir la propriété réciproque, à savoir : deux points distincts A et B du plan, et un réel non nul α tel que α π π∈ − ; étant

donnés, l’ensemble des points M du plan tels que MA, MB� �� ( ) = α est un arc de

cercle AB.�

On considère donc deux points distincts A et B du plan, et un réel non nul α tel que α π π∈ − ; .

On considère un point M du plan tel que MA, MB .� �� ( ) = α

� a. Construire le centre K du cercle circonscrit au triangle ABM.

b. En déduire que ce centre est indépendant du choix du point M.

� En déduire que tout point N tel que NA, NB� �� ( ) = α est nécessairement sur le

cercle de centre K passant par A.� Montrer que sur ce cercle seuls les points d’un des deux arcs de cercle AB�

conviennent.

Au cours d’une méharée dans le désert, un aventurier égaré et dont le GPS est en panne ne dispose que d’un instrument lui permettant de mesurer les angles suivant lesquels il voit deux points.

Il reconnaît autour de lui deux pics rocheux, notés P et R sur sa carte, et un arbre mythique noté M.

� Déterminer le point A où se trouve l’aventurier, sachant qu’il a mesuré que :

AR, AP� �� ( ) = +π π

32k et AM, AR .

� �� ( ) = +π π4

2k

� Construire ce point A sur la figure ci-après représentant la carte de notre aventurier.

Exercice IV

Exercice V

Exercice VI



M

R

P

■


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Math Dérivation Et Trigonometrie