Une petite histoire de la numération La numération additive et la numération de position

Une petite histoire de la numération

La numération additive et la numération de position

La numération additive

30 000 av. J.-C. : l’ère paléolithique

Pour mémoriser les

quantités : les hommes

faisaient des entailles

dans du bois ou de l’os à

l’aide de silex.

C’est-à-dire, ils

dénombrent grâce à leurs

corps (doigts, orteils,

jambes, articulations…)

afin de mémoriser les

quantités.

Ci-contre : trace récente de cette pratique,

image du XVIe siècle.

Déjà les civilisations utilisent la cartographie corporelle

Ils utilisent également les numérotations figurées

Des objets, comme des cailloux, des perles, des coquillages,

des nœuds… représentent des nombres et divers matériels

vont commencer à être mis au point : les calculi, les abaques,

les bouliers… qui pour certains vont traverser les siècles.

8000 av. J.-C. : les calculi

Au Moyen-Orient,

apparaissent les calculi.

Chaque caillou vaut

« un », et vint l’idée de

remplacer un tas de

cailloux par un caillou de

nature ou de forme

différente.

Défaut :

Ces dispositifs matériels souffrent d’une

grande faiblesse : leur impuissance à garder

trace du passé puisque chaque étape du calcul

efface la précédente.

Les premières numérations écrites

arrivent vers 3 300 av.

J.-C. en Mésopotamie.

Elles servent à gérer

terres, troupeaux,

grains… Le potier compte ses amphores.

Les premières numérations écrites sont sumériennes

La tablette d’argile (2400

ans av. J.-C.) en écriture

cunéiforme, où clous et

chevrons représentent les

chiffres de leur

numération

(Sumer : partie

méridionale de la

Mésopotamie)

Les premières numérations écrites sont sumériennes

Stèle du XXIIIe siècle av. J.-C., où le nombre des offrandes estconsigné dans le tableau de droite.

Les premières numérations écrites sont sumériennes

Exemple de table de

multiplication (2000 av.

J.-C.) conservée au

musée du Louvre,

provenant de Suse.

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne

Moins de traces de cette numération que de la précédente car le support est très fragile : ici le papyrus Rhind où sont utilisés des hiéroglyphes simplifiés (hiéroglyphes signifie écriture des dieux, de hieros : sacré et gluphein : graver)C’est ce qu’on appelle l’écriture hiératique.

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne

Sur les monuments , ils utilisent les hiéroglyphes.

A droite, le nombre 1 527.

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne

Ils savent additionner, soustraire, multiplier et diviser, ils écrivent les premières fractions.

Ci-contre : Horus, l’homme à tête de faucon

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne

Les additions sont d’une grande simplicité.

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne

Qui était :

784

+ 133

917

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne

Une multiplication réclame un peu d’organisation : soit à calculer

28 15

(Les Égyptiens

décomposaient le plus

grand des deux

nombres en

puissances de 2)

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne

Ils utilisaient les fractions mais ne les écrivaient pas comme nous. Certaines fractions étaient même divines.

Vers 3000 av. J.-C. : la numération égyptienne

Ci-dessus, l’oudjat, symbole de la clairvoyance, et qui signifie complet en égyptien. Il représente les fameuses fractions divines.

Le 1/64 manquant serait le liant magique ajouté par le mathématicien Thot, pour permettre à l’œil de fonctionner.

Vers 1800 av. J.-C., le système babylonien, numération de position déjà

La numération babylonienne n’a que 2 symboles : le clou et le chevron. Selon leurs positions, les symboles peuvent représenter des unités, ou des groupes de 60 unités, ou de 60 60 unités… C’est un système de base 60.

Vers 500 av. J.-C. : la numération romaine

Numération toujours additive, dont les symboles ont évolué au fil des siècles, mais encore utilisée aujourd’hui pour numéroter des paragraphes, des rois, écrire des siècles…

Vers 500 av. J.-C. : la numération romaine

Voilà comment les Romains comptaient, ce qui demandait énormément de signes pour écrire un nombre (ici le nombre23). Ceci a représenté une nette régression par rapport àcertaines numérations antérieures.Par contre, abaques et bouliers étaient largement utilisés.

Exemple d’abaque

Abaque (abex en

grec et abacus en

latin) désigne un

objet à surface plane

destiné à différents

usages, permettant

entre autres

d’effectuer des calculs.

L’algoriste et l’abaciste

Gravure du XVIe siècle où l’algoriste (à gauche) pratique ses algorithmes de calcul pendant que l’abaciste déplace les apices.

De l’abaque au boulier

Un abaque antique

et un boulier chinois

L’art de compter avec un boulier

Les boules du haut

valent 5 et celles du bas

valent 1.

De droite à gauche, on lit

les unités, les dizaines,

etc.

Ci-contre : 723

Vers 400 av. J.-C. : la numération grecque

Une nette avancée par rapport à la numération romaine

Enfin arrive l’invention du zéro

Son introduction se fait en trois étapes.

Le zéro est introduit dans un premier temps

quand on désire multiplier par dix. Le premier

zéro est babylonien. Il est apparu au IIIe

siècle av. J.-C..

Puis la numération positionnelle décimale fait son apparition

Initiée au IIe siècle av. J.-C. par les Chinois et

finalisée vers l’an 500 de notre ère en Inde, la

mise en place des systèmes arithmétiques

positionnels (en particulier le système

décimal) fut une découverte majeure de

l’histoire des mathématiques.

La numération positionnelle utilise alors le zéro

Chaque signe représente un chiffre et c’est la position du signe dans le nombre qui donne son ordre de grandeur. Notre numération décimale est une numération positionnelle.

Mais un chiffre doit marquer la position vide et on réutilise le zéro (2e étape de l’introduction du zéro)

La numération positionnelle utilise alors le zéro

Il devient possible d’exprimer tout nombre dans unsystème à position, qui seul permet l’utilisationgénéralisée d’algorithmes arithmétiques et qui rendsuperflu l’usage de bouliers, etc.

Algorithme : méthode de résolution de problème,

énoncée sous la forme d’une série d’opérations à

effectuer.

En Inde alors apparaît le nombre zéro

Le zéro n’était alors qu’un chiffre, et il faudraattendre le 5e siècle de notre ère, en Inde, pour qu’ilsoit considéré comme chiffre et comme nombre (3e

étape de l’introduction du zéro).Un nouveau nombre demande une définition : le zéroest le résultat de la soustraction d’un entier par lui-même.Le mot indien (sùnya) signifiait : vide, espace, vacant ; et la graphie (d’abord un cercle) étaitinspirée de la voûte céleste.

Le zéro arrive en Europe

Au IXe siècle, le zéro est introduit en Espagne par les Arabes (zéro tout comme chiffre vient de l’arabe sifr).En 982, un moine auvergnat, Gerbert d’Aurillac qui deviendra le pape Sylvestre II, après un voyage en Espagne, introduit les chiffres arabes en Europe occidentale.Ils évolueront jusqu’au XIIe siècle où ils prendront leur forme définitive, grâce entre autres à Léonard de Pise dit Fibonacci.

L’évolution de la numération moderne

De haut en bas :La nagari ancienneLa nagari moderneL’arabe ancienne

orientaleL’arabe moderne

orientaleL’arabe occidentaleLa moderne

Fin de notre petite histoire…