Connaissances sur les nombres et sur les opérations

L ’exemple du calcul mental

Nombres et opérations

• Le concept de nombre se construit en interactions avec la construction des algorithmes opératoires

• Le calcul mental est un moment privilégié pour développer les connaissances numériques des élèves

• L ’algorithme écrit prend essentiellement en compte que les chiffres et non les nombres

• 256• +125• 481• Par contre, le choix de la procédure adaptée

au calcul mental nécessite de prendre en compte les propriétés des nombres en lien avec celles des opérations

Quelques constats

calcul de somme et différences, évolution des procédures

– Une typologie des procédures qui révèlent des connaissances sur les décompositions sur les nombres peu disponibles (notamment soustractives)

– des activités préparatoires :

calcul de produit, évolution des procédures

• Addition réitérée• algorithme posé dans la tête• distributivité simple• distributivité complexe• mobilisation de décompositions soustractives• mobilisation de décompositions

multiplicatives

– L ’algorithme écrit écrase les autres procédures qu ’il faut laisser exister dans la classe

– Des erreurs dans l ’algorithme écrit qui relèvent majoritairement d ’une méconnaissance des tables.

– Des activités préparatoires visant à accroître la disponibilité des décompositions multiplicatives (installer des automatismes locaux : connaissance des tables, des décompositions multiplicatives)

Des activités préparatoires (addition, soustraction)

• Développer des automatismes pour échapper à l ’automatisme

– trouver le complément d ’un nombre à 10 ou à la dizaine supérieure

– ajouter 10 ou un nombre entier de dizaines– trouver le plus rapidement possible le résultat d ’addition

en ligne : 27 + 15 + 4 + 3 +5– décomposer additivement un nombre en nombre entier de

dizaines et nombre d ’unités– décomposer additivement un nombre pour se ramener à la

dizaine inférieure, à la dizaine supérieure

Additions et soustractions mentales

• La table d'addition et les compléments*• Table d'addition• Compléter à 10• Consigne :

– Complète 3 pour avoir 10 – ou combien manque-t-il à 3 pour avoir 10 ? – ou 3 pour aller à 10...

Activités préparatoires

Addition, soustraction

Compléter à la dizaine supérieure

– Compléter à la dizaine supérieure • 14 —> 20 32 —> 40 53 —> 60 17 —> 20• Consigne : Complète 38 à la dizaine supérieure ou 38 pour

aller à la dizaine supérieure…• 38 45 89 95

– Compléter à un nombre entier de dizaines• Consigne : Complète 125 à la dizaine supérieure ou 125 pour

aller à la dizaine supérieure ou 125 pour aller à 130…• 125 (—> 130) 131 169 451

•

Compléter à la centaine au-dessus

• Compléter à la centaine au-dessus– Consigne :

• Complète 235 à la centaine supérieure • ou 235 pour aller à la centaine supérieure • ou 235 pour aller à 300…• 235 —> 300 1 235 —> 1 300

Ajouter un nombre entier de dizaines à un nombre de deux ou

trois chiffres• Ajouter 10

– 55 + 10 38 + 10 257 + 10397 + 10

• Ajouter un nombre entier de dizaines à – 60 + 30 20 + 55 15 + 40 85 + 10– 70 + 65 38 + 60 40 + 95 74 + 40– 120 + 40 550 + 60662 + 4040 + 122

Compléter à 100 ou à un nombre de 2 chiffres*

– Compléments à 100

• 30 —> 100 25 —> 100 54 —> 100 82 —> 100

• 32 —> 42 25 —> 29 54 —> 76 82 —> 96

– Compléments

• 29 —> 31 45 —> 60 24 —> 76 16 —> 24

•

– Soustraire 100• 325 - 100 1 154 - 100 1 032 - 100 4 052 -

100– Soustraire 100 ou un nombre entier de

centaines• 810 - 100 652 - 400 385 - 200 845 -

500

– Soustraire un nombre entier de centaines• 1 210 - 200 1 570 - 300 1 370 - 500 1 360 -

400– Soustraire un nombre entier de centaines

• 4 500 - 600 3 640 - 800 5 530 - 800 2 345 - 600

– Soustractions • 2 530 - 80 4 520 - 80 2 350 - 80 8 030 -

70

AUTRES ACTIVITES

– trouver le plus rapidement possible le résultat d ’addition en ligne : 27 + 15 + 4 + 3 +5

– décomposer additivement un nombre en nombre entier de dizaines et nombre d ’unités

– décomposer additivement un nombre pour se ramener à la dizaine inférieure, à la dizaine supérieure

Activités préparatoires

Multiplication, division

Table de multiplication, multiples, diviseurs

– Tester les tables de multiplication

– Multiples• Consigne : 48 est-il multiple de 6?…• 18 multiple de 9 36 multiple de 6

– Quotients entiers• Consigne : 42 divisé par 6 ? ou Quel est le quotient

de 42 par 6 ?…• 42: 6 56: 8 49: 7 25 : 5

Décompositions multiplicatives

– Écris sous la forme d'un produit 30…• 30 48 24 12

– trouver des décompositions multiplicatives d’une puissance de 2

– jeu du télégramme

Règles des zéros• Multiplier par 10 un nombre de deux chiffres

– 5 x 10 27 x 10 82 x 10 lOx78– 60 dizaines l0x56 10 x 67 94 x 10

• Multiplier par 10 un nombre de trois chiffres– 321 x 10 245 dizaines 602 dizaines 475 x 10– 540 dizaines 10 x 900 765 x 10 296 x 10

• Multiplier par 10 un nombre de quatre chiffres– 1 000 x 10 1 800 x 10 5 400 dizaines 2 508 x 10– 3 000 dizaines 3 780 x 10 2 101 x 10 3 562 x 10

• Multiplier par 10– Consigne : Multiplier le nombre 3 par 10, le résultat par 10 et

ainsi de suite : 3 8 12 20 55 98 7 1 102

Multiplier par 100, par 1 000• Produits :

– 3 x 100 100 x 89100 x 90 45 x 100– Produits : 650 x 100 100 x 305 642 x 100

100 x 504

• Multiplier par 100– 1 002 x 100 100 x 5 360 2 600 x 100 2740

x 100

• Multiplier par 1 000– 241 x 1 000 1 000 x 251 1 325 x 1 000 3 207

x 1 000

•

Diviser par 10, 100, 1 000 (quotient entier

• Division par 10– Consigne : Diviser le nombre 12 000 par 10, le résultat par

10 et ainsi de suite.– 12 000 1 500 000 3 450 000 10 500

000– 45 millions 28 millions 247 millions 770

millions

• Division par 10– 60: 10 120: 10 1 350: 10 8 590: 10

• Quotient entier par 10– Consigne : Quel est le quotient entier de 62 par 10 ?... ou

Quel est le nombre de dizaines de 62 ?…– 62 125 1356 8592

Division par 100, par 1 000• 12 000 : 1000 3 800: 100 54 000: 100• Quotient entier par 100, par 1 000

– Consigne Quel est le quotient entier de 620 par l00?...

• Suites de multiplications et divisions par 10, 100, 1 000– 32 x 1 000: 100 x 10 x loo: 1 000

Multiplier par 5, diviser par 5

– Multiplication par 5

• l0x5 100 x 5 5 x 200 5 x 600

• 42 x 5 5 x 620 540 x 5 5 x 230• 152 x 5 5 x 263 1 000 x 5

3 000 x 5– Division par 5

• 70: 5 100: 5 400: 5 255 5

Multiplier et diviser par 50• Produits par 50

– 3 x 50 18 x 50 50 x 50 13 x 50

• Multiplier un nombre par 5, 50, 500– 27 x 5 27 x 50 27 x 500

• Division par 50– 500: 50 2 000: 50 1 500: 50 7 000: 50

• Quel est le quotient entier (et le reste) de 165 par 50 ?– 165 par 50 860 par 50 2640 3460

•

Multiplier et diviser par 25

– 4 x 2518 x 25 50 x 25 25 x 32– Multiplier un nombre par25, 250, 2500

• 3 x 25 8 x 25 17 x 25 54 x 25– Quotients exacts par 25

• 100 : 25 300 : 25 500: 25 1 200: 25– Quotients entiers par 25

• Consigne : Quel est le quotient entier (et le reste) de 165 par 25 ?…

– 165 780 745 1355

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