Cours econométrie des séries temporelles (1)

Cours

ECONOMETRIE DES SERIES TEMPORELLES

NIVEAU : troisième semestre

Master Economie Internationale, Gouvernance et Développement

Réalisé par :

Abdelhamid EL BOUHADI

Abdelkader EL KHIDER

Année universitaire :

2014-2015

Université Cadi Ayyad

Faculté des Sciences Juridiques,Économiques et Sociales,

Marrakech

Département des SciencesEconomiques

SOMMAIRE

Introduction :

Les séries temporelles : Histoire, intérêts et limites

I. Les processus stationnaires

II. Les processus VAR

III. Les processus non stationnaires

IV. Le processus non linéaires stochastiques

ECONOMETRIE DESSERIES TEMPORELLES

Plan du cours:

Chapitre introductif : Econométrie des séries temporellesSection1. Histoire des séries temporelles ;

Section2. Intérêts et limites.

Chapitre 1. Les processus stationnairesSection1. Généralités ;

1. Le théorème de Wold (1954) ;2. Les caractéristiques Générales d’une ST ;

2.1. Moyenne ;2.2. Variance ;

2.3. Fonction d’autocovariance ;2.4. Fonction d’autocorrélation ;

2.5. Fonction d’autocorrélation partielle ;2.6. Le spectre ;2.7. Applications

Section2. Les processus ARMA1. Définition des processus ARMA ;

1.1. AR(p) ;1.2. MA(q) ;

1.3. ARMA(p,q)1.4. Les extensions des processus ARMA

1.4.1. ARIMA ;1.4.2. ARFIMA.

Chapitre 2. Les processus VARSection1. Définition et formulation du modèle VARSection2. Estimation des paramètres d’un VAR(p)

Section3. Validation et tests de spécification du VARSection4. Prévision du modèle VAR

Section5. CausalitéSection6. Méthodes d’identification des chocs

6.1.Décomposition de Cholesky ;6.2.Les fonctions de réponse impulsionnelle

Section7. Applications

Chapitre 3. Les processus non stationnairesSection1. Le concept de la non stationnarité ;

Section2. Les tests de racine unitaire.Section3 Applications

Chapitre 4. Processus non linéaires stochastiquesSection1. La linéarité est une hypothèse très restrictive

Section2. Les modèles ARCH et leurs extensionsSection3. Applications

Bibliographie :Borbonnais, économétrie, Dunod

Borbonnais et Terraza, Analyse des séries temporelles en économie, PUF,Lardic et Mignon, Econométrie des séries temporelles macroéconomiques et financières,

Economica,Gujarati, Basic Econometrics, McGraw Hill.

IINTRODUCTION

L’économétrie a envahi l’analyse économique, si bienqu’il est devenu courant de rencontrer au fil d’unarticle les termes suivants : ARMA, VAR, ARCH,GARCH, EGARCH, NON STATIONNAIRE,RACINE UNITAIRE, TENDANCESTOCHASTIQUE,… L’objectif de ce cours est derendre intelligibles ces concepts et les techniquesfondamentales qui leur sont associées. Notre accentdans ce cours portera sur l’analyse des sériestemporelles en économie. Nous y analyserons lecomportement des séries financières etmacroéconomiques.

Comment expliquer le développement de l’économétrie des sériestemporelles ? Pourquoi ne s’être pas contenté des méthodeséconométriques usuelles, les «Moindres Carrés Ordinaires», etleurs divers prolongements (MCG, etc.) ?

On peut répondre à ces questions selon deux optiques. Toutd’abord, le développement de la macro-dynamique théorique, desmodèles de théorie financière moderne a débouché sur un certainnombre de problèmes empiriques qui nécessitent la mise au pointd’outils appropriés et nouveaux. Ensuite, dans un certain nombrede cas, la méthode d’estimation des MCO ne s’applique pas, toutsimplement et si on l’applique nous induirons en erreur tout unprocessus d’explications possible. Le traitement économétriquedes modèles nécessite une analyse préalable des données. Notreattention se portera successivement sur les profils théoriques desséries temporelles, sur la détection de la non stationnarité, sur letravail concret d’estimation et enfin sur les problèmes d’analysedes résultats.

QU’EST-CE QU’UNE SÉRIETEMPORELLE (série chronologique, chronique ou processus temporel)?

La série temporelle (ST) peut être discrète ou continu. Dans les études réalisées surles variables macroéconomiques, monétaires ou financières, on considère quel’observation des séries temporelles est discrète.

Le terme « séries temporelles » désigne à la fois les séries réelles chronologiques et unesuite théorique de variables aléatoires indicées par le temps et qui va servir à modéliserces premières.

Une ST est une suite de nb réels, indexés par les entiers relatifs tels que le temps. Pourchaque unité du temps, la valeur de la quantité étudiée « Xt » est dite variable aléatoire.L’ensemble des valeurs « Xt » quand t varie est appelé « processus aléatoire »:

{ }ZetX t ,

Une ST est ainsi la réalisation d’un processusaléatoire.

Les premiers travaux, pionniers, sur les processus aléatoires remontentaux années 1926 et 1927 quand Yule avait introduit le concept de choc

aléatoire (dit aussi impulsif ou explosif).Yule (1926) démontre que le fait de différencier un bruit aléatoire

introduit des autocorrélations artificielles.

Dans le même ordre d’idées, indépendamment deYule, Eugene Slutsky (1880-1948), montre en 1927,

1933 et en 1938 qu’en calculant une moyenne mobileà partir d’un bruit blanc, on obtient une série dont les

observations ne sont pas indépendantes et qui peutprésenter des cycles apparents (« effet Slutsky »).

Ce sont là probablement les deux premiers exemples de processus de moyenne mobileétudiés formellement.

En 1927, Yule propose le modèle autorégressif et trouve qu’un modèle autorégressifd’ordre 2 représente assez bien le comportement des données de Wolfer sur les taches

solaires (1749-1924). Yule montre que le modèle autorégressif peut conduire àl’apparition de fluctuations cycliques. Toutefois, les caractéristiques d’amplitude et de

phase de ces cycles sont variables.En 1938, en se référant au temps, Wold décompose les processus aléatoires selon deuxprocessus orthogonaux: un est qualifié de déterminable (on peut prévoir son évolutionet son comportement) et l’autre est qualifié d’indéterminable (il est le résultat d’unecombinaison linéaire infinie de chocs aléatoires: c’est le processus de Yule ; il s’agit

d’un processus dont le comportement au cours du temps est imprévisible).

En 1954, Wold a mis en application, à partir de la classe desprocessus indéterminables, les modèles linéaires ARMA

(AutoRegressive Moving Average) stationnaires. La partieautorégressive de ces processus notée AR est constituée par unecombinaison linéaire finie des valeurs passées du processus. La

partie moyenne mobile, notée MA est constituée d’unecombinaison linéaire finie en t des valeurs passées d’un bruit blanc,

c’est-à-dire d’un processus aléatoire, formé d’une succession devariables aléatoires indépendantes d’espérance mathématique nulle.

En 1970 et en 1976, Box et Jenkins rassemblaient l’ensemble deces travaux pour en dériver une méthodologie itérative dans le but

de faire la prévision d’une série temporelle.Jusqu’à la fin des années 1970, les processus aléatoires en

économétrie ont été considérés comme étant stationnaires c’est-à-dire, on a souvent considéré que leurs propriétés statistiques

(moyenne, variance, etc.) sont stables, n’évoluent pas au cours dutemps.

Quelques problèmes spécifiques posés par les sériestemporelles

Il existe toute une gamme de problèmes spécifiques aux sérieschronologiques qui ne sont pas étrangers aux praticiens de

statistiques descriptives et qui vont nécessiter la mise au pointd’un certain nombre de techniques pour un traitement

économétrique (c’est-à-dire à fondements probabilistes). C’estlà la première raison du développement

de l’économétrie des séries temporelles. Ces problèmes sontles suivants : la prévision, l’identification et le retrait de la

tendance, la correction des variations saisonnières, la détectionde rupture, la séparation du court terme et du long terme,

l’étude des anticipations des agents…

I. Le concept de stationnaritéRappelons toujours que Xt, t = 1,…,T (T: nombre

d’observations) est une variable aléatoire.Avant d’effectuer des tests précis et savants sur cette variablealéatoire et de modéliser son processus générateur, il convient

auparavant d’étudier ses caractéristiques stochastiques(espérance, variance, etc.).

Avant d’effectuer les méthodes classiques (processus linéaires,normal ARMA, par exemple) ou modernes (processus nonnormal et non linaire ARCH, GARCH et leurs classes s’ydécoulant), il est nécessaire de vérifier que pour les séries

étudiées, l’espérance et la variance restent stables au cours dutemps.

1. Le concept de stationnarité forte

Le processus Xt est stationnaire au sens fortsi pour tout (t1, t2,…,tn) avec ti єT; i = 1,…,n,et si pour tout τ єT avec ti+τ єT ; {Xt1,…, Xtn}a la même distribution de probabilité jointe

que {Xt1+τ,…, Xtn+τ}.

En d’autres termes, un processus eststationnaire au sens fort, si toutes ses

caractéristiques (les moments d’ordre 1, 2, 3)sont invariantes au cours du temps.

2. Le concept de stationnarité faibleLe concept de stationnarité forte est trop rigide. Il faut, des fois, enfaire l’économie pour ne pas alourdir l’analyse du processus desST. Il est donc recommandable de faire appel au concept destationnarité faible.« Le processus Xt est stationnaire au sens faible si trois conditionssont réunies:1. E(Xt

2) = Var(Xt) < ∞ v t є Z: La variance est finie etindépendante du temps ;2. E(Xt) = E(Xt+h) = m v t, h є Z: La moyenne est constante etindépendante du temps ;3. Cov (Xt, Xt+h) = E[(Xt-m)(Xt+h-m)] = γh ; v t, h є Z où γ est lafonction d’autocovariance du processus: On dit que la covarianceest indépendante du temps.Il paraît, à partir de ces caractéristiques, qu’un processus du BB εt,dans lequel les εt sont indépendants et de même loi N(0,σε2) eststationnaire.

0

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

3200

3600

500 1000 1500 2000 2500

ATW

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

500 1000 1500 2000 2500

ATWRENTA

Les tests de racine unitaire en vuede stationnariser la série: ADF etPP

Deux propositions ont été faites par Nelson et Plosser (1982). La première est l’acceptation dela présence d’une racine unitaire dans la plupart des séries macroéconomiques et financières.La seconde affirme que la dynamique engendrée par les chocs permanents domine celle quiprovient des chocs transitoires.Par ailleurs, Nelson et Plosser, dans leur article de 1982, « Trends and Random Walks inMacroeconomic Time Series » ont utilisé les notions de processus TS (Trend Stationary) etDS (Difference Stationary) pour décrire la non stationnarité.Les premiers rendent compte de la non stationnarité de type déterministe : rappelons qu’ilssont écrits comme la somme d’une tendance déterministe et de mouvements aléatoires :

tt btax e++= soit å¥

=-++

0iitibta ea avec å

¥

=

¥<<0

0i

ia

Les mouvements aléatoires représentent le cycle, ils suivent un processus stochastiquestationnaire (ARMA) de moyenne nulle.

Autrement :ttt fx e+= où tf est une fonction polynomiale du temps et te un processus stationnaire de

type ARMA.

Le processus TS le plus simple est représenté par une fonction polynomiale de degré 1. Ceprocessus s’écrit :

tt taax e++= 10

Si te est un BB, les caractéristiques de ce processus sont alors :

taaEtaaxE tt 1010 )()( +=++= e2)(0)( ese =+= tt VxV

0),( ' =tt xxCov pour tout '.tt ¹

Ce processus TS est non stationnaire car )( txE dépend du temps. Comme cette espérance estégale à taa 10 + , il s’agit à l’instant t d’un certain chiffre.

Les processus DS sont des processus que l’ont peut rendre stationnaire par l’utilisation d’unfiltre aux différences : tt

d xB eb +=- )1( où te est un processus stationnaire de type ARMAou encore un BB, b une constante réelle et d l’ordre du filtre aux différences.Ces processus sont souvent représentés en utilisant le filtre aux différences premières (d = 1).Le processus est dit alors processus de premier ordre. Il s’écrit :

ttxB eb +=- )1(

ttt xx eb ++= -1 où te est un processus stationnaire de type un BB.L’introduction de la constanteb dans le processus DS permet de définir deux processusdifférents :- :0=b le processus DS est dit sans dérive. Il s’écrit : ttt xx e+= -1 . Il s’agit d’un processusautorégressif d’ordre 1 avec paramètre 1=f ;- :0¹b le processus porte alors le nom de processus DS avec dérive. Il s’écrit :

ttt xx eb ++= -1 .

En résumé, le processus TS représente lesprocessus caractérisés par une nonstationnarité de nature déterministe et leprocessus DS représente les processusdont la non stationnarité est de naturestochastique.

Les statistiques de Dickey et Fuller ont pourobjet de tester l’hypothèse nulle deprocessus non stationnaire contrel’hypothèse alternative de processusstationnaire.Les modèles servant à la construction deces tests sont au nombre de trois :

Modèle (1) : modèle autorégressifd’ordre 1 : AR(1)

Comme nous l’avons déjà signalé auparavant, l’étude de lavolatilité des cours nous permet de confirmer notre propos

selon lequel toute application économétrique se basant sur lalinéarité de la fonction de régression et sur la normalité de

l’évolution des rentabilités qui valide l’efficience au sens faible(celle des prix ou des rentabilités) est dénuée de sens.

La principale propriété économétrique des séries financières estleur hétéroscédasticité : le caractère non normal de leur

distribution (déjà démontré dans le tableau précédent) prouvépar la nette grandeur de la statistique de Jarque et Bera conduit

à la suspicion quant aux résultats des tests classiques del’efficience. Eu égard de cette hétéroscédasticité, dite

conditionnelle, nous allons effectuer deux tests : le premier estcelui de Ljung-Box et qui porte sur le carré des rentabilités

(mesure approximative de la volatilité) ; le second test, ARCH-LM, est un test de confirmation, dont les résultats sont

identiques à ceux de test de White. Les résultats du test sontportés dans le tableau ci-dessous :

Séries Q-statistique des 2tr Test de White Test ARCH-LM

IGB 266,00** 198,0095* 105,2077*ONA 114,57** 85,77389* 86,83469*BMCE 23,988 72,31400* 22,24831*SNI 170,42** 76,23404* 47,66264*WAFABANK 70,584** 54,48780* 23,11336*BCM 171,69** 60,04502* 57,77640*SAMIR 0,0430 0,014803 0,002538SONASID 98,678** 56,65491* 46,95642*WAFAA 74,159** 0,687029 0,049591CIOR 27,706** 38,92363* 17,37687*SMI 343,43** 53,98816* 313,0113*

Tableau 43. Test ARCH-LM. La statistique du test ARCH-LM est

comparée à la valeur de chi-deux à 5 degrés de liberté lue sur la

table (qui est ici de );84,3)1(205,0 =c 1 est l’ordre de retard retenu

dans le test. L’astérisque (*) exprime le rejet de l’hypothèse nulle

d’homoscédasticité au seuil de 5%.. (**) : indique le rejet de

l’hypothèse de non autocorrélation des rentabilités au carré, au seuil de

5% avec ordre de retard 15.

D’après les résultats trouvés et compte tenudes valeurs prises par la statistique Q de

Ljung Box pour le retard 15 des différentesvaleurs à l’exception de BMCE et WAFAA,

nous rejetons l’hypothèse de nonautocorrélation des rentabilités au carré. Pourla validité de nos tests de classe ARCH, nous

excluons à la fois les sérieshomoscédastiques et les séries non

autocorrélées : BMCE, SAMIR et WAFAA. Eneffet, notre stratégie de test sera faite de la

façon décrite ci-dessous :

OBSERVATION DES GRAPHIQUES DES SERIES ETUDIEES

APPLICATION DE TESTS DE RACINE UNITAIRE

NON STATIONNARITE(déjà mise en évidence )

CALCUL DES RENTABILITES)log()log( 1--= ttt sériesérier

CORRELOGRAMME DES 2tr

(existence d’effet ARCH)

ESTIMATION DES RENTABILITES=tr constante te+

OBSERVATION DES RESIDUS DE CETTE REGRESSION

Kurtosis > 3 Test LMSkewness ¹ 0 84,3)1(2

05,02 =>* cRn

Jarque-Bera > 5,99

EXISTENCE D’EFFET ARCH

En suivant cette stratégie, notre étude vise deux objectifs essentiels :§ trouver la modélisation parmi les classes ARCH qui décrit au mieux la volatilité des cours

des actions de la bourse de Casablanca ;§ chercher à savoir si la modélisation de la volatilité par un processus de type ARCH, est

exploitable pour réaliser des gains anormaux.

Nous considérons dans cette étude différentes classes de ARCH pour différentesvaleurs de p et q : ARCH(p), GARCH(p, q) et ARCH-M. Quatre types de statistiques vont nouspermettre de sélectionner le meilleur modèle, celui bien entendu qui répond aux meilleurscritères suivants :

§ le T de Student : sa valeur nous renseigne sur la significativité du paramètre auquel il faitréférence. Si sa valeur absolue est inférieure à 1,96 pour un seul des paramètres, nouspouvons éliminer immédiatement le modèle en question ;§ les critères d’entropie (critère d’Akaike ou AIC et le critère de Schwartz) : le meilleurmodèle est celui dont les valeurs de ces critères sont les plus faibles ;§ les statistiques descriptives des résidus standardisés : le meilleur modèle est celui dont leskewness, la kortosis et le Jarque et Bera sont les plus proches de ceux de la loi normale ;§ les statistiques se référant à la méthode d’estimation (SSR et Log likelihood) : le meilleurmodèle est celui dont la somme des carrés des résidus est minimisée et dont le logarithme dela vraisemblance est maximisé.

Sur la base de ces critères, nous allonsprocéder à l’estimation de plusieurs

modèles et nous retiendrons parmi eux,ceux qui sont valides. Les modèles à

estimer sont :

2222

211

2 ...:ARCH(p) ptpttt --- +++= eaeaeas

2222

211

2222

211

2 ......:q)GARCH(p, qtqttptpttt ------ +++++++= sbsbsbeaeaeas

211

2:M-ARCH -+= tt c eas 21 tt mcr s+¢=

avec tr est la rentabilité de la valeur considérée à l’instant t. Lesrésultats de cette estimation sont regroupés dans les tableaux suivants :

ARCH(2)0,000048(40,14936)

0,488507(11,47397)

0,227989(7,691387)

–9,14729

–9,12927

0,117694

3639,878

0,532333

12,38657

4133,557

ModèlesARCH(1)0,000006(40,72223)

0,541864(11,33624)

–9,14928

–9,13577

0,117671

3614,959

0,411712

10,92499

2944,048

Statistiques

Paramètresc

a1

a2

Critères d’entropie

AIC

SCHWARZ

SSR

Log likelihood

Résidus standardisés

Skewness

Kurtosis

Jarque-Bera

ARCH(2)-M0,000016(9,416329)

0,612092(1460142)

–0,162955(–3,472809)

0,563588(15,76199)

–8,816758

–8,792723

0,162720

3528,764

–0,476482

10,88155

2922,874

ARCH(1)-M0,000022(16,10108)

0,561304(15,82788)

0,437170(17,27220)

–8,821029

–8,798501

0,162805

3527,592

–0,453246

10,77565

2841,977

GARCH(2,1)0,000016(9,608464)

0,617326(14,66442)

0,557623(15,39390)

–0,162015(–3,414550)

–8,816832

–8,794304

0,163490

3528,615

–0,483956

10,84210

2895,438

ModèlesGARCH(1,1)

0,000022(16,32501)

0,567241(15,89496)

0,432558(19,20563)

–8,818587

–8,800564

0,163497

3527,390

–0,458837

10,74560

2821,290

Statistiques

Paramètresc

a1

b1

a2

b2

m1

Critères d’entropie

AIC

SCHWARZ

SSR

Log likelihoodRésidus standardisés

Skewness

Kurtosis

Jarque-Bera

Si nous revenons au modèleGARCH(p,q):

Un niveau élevé du modèle GARCH, noté GARCH(p,q),peut être estimé en choisissant aussi bien p et/ou q plusgrands que 1. Il s’écrit :

åå=

-=

- ++=q

iiti

p

jjtjt

1

2

1

22 easbws , où :

p est l’ordre du terme GARCH et q est l’ordre de termeARCH.

Si nous prenons maintenantl’exemple de GARCH(1,1):

Dans le développement d'un modèle ARCH, on trouve deux spécifications distinctes : une pour lamoyenne conditionnelle et une pour la variance conditionnelle.

Le Modèle GARCH (1,1)

Dans la spécification GARCH (1,1) on a :

ttt xy eg +¢= (1)2

12

12

-- ++= ttt bsaews (2)

L'équation de la moyenne exprimée en (1) est écrite comme une fonction de variables exogènes avecun terme d'erreur. Tandis que : 2

ts est la variance conditionnelle (la variance prévue basée surl'information passée). L'équation de la variance conditionnelle indiquée dans (2) est une fonction detrois termes :

§ La moyenne : ;w§ L’information nouvelle concernant la volatilité de la période précédente,

mesurée comme le retard du carré des résidus de l'équation de moyenne :2

1-te (le terme ARCH) ;§ La variance conditionnelle décalée d’une période : (le terme GARCH).

Le (1,1) dans GARCH (1,1) se réfère à laprésence d'un terme GARCH de premierordre (le premier 1) et un terme ARCH de

premier ordre (le deuxième 1). Unmodèle ARCH ordinaire est un cas

particulier d'une spécification GARCHdans laquelle il n'y a pas de variance

conditionnelle retardée dans l'équationde la variance conditionnelle.

Dependent Variable: DMASIMethod: ML - ARCH (Marquardt)Date: 02/05/09 Time: 13:48Sample(adjusted): 3 3798Included observations: 3796 after adjusting endpointsConvergence achieved after 18 iterationsVariance backcast: ON

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 0.00032736944364 6.07972606639e-05 5.38460845218 7.26025179094e-08DMASI(-1) 0.325639309456 0.0144234748464 22.5770359032 7.28752126073e-113

Variance Equation

C 1.01774415833e-06 7.61547051975e-08 13.3641664778 9.79257917676e-41ARCH(1) 0.270773459301 0.00952609299286 28.4243980721 1.01013649321e-177

GARCH(1) 0.756363835167 0.00642722601069 117.681225759 0

R-squared 0.107444279414 Mean dependent var 0.000667124369309Adjusted R-squared 0.106502516585 S.D. dependent var 0.00657992884292S.E. of regression 0.00621967746351 Akaike info criterion -7.78299907666Sum squared resid 0.146652513961 Schwarz criterion -7.77477765522Log likelihood 14777.1322475 F-statistic 114.088469174Durbin-Watson stat 1.97927814027 Prob(F-statistic) 0

PREVISION (forecasting):La commande Forecast utilise

l’estimation du modèle ARCH pourcalculer les prévisions statiques et

dynamiques de la moyenne, son erreurstandard prévue et la variance

conditionnelle. Pour construire lesprévisions dynamiques de la variable

dmasi utilisant le modèle GARCH (1,1),nous remplissons la boîte de dialogue

de la prévision.

Ce graphique reflète la prévision de dmasi del'équation de la moyenne avec les deux bandesd'écarts-types. Bien que la prévision prédit une

apparence constante de la moyenne au cours dutemps, elle augmente en fait légèrement au cours dela période de prévision à cause du signe positif duterme de GARCH dans l'équation de la moyenne.

Nous remarquons aussi que les chocs de volatilité(mesurée par la variance conditionnelle) persistentpuisque la somme des termes ARCH ET GARCH estProche de 1. En effet, on peut dire que les prévisions

de la variance conditionnelle convergent à l'étatstable tout à fait lentement et donc en prenant un

certain temps.

Les différentes approches et les différentes modélisations

On n’évoque les techniques descriptives simples (désaisonnalisation parmoyenne mobile, prévision par lissage) que pour faire le lien avec ce que

connaît le lecteur etmontrer l’avantage d’une modélisation. La modélisation elle-même n’estpas unifiée même si elle repose la plupart du temps sur la méthodologie

de Box et Jenkins et le recours aux processus (S) ARIMA, qui serontl’objet de cette présentation. Cette méthodologie s’applique d’ailleurs à

différentes approches dont l’usage n’est pas exclusif. Une premièreapproche est constituée par l’analyse spectrale directement importée dela physique : on décompose un processus Xt en composantes périodiques

en adoptant le critère des fréquences (les petites fréquencescorrespondent au long terme de type composante tendancielle tandis queles grandes fréquences correspondent au court terme de type composantesaisonnière). Une seconde approche est l’analyse temporelle proprementdite qui consiste en l’étude directe des corrélations entre Xt et les valeurs

passées de X.

1 Alpha a Α α2 Bêta b Β β3 Gamma g Γ γ4 Delta d Δ δ5 Epsilon e Ε ε6 Dzêta z Ζ ζ7 Êta h Η η8 Thêta q Θ θ ϑ9 iota i Ι ι

10 Kappa k Κ κ11 Lambda l Λ λ12 Mu m Μ μ13 Nu n Ν ν14 Xi x Ξ ξ15 Omicron o Ο ο16 Pi p Π π17 Rhô r Ρ ρ18 Sigma s Σ σ ς19 Tau t Τ τ20 Upsilon u Υ υ ϒ21 Phi j Φ φ22 Khi c Χ χ23 Psi y Ψ ψ24 Oméga w Ω ω