2 cacul vectoriel des forces

Calculvectoriel

des forces

notions élémentaires

Conception de structuresAutomne 2012

R. Pleau

École d’architecture, Université Laval

vendredi 7 septembre 12

2Définition d’une force

Par définition une force est une action mécanique qui tend à mettre un corps rigide en mouvement.

force de poussée

En poussant, un homme exerce une forcehorizontale sur une voiture dans le but dela mettre en mouvement

Si le corps résiste à ce mouvement, il obéit aux lois de la mécanique statique. C’est le cas, par exemple, d’une poutre en bois qui supporte le poids d’un plancher.

Si le corps est en mouvement, sa trajectoire et sa vitesse obéissent aux loi de la mécanique dynamique. C’est le cas notamment du mouvement des planètes qui gravitent autour du Soleil sous l’action de la force gravitationnelle.

vendredi 7 septembre 12

3Nature vectorielle des forces

Une force est définie par trois composantes: son intensité, son orientation etson point d’application.

Selon la seconde loi du mouvement de Newton, la force (F) est définie comme le produit d’une masse (m) et d’une accélération (a) :

F = m a

Dans le système international (S.I.), la masse est exprimée en kilogrammes (kg), l’accélération en mètres par seconde au carré (m/s2) et la force en Newton (N). Par définition on a que:

1 N = 1 kg m/s2

Sur terre, l’accélération gravitationnelle est égale à 9,81 m/s2 ce qui signifie qu’une force de 1 N correspond environ à un poids de 100 g (0,1 kg x 9,81 m/s2 = 0.981 N). Comme cet unité de mesure est très petite, on utilisera généralement le kilonewton (kN) pour mesurer les forces; 1 kN correspondant approximativement à un poids de 100 kg.

vendredi 7 septembre 12

4Nature vectorielle des forces

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

1 cm = 10 kN

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

50 kN

1 cm = 10 kN

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

50 kN

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

50 kN

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

50 kN

1 cm = 10 kN

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

50 kN 100 kN

1 cm = 10 kN

vendredi 7 septembre 12

Les forces sont représentées par des vecteurs qui sont caractérisés par leur intensité (exprimée en kN) et leur orientation. La longueur du vecteur est proportionnelle à l’intensité de la force.

4Nature vectorielle des forces

50 kN 100 kN

vendredi 7 septembre 12

5Addition vectorielle des forces

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

5Addition vectorielle des forces

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

5Addition vectorielle des forces

a

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a

5Addition vectorielle des forces

a

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a Polygone de forces

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a Polygone de forces

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

a

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a Polygone de forces

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

100

kN

a

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a Polygone de forces

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

4

3

125 kN

100

kN

a

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a Polygone de forces

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

4

3

125 kN

100

kN75 kN

a

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a Polygone de forces

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

4

3

125 kN

100

kN75 kN

force résultante

a

vendredi 7 septembre 12

Lorsque qu’un corps est soumis à plusieurs forces, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une seule force, appelée force résultante, qui produit le même effet sur le corps en question. La force résultante est obtenue en faisant l’addition vectorielle de forces, c’est-à-dire en traçant un polygone de forces qui aligne chacune des forces bout-à-bout.

Le vecteur qui unit le point de départ du polygonede force à son point d’arrivée constituela force résultante.

Diagramme des forcessollicitant le point a Polygone de forces

5Addition vectorielle des forces

a 75 kN

100

kN

250 kN125 kN4

3

4

3

125 kN

100

kN75 kN

force résultante

a

vendredi 7 septembre 12

6Addition vectorielle des forces

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

a

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

a

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

100

kN

a

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

a

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

a

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a a

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

a

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

75 kNa

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa

100

kN

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa

100

kN

250 kN

force résultante

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa a

100

kN

250 kN

force résultante

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa

Polygone de forces

a

100

kN

250 kN

force résultante

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa

Polygone de forces

4

3

125 kN

a

100

kN

250 kN

force résultante

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

a

100

kN

250 kN

force résultante

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

a

100

kN

250 kN

force résultante

vendredi 7 septembre 12

L’ordre d’addition des forces n’a aucune importance.

6Addition vectorielle des forces

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kN

force résultante

a

Polygone de forces

4

3

125 kN

75 kNa

Polygone de forces

4

3

125 kN

100

kN

75 kN

250 kNforce résultante

a

100

kN

250 kN

force résultante

vendredi 7 septembre 12

7Décomposition vectorielledes forces

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

a

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

4

3

250 kN

a

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

4

3

250 kN

a

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

4

3

250 kN

a

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

4

3

250 kN

200

kN

a

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

4

3

250 kN

200

kN

a

150 kN

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

4

3

250 kN

200

kN

a

150 kN

a

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

4

3

250 kN

200

kN

a

150 kN

200

kN

a

vendredi 7 septembre 12

Inversement, on peut aussi décomposer une force en deux ou plusieurs composantes. Par exemple, on pourrait décomposer la force résultante en deux composantes orthogonales: une force horizontale de 150 kN et une force verticale de 200 kN.

7Décomposition vectorielledes forces

4

3

250 kN

200

kN

a

150 kN

200

kN

150 kNa

vendredi 7 septembre 12

8Représentation vectorielledes forces

vendredi 7 septembre 12

La figure suivante illustre trois combinaisons de charge qui produisent exactement le même effet sur le point a.

8Représentation vectorielledes forces

vendredi 7 septembre 12

La figure suivante illustre trois combinaisons de charge qui produisent exactement le même effet sur le point a.

8Représentation vectorielledes forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

vendredi 7 septembre 12

La figure suivante illustre trois combinaisons de charge qui produisent exactement le même effet sur le point a.

8Représentation vectorielledes forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

force résultante

a

250 kN

vendredi 7 septembre 12

La figure suivante illustre trois combinaisons de charge qui produisent exactement le même effet sur le point a.

8Représentation vectorielledes forces

a 75 kN

100

kN

125 kN4

3

force résultante

a

250 kN

200

kN

150 kNa

vendredi 7 septembre 12

9Équilibre statique des forces

1 kN 1 kN

L’équilibre statique des forces impose que si un homme exerce une poussée sur un mur, le mur exerce une poussée égale mais de direction opposée sur l’homme

vendredi 7 septembre 12

Pour qu’un corps soit en équilibre statique, il faut que la résultante de toutes les forces qui le sollicitent soit nulle. Cela signifie que, lorsque l’on trace le polygone de forces, le point de départ et le point d’arrivée sont confondus (on dit alors que le polygone est fermé).

9Équilibre statique des forces

1 kN 1 kN

L’équilibre statique des forces impose que si un homme exerce une poussée sur un mur, le mur exerce une poussée égale mais de direction opposée sur l’homme

vendredi 7 septembre 12

Pour qu’un corps soit en équilibre statique, il faut que la résultante de toutes les forces qui le sollicitent soit nulle. Cela signifie que, lorsque l’on trace le polygone de forces, le point de départ et le point d’arrivée sont confondus (on dit alors que le polygone est fermé).

9Équilibre statique des forces

Cela correspond à la troisième loi du mouvement de Newton qui veut que l’action soit égale à la réaction. Dans une structure, les réactions d’appui s’ajustent afin de satisfaire cette condition et de préserver l’équilibre statique.

1 kN 1 kN

L’équilibre statique des forces impose que si un homme exerce une poussée sur un mur, le mur exerce une poussée égale mais de direction opposée sur l’homme

vendredi 7 septembre 12

Pour qu’un corps soit en équilibre statique, il faut que la résultante de toutes les forces qui le sollicitent soit nulle. Cela signifie que, lorsque l’on trace le polygone de forces, le point de départ et le point d’arrivée sont confondus (on dit alors que le polygone est fermé).

9Équilibre statique des forces

Cela correspond à la troisième loi du mouvement de Newton qui veut que l’action soit égale à la réaction. Dans une structure, les réactions d’appui s’ajustent afin de satisfaire cette condition et de préserver l’équilibre statique.

Un corps est dit en équilibre statique lorsqu’il n’est pas en mouvement.

1 kN 1 kN

L’équilibre statique des forces impose que si un homme exerce une poussée sur un mur, le mur exerce une poussée égale mais de direction opposée sur l’homme

vendredi 7 septembre 12

Sur terrain plat, la réaction d’appui du sol s’oppose au poids du cycliste.

10Exemple d’un bicyclette

vendredi 7 septembre 12

Dans une courbe, une force horizontale s’ajoute due à l’accélération centrifuge. La bicyclette s’incline alors naturellement afin que la réaction d’appui du sol soit dans l’axe de la force résultante qui s’exerce sur le cycliste.

11Exemple d’un bicyclette (suite)

vendredi 7 septembre 12

12Exemple d’un bicyclette (suite)

vendredi 7 septembre 12

Pour éviter que le pneu glisse et provoque la chute du cycliste, on peut incliner la piste dans les courbes afin que la résultante des forces demeure perpendiculaire à la surface du sol.

12Exemple d’un bicyclette (suite)

vendredi 7 septembre 12

Pour éviter que le pneu glisse et provoque la chute du cycliste, on peut incliner la piste dans les courbes afin que la résultante des forces demeure perpendiculaire à la surface du sol.

12Exemple d’un bicyclette (suite)

vendredi 7 septembre 12

Pour éviter que le pneu glisse et provoque la chute du cycliste, on peut incliner la piste dans les courbes afin que la résultante des forces demeure perpendiculaire à la surface du sol.

12Exemple d’un bicyclette (suite)

vendredi 7 septembre 12

Dans un vélodrome, la piste est inclinée de manière à ce que la roue du vélo demeure perpendiculaire à la piste. En agissant ainsi, on prévient considérablement les risques de chute.

13

vendredi 7 septembre 12