ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ · 2005. 8. 22. · При построении групп гомологий в качестве коэффициентов выбираются

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ

Е.И. Яковлев

Оглавление

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Базовые конструкции комбинаторной топологии 61. Симплициальные комплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Полиэдры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Связность и однородность . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Симплициальные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165. Некоторые симплициальные конструкции . . . . . . . . . 186. Клеточные разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Группы симплициальных гомологий по модулю 2 261. Определения и простейшие свойства групп гомологий . . 262. Группы относительных гомологий . . . . . . . . . . . . . 303. Последовательности Майера-Виеториса . . . . . . . . . . 38

3 Сингулярные гомологии и их применения в комбинатор-ной топологии 461. Группы сингулярных гомологий . . . . . . . . . . . . . . . 462. Гомотопическая инвариантность групп сингулярных го-

мологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533. Вырезание и его применения . . . . . . . . . . . . . . . . . 624. Изоморфность групп симплициальных и сингулярных го-

мологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Гомологии CW-комплексов 811. Относительные гомологии остовных пар . . . . . . . . . . 812. Вычисление групп гомологий CW-комплексов . . . . . . 83

5 Матричные алгоритмы для вычисления групп гомологийи их базисов 931. Матрицы инциденций и их построение . . . . . . . . . . . 93

2

3

2. Вычисление базисных циклов с помощью матриц инци-денций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Алгоритмы редукции 1031. Клеточное разбиение с минимальным числом клеток стар-

шей размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032. Гомологические свойства построенного клеточного разби-

ения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153. Коллапсирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7 Комбинаторная теория поверхностей 1221. Однородные двумерные полиэдры и их особенности . . . 1222. Представления двумерных многообразий посредством се-

мейств многоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303. Топологические типы двумерных многообразий . . . . . . 1424. Группы гомологий двумерных многообразий . . . . . . . 145

8 Индексы пересечения циклов 1491. Барицентрические звездные комплексы и группы гомологий1492. Определение и некоторые свойства индексов пересечения 1563. Вычисление индексов пересечения . . . . . . . . . . . . . 163

9 Вычисление базисных циклов без применения матриц 1681. Вычисление базисных 1-циклов 2-многообразий . . . . . . 1682. Базисные 1-циклы группы относительных гомологий . . 1703. Базисные 2-циклы разветвленных поверхностей . . . . . 175

10 Минимальные одномерные циклы 1851. Индексная вектор-функция и ее свойства . . . . . . . . . 1852. Поиск минимальных циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Литература 195

4

1. Введение

Учебник предназначается для обучения студентов магистратуры ма-тематических факультетов университетов и, в основном, ориентированна подготовку математиков-программистов.

Термином "вычислительная топология"в принципе можно обозна-чать два фактически разных научных направления. Одно из них име-ет своей целью использование компьютеров при решении тех или иныхтеоретических проблем самой топологии, например, классификации ком-пактных трехмерных многообразий [17, 18, 38, 40]. Второе, наоборот,посвящено применению топологии в прикладных задачах, связанныхс компьютерным моделированием, автоматическим проектированием,компьютерной графикой и визуализацией (см., например, [27, 36, 37,39, 45, 46].) В данном образовательном модуле представлены концеп-ции и методы, относящиеся ко второму из указанных направлений.

Главной задачей прикладной вычислительной топологии являетсясоздание и совершенствование методов вычисления топологических ха-рактеристик компьютерных моделей, таких как ранги групп гомоло-гий, индексы пересечения циклов, и т.д., а также их топологическихэлементов, например, компонент связности, особых точек, нестягивае-мых циклов, ручек и т.п.. Поэтому основная часть учебника посвященаописанию и обоснованию вычислительных алгоритмов.

Вместе с тем для точной постановки задач и обоснования методов ихрешения, безусловно, требуется строгое определение используемых кон-струкций и исследование их свойств. Поэтому учебник содержит такжетеоретическую часть, представляющую собой введение в комбинатор-ную топологию. Однако, учитывая предназначение образовательногокомплекса, мы постарались сделать этот раздел учебника минималь-ным по объему и максимально доступным для изучения. Все рассматри-ваемые в книге топологические объекты являются подпространствамипространства Rn со стандартной топологией. Поэтому предварительныхзнаний по топологии, выходящих за рамки стандартнго курса матема-тического анализа, от читателя не требуется. При построении группгомологий в качестве коэффициентов выбираются классы вычетов помодулю 2. При этом теория оказывается проще и геометрически нагляд-нее, а вычисления – более экономными. C точки зрения практическихприменений в отмеченных выше областях к потере информации такоесужение конструкции не приводит, поскольку для 3D-объектов группыцелочисленных гомологий свободны и, следовательно, выбор группыкоэффициентов не существенен.

Желающие изучить алгебраическую топологию более основательно

1. Введение 5

могут воспользоваться книгами [1] – [11].Вычислительная топология достаточно активно развивается (см.,

например, [13, 14, 20, 21], [23] – [31], [33, 34]). Вместе с тем возмож-ности для ее систематического изучения у начинающего математика-программиста ограничены. На русском языке есть несколько книг потопологии [4, 18, 19], в которых обсуждаются отдельные вычислитель-ные алгоритмы. Однако, во-первых, изложение конкретных алгоритмовне являются главной задачей указанных книг, во-вторых, они написа-ны либо для топологов, либо для широкого круга читателей с цельюознакомления с наиболее наглядными конструкциями этой науки. Адля обучения будущих программистов, которые могли бы в дальнейшемиспользовать вычислительную топологию при решении прикладных за-дач, специальной учебной литературы практически нет. Разработанныйнами комплекс должен восполнить этот пробел.

Учебный материал основан на курсе лекций по вычислительной то-пологии, на протяжении ряда последних лет читавшемся в магистрату-ре мехмата и факультета ВМК Нижегородского государственного уни-верситета, а также на результатах научно-исследовательских проектов,выполненных по заказу и при поддержке корпорации "Интел". Мы нив коей мере не претендуем на полноту изложения вычислительной то-пологии в этой книге. Ее цель – ввести читателя в круг задач и мето-дов этой науки и познакомить с некоторыми результатами. По нашемумнению, после усвоения материала данного учебника студенты смогутуже свободно изучать другие подходы и алгоритмы по журнальнымпубликациям или монографиям, а также использовать алгоритмы вы-числительной топологии при работе с компьютерными моделями 3D-объектов.

Программное обеспечение для лабораторного практикума разрабо-тано аспирантами и студентами кафедры геометрии и высшей алгебрыННГУ О.В. Логиновым, Т.Т. Юсуповым, М.А. Баутиным, Ю.В. Ершо-вым, В.Ю. Зинченко (Белоноговой), П.А. Гордиенко. Непосредственноеруководство этой работой осуществлялось ведущим исполнителем про-екта О.В. Логиновым.

Компьютерные версии рисунков подготовлены Е.А. Амосовым.

Глава 1

Базовые конструкциикомбинаторной топологии

1. Симплициальные комплексы

Всюду в этой книге отрезок [0, 1] = {x ∈ R|0 6 x 6 1} будет обозна-чаться буквой I.

Определение 1.1. Пусть v0, v1, . . . , vn ∈ RN и ассоциированная систе-ма векторов v1 − v0, . . . , vn − v0 линейно независима. Тогда мы будемговорить, что набор точек v0, v1, . . . , vn невырожден.

Очевидно, что набор v0, v1, . . . , vn может быть невырожденным толь-ко при n 6 N .

Определение 1.2. Если v0, v1, . . . , vn – невырожденный набор точекпространства RN , то выпуклая оболочка

[v0v1 . . . vn] = {n∑i=0

sivi | s0, s1, . . . , sn ∈ I,n∑i=0

si = 1}

называется (прямолинейным) n-мерным симплексом или (короче) n-симплексом с вершинами v0, v1, . . . , vn. При этом числа s0, s1, . . . , sn при-нято называть барицентрическими координатами точки u =

∑ni=0 sivi,

а точку, у которой все барицентрические координаты равны 1/(n + 1),– барицентром симплекса [v0v1 . . . vn].

Иногда также говорят, что симплекс [v0v1 . . . vn] натянут на вершиныv0, v1, . . . , vn.

При n = 0 ассоциированная с {v0} система векторов пуста. Следо-вательно, на выбор точки v0 ∈ RN , образующей невырожденный набор,

6

1. Симплициальные комплексы 7

определение 1.1 не накладывает никаких ограничений. Иначе говоря,для любой точки v0 пространства RN набор {v0} невырожден.

Симплекс, натянутый на вершину v0, имеет вид:

[v0] = {s0v0|s0 ∈ I, s0 = 1} = {v0}.

Таким образом, произвольный 0-симплекс состоит из одной точки, яв-ляющейся его вершиной. Заметим, что его барицентром является самавершина v0.

Лемма 1.1. Пусть n > 0 и набор {v0, v1, . . . , vn} ⊂ RN невырожден.Тогда точка u ∈ RN принадлежит симплексу σn = [v0v1 . . . vn] в том итолько в том случае, если она лежит на отрезке, соединяющем точкуvn с некоторой точкой w симплекса σn−1 = [v0v1 . . . vn−1].

Доказательство. По определению u ∈ σn тогда и только тогда, когда

u =n∑i=0

sivi, s0, s1, . . . , sn ∈ I иn∑i=0

si = 1. (1.1)

Случай sn = 1 равносилен совпадению точки u с вершиной vn. Втакой ситуации u лежит на всех отрезках [wvn], w ∈ σn−1.

При sn 6= 1 условие (1.1) можно переписать в виде:

u = τw + snvn, где τ = 1− sn и w =n−1∑i=0

(si/τ)vi. (1.2)

Но первое равенство условия (1.2) означает, что точка u лежит наотрезке с концами w и vn. В силу (1.1)

∑n−1i=0 (si/τ) = 1. Поэтому w ∈

σn−1 = [v0v1 . . . vn−1].

Наиболее интересны с точки зрения приложений и одновременнонаглядны случаи, когда размерности симплексов принимают значения1, 2 и 3.

В первом из них {v0, v1} – невырожденный набор точек тогда и толь-ко тогда, v0 6= v1. По лемме 1.1 одномерный симплекс σ1 = [v0v1] пред-ставляет собой отрезок с концами v0 и v1.

Во втором случае точки v0, v1, v2 ∈ RN образуют невырожденныйнабор, если и только если не лежат на одной прямой. Согласно преды-дущему абзацу и той же лемме 1.1 натянутый на них 2-симплекс σ2 =[v0, v1, v2] является треугольником с заданными вершинами.

Наконец, набор {v0, v1, v2, v3} невырожден в том и только в томслучае, если его точки не принадлежат одной плоскости, а 3-симплексσ3 = [v0, v1, v2, v3] есть тетраэдр.

8 Глава 1. Базовые конструкции комбинаторной топологии

Определение 1.3. Предположим, что {v0, v1, . . . , vn} – невырожден-ный набор точек из RN , k – целое неотрицательное число и 0 6 k 6 n.Тогда для любого набора индексов {i0, i1, . . . , ik} ⊂ {0, 1, . . . , n} сим-плекс σk = [vi0vi1 . . . vik ] называется k-мерной гранью n-симплекса σn =[v0v1 . . . vn]. При этом симплексы σk и σn также называют инцидентны-ми друг другу.

Согласно определению 1.3 любая часть множества вершин симплек-са σn = [v0v1 . . . vn] определяет его грань, являющуюся симплексом,натянутым на выбранные вершины. В частности, каждая вершина сим-плекса представляет собой его нульмерную грань. Сам симплекс σn так-же не исключается, считаясь своей n-мерной гранью. Одномерные гра-ни принято называть ребрами симплекса.

Очевидно, что точка u =∑n

i=0 tivi симплекса σn = [v0v1 . . . vn] при-надлежит его грани σk = [vi0vi1 . . . vik ] тогда и только тогда, когда ti = 0для всех i /∈ {i0, i1, . . . , ik}.

Отметим элементарные, но полезные свойства граней.

Предложение 1.1. Рассмотрим симплекс σn = [v0v1 . . . vn] и произ-вольную его грань σk. Тогда

• каждая грань симплекса σk является гранью симплекса σn;

• для любой грани σl симплекса σn пересечение σk ∩ σl либо пусто,либо представляет собой общую грань симплексов σk, σl и σn.

Доказательство. Доказательство просто и предоставляется читателюв качестве упражнения.

Определение 1.4. Пусть σm и σn – симплексы пространства RN , име-ющие размерности m и n соответственно. Мы будем говорить, что онипересекаются правильно, если имеет место один из двух следующихслучаев:

• σm ∩ σn = ∅;

• σm ∩ σn = σk – k-мерная грань симплексов σm и σn, 0 6 k 6min{m,n}.

Предложение 1.2. Если симплексы σm и σn пространства RN пер-секаются правильно, то их произвольные грани σk ⊂ σm и σl ⊂ σn

также обладают этим свойством.

1. Симплициальные комплексы 9

Доказательство. Допустим, что, σk ∩σl 6= ∅. Тогда по условию пересе-чение σm ∩ σn является общей гранью σp обоих симплексов. Очевидно,что

σk ∩ σl = (σk ∩ σp) ∩ (σl ∩ σp). (1.3)

По предложению 1.1 σk ∩ σp и σl ∩ σp – грани симплекса σp. Отсюдав силу (1.3) следует, что и σk ∩ σl – грань симплекса σp. Но тогда со-гласно тому же предложению 1.1 пересечение σk ∩ σl является граньюсимплексов σm и σn.

Определение 1.5. Конечная совокупность K симплексов простран-ства RN называется симплициальным комплексом, если она удовлетво-ряет двум условиям:

(K1) вместе с любым симплексом σn ∈ K набор K содержит все егограни;

(K2) произвольные симплексы σm, σn ∈ K пересекаются правильно.

Замечание 1.1. Из определений 1.4 и 1.5 немедленно следует, что длялюбых двух симплексов σm и σn комплекса K справедливы утвержде-ния:

• пересечение σm ∩ σn либо пусто, либо является симплексом тогоже комплекса;

• если σm ⊂ σn, то σm – грань симплекса σn.

Замечание 1.2. В топологии используются и бесконечные симплици-альные комплексы, но для практических вычислений они непригодны.Поэтому мы ограничимся рассмотрением только конечных комплексов,далее специально этого не оговаривая.

Примеры симплициальных комплексов легко построить с помощьюследующего предложения.

Предложение 1.3. Если S = {σn11 , . . . , σ

nqq } – семейство симплексов

пространства RN , причем любые два его симплекса σnii и σ

nj

j , i, j ∈{1, . . . , q}, персекаются правильно, то совокупность K всех граней сим-плексов семейства S представляет собой симплициальный комплекс.

Доказательство. Предложение 1.3 является прямым следствием пред-ложения 1.2.

Определение 1.6. Размерностью симплициального комплекса K на-зывается наибольшее значение размерностей его симплексов.


Определение 1.7. Подмножество K ′ ⊂ K симплициального комплек-са K называется его подкомплексом, если само является симплициаль-ным комплексом.

Поскольку условие (K2) определения 1.5 автоматически выполненодля любого подмножества комплекса K, то K ′ ⊂ K – подкомплекс втом и только в том случае, если вместе с любым симплексом σn ∈ K ′

набор K ′ содержит все его грани.

2. Полиэдры

Определение 1.8. Если K – n-мерный симплициальный комплекс вRN , то объединение P всех его симплексов называется n-мерным по-лиэдром пространства RN . При этом K называют симплициальнымкомплексом полиэдра P и полагают K = K(P ). Симплексы комплексаK = K(P ) называются симплексами полиэдра P .

Замечание 1.3. Согласно предложению 1.3 объединение симплексов за-данного семейства S = {σn1

1 , . . . , σnqq } является полиэдром тогда и толь-

ко тогда, когда любые два симплекса σnii и σnj

j из S пересекаются пра-вильно. В частности, каждый симплекс является полиэдром.

Представление полиэдра в виде объединения правильно пересека-ющихся симплексов пространства RN также называют его триангуля-цией. Заметим, что для одного и того же полиэдра P можно задатьбесконечно много различных триангуляций и соответствующих симпли-циальных комплексов K(P ).

Определение 1.9. Рассмотрим n-мерный полиэдр P и его симплици-альный комплекс K = K(P ). Для каждого k = 0, 1, . . . , n объединениевсех симплексов σl ∈ K размерностей l 6 k принято обозначать симво-лом P k и называть k-мерным остовом полиэдра P .

Ясно, что нульмерный остов P 0 представляет собой совокупностьвершин комплекса K(P ), а Pn = P .

Определение 1.10. Пусть P и P ′ – полиэдры, K(P ) и K(P ′) – ихсимплициальные комплексы, причем K(P ′) – подкомплекс комплексаK(P ). Тогда P ′ называется подполиэдром полиэдра P .

Таким образом, подполиэдр P ′ полиэдра P является его подмноже-ством, состоящим из целых симплексов. Сформулируем это утвержде-ние более точно.

2. Полиэдры 11

Предложение 1.4. Для подмножества P ′ полиэдра P следующие ут-верждения эквивалентны:

(1) P ′ – подполиэдр полиэдра P ;

(2) существуют симплексы σn11 , . . . , σ

nqq ∈ K(P ), объединение кото-

рых совпадает с P ′.

Доказательство. Если P ′ – подполиэдр полиэдра P , то по определению1.10 P ′ есть объединение симплексов подкомплекса K(P ′) ⊂ K(P ).

Допустим теперь, что справедливо утверждение (2) доказываемо-го предложения. Поскольку симплексы σn1

1 , . . . , σnqq принадлежат ком-

плексу K(P ), то любые два из них пересекаются правильно. Тогда сово-купность всех граней рассматриваемого семейства симплексов принад-лежит K(P ) и согласно предложению 1.3 является симплициальнымкомплексом. По построению объединение его симплексов совпадает сP ′. Следовательно, P ′ – подполиэдр полиэдра P .

Непосредственно из определений 1.9 и 1.10 следует, что каждый k-мерный остов P k полиэдра P является его подполиэдром. Обратное,разумеется, неверно. Пусть, например, полиэдр P состоит из одногоn-мерного симплекса σn. Тогда каждая его k-мерная грань σk явля-ется подполиэдром. Остов P k представляет собой объединение всех k-мерных граней симплекса σn. Так как количество этих граней равноCkn, то при k < n полиэдры σk и P k не совпадают.

Предложение 1.5. Пусть P и Q – полиэдры пространства RN . Тогдаследующие утверждения равносильны:

(1) произвольные симплексы σm ∈ K(P ) и σn ∈ K(Q) пересекаютсяправильно;

(2) объединение P ∪Q является полиэдром;

(3) P ∩Q – подполиэдр полиэдров P и Q.

Доказательство. Эквивалентность первых двух утверждений следу-ет из замечания 1.3 и определений 1.5 и 1.8. Докажем равносильностьутверждений (1) и (3).

Предположим, что справедливо утверждение (1),

K(P ) = {σmii |i ∈ A} и K(Q) = {σnj

j |j ∈ B}.

Тогда имеют место равенства

P =⋃i∈A

σmii , Q =

⋃j∈B

σnj

j и P ∩Q =⋃

i∈A,j∈B(σmii ∩ σ

nj

j ). (1.4)


Согласно допущению пересечение σmii ∩ σ

nj

j является гранью сим-плекса σmi

i и потому принадлежит комплексу K(P ). Отсюда в силу(1.4) и предложения 1.4 следует, что P ∩Q – подполиэдр полиэдра P .

Аналогично доказывается, что P ∩Q – подполиэдр полиэдра Q.Пусть далее дано, что пересечение полиэдров P и Q является их

подполиэдром. Тогда согласно предложению 1.4

P ∩Q =⋃s∈S

σkss , (1.5)

где σkss ∈ K(P ) ∩K(Q).

Рассмотрим симплексы σm ∈ K(P ) и σn ∈ K(Q) и предположим,что σm ∩ σn 6= ∅. Тогда в силу (1.5)

σm ∩ σn =⋃s∈S

(σm ∩ σkss ) ∩ (σn ∩ σks

s ). (1.6)

Поскольку σm, σkss ∈ K(P ), то σm ∩ σks

s = σp – грань симплексов σm

и σkss . Аналогично и σn ∩ σks

s = σq – грань симплексов σn и σkss . При

этом σp, σq ∈ K(P ∩ Q) и, следовательно, σp ∩ σq – грань симплексовσp и σp. Согласно предложению 1.1 в такой ситуации σp ∩ σq – граньсимплексов σm и σn. Отсюда, из (1.6) и предложения 1.4 следует, чтоσm∩σn – подполиэдр симплексов σm и σn. В силу выпуклости он можетбыть только гранью каждого из них.

Следствие 1.1. Для произвольных подполиэдров P1, P2 ⊂ P справед-ливы утверждения:

• объединение P1 ∪ P2 есть подполиэдр полиэдра P ;

• пересечение P1 ∩ P2 либо пусто, либо также является подполи-эдром P .

3. Связность и однородность

Определение 1.11. Пусть u0, u1, . . . , up – последовательность вершинполиэдра P , причем для каждого i = 1, . . . , p одномерный симплекс(ребро) [ui−1ui] принадлежит комплексу K(P ). Тогда последователь-ность ребер x = {[u0u1], . . . , [up−1up]} называется путем в P или (точ-нее) в P 1, вершина u0 – началом пути x, а вершина up – его концом. Приэтом говорят, что путь x идет из u0 в up или (если направление несуще-ственно) соединяет эти вершины. Путь {[upup−1], . . . , [u1u0]} считаетсяобратным для x и обозначается символом −x.

3. Связность и однородность 13

Определение 1.12. Если

x = {[u0u1], . . . , [up−1up]} и y = {[v0v1], . . . , [vq−1vq]}

– пути в полиэдре P и up = v0, то определен путь

x+ y = {[u0u1], . . . , [up−1up], [v0v1], . . . , [vq−1vq]},

который называется суммой путей x и y. При y = −z сумма x+ y (еслиона определена) обозначается символом x− z.

Очевидно, что сумма x + y идет из начала первого пути x в ко-нец второго пути y. Для произвольного пути x = {[u0u1], . . . , [up−1up]}и каждого i = 1, . . . , p последовательность {[ui−1ui]} также являетсяпутем. Отождествив путь {[ui−1ui]} с ребром [ui−1ui], мы получим ра-венство x = [u0u1] + · · ·+ [up−1up].

Определение 1.13. Полиэдр P называется связным, если для любыхего различных вершин u, v ∈ P 0 существует соединяющий их путь x ⊂P 1 ⊂ P .

Очевидно, что любой симплекс является связным полиэдром.

Предложение 1.6. Пусть P и Q – связные полиэдры пространстваRN . Тогда P ∪Q – связный полиэдр в том и только том случае, еслипересечение P ∩Q является непустым подполиэдром каждого из них.

Доказательство. Предположим сначала, что P ∩ Q – связный подпо-лиэдр полиэдров P и Q. Тогда по предложению 1.5 P ∪ Q – полиэдр.Рассмотрим вершины u, v ∈ P ∪ Q, u 6= v. Если они обе одновременнолежат в P или в Q, то существование соединяющего их пути следуетиз условия предложения. Предположим, что u ∈ P , а v ∈ Q. Так какP ∩Q – непустой полиэдр, то найдется вершина w ∈ (P ∩Q)0. ПосколькуP ∩ Q – подполиэдр полиэдров P и Q, то w ∈ P 0 и w ∈ Q0. Но тогдасуществуют путь x ⊂ P , идущий из вершины u в вершину w, и путьy ⊂ Q, идущий из w в v. При этом x+ y – путь в P ∪Q, соединяющийвершины u и v.

Пусть далее дано, что P ∪Q – связный полиэдр. Согласно тому жепредложению 1.5 в этой ситуации P ∩ Q – подполиэдр полиэдров P иQ. Докажем, что P ∩Q 6= ∅.

Выберем вершины u ∈ P и v ∈ Q и соединяющий их путь x =[w0w1]+ · · ·+[wp−1wp], w0 = u, wp = v. Рассмотрим совокупность J всехномеров j ∈ {0, 1, . . . , p}, для которых wj ∈ P 0. Положим k = maxJ .


Допустим, что k < p. Тогда ребро [wkwk+1] не может лежать в Pв силу выбора номера k. Следовательно, [wkwk+1] ∈ K(Q). При этомwk ∈ Q0 и потому P ∩ Q 6= ∅. Если же k = p, то пересечение P ∩ Q непусто, поскольку содержит вершину wk = v.

Предложение 1.7. Для любого полиэдра P и произвольной его верши-ны w ∈ P 0 в наборе C(w,P ) всех содержащих w связных подполиэдровQ ⊂ P найдется наибольший (по включению) подполиэдр Pw ∈ C(w,P ).

Доказательство. Пусть P 0(w) – совокупность всех вершин полиэдраP , которые можно соединить с w путями в P 1 ⊂ P . Обозначим сим-волом Pw объединение всех симплексов σk ∈ K(P ), k = 0, 1, . . . , n =dimP , у которых хотя бы одна вершина принадлежит набору P 0(w).Тогда по предложению 1.4 Pw – подполиэдр полиэдра P .

Рассмотрим произвольную вершину u ∈ P 0w. По построению подпо-

лиэдра Pw найдутся содержащий u симплекс σk ∈ K(P ) и его вершинаu0 ∈ P 0(w). Согласно последнему включению существует идущий изw в u0 путь x0 = [ww1] + [w1w2] + · · · + [wp−1u0] в P . При этом длякаждого i = 1, . . . , p− 1 путь [ww1] + · · ·+ [wi−1wi] соединяет вершинуwi с w. Следовательно, [ww1], [w1w2], . . . , [wp−1u0] ∈ K(Pw) и x0 – путьв Pw. В силу связности симплекса σk имеется идущий из u0 в u путьx1 в σk ⊂ Pw. Тогда x = x0 + x1 – путь в Pw, идущий из вершины w ввершину u.

Если v – другая вершина подполиэдра Pw, то аналогично найдетсяидущий из w в v и также лежащий в Pw путь y. При этом z = −x+ y –путь в Pw, соединяющий вершины u и v. Следовательно, подполиэдр Pwсвязен. Поскольку он, очевидно, содержит вершину w, то Pw ∈ C(w,P ).

Рассмотрим теперь произвольный подполиэдр Q ∈ C(w,P ). Для лю-бого симплекса σk ∈ K(Q) и его вершины v из связности Q и включенияw ∈ Q0 следует, что v ∈ P 0(w). При этом по построению подполиэдраPw ⊂ P он содержит симплекс σk. Таким образом, K(Q) ⊂ K(Pw), тоесть Q – подполиэдр полиэдра Pw.

Определение 1.14. Пусть P – полиэдр, а w ∈ P 0 – его вершина. Тогданаибольший содержащий w связный подполиэдр Pw ⊂ P называетсякомпонентой связности вершины w в полиэдре P .

Предложение 1.8. Компоненты связности Pv и Pw произвольныхвершин v и w полиэдра P либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство. Предположим, чтоQ = Pv∩Pw 6= ∅. По следствию 1.1Q – подполиэдр полиэдра P . Согласно предложению 1.6 отсюда следует,что подполиэдр Pv∪Pw ⊂ P связен. Так как он содержит вершину v, то

3. Связность и однородность 15

максимальность Pv в C(v, P ) влечет за собой включение Pv ∪ Pw ⊂ Pv.С другой стороны, очевидно, что Pv ⊂ Pv ∪ Pw. Следовательно, Pv =Pv ∪ Pw.

Аналогично получается равенство Pw = Pv ∪ Pw. Поэтому Pv = Pw.

Определение 1.15. Согласно предложению 1.8 произвольный полиэдрP представляет собой объединение попарно непересекающихся подпо-лиэдров P1, P2, . . . , Pl ⊂ P , каждый из которых является в P компонен-той связности любой своей вершины. Подполиэдры P1, P2, . . . , Pl назы-вается компонентами связности полиэдра P .

Очевидно, что полиэдр связен в том и только в том случае, еслисостоит из одной компоненты связности.

Определение 1.16. Полиэдр P размерности n называется однород-ным, если для любого его k-мерного симплекса σk, k < n, найдетсяn-мерный симплекс σn ∈ K(P ), для которого σk является гранью.

Определение 1.17. Пусть P – n-мерный полиэдр, σn−10 , σn−1

1 , . . . , σn−1p

и σn1 , . . . , σnp – его симплексы размерностей n − 1 и n соответственно,

причем σn−1i−1 и σn−1

i – грани симплекса σni для каждого i = 1, . . . , p. То-гда последовательность X = {σn1 , . . . , σnp } называется связной n-цепьюв P , соединяющей симплексы σn−1

0 и σn−1p . Последовательность тех же

n-симплексов, расположенных в обратном порядке, обозначается симво-лом −X и считается обратной для X. Если Y = {σnp+1, . . . , σ

np+q} – дру-

гая связная n-цепь, причем σn−1p – грань симплекса σnp+1, то последова-

тельность {σn1 , . . . , σnp , σnp+1, . . . , σnp+q} также является связной n-цепью

и обозначается символом X + Y . Отождествляя цепи вида {σni } с сим-плексами σni , получим равенство X = σn1 + · · ·+ σnp .

Определение 1.18. Однородный n-мерный полиэдр P называется силь-но связным, если для любых его различных (n− 1)-мерных симплексовв P найдется соединяющая их связная n-цепь.

Обоснования следующих утверждений полностью аналогичны дока-зательствам предложений 1.6, 1.7 и 1.8.

Предложение 1.9. Пусть P и Q – сильно связные и однородные n-мерные полиэдры. Их объединение P ∪Q является сильно связным по-лиэдром тогда и только тогда, когда P ∩ Q – непустой подполиэдрполиэдров P и Q размерности dim(P ∩Q) > n− 1.


Предложение 1.10. Для любого однородного n-мерного полиэдра P ипроизвольного его (n − 1)-мерного симплекса σn−1 ∈ K(P ) во множе-стве S(σn−1, P ) всех содержащих σn−1 сильно связных подполиэдровQ ⊂ P существует наибольший (по включению) подполиэдр Pσn−1 ∈S(σn−1, P ).

Предложение 1.11. Предположим, что σn−11 и σn−1

2 – (n−1)-мерныесимплексы однородного n-мерного полиэдра P , а Pσn−1

1и Pσn−1

2– наи-

большие сильно связные подполиэдры полиэдра P , содержащие сим-плексы σn−1

1 и σn−12 соответственно. Тогда либо dim(Pσn−1

1∩ Pσn−1

2) <

n− 1, либо Pσn−11

= Pσn−12

.

Определение 1.19. Как следует из предложений 1.10 и 1.11, каждыйоднородный n-мерный полиэдр P представляет собой объединение та-ких сильно связных подполиэдров P1, P2, . . . , Ps ⊂ P , что dim(Pσn−1

i∩

Pσn−1j

) < n−1 при всех i, j = 1, 2, . . . , s; i 6= j. Подполиэдры P1, P2, . . . , Ps

называется компонентами сильной связности полиэдра P .

4. Симплициальные схемы

Определение 1.20. Пусть V – конечное множество, а K – семействоего подмножеств, обладающее свойством:

(S) для всех s ∈ K каждое подмножество s′ ⊂ s принадлежит семей-ству K.

Тогда пара S = (V,K) называется симплициальной схемой.

Определение 1.21. Симплициальные схемы S = (V,K) и S′ = (V ′,K ′)считаются эквивалентными, если существует биекция f : V → V ′, удо-влетворяющая условиям:

• для любого s ∈ K найдется такое s′ ∈ K ′, что f(s) = s′;

• для произвольного s′ ∈ K ′ имеется такое s ∈ K, что f(s) = s′.

При этом f называется изоморфизмом схем S и S′.

Для каждого симплекса σm = [u0u1 . . . um] полиэдра P положимσm = {u0, u1, . . . , um}. Тогда σm – подмножество нульмерного остоваP 0 (то есть множества вершин полиэдра P ). Согласно определению 1.5семейство K(P ) = {σm|σm ∈ K(P )} обладает свойством (S). Следова-тельно, имеет смысл следующее определение.

4. Симплициальные схемы 17

Определение 1.22. Пусть P – полиэдр, V (P ) = P 0, для каждогосимплекса σm ∈ K(P ) символ σm обозначает множество его вершин,K(P ) = {σm|σm ∈ K(P )}. Тогда пара S(P ) = (V (P ), K(P )) называет-ся симплициальной схемой полиэдра P . При этом полиэдр P считаетсяреализацией схемы S(P ).

Предложение 1.12. Для любой симплициальной схемы S = (V,K)существует реализация, то есть такой полиэдр P , что S(P ) = S.

Доказательство. Пусть V = {u1, . . . , up}. Для каждого i = 1, . . . , pобозначим символом ui точку из Rp, у которой координата с номером iравна 1, а остальные – нулю.

Любое подмножество множества {u1, . . . , up} представляет собой впространстве Rp невырожденный набор точек. Поэтому на точки каж-дого набора s = {ui0 , ui1 , . . . , uim} ∈ K можно натянуть симплекс σs.Положим

P =⋃s∈K

σs и K(P ) = {σs|s ∈ K}.

Тогда в силу свойства (S) P – полиэдр, а K(P ) – его симплициальныйкомплекс. При этом по построению V (P ) = V и σs = s для всех σs ∈K(P ). Следовательно, (V,K) – симплициальная схема полиэдра P .

Определение 1.23. Пусть P и Q – произвольные подмножества про-странства RN . Отображение F : P → Q называется гомеоморфизмом,если обладает свойствами:

• F – биекция;

• F непрерывно;

• обратное для него отображение F−1 : Q→ P также непрерывно.

При этом множества P и Q называют гомеоморфными или топологи-чески эквивалентными. Обозначение: P ≈ Q.

Предложение 1.13. Если симплициальные схемы полиэдров P и Qэквивалентны, то P и Q гомеоморфны.

Доказательство. Пусть S(P ) = (V (P ), K(P )) и S(Q) = (V (Q), K(Q)) –симплициальные схемы полиэдров P и Q. Их эквивалентность означаетсуществование изоморфизма f : V (P )→ V (Q). Для каждого симплексаσm = [u0u1 . . . um] ∈ K(P ) и произвольной точки w =

∑mi=0 tiui ∈ σm

положим

Fσm(w) = Fσm(m∑i=0

tiui) =m∑i=0

tif(ui). (1.7)


Если σk = [ui0ui1 . . . uik ] – грань симплекса σm и w ∈ σk, то ti = 0для всех i /∈ {i0, i1, . . . , ik} и w =

∑ks=0 tisuis =

∑mi=0 tiui. Поэтому

Fσk(w) =k∑s=0

tisf(uis) =m∑i=0

tif(ui) = Fσm(w).

Рассмотрим далее симплексы σm, σn ∈ K(P ), для которых пересе-чение σm ∩ σn не пусто. Тогда оно является общей гранью σk симплек-сов σm и σn. Согласно доказанному в предыдущем абзаце при этомFσm(w) = Fσk(w) = Fσn(w). Это значит, что корректно определено отоб-ражение F : P → Q, на каждом σm ∈ K(P ) совпадающее с Fσm .

Докажем непрерывность отображения F . Для этого рассмотрим лю-бую точку w ∈ P и произвольное положительное число ε ∈ R. ПустьKw(P ) = {σm1

1 , . . . , σmpp } – совокупность всех симплексов полиэдра P ,

содержащих точку w, а {σn1p+1, . . . , σ

nq

p+q} = K(P ) \Kw(P ). В силу (1.7)для каждого i = 1, . . . , p найдется такое δi > 0, что |F (w′) − F (w)| < εпри w′ ∈ σmi

i и |w′ −w| < δi. С другой стороны, для любого j = 1, . . . , qсимплекс σnj

p+j замкнут и не содержит точку w. Следовательно, w неявляется его предельной точкой. Поэтому существует такое δp+j > 0,что шар радиуса δp+j > 0 с центром в точке w не пересекается с сим-плексом σ

nj

p+j . Положим δ = min{δ1, . . . , δp+q}. Тогда для всех w′ ∈ P изнеравенства |w′ − w| < δ следует, что |F (w′)− F (w)| < ε.

Аналогично обратный изоморфизм f−1 : V (Q) → V (P ) схем S(Q)и S(P ) индуцирует непрерывное отображение F : Q → P , которое напроизвольном симплексе τm = [v0v1 . . . vm] ∈ K(Q) задается формулой

Fτm(m∑i=0

tivi) =m∑i=0

tif−1(vi). (1.8)

Из (1.7) и (1.8) очевидно следует, что F = F−1. Таким образом, F : P →Q – гомеоморфизм.

Согласно предложению 1.13 топологические свойства полиэдров опре-деляются их симплициальными схемами. Способ реализации симплици-альной схемы на топологию получаемого при этом полиэдра не влияет.Этим обстоятельством далее мы будем активно пользоваться.

5. Некоторые симплициальные конструкции

Предложение 1.14. Пусть S = (V,K) – симплициальная схема, w /∈V , cV = V ∪ {w}, cs = s ∪ {w} для всех s ∈ K и cK = K ∪ {cs|s ∈ K}.Тогда пара conS = (cV, cK) является симплициальной схемой.

5. Некоторые симплициальные конструкции 19

Доказательство. По построению cK – семейство подмножеств множе-ства cV . Непосредственно проверяется, что оно обладает свойством (S)из определения 1.20.

Определение 1.24. Если S = (V,K) – симплициальная схема, то инду-цированная ею и элементом w симплициальная схема conS = (cV, cK)из предложения 1.14 называется конусом над схемой S.

Определение 1.25. Пусть P – полиэдр и S(P ) – его симплициаль-ная схема. Тогда произвольная реализация схемы conS(P ) называетсяконусом над P .

Определение 1.26. Точка v =∑n

i=0 tivi симплекса σn = [v0v1 . . . vn]называется внутренней, если ti > 0 для всех i = 0, 1, . . . , n. В против-ном случае она считается граничной. Совокупность внутренних точексимплекса σn принято обозначать символом Intσn. Для множества гра-ничных точек используется обозначение Frσn.

Ясно, что v – граничная точка симплекса σn в том и только в томслучае, если лежит на грани σk ⊂ σn размерности k < n.

Предложение 1.15. Для каждой точки v полиэдра P существуетединственный симплекс σ(v) ∈ K(P ), для которого v является внут-ренней точкой.

Доказательство. Рассмотрим совокупность всех симплексов полиэдраP , содержащих точку v. Среди них выберем симплекс наименьшей раз-мерности m и обозначим его символом σ(v).

Допустим, что v – граничная точка симплекса σ(v). Тогда у послед-него найдется грань размерности l < m, содержащая v. Это противо-речит выбору числа m и симплекса σ(v). Следовательно, допущениеневерно и на самом деле v ∈ Intσ(v).

Пусть теперь σk – произвольный симплекс, содержащий точку v, ноотличный от σ(v). Тогда v лежит в пересечении σ(v) ∩ σk. Указанноепересечение является общей гранью σl симплексов σ(v) и σk. Так какv ∈ Intσ(v), то l = m и σl = σ(v). Поскольку σk 6= σ(v), то σk 6= σl.Следовательно, l < k и v ∈ Frσk.

Пусть P – полиэдр и K(P ) – его симплициальный комплекс. Рас-смотрим множество V ′ барицентров всех симплексов комплекса K(P ).Подмножество s ⊂ V ′ назовем допустимым, если его элементы можнозанумеровать так, чтобы для полученной при этом последовательностиs = {u0, u1, . . . , un} имели место включения

σ(u0) ⊂ σ(u1) ⊂ · · · ⊂ σ(un), (1.9)


где, как в предложении 1.15, σ(ui) – единственный симплекс полиэдраP , для которого ui – внутренняя точка, i = 0, 1, . . . , n. Совокупностьвсех допустимых подмножеств множества V ′ обозначим символом K ′.

Предложение 1.16. Если P – полиэдр пространства RN , V ′ – мно-жество барицентров всех его симплексов и K ′ – совокупность всехдопустимых подмножеств множества V ′, то справедливы следующиеутверждения:

• каждое множество s = {u0, u1, . . . , un} ∈ K ′ представляет собойневырожденный набор точек пространства RN и, следовательно,на него можно натянуть n-симплекс σs = [u0u1 . . . un];

• множество K ′(P ) = {σs|s ∈ K ′} является симплициальным ком-плексом;

• объединение симплексов комплекса K ′(P ) совпадает с полиэдромP .

Доказательство. Первое утверждение докажем индукцией по количе-ству card s точек выбранного допустимого множества s ∈ K ′. Если оноравно единице, то s = {u0} = {v0} – невырожденный набор точек.

Предположим, что это утверждение верно для любого допустимогомножества, состоящего не более чем из n точек, и рассмотрим случай,когда card s = n + 1. Занумеруем элементы множества s так, чтобыдля последовательности s = {u0, u1, . . . , un} имели место включения(1.9). Тогда множество s′ = {u0, u1, . . . , un−1} также допустимо и состо-ит из n точек. Поэтому оно невырождено в RN , то есть соответству-ющие векторы u1 − u0, . . . , un−1 − u0 линейно независимы. Так как un– барицентр симплекса σ(un), то вектор un − u0 не может быть ра-вен линейной комбинации векторов u1 − u0, . . . , un−1 − u0, лежащихна грани σ(un−1) ⊂ σ(un), σ(un−1) 6= σ(un). Следовательно, наборs = {u0, u1, . . . , un} также невырожден.

Если s = {u0, u1, . . . , un} и верны включения (1.9), то для любогоподмножества {i0, i1, . . . , ik} ⊂ {0, 1, . . . , n} имеем:

σ(ui0) ⊂ σ(ui1) ⊂ · · · ⊂ σ(uik).

Таким образом, произвольное подмножество s′ = {ui0 , ui1 , . . . , uik} мно-жества s допустимо. Но тогда и для любых двух множеств из K ′ ихпересечение либо пусто, либо принадлежит K ′. Поскольку симплек-сы σs ∈ K ′(P ) однозначно определяются допустимыми множествамиs ∈ K ′, то этим доказано, что K ′(P ) – симплициальный комплекс.

5. Некоторые симплициальные конструкции 21

В силу (1.9) все вершины произвольного допустимого множестваs = {u0, u1, . . . , un} ∈ K ′ лежат в одном симплексе σ(un) комплексаK(P ). При этом их выпуклая оболочка σs = [u0u1 . . . un] также обязаналежать в σ(un) ⊂ P . Следовательно,⋃

s∈K′

σs ⊂ P.

Рассмотрим произвольную точку u ∈ P . Согласно предложению 1.15имеется единственный симплекс σ(u), для которого u ∈ Intσ(u). Пустьσ(u) = [v0v1 . . . vm]. Тогда

u =m∑i=0

tivi,

m∑i=0

ti = 1 и 0 < ti < 1 для всех i = 0, 1, . . . ,m.

Без ограничения общности вершины v0, v1, . . . , vm можно считать зану-мерованными так, чтобы выполнялись неравенства

t0 > t1 > · · · > tm. (1.10)

При всех i = 0, 1, . . . ,m точка

ui =1

i+ 1

i∑s=0

vs

является барицентром симплекса [v0v1 . . . vi], в частности, [v0v1 . . . vi] =σ(ui). Так как [v0] ⊂ [v0v1] ⊂ · · · ⊂ [v0v1 . . . vm], то множество рас-сматриваемых барицентров {u0, u1, . . . , um} допустимо и на него можнонатянуть симплекс [u0u1 . . . um] ∈ K ′(P ).

Положим t′i = (i+1)(ti−ti+1) при i = 0, 1, . . . ,m−1 и t′m = (m+1)tm.Тогда

m∑i=0

t′i =m∑i=0

ti = 1 иm∑i=0

t′iui =m∑i=0

tivi = u.

Кроме того, в силу (1.10) t′i > 0 для всех i = 0, 1, . . . ,m. Следовательно,u ∈ [u0u1 . . . um].

Этим доказано включение

P ⊂⋃s∈K′

σs.


Определение 1.27. Построенный в предложении 1.16 симплициаль-ный комплексK ′(P ) называется барицентрическим подразделением ком-плекса K(P ).

Согласно предложению 1.16 барицентрическое подразделение K ′(P )задает триангуляцию того же полиэдра P , что и исходный комплексK(P ).

Отметим, что по построению симплициальной схемой барицентри-ческого подразделения K ′(P ) является пара S′ = (V ′,K ′), в которой V ′

– набор барицентров симплексов комплекса K(P ), а K ′ – совокупностьдопустимых подмножеств набора V ′.

Разберем подробнее, что представляет собой барицентрическое под-разделение в простейших частных случаях.

Если P = [v0v1] – одномерный симплекс, то V ′ = V ∪ {u01}, гдеu01 = (v0 + v1)/2. При этом σ(v0) = [v0], σ(v1) = [v1] и σ(u01) = [v0v1].Заметим, что одноточечные подмножества набора V ′ допустимы всегда.Поэтому их анализировать нет необходимости. Кроме них, допустимы-ми в данной ситуации являются множества {v0, u01} и {v1, u01}. Та-ким образом, при барицентрическом подразделении комплекса K(P ) ={[v0], [v1], [v0v1]} в него добавляется один 0-симплекс – середина ребраP = [v0v1], а само это ребро заменяется двумя его половинками.

Пусть далее P = [v0v1v2] – 2-симплекс. В этом случае

V ′ = V ∪ {uij |i, j ∈ {0, 1, 2}, i < j} ∪ {u012},

где uij = (vi + vj)/2, а u012 = (v0 + v1 + v2)/3. Симплексы, для которыхновые вершины являются барицентрами, имеют вид:

σ(uij) = [vivj ], σ(u012) = [v0v1v2] = P.

Поэтому в данном случае K ′, кроме одноточечных подмножеств, содер-жит пары:

{vi, uij}, {vj , uij}, {vi, u012}, {uij , u012}

и тройки:{vi, uij , u012}, {vj , uij , u012}.

Следовательно, комплекс K ′(P ) получается из K(P ) добавлением че-тырех 0-симплексов: [uij ], [u012], шести 1-симплексов: [viu012], [uiju012],а также заменой трех ребер исходного комплекса их половинками и од-ного 2-симплекса – треугольника P = [v0v1v2] – шестью 2-симплексами,на которые P делят шесть добавленных ребер (имеющих в качествевершины барицентр u012).

6. Клеточные разбиения 23

В общей ситуации при барицентрическом подразделении каждыйn-симплекс делится на (n+ 1)! более мелких n-мерных симплексов.

Опираясь на лемму 1.1, барицентрическое подразделение можно опи-сать индуктивно.

Положим K ′(P 0) = K(P 0) и допустим, что для остова Pn−1 подраз-деление K ′(Pn−1) его комплекса K(Pn−1) уже построено. Рассмотримпроизвольный n-симплекс σn ∈ K(Pn). Для его границы Frσn имеетсякомплекс

K ′(Frσn) = {σ ∈ K ′(Pn−1)|σ ⊂ σn}.

Если σ ∈ K ′(Frσn), то объединение отрезков, соединяющих точки v ∈σ с барицентром uσ симплекса σ, является симплексом размерностиdimσ + 1. Объединив множество всех таких симплексов с K ′(Frσn) идобавив в объединение 0-симплекс [uσ], получим симплициальный ком-плекс K ′(σn). Тогда объединение

K ′(Pn) =⋃

σn∈K(Pn)

K ′(σn)

представляет собой барицентрическое подразделение комплекса K(Pn).Упражнение 1.1. Докажите, что все конструкции из предыдущего аб-заца корректны и приводят к построению того же симплициальногокомплекса K ′(P ), что описан в предложении 1.16.

6. Клеточные разбиения

Пусть Dn = {x ∈ Rn||x| 6 1}, M0 – выпуклый n-мерный многогран-ник, M0 ⊂ Rn и o = (0, . . . , 0) – внутренняя точка множества M0.

Для любой точки z ∈ Rn, z 6= o, положим lz = {tz|t ∈ R, t > 0} иz = lz ∩ FrM0, где FrM0 – граница многогранника M0.

Лемма 1.2. Формула

f(x) =

o при x = o,x

|x|при x 6= o

(1.11)

определяет гомеоморфизм f : M0 → Dn. При этом f(IntM0) = IntDn

и f(FrM0) = FrDn.

Доказательство. Определим отображение g : Dn →M0 формулой

g(y) =

{o при y = o,

y|y| при y 6= o.(1.12)


Ясно, что g ◦ f(o) = o и f ◦ g(o) = o. При x 6= o и y 6= o имеют месторавенства lf(x) = lx и lg(y) = ly. Поэтому f(x) = x и g(y) = y. Отсюда ииз формул (1.11) и (1.12) следует, что g◦f(x) = f(x)|f(x)| = (x/|x|)|x|) =x и f ◦ g(y) = g(y)/|g(y)| = (y|y|)/|y|) = y. Таким образом, g = f−1 и f– биекция.

Пусть z ∈ Rn и z 6= o. В общей ситуации точка z лежит на пересече-нии конечного набора (n − 1)-мерных плоскостей Lm ⊂ Rn, каждая изкоторых задается уравнением вида

am1z1 + · · ·+ amnz

n + am0 = 0,

где amk ∈ R при всех m и k. Подставляя в это уравнение координатыточки z = tz, t > 0, получим:

t

n∑k=1

amkzk + amk = 0.

Следовательно,z = − am0z∑n

k=1 amkzk. (1.13)

Если теперь x ∈ M0 и x 6= o, то x ∈ Li, где индекс i пробегаетнекоторое конечное множество значений. При этом согласно (1.11) и(1.13) имеют место равенства

f(x) = x|∑n

k=1 aikxk|

|ai0||x|.

Поэтому отображение f непрерывно.Аналогично, для y ∈ Dn и y 6= o точка y лежит в конечном наборе

плоскостей Lj , а из (1.12) и (1.13) следуют равенства

g(y) = y|aj0||y|

|∑n

k=1 ajkyk|.

Следовательно, отображение g также непрерывно.Включение f(x) ∈ FrDn эквивалентно равенству |f(x)| = 1, которое

в силу (1.11) возможно тогда и только тогда, когда |x| = |x| 6= 0. Таккак точки x и x лежат на одном луче lx, то последнее равенство озна-чает их совпадение. Таким образом, f(x) ∈ FrDn в том и только томслучае, если x = x ∈ FrM0. Этим доказано равенство f(FrM0) = FrDn.Равенство f(IntM0) = IntDn является его следствием.

6. Клеточные разбиения 25

Следствие 1.2. Для любого выпуклого многогранника M существу-ет гомеоморфизм h : M → Dn, для которого h(IntM) = IntDn иh(FrM) = FrDn.

Действительно, выберем точку x0 ∈ IntM и положим M0 = {x −x0|x ∈ M} и h0(x) = x − x0. Тогда M0 – выпуклый многогранник, аh0 : M → M0 – гомеоморфизм, причем h0(IntM) = IntM0, h0(FrM) =FrM0 и o = h0(x0) ∈ IntM0. Если теперь f : M0 → Dn – гомеомор-физм из леммы 1.2, то композиция h = f ◦ h0 является гомеоморфиз-мом многогранника M на шар Dn и обладает указанными в следствиисвойствами.

Определение 1.28. Пусть Q ⊂ RN ,

Q =m⋃n=0

⋃i∈Jn

eni (1.14)

и выполнены условия:

(c1) eni ∩ ekj = ∅ при всех n, k ∈ {0, . . . ,m}, i ∈ Jn и j ∈ Jk;

(c2) для любых n ∈ {0, . . . ,m} и i ∈ Jn найдется непрерывное отобра-жение χni : Dn → Q, обладающее свойствами:

(c21) χni гомеоморфно отображает внутренность IntDn шара Dn

на подмножество eni ⊂ Q,

(c22) χni (FrDn) ⊂⋃n−1k=0

⋃j∈Jk

ekj .

Тогда представление (1.14) называется клеточным разбиением множе-ства Q, а его подмножества eni и eni = χni (D

n) – открытыми и замкну-тыми клетками данного разбиения; разность eni \eni называют границейклетки eni , а χni : Dn → P – его характеристическим отображением. Ес-лиK(Q) – совокупность всех клеток разбиения (1.14), то пара (Q,K(Q))образует так называемый CW-комплекс.

Согласно лемме 1.2 в определении 1.28 шары Dn можно заменитьвыпуклыми многогранниками пространства Rn и, в частности, n-симплек-сами.

Также легко видеть, что любой симплициальный комплекс являет-ся CW-комплексом, то есть триангуляция представляет собой частныйслучай клеточного разбиения.

Глава 2

Группы симплициальныхгомологий по модулю 2

1. Определения и простейшие свойства групп го-мологий

Пусть Z2 = Z/2Z – группа классов вычетов по модулю 2. Для каж-дого k ∈ Z положим k = k+ 2Z. Введя операцию умножения формулойkl = kl, группу Z2 можно превратить в поле. В тех случаях, когда этоне приводит к недоразумениям, мы для краткости будем полагать 0 = 0и 1 = 1.

Определение 2.1. Пусть K(P ) – симплициальный комплекс полиэдраP ⊂ RN и Kn(P ) ⊂ K(P ) – множество его симплексов размерности n,0 6 n 6 dimP . Тогда любое подмножество c = {σn1 , . . . , σnp } ⊂ Kn(P )называется n-мерной цепью полиэдра P . Совокупность всех его n-цепейобозначается символом Cn(P ).

Определение 2.2. Для двух n-цепей c, c′ ∈ Cn(P ) положим

c+ c′ = (c ∪ c′) \ (c ∩ c′). (2.1)

Этим определена n-цепь c+c′ ∈ Cn(P ), которая считается суммой цепейc и c′.

Легко видеть, что операция 2.1 превращает множество n-цепей Cn(P )в абелеву группу. Ее нейтральным элементом является пустая цепь0 = ∅; противоположным элементом для цепи c ∈ Cn(P ) является онасама, то есть −c = c.

26

1. Определения и простейшие свойства групп гомологий 27

Полагая 0 · c = 0 и 1 · c = c, также можно определить умножениецепей на элементы поля Z2. При этом группа n-цепей Cn(P ) становитсявекторным пространством над Z2.

Для краткости принято отождествлять симплекс σn ∈ K(P ) и со-стоящую из него цепь {σn} ∈ Cn(P ). При этом для любой цепи c ={σn1 , . . . , σnp } ∈ Cn(P ) приобретает смысл равенство c = σn1 + · · ·+ σnp .

Определение 2.3. Границей n-мерного симплекса σn ∈ K(P ) счи-тается цепь ∂σn, образованная всеми его (n − 1)-мерными гранями.Границей цепи c = {σn1 , . . . , σnp } = σn1 + · · · + σnp называется сумма∂c = ∂σn1 + · · ·+ ∂σnp .

Нетрудно убедиться, что полагая ∂n(c) = ∂c для c ∈ Cn(P ), мы опре-делим гомоморфизм (линейное отображение) ∂n : Cn(P )→ Cn−1(P ). Онназывается граничным гомоморфизмом. Важнейшее значение для тео-рии гомологий имеет следующее свойство граничных гомоморфизмов.

Предложение 2.1. Для любого натурального числа n имеет месторавенство ∂n−1 ◦ ∂n = 0.

Доказательство. Пусть σn = [v0v1 . . . vn] – n-симплекс полиэдра P ,k, i, j ∈ {0, . . . , n} и i < j. Тогда совокупности вершин {v0, v1, . . . , vn} \{vk} и {v0, v1, . . . , vn} \ {vi, vj} определяют его грани σn−1

k и σn−2ij раз-

мерностей n − 1 и n − 2 соответственно. При этом ∂σn =∑n

k=0 σn−1k

и

∂(∂σn) =n∑k=0

∂σn−1k =

n∑k=0

(k−1∑i=0

σn−2ik +

n∑j=k+1

σn−2kj ).

Таким образом, ∂(∂σn) = S1 + S2, где

S1 =n∑k=0

k−1∑i=0

σn−2ik , S2 =

n∑k=0

n∑j=k+1

σn−2kj .

Каждая грань σn−2st точно один раз входит в сумму S1 (при i = s и

k = t) и точно один раз – в S2 (при k = s и j = t). Поэтому ∂(∂σn) = 0.Если теперь c = σn1 + · · · + σnp , то ∂(∂c) = ∂(∂σn1 ) + · · · + ∂(∂σnp ) =

0 + · · ·+ 0 = 0.

Определение 2.4. Цепь c ∈ Cn(P ), у которой граница равна нулю,называется циклом. Множество всех n-мерных циклов полиэдра P обо-значается символом Zn(P ).

28 Глава 2. Группы симплициальных гомологий

Определение 2.5. Цепь c ∈ Cn(P ) называют n-мерной границей, еслинайдется такая (n + 1)-цепь c′ ∈ Cn+1(P ), что ∂c′ = c. Совокупностьn-мерных границ полиэдра P принято обозначать символом Bn(P ).

Согласно 2.4 и 2.5 для граничных гомоморфизмов ∂n : Cn(P ) →Cn−1(P ) и ∂n+1 : Cn+1(P ) → Cn(P ) справедливы равенства Zn(P ) =ker ∂n и Bn(P ) = im ∂n+1. Это значит, что Zn(P ) и Bn(P ) – подгруппыгруппы цепей Cn(P ). Более того, в силу предложения 2.1 группа n-мерных границ Bn(P ) является подгруппой группы n-циклов Zn(P ).Поэтому имеет смысл следующее фундаментальное определение.

Определение 2.6. Фактор-группа Hn(P ) = Zn(P )/Bn(P ) группы n-мерных циклов полиэдра P по подгруппе n-мерных границ называетсяего n-мерной группой гомологий.

Очевидно, Zn(P ) – векторное пространство над Z2, Bn(P ) – его ли-нейное подпространство, аHn(P ) = Zn(P )/Bn(P ) – фактор-пространство.Следовательно, группа гомологий по модулю 2 также является вектор-ным пространством над полем Z2.

Непосредственно из определения следует, что для n > dimP группыHn(P ) тривиальны.

Определение 2.7. Цепи c, c′ ∈ Cn(P ) называют гомологичными и по-лагают c ∼ c′, если их сумма является границей, то есть c+ c′ ∈ Bn(P ).Смежный класс [c] = c + Bn(P ) = {c′ ∈ Cn(P )|c′ ∼ c} называют гомо-логическим классом цепи c.

В случае, когда c – n-цикл, гомологический класс [c] представляетсобой элемент группы Hn(P ). Более того, Hn(P ) = {[c]|c ∈ Zn(P )} и[c] + [c∗] = [c+ c∗] для любых [c], [c∗] ∈ Hn(P ).

Отметим, что равенство [c] = 0 в группе Hn(P ) означает, что циклc ∈ Zn(P ) гомологичен цепи 0 = ∅; при этом говорят, что он гомологи-чен нулю.

Произвольная нульмерная цепь c ∈ C0(P ) является некоторой сово-купностью вершин полиэдра P . Так как у вершин нет непустых граней,то ∂c = 0 и c ∈ Z0(P ). Следовательно, C0(P ) = Z0(P ).

Пусть далее x = {a1, . . . , ap} – 1-цепь полиэдра P . Положим V (x) =∂a1 ∪ · · · ∪∂ap и G(x) = (V (x), x). Тогда G(x) – граф. Легко видеть, чтоx ∈ Z1(P ) в том и только в том случае, если степени всех вершин графаG(x) четны (см. рис. 2.1).

Аналогичное справедливо и в общей ситуации. Если c = {σn1 , . . . , σnp } ∈Cn(P ) и E(c) = ∂σn1 ∪· · ·∪∂σnp , то c ∈ Zn(P ) при том и только том усло-вии, что каждый (n−1)-симплекс σn−1 ∈ E(c) является гранью четногочисла симплексов цепи c.

1. Определения и простейшие свойства групп гомологий 29

Рис. 2.1: Одномерные цепи 1 и 4 являются циклами, а цепи 2 и 3 – нет.

Теорема 2.1. Если P1, . . . , Pl – компоненты связности полиэдра P , тодля всех неотрицательных целых n

Hn(P ) ∼= Hn(P1)× · · · ×Hn(Pl).

Доказательство. В силу предложения 1.6 ∂σn ∩ Pi 6= ∅ в том и тольков том случае, если σn ⊂ Pi. Отсюда следует, что для произвольной цепиc ∈ Cn(P ) имеют место равенства

∂(c ∩ Pi) = ∂c ∩ Pi, i = 1, . . . , l. (2.2)

Положим ci = c ∩ Pi для всех i = 1, . . . , l. Тогда согласно (2.2) c –цикл тогда и только тогда, когда циклами являются все цепи c1, . . . , cl.Аналогично включение c ∈ Bn(P ) равносильно совокупности включе-ний ci ∈ Bn(Pi), i = 1, . . . , l. Поэтому формула f([c]) = ([c1], . . . , [cl]),где [c], [c1], . . . , [cl] – гомологические классы циклов c, c1, . . . , cl в по-лиэдрах P , P1, . . . , Pl соответственно, корректно определяет биекциюf : Hn(P )→ Hn(P1)× · · · ×Hn(Pl).

Пусть c, c′ ∈ Zn(P ) и i ∈ {1, . . . , l}. Тогда

(c+ c′)i = ((c ∪ c′) ∩ Pi) \ ((c ∩ c′) ∩ Pi) = (ci ∪ c′i) \ (ci ∩ c′i) = ci + c′i.

Это значит, что f – гомоморфизм.

Замечание 2.1. Согласно доказанной теореме 2.1 свойства групп гомо-логий и методы их вычисления достаточно изучать для связных поли-эдров. Поэтому далее мы будем предполагать, что все рассматриваемыеполиэдры состоят из одной компоненты связности.


Теорема 2.2. Пусть P – связный полиэдр. Тогда H0(P ) ∼= Z2.

Доказательство. Рассмотрим произвольный цикл c = {v1, . . . , vp} ∈C0(P ).

Если [c] = 0 вH0(P ), то c = ∂x, где x = a1+· · ·+aq – 1-цепь полиэдраP . Так как для каждого i = 1, . . . , q цепь ∂ai состоит из двух вершин,то число p = card ∂x четно.

Выберем далее произвольную вершину v ∈ P 0. В силу связностиполиэдра P в его одномерном остове найдутся пути y1, . . . , yp, соеди-няющие v с вершинами v1, . . . , vp. При этом ∂yi = v + vi для всехi = 1, . . . , p и потому для цепи y = y1 + · · · + yp верно равенство∂y = (v + v1) + · · · + (v + vp). Последнее означает, что ∂y = c тогдаи только тогда, когда p – четное число.

Таким образом, равенство [c] = 0 эквивалентно четности числа p =card c.

Определим отображение f : H0(P )→ Z2, полагая для каждого [c] ∈H0(P ) его образ f([c]) равным классу вычетов по модулю 2 числа card c.

Если [c], [c′] ∈ H0(P ) и [c] = [c′], то согласно доказанному вышеcard(c+ c′) – четное число. С другой стороны,

card(c+ c′) = card c+ card c′ − 2 card(c ∩ c′). (2.3)

Поэтому числа card c и card c′ четны или нет одновременно, а отобра-жение f определено корректно.

Из (2.3) также следует, что f – гомоморфизм. Если f([c]) = 0, тоопределению этого гомоморфизма card c – четное число. Но тогда [c] = 0в H0(P ) и, следовательно, ker f = 0.

Пусть, наконец, z ∈ Z2. При z = 0 положим c = 0. Если же z = 1,то выберем произвольную вершину v ∈ P 0 и положим c = v. Тогда вобоих случаях f([c]) = z. Этим доказано, что f – эпиморфизм.

Пример 2.1. Рассмотрим полиэдр P , состоящий из одной вершины v.Поскольку он связен, то по теореме 2.2 H0(P ) ∼= Z2. Для положитель-ных значений n группы Cn(P ) состоят только из пустых цепей. Следо-вательно, для всех n > 0 группы гомологий Hn(P ) тривиальны.

2. Группы относительных гомологий

Пусть P – полиэдр, Q – его подполиэдр и n – произвольное целоенеотрицательное число. Тогда Cn(Q) – подгруппа группы Cn(P ).

2. Группы относительных гомологий 31

Определение 2.8. Фактор-группа

Cn(P,Q) = Cn(P )/Cn(Q) = {c+ Cn(Q)|c ∈ Cn(P )}

называется группой относительных цепей пары (P,Q)

Введем сокращенное обозначение относительных цепей, полагая c =c + Cn(Q) для всех c ∈ Cn(P ). Тогда Cn(P,Q) = {c|c ∈ Cn(P )}. Вчастности, 0 = Cn(Q).

Очевидно, что из включения c′ ∈ Cn(Q) следует, что ∂c′ ∈ Cn−1(Q).Поэтому формулы ∂c = ∂c = ∂c + Cn−1(Q) и ∂n(c) = ∂c определяютграничный гомоморфизм ∂n : Cn(P,Q)→ Cn−1(P,Q).

Обычным образом определяются группы относительных циклов играниц.

Определение 2.9.

Zn(P,Q) = {c ∈ Cn(P,Q)| ∂c = 0}, Bn(P,Q) = {∂a| a ∈ Cn+1(P,Q)}.

Лемма 2.1. Пусть c ∈ Cn(P,Q). Тогда

• включения c ∈ Zn(P,Q) и ∂c ∈ Zn−1(Q) равносильны;

• c ∈ Bn(P,Q) в том и только в том случае, если найдется такаяцепь c′ ∈ Cn(Q), что c+ c′ ∈ Bn(P ).

Доказательство. Включение c ∈ Zn(P,Q) эквивалентно равенству ∂c =0, которое в свою очередь означает, что ∂c ⊂ Q. По предложению 2.1∂c – всегда цикл.

Условие c ∈ Bn(P,Q) выполнено тогда и только тогда, когда c = ∂a,где a – некоторая (n + 1)-цепь полиэдра P . Положим c′ = c + ∂a. Приэтом предыдущее равенство равносильно включению c′ ∈ Cn(Q).

На рисунке 2.2 утверждение леммы 2.1 иллюстрируется для случая,когда P – двумерный однородный полиэдр, а Q = ∂P . Смежные классыx = x + C1(Q) и x = y + C1(Q), соответстующие одномерным цепямx и y, являются циклами, поскольку ∂x ⊂ Q и ∂y ⊂ Q. Так как в Qимеется 1-цепь y′, для которой сумма y+y′ представляет собой границудвумерной цепи e ∈ C2(P ), то y ∈ B1(P,Q).

Определение 2.10. Фактор-группа Hn(P,Q) = Zn(P,Q)/Bn(P,Q) на-зывается n-мерной группой относительных гомологий пары (P,Q).


Рис. 2.2: Q = ∂P , x ∈ Z1(P,Q), y ∈ B1(P,Q).

Поскольку Cn(Q) – подгруппа группы Cn(P ) при всех n, то включе-ния ı : Cn(Q)→ Cn(P ), ı(c) = c, являются гомоморфизмами. При этом∂(ı(c)) = ∂c = ı(∂c) для всех c ∈ Cn(Q). Следовательно, формула

ı∗([c]Q) = [ı(c)]P = [c]P , (2.4)

где [c]Q и [ı(c)]P = [c]P – гомологические классы цикла ı(c) = c ∈Zn(Q) ⊂ Zn(P ) в полиэдрах Q и P соответственно, корректно опре-деляет гомоморфизмы ı∗ : Hn(Q)→ Hn(P ).

Заметим, что гомоморфизмы ı∗ не обязаны быть инъективными, по-скольку из гомологичности нулю цикла c в полиэдре P , вообще говоря,не следует, что тот же цикл c обладает аналогичным свойством в Q.

Пусть : Cn(P ) → Cn(P,Q) – фактор-отображения, то есть (c) =c = c + Cn(Q). Они являются гомоморфизмами и ∂((c)) = ∂c = ∂c =(∂c) для любой цепи c ∈ Cn(P ). Отсюда так же, как и выше, следует,что формула

∗([c]P ) = [(c)] = [c] (2.5)

определяет гомоморфизмы ∗ : Hn(P )→ Hn(P,Q).Согласно лемме 2.1 для произвольного относительного цикла c ∈

Zn(P,Q) верно включение ∂c ∈ Zn−1(Q). Положим

∂∗([c] = [∂c]Q. (2.6)

Пусть c′ ∈ Zn(P,Q) и c′ ∼ c. Тогда c′ + c ∈ Bn(P,Q). По лемме2.1 последнее равносильно существованию такой цепи a ∈ Cn(Q), что


c′+ c+a ∈ Bn(P ). При этом ∂c′+∂c = ∂a, что означает справедливостьравенства [∂c′]Q = [∂c]Q в группе Hn−1(Q). Следовательно, формула(2.6) корректно определяет гомоморфизмы ∂∗ : Hn(P,Q)→ Hn−1(Q).

Таким образом, для произвольного полиэдра P и его подполиэдраQ определена последовательность групп и гомоморфизмов

. . .→ Hn(Q) ı∗−→ Hn(P )∗−→ Hn(P,Q) ∂∗−→ Hn−1(Q)→ . . . (2.7)

Определение 2.11. Последовательность (2.7) называется гомологиче-ской последовательностью пары (P,Q).

Определение 2.12. Последовательность групп и гомоморфизмов

. . .→ Gn+1hn+1−→ Gn

hn−→ Gn−1 → . . .

называется точной, если imhn+1 = kerhn для всех n.

Одним из важнейших свойств групп гомологий является утвержде-ние следующей теоремы.

Теорема 2.3. Гомологическая последовательность пары (P,Q) точна.

Доказательство. Для удобства перепишем последовательность (2.7),выписав явно еще один его член. Получим:

. . .→ Hn+1(P,Q) ∂∗−→ Hn(Q) ı∗−→ Hn(P )∗−→ Hn(P,Q) ∂∗−→ Hn−1(Q)→ . . . .

Для доказательства ее точности нужно убедиться в справедливости сле-дующих трех равенств:

im ∂∗ = ker ı∗, im ı∗ = ker ∗, im ∗ = ker ∂∗. (2.8)

Система (2.8) равносильна совокупности шести включений:

im ∂∗ ⊂ ker ı∗, im ı∗ ⊂ ker ∗, im ∗ ⊂ ker ∂∗; (2.9)

im ∂∗ ⊃ ker ı∗, im ı∗ ⊃ ker ∗, im ∗ ⊃ ker ∂∗. (2.10)

Включения (2.9), очевидно, эквивалентны равенствам:

ı∗ ◦ ∂∗ = 0, ∗ ◦ ı∗ = 0, ∂∗ ◦ ∗ = 0. (2.11)

Пусть x ∈ Cn+1(P ) и x ∈ Zn+1(P,Q). Тогда в силу (2.6) и (2.4)

ı∗ ◦ ∂∗([x]) = ı∗([∂x]Q) = [∂x]P .


Но [∂x]P = 0 по определению группы Hn(P ). Этим доказано равенствоı∗ ◦ ∂∗ = 0.

Рассмотрим далее цикл y ∈ Cn(Q). Согласно (2.4) и (2.5) имеем:

∗ ◦ ı∗([y]Q) = ∗([y]P ) = [y].

Так как y ⊂ Q, то y = 0. Следовательно, [y] = [0] = 0 и верно равенство∗ ◦ ı∗ = 0.

Если z ∈ Zn(P ), то

∂∗ ◦ ∗([z]P ) = ∂∗([z]) = [∂z]Q.

Но ∂z = 0 и потому [∂z]Q = 0. Итак, последнее равенство системы (2.11)также справедливо.

Предположим теперь, что гомологический класс [y]Q цикла y ∈Zn(Q) лежит в ядре ker ı∗. Тогда [y]P = ı∗([y]Q) = 0. Последнее означа-ет, что существует цепь x ∈ Cn+1(P ) с границей ∂x = y (см. рис 2.3). По

Рис. 2.3: Q = ∂P , y ∈ Z1(Q), x ∈ C2(P ).

лемме 2.1 смежный класс x = x+Cn+1(Q) является для пары (P,Q) от-носитеьным циклом. Следовательно, определен гомологический класс[x] ∈ Hn+1(P,Q). При этом ∂∗([x]) = [∂x]Q = [y]Q. Таким образом,[y]Q ∈ im ∂∗ и доказано включение ker ı∗ ⊂ im ∂∗.

Пусть z ∈ Zn(P ) и [z]P ∈ ker ∗. Согласно (2.5) в этой ситуации [z] =∗([z]P ) = 0 в Hn(P,Q). По лемме 2.1 отсюда следует существованиетакого цикла y ∈ Zn(Q), что (z + y) ∈ Bn(P ) (см. рис 2.4). Последнеевключение эквивалентно равенству [z]P = [y]P . Но тогда [z]P = ı∗([y]Q)и потому [z]P ∈ im ı∗. Из доказанного вытекает, что ker ∗ ⊂ im ı∗.


Рис. 2.4: Q = ∂P , z ∈ Z1(P ), y ∈ Z1(Q), (z + y) ∈ B1(P ).

Выберем, наконец, цепь x ∈ Cn(P ), для которой x ∈ Zn(P,Q) и [x] ∈ker ∂∗. В силу (2.6) тогда [∂x]Q = ∂∗([x]) = 0 в Hn−1(Q). Следовательно,найдется цепь y′ ∈ Cn(Q) с границей ∂y′ = ∂x (см. рис 2.5). Положив

Рис. 2.5: Q = ∂P , x ∈ C1(P ), y′ ∈ C1(Q), ∂y′ = ∂x.

z = x+ y′, получим цикл z ∈ Zn(P ) и его гомологический класс [z]P ∈Hn(P ). Так как сумма z + x лежит в Q, то относительные циклы z и xсовпадают. Поэтому ∗([z]P ) = [z] = [x] в Hn(P,Q). В итоге: [x] ∈ im ∗и доказано последнее включение системы (2.10).

Упражнение 2.1. Докажите, что для групп относительных гомологийсправедлив следующий аналог теоремы 2.1.


Теорема 2.4. Предположим, что P1, . . . , Pl – компоненты связностиполиэдра P , Q1, . . . , Ql – их подполиэдры и Q = Q1 ∪ · · · ∪Ql. Тогда

Hn(P,Q) ∼= Hn(P1, Q1)× · · · ×Hn(Pl, Ql)

для всех неотрицательных целых n.

Теорема 2.5. Пусть P – связный полиэдр и Q – его подполиэдр. ТогдаH0(P,Q) ∼= Z2 при Q = ∅ и H0(P,Q) = 0 при Q 6= ∅.

Доказательство. В первом случае H0(P,Q) = H0(P ) и потому утвер-ждение следует из теоремы 2.2.

Пусть далее Q – непустой подполиэдр полиэдра P . Произвольныйотносительный цикл c ∈ Z0(P,Q) является смежным классом по под-группе Z0(Q) некоторого цикла c = {v1, . . . , vp} = (v1+· · ·+vp) ∈ Z0(P ),где v1, . . . , vp – вершины полиэдра P . Выберем вершину u ∈ Q0. В си-лу связности полиэдра P в его одномерном остове найдутся пути xi,соединяющие u с вершинами vi, i = 1, . . . , p. Очевидно, xi ∈ C1(P )и ∂xi = u + vi для всех i. Поэтому x = x1 + · · · + xp – 1-цепь в Pи ∂x = (u + v1) + · · · + (u + vp). Положим c′ = 0 при четном p иc′ = u в противном случае. Тогда из предыдущего равенства следует,что c+ c′ ∈ B0(P ). А это согласно лемме 2.1 означает, что c ∈ B0(P,Q),то есть [c] = 0 в группе H0(P,Q).

Теорема 2.6. Для любого связного полиэдра P и его вершины v

• H0(P, v) = 0;

• Hn(P, v) ∼= Hn(P ) для всех n > 0.

Доказательство. Если n > 1, то Hn(v) = Hn−1(v) = 0. Подставив этизначения в (2.7) для Q = v, получим последовательность

0→ Hn(P )∗−→ Hn(P, v)→ 0.

Ее точность означает, что ∗ : Hn(P )→ Hn(P, v) – изоморфизм.Рассмотрим далее случай n = 1. Так как H1(v) = 0, то по теореме

2.3 точна последовательность

0→ H1(P )∗−→ H1(P, v)

∂∗−→ H0(v)ı∗−→ H0(P ). (2.12)

Каждая из групп H0(v) и H0(P ) состоит из двух элементов. Нетриви-альными в них являются гомологические классы [v]v = {v} и [v]P =C0(P ) соответственно. Согласно (2.4) ı∗([v]v) = [v]P . Это значит, что


ı∗ : H0(v) → H0(P ) – изоморфизм. Следовательно, в (2.12) im ∂∗ =ker ı∗ = 0. Но тогда точна последовательность

0→ H1(P )∗−→ H1(P, v)→ 0,

то есть ∗ : H1(P )→ H1(P, v) – также изоморфизм.По теореме 2.5 H0(P, v) = 0.

Напомним, что m-мерным остовом полиэдра P называется объеди-нение Pm его симплексов размерностей l 6 m (см. определение 1.9).

Теорема 2.7. Пусть P – связный полиэдр и для каждого m ∈ N списокего симплексов размерности m имеет вид: Km(P ) = {σm1 , . . . , σmαm

}.Тогда для всех m,n > 0 справедливы утверждения:

• Hn(Pm, Pm−1) = 0 при n 6= m;

• Hm(Pm, Pm−1) = 〈σm1 〉 ⊕ · · · ⊕ 〈σmαm〉 ∼= Zαm

2 .

Доказательство. При n > m в остове Pm нет n-мерных симплексов ипотому Cn(Pm) = 0. Отсюда следует тривиальность групп Cn(Pm, Pm−1)и Hn(Pm, Pm−1).

Любая цепь c ∈ Cn(Pm) состоит из n-симплексов и потому лежит востове Pn. Если n < m, то Pn ⊂ Pm−1 и, следовательно, для указан-ной цепи c верно равенство c = 0. Поэтому в данной ситуации такжеCn(Pm, Pm−1) = 0 и Hn(Pm, Pm−1) = 0.

Для каждого симплекса σmi , i = 1, . . . , αm, его граница ∂σmi при-надлежит остову Pm−1. Это значит, что смежный класс σmi являет-ся относительным циклом для пары (Pm, Pm−1). С другой стороны,Cm(Pm−1) = 0 и потому σmi = σmi . Отсюда следует, что базис группы от-носительных циклов Zm(Pm, Pm−1) образуют симплексы σm1 , . . . , σ

mαm

.Осталось заметить, что группа относительных границ Bm(Pm, Pm−1)тривиальна ввиду отсутствия в остове Pm симплексов размерности m+1.

Определение 2.13. Пусть P – полиэдр, а Q ⊂ P и R ⊂ Q – подпо-лиэдры. Для цепей c из групп Cn(P ) и Cn(Q) положим c = c + Cn(R).Тогда существует последовательность

. . .→ Hn(Q,R) ı∗−→ Hn(P,R)∗−→ Hn(P,Q) ∂∗−→ Hn−1(Q,R)→ . . . ,

в которой гомоморфизмы определяются формулами

ı∗([c]Q) = [c]P , ∗([c]P ) = [c], ∂∗([c]) = [∂c]Q.

Она называется гомологической последовательностью тройки (P,Q,R).


Теорема 2.8. Гомологическая последовательность тройки (P,Q,R)точна.

Обоснования корректности построения гомологической последова-тельности тройки и ее точности представляют собой несложные моди-фикации соответствующих доказательств для пары и потому предла-гаются читателям в качестве упражнения.

3. Последовательности Майера-Виеториса

Пусть P – полиэдр, M и N – его подполиэдры. Согласно следствию1.1 пересечение Q = M ∩N и объединение R = M ∪N также являютсяподполиэдрами P . Предположим сначала, что R = P .

Лемма 2.2. Для произвольной цепи c ∈ Cn(P ) найдутся цепи cM ∈Cn(M) и cN ∈ Cn(N), обладающие свойствами:

• cM + cN = c;

• если c ∈ Zn(P ), то ∂cM = ∂cN ∈ Zn−1(Q).

Доказательство. Рассмотрим симплициальный комплекс K(M) поли-эдра M и положим cM = c ∩ K(P ). Тогда cM ∈ Cn(M). ПосколькуP \M ⊂ N , то cN = c+ cM ∈ Cn(N). При этом, очевидно, cM + cN = c.

Если ∂c = 0, то ∂cM = ∂cN . Но цикл из левой части последнегоравенства лежит в M , а цикл из правой части – в N . Следовательно,∂cM = ∂cN ∈ Zn−1(Q).

Рис. 2.6: P = M ∪N , c ∈ Z1(P ), цепи cM и cN обозначены пунктиром.

Замечание 2.2. Легко видеть, что разложение цепей полиэдра P , обла-дающее свойствами из леммы 2.2, вообще говоря, неоднозначно.

3. Последовательности Майера-Виеториса 39

Теорема 2.9. Для полиэдра P и его подполиэдров M и N , удовлетворя-ющих равенству P = M∪N , существует и точна последовательность

. . .→ Hn(Q) ı∗−→ Hn(M)×Hn(N)∗−→ Hn(P ) ∆∗−→ Hn−1(Q)→ . . . ,

(2.13)в которой Q = M ∩N , а гомоморфизмы определены формулами:

ı∗([z]Q) = ([z]M , [z]N ); ∗([x]M , [y]N ) = [x+ y]P ; (2.14)

∆∗([c]P ) = [∂cM ]Q = [∂cN ]Q. (2.15)

Доказательство. Корректность определения отображений ı∗ и ∗ и ихгомоморфность очевидны.

Рассмотрим циклы c, c′ ∈ Zn(P ) и a = c + c′. Положив aM = cM +c′M и aM = cM + c′M , получим разложение a = aM + aN , обладающеесвойствами из леммы 2.2. Отсюда немедленно следует гомоморфностьотображения ∆∗.

Предположим, что c′ ∼ c. Тогда a = ∂b, где b ∈ Cn+1(P ). Еслиb = bM+bN – разложение со свойствами из леммы 2.2, то цепи aM+∂bMи aN+∂bN совпадают и лежат в пересеченииQ = M∩N . Таким образом,имеется цепь z ∈ C(Q), удовлетворяющая равенству cM +c′M +∂bM = z.При этом ∂cM + ∂c′M = ∂z. Следовательно, [∂c′M ]Q = [∂cM ]Q и потомугомоморфизм ∆∗ определен корректно.

Докажем равенства:

ı∗ ◦∆∗ = 0, ∗ ◦ ı∗ = 0, ∆∗ ◦ ∗ = 0. (2.16)

Для произвольного цикла c ∈ Zn+1(P ) в силу (2.15)

ı∗ ◦∆∗([c]P ) = ([∂cM )]M , [∂cN )]N ) = (0, 0),

поскольку cM ⊂M и cN ⊂ N . Это значит, что ı∗ ◦∆∗ = 0.Если z ∈ Zn(Q), то согласно (2.14)

∗ ◦ ı∗([z]Q) = ∗([z]M , [z]N ) = [z + z]P = [0]P = 0.

Следовательно, ∗ ◦ ı∗ = 0.Пусть, наконец, x ∈ Zn(M) и y ∈ Zn(N). Тогда можно положить

(x+ y)M = x и (x+ y)N = y. Поэтому

∆∗ ◦ ∗([x]M , [y]N ) = ∆∗([x+ y]P ) = [∂x]Q = [0]Q = 0

и равенство ∆∗ ◦ ∗ = 0 также доказано.


Из (2.16) следует, что

im ∆∗ ⊂ ker ı∗, im ı∗ ⊂ ker ∗ и im ∗ ⊂ ker ∆∗.

Для завершения доказательства теоремы необходимо убедиться еще всправедливости обратных включений

im ∆∗ ⊃ ker ı∗, im ı∗ ⊃ ker ∗ и im ∗ ⊃ ker ∆∗.

Рассмотрим цикл z ∈ Zn(Q), для которого [z]Q ∈ ker ı∗. В силу(2.14) последнее означает, что [z]M = 0 и [z]N = 0 в группах Hn(M) иHn(N) соответственно. Следовательно, существуют цепи x ∈ Cn+1(M)и y ∈ Cn+1(N) с общей границей ∂x = ∂y = z (см. рис 2.7). Положимc = x+y. Тогда c ∈ Zn+1(P ), причем можно считать, что cM = x и cN =y. Поэтому согласно (2.15) ∆∗([c]P ) = [∂x]Q = [z]Q. Таким образом,[z]Q ∈ im ∆∗ и включение ker ı∗ ⊂ im ∆∗ доказано.

Рис. 2.7: Цикл z ∈ Z0(Q) состоит из двух вершин.

Предположим далее, что для циклов x ∈ Zn(M) и y ∈ Zn(N) верновключение ([x]M , [y]N ) ∈ ker ∗. Тогда [x + y]P = 0 в группе Hn(P ) ипотому найдется цепь c ∈ Cn+1(P ) с границей ∂c = x+y. Если c = cM +cN , где cM ∈ Cn+1(M) и cN ∈ Cn+1(N), то из равенства ∂cM+∂cN = x+yследует существование цикла z = ∂cM +x = ∂cN +y ∈ Zn(Q) (рис. 2.8).При этом [z]M = [x]M и [z]N = [x]N и потому ı∗([z]Q) = ([x]M , [y]N ). Темсамым доказано, что ([x]M , [y]N ) = im ı∗ и, следовательно, имеет местовключение ker ∗ ⊂ im ı∗.


Рис. 2.8: M = M1 ∪M2, N = N1 ∪ N2, x = {u1, u2} ∈ Z0(M), y = {v1, v2} ∈Z0(N), c = [u1w1] ∪ [w1v1] ∪ [u2w2] ∪ [w2v2], z = {w1, w2}.

Выберем, наконец, цикл c ∈ Zn(P ), удовлетворяющий условию [c]P ∈ker ∆∗. Если c = cM + cN , разложение со свойствами из леммы 2.2, тосогласно (2.15) ∂cM = ∂cN = z ∈ Bn−1(Q). Поэтому существует цепьa ∈ Cn(Q) с границей ∂a = z (рис. 2.9). Положим x = cM+a и y = cN+a.Тогда x ∈ Zn(M), y ∈ Zn(N) и x + y = c. В силу (2.14) в такой ситу-ации ∗([x]M , [y]N ) = [c]P . Следовательно, [c]P ∈ im ∗ и нами доказановключение ker ∆∗ ⊂ im ∗.

Рис. 2.9: c ∈ Z1(P ), цепи cM , cN и a ∈ C1(Q) обозначены пунктиром.


Определение 2.14. Построенная в теореме 2.9 последовательность2.13 называется абсолютной последовательностью Майера-Виеторисатриады (P,M,N).

Пусть, как и выше, P – полиэдр, M и N – его подполиэдры, Q =M ∩N , R = M ∪N , однако равенство R = P , вообще говоря, не имеетместа.

Для произвольной цепи c ∈ Cn(P ) введем обозначения:

c = c+ Cn(M), c = c+ Cn(N), c = c+ Cn(Q), c = c+ Cn(R).

Теорема 2.10. Для триады (P,M,N) определена и точна последова-тельность

. . .→ Hn(P,Q) ı∗−→ Hn(P,M)×Hn(P,N)∗−→

∗−→ Hn(P,R) ∆∗−→ Hn−1(P,Q)→ . . . ,(2.17)

в которой гомоморфизмы определены формулами:

ı∗([z]) = ([z], [z]); ∗([x], [y]) = [x+ y];

∆∗([c]) = [(∂c)M ] = [(∂c)N ],

где ∂c = (∂c)M+(∂c)N – разложение цикла ∂c, обладающее свойствамииз леммы 2.2.

Доказательство этого утверждения аналогично обоснованию теоре-мы 2.9. В качестве упражнения читателю предлагается самому воссо-здать его детали. Отметим также, что оно является частным случаемтеоремы, которую мы докажем ниже.

Определение 2.15. Построенная в теореме 2.10 последовательность2.17 называется относительно последовательностью Майера-Виеторисатриады (P,M,N).

Теорема 2.11. Пусть M и N – подполиэдры полиэдра P = M∪N , Q =M∩N , M ′ и N ′ – подполиэдры полиэдров M и N соответственно, P ′ =M ′∪N ′ и Q′ = M ′∩N ′. Тогда определена и точна последовательность

. . .→ Hn+1(P, P ′) ∆∗−→ Hn(Q,Q′) ı∗−→ Hn(M,M ′)×Hn(N,N ′)∗−→

∗−→ Hn(P, P ′) ∆∗−→ Hn−1(Q,Q′)→ . . . ,(2.18)

в которой гомоморфизмы определены формулами:

ı∗([z + Cn(Q′)]) = ([z + Cn(M ′)], [z + Cn(N ′)]);


∗([x+ Cn(M ′)], [y + Cn(N ′)]) = [x+ y + Cn(P ′)];

∆∗([c+ Cn(P ′)]) = [∂cM + (∂c)M ′ + Cn(Q′)] = [∂cN + (∂c)N ′ + Cn(Q′)],

где c = cM + cN и ∂c = (∂c)M ′ + (∂c)N ′ – разложения цепей c и ∂c,обладающее свойствами из леммы 2.2.

Доказательство. Сначала докажем, что определение отображения ∆∗не зависит от разложений c = cM + cN и ∂c = (∂c)M ′ + (∂c)N ′ .

Пусть c = cM+cN = c∗M+c∗N и ∂c = (∂c)M ′+(∂c)N ′ = (∂c)∗M ′+(∂c)∗N ′ .Тогда cM + c∗M = cN + c∗N и (∂c)M ′ +(∂c)∗M ′ = (∂c)N ′ +(∂c)∗N ′ . Последнееозначает, что cM + c∗M = a ∈ Cn(Q) и (∂c)M ′ + (∂c)∗M ′ = b ∈ Cn−1(Q′).При этом ∂cM + ∂c∗M + (∂c)M ′ + (∂c)∗M ′ = ∂a+ b. Следовательно,

[∂cM + (∂c)M ′ + Cn−1(Q′)] = [∂c∗M + (∂c)∗M ′ + Cn−1(Q′)].

Далее убедимся в том, что элемент [∂cM + (∂c)M ′ + Cn(Q′)] груп-пы Hn−1(Q,Q′) не зависит от выбора цепи c. Для этого предположим,что c+Cn(P ′) и c+Cn(P ′) – гомологичные относительные циклы пары(P, P ′). Тогда существуют цепи h ∈ Cn(P ′) и e ∈ Cn+1(P ), удовлетворя-ющие равенству

c+ c+ h = ∂e. (2.19)

Рассмотрим разложениея e = eM + eN и ∂e = (∂e)M ′ + (∂e)N ′ , длякоторых (∂e)M ′ ⊂ eM и (∂e)N ′ ⊂ eN , и положим g = ∂eM+(∂e)M ′ . Тогдаg+∂eN+(∂e)N ′ = ∂e+∂e = 0. Поэтому ∂eM+(∂e)M ′ = g = ∂eN+(∂e)N ′

и g ∈ Cn(Q).По построению и согласно (2.19)

∂g = ∂(∂eM ) = ∂cM + ∂cM + ∂hM , (2.20)

где, как и выше, c = cM+cN и h = hM ′+hN ′ – разложения, подчиненныеразложению e = eM + eN . При этом если ∂h = (∂h)M ′ + (∂h)N ′ – такоеже разложение, то

(∂h)M ′ + (∂h)N ′ = ∂h = ∂c+ ∂c = (∂c)M ′ + (∂c)N ′ + (∂c)M ′ + (∂c)N ′ .

Но тогда (∂c)M ′ + (∂c)M ′ + (∂h)M ′ = (∂c)N ′ + (∂c)N ′ + (∂h)N ′ , откудаследует, что

(∂c)M ′ + (∂c)M ′ + (∂h)M ′ = z′ ∈ Cn−1(Q′). (2.21)

При этом в силу (2.20)

∂g = ∂cM + ∂cM + (∂c)M ′ + (∂c)M ′ + z′.


Последнее вместе с включением (2.21) означает справедливость равен-ства

[∂cM + (∂c)M ′ + Cn(Q′)] = [∂cM + (∂c)M ′ + Cn(Q′)].

Итак, нами доказана корректность построения отображения ∆∗. Егогомоморфность следует из того, что используемые разложения цепейаддитивны, то есть разложение суммы всегда можно получить, склады-вая разложения слагаемых. Корректность определения гомоморфизмовı∗ и ∗ очевидна. Докажем точность последовательности (2.18).

Для произвольного относительного цикла c+Cn+1(P ′) ∈ Zn+1(P, P ′)имеет место равенство

ı∗◦∆∗([c+Cn+1(P ′)]) = ([∂(cM )+(∂c)M ′+Cn(M ′)], [∂(cN )+(∂c)N ′+Cn(N ′)]).

Но по построению (∂c)M ′ ∈ Cn(M ′) и (∂c)N ′ ∈ Cn(N ′). Следовательно,[∂(cM ) + (∂c)M ′ + Cn(M ′)] = 0 и [∂(cN ) + (∂c)N ′ + Cn(N ′)] = 0. Этимдоказано, что ı∗ ◦∆∗ = 0.

Если z + Cn(Q′) ∈ Zn(Q,Q′), то

∗ ◦ ı∗([z + Cn(Q′)]) = [z + z + Cn(P ′)].

Поэтому ∗ ◦ ı∗ = 0.Пусть теперь x + Cn(M ′) ∈ Zn(M,M ′) и y + Cn(N ′) ∈ Zn(N,N ′).

Тогда (x+ y)M = x, (x+ y)N = y, (∂(x+ y))M ′ = ∂x, (∂(x+ y))N ′ = ∂yи потому

∆∗◦∗([x+Cn(M ′)], [y+Cn(N ′)]) = [∂x+∂x+Cn(Q′)] = [∂y+∂y+Cn(Q′)].

Следовательно, ∆∗ ◦ ∗ = 0.Если [z +Cn(Q′)] ∈ ker ı∗, то [z +Cn(M ′)] = 0 в группе Hn(M,M ′) и

[z+Cn(N ′)] = 0 вHn(N,N ′). Это значит, что найдутся цепи x′ ∈ Cn(M ′),y′ ∈ Cn(N ′), a ∈ Cn+1(M) и b ∈ Cn+1(N), удовлетворяющие равенствам∂a = z + x′ и ∂b = z + y′.

Положим c = a + b. Тогда c ∈ Cn+1(P ) и ∂c = x′ + y′ ∈ Cn(P ′).Поэтому c + Cn+1(P ′) ∈ Zn+1(P, P ′). Кроме того, мы можем считать,что cM = a, cN = b, (∂c)M ′ = x′ и (∂c)N ′ = y′. Но тогда

∆∗([c+Cn+1(P ′)]) = [∂a+x′+Cn(Q′)] = [∂b+y′+Cn(Q′)] = [z+Cn(Q′)].

Следовательно, [z + Cn(Q′)] ∈ im ∆∗.Результаты последних двух абзацев означают, что ker ı∗ ⊂ im ∆∗.Рассмотрим далее элементы [x+Cn(M ′)] ∈ Hn(M,M ′) и [y+Cn(N ′)] ∈

Hn(N,N ′) и допустим, что ∗([x + Cn(M ′)], [y + Cn(N ′)]) = 0. Тогда


[x+ y + Cn(P ′)] = 0 в Hn(P, P ′). Поэтому существуют цепи c′ ∈ Cn(P ′)и e ∈ Cn+1(P ), для которых ∂e = x+ y + c′.

Пусть e = eM + eN и c′ = c′M ′ + c′N ′ – разложения со свойствамииз леммы 2.2. Положим z = ∂eM + x + c′M ′ . Тогда z + ∂eN + x + c′N ′ =∂e + x + y + c′ = 0. Следовательно, z = ∂eN + x + c′N ′ и z ∈ Cn(Q).Кроме того, ∂z = ∂x+∂c′M ′ = ∂y+∂c′N ′ и потому ∂z ∈ Cn−1(Q′). Такимобразом, z + Cn(Q) ∈ Zn(Q,Q′).

По построению [z+Cn(M ′)] = [∂eM+x+c′M ′+Cn(M ′)] = [x+Cn(M ′)]и [z+Cn(N ′)] = [∂eN +y+ c′N ′ +Cn(N ′)] = [y+Cn(N ′)]. Следовательно,

ı∗([z+Cn(Q)]) = ([z+Cn(M ′)], [z+Cn(N ′)]) = ([x+Cn(M ′)], [y+Cn(N ′)]).

Таким образом, нами доказано, что ker ∗ ⊂ im ı∗.Предположим, наконец, что для некоторого элемента [c+Cn(P ′)] ∈

Hn(P, P ′) справедливо равенство ∆∗([c+ Cn(P ′)]) = 0. Тогда

[∂(cM ) + (∂c)M ′ + Cn(Q′)] = [∂(cN ) + (∂c)N ′ + Cn(Q′)] = 0

в Hn−1(Q,Q′). Поэтому имеются такие цепи z′ ∈ Cn−1(Q′) и e ∈ Cn(Q),что

∂(cM ) + (∂c)M ′ + z′ = ∂e = ∂(cN ) + (∂c)N ′ + z′.

Пусть x = cM+e и y = cN+e. Очевидно, что x ∈ Cn(M) и y ∈ Cn(N).Кроме того, ∂x = ∂cM + ∂e = (∂c)M ′ + z′ и ∂x = ∂cM + ∂e = (∂c)M ′ + z′,откуда следуют включения ∂x ∈ Cn−1(M ′) и ∂y ∈ Cn−1(N ′). Такимобразом, x+Cn(M ′) ∈ Zn(M,M ′) и y+Cn(N ′) ∈ Zn(N,N ′). Но согласноравенству x+ y = c

∗([x+ Cn(M ′)], [y + Cn(N ′)]) = [c+ Cn(P ′)].

Этим доказано, что ker ∆∗ ⊂ im ∗.

Глава 3

Сингулярные гомологии и ихприменения в комбинаторнойтопологии

1. Группы сингулярных гомологий

Определение 3.1. Пусть для каждого i = 0, 1, . . . , n символ e1+ni обо-значает точку пространства R1+n, у которой компонента с номером iравна единице, а все остальные – нулю. Тогда набор точек

{e1+n0 = (1, 0, . . . , 0), e1+n

1 = (0, 1, . . . , 0), . . . , e1+nn = (0, 0, . . . , 1)}

невырожден. Натянутый на них n-мерный симплекс ∆n = [e1+n0 e1+n1 . . . e1+nn ]называется стандартным n-симплексом.

Если S = {i0, i1, . . . , ik} ⊂ {0, 1, . . . , n}, то формула

λnS(k∑j=0

tje1+kj ) =

k∑j=0

tje1+nij

(3.1)

определяет линейную инъекцию λnS : ∆k → ∆n.В частном случае, когда S = {0, 1, . . . , n} \ {j}, где j ∈ {0, 1, . . . , n},

мы будем для краткости полагать λnS = λnj (см. рис. 3.1). Также поло-жим λnS = λnij для S = {0, 1, . . . , n} \ {i, j}, где i, j ∈ {0, 1, . . . , n} и i < j.Непосредственным вычислением можно убедиться в том, что

λnj ◦ λn−1i =

{λnj i+1 при j 6 i,

λnij при i < j(3.2)

46

1. Группы сингулярных гомологий 47

Рис. 3.1: Каноническая инъекция λ21.

Определение 3.2. Пусть X – подмножество пространства RN , а ∆n

– стандартный n-симплекс. Тогда произвольное непрерывное отобра-жение α : ∆n → X называется n-мерным сингулярным симплексоммножества X.

Рис. 3.2: Стандартный 1-симплекс α : ∆1 → X.

Совокупность всех n-мерных сингулярных симплексов множества Xмы будем обозначать символом Sn(X). Отметим, что в общей ситуацииSn(X) – бесконечное множество.

Определение 3.3. Конечное подмножество c = {α1, . . . , αp} ⊂ Sn(X)называется n-мерной сингулярной цепью. Набор всех сингулярных n-цепей множества X далее будет обозначаться символом Csn(X).

Определение 3.4. Для двух сингулярных n-цепей c, c′ ∈ Csn(X) поло-жим

c+ c′ = (c ∪ c′) \ (c ∩ c′). (3.3)

Этим определена сингулярная n-цепь c+ c′ ∈ Cn(X), которая считаетсясуммой цепей c и c′.

48 Глава 3. Сингулярные гомологии

Как и в симплициальном случае, операция 3.3 превращает множе-ство сингулярных n-цепей Csn(X) в абелеву группу. Полагая 0 · c = 0 и1 ·c = c, можно определить умножение цепей на элементы поля Z2. Приэтом группа Csn(X) становится векторным пространством над Z2.

Отождествляя сингулярные симплексы αi и состоящие из них цепиci = {αi} ∈ Csn(X), получим равенства

c = {α1, . . . , αp} = c1 + · · ·+ cp = α1 + · · ·+ αp.

Определение 3.5. Пусть α : ∆n → X – n-мерный сингулярный сим-плекс множества X. Тогда формула

∂α =n∑j=0

α ◦ λnj (3.4)

определяет сингулярную цепь размерности n − 1, которая называетсяграницей сингулярного симплекса α.

Границей цепи c = {α1, . . . , αp} = α1 + · · · + αp называется сумма∂c = ∂α1 + · · ·+ ∂αp.

Полагая ∂n(c) = ∂c для c ∈ Csn(X), определим граничный гомомор-физм ∂n : Csn(X)→ Csn−1(X).

Предложение 3.1. Для любого натурального числа n имеет месторавенство ∂n−1 ◦ ∂n = 0.

Доказательство. Для доказательства предложения достаточно убедить-ся в том, что для произвольного сингулярного симплекса α : ∆n → Xимеет место равенство ∂n−1 ◦ ∂n(α) = 0.

В силу (3.4)

∂(∂α) = ∂(n∑j=0

α ◦ λnj ) =n∑j=0

(j−1∑i=0

α ◦ λnj ◦ λn−1i +

n−1∑i=j

α ◦ λnj ◦ λn−1i ).

Отсюда согласно (3.2) следует, что

∂(∂α) =n∑j=0

(j−1∑i=0

α ◦ λnij +n−1∑i=j

α ◦ λnj i+1)

или ∂(∂α) = S1 + S2, где

S1 =n∑j=0

j−1∑i=0

α ◦ λnij и S2 =n∑j=0

(n∑

i=j+1

α ◦ λnj i+1.


Каждая (n−2)-мерная грань α◦λnst, s < t, один раз входит в сумму S1

(при i = s и j = t) и один раз – в S2 (при j = s и i = t). Следовательно,она входит в сумму S1 + S2 точно два раза и потому ∂(∂σn) = 0.

Определения сингулярных циклов и границ аналогичны тем, чтобыли в теории симплициальных гомологий.

Определение 3.6. Цепь c ∈ Csn(X), у которой граница равна нулю,называется сингулярным циклом. Если существует такая (n + 1)-цепьc′ ∈ Csn+1(X), что ∂c′ = c, то цепь c считается сингулярной границей.Множества всех n-мерных сингулярных циклов и границ множества Xобозначаются символами Zsn(X) и Bs

n(X) соответственно.

Согласно предложению 3.1 группа n-мерных сингулярных границBsn(X) является подгруппой группы сингулярных n-циклов Zsn(X). По-

этому имеет смысл следующее определение.

Определение 3.7. Фактор-группа Hsn(X) = Zsn(X)/Bs

n(X) группы n-мерных сингулярных циклов множества X по подгруппе n-мерных син-гулярных границ называется его n-мерной группой сингулярных гомо-логий.

На сингулярную теорию без изменений переносятся понятия гомо-логичности цепей и циклов, а также гомологичского класса цепи илицикла. Также очевидно, что Cs0(X) = Zs0(X).

Определение 3.8. Путем в множестве X ⊂ RN называется произволь-ное непрерывное отображение x : I → X, где I = [0, 1] ⊂ R. При этомточка x(0) считается началом пути x, а точка x(1) – его концом. Путьx−1 : I → X, определенный формулой x−1(t) = x(1 − t) называетсяобратным для x.

Определение 3.9. Если x, y : I → X – пути в X и x(1) = y(0), тоформулой

(xy)(t) ={x(2t) при t ∈ [0, 1/2],y(2t− 1) при t ∈ [1/2, 1]

определен путь xy : I → X, который называется произведением путейx и y.

Определение 3.10. Множество X ⊂ RN называется связным, еслидля любых его различных точек a, b ∈ X существует путь x : I → X сначалом x(0) = a и концом x(1) = b.


Очевидно, что любой симплекс является связным множеством.Почти дословным повторением рассуждений главы 2 доказываются

следующие утверждения.

Предложение 3.2. Пусть X и Y – связные подмножества простран-ства RN . Тогда их объединение X ∪ Y – связно в том и только томслучае, если P ∩Q 6= ∅.

Предложение 3.3. Для любого множества X ⊂ RN и произвольнойего точки a ∈ X в наборе C(a,X) всех содержащих a связных под-множеств Y ⊂ X найдется наибольшее (по включению) множествоLa ∈ C(a,X).

Определение 3.11. Наибольшее содержащее точку a связное подмно-жество La ⊂ X называется компонентой связности точки a ∈ X.

Согласно предложению 3.2 имеет место следующее свойство.

Предложение 3.4. Компоненты связности La и Lb произвольных то-чек a и b множества X либо не пересекаются, либо совпадают.

Определение 3.12. Согласно предложению 3.4 произвольное множе-ство X ⊂ RN представляет собой объединение попарно непересекаю-щихся подмножеств L ⊂ X, каждое из которых является компонентойсвязности любой своей точки. Эти подмножества называется компонен-тами связности множества X.

Отметим, что в отличие от полиэдров из главы 2 набор компонентсвязности даже ограниченного множества X ⊂ RN может оказатьсябесконечным.

Теорема 3.1. Предположим, что множество X ⊂ RN состоит из ко-нечного набора L1, . . . , Ll компонент связности. Тогда для всех неот-рицательных целых n

Hsn(P ) ∼= Hn(L1)× · · · ×Hs

n(Ll).

Доказательство. В силу связности симплексов и предложения 3.2 каж-дая цепь c ∈ Csn(X) распадается в сумму c = c1 + · · · + cl цепей ci ∈Csn(Li), i = 1, . . . , l. Как и в доказательстве теоремы 2.1, легко прове-рить, что c ∈ Zsn(X) тогда и только тогда, когда ci ∈ Zsn(Li) для всехi = 1, . . . , l, а включение c ∈ Bs

n(X) эквивалентно одновременному вы-полнению включений ci ∈ Bs

n(Li), i = 1, . . . , l. Поэтому формула f([c]) =([c1], . . . , [cl]), где [c], [c1], . . . , [cl] – гомологические классы сингулярныхциклов c, c1, . . . , cl в множествах X, L1, . . . , Ll соответственно, коррект-но определяет изоморфизм f : Hs

n(X)→ Hsn(L1)× · · · ×Hs

n(Ll).


Стандартным нульмерным симплексом по определению является чис-ло 1 ∈ R. Поэтому если c = {α1, . . . , αp} ∈ Zs0(X) – нульмерный сингу-лярный цикл, то αi : 1 → X – произвольные отображения, i = 1, . . . , p.Следовательно, рассматриваемый цикл можно отождествить с совокуп-ностью образов α1(1), . . . , αp(1) ∈ X. По этой причине доказательствоследующего утверждения дословно повторяет обоснование теоремы 2.2.

Теорема 3.2. Пусть X – связное множество. Тогда Hs0(X) ∼= Z2.

Пример 3.1. Рассмотрим множество, состоящее из одной точки v. По-скольку оно связно, то по теореме 3.2 Hs

0(v) ∼= Z2. Пусть далее n > 0.Тогда Csn(v) = {0, αnv}, где αnv : ∆n → v – единственный сингулярныйn-симплекс множества v. Так как αnv ◦λnk = αn−1

v для всех k = 0, 1, . . . , n,то

∂αnv =n∑k=0

αn−1v =

{0 при 1 + n ∈ (2Z),αn−1v при 1 + n ∈ (1 + 2Z).

Таким образом, ∂n : Csn(v) → Csn−1(v) – нулевой гомоморфизм длянечетных n и изоморфизм – для четных. В первом случае ker ∂n =Csn(v) = im ∂n+1, во втором ker ∂n = 0 = im ∂n+1. Следовательно,Hs

n(v) =0 для всех n > 0.

Пусть Y – подмножество множества X ⊂ RN и n – произвольноецелое неотрицательное число. Для каждого сингулярного n-симплексаα : ∆n → Y имеет место включение α(∆n) ⊂ Y ⊂ X. Поэтому α можносчитать сингулярным симплексом множества X. Сказанное означает,что Csn(Y ) – подгруппа группы Csn(X).

Определение 3.13. Фактор-группа

Csn(X,Y ) = Csn(X)/Csn(Y ) = {c+ Csn(Y )| c ∈ Csn(X)}

называется группой относительных сингулярных цепей пары (X,Y ).

Как и в главе 2, будем полагать c = c+ Csn(Y ) для всех c ∈ Csn(X).Тогда Csn(X,Y ) = {c| c ∈ Csn(X)}.

Из включения c′ ∈ Csn(Y ) следует, что ∂c′ ∈ Csn−1(Y ). Поэтому фор-мулы ∂c = ∂c = ∂c + Csn−1(Y ) и ∂n(c) = ∂c определяют граничныйгомоморфизм ∂n : Csn(X,Y )→ Csn−1(X,Y ).

Определение 3.14. Положим

Zsn(X,Y ) = {c ∈ Csn(X,Y )| ∂c = 0}, Bsn(X,Y ) = {∂a| a ∈ Csn+1(X,Y )}.

Имеет место следующий аналог леммы 2.1.


Лемма 3.1. Если c ∈ Csn(X,Y ), то

• включения c ∈ Zsn(X,Y ) и ∂c ∈ Zsn−1(Y ) равносильны;

• c ∈ Bsn(X,Y ) в том и только в том случае, если найдется такая

цепь c′ ∈ Csn(Y ), что c+ c′ ∈ Bsn(X).

Рис. 3.3: Слева c – относительный сингулярный 1-цикл, на правом рисунке c– относительная одномерная граница.

Определение 3.15. Фактор-группа Hsn(X,Y ) = Zsn(X,Y )/Bs

n(X,Y )называется n-мерной группой относительных сингулярных гомологийпары (X,Y ).

Точно так, как это было сделано в главе 2 для групп симплициаль-ных гомологий, строится сингулярная гомологическая последователь-ность

. . .→ Hsn(Y ) ı∗−→ Hs

n(X)∗−→ Hs

n(X,Y ) ∂∗−→ Hn−1(Y )→ . . . (3.5)

пары (X,Y ) и доказываются следующие утверждения.

Теорема 3.3. Сингулярная гомологическая последовательность пары(X,Y ) точна.

Теорема 3.4. Если X1, . . . , Xl – компоненты связности множестваX ⊂ RN , Y1, . . . , Yl – их подмножества и Y = Y1 ∪ · · · ∪ Yl, то

Hsn(X,Y ) ∼= Hs

n(X1, Y1)× · · · ×Hsn(Xl, Yl)

для всех неотрицательных целых n.

Теорема 3.5. Пусть X ⊂ RN – связное множество и Y ⊂ X. ТогдаHs

0(X,Y ) ∼= Z2 при Y = ∅ и Hs0(X,Y ) = 0 при Y 6= ∅.

2. Гомотопическая инвариантность сингулярных гомологий 53

Теорема 3.6. Для любого связного подмножества X ⊂ RN и точкиv ∈ X

• Hs0(X, v) = 0;

• Hsn(X, v) ∼= Hs

n(X) для всех n > 0.

2. Гомотопическая инвариантность групп сингу-лярных гомологий

Пусть P – полиэдр, V (P ) – упорядоченный список его вершин. Безограничения общности можно считать, что вершины каждого симплек-са σn = [v0v1 . . . vn] ∈ K(P ) упорядочены так, что при i < j номервершины vi в списке V (P ) меньше номера вершины vj .

Определим сингулярный n-симплекс Λσn : ∆n → P формулой

Λσn(n∑i=0

tie1+ni ) =

n∑i=0

tivi. (3.6)

Рис. 3.4: Канонический сингулярный симплекс Λσ1 : ∆2 → P .

Если S = {i0, i1, . . . , ik} ⊂ {0, 1, . . . , n} и σkS = [vi0vi1 . . . vik ] – граньсимплекса σn, то i0 < i1 < · · · < ik. При этом

ΛσkS(k∑j=0

tje1+kj ) =

k∑j=0

tjvij .

С другой стороны,

Λσn ◦ λnS(k∑j=0

tjvj) = Λσn(k∑j=0

tje1+nij

).


Таким образом,Λσk

S= Λσn ◦ λnS . (3.7)

Рассмотрим далее подмножество X ⊂ RN и непрерывное отображе-ние f : P → X. Тогда формула

fs∗ (σn) = f ◦ Λσn (3.8)

определяет отображение fs∗ : Kn(P )→ Sn(P ). В силу (3.7)

fs∗ (σkS) = fs∗ (σ

n) ◦ λnS (3.9)

для любой грани σkS ⊂ σn.Продолжим fs∗ до гомоморфизма fs∗ : Cn(P )→ Csn(X), полагая

fs∗ (σn1 + · · ·+ σnp ) = fs∗ (σ

n1 ) + · · ·+ fs∗ (σ

np )

для произвольной цепи c = {σn1 , . . . , σnp } = σn1 + · · ·+ σnp полиэдра P .При k ∈ {0, 1, . . . , n} и S = {0, 1, . . . , n}\{k} мы, как правило, обозна-

чаем грань σn−1S ⊂ σn символом σn−1

k , а соответствующее отображениеλnS : ∆n−1 → ∆n – символом λnk . Согласно (3.9)

fs∗ (∂σn) = fs∗ (

n∑k=0

σn−1k ) =

n∑k=0

fs∗ (σn−1k ) =

n∑k=0

fs∗ (σn) ◦ λnk = ∂(fs∗ (σ

n)).

Но тогдаfs∗ ◦ ∂(c) = ∂ ◦ fs∗ (c) (3.10)

для любой цепи c ∈ Cn(P ). Следовательно, формула fs∗ ([z]) = [fs∗ (z)],где z ∈ Zn(P ), определяет гомоморфизм fs∗ : Hn(P )→ Hs

n(X).Пусть P и Q – полиэдры, Y ⊂ RN , h : P → Q – симплициальный

гомеоморфизм, а g : Q → Y – непрерывное отображение. Тогда дляпроизвольного симплекса σn = [v0v1 . . . vn] ∈ K(P ) образ h(σn) являет-ся симплексом полиэдра Q с вершинами h(v0), h(v1), . . . , h(vn). По этойпричине

Λh(σn)(n∑i=0

tie1+ni ) =

n∑i=0

tih(vi) = h(n∑i=0

tivi). (3.11)

В силу (3.8) и (3.11)

gs∗(h(σn)) = g ◦ Λh(σn) = g ◦ h ◦ Λσn = (g ◦ h)s∗(σn).

Отсюда следует, чтоgs∗(h(c)) = (g ◦ h)s∗(c) (3.12)


для любой цепи c ∈ Cn(P ).

Рассмотрим натуральные числа N и N ′, подмножества X ⊂ RN иY ⊂ RN ′ и непрерывное отображение f : X → Y . Тогда для каждогосингулярного симплекса α : ∆n → X множества X композиция f ◦α : ∆n → Y представляет собой сингулярный симплекс множества Y .Положим

f∗(α) = f ◦ α и f∗(α1 + · · ·+ αp) = f∗(α1) + · · ·+ f∗(αp)

для произвольной цепи c = α1 + · · · + αp ∈ Csn(X). Этим определенгомоморфизм f∗ : Csn(X)→ Csn(Y ). По построению

f∗(∂α) = f∗(n∑k=0

α ◦ λnk) =n∑k=0

f ◦ α ◦ λnk = ∂(f ◦ α) = ∂(f∗(α)).

Следовательно, f∗ ◦ ∂ = ∂ ◦ f∗ и потому формулой f∗([α]X) = [f∗(α)]Yкорректно определен гомоморфизм групп гомологий f∗ : Hs

n(X) →Hsn(Y ).

Определение 3.16. Построенный в предыдущем абзаце гомоморфизмf∗ : Hs

n(X) → Hsn(Y ) называется гомоморфизмом групп сингулярных

гомологий, индуцированным непрерывным отображением f : X → Y .

Предложение 3.5. Для непрерывных отображений f : X → Y и g :Y → Z и тождественного отображения idX : X → X индуцированныеими гомоморфизмы обладают свойствами:

(g ◦ f)∗ = g∗ ◦ f∗ и (idX)∗ = idHsn(X) .

Доказательство. Для произвольного сингулярного симплекса α : ∆n →X по определению 3.16 (g ◦ f)∗(α) = (g ◦ f) ◦ α = g∗(f ◦ α) = g∗ ◦ f∗(α)и id∗(α) = id ◦α = α.

Предложение 3.6. Если f : X → Y – гомеоморфизм, то f∗ : Hsn(X)→

Hsn(Y ) – изоморфизм.

Доказательство. Действительно, для гомоморфизма f : X → Y суще-ствует обратный гомеоморфизм g : Y → X, связанный с f равенствамиg ◦ f = idX и f ◦ g = idY . При этом по преложению 3.5 g∗ ◦ f∗ = idHs

n(X)

и f∗ ◦ g∗ = idHsn(Y ). А это означает, что f∗ и g∗ – взаимно обратные

изоморфизмы.


Согласно предложению 3.6 гомеоморфные подмножества X ⊂ RN

и Y ⊂ RN ′ имеют изоморфные группы сингулярных гомологий. Такимобразом, группы сингулярных гомологий Hs

n(X) являются топологиче-скими инвариантами. Однако, на самом деле, они инвариантны относи-тельно более слабого отношения эквивалентности.

Определение 3.17. Пусть f, g : X → Y и H : X × I → Y – непре-рывные отображения, причем H(x, 0) = f(x) и H(x, 1) = g(x) для всехx ∈ X. Тогда отображения f и g называются гомотопными, а H – свя-зывающей их гомотопией. Гомотопность отображений f и g принятообозначать символом f ∼ g.

Рис. 3.5: f, g : X → Y – гомотопные непрерывные отображения.

Рис. 3.6: H : X × I → Y – гомотопия, связывающая f и g.

Теорема 3.7. Если непрерывные отображения f : X → Y и g : X →Y гомотопны, то индуцированные ими гомоморфизмы f∗ : Hs

n(X) →Hsn(Y ) и g∗ : Hs

n(X)→ Hsn(Y ) совпадают.

Доказательство. По условию существует такое непрерывное отобра-жение H : X × I → Y , что

H(x, 0) = f(x) и H(x, 1) = g(x) (3.13)


для всех x ∈ X.Рассмотрим для произвольного неотрицательного целого числа m

стандартный симплекс ∆m = [e1+m0 e1+m1 . . . e1+mn ] и отрезок I = [0, 1].Триангулируем произведение ∆m× I, выбирая в качестве вершин пары(e1+mi , ε), где i ∈ {0, 1, . . . ,m} и ε ∈ {0, 1}, а в качестве симплексовстаршей размерности – симплексы

τm+1p = [(e1+m

0 , 0) . . . (e1+mp , 0)(e1+mp , 1) . . . (e1+mm , 1)],

p = 0, 1, . . . ,m. При этом для цепи Km+1(∆m × I), образованной всеми(m+ 1)-симплексами полиэдра ∆m × I имеет место равенство

∂(Km+1(∆m × I)) = Km(∂∆m × I) + {∆m × 0}+ {∆m × 1}. (3.14)

Если α ∈ Sm(X), то определены непрерывные отображения α× idI :∆m × I → X × I и H ◦ (α× idI) : ∆m × I → Y . Положим

H = H ◦ (α× idI) и D(α) = Hs∗(K

m+1(∆m × I)). (3.15)

Этим определены сингулярная цепь D(α) ∈ Csm+1(Y ) и отображениеD : Sm(X) → Csm+1(Y ). Продолжим его линейно до гомоморфизмаD : Csm(X)→ Csm+1(Y ).

Рис. 3.7: Гомотопия H : ∆1 × I → Y .


Пусть теперь n ∈ Z, n > 0, k ∈ {0, 1, . . . , n},

∆n−1k = [e1+n0 . . . e1+nk−1e

1+nk+1 . . . e

1+nn ]

– грань размерности n − 1 стандартного симплекса ∆n, а λnk : ∆n−1 →∆n−1k – линейный гомеоморфизм, определенный формулой

λnk(n−1∑i=0

tieni ) =

k−1∑i=0

tie1+ni +

n−1∑i=k

tie1+ni+1 .

Тогда относительно построенных выше триангуляций множеств ∆n−1×I и ∆n × I произведение ∆n−1

k × I является подполиэдром полиэдра∆n×I, а отображение λnk× idI : ∆n−1×I → ∆n−1

k ×I – симплициальнымгомеоморфизмом.

В силу (3.15), (3.10) и (3.14) для любого сингулярного симплексаα : ∆n → X имеют место равенства

∂(D(α)) = Hs∗(∂(Km+1(∆n × I))) =

Hs∗(K

n(∂∆n × I) + {∆n × 0}+ {∆n × 1}). (3.16)


D(∂α) =n∑k=0

D(α ◦ λnk) (3.17)

и согласно (3.15)

D(α ◦ λnk) = H ◦ (λnk × idI))s∗(Kn(∆n−1 × I)). (3.18)

Поскольку λnk × idI : ∆n−1×I → ∆n−1k ×I – симплициальный гомеомор-

физм, то из (3.12) следует, что

(H ◦ (λnk × idI))s∗(Kn(∆n−1 × I)) = Hs

∗(Kn(∆n−1

k × I)). (3.19)

В силу (3.17), (3.18) и (3.19)

D(∂α) =n∑k=0

Hs∗(K

n(∆n−1k × I)) = Hs

∗(Kn(∂∆n × I)). (3.20)

Сложив (3.16) и (3.20), получим равенство

∂(D(α)) +D(∂α) = Hs∗({∆n × 0}+ {∆n × 1}). (3.21)


Согласно (3.8) Hs∗(∆

n × ε) = H ◦Λ∆n×ε, причем в силу (3.6) и (3.15)

H ◦ Λ∆n×ε(u) = (H ◦ (α× idI))(u, ε) = H(α(u), ε)

для всех ε ∈ {0, 1} и u ∈ ∆n. Отсюда и из (3.13) следует, что

Hs∗(∆

n × 0) = H ◦ Λ∆n×0 = f ◦ α = f∗(α), (3.22)

Hs∗(∆

n × 1) = H ◦ Λ∆n×1 = g ◦ α = g∗(α). (3.23)

В силу (3.21), (3.22) и (3.23)

∂(D(α)) +D(∂α) = f∗(α) + g∗(α). (3.24)

Из (3.24) следует, что ∂(D(c)) + D(∂c) = f∗(c) + g∗(c) для любойсингулярной цепи c ∈ Csn(X). Если же c – цикл, то ∂c = 0 и потомуf∗(c) + g∗(c) = ∂(D(c)). Последнее означает, что циклы f∗(c) и g∗(c)гомологичны, то есть f∗([c]) = [f∗(c)] = [g∗(c)] = g∗([c]).

Определение 3.18. Пусть X ⊂ RN , Y ⊂ RN ′ , f : X → Y и g : Y → X– непрерывные отображения и композиции g◦f : X → X и f ◦g : Y → Yгомотопны тождественным отображениям idX и idY соответственно. То-гда отображения f и g называются взаимно обратными гомотопически-ми эквивалентностями, а множества X и Y – гомотопически эквива-лентными. Гомотопическую эквивалентность множеств X и Y принятообозначать символом X ∼ Y .

Теорема 3.8. Если непрерывное отображение f : X → Y являетсягомотопической эквивалентностью, то индуцированный гомоморфизмf∗ : Hs

n(X)→ Hsn(Y ) представляет собой изоморфизм.

Доказательство. Для гомотопической эквивалентности f : X → Y поопределению имеется такое непрерывное отображение g : X → Y , чтоg◦f ∼ idX и f ◦g ∼ idY . Согласно теореме 3.7 отсюда следуют равенства(g◦f)∗ = (idX)∗ и (f◦g)∗ = (idY )∗. Но тогда по предложению 3.5 g∗◦f∗ =idHs

n(X) и f∗ ◦ g∗ = idHsn(Y ). Следовательно, f∗ и g∗ – изоморфизмы.

Определение 3.19. Пусть X ⊂ RN , Y ⊂ RN ′ , A ⊂ X и B ⊂ Y . Еслиf : X → Y – непрерывное отображение и f(A) ⊂ B, то говорят, чтоf : (X,A)→ (Y,B) – непрерывное отображение пар.

Предположим, что f : (X,A) → (Y,B) – непрерывное отображе-ние пар и α ∈ Sn(A). Тогда f∗(α) = f ◦ α ∈ Sn(B). Следовательно,f∗(Csn(A)) ⊂ Csn(B) и потому формула f∗(c) = f∗(c), где c ∈ Csn(X),c = c + Csn(A) и f∗(c) = f∗(c) + Csn(B), корректно определяет гомо-морфизм f∗ : Csn(X,A) → Csn(Y,B), а формула f∗([z]) = [f∗(z)], гдеz ∈ Zsn(X,A), – гомоморфизм f∗ : Hs

n(X,A)→ Hsn(Y,B).


Определение 3.20. Построенное отображение f∗ : Hsn(X,A)→ Hs

n(Y,B)называется индуцированным гомоморфизмом для пар.

Рассмотрим диаграмму

. . . −−−−→ Hsn(A) ı∗−−−−→ Hs

n(X)∗−−−−→ Hs

n(X,A) ∂∗−−−−→yf∗ yf∗ yf∗. . . −−−−→ Hs

n(B) ı∗−−−−→ Hsn(Y )

∗−−−−→ Hsn(Y,B) ∂∗−−−−→

∂∗−−−−→ Hsn−1(A) ı∗−−−−→ Hs

n−1(X) −−−−→ . . .yf∗ yf∗∂∗−−−−→ Hs

n−1(B) ı∗−−−−→ Hsn−1(Y ) −−−−→ . . . ,

(3.25)в которой строки являются гомологическими последовательностями пар(X,A) и (Y,B), а f∗ – гомоморфизмы, индуцированные непрерывнымотображением f : (X,A)→ (Y,B).

Предложение 3.7. В диаграмме (3.25) все квадраты коммутативны.

Доказательство. Для любого [c]A ∈ Hsn(A) имеем:

f∗◦ı∗([c]A) = f∗([c]X) = [f∗(c)]Y и ı∗◦f∗([c]A) = ı∗([f∗(c)]B) = [f∗(c)]Y .

Следовательно, f∗ ◦ ı∗ = ı∗ ◦ f∗.Аналогично, если [x]X ∈ Hs

n(X), то

f∗ ◦ ∗([x]X) = f∗([x]) = [f∗(x)] и ∗ ◦ f∗([x]X) = ∗([f∗(x)]Y ) = [f∗(x)].

Поэтому f∗ ◦ ∗ = ∗ ◦ f∗.Наконец, для [x] ∈ Hs

n(X,A) имеют место равенства

f∗◦∂∗([x]) = f∗([∂x]A) = [f∗(∂x)]B, ∂∗◦f∗([x]) = ∂∗([f∗(x)]) = [∂f∗(x)]B.

Поскольку ∂f∗(x) = f∗(∂x) для любой цепи x ∈ Csn(X), то этим доказа-но, что f∗ ◦ ∂∗ = ∂∗ ◦ f∗.

Определение 3.21. Набор гомоморфизмов {f∗} из диаграммы (3.25)называют гомоморфизмом гомологической последовательности пары(X,A) в гомологическую последовательность пары (Y,B).


Лемма 3.2. Предположим, что в диаграмме из групп и гомоморфиз-мов

Fp−−−−→ G

q−−−−→ Hr−−−−→ K

s−−−−→ Lyϕ yγ yχ yκyλ

F ′ p′−−−−→ G′ q′−−−−→ H ′ r′−−−−→ K ′ s′−−−−→ L′

(3.26)

обе строки точны, все квадраты коммутативны, γ и κ – изоморфиз-мы, λ – мономорфизм, а ϕ – эпиморфизм. Тогда χ – также изомор-физм.

Доказательство. Пусть h′ ∈ H ′. Тогда r′(h′) ∈ K ′. Поскольку κ : K →K ′ – эпиморфизм, то найдется элемент k ∈ K, для которого

κ(k) = r′(h′). (3.27)

Точность второй строки влечет за собой равенство s′ ◦ r′(h′) = 0.При этом в силу коммутативности диаграммы λ ◦ s(k) = s′ ◦ r′(h′) = 0.Так как λ : L → L′ – мономорфизм, то отсюда следует, что s(k) = 0.Последнее означает, что k ∈ ker s. Согласно точности первой строкиker s = im r. Поэтому k ∈ im r, то есть существует элемент h ∈ H, длякоторого r(h) = k. Но тогда r′(χ(h)) = κ(r(h)), откуда согласно (3.27)вытекает, что r′(χ(h)) = r′(h′).

Положим h′ = χ(h) + h′. Тогда по доказанному в предыдущем абза-це r′(h′) = 0, то есть h′ ∈ ker r′. При этом h′ ∈ im q′ и потому найдетсятакой элемент g′ ∈ G′, что q′(g′) = h′. Поскольку γ : G → G′ – эпимор-физм, то g′ = γ(g) для некоторого g ∈ G. В результате:

q′(γ(g)) = h′. (3.28)

Положим h = h+ q(g). Тогда χ(h) = χ(h)+χ(q(g)) = χ(h)+ q′(γ(g)).Отсюда согласно (3.28) следует, что χ(h) = χ(h)+h′ = χ(h)+χ(h)+h′ =h′.

Таким образом, для произвольного элемента h′ группы H ′ имеетсяэлемент h группы H, удовлетворяющий равенству χ(h) = h′. Следова-тельно, χ : H → H ′ – эпиморфизм.

Предположим далее, что h ∈ H и χ(h) = 0. Тогда κ◦r(h) = r′◦χ(h) =0. Так как κ : K → K ′ – мономорфизм, то из полученных равенствследует, что r(h) = 0. При этом h ∈ ker r = im q и потому существуетэлемент g ∈ G, для которого

q(g) = h. (3.29)


Но в данной ситуации q′(γ(g)) = χ(q(g)) = χ(h) = 0. Следовательно,γ(g) ∈ ker q′ = im p′. Таким образом,

γ(g) = p′(f ′), (3.30)

где f ′ ∈ F ′.Поскольку ϕ : F → F ′ – эпиморфизм, то найдется такой элемент

f ∈ F , что f ′ = ϕ(f). При этом согласно (3.30) γ ◦ p(f) = p′ ◦ ϕ(f) =p′(f ′) = γ(g). Отсюда и из инъективности гомоморфизма γ : G → G′

следует равенство p(f) = g. Но тогда в силу (3.29) и точности первойстроки диаграммы h = q(g) = q ◦ p(f) = 0.

Итак, любой элемент h из ядра kerχ равен нулю. Поэтому χ : H →H ′ – мономорфизм.

Определение 3.22. Если f : X → Y и g : Y → X – взаимно обрат-ные гомотопические эквивалентности, f(A) ⊂ B и g(B) ⊂ A, то f и gназываются гомотопическими эквивалентностями пар (X,A) и (Y,B).

Теорема 3.9. Предположим, что A ⊂ X ⊂ RN , B ⊂ Y ⊂ RN ′ иf : (X,A) → (Y,B) – непрерывное отображение пар, индуцирующееизоморфизмы f∗ : Hs

n(X) → Hsn(Y ) и f∗ : Hs

n(A) → Hsn(B) при всех

n > 0. Тогда индуцированные гомоморфизмы f∗ : Hsn(X,A)→ Hs

n(Y,B)также являются изоморфизмами.

Доказательство. По теоремам 2.3 и 3.3 обе строки диаграммы (3.25)точны. Согласно предложению 3.7 все квадраты в ней коммутативны.Наконец, по условию вертикальные гомоморфизмы групп абсолютныхгомологий представляют собой изоморфизмы. Отсюда по лемме 3.2 сле-дует, что и f∗ : Hs

n(X,A)→ Hsn(Y,B) – изоморфизмы для всех n > 0.

Следствие 3.1. Если пары (X,A) и (Y,B) гомотопически эквивалент-ны, то группы Hs

n(X,A) и Hsn(Y,B) изоморфны при всех n > 0.

3. Вырезание и его применения

Для произвольного симплекса σm ⊂ Rl символом bσm обозначимцепь, образованную всеми m-симплексами его барицентрического под-разделения.

Если α : ∆n → X – сингулярный симплекс множества X ⊂ RN

и K ′(∆n) – симплициальный комплекс, состоящий из симплексов ба-рицентрического подразделения, то формулами вида (3.8) определеныгомоморфизмы αs∗ : Cm(∆n)→ Csm(X), m = 0, 1, . . . , n.

3. Вырезание 63

Положим bα = αs∗(b∆n). Этим определено отображение b : Sn(X)→

Csn(X). Продолжим его до гомоморфизма b : Csn(X) → Csn(X), полагаяb(α1 + · · ·+ αp) = bα1 + · · ·+ bαp для любой цепи c = α1 + · · ·+ αp.

Определение 3.23. Цепь b(c) называется барицентрическим подраз-делением сингулярой цепи c ∈ Csn(X).

В силу (3.10) и очевидного равенства ∂(b∆n) = b(∂∆n)

∂(bα) = ∂(αs∗(b∆n)) = αs∗(∂(b∆n)) = αs∗(b(∂∆n)). (3.31)


b(∂α) = b(n∑k=0

α ◦ λnk) =n∑k=0

b(α ◦ λnk) =n∑k=0

(α ◦ λnk)s∗(b∆n−1). (3.32)

Однако λnk : ∆n−1 → ∆n−1k – симплициальный гомеоморфизм. Поэтому

согласно (3.32) и (3.12)

b(∂α) =n∑k=0

αs∗(b∆n−1k ) = αs∗(b(

n∑k=0

∆n−1k )) = αs∗(b(∂∆n)). (3.33)

Из (3.31) и (3.33) следует, что ∂(bα) = b(∂α). При этом ∂(b(c)) =b(∂c) для любой цепи c ∈ Csn(X) и потому формула b∗([z]) = [b(z)], гдеz ∈ Zsn(X), определяет гомоморфизм b∗ : Hs

n(X)→ Hsn(X).

Предложение 3.8. Построенный гомоморфизм b∗ : Hsn(X) → Hs

n(X)является тождественным автоморфизмом группы Hs

n(X).

Доказательство. Рассмотрим для m > 0 стандартный симплекс ∆m =[e1+m

0 e1+m1 . . . e1+m

n ], отрезок I = [0, 1] и множество V ′(∆m) барицентроввсех граней симплекса ∆m. Триангулируем произведение ∆m × I, вы-бирая в качестве вершин пары (e1+mi , 0) и (v′, 1), где i = 0, 1, . . . ,m иv′ ∈ V ′(∆m). Симплексы старшей построим следующим образом. Длякаждой грани ∆k

S симплекса ∆m, S = {i0, i1, . . . , ik} ⊂ {0, 1, . . . ,m}, вы-берем все (m− k)-мерные симплексы ∆m−k

Sν барицентрического подраз-деления симплекса ∆m, пересекающиеся с ∆k

S точно по его барицентруwS . Тогда выпуклые оболочки множеств (∆k

S×0)∪(∆m−kSν ×1) представ-

ляют собой симплексы размерности m+1. Их объединение совпадает с∆× I.

При этом еслиKm+1(∆m×I) – совокупность всех (m+1)-симплексовпостроенного комплекса, то

∂(Km+1(∆m × I)) = Km(∂∆m × I) + {∆m × 0}+ b(∆m × 1). (3.34)


Для α ∈ Sm(X) положим

α(u, t) = α(u) и D(α) = αs∗(Km+1(∆m × I)). (3.35)

Этим определены непрерывное отображение α : ∆m × I → X, сингу-лярная цепь D(α) ∈ Csm+1(X) и отображение D : Sm(X) → Csm+1(X).Продолжим его линейно до гомоморфизма D : Csm(X)→ Csm+1(X).

Практически полностью повторив рассуждения из доказательстватеоремы 3.7, с учетом (3.34) получим равенство

∂(D(α)) +D(∂α) = αs∗({∆n × 0}+ b(∆n × 1)). (3.36)

Согласно (3.8)αs∗(∆

n × 0) = αs∗(∆n) = α. (3.37)

По определению гомоморфизма b : Csn(X)→ Csn(X) и в силу (3.35)

αs∗(b(∆n × 1)) = bαs∗(∆

n × 1) = bαs∗(∆n) = bα. (3.38)

Из (3.36), (3.37) и (3.38) следует, что

∂(D(α)) +D(∂α) = bα+ α. (3.39)

Но тогда ∂(D(c)) + D(∂c) = b(c) + c для любой сингулярной цепи c ∈Csn(X). Если c – цикл, то ∂c = 0 и потому b(c) + c = ∂(D(c)). Такимобразом, циклы b(c) и c гомологичны и b∗([c]) = [b(c)] = [c].

Пусть далее A ⊂ X. Тогда для любого n > 0 и произвольной относи-тельной цепи c = c+Csn(A) положим bc = b(c) = b(c)+Csn(A). Этим опре-делен гомоморфизм b : Csn(X,A)→ Csn(X,A). Если c ∈ Zsn(X,A), то по-лагая b∗([c]) = [b(c)], получим гомоморфизм b∗ : Hs

n(X,A)→ Hsn(X,A).

Предложение 3.9. Гомоморфизм b∗ : Hsn(X,A) → Hs

n(X,A) такжепредставляет собой тождественный автоморфизм группы Hs

n(X,A).

Доказательство. Пусть c ∈ Zsn(X,A). По определению c = c + Csn(A),где c ∈ Csn(X). При этом согласно (3.39) имеет место равенство ∂(D(c))+D(∂c) = b(c) + c. Но тогда

b(c) + c+ Csn(A) = ∂(D(c)) +D(∂c) + Csn(A). (3.40)

Поскольку ∂c ∈ Csn−1(A), то D(∂c) ∈ Csn(A). Отсюда и из (3.40) следуетравенство b(c) + c = ∂D(c), эквивалентное совпадению гомологическихклассов b∗([c]) и [c].


Рис. 3.8: Отображение вырезания ı : (X \B,A \B)→ (X,A).

Теорема 3.10. Предположим, что A ⊂ X ⊂ RN , B ⊂ A и B ⊂ IntA,где B – замыкание множества B, а IntA – внутренность множестваA. Тогда для дюбого n > 0 включение ı : (X \ B,A \ B) → (X,A) инду-цирует изоморфизм ı∗ : Hs

n(X \B,A \B)→ Hsn(X,A).

Доказательство. Выберем произвольный элемент [x] ∈ Hsn(X,A). То-

гда x = x+ Csn(A), где x ∈ Csn(X) и ∂x ∈ Csn−1(A) (рис. 3.9).

Рис. 3.9: Образ цепи x, представляющей относительный цикл x ∈ Zs1(X,A),

пересекается с B.

Допустим, что x = {α1, . . . , αp}, где αi : ∆n → X – сингулярныесимплексы, i = 1, . . . , p. По условию α−1

i (B) и α−1i (X \ IntA) – замкну-

тые подмножества симплекса ∆n. Поэтому они ограничены и рассто-яние di между ними положительно. В силу непрерывности отображе-


ния αi : ∆n → X найдется такое натуральное число qi, что для всехсимплексов βj : ∆n → X цепи α′i = b(b . . . (bαi) . . . ), полученной qi-кратным барицентрическим подразделением симплекса αi, диаметр об-раза βj(∆n) меньше числа di.

Положим q = max{q1, . . . , qp} и обозначим символом x′ q-кратноебарицентрическое подразделение цепи x. Пусть x′ = {γ1, . . . , γr}, а x′′

– совокупность всех сингулярных симплексов γk ∈ x′, для которыхγk(∆n) ∩B 6= ∅. Тогда γk(∆n) ⊂ IntA для всех γk ∈ x′′. Следовательно,x′′ ∈ Csn(A) и ∂x′′ ∈ Cn−1(A).

По построению образы всех симплексов цепи y = x′ + x′′ лежат вX\B (см. рис. 3.10). Это значит, что y ∈ Csn(X\B), а y = y+Csn(A\B) ∈Csn(X \ B,A \ B). Кроме того, ∂y = ∂x′ + ∂x′′ ∈ Cn−1(A \ B). Такимобразом, y ∈ Zsn(X \B,A \B).

Рис. 3.10: Представитель y относительного цикла y ∈ Zs1(X,A) целиком ле-

жит в разности X \B.

Так как x′+y = x′′ ∈ Csn(A), то цепи x′ = x′+Csn(A) и y = y+Csn(A)совпадают. Поэтому ı∗([y]) = [y] = [x′]. Согласно предложению 3.9[x′] = [x]. Следовательно, ı∗([y]) = [x], что доказывает сюръективностьгомоморфизма ı∗ : Hs

n(X \B,A \B)→ Hsn(X,A).

Рассмотрим далее элемент [y] ∈ Hsn(X \ B,A \ B) и допустим, что

ı∗([y]) = 0. Тогда y = y+Csn(A\B), где y ∈ Csn(X\B) и ∂y ∈ Cn−1(A\B).Кроме того, найдутся такие цепи z ∈ Csn(A) и c ∈ Csn+1(X), что ∂c = y+z(рис. 3.11).

Тем же методом, что и выше, построим многократное барицентри-ческое подразделение c′ = {δ1, . . . , δt} сингулярной цепи c, образ каждо-го симплекса которого либо не пересекается с B, либо целиком лежит


Рис. 3.11: ∂c = y + z, образы цепей z и c пересекаются с B.

в IntA. Буквой a обозначим множество всех сингулярных симплексовδj ∈ c′, для которых δj(∆n+1) ∩ B = ∅. Тогда, как и в предыдущемслучае, a ∈ Csn+1(X \B) (рис. 3.12).

Рис. 3.12: ∂a = y′ + z′, цепи z′ и a лежат в X \B.

Пусть y′ – барицентрическое подразделение цепи y той же кратно-сти, что и c′. Положим z′ = y′ + ∂a. Тогда z′ ∈ Csn(A \B) и y′ + z′ = ∂a.Это значит, что относительный цикл y′ = y′ + Csn(A \ B) гомологиченнулю, то есть [y′] = 0 в Hs

n(X \B,A \B).Осталось заметить, что по тому же предложению 3.9 [y′] = [y].

Теорема 3.11. Для любого n-симплекса σn = [v0v1 . . . vn] ⊂ RN спра-ведливы утверждения:

• Hsn(σ

n, ∂σn) ∼= Z2;

• Hsk(σ

n, ∂σn) = 0 при всех k 6= n.


Доказательство. Поскольку σ0 = {v0} и ∂σ0 = ∅, то Hsk(σ

0, ∂σ0) =Hsk(v0) для всех k > 0. Согласно примеру 3.1 Hs

0(v0) ∼= Z2 и Hsk(v0) = 0

при k > 0. Этим в случае n = 0 утверждения теоремы доказаны.Пусть далее n > 0. В такой ситуации граница ∂σn не является пу-

стым множеством и по теореме 3.5

Hs0(σn, ∂σn) = 0. (3.41)

Рассмотрим гомологическую последовательность

. . .→ Hsk(σ

n)∗−→ Hs

k(σn, ∂σn) ∂∗−→ Hs

k−1(∂σn) ı∗−→ Hs

k−1(σn)→ . . .

(3.42)пары (σn, ∂σn). Согласно теореме 3.3 она точна.

Так как симплекс σ1 гомотопически эквивалентен точке, то по тео-реме 3.8 Hs

k(σ1) = 0 для k > 0 и Hs

0(σ1) ∼= Z2. Кроме того, ∂σ1 = {v0, v1}– набор двух точек. Поэтому Hs

k−1(∂σ1) = 0 для k > 1. Таким образом,

при n = 1 в (3.42) содержатся точные подпоследовательности:

0→ Hs1(σ1, ∂σ1) ∂∗−→ Hs

0(∂σ1) ı∗−→ Hs0(σ1)→ 0,

0→ Hsk(σ

1, ∂σ1)→ 0,

где k > 1. Поскольку Hs0(∂σ1) ∼= Z2

2 и Hs0(σ1) ∼= Z2, то отсюда следует,

чтоHs

1(σ1, ∂σ1) ∼= Z2, Hsk(σ

1, ∂σ1) = 0 при k > 1. (3.43)

В силу (3.43) и (3.41) утверждения теоремы верны и для n = 1.Пусть теперь n > 1. При k = 1 из (3.42) получим последовательность

0→ Hs1(σn, ∂σn) ∂∗−→ Hs

0(∂σn) ı∗−→ Hs0(σn)→ 0.

Так как ı∗ : Hs0(∂σn)→ Hs

0(σn) – изоморфизм, то из ее точности следует,что

Hs1(σn, ∂σn) = 0 при n > 1. (3.44)

Предположим, наконец, что k > 1. Тогда в силу (3.42) ∂∗ : Hsk(σ

n, ∂σn)→Hsk−1(∂σ

n) – изоморфизм.Из точности гомологической последовательности

. . .→ Hsk−1(v0)

ı∗−→ Hsk−1(∂σ

n)∗−→ Hs

k−1(∂σn, v0)

∂∗−→∂∗−→ Hs

k−2(v0)ı∗−→ Hs

k−2(∂σn)→ . . .

пары (∂σn, v0) следует, что ∗ : Hsk−1(∂σ

n) → Hsk−1(∂σ

n, v0) – такжеизоморфизм.


Как и выше, для всех i = 0, 1, . . . , n символом σn−1i будем обозна-

чать грань симплекса σn = [v0v1 . . . vn], натянутую на набор вершин{v0, v1, . . . , vn} \ {vi}. Положим

βn−1 =n⋃i=1

σn−1i .

Очевидно, ∂σn = σn−10 ∪ βn−1 и σn−1

0 ∩ βn−1 = ∂σn−10 = ∂βn−1. Любая

точка u ∈ βn−1 имеет однозначное представление u = t0v0 + (1 − t0)u′,где t0 ∈ I = [0, 1] и u′ ∈ ∂σn−1

0 = ∂βn−1.

Рис. 3.13: Отображение ψ : ∂σ3 → ∂σ3 переводит подмножество β2 ⊂ ∂σ3 ввершину v0.

Положим

βn−1 = {t0v0 + (1− t0)u′| t0 ∈ [1/2, 1], u′ ∈ ∂σn−10 },

ψ(u) = u для u ∈ σn−10 и

ψ(t0v0 + (1− t0)u′) =

{2t0v0 + (1− 2t0)u′ при t0 ∈ [0, 1/2];

v0 при t0 ∈ [1/2, 1]

для всех u = t0v0 + (1− t0)u′ ∈ βn−1.Поскольку для u ∈ σn−1

0 ∩ βn−1 верны равенства t0 = 0 и u′ = u, тоопределенные различными способами значения отображения ψ в точкеu совпадают. Следовательно, нами построено непрерывное отображениеψ : ∂σn → ∂σn (рис. 3.13).

Определим еще отображение H : ∂σn×I → ∂σn, полагаяH(u, τ) = uдля всех u ∈ σn−1

0 и τ ∈ I, а также

H(t0v0 + (1− t0)u′, τ) =

2t0

2− τv0 +

1− 2t0 − τ2− τ

u′ при t0 ∈ [0,2− τ

2];

v0 при t0 ∈ [2− τ

2, 1]


для u = t0v0 + (1 − t0)u′ ∈ βn−1 и τ ∈ I. Аналогично проверяется, чтооно непрерывно. Кроме того, H(u, 0) = u и H(u, 1) = ψ(u) при всехu ∈ ∂σn. Поэтому H – гомотопия, связывающая тождественное отобра-жение id∂σn : ∂σn → ∂σn с ψ. Отсюда согласно теореме 3.7 следует чтоψ индуцирует изоморфизмы ψ∗ : Hs

q (∂σn)→ Hs

q (∂σn), q > 0.

По построению ψ(βn−1) = v0. Рассмотрим сужение ψ|βn−1 : βn−1 →v0 и включение ıv0 : v0 → βn−1. Очевидно, ψ|βn−1 ◦ ıv0 = idv0 . Пусть

H(t0v0 + (1− t0)u′, τ) = ((1− τ)t0 + τ)v0 + (1− (1− τ)t0 − τ)u′

для u = t0v0 + (1 − t0)u′ ∈ βn−1 и τ ∈ I. Тогда H : βn−1 × I :→ βn−1 –непрерывное отображение, H(u, 0) = u и H(u, 1) = v0 = ıv0 ◦ ψ|βn−1(u)

для всех u ∈ βn−1.Этим доказано, что ψ|βn−1 : βn−1 → v0 – гомотопическая эквива-

лентность. Следовательно, ψ∗ : Hsq (β

n−1) → Hsq (v0) – также изомор-

физм при любом q > 0.По теореме 3.9 из полученных свойств отображения ψ : ∂σn → ∂σn

вытекает, что оно индуцирует изоморфизм

ψ∗ : Hsk−1(∂σ

n, βn−1)→ Hsk−1(∂σ

n, v0).

Поскольку {v0} – замкнутое подмножество границы ∂σn и целикомлежит в Int βn−1, то согласно теореме о вырезании 3.10 включение парı0 : (∂σn \ {v0}, βn−1 \ {v0})→ (∂σn, βn−1) индуцирует изоморфизм

ı0∗ : Hsk−1(∂σ

n \ {v0}, βn−1 \ {v0})→ Hsk−1(∂σ

n, βn−1).

Определим далее отображения

θ : ∂σn \ {v0} → σn−10 и F : ∂σn \ {v0} × I → ∂σn \ {v0},

полагая θ(u) = u и F (u, τ) = u для u ∈ σn−10 , τ ∈ I, а также

θ(t0v0+(1−t0)u′) = u′, F (t0v0+(1−t0)u′, τ) = (1−τ)(t0v0+(1−t0)u′)+τu′

для u = t0v0 + (1− t0)u′ ∈ βn−1 \ {v0}, τ ∈ I.Пусть ın−1 : σn−1

0 → ∂σn \ {v0} – включение. Тогда θ ◦ ın−1 = idσn−10

.Так как F (u, 0) = u и F (u, 0) = θ(u) при любых u ∈ ∂σn \ {v0}, тоF – гомотопия, связывающая тождественное отображение id : ∂σn \{v0} → ∂σn \ {v0} и композицию ın−1 ◦ θ. Поэтому θ – гомотопическаяэквивалентность, а θ∗ : Hs

q (∂σn \ {v0}) → Hs

q (σn−10 ) – изоморфизм при

всех q > 0.


Рис. 3.14: θ отображает границу симплекса σ3 без вершины v0 на противопо-ложную грань σ2

0 .

Рис. 3.15: Образ отображения η : ∂σ20 → β2 \ {v0} совпадает с краем поверх-

ности β2.

Положим η(u′) = (v0 + u′)/2 и

G(t0v0 + (1− t0)u′, τ) = (1− τ)(t0v0 + (1− t0)u′) + τ((v0 + u′)/2)

для u′ ∈ ∂σn−10 , t0v0 + (1− t0)u′ ∈ βn−1 \ {v0} и τ ∈ I. Этим построены

непрерывные отображения η : ∂σn−10 → βn−1 \ {v0} (рис. 3.15) и

G : (βn−1 \ {v0})× I → βn−1 \ {v0}.

Поскольку θ(βn−1 \ {v0}) = ∂σn−10 , то определено сужение

θβn−1\{v0} : βn−1 → ∂σn−10 .

Очевидно, θ◦η = id∂σn−10

, G(u, 0) = u и G(u, 1) = η◦θβn−1\{v0}(u) для лю-

бой точки u ∈ βn−1\{v0}. Это означает, что θβn−1\{v0} – гомотопическаяэквивалентность и потому при всех q > 0 она индуцирует изоморфизм

θ∗ : Hsq (β

n−1 \ {v0})→ Hsq (∂σ

n−10 ).


Как и выше, воспользовавшись теоремой 3.9, из результатов послед-них двух абзацев получим, что непрерывное отображение пар

θ : (∂σn \ {v0}, βn−1 \ {v0})→ (σn−10 , ∂σn−1

0 )

индуцирует изоморфизм

θ∗ : Hsk−1(∂σ

n \ {v0}, βn−1 \ {v0})→ Hsk−1(σ

n−10 , ∂σn−1

0 ).

Итак, нами построена следующая последовательность групп и ихизоморфизмов

Hsk(σ

n, ∂σn) ∂∗−→ Hsk−1(∂σ

n)∗−→ Hs

k−1(∂σn, v0)

(ψ∗)−1

−→(ψ∗)−1

−→ Hsk−1(∂σ

n, βn−1)(ı0∗)

−1

−→ Hsk−1(∂σ

n \ {v0}, βn−1 \ {v0})θ∗−→

θ∗−→ Hsk−1(σ

n−10 , ∂σn−1

0 ). (3.45)

Полагая σn−1 = σn−10 , из (3.45) получим:

Hsk(σ

n, ∂σn) ∼= Hsk−1(σ

n−1, ∂σn−1). (3.46)

Пусть теперь k = n. Тогда в силу (3.46) и (3.43)

Hsn(σ

n, ∂σn) ∼= Hs1(σ1, ∂σ1) ∼= Z2. (3.47)

Если k > n, то из тех же формул следует, что

Hsk(σ

n, ∂σn) ∼= Hsk−n+1(σ

1, ∂σ1) = 0. (3.48)

Наконец, при k < n согласно (3.46) и (3.44)

Hsk(σ

n, ∂σn) ∼= Hs1(σn−k+1, ∂σn−k+1) = 0. (3.49)

Формулы (3.47), (3.41), (3.49) и (3.48) означают, что утверждениетеоремы справедливо и для n > 1.

Пусть P – m-мерный полиэдр, K(P ) – его симплициальный ком-плекс, 0 6 n 6 m, а Kn(P ) и Kn−1(P ) – его остовы размерностей n иn− 1 соответственно.

Для произвольного симплекса σn = [v0v1 . . . vn] ∈ Kn(P ) и номераi ∈ {0, 1, . . . , n} положим

w =v0 + v1 + · · ·+ vn

n+ 1, vi =

w + vi2

. (3.50)


Тогда w – барицентр симплекса σn, vi ∈ σn при всех i = 0, 1, . . . , n инабор точек {v0, v1, . . . , vn} невырожден. Поэтому существует симплекс

σn = [v0v1 . . . vn] ⊂ σn. (3.51)

Положим

Pn =⋃

σn∈Kn(P )

σn и Pn−1 = Pn−1 ∪ (⋃

σn∈Kn(P )

(σn \ Int σn)). (3.52)

Отметим, что∂Pn = ∂Pn−1 =

⋃σn∈Kn(P )

∂σn. (3.53)

Произвольная точка u ∈ σn может быть единственным способомпредставлена в виде суммы u = tw + (1 − t)u∗, где t ∈ I и u∗ ∈ ∂σn. Вчастности, v∗i = vi и vi = (1/2)w+(1/2)v∗i . Точка u = tw+(1− t)u∗ ∈ σnпринадлежит симплексу σn в том и только том случае, если t ∈ [1/2, 1].

Определим отображения fσn : σn → σn формулой

fσn(tw + (1− t)u∗) =

{u∗ при t ∈ [0, 1/2];

2tw + (1− 2t)u∗ при t ∈ [1/2, 1].

Положим f(u) = u для u ∈ Pn−1 и f(u) = fσn(u) при u ∈ σn ∈ Kn(P ).Так как для u ∈ ∂σn имеют место равенства u∗ = u и fσn(u) = u∗ = u,то нами построено непрерывное отображение f : Pn → Pn. Посколькуf(Pn−1) = Pn−1, то f : (Pn, Pn−1)→ (Pn, Pn−1) – непрерывное отобра-жение пар.

В силу (3.52) и (3.53) включение ı : Pn → Pn также является непре-рывным отображением пар ı : (Pn, ∂Pn) → (Pn, Pn−1). Поэтому опре-делена композиция φ = f ◦ ı : (Pn, ∂Pn)→ (Pn, Pn−1) (рис. 3.16).

Предложение 3.10. Отображение φ = f ◦ ı индуцирует изоморфизм

φ∗ : Hsk(P

n, ∂Pn)→ Hsk(P

n, Pn−1)

для любого k > 0.

Доказательство. Определим гомотопию Hσn : σn × I → σn формулой

Hσn(tw + (1− t)u∗, τ) =

u∗ при t ∈ [0, τ/2];

22t− τ2− τ

w +2 + τ − 4t

2− τu∗ при t ∈ [τ/2, 1].


Рис. 3.16: Композиция φ = f ◦ ı отображает объединение попарно непересе-кающихся симплексов из P 2 на остов P 2.

Положим H(u, τ) = u для u ∈ Pn−1 и H(u, τ) = Hσn(u, τ) для u ∈σn ∈ Kn(P ) и τ ∈ I. Построенное отображение H : Pn × I → Pn

непрерывно, H(u, 0) = u и H(u, 1) = f(u) для всех u ∈ Pn. Это значит,что f гомотопно тождественному отображению idPn Pn → Pn и потомуиндуцирует изоморфизмы f∗ : Hs

k(Pn)→ Hs

k(Pn), k > 0.

Сужение f |Pn−1 : Pn−1 → Pn−1 и включение ın−1 : Pn−1 → Pn−1

связаны равенством f |Pn−1 ◦ ın−1 = idPn−1 . Положим

Hσn(tw + (1− t)u∗, τ) = (1− τ)tw + ((1− τ)(1− t) + τ)u∗

для u = tw+(1−t)u∗ ∈ σn∩Pn−1 и τ ∈ I. Так как (1−τ)t+(1−τ)(1−t)+τ = 1 и (1− τ)t 6 (1/2), то этим определено непрерывное отображениеHσn : σn∩ Pn−1×I → σn∩ Pn−1. Пусть также H(u, τ) = u при u ∈ Pn−1

и H(u, τ) = Hσn(u, τ) при u ∈ σn ∩ Pn−1 и τ ∈ I. Таким образом по-строена гомотопия H : Pn−1 × I → Pn−1, связывающая тождественноеотображение idPn−1 : Pn−1 → Pn−1 с композицией ın−1 ◦ f |Pn−1 . Следо-вательно, f |Pn−1 : Pn−1 → Pn−1 – гомотопическая эквивалентность ииндуцирует изоморфизмы f∗ : Hs

k(Pn−1)→ Hs

k(Pn−1), k > 0.

По теореме 3.9 из доказанного в последних двух абзацах вытекает,что отображение f : (Pn, Pn−1)→ (Pn, Pn−1) индуцирует изоморфизм

f∗ : Hsk(P

n, Pn−1)→ Hsk(P

n, Pn−1)

в каждой размерности k > 0.Поскольку Pn−1 – замкнутое подмножество остова Pn и лежит во

внутренности Int Pn−1 подмножества Pn−1 ⊂ Pn, то согласно теореме


3.10 включение ın : (Pn \ Pn−1, Pn−1 \ Pn−1) → (Pn, Pn−1) индуцируетизоморфизмы

ın∗ : Hsk(P

n \ Pn−1, Pn−1 \ Pn−1)→ Hsk(P

n, Pn−1)

для всех k > 0.Для каждого σn ∈ Kn(P ) и произвольного u = tw+(1−t)u∗ ∈ Intσn

положим

π(tw + (1− t)u∗) =

{w/2 + u∗/2 при t ∈ [0, 1/2];

tw + (1− t)u∗ при t ∈ [1/2, 1].

Так какPn \ Pn−1 =

⋃σn∈Kn(P )

Intσn

и Intσn ∩ Intσ′n = ∅ для любых σn, σ′n ∈ Kn(P ), то предыдущая фор-мула определяет непрерывное отображение π : Pn \ Pn−1 → Pn.

Поскольку π(Pn−1 \Pn−1) = ∂Pn, то π : (Pn \Pn−1, Pn−1 \Pn−1)→(Pn, ∂Pn) – непрерывное отображение пар. Рассмотрим далее вклю-чение ın : (Pn, ∂Pn) → (Pn \ Pn−1, Pn−1 \ Pn−1). Очевидно, π ◦ ın –тождественное отображение пары (Pn, ∂Pn) в себя.

Для всех σn ∈ Kn(P ), u = tw + (1− t)u∗ ∈ Intσn и τ ∈ I положим

F (tw+(1−t)u∗, τ) =

(t− tτ +

τ

2)w + (1− t+ tτ − τ

2)u∗ при t ∈ [0,

12];

tw + (1− t)u∗ при t ∈ [12, 1].

Тогда F : (Pn\Pn−1)×I → Pn\Pn−1 – непрерывная гомотопия, причемF (Pn−1 \ Pn−1) = ∂Pn, F (u, 0) = 0 и F (u, 1) = ın ◦ π(u) для всех точекu ∈ Pn \ Pn−1. Поэтому ın : (Pn, ∂Pn) → (Pn \ Pn−1, Pn−1 \ Pn−1) –гомотопическая эквивалентность и она при любом k > 0 индуцируетизоморфизм

ın∗ : Hsk(P

n, ∂Pn)→ Hsk(P

n \ Pn−1, Pn−1 \ Pn−1).

Итак, нами построена последовательность изоморфизмов

Hsk(P

n, ∂Pn)ın∗−→ Hs

k(Pn \ Pn−1, Pn−1 \ Pn−1)

ın∗−→ın∗−→ Hs

k(Pn, Pn−1)

f∗−→ Hsk(P

n, Pn−1). (3.54)

Для завершения доказательства предложения осталось заметить, чтокомпозиция ın ◦ ın совпадает с включением ı : (Pn, ∂Pn)→ (Pn, Pn−1).


4. Изоморфность групп симплициальных и син-гулярных гомологий

Теорема 3.12. Если n – целое неотрицательное число, P – полиэдр,Pn и Pn−1 – его остовы размерностей n и n− 1 соответственно, а p– количество n-мерных симплексов, то

Hsn(P

n, Pn−1) ∼= Zp2 и Hsk(P

n, Pn−1) = 0

для всех k 6= n, k > 0.

Доказательство. Предположим, что Kn(P ) = {σn1 , . . . , σnp }, а симплек-сы σn1 , . . . , σ

np построены посредством формул (3.50) и (3.51). Тогда при

всех k > 0 согласно предложению 3.10

Hsk(P

n, Pn−1) ∼= Hsk(P

n, ∂Pn−1), (3.55)

где

Pn =p⋃i=1

σni , ∂Pn−1 =p⋃i=1

∂σni .

Так как σni ⊂ Intσni , i = 1, . . . , p, то каждый симплекс σni являетсякомпонентой связности объединения Pn. Отсюда по теореме 3.4 следует,что

Hsk(P

n, ∂Pn−1) ∼= Hsk(σ

n1 , ∂σ

n1 )× · · · ×Hs

k(σnp , ∂σ

np ). (3.56)

С другой стороны, в силу теоремы 3.11

Hsn(σ

n, ∂σn) ∼= Z2; Hsk(σ

n, ∂σn) = 0 при k 6= n. (3.57)

Из формул (3.55), (3.56) и (3.57) немедленно следуют утверждениятеоремы.

Напомним, что для каждого симплекса σn ∈ Kn(P ) формула (3.6)определяет сингуляный симплекс Λσn : ∆n → P . При этом Λσn ∈Csn(P

n) и ∂Λσn ∈ Csn−1(Pn−1). Поэтому цепь Λσn = Λσn + Csn(P

n−1)является n-мерным относительным циклом для пары (Pn, Pn−1).

Предложение 3.11. Если Kn(P ) = {σn1 , . . . , σnp }, то гомологическиеклассы относительных сингулярных циклов Λσn

1, . . . , Λσn

pобразуют ба-

зис группы Hsn(P

n, Pn−1).

4. Изоморфность симплициальных и сингулярных гомологий 77

Доказательство. При n = 0 остов Pn−1 пуст и потому Hsn(P

n, Pn−1) =Hs

0(P 0). Если K0(P ) = {σ01 = v1, . . . , σ

0p = vp}, то согласно теореме 3.1

и примеру 3.1 Λv1 , . . . ,Λvp – базис группы Hs0(P 0).

Пусть далее n > 0,

ξ = (φ∗)−1 : Hsn(P

n, Pn−1)→ Hsn(P

n, ∂Pn)

– изоморфизм из предложения 3.10, а

η : Hsn(P

n, ∂Pn)→ Hsn(σ

n1 , ∂σ

n1 )× · · · ×Hs

n(σnp , ∂σ

np )

– изоморфизм из теоремы 3.4.Рассмотрим также для каждого i = 1, . . . , p композицию

ζn : Hsn(σ

ni , ∂σ

ni )→ Hs

n−1(σn−1, ∂σn−1)

изоморфизмов (3.45) при k = n, σn = σni и σn−10 = σn−1. Положим

ζ = ζ2 ◦ ζ3 ◦ · · · ◦ ζn. Этим определен изоморфизм

ζ : Hsn(σ

ni , ∂σ

ni )→ Hs

1(σ1, ∂σ1).

Разумеется, при n = 1 нужно считать, что σ1 = σni и ζ – тождественныйизоморфизм.

По построению для любого i = 1, . . . , p

ξ([Λσni]Pn) = [Λσn

i]Pn и η([Λσn

i]Pn) = (0, . . . , [Λσn

i]σn

i, . . . , 0), (3.58)

где [Λσni]σn

i∈ Hs

n(σni , ∂σ

ni ). Кроме того,

ζ([Λσni]σn

i) = [Λσ1 ]σ1 . (3.59)

Если ∂σ1 = {v, w} и ∂∗ : Hs1(σ1, ∂σ1) → Hs

0(∂σ1) – гомоморфизм изгомологической последовательности пары (σ1, ∂σ1), то

∂∗([Λσ1 ]σ1) = Λv + Λw.

Поскольку Λv и Λw – образующие группы Hs0(∂σ1), то Λv + Λw 6= 0.

Следовательно, [Λσ1 ]σ1 6= 0 в Hs1(σ1, ∂σ1) и согласно (3.59) [Λσn

i]σn

i6= 0

в группе Hsn(σ

ni , ∂σ

ni ). Но тогда в силу (3.58) последовательности

η([Λσn1]Pn) = ([Λσn

1]σn

1, 0, . . . , 0), . . . , η([Λσn

p]Pn) = (0, . . . , 0, [Λσn

p]σn

p)

образуют базис произведения Hsn(σ

n1 , ∂σ

n1 )×· · ·×Hs

n(σnp , ∂σ

np ), а элемен-

ты ξ([Λσn1]Pn), . . . , ξ([Λσn

p]Pn) – базис группы Hs

n(Pn, ∂Pn). Поэтому

[Λσn1]Pn), . . . , [Λσn

p]Pn

– базис интересующей нас группы гомологий Hsn(P

n, Pn−1).


Рассмотрим далее тождественное отображение id : P → P . В на-чале параграфа 2 текущей главы было показано, что в этой ситуацииформулы ids∗(σ

k) = Λσk и ids∗([z]) = [ids∗(z)] определяют гомоморфизмыids∗ : Hk(P ) → Hs

k(P ), k > 0. Поскольку id(Pn) = Pn для всех n > 0,то для всех неотрицательных k и n аналогично определены и гомомор-физмы ids∗ : Hk(Pn)→ Hs

k(Pn) и ids∗ : Hk(Pn, Pn−1)→ Hs

k(Pn, Pn−1).

Теорема 3.13. Для любого полиэдра P и произвольного целого неот-рицательного k гомоморфизм ids∗ : Hk(P ) → Hs

k(P ) является изомор-физмом.

Доказательство. Для k = 0 утверждение следует из теорем 2.1, 2.2,3.1 и 3.2.

В случае, когда k > 0, теорему докажем индукцией по размерностиполиэдра P .

Если dimP = 0, то P = K0(P ) = {v1, . . . , vq} – набор вершин, приэтом каждая вершина vi представляет собой его компоненту связности.Как показано в примерах 2.1 и 3.1,

H0(vi) ∼= Z2∼= Hs

0(vi) и Hk(vi) = 0 = Hsk(vi) при k > 0.

В силу теорем 2.1 и 3.1

Hk(P ) ∼= Hk(v1)× · · · ×Hk(vq) и Hsk(P ) ∼= Hs

k(v1)× · · · ×Hsk(vq).

Таким образом, группы Hk(P ) и Hsk(P ) изоморфны при всех k > 0. Оче-

видно, что образующими элементами групп H0(P ) и Hs0(P ) являются

0-симплексы v1, . . . , vq и соответсвующие им сингулярные симплексыΛv1 , . . . ,Λvq . Кроме того, ids∗(vi) = Λvi для всех i = 1, . . . , q. Поэтомупри dimP = 0 утверждение теоремы справедливо.

Предположим теперь, что теорема верна для любых полиэдров раз-мерности m < n, и рассмотрим полиэдр P , для которого dimP = n.

Рассмотрим гомологические последовательности пары (Pn, Pn−1) втеориях симплициальных и сингулярных гомологий, а также гомомор-физмы ids∗ : Hk(P l) → Hs

k(Pl), l = n, n − 1, и ids∗ : Hl′(Pn, Pn−1) →

Hsl′(P

n, Pn−1), l′ = k, k + 1. Они образуют диаграмму

. . . −−−−→ Hk+1(Pn, Pn−1) ∂∗−−−−→ Hk(Pn−1) ı∗−−−−→ Hk(Pn)∗−−−−→yids

∗

yids∗

yids∗

. . . −−−−→ Hsk+1(P

n, Pn−1) ∂∗−−−−→ Hsk(P

n−1) ı∗−−−−→ Hsk(P

n)∗−−−−→

4. Изоморфность симплициальных и сингулярных гомологий 79

∗−−−−→ Hk(Pn, Pn−1) ∂∗−−−−→ Hk−1(Pn−1) −−−−→ . . .yids∗

yids∗

∗−−−−→ Hsk(P

n, Pn−1) ∂∗−−−−→ Hsk−1(P

n−1) −−−−→ . . . .

(3.60)

Согласно теоремам 2.3 и 3.3 ее строки точны. Непосредственно изопределений участвующих в диаграмме (3.60) гомоморфизмов следу-ет, что все ее квадраты коммутативны. По предположению индукцииids∗ : Hk−1(Pn−1) → Hs

k−1(Pn−1) и ids∗ : Hk(Pn−1) → Hs

k(Pn−1) – изо-

морфизмы. Наконец, в силу теорем 2.7 и 3.12, а также предложения3.11 изоморфизмами являются и гомоморфизмы ids∗ : Hk(Pn, Pn−1) →Hsk(P

n, Pn−1). Но в такой ситуации согласно лемме 3.2 ids∗ : Hk(Pn) →Hsk(P

n) – также изоморфизм. Осталось заметить, что в рассматривае-мой ситуации P = Pn

Рассмотрим полиэдр P и его подполиэдр Q ⊂ P . Полагая ids∗(z) =ids∗(z + Ck(Q)) = ids∗(z) + Csk(Q) и ids∗([z]) = [ids∗(z)] для всех z = z +Ck(Q) ∈ Zk(P,Q), получим гомоморфизмы ids∗ : Hk(P,Q) → Hs

k(P,Q),k > 0.

Теорема 3.14. Для произвольного целого неотрицательного числа k илюбой пары (P,Q), состоящей из полиэдра P и его подполиэдра Q ⊂ P ,ids∗ : Hk(P,Q)→ Hs

k(P,Q) – изоморфизм.

Доказательство. При k = 0 утверждение следует из теорем 2.4, 2.5,3.4 и 3.5.

Пусть далее k > 0 и диаграмма

. . . −−−−→ Hk(Q) ı∗−−−−→ Hk(P )∗−−−−→ Hk(P,Q) ∂∗−−−−→yids

∗

yids∗

yids∗

. . . −−−−→ Hsk(Q) ı∗−−−−→ Hs

k(P )∗−−−−→ Hs

k(P,Q) ∂∗−−−−→

∂∗−−−−→ Hk−1(Q) ı∗−−−−→ Hk(P ) −−−−→ . . .yids∗

yids∗

∂∗−−−−→ Hsk−1(Q) ı∗−−−−→ Hs

k(P ) −−−−→ . . .

(3.61)

образована гомологическими последовательностями пары (P,Q) в сим-плициальной и сингулярной теориях гомологий, а также определенны-ми выше гомоморфизмами ids∗, связывающими симплициальные и син-гулярные группы гомологий для полиэдров P , Q и пары (P,Q) .


По теоремам 2.3 и 3.3 строки диаграммы (3.61) точны. По постро-ению гомоморфизмов все квадраты коммутативны. Согласно теореме3.13 вертикальные отображения для групп абсолютных гомологий яв-ляются изоморфизмами. Для завершения доказательства теоремы оста-лось снова воспользоваться леммой 3.2.

Следствие 3.2. Если полиэдры P и P ′ гомотопически эквивалентны,то их симплициальные группы гомологий Hk(P ) и Hk(P ′) изоморфныпри всех k > 0.

Следствие 3.3. Предположим, что P и P ′ – полиэдры, Q и Q′ – ихподполиэдры и пары (P,Q) и (P ′, Q′) гомотопически эквивалентны. То-гда симплициальные группы гомологий Hk(P,Q) и Hk(P ′, Q′) изоморф-ны при всех k > 0.

Глава 4

Гомологии CW-комплексов

1. Относительные гомологии остовных пар

Согласно следствию 1.2 для произвольного n ∈ N существует гомео-морфизм пар hn : (σn, ∂σn) → (Dn, ∂Dn). Отсюда и из теоремы 3.11следует, что

Hsn(D

n, ∂Dn) ∼= Z2; Hsk(D

n, ∂Dn) = 0 при всех k 6= n. (4.1)

Предположим, что подмножество Q ⊂ RN обладает конечным кле-точным разбиением

Q =m⋃n=0

⋃i∈Jn

eni . (4.2)

Символом Kn(Q) обозначим совокупность клеток разбиения (4.2), име-ющих размерность n ∈ {0, 1, . . . ,m}, а символом Qn – объединение кле-ток, размерности которых не превосходят n. Пусть также

K(Q) =m⋃n=0

Kn(Q).

Тогда пара (Q,K(Q)) называется CW-комплексом, а Qn – его n-мернымостовом.

Для каждой клетки en ∈ Kn(Q) с характеристическим отображени-ем χn : Dn → Q положим en = χn(Dn), где Dn = {x ∈ Dn| |x| 6 1/2}.Произвольная точка u замкнутой клетки en может быть единственнымспособом представлена в виде u = χn(tu∗), где t ∈ I и u∗ ∈ ∂Dn. Опре-делим отображение fen : en → en формулой

fen(χn(tu∗)) =

{χn(u∗) при t ∈ [1/2, 1];

χn(2tu∗) при t ∈ [0, 1/2].

81

82 Глава 4. Гомологии CW-комплексов

Пусть также

Qn =⋃

en∈Kn(Q)

en и Qn−1 = Qn−1 ∪ (⋃

en∈Kn(Q)

(en \ Int en)). (4.3)

Очевидно,∂Qn = ∂Qn−1 =

⋃en∈Kn(Q)

∂en. (4.4)

Положим f(u) = u для u ∈ Qn−1 и f(u) = fen(u) при u ∈ en для всехen ∈ Kn(Q). Так как при u ∈ ∂en имеют место равенства χn(u∗) = u иfen(u) = χn(u∗) = u, то нами построено непрерывное отображение f :Qn → Qn. Поскольку f(Qn−1) = Qn−1, то f : (Qn, Qn−1) → (Qn, Qn−1)– непрерывное отображение пар.

В силу (4.3) и (4.4) определено включение ı : (Qn, ∂Qn)→ (Qn, Qn−1).Положим φ = f ◦ ı.

Композиция Λen = χn ◦ hn гомеоморфизма hn : σn → Dn, hn(∂σn) =∂Dn, и характеристического отображения χn : Dn → Q клетки en ∈Kn(Q) представляет собой сингулярный симплекс. По определению кле-точного разбиения χn ◦ hn(∂σn) = χn(∂Dn) ⊂ Qn−1. Следовательно,Λen = Λen +Csn(Q

n−1) – n-мерный относительный цикл пары (Qn, Qn−1).Обоснования следующих утверждений полностью аналогичны дока-

зательствам предложения 3.10, теоремы 3.12 и предложения 3.11.

Предложение 4.1. Непрерывное отображение пар φ : (Qn, ∂Qn) →(Qn, Qn−1) индуцирует изоморфизм

φ∗ : Hsk(Q

n, ∂Qn)→ Hsk(Q

n, Qn−1)

для всех k > 0.

Теорема 4.1. Пусть q – количество n-мерных клеток CW-комплекса(Q,K(Q)). Тогда

Hsn(Q

n, Qn−1) ∼= Zq2 и Hsk(Q

n, Qn−1) = 0

для всех k 6= n, k > 0.

Предложение 4.2. Если Kn(Q) = {en1 , . . . , enq }, то гомологическиеклассы относительных сингулярных циклов Λen

1, . . . , Λen

qобразуют ба-

зис группы Hsn(Q

n, Qn−1).

2. Вычисление гомологий CW-комплексов 83

2. Вычисление групп гомологий CW-комплексов

Пусть по-прежнему для Q ⊂ RN задано клеточное разбиение (4.2)и для каждого n = 0, 1, . . . ,m символыKn(Q) иQn обозначают совокуп-ность клеток размерности n и n-мерный остов CW-комплекса (Q,K(Q)).Договоримся считать, что Q−1 = ∅.

Теорема 4.2. Если j > m = dimQ, то Hsj (Q) = 0.

Доказательство. Для произвольного n ∈ {1, . . . ,m} рассмотрим гомо-логическую последовательность пары (Qn, Qn−1). Так как по теореме4.1 Hs

j+1(Qn, Qn−1) = Hs

j (Qn, Qn−1) = 0, то указанная последователь-

ность имеет вид:

0→ Hsj (Q

n−1) ı∗−→ Hsj (Q

n)→ 0.

Из ее точности следует, что Hsj (Q

n) ∼= Hsj (Q

n−1). Но тогда

Hsj (Q) = Hs

j (Qm) ∼= Hs

j (Qm−1) ∼= · · · ∼= Hs

j (Q0).

Остов Q0 представляет собой конечный набор точек. Поэтому согласнопримеру 3.1 и теореме 3.1 Hs

j (Q0) = 0.

Для n = 1, . . . ,m рассмотрим гомоморфизмы ∂∗ : Hsn(Q

n, Qn−1) →Hsn−1(Q

n−1) и ′∗ : Hsn−1(Q

n−1) → Hsn−1(Q

n−1, Qn−2) из гомологическихпоследовательностей пар (Qn, Qn−1) и (Qn−1, Qn−2) соответственно. По-лагая ∂n = ′∗ ◦ ∂∗, определим гомоморфизмы

∂n : Hsn(Q

n, Qn−1)→ Hsn−1(Q

n−1, Qn−2).

Также будем считать, что ∂k = 0 при k = 0 и k > m. Этим построенапоследовательность групп и гомоморфизмов

. . .→ Hsn+1(Q

n+1, Qn)∂n+1−→ Hs

n(Qn, Qn−1) ∂n−→ Hs

n−1(Qn−1, Qn−2)→ . . . .

Лемма 4.1. Для всех n имеет место равенство ∂n ◦ ∂n+1 = 0.

Доказательство. Гомоморфизм ∂n ◦ ∂n+1 представляет собой компози-цию следующих гомоморфизмов из гомологических последовательно-стей пар (Qn+1, Qn), (Qn, Qn−1) и (Qn−1, Qn−2):

. . .→ Hsn+1(Q

n+1, Qn)∂′′∗−→ Hs

n(Qn)→ . . . ,

. . .→ Hsn(Q

n)∗−→ Hs

n(Qn, Qn−1) ∂∗−→ Hs

n−1(Qn−1)→ . . . ,

. . .→ Hsn−1(Q

n−1)′∗−→ Hs

n−1(Qn−1, Qn−2)→ . . . .


В силу точности второй строки ∂∗ ◦ ∗ = 0. Поэтому и

∂n ◦ ∂n+1 = ′∗ ◦ ∂∗ ◦ ∗ ◦ ∂′′∗ = 0.

Теорема 4.3. Для любого CW-комплекса (Q,K(Q)) и целого числа k >0 имеет место изоморфизм Hs

k(Q) ∼= ker ∂n/ im ∂n+1.

Доказательство. Теорему докажем индукцией по размерности m CW-комплекса Q.

Если m = 0, то Q представляет собой конечный набор {v1, . . . , vq}точек пространства RN . При этом согласно доказанному в предыдущейглаве Hs

0(Q) ∼= Zq2 и Hsk(Q) = 0 для k > 0.


Hs0(Q0, Q−1) = Hs

0(Q, ∅) = Hs0(Q) ∼= Zq2 и Hs

k(Qk, Qk−1) = 0 при k > 0.

Но тогда ∂j = 0 и потому im ∂j = 0 для всех j > 0. Кроме того, ker ∂0 =Hs

0(Q0, Q−1) ∼= Zq2 и ker ∂k = 0 при k > 0. Отсюда следует, что

ker ∂0/ im ∂1∼= Zq2 ∼= Hs

0(Q) и ker ∂k/ im ∂k+1 = 0 = Hsk(Q) для k > 0.

Предположим далее, что утверждение теоремы справедливо для лю-бых CW-комплексов размерности m < n и рассмотрим CW-комплексQ, для которого m = dimQ = n. Тогда Qn = Q и Qj = ∅ для j > n.При этом по теоремам 4.2 и 4.1 имеют место равенства Hs

j (Q) = 0и Hs

j (Qj , Qj−1) = 0. Из последнего следует, что ker ∂j/ im ∂j+1 = 0 =

Hsj (Q) для j > n.

Для сравнения групп ker ∂n/ im ∂n+1 и Hsn(Q) рассмотрим гомологи-

ческие последовательности пар (Qn, Qn−1) и (Qn−1, Qn−2). По теореме4.2 Hs

n(Qn−1) = Hs

n−1(Qn−2) = 0. Поэтому нужные нам части указан-

ных последовательностей имеют вид:

0→ Hsn(Q

n)∗−→ Hs

n(Qn, Qn−1) ∂∗−→ Hs

n−1(Qn−1)→ . . . ,

0→ Hsn−1(Q

n−1)′∗−→ Hs

n−1(Qn−1, Qn−2)→ . . . .

В силу точности обеих последовательностей ∗ и ′∗ – мономорфизмы.Следовательно, im ∗ ∼= Hs

n(Qn) и ker ∂n = ker(′∗ ◦ ∂∗) = ker ∂∗ = im ∗.

Таким образом, ker ∂n ∼= Hsn(Q

n).С другой стороны, Hs

n+1(Qn+1, Qn) = 0 и потому im ∂n+1 = 0. В

результате: ker ∂n/ im ∂n+1∼= Hs

n(Qn).


Для сравнения интересующих нас групп в размерности n−1 нам по-надобятся следующие части гомологических последовательностей пар(Qn, Qn−1), (Qn−1, Qn−2) и (Qn−2, Qn−3):

. . .→ Hsn(Q

n, Qn−1) ∂∗−→ Hsn−1(Q

n−1) ı∗−→ Hsn−1(Q

n)→ 0,

0→ Hsn−1(Q

n−1)′∗−→ Hs

n−1(Qn−1, Qn−2)

∂′∗−→ Hsn−2(Q

n−2)→ . . . ,

0→ Hsn−2(Q

n−2)′′∗−→ Hs

n−2(Qn−2, Qn−3)→ . . . . (4.5)

Отметим, что в первой последовательности нуль заменяет группу го-мологий Hs

n−1(Qn, Qn−1), во второй – группу Hs

n−1(Qn−2), а в третьей

– группу Hsn−2(Q

n−3).В силу точности третьей строки формулы (4.5) ′′∗ – мономорфизм.

Поэтому ker ∂n−1 = ker(′′∗ ◦ ∂′∗) = ker ∂′∗. Точность второй строки влечетза собой равенство ker ∂′∗ = ′∗(H

sn−1(Q

n−1). Таким образом,

ker ∂n−1 = ′∗(Hsn−1(Q

n−1). (4.6)

По определениюim ∂n = ′∗(im ∂∗). (4.7)

В силу точности первой строки (4.5) im ∂∗ = ker ı∗ и

Hsn−1(Q

n) ∼= Hsn−1(Q

n−1)/ ker ı∗ ∼= Hsn−1(Q

n−1)/ im ∂∗. (4.8)

Поскольку ′∗ – мономорфизм, то

Hsn−1(Q

n−1)/ im ∂∗ = ′∗(Hsn−1(Q

n−1))′∗(im ∂∗). (4.9)

Согласно (4.6) и (4.7)

′∗(Hsn−1(Q

n−1))′∗(im ∂∗) ∼= ker ∂n−1/ im ∂n.

Отсюда и из равенств (4.8) и (4.9) следует, чтоHsn−1(Q) ∼= ker ∂n−1/ im ∂n.

При 0 6 k 6 n− 2 группы Hsk+1(Q

n, Qn−1) и Hsk(Q

n, Qn−1) равнынулю. Поэтому соответствующая часть гомологической последователь-ности пары (Qn, Qn−1) имеет вид:

0→ Hsk(Q

n−1) ı∗−→ Hsk(Q

n)→ 0.

Поскольку данная последовательность точна, то Hsk(Q

n) ∼= Hsk(Q

n−1).По предположению индукции Hs

k(Qn−1) ∼= ker ∂k/ im ∂k+1. Правая часть

последней формулы одинакова для Q и Qn−1. Следовательно,

Hsk(Q) = Hs

k(Qn) ∼= ker ∂k/ im ∂k+1.


Пусть далее n > 0. Шар Dn имеет клеточное разбиение Dn = ε0 ∪εn−1 ∪ εn, где ε0 – точка края ∂Dn, εn−1 = ∂Dn \ ε0 и εn = IntDn.

Так как ∂Dn = ε0 ∪ εn−1 – (n− 1)-мерный остов построенного CW-комплекса, то по теореме 4.1 Hs

n(Dn, ∂Dn) ∼= Z2. Поскольку шар Dn

гомотопически эквивалентен точке, тоHsn(D

n) = 0. Отсюда следует, чтонетривиальная часть гомологической последовательности пары (Dn, ∂Dn)имеет вид:

0→ Hsn(D

n, ∂Dn)∂D∗−→ Hs

n−1(∂Dn)

ıD∗−→ Hsn−1(D

n)→ 0, (4.10)

причем Hsn−1(D

n) = 0 при n > 1 и Hsn−1(D

n) ∼= Z2 при n = 1.Рассмотрим клетку en ∈ Kn(Q) и ее характеристическое отображе-

ние χ : Dn → Q. По определению χ(Dn) ⊂ Qn и χ(∂Dn) ⊂ Qn−1. Сле-довательно, определено сужение χ′ : ∂Dn → Qn−1 и χ : (Dn, ∂Dn) →(Qn, Qn−1) – непрерывное отображение пар. Оно индуцирует гомомор-физм

0 −−−−→ Hsn(D

n, ∂Dn)∂D∗−−−−→ Hs

n−1(∂Dn)

ıD∗−−−−→ Hsn−1(D

n) −−−−→ 0yχ∗ yχ′∗. . . −−−−→ Hs

n(Qn, Qn−1) ∂∗−−−−→ Hs

n−1(Qn−1) −−−−→ . . .

(4.11)последовательности (4.10) в гомологическую последовательность пары(Qn, Qn−1)

Если n > 1, то из (4.10) следует, что Hsn−1(∂D

n) ∼= Z2. Пусть [z] –образующий элемент группы Hs

n−1(∂Dn) и Kn−1(Q) = {en−1

1 , . . . , en−1q }.

Тогда согласно предложению 4.2 найдутся элементы [en : en−1k ] ∈ Z2,

k = 1, . . . , q, удовлетворяющие равенству

′∗ ◦ χ′∗([z]) =q∑

k=1

[en : en−1k ][Λen−1

k]. (4.12)

Определение 4.1. Элементы [en : en−1k ] группы Z2, определенные ра-

венством (4.12), называются коэффициентами инциденций клеток en иen−1k , k = 1, . . . , q.

При n = 1 край ∂Dn = ∂D1 состоит из точек 1 ∈ R и −1 ∈ R. Пустьχ′(1) = e0i и χ′(−1) = e0j .

Определение 4.2. Если e0i 6= e0j , то положим [e1 : e0i ] = [e1 : e0j ] = 1и [e1 : e0k] = 0 для k /∈ {i, j}. При e0i = e0j договоримся считать, чтокоэффициенты инциденций [e1 : e0k] равны нулю для всех k = 1, . . . , q.


Предложение 4.3. Для любого n > 0 имеет место равенство

∂n([Λen ]) =q∑

k=1


k]. (4.13)

Доказательство. Так как для клетки εn = IntDn характеристическимявляется тождественное отображение id : Dn → Dn, то Λεn = hn, гдеhn : ∆n → Dn – гомеоморфизм. Поэтому χ ◦ Λεn = χ ◦ hn = Λen и

χ∗([Λεn ]) = [Λen ]. (4.14)

В силу коммутативности диаграммы (4.11) из (4.14) следует, что

′∗ ◦ ∂∗([Λen ]) = ′∗ ◦ χ′∗ ◦ ∂D∗ ([Λεn ]), (4.15)

где ′∗ : Hsn−1(Q

n−1) → Hsn−1(Q

n−1, Qn−2) – гомоморфизм из гомологи-ческой последовательности пары (Qn−1, Qn−2).

Пусть сначала n > 1. Тогда ∂D∗ – изоморфизм и потому ∂D∗ ([Λεn ]) –образующий элемент группы Hs

n−1(∂Dn). Согласно (4.12) отсюда выте-

кает, что

′∗ ◦ χ′∗ ◦ ∂D∗ ([Λεn ]) =q∑

k=1


k].

В силу (4.15) этим справедливость равенства (4.13) доказана.Предположим теперь, что n = 1. Тогда Hs

0(∂D1) = 〈Λ1〉⊕ 〈Λ−1〉, гдеΛ1 и Λ−1 – отображения симплекса ∆0 = {1} в точки 1 и −1 соответ-ственно. Так как ı∗(Λ1) = ı∗(Λ−1), то

im ∂D∗ = ker ıD∗ = 〈Λ1 + Λ−1〉. (4.16)

Пусть χ′(1) = e0i и χ′(−1) = e0j . Тогда в силу (4.16)

χ′∗ ◦ ∂D∗ ([Λεn ]) = χ′∗(Λ1 + Λ−1) = [Λe0i ] + [Λe0j ]. (4.17)

Если e0i = e0j , то согласно (4.17) χ′∗ ◦∂D∗ ([Λεn ]) = 0, а по определению4.2 [e1 : e0k] = 0 для всех k = 1, . . . , q. В такой ситуации в силу (4.15)обе части равенства (4.13) равны нулю. При e0i 6= e0j из (4.17) и (4.15)следует, что

∂n([Λen ]) = ′∗ ◦ ∂∗([Λen ]) = [Λe0i ] + [Λe0j ].

При этом [e1 : e0i ] = [e1 : e0j ] = 1 и [e1 : e0k] = 0 для k, не равных номерамi и j. Следовательно, равенство (4.13) имеет место и в этом случае.


Определение 4.3. Для любого n ∈ Z, n > 0, произвольный набор n-мерных клеток CW-комплекса Q называется клеточной n-цепью. Сово-купность Ccwn (Q) всех n-мерных цепей комплекса Q является абелевойгруппой относительно операции c + c′ = (c ∪ c′) \ (c ∩ c′). Определимгомоморфизмы ∂cwn : Ccwn (Q)→ Ccwn−1(Q) формулами

∂cwn (en) =q∑

k=1

[en : en−1k ]en−1

k и ∂cwn (l∑

j=1

enij ) =l∑

j=1

∂cwn (enij ),

где en ∈ Kn(Q), {en−11 , . . . en−1

q } = Kn−1(Q) и c = eni1 + · · · + enil ={eni1 , . . . , e

nil} ∈ Ccwn (Q).

Согласно предложению 4.2 при любом n формула µn(enk) = [Λenk],

enk ∈ Kn(Q), определяет изоморфизм µn : Ccwn (Q)→ Hsn(Q

n, Qn−1). Приэтом из определения 4.3 и предложения 4.3 следует, что диаграмма

Ccwn (Q)∂cw

n−−−−→ Ccwn−1(Q)

µn

y yµn−1

Hsn(Q

n, Qn−1) ∂n−−−−→ Hsn−1(Q

n−1, Qn−2)

(4.18)

коммутативна.

Теорема 4.4. Последовательность групп и гомоморфизмов

. . .→ Ccwn+1(Q)∂cw

n+1−→ Ccwn (Q)∂cw

n−→ Ccwn−1(Q)→ . . . (4.19)

представляет собой цепной комплекс. Его группы гомологий Hcwn (Q) =

ker ∂cwn / im ∂cwn+1 изоморфны группам Hsn(Q) сигулярных гомологий CW-

комплекса Q.

Доказательство. Диаграмма (4.18) коммутативна для всех n. Следо-вательно,

∂cwn+1 = µ−1n ◦ ∂n+1 ◦ µn+1 и ∂cwn = µ−1

n−1 ◦ ∂n ◦ µn. (4.20)

При этом∂cwn ◦ ∂cwn+1 = µ−1

n−1 ◦ ∂n ◦ ∂n+1 ◦ µn+1.

Отсюда и из леммы 4.1 следует, что ∂cwn ◦ ∂cwn+1 = 0, то есть (4.19) –цепной комплекс.

Так как µn+1, µn и µn−1 – изоморфизмы, то из (4.20) вытекаютравенства im ∂cwn+1 = µ−1

n (im ∂n+1) и ker ∂cwn = µ−1n (ker ∂n). Поэтому

Hcwn (Q) ∼= ker ∂n/ im ∂n+1. По теореме 4.3 последнее равносильно тому,

что Hcwn (Q) ∼= Hs

n(Q).


Разумеется, для практического вычисления коэффициентов инци-денций при n > 1 формула (4.12) непригодна. Требуется более явное ипростое правило. Мы выведем его для частного случая, который однаков приложениях чаще всего и встречается.

Предложение 4.4. Пусть n > 1 и для клетки en ∈ Kn(Q) характе-ристическим является отображение χ : M → Q, где M – выпуклыйn-мерный многогранник, причем для каждой его (n − 1)-мерной граниa ⊂ ∂M сужение χ|a : a → Q представляет собой характеристи-ческое отображение некоторой (n − 1)-мерной клетки CW-комплекса(Q,K(Q)). Тогда для произвольной клетки en−1 ∈ Kn−1(Q) коэффици-ент инциденции [en : en−1] равен элементу группы Z2 = Z/2Z, содер-жащему количество (n−1)-мерных граней a ⊂ ∂M , удовлетворяющихравенству χ(a) = en−1.

Доказательство. Многогранник M имеет каноническое клеточное раз-биение, в котором IntM единственная клетка размерности n, а дляk ∈ {0, 1, . . . , n− 1} замкнутыми k-мерными клетками являются гра-ни соответствующих размерностей. При этом край B = ∂M совпадаетс (n−1)-мерным остовом Mn−1 CW-комплекса (M,K(M)). Триангули-руем M так, чтобы множество 0-мерных симплексов полученного сим-плициального комплекса совпало с множеством вершин CW-комплекса.

Пусть x – набор всех (n− 1)-мерных симплексов полиэдра B = ∂M .Тогда x ∈ Zn−1(B). Поскольку Cn(B) = 0, то [x] = {x} 6= 0. С дру-гой стороны, Hn−1(B) ∼= Z2. Следовательно, [x] – образующий элементгруппы симплициальных гомологий Hn−1(B).

Выберем грань a ∈ Kn−1(B) = Kn−1(M) многогранника M и обо-значим символом xa набор принадлежащих a симплексов триангуля-ции. Тогда ∂xa ∈ Cn−2(∂a) и Cn−1(∂a) = 0. При этом xa ∈ Zn−1(a, ∂a).Очевидно, что других нетривиальных циклов в Cn−1(a, ∂a) нет. Поэто-му Zn−1(a, ∂a) = {∅, xa}. Так как Cn(a, ∂a) = 0, то этим доказано, что[xa] = {xa} – единственный образующий элемент группы Hn−1(a, ∂a) ∼=Z2.

Рассмотрим также (n−2)-мерный остовBn−2 CW-комплекса (B,K(B)).Так как

Bn−2 =⋃

a∈Kn−1(B)

∂a, (4.21)

то xa ∈ Zn−1(B,Bn−2) для всех a ∈ Kn−1(B). При a, b ∈ Kn−1(B)и a 6= b цепи xa и xb не пересекаются. Поэтому {xa| a ∈ Kn−1(B)}– линейно независимый набор относительных циклов пары (B,Bn−2).В силу (4.21) он порождает всю группу Zn−1(B,Bn−2). Отсюда и из


равенства Cn(B,Bn−2) = 0 следует, что {[xa]| a ∈ Kn−1(B)} – базисгруппы Hn−1(B,Bn−2).

Пусть Λ0a : ∆n−1 → a – гомеоморфизм, ıa : a → B – включение,

Λa = ıa ◦ Λ0a, Λ0

a = Λ0a + Csn−1(∂a) и Λa = Λa + Csn−1(B

n−2). Тогда попредложению 4.2 [Λ0

a] – образующий элемент группы Hsn−1(a, ∂a) ∼= Z2,

а {[Λa]| a ∈ Kn−1(B)} – базис группы Hsn−1(B,B

n−2).Рассмотрим изоморфизмы (ida)s∗ : Hn−1(a, ∂a)→ Hs

n−1(a, ∂a) и (idB)s∗ :Hn−1(B,Bn−2) → Hs

n−1(B,Bn−2) из теоремы 3.13. Первый из них обя-

зан отображать единственный образующий элемент группы Hn−1(a, ∂a)в единственный образующий элемент группы Hs

n−1(a, ∂a). Следователь-но,

(ida)s∗([xa]) = [Λ0a]. (4.22)

Включения ıca : Cn−1(a, ∂a)→ Cn−1(B,Bn−2) и ıa : (a, ∂a)→ (B,Bn−2)индуцируют гомоморфизмы (ıca)∗ : Hn−1(a, ∂a)→ Hn−1(B,Bn−2) и (ıa)s∗ :Hsn−1(a, ∂a)→ Hs

n−1(B,Bn−2). Предположим, что xa = σn−1

1 +· · ·+σn−1m .

Тогда

(idB)s∗ ◦ (ıca)∗([xa]) = (idB)s∗([xa]) =m∑i=1

[ΛBσn−1

i],

где Λσn−1i

– сингулярный симплекс, определенный формулой (3.6) иΛBσn−1

i

= Λσn−1i

+ Csn−1(B,Bn−2). С другой стороны,

(ıa)s∗ ◦ (ida)s∗([xa]) = (ıa)s∗(m∑i=1

[Λaσn−1

i]) =

m∑i=1

[ΛBσn−1

i],

где Λaσn−1

i

= Λσn−1i

+ Csn−1(a, ∂a). Таким образом, коммутативна диа-грамма

Hn−1(a, ∂a)(ıca)∗−−−−→ Hn−1(B,Bn−2)

(ida)s∗

y y(idB)s∗

Hsn−1(a, ∂a)

(ıa)s∗−−−−→ Hs

n−1(B,Bn−2).

(4.23)

По определению (ıa)s∗([Λ0a]) = [Λa]. В силу (4.22) и (4.23)

(idB)s∗([xa]) = (idB)s∗ ◦ (ıca)∗([xa]) = (ıa)s∗ ◦ (ida)s∗([xa]) = (ıa)s∗([Λ0a]).

Следовательно,(idB)s∗([xa]) = [Λa]. (4.24)


Теперь рассмотрим коммутативную диаграмму

Hn−1(B)∗−−−−→ Hn−1(B,Bn−2)

(idB)s∗

y y(idB)s∗

Hsn−1(B)

s∗−−−−→ Hsn−1(B,B

n−2)

χ′∗

y yχ′∗Hsn−1(Q

n−1)′∗−−−−→ Hs

n−1(Qn−1, Qn−2),

(4.25)

образованную из гомологических последовательностей пар (B,Bn−2) и(Qn−1, Qn−2), изоморфизмов симплициальных групп гомологий в сингу-лярные и гомоморфизмов, индуцированных характеристическим отоб-ражением χ : M → Q.

Согласно доказанному выше [z] = (idB)s∗([x]) – образующий элементгруппы Hs

n−1(B). При этом в силу (4.25)

′∗ ◦ χ′∗([z]) = χ′∗ ◦ (idB)s∗ ◦ ∗([x]). (4.26)

Так какx =

∑a∈Kn−1(B)

xa и Cn−1(Bn−2) = 0,

то∗([x]) =

∑a∈Kn−1(B)

[xa].

Отсюда в силу (4.24) следует, что

(idB)s∗ ◦ ∗([x]) =∑

a∈Kn−1(B)

[Λa]. (4.27)

По условию χ|a : a→ Q – характеристическое отображение некото-рой клетки en−1

a ∈ Kn−1(Q). При этом Λen−1a

= χ ◦Λa и, следовательно,χ′∗([Λa]) = [Λen−1

a]. Но тогда согласно (4.27)

χ′∗ ◦ (idB)s∗ ◦ ∗([x]) =∑

a∈Kn−1(B)

[Λen−1a

].

Отсюда в силу (4.12) и (4.26) следует равенство∑en−1∈Kn−1(Q)

[en : en−1][Λen−1 ] = ′∗ ◦ χ′∗([z]) =∑

a∈Kn−1(B)

[Λen−1a

]. (4.28)


По построению en−1 = en−1a тогда и только тогда, когда χ(a) = en−1.

Следовательно, для произвольно выбранной клетки en−1 ∈ Kn−1(Q)класс [Λen−1 ] входит в правую часть равенства (4.28) ровно столькораз, сколько клеток a ∈ Kn−1(∂M) отображается посредством χ наen−1. Если это число четно, то согласно правилу сложения цепей класс[Λen−1 ] должен войти в линейную комбинацию∑

en−1∈Kn−1(Q)

[en : en−1][Λen−1 ]

с коэффициентом [en : en−1] = 0. В противном случае [en : en−1] = 1.

Глава 5

Матричные алгоритмы длявычисления групп гомологийи их базисов

1. Матрицы инциденций и их построение

Определение 5.1. Пусть P – полиэдр,Kn(P ) = {σn1 , . . . , σnp } иKn−1(P ) ={σn−1

1 , . . . , σn−1l } – множества симплексов полиэдра P размерностей n

и n− 1 соответственно. Для i = 1, . . . , l и j = 1, . . . , p положим aij = 1,если симплексы σn−1

i и σnj инцидентны, и aij = 0 в противном случае.Этим построена матрица

A =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...al1 al2 . . . alp

.

Она называется матрицей инциденций симплексов размерностей n − 1и n полиэдра P .

Напомним, что инцидентность симплексов σn−1i и σnj эквивалентна

включению σn−1i ∈ ∂σnj . Поэтому

∂σnj =l∑

i=1

aijσn−1i . (5.1)

Рассмотрим произвольную n-цепь c = {σnj1 , . . . , σnjs} ∈ Cn(P ). Поло-

жим xj = 1 при j ∈ {j1, . . . , js} и xj = 0 при j ∈ {1, . . . , p} \ {j1, . . . , js}.

93

94 Глава 5. Матричные алгоритмы

Тогда

x = (x1, . . . , xp) ∈ Zp2 и c =p∑j=1

xjσnj . (5.2)

Аналогично

∂c =l∑

i=1

yiσn−1i , где y = (y1, . . . , yl) ∈ Zl2. (5.3)

В силу (5.2) и (5.1)

∂n(c) = ∂c =p∑j=1

xj∂σnj =l∑

i=1

p∑j=1

aijxjσn−1i . (5.4)

А из (5.4) и (5.3) в свою очередь вытекают равенства

yi =p∑j=1

aijxj , i = 1, . . . , l; j = 1, . . . , p,

в совокупности эквивалентные матричному равенству

yT = A · xT , (5.5)

в котором столбцы xT и yT получены из строк x = (x1, . . . , xp) и y =(y1, . . . , yl) транспонированием.

Набор всех n-симплексов полиэдра P , инцидентных симплексу σn−1 ∈Kn−1(P ), обозначим символом ∂−1(σn−1, P ).

Если m-мерный полиэдр P однороден, то как правило, он задаетсясписками вершин V (P ) = K0(P ) и симплексов старшей размерностиKm(P ). Однако для применения большинства обсуждаемых ниже ал-горитмов требуются списки симплексов Kn(P ) для всех размерностейn = 0, 1, . . . ,m. Кроме того, для каждого симплекса σn−1 ∈ K(P ) нужноиметь список ∂−1(σn−1, P ) инцидентных ему n-мерных симплексов.

Определение 5.2. Предположим, что V (P ) = K0(P ) = {u0, u1, . . . , up0}– упорядоченный список всех вершин полиэдра P , а σn = [ui0ui1 . . . uin ]и σ′n = [ui′0ui′1 . . . ui′n ] – его n-мерные симплексы. Мы будем полагатьσn ≺ σ′n, если найдется такое k ∈ {0, 1, . . . , n}, что ij = i′j для всехj < k и ik < i′k.

Всюду далее мы считаем, что списки вершин рассматриваемых по-лиэдров упорядочены. Это значит, что они занумерованы натуральны-ми числами.

1. Матрицы инциденций и их построение 95

Определение 5.3. Упорядоченный список S = {σn1 , . . . , σnp } симплек-сов полиэдра P назовем монотонным, если σni ≺ σnj для любых i < j,i, j ∈ {1, . . . , pn}.

Определение 5.4. Пусть S = {σn1 , . . . , σnp } – монотонный список неко-торых n-симплексов полиэдра P и σn ∈ Kn(P ) Мы будем говорить,что σn имеет в списке S позицию k, k ∈ {1, . . . , p}, если σn = σnk илиσnk−1 ≺ σn ≺ σnk .

Замечание 5.1. Согласно определению 5.4 позиция симплекса σn в спис-ке S определена всегда, независимо от того, принадлежит σn этомусписку или нет.

АЛГОРИТМ 5.1. Вычисление симплициального комплекса иматриц инциденций для однородного полиэдра.Вход:

1) список вершин V (P ) = K0(P ) полиэдра P ;2) список m-мерных симплексов Km(P ), m = dimP .

Выход:1) монотонные списки симплексов K1(P ), . . . ,Km(P );2) для всех σn ∈ Kn(P ), n = 0, 1, . . . ,m− 1, списки инцидентных им

(n+ 1)-симплексов ∂−1(σn, P ).3) матрицы инциденций An симплексов размерностей n− 1 и n; n =

1, . . . ,m

Описание алгоритма.Шаг 1. Сортировка. Упорядочим список Km(P ) так, чтобы он

стал монотонным.Шаг 2. Вычисления для n = 1, . . . ,m − 1. Для всех значений n

от m− 1 до 1 с шагом −1 выполним шаги 2.1 – 2.2.Шаг 2.1. Инициализация. Положим Kn(P ) = ∅.Шаг 2.2. Перебор (n + 1)-симплексов. Для каждого (n + 1)-

мерного симплекса σn+1 ∈ Kn+1(P ) выполним цикл (n+1).0 – (n+1).2.(n+1).0. Положим i = 0.(n+1).1. Обработка грани с номером i. Удалив из списка вер-

шин симплекса σn+1 элемент с номером i, получим противоположнуюэтой вершине грань σn ∈ ∂σn+1. Для выбранной грани σn выполнимпоследовательность действий n.1 – n.3.

n.1. Проверим наличие симплекса σn в списке Kn(P ); при этом мыв любом случае найдем его позицию k в Kn(P ).

n.2. Если σn /∈ Kn(P ), то вставим σn в список Kn(P ) на место сномером k, положим ∂−1(σn, P ) = {σn+1} и перейдем к п. (n+1).2.


n.3. При σn ∈ Kn(P ) добавим в список ∂−1(σn, P ) симплекс σn+1.(n+1).2. Конец цикла по i. Если i < n, то присвоим переменной

i значение i+ 1 и перейдем к шагу (n+1).1.Шаг 3. Вычисления для n = 0.Шаг 3.1. Инициализация. Для каждой вершины u ∈ V (P ) поло-

жим ∂−1(u, P ) = ∅.Шаг 3.2. Перебор 1-симплексов. Каждое ребро e = [v, w] ∈

K1(P ) добавим в списки ∂−1(v, P ) = ∅ и ∂−1(w,P ) = ∅.Шаг 4. Построение матриц инциденций. Вычислим величину

pm = cardKm(P ) и для всех n от m до 1 с шагом −1 выполним шаги4.1 – 4.3.

Шаг 4.1. Найдем количество pn−1 элементов в списке Kn−1(P ).Шаг 4.2. Создадим нулевую матрицу An = (anij) из pn−1 строк и pn

столбцов.Шаг 4.3. Для всех i = 1, . . . , pn−1 выполним действия 4.3.1 – 4.3.2.4.3.1. Для каждого симплекса σn ∈ ∂−1(σn−1

i , P ) найдем его номерj в списке Kn(P ) и положим anij = 1.

4.3.2. Перейдем к следующему i ∈ {1, . . . , pn−1} (конец цикла по i).Конец алгоритма.

2. Вычисление базисных циклов с помощью мат-риц инциденций

АЛГОРИТМ 5.2. Вычисление базисных n-циклов.

Вход:1) целые неотрицательные числа l, p, q, где l – количество (n − 1)-

мерных симплексов полиэдра P , p – количество его n-симплексов и q –количество симплексов того же полиэдра, имеющих размерность n+ 1;

2) список Kn(P ) = {σn1 , . . . , σnp } n-мерных симплексов полиэдра P ;3) матрица

A =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

.... . .

...al1 al2 . . . alp

граничного оператора ∂n : Cn(P )→ Cn−1(P );

2. Вычисление циклов с помощью матриц инциденций 97

4) Матрица

B =

b11 b12 . . . b1qb21 b22 . . . b2q...

.... . .

...bp1 bp2 . . . bpq

граничного оператора ∂n+1 : Cn+1(P )→ Cn(P ).

Выход:

1) целое неотрицательное число r;

2) n-мерные цепи z1, . . . , zr полиэдра P .

Описание алгоритма.

Шаг 1. Первое преобразование матрицы оператора ∂n.

1.1. С помощью перестановок и сложения строк приведем матрицуA к ступенчатому виду

A =

1 . . . ∗ . . . ∗ . . . ∗ . . . ∗0 . . . 1 . . . ∗ . . . ∗ . . . ∗0 . . . 0 . . . 1 . . . ∗ . . . ∗...

. . ....

. . ....

. . ....

. . ....

0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . ∗0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0...

. . ....

. . ....

. . ....

. . ....

0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0

,

где звездочкой обозначены произвольные элементы поля Z2. При этомстолбцы матрицы A переставлять и складывать не будем.

1.2. Буквой s обозначим количество столбцов матрицы A, содер-жащих угловые единицы. Из номеров этих столбцов образуем списокF = {f1, . . . , fs}.

Шаг 2. Преобразование матрицы оператора ∂n+1.

2.1. Удалим из матрицы B строки с номерами f1, . . . , fs. Получимматрицу B′.

2.2. С помощью перестановок и сложения столбцов приведем мат-


рицу B′ к ступенчатому виду

B′ =

1 0 0 . . . 0 0 . . . 0...

......

. . ....

.... . .

...∗ 1 0 . . . 0 0 . . . 0...

......

. . ....

.... . .

...∗ ∗ 1 . . . 0 0 . . . 0...

......

. . ....

.... . .

...∗ ∗ ∗ . . . 1 0 . . . 0...

......

. . ....

.... . .

...∗ ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0

,

где звездочки, как и выше, обозначают произвольные элементы поляZ2.

2.3. Буквой t обозначим количество строк матрицы B′, содержа-щих угловые единицы. Из номеров этих строк образуем список G ={g1, . . . , gt}.

Шаг 3. Вычисление параметра r. Положим r = p− s− t.Шаг 4. Второе преобразование матрицы оператора ∂n.4.1. Удалив из списка {1, . . . , p} элементы списков F и G, получим

список U = {u1, . . . , ur}.4.2. Составим матрицу

A′ =

1 a1f2 a1f3 . . . a1fs a1u1 . . . a1ut

0 1 a2f3 . . . a2fs a2u1 . . . a2ut

0 0 1 . . . a3fs a3u1 . . . a3ut

......

.... . .

......

. . ....

0 0 0 . . . 1 asu1 . . . asut

из элементов матрицы A, расположенных в ее первых s строках и столб-цах с номерами f1, . . . , fs, u1, . . . , ur.

4.3. Складывая строки матрицы A′, приведем ее к виду

A∗ =

1 0 0 . . . 0 a∗1u1

. . . a∗1ut

0 1 0 . . . 0 a∗2u1. . . a∗2ut

0 0 1 . . . 0 a∗3u1. . . a∗3ut

......

.... . .

......

. . ....

0 0 0 . . . 1 a∗su1. . . a∗sut

.

Шаг 5. Вычисление цепей z1, . . . , zr. Для каждого k = 1, . . . , rвыполним цикл 5.1 – 5.3.


5.1. Положим zk = {σnuk}.

5.2. Для каждого i = 1, . . . , s выполним действия п. 5.2.1 – 5.2.2.5.2.1. Если a∗iuk

= 1, то добавим симплекс σnfiв список zk.

5.2.2. Перейдем к следующему номеру i из списка {1, . . . , s} (конеццикла по i).

5.3. Перейдем к следующему номеру k из списка {1, . . . , r} (конеццикла по k).Конец алгоритма.

Теорема 5.1. Построенные с помощью алгоритма 5.2 цепи z1, . . . , zrявляются циклами, а их гомологические классы [z1], . . . , [zr] образуютбазис группы Hn(P ).

Доказательство. Для произвольного целого неотрицательногоm груп-па цепей Cm(P ) является векторным пространством над полем Z2. Приэтом набор Km(P ) всех m-симплексов полиэдра P представляет собойбазис пространства Cm(P ). Определим изоморфизм ϕm : Zp2 → Cm(P )формулой

ϕm(x) =pm∑i=1

xiσmi ,

где pm = cardKm(P ).Если D – матрица инциденций симплексов размерностей m и m− 1,

то по определению

∂m(ϕm(x)) = ϕm−1((D · xT )T ), (5.6)

где xT – столбец, полученный из строки x = (x1, . . . , xp) ∈ Zp2 транспо-нированием.

Согласно (5.6) для всех x ∈ Zq2 имеют место равенства

ϕn−1((A ·B · xT )T ) = ∂n(ϕn((B · xT )T )) = ∂n ◦ ∂n+1(ϕn+1(x)).

Поскольку ∂n ◦ ∂n+1 = 0, то из предыдущего следует, что A ·B = 0.Матрица A получена из A линейным преобразованием строк. По-

этому A – матрица гомоморфизма ∂n относительно того же базиса{σn1 , . . . , σnp } пространства Cn(P ) и некоторого базиса пространства Cn−1(P ).

Выполним для матрицы B преобразования, приводящие B′ к ви-ду B′. Полученную матрицу обозначим символом B. Применив те жепреобразования к последовательности σn+1

1 , . . . , σn+1q , получим новый

базис c1, . . . , cq пространства Cn+1(P ).


Так как матрица B получена изB линейным преобразованием столб-цов, то она является матрицей граничного гомоморфизма ∂n+1 отно-сительно базисов c1, . . . , cq и σn1 , . . . , σ

np пространств Cn+1(P ) и Cn(P )

соответственно.Следовательно, по тем же причинам, что указаны выше,

A · B = 0. (5.7)

Пусть j ∈ {1, . . . , q}, yj = (y1j , . . . , y

pj ) – вектор пространства Zp2 и

yij = bij для всех i = 1, . . . , p. Тогда yTj – j-ый столбец матрицы B.

Лемма 5.1. Для всех j > t векторы yj ∈ Zp2 равны нулю.

Доказательство. Обозначим символом AF матрицу, состоящую из эле-ментов матрицы A, расположенных в ее первых s строках и столбцахс номерами f1, . . . , fs. По построению AF – квадратная матрица, а со-гласно шагу 1.1 алгоритма 5.2 det AF = 1.

Пусть также AV – матрица, составленная из элементов тех же строкматрицы A, но находящихся в столбцах с номерами из списка V ={1, . . . , p} \ F . Строки матрицы B с номерами f1, . . . , fs объединим вматрицу BF . Остальные ее строки согласно шагу 2.1 обсуждаемого ал-горитма образуют матрицу BV = B′.

Для любых i = 1, . . . , s и j = 1, . . . , q

p∑k=1

aik bkj =s∑

α=1

aifα bfαj +p−s∑β=1

aivβbvβj .

Это равносильно тому, что AF · BF + AV · BV = A · B. Но тогда согласно(5.7)

BF = −A−1F · AV · BV . (5.8)

Согласно шагу 2.2 алгоритма 5.2 для любого j > t столбец с номеромj матрицы BV = B′ состоит из одних нулей. Но в силу (5.8) в этойситуации то же самое верно для j-го столбца матрицы BF . Посколькустроки матриц BF и BV вместе образуют матрицу B, то этим леммадоказана.

В силу (5.6)

∂n+1(cj) = ϕn((B · eTj )T ) = ϕn(yj),

где ej – вектор пространства Zq2 с компонентами ekj = δkj , δkj = 1 при

k = j и δkj = 0 в остальных случаях. По лемме 5.1 отсюда следует, что

im ∂n+1 = 〈ϕn(y1), . . . , ϕn(yt)〉. (5.9)


Согласно (5.7) векторы y1, . . . , yt ∈ Zp2 представляют собой решенияматричного уравнения

A · xT . (5.10)

Множество R всех его решений является векторным подпространствомпространства Zp2. Так как rank A = s, то dimR = p− s = t+ r.

В силу (5.6)∂n(ϕn(x)) = ϕn−1((A · xT )T ).

Поэтому для вектора x ∈ Zp2 включения ϕn(x) ∈ ker ∂n и x ∈ R эквива-лентны. А это значит, что

ker ∂n = ϕn(R). (5.11)

Векторыx∗1 = (a∗1u1

, a∗2u1, . . . , a∗su1

, 1, 0, . . . , 0),x∗2 = (a∗1u2

, a∗2u2, . . . , a∗su2

, 0, 1, . . . , 0),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x∗r = (a∗1ur

, a∗2ur, . . . , a∗sur

, 0, 0, . . . , 1)

образуют фундаментальную систему решений уравнения A∗ · (x∗)T = 0.Положим

xfij = x∗ij = a∗iuj

, xukj = x∗kj = δkj и xgj = 0 (5.12)

для fi ∈ F , uk ∈ U , g ∈ G и j = 1, . . . , r. Тогда векторы x1, . . . , xrпространства Zp2 являются решениями уравнения (5.10).

Лемма 5.2. Векторы y1, . . . , yt, x1, . . . , xr образуют базис подпростран-ства R ⊂ Zp2.

Доказательство. Составим матрицу C из столбцов yT1 , . . . , yTt , xT1 , . . . , xTr .Ее строки с номерами g1, . . . , gt, u1, . . . , ur образуют квадратную матри-цу

C ′ =

1 0 . . . 0 0 0 . . . 0∗ 1 . . . 0 0 0 . . . 0...

.... . .

......

.... . .

...∗ ∗ . . . 1 0 0 . . . 0∗ ∗ . . . ∗ 1 0 . . . 0∗ ∗ . . . ∗ 0 1 . . . 0...

.... . .

......

.... . .

...∗ ∗ . . . ∗ 0 0 . . . 1

,

где звездочкой обозначены элементы, значения которых в данной ситуа-ции не существенны. Так как detC ′ = 1, то матрица C содержит равный


единице минор порядка s+r. Следовательно, векторы y1, . . . , yt, x1, . . . , xrлинейно независимы. Поскольку dimR = p − s = t + r, то этим леммадоказана.

Из (5.11) и леммы 5.2 следует равенство

ker ∂n = 〈ϕn(y1), . . . , ϕn(yt)〉 ⊕ 〈ϕn(x1), . . . , ϕn(xr)〉. (5.13)

Согласно шагу 5 алгоритма 5.2 zj = σnuj+

∑si=1 a

∗iujσnfi

для всехj = 1, . . . , r. В силу (5.12) это эквивалентно равенствам

zj =∑uk∈U

xukj σ

nuk

+∑fi∈F

xfij σ

nfi

+∑g∈G

xgjσng .

Таким образом,

zj =p∑

h=1

xhj σnh = ϕn(xj) (5.14)

для j = 1, . . . , r. Поэтому из (5.13) и (5.9) следует, что

ker ∂n = im ∂n+1 ⊕ 〈z1, . . . , zr〉. (5.15)

Итак, цепи z1, . . . , zr являются циклами. По лемме 5.2 и формуле(5.14) они линейно независимы. В такой ситуации равенство (5.15) озна-чает, что смежные классы [z1] = z1 + im ∂n+1, . . . , [zr] = zr + im ∂n+1

образуют базис группы Hn(P ) = kern / im ∂n+1. Теорема доказана.

Глава 6

Алгоритмы редукции

1. Клеточное разбиение с минимальным числомклеток старшей размерности

Пусть P – полиэдр размерности m, K(P ) – его симплициальныйкомплекс и для каждого n = 0, 1, . . . ,m символ Kn(P ) обозначает мно-жество n-мерных симплексов из K(P ).

Напомним, что симплексы σn и σn−1 из K(P ) считаются инцидент-ными, если σn−1 ∈ ∂σn. Набор всех n-симплексов полиэдра P , инци-дентных симплексу σn−1, мы обозначаем символом ∂−1(σn−1, P ), а ихколичество – символом [σn−1 : Kn(P )]. Итак, всюду далее

∂−1(σn−1, P ) = {σn ∈ Kn(P )|σn−1 ∈ ∂σn},

[σn−1 : Kn(P )] = card ∂−1(σn−1, P ).

Определение 6.1. Клеточное разбиение полиэдра P мы будем назы-вать симплициально-клеточным, если каждая его замкнутая клетка со-стоит из целых симплексов и, следовательно, является подполиэдромполиэдра P .

АЛГОРИТМ 6.1. Клеточное разбиение с минимальным чис-лом клеток старшей размерности.Вход:

1) списки Km(P ) и Km−1(P ) симплексов полиэдра P ;2) для каждого σm−1 ∈ Km−1(P ) список ∂−1(σm−1, P ) и количество

[σm−1 : Km(P )] инцидентных ему m-симплексов того же полиэдра.Выход:

1) списки Km(Pi), Km−1(∂Pi) и Km−1(Q) симплексов подполиэдровPi, ∂Pi, и Q полиэдра P , i = 1, . . . , l;

103

104 Глава 6. Алгоритмы редукции

2) цепи Di ∈ Cm−1(P ), i = 1, . . . , l.Описание алгоритма.

Шаг 1. Положим Km−1(Q) := ∅ и i := 1.Шаг 2. Построим пустые списки Km(Pi) := ∅ и Km−1(∂Pi) := ∅, а

также пустую (то есть равную нулю) цепь Di := ∅.Шаг 3. Для хранения (m−1)-симплексов, используемых в качестве

параметра при поиске в ширину, заведем пустую очередь R := ∅.Шаг 4. Построение одной клетки Pi, ее границы ∂Pi, цепи

Di и входящей в Pi части подполиэдра Q.Шаг 4.1. Инициализация. Выберем симплекс σm0 ∈ Km(P ), до-

бавим его в список Km(Pi) и удалим из Km(P ).Затем для каждой грани σm−1

0∗ ∈ ∂σm0 выполним следующие дей-ствия: добавим σm−1

0∗ в конец очереди R и удалим симплекс σm0 из∂−1(σm−1

0∗ , P ).Шаг 4.2. Одна итерация поиска в ширину. Выберем и удалим

первый симплекс σm−1 из очереди R, а также из списка Km−1(P ). Про-верим значение постоянной величины [σm−1 : Km(P )] и состояние наданный момент переменного списка ∂−1(σm−1, P ).

4.2.1. Если [σm−1 : Km(P )] = 2 и список ∂−1(σm−1, P ) не пуст, тоон содержит в этот момент единственный симплекс σm. Добавим σm всписок Km(Pi) и удалим его из Km(P ).

После этого для каждой грани σm−1∗ ∈ ∂σm \ {σm−1} выполним еще

два действия: добавим σm−1∗ в конец очереди R и удалим симплекс σm

из ∂−1(σm−1∗ , P ).

Наконец, перейдем к шагу 4.3.4.2.2. Во всех остальных случаях включим симплекс σm−1 в списки

Km−1(∂Pi) и Km−1(Q), а также присвоим переменной Di значение Di+σm−1.

Шаг 4.3. Переход к следующей итерации. Проверим очередьR. Если она окажется не пустой, то вернемся к шагу 4.2.

Шаг 5. Переход к построению следующей m-мерной клетки.Если список Km(P ) не пуст, то положим i := i+1 и перейдем к шагу 2.

Шаг 6. Завершение построения подполиэдра Q. Присвоим пе-ременной Km−1(Q) значение Km−1(Q)∪Km−1(P ) и положим Kn(Q) :=Kn(P ) для всех n < m− 1.Конец алгоритма.

На рисунке 6.1 показаны конечный и некоторые промежуточные ре-зультаты работы алгоритма 6.1 для однородного двумерного полиэдраP ⊂ R2. При этом жирным шрифтом выделен одномерный подполиэдрQ, а пунктиром показано объединение ребер из очереди R.

1. Клеточное разбиение 105

Рис. 6.1: Процесс работы алгоритма 6.1 для плоского полиэдра.


Теорема 6.1. Предположим, что в процессе работы алгоритма 6.1построены подполиэдры Pi и ∂Pi полиэдра P , i = 1, . . . , l. Тогда длякаждого i ∈ {1, . . . , l} существуют выпуклый m-мерный многогранникMi ⊂ Rm и непрерывное отображение χi : Mi → P , обладающие свой-ствами:

• каждая грань многогранника Mi является (m − 1)-мерным сим-плексом, то есть ∂Mi – полиэдр;

• многогранник Mi триангулирован так, что поверхность ∂Mi пред-ставляет собой его подполиэдр;

• χi линейно отображает каждый симплекс полиэдра Mi на неко-торый симплекс той же размерности полиэдра Pi;

• χi гомеоморфно отображает внутренность IntMi многогранни-ка Mi на множество Ui = Pi \ ∂Pi;

• χi(∂Mi) = ∂Pi.

Доказательство. Интересующий нас подполиэдр Pi образован симплек-сами списка Km(Pi) = {σm0 , σm1 , . . . , σmt }. При этом предполагается, чтоэлементы указанного списка занумерованы в соответствии с порядкомвхождения в него в процессе работы алгоритма. Иначе говоря, мы счи-таем, что симплекс σmj включен в Km(Pi) непосредственно после сим-плекса σmj−1 для всех j = 1, . . . , t.

Рассмотрим момент работы алгоритма, когда симплекс σmj уже по-пал в Km(Pi), его грани добавились в конец очереди R, но переход кследующей итерации поиска в ширину еще не начался. Обозначим со-стояния в этот момент переменных списков Km−1(∂Pi) и R символамиKm−1(∂Pi) и R соответственно. Пусть ∂Pij объединение симплексов изсписков Km−1(∂Pi) и R. Положим также Pij = σm0 ∪ σm1 ∪ · · · ∪ σmj иUij = Pij \ ∂Pij .

Докажем, что для любого j ∈ {1, . . . , t} найдутся выпуклый мно-гогранник Mij ⊂ Rm и сюръективное отображение χij : Mij → Pij ,удовлетворяющие условиям:

(j1) грани многогранника Mij являются (m− 1)-мерными симплекса-ми;

(j2) сам многогранник Mij триангулирован так, что поверхность ∂Mij

представляет собой его подполиэдр;

(j3) χij линейно отображает каждый симплекс полиэдра Mij на неко-торый симплекс той же размерности полиэдра Pij ;


(j4) χij гомеоморфно отображает IntMij на Uij ;

(j5) χij(∂Mij) = ∂Pij .

При j = 0 сформулированное утверждение очевидно, так как Pi0 =σm0 – симплекс, а ∂Pi0 – объединение его (m− 1)-мерных граней.

Допустим, что оно верно для некоторого j ∈ {0, 1, . . . , t − 1} и до-кажем, что для следующего номера j + 1 имеют место аналогичныесвойства ((j+1)1) – ((j+1)5).

Для этого рассмотрим симплекс σmj+1 ∈ Km(Pi). Он может бытьвключен в пополняющийся список Km(Pi) только на шаге 4.2 в пункте4.2.1. Непосредственно перед этим симплекс σmj+1 обязан быть един-ственным элементом списка ∂−1(σm−1, P ) для первого симплекса σm−1

очередиR. Кроме того, должно выполняться равенство [σm−1 : Km(P )] =2.

По построению списка ∂Pij он содержит симплекс σm−1. Отсюда всилу (j5) следует существование грани ∆m−1 многогранника Mij , кото-рую χij отображает на σm−1.

С другой стороны, симплекс σm−1 мог попасть в R только послевключения в Km(Pi) некоторого инцидентного ему симплекса σms , 0 6s < j + 1. По выбору σm−1 такой m-симплекс единствен.

Так как s 6 j, то σms ∈ Km(Pij). Поэтому найдется симплекс ∆ms

полиэдра Mij , удовлетворяющий равенству χij(∆ms ) = σms .

Предположим, что ∆′m−1 – еще одна грань многогранника Mij , при-чем ∆′m−1 6= ∆m−1 и χij(∆′m−1) = σm−1. В силу (j2) имеется инци-дентный ей симплекс ∆′m ∈ Km(Mij). Согласно (j3) χij(∆′m) – неко-торый m-симплекс полиэдра Pij . Следовательно, χij(∆′m) = σms′ , гдеs′ 6 j < j + 1. Но тогда σm−1 – грань симплекса σms′ . По свойству (j4)χij не может отображать два m-мерных симплекса многогранника Mij

на один m-симплекс полиэдра Pij . Поэтому s′ 6= s, что противоречитединственности симплекса σms с указанными свойствами.

Итак, существует одна и только одна грань ∆m−1 ∈ Km−1(∂Mij),удовлетворяющая равенству χij(∆m−1) = σm−1. При этом в силу (j3)соответствующее сужение χ0

ij : ∆m−1 → σm−1 является линейным го-меоморфизмом.

Символ ∂Pij+1 по нашему соглашению обозначает объединение сим-плексов из переменных списков Km−1(∂Pi) и R в момент, когда сим-плекс σmj+1 включен в Pi, его (m − 1)-мерные грани, не равные σm−1,расположились в конце очереди R и никакие дальнейшие действия непроизводились.

Заметим, что после построения полиэдра Pij все (m− 1)-симплексыиз очереди R, стоявшие впереди симплекса σm−1, обрабатывались алго-


ритмом в п. 4.2.2 (так как иначе в полиэдр Pij+1 попал бы m-симплекс,не лежавший в Pij и отличный от σmj+1). Поэтому все они были вклю-чены в список Km−1(∂Pi). Следовательно, непосредственно перед рас-смотрением симплекса σm−1 на шаге 4.2 список Km−1(∂Pi) совпадал сосписком (m − 1)-мерных симплексов полиэдра ∂Pij . После окончаниядля σm−1 процедуры 4.2.1 сам симплекс σm−1 удаляется из R и пото-му в полиэдр ∂Pij+1 не входит. Зато в очередь R и, следовательно, вполиэдр ∂Pij+1 попадают остальные (m − 1)-мерные грани симплексаσmj+1.

Таким образом,

∂Pij+1 = (∂Pij ∪ ∂σmj+1) \ σm−1. (6.1)

По построениюPij+1 = Pij ∪ σmj+1. (6.2)

Из равенств (6.1) и (6.2) следует, что

Uij+1 = Uij ∪ Intσm−1 ∪ Intσm. (6.3)

Пусть далее ∆m−1 = [u0u1 . . . um−1], σm−1 = [v0v1 . . . vm−1] и σmj+1 =[v0v1 . . . vm−1vm]. Согласно доказанному существует такая матрица A ∈GL(m,R), что

χij(m−1∑β=0

tβuβ) =m−1∑α=0

(m−1∑β=0

aαβtβ)vα. (6.4)

Выберем в пространстве Rm дополнительную точку um так, чтобыбыл определен симплекс ∆m = [u0u1 . . . um−1um], для которого Mij ∩∆m = ∆m−1, а объединениеMij+1 = Mij∪∆m снова является выпуклыммногогранником. При этом условия ((j+1)1) и ((j+1)2) для Mij+1 и егоповерхности ∂Mij+1 выполнены очевидным образом.

Определим отображение κ : ∆m → σmj+1, полагая

κ(m∑β=0

tβuβ) =m−1∑α=0

(m−1∑β=0

aαβtβ)vα + tmvm. (6.5)

Оно линейно и обратимо, следовательно, является гомеоморфизмом.Положим теперь

χij+1(u) =

{χij(u) при u ∈Mij ,

κ(u) при u ∈ ∆m.(6.6)


В силу (6.4) и (6.5) κ(u) = χij(u) для u ∈ ∆m−1 = Mij ∩ ∆m. Поэто-му формула (6.6) корректно определяет отображение χij+1 : Mij+1 →Pij+1. Из сюръективности отображений χij : Mij → Pij и κ : ∆m → σmj+1

и равенства (6.2) следует, что

χij+1(Mij+1) = Pij+1. (6.7)

Кроме того, согласно (j3) и формулам (6.5) и (6.6) χij+1 линейно отобра-жает каждый симплекс полиэдра Mij+1 на некоторый симплекс той жеразмерности полиэдра Pij+1, то есть удовлетворяет условию ((j+1)3).

По построению многогранника Mij+1 его внутренность имеет вид:

IntMij+1 = IntMij ∪ Int∆m−1 ∪ Int∆m. (6.8)

Так как χij+1 биективно отображает IntMij на Uij , а ∆m на σmj+1, то всилу (6.3) и (6.8) сужение χ1

ij+1 : IntMij+1 → Uij+1 отображения χij+1

также биективно.Согласно (6.7) и биективности отображения χ1

ij+1 справедливо вклю-чение ∂Pij+1 ⊂ χij+1(∂Mij+1).

Рассмотрим симплекс ∆m−1∗ ∈ Km−1(∂Mij+1) и его образ σm−1

∗ =χij+1(∆m−1

∗ ). Сразу отметим, что в силу (6.8) ∆m−1∗ 6= ∆m−1.

Если ∆m−1∗ лежит в полиэдре ∂Mij , то согласно равенствам (6.1),

χ−1ij (σm−1) = {∆m−1} и (j5)

σm−1∗ ∈ Km−1(∂Pij) \ {σm−1} ⊂ Km−1(∂Pij+1).

Пусть далее ∆m−1∗ ⊂ ∂∆m. Тогда σm−1

∗ – грань симплекса σmj+1, но

σm−1∗ = κ(∆m−1

∗ ) 6= κ(∆m−1) = σm−1

в силу биективности отображения κ : ∆m → σmj+1.Предположим, что в рассматриваемом случае симплекс σm−1

∗ не ле-жит в полиэдре ∂Pij+1. Из доказанного в предыдущем абзаце и равенств(6.7) и (6.1) тогда следует включение Intσm−1

∗ ⊂ Uij . Последнее означа-ет, что еще до рассмотрения симплекса σm−1 с симплексом σm−1

∗ былипроизведены операции п. 4.2.1. Следовательно, σm−1

∗ – грань точно двухm-симплексов полиэдра P и оба эти симплекса лежат в Pij . Посколькуσmj+1 не лежит в Pij , то мы приходим к противоречию.

Таким образом, наше предположение не может быть верным и, насамом деле, при ∆m−1

∗ ⊂ ∂∆m также σm−1∗ ∈ Km−1(∂Pij+1).

Итак, доказано, что χij+1 отображает каждый симплекс полиэдра∂Mij+1 на некоторый симплекс полиэдра ∂Pij+1. Следовательно, имеет


место и включение χij+1(∂Mij+1) ⊂ ∂Pij+1, что завершает обоснованиесвойства ((j+1)5).

Нам осталось убедиться в том, что отображение χ1ij+1 : IntMij+1 →

Uij+1 является гомеоморфизмом. Для этого мы воспользуемся вспомо-гательными утверждениями, которые, к тому же, понадобятся и в даль-нейшем.

Лемма 6.1. Если B – замкнутое и ограниченное подмножество про-странства Rp, то любое бесконечное подмножество A ⊂ B содержитпоследовательность {an} ⊂ A, сходящуюся к некоторой точке a ∈ B.

Доказательство. Договоримся для точки v ∈ Rp и вещественного чис-ла r > 0 полагать Dp(v, r) = {x ∈ Rp| |x−v| < r} и называть множествоDp(v, r) шаром радиуса r с центром в точке v.

В силу ограниченности подмножества A ⊂ B найдется такой конеч-ный набор точек v11, . . . , v1q1 ∈ Rp, что A ⊂ Dp(v11, 1)∪ · · · ∪Dp(v1q1 , 1).Так как множество A бесконечно, то для некоторого k1 ∈ {1, . . . , q1}шар Dp(v1k1 , 1) содержит бесконечное подмножество A1 ⊂ A. Выберемкакую-либо точку a1 ∈ A1.

Множество A1 также ограничено и потому лежит в объединенииконечного набора шаров Dp(v21, 1/2) ∪ · · · ∪Dp(v2q2 , 1/2), v21, . . . , v2q2 ∈Rp. При этом бесконечное подмножество A2 ⊂ A1 принадлежит одномуиз указанных шаров Dp(v2k2 , 1/2). Выберем точку a2 ∈ A2.

Продолжая этот процесс, мы построим такую последовательность{an} ⊂ A, что для любого натурального числа m все ее элементы an сномерами n > m лежат в одном шаре радиуса 1/n. Но это значит, чтопоследовательность {an} фундаментальна. Следовательно, она сходит-ся к некоторой точке a ∈ Rp. Поскольку {an} ⊂ B, а B – замкнутоемножество, то a ∈ B.

Лемма 6.2. Пусть X – замкнутое и ограниченное подмножество про-странства Rp, U ⊂ X, Y ⊂ Rq, а f : X → Y – непрерывное отображе-ние, обладающее свойствами:

• f(X) = Y ;

• f(U) ∩ f(X \ U) = ∅;

• сужение f |U : U → Y инъективно.

Тогда для V = f(U) отображение f |U : U → V является гомеоморфиз-мом.


Доказательство. Биективность и непрерывность отображения f |U :U → V следуют непосредственно из условий леммы. Докажем непре-рывность отображения g : V → U , обратного для f |U .

Рассмотрим произвольную точку y ∈ V , ее образ x = g(y) и предпо-ложим, что g разрывно в точке y. Тогда найдется такое ε > 0, что длялюбого натурального n имеется точка yn ∈ V ∩ Dq(y, 1/n), удовлетво-ряющая неравенству

|g(yn)− x| > ε. (6.9)

Построенная последовательность {g(yn)} состоит из бесконечногочисла точек, так как в противном случае сходящаяся к y последова-тельность {yn} оказалась бы стационарной и потому содержала точкуy, а это невозможно в силу (6.9) и биективности отображения g.

По лемме 6.1 отсюда следует, что {g(yn)} содержит подпоследова-тельность {xn}, сходящуюся к некоторой точке x′ ∈ X. Согласно (6.9)x′ 6= x. В силу непрерывности отображения f : X → Y тогда последо-вательность {f(xn)} сходится к точке y′ = f(x′).

Если x′ ∈ U , то y′ 6= y в силу инъективности сужения f |U : U → V .При x′ ∈ X \ U по условию y′ = f(x′) /∈ V и потому также y′ 6= y.

С другой стороны, {f(xn)} – подпоследовательность последователь-ности {yn}, сходящейся к точке y. Полученное противоречие означает,что наше допущение неверно, то есть отображение g : V → U непре-рывно в точке y.

Возвращаясь к обоснованию теоремы, положим X = Mij+1, Y = Pij ,U = IntMij+1 и f = χij+1. Выше нами показано, что f(U) = V = Uij+1

и отображение f : X → Y удовлетворяет всем условиям леммы 6.2.Поэтому имеет место и ее утверждение о том, что χ1

ij+1 : IntMij+1 →Uij+1 – гомеоморфизм.

Согласно принципу математической индукции из доказанного вы-текает, что условия (j1) – (j5) выполняются для всех j = 0, 1, . . . , t. Вчастности, это относится к случаю j = t. Но Pit = Pi, ∂Pit = ∂Pi и по-тому IntPit = IntPi. Положим Mi = Mit и χi = χit. Тогда ∂Mi = ∂Mit,IntMi = IntMit и утверждения теоремы являются прямыми следстви-ями свойств (t1) – (t5).

Пусть Kk(Q) = {σk1 , . . . , σklk} – списки k-мерных симплексов под-полиэдра Q ⊂ P , k = 0, 1, . . . ,m − 1. Положим eki = Intσki при k ∈{0, 1, . . . ,m − 1} и i ∈ Jk = {1, . . . , lk}, а также emi = Ui для i ∈ Jm ={1, . . . , l}. Тогда

P =m⋃p=0

⋃i∈Jp

epi (6.10)


и epi ∩ ep′

i′ = ∅ при любых p, p′ ∈ {0, 1, . . . ,m}, i ∈ Jp и i′ ∈ Jp′ .Согласно теореме 6.1 для каждого i ∈ Jm имеются выпуклый m-

мерный многогранник Mi и непрерывное отображение χmi : Mi → P ,отображающее внутренность IntMi гомеоморфно на emi = Ui, а границу∂Mi – в подполиэдр Q. При этом по построению

Q =m−1⋃n=0

⋃i∈Jn

eni . (6.11)

Отсюда в силу леммы 1.2 следует, что emi – m-мерная клетка, а χmi – еехарактеристическое отображение.

Для eki при k ∈ {0, 1, . . . ,m−1} и i ∈ Jk характеристическое отобра-жение существует по определению симплициального комплекса (с уче-том той же леммы 1.2).

Поскольку замыкания m-мерных клеток emi совпадают с подполиэд-рами Pi ⊂ P для всех i = 1, . . . , l, а замыкания клеток меньшей размер-ности в (6.10) являются симплексами, то мы приходим к следующемуутверждению.

Следствие 6.1. Построенное с помощью алгоритма 6.1 представле-ние (6.10) является симплициально-клеточным разбиением полиэдраP . При этом Q – его (m− 1)-мерный клеточный остов.

Предложение 6.1. Предположим, что кроме (6.10) задано еще односимплициально-клеточное разбиение

P =m⋃p=0

⋃j∈J∗p

εpj (6.12)

того же полиэдра P . Тогда для произвольного j ∈ J∗m найдется такойномер i ∈ Jm = {1, . . . , l}, что εmj ⊂ Pi = emi , где εmj и emi – замыканияклеток εmj и emi соответственно.

Доказательство. Для обоснования предложения 6.1 нам понадобитсяследующая лемма.

Лемма 6.3. Пусть εm = εmj и σr – r-мерный симплекс полиэдра P ,0 6 r 6 m− 1, для которого Intσr ⊂ εm. Тогда

• объединение S(σr) всех m-мерных симплексов полиэдра P , содер-жащих σr, является сильно связным подполиэдром;

• при r = m−1 подполиэдр S(σr) ⊂ P состоит из двух m-симплек-сов.


Доказательство. Выберем компоненту сильной связности S1 полиэдраS(σr) и обозначим символом S′1 объединение m-мерных симплексов изS(σr), не вошедших в S1. Допустим, что S′1 6= ∅. Тогда пересечениеS1 ∩ S′1 является подполиэдром полиэдра P размерности s, r 6 s 6m− 2.

Рассмотрим s-мерный симплекс σs из S1∩S′1 и его барицентр v. Обо-значим символом S(σs) объединение всех m-мерных симплексов поли-эдра P , содержащих σs. Тогда σr ⊂ σs, Intσs ⊂ εm и S(σs) ⊂ S(σr).

Пусть κ : Dm → P – характеристическое отображение клетки εm.Выберем положительное число δ0 так, чтобы множество W0 = {w ∈P | |w − v| < δ0} лежало в S(σs). Положим U0 = κ−1(W0), g = (κ|U0)

−1

и u = g(v).Поскольку U0 – открытое подмножество пространства Rm, то най-

дется такое число λ > 0, что шар U ⊂ Rm радиуса λ с центром в точкеu целиком лежит в U0. В силу непрерывности отображения g : W0 → U0

существует число δ, удовлетворяющее условиям: 0 < δ < δ0 и g(W ) ⊂ U ,где W = {w ∈ P | |w−v| < δ}. Таким образом, построена коммутативнаядиаграмма

W \ {v} g−−−−→ U \ {u}yı yımW0 \ {v}

g−−−−→ U0 \ {u},

в которой ı и ım – включения. Для каждого n = 0, 1, . . . ,m она индуци-рует диаграмму

Hn(W \ {v})g∗−−−−→ Hn(U \ {u})yı∗ yım∗

Hn(W0 \ {v})g∗−−−−→ Hn(U0 \ {u}).

(6.13)

Так как здесь ı – гомотопическая эквивалентность, а g : W0 \ {v} →U0 \ {u} – гомеоморфизм, то g∗ ◦ ı∗ – изоморфизм. Кроме того, раз-ность W \{v} гомотопически эквивалентна букету сфер размерности s.Поэтому

g∗ ◦ ı∗(Hs(W \ {v})) ∼= Hs(W \ {v}) ∼= Zγ2 , γ > 1. (6.14)

Но разность U \{u} гомотопически эквивалентна (m−1)-мерной сфереи потому Hs(U \ {u}) = 0. Следовательно,

ım∗ ◦ g∗(Hs(W \ {v})) = ım∗ (0) = 0. (6.15)


Очевидно, что коммутативность диаграммы (6.13) для n = s с фор-мулами (6.14) и (6.15) несовместима. Поэтому наше допущение невернои, на самом деле, S′1 = ∅. А это значит, что подполиэдр S(σr) ⊂ Pсильно связен.

Пусть далее r = m − 1. Согласно включению Intσm−1 ⊂ εm под-полиэдр S(σm−1) не может состоять из одного m-мерного симплекса.Предположим, что S(σm−1) содержит q симплксов размерности m иq > 2.

Снова рассмотрим барицентр v симплекса σs = σm−1 и точно так,как это было сделано выше, построим множества W0 ⊂ S(σm−1), W ⊂W0, U0 ⊂ IntDm и U ⊂ U0, гомеоморфизм g : W0 → U0 и точку v =g(u) ∈ U . В результате получим коммутативную диаграмму (6.13).

В данном случае разность W \ {v} гомотопически эквивалентна бу-кету из q − 1 сфер размерности m− 1. Следовательно,

(g∗ ◦ ı∗)(Hm−1(W \ {v})) ∼= Hm−1(W \ {v}) ∼= Zq−12 , q − 1 > 2. (6.16)

С другой стороны, Hm−1(U \ {u}) ∼= Z2 и потому

rank(ım∗ ◦ g∗(Hm−1(W \ {v}))) 6 rank ım∗ (Z2) 6 1. (6.17)

Поскольку коммутативность диаграммы (6.13) для n = m−1 проти-воречит равенствам (6.16) и (6.17), то наше допущение о возможностиравенства q > 2 неверно. Этим лемма доказана.

Продолжим доказательство предложения 6.1. Из первого утвержде-ния леммы 6.3 следует, что для любых m-мерных симплексов σm, σm∗ ⊂εm найдутся последовательности m-симплексов X = {σm0 , σm1 , . . . , σmp }и (m− 1)-симплексов Y = {σm−1

1 , . . . , σm−1p }, обладающие свойствами:

• σm0 = σm, σmp = σm∗ ;

• σmk−1 ∩ σmk = σm−1k для k = 1, . . . , p;

• Intσm−1k ⊂ εm для тех же k.

Действительно, пусть w и w∗ – барицентры симплексов σm и σm∗ , w′ =κ−1(w), w′

∗ = κ−1(w∗) и x(t) = κ((1 − t)w′ + tw′∗) для t ∈ [0, 1]. Тогда

x([0, 1]) ⊂ εm и потому найдутся числа t0, t1, . . . , tβ ∈ [0, 1] и набор m-мерных симплексов X ′ = {σm0 , σm1 , . . . , σmβ }, удовлетворяющие условиям0 = t0 < t1 < · · · < tβ = 1 и x([tα−1tα]) ⊂ σmα ⊂ εm для всех α = 1, . . . , β.При этом если для некоторых α пересечение σr = σmα−1 ∩ σmα имеетразмерность r < m − 1, то σmα−1 и σmα лежат в S(σr). По лемме 6.3

2. Гомологические свойства разбиения 115

в этом случае набор X ′ можно дополнить до последовательности X,обладающей указанными свойствами.

Предположим, что σm ⊂ emi для некоторого i ∈ {1, . . . , l}, а σm∗ непринадлежит клетке emi . Рассмотрим наименьший номер k∗ симплек-сов из последовательности X, не лежащих в emi . Тогда σmk∗−1 лежит вPi = emi , а σmk∗ – в некотором другом подполиэдре из набора P1, . . . , Pl.Согласно алгоритму 6.1 в такой ситуации симплекс σm−1

k∗является гра-

нью более чем двух m-мерных симплексов полиэдра P . Это противоре-чит второму утверждению леммы 6.3. Следовательно, допущение невер-но и σm∗ ⊂ emi . Предложение доказано.

Следствие 6.2. Произвольное симплициально-клеточное разбиение по-лиэдра P содержит не меньше m-мерных клеток, чем разбиение (6.10).

2. Гомологические свойства построенного кле-точного разбиения

Теорема 6.2. Полученные в результате работы алгоритма 6.1 цепиCi, Di, i = 1, . . . , l, и подполиэдр Q ⊂ P обладают свойствами:

• если Ci – цепь, образованная всеми m-мерными симплексами по-лиэдра Pi, то Di = ∂Ci ∈ Zm−1(Q) и Ci ∈ Zm(P,Q);

• при всех n < m− 1 включение ı : Q→ P индуцирует изоморфизмı∗ : Hn(Q)→ Hn(P );

• подгруппа 〈D1, . . . , Dl〉 группы Hm−1(Q), порожденная граничны-ми циклами D1, . . . , Dl, ее включение ıD : 〈D1, . . . , Dl〉 → Hm−1(Q)и индуцированный гомоморфизм ı∗ : Hm−1(Q) → Hm−1(P ) обра-зуют короткую точную последовательность

0→ 〈D1, . . . , Dl〉ıD−→ Hm−1(Q) ı∗−→ Hm−1(P )→ 0. (6.18)

Доказательство. Рассмотрим (m − 1)-мерный симплекс σm−1 ⊂ Pi исписок ∂−1(σm−1, Pi) = {σm1 , . . . , σmq } инцидентных ему m-симплексовполиэдра Pi. Тогда 0 < q 6 [σm−1 : Kn(P )].

По определению границы цепи σm−1 ∈ ∂Ci в том и только том слу-чае, если число q нечетно.

С другой стороны, σm−1 может попасть в цепь Di только на шаге 4.2в п. 4.2.2. Если это происходит хотя бы один раз, то [σm−1 : Kn(P )] 6= 2 ипотому п. 4.2.1 для σm−1 не реализуется никогда. При этом рассматри-ваемый симплекс оказывается в очереди R, а затем прибавляется к цепи


Di точно q раз. После завершения построения подполиэдра Pi согласноправилу сложения цепей σm−1 ∈ Di при том и только том условии, чтоq – четное число.

Таким образом, для симплекса σm−1 ⊂ Pi включения σm−1 ∈ ∂Ci иσm−1 ∈ Di равносильны. Разумеется, (m − 1)-симплекс, не лежащий вPi, ни в одну из обсуждаемых цепей попасть не может. Следовательно,∂Ci = Di и, в частности, Di – цикл.

Так как прибавление симплекса σm−1 к цепи Di (в п. 4.2.2) всегдапроисходит одновременно с его включением в список Km−1(Q), то Di ⊂Q. Поэтому Di ∈ Zm−1(Q).

По лемме 2.1 в такой ситуации Ci ∈ Zm(P,Q). Однако в силу отсут-ствия у полиэдра P симплексов размерности m+1 относительные цепиCi совпадают с абсолютными цепями Ci.

Согласно следствию 6.2 (6.10) – клеточное разбиение полиэдра P , Q– его (m− 1)-мерный остов.

Рассмотрим гомологическую последовательность

. . .→ Hp+1(P,Q) ∂∗−→ Hp(Q) ı∗−→ Hp(P )∗−→ Hp(P,Q)→ . . . (6.19)

пары (P,Q).Для p = n < m − 1 верны неравенства p < p + 1 < m. Отсюда

согласно теоремам 4.1 и 3.14 следует, что Hp(P,Q) = Hp+1(P,Q) = 0.Поэтому (6.19) содержит последовательность

0→ Hn(Q) ı∗−→ Hn(P )→ 0,

точность которой равносильна второму утверждению доказываемой тео-ремы.

Пусть далее p = m − 1. Тогда в силу тех же теорем 4.1 и 3.14Hp(P,Q) = 0, а согласно теореме 3.14 и предложению 4.2 Hp+1(P,Q) =Hm(P,Q) = 〈C1, . . . Cl〉. Следовательно, в (6.19) содержится последова-тельность

〈C1, . . . , Cl〉∂∗−→ Hm−1(Q) ı∗−→ Hm−1(P )→ 0. (6.20)

По определению гомоморфизма ∂∗ и доказанному выше

im ∂∗ = 〈D1, . . . Dl〉. (6.21)

Рассмотрим последовательность

0→ 〈D1, . . . Dl〉ıD−→ Hm−1(Q) ı∗−→ Hm−1(P )→ 0, (6.22)

3. Коллапсирование 117

в которой ıD – включение. Для включения имеют место очевидные ра-венства

ker ıD = 0 и im ıD = 〈D1, . . . Dl〉. (6.23)

В силу точности последовательности (6.20), формулы (6.21) и второгоиз равенств (6.23)

im ı∗ = Hm−1(P ), ker ı∗ = im ∂∗ = im ıD = 〈D1, . . . Dl〉 = im ıD. (6.24)

Осталось заметить, что первое из равенств (6.23) вместе с (6.24) в сово-купности как раз и означают точность последовательности (6.22).

3. Коллапсирование

Лемма 6.4. Пусть σm – m-мерный симплекс, σm−1 – его грань размер-ности m − 1, а Dσm – объединение (m − 1)-мерных граней симплексаσm, отличных от σm−1. Тогда существует деформационная ретрак-ция r : σm → Dσm.

Доказательство. Занумеруем вершины симплекса σm = [u0u1 . . . um]так, чтобы σm−1 = [u1 . . . um]. Для каждого k ∈ {1, . . . ,m} символом σmkобозначим симплекс, натянутый на вершины u0, u1, . . . , uk−1, u

bk, uk+1, . . . , um,

где ubk = (u1 + · · ·+ um)/m – барицентр грани σm−1.Отметим, что произвольная точка u =

∑mi=0 tiui симплекса σm при-

надлежит σmk тогда и только тогда, когда ti > tk для всех i = 0, 1, . . . ,m.Кроме того, если l ∈ {1, . . . ,m} и l 6= k, то u ∈ σmk ∩ σml в том и толькотом случае, если tl = tk.

Для любого u =∑m

i=0 tiui ∈ σmk положим

rk(u) =mtk

1− tku0 +

m∑i=0

ti − tk1− tk

ui. (6.25)

Поскольку в правой части формулы (6.25) все дроби неотрицатель-ны, а их сумма и коэффициент при uk равны нулю, то точка rk(u)лежит на грани σm−1

k симплекса σm, противоположной вершине uk. Вчастности, rk(u) ∈ Dσm.

Если u ∈ σmk ∩ σml для некоторых k, l ∈ {1, . . . ,m}, k 6= l, то

(tl − tk)/(1− tk) = 0 = (tk − tl)/(1− tl)

и потому rk(u) = rl(u). Следовательно, положив r(u) = rk(u) для всехk = 1, . . . ,m и u ∈ σmk , мы корректно определим непрерывное отобра-жение r : σm → Dσm.


Рассмотрим точку u ∈ Dσm. Так как Dσm = ∪mk=1σmk , то u ∈ Dσmk

для некоторого k. При этом барицентрическая координата tk точки uравна нулю. Отсюда в силу (6.25) следует, что r(u) = rk(u) = u. Поэтомуr – ретракция.

Пусть ı : Dσm → σm – включение, а I = [0, 1]. Определим отоб-ражение h : σm × I → σm формулой h(u, s) = (1 − s)u + sr(u). Ононепрерывно как композиция непрерывных отображений. Кроме того,h(u, 0) = u и h(u, 1) = r(u). Таким образом, композиция ı ◦ r гомотопнатождественному отображению id : σm → σm, а r – деформационнаяретракция.

Предложение 6.2. Рассмотрим полиэдр P и его симплициальныйкомплекс K(P ). Предположим, что σm – единственный m-мерный сим-плекс полиэдра P , для которого σm−1 ∈ K(P ) является гранью. Тогдасуществует деформационная ретракция rσm−1 : P → P ′, где P ′ – объ-единение всех симплексов из K(P ), отличных от σm и σm−1.

Доказательство. Пусть r : σm → Dσm – ретракция, построенная влемме. 6.4. Определим отображение rσm−1 : P → P ′, полагая rσm−1(u) =u при u ∈ P ′ и rσm−1(u) = r(u) при u ∈ σm.

По условию, наложенному на симплексы σm и σm−1, пересечениеP ′ ∩ σm совпадает с подполиэдром Dσm ⊂ P . Так как r – ретракция,то для любой точки u ∈ Dσm имеeт место равенство r(u) = u. Этозначит, что отображение rσm−1 определено корректно, непрерывно итакже является ретракцией.

Формула H(u, s) = (1− s)u+ srσm−1 , как и в лемме 6.4, определяетгомотопию, связывающую тождественное отображение idP : P → P скомпозицией ıP ′ ◦ rσm−1 , где ıP ′ : P ′ → P – включение.

Определение 6.2. Построенная в предложении 6.2 деформационнаяретракция rσm−1 : P → P ′ называется элементарным коллапсированием(или вдавливанием) полиэдра P на подполиэдр P ′ через граничный сим-плекс σm−1. Если имеется последовательность элементарных коллапси-рований rj : Pj → Pj+1, j = 0, 1, . . . , n− 1, где P0 = P – исходный поли-эдр, а P1, . . . , Pn – его подполиэдры, то композиция R = rn−1◦· · ·◦r1◦r0называется коллапсированием (а также вдавливанием).

Замечание 6.1. По определению, если полиэдр P можно сколлапсиро-вать на подполиэдрQ, то P иQ гомотопически эквивалентны. Обратноеневерно. Более того, существуют полиэдры P , гомотопически эквива-лентные точке, но не коллапсируемые ни на какой собственный подпо-лиэдр Q ⊂ P .


АЛГОРИТМ 6.2. Коллапсирование в заданной размерности.

Вход:1) списки Km(P ) и Km−1(P ) симплексов полиэдра P ;2) для каждого σm−1 ∈ Km−1(P ) список ∂−1(σm−1, P ) и количество

[σm−1 : Km(P )] инцидентных ему m-симплексов того же полиэдра.

Выход:1) списки Km(Q) и Km−1(Q) симплексов подполиэдра Q ⊂ P ;2) для каждого σm−1 ∈ Km−1(Q) список ∂−1(σm−1, Q) и количество

[σm−1 : Km(Q)] инцидентных ему m-симплексов полиэдра Q.


Шаг 1. Задание начального состояния подполиэдра Q. Об-разуем копии Km(Q) := Km(P ) и Km−1(Q) := Km−1(P ). Для каждогосимплекса σm−1 ∈ Km−1(Q) положим ∂−1(σm−1

∗ , Q) = ∂−1(σm−1∗ , P ) и

[σm−1 : Kn(Q)] = [σm−1 : Kn(P )].Шаг 2. Инициализация очереди из (m−1)-симплексов. Выбе-

рем симплекс σm−10 ∈ Km−1(P ) и построим из него очередь R = {σm−1

0 }.Шаг 3. Запуск обработки элементов очереди. Выберем пер-

вый элемент σm−1 из очереди R и удалим его из списков Km−1(P ) иR.

Шаг 4. Проверка граничности выбранного симплекса. Срав-ним число [σm−1 : Km(Q)] с единицей. Если они различны, то сразуперейдем к шагу 7.

Шаг 5. Элементарное Коллапсирование. Удалим из перемен-ного списка Km−1(Q) симплекс σm−1, а из аналогичного списка Km(Q)– единственный m-симплекс σm ∈ ∂−1(σm−1, Q).

Шаг 6. Обновление переменных параметров. Для каждой гра-ни σm−1

∗ симплекса σm, отличной от σm−1, выполним следующие дей-ствия: вставим σm−1

∗ в конец очереди R, удалим σm из ∂−1(σm−1∗ , Q) и

присвоим переменной [σm−1∗ : Km(Q)] новое значение, равное [σm−1

∗ :Km(Q)]− 1.

Шаг 7. Переход к следующему элементу очереди. Если R 6=∅, то перейдем к шагу 3.

Шаг 8. Переход к следующей итерации в случае пустой оче-реди R. Проверим состояние списка Km−1(P ). Если он не пуст, то вер-немся к шагу 2.

Конец алгоритма.

Предложение 6.3. Пусть P – полиэдр, Km(Q) и Km−1(Q) – спис-ки, построенные для него с помощью алгоритма 6.2, Q – объединение


симплексов из Km(Q), Km−1(Q) и списков Kn(Q) = Kn(P ) для раз-мерностей n, не равных m и m− 1. Тогда Q – подполиэдр полиэдра P ,обладающий свойствами:

• P коллапсируется на Q;

• Q не допускает элементарного коллапсирования через симплексыразмерности m− 1.

Доказательство. Положим Q0 = P и обозначим символом Qk подпо-лиэдр полиэдра P , полученный после k-ой итерации шага 5 алгоритма6.2. Согласно критерию, проверяемому на шаге 4, рассматриваемая ите-рация производится только в том случае, если σm – единственный m-симплекс полиэдра Qk−1, для которого σm−1 является гранью. Отсюдапо предложению 6.2 следует, что существует элементарное коллапсиро-вание ri : Qk−1 → Qk. Если Q = Qp, то композиция r = rp ◦ · · · ◦ r1представляет собой коллапсирование полиэдра P = Q0 на результиру-ющий подполиэдр Q.

Допустим, что после окончания работы алгоритма возможно кол-лапсированиеQ через симплекс σm−1 ∈ Km−1(Q). Тогда [σm−1 : Km(Q)] =1.

Отметим, что удаление симплексов из списка Km−1(P ) производит-ся только на шаге 3. Но перед этим удаляемый симплекс обязательнопопадает в очередь R и выбирается из нее для последующей обработки.Согласно шагу 8 отсюда следует, что любой (m − 1)-мерный симплексполиэдра P проходит через шаг 4.

Если [σm−1 : Km(P )] = 1, то по допущению [σm−1 : Km(Q)] =1 от начала и до конца работы алгоритма. Однако после шага 4 длясимплекса σm−1 будет выполняться шаг 5, на котором он будет удалениз списка Km−1(Q). Это противоречит нашему предположению.

Если же [σm−1 : Km(P )] = k > 1, то в процессе работы алгорит-ма из списка ∂−1(σm−1, Q), который в начальный момент совпадает с∂−1(σm−1, P ), должны быть исключены k − 1 симплексов. Рассмотриммомент, когда происходит удаление последнего из этих k − 1 симплек-сов, а в ∂−1(σm−1, Q) остается единственный m-мерный симплекс σm.Данное событие может произойти только на шаге 5. Однако после негообязательно будет выполнен шаг 6, на котором σm−1 попадет в конецочереди R. Так как выпасть из R, минуя шаг 3, нельзя, то согласно ша-гу 7 симплекс σm−1 рано или поздно будет выбран из очереди и пройдетпроверку на шаге 4. Согласно сделанному допущению симплекс σm немог быть исключен из Km(Q). Поэтому число [σm−1 : Km(Q)] = 1 приэтой проверке окажется равным единице. Но тогда на шаге 5 σm−1 бу-


дет удален из списка Km−1(Q). Таким образом, мы снова приходим кпротиворечию.

Из сказанного следует, что предположение о коллапсируемости по-лиэдраQ через симплексы размерностиm−1 (после завершения работыалгоритма) неверно.

Глава 7

Комбинаторная теорияповерхностей

1. Однородные двумерные полиэдры и их осо-бенности

Определение 7.1. Связный и однородный двумерный полиэдр P при-нято называть поверхностью.

Определение 7.2. Одномерный симплекс e ∈ K1(P ) поверхности Pназывается ребром ветвления, если он является гранью более чем двухдвумерных симплексов (треугольников) комплексаK(P ). Если P содер-жит ребра ветвления, то она называется разветвленной поверхностью.

Для любой вершины u ∈ K0(P ) поверхности P существует инци-дентный ей двумерный симплекс σ2 = [uvw] ∈ K(P ). При этом Lk(u, σ2) =[vw] – одномерная грань симплекса σ2, противоположная вершине u.

Определение 7.3. Пусть ∂−2(u, P ) – набор всех 2-симплексов σ2 ∈K(P ), инцидентных заданной вершине u ∈ K0(P ). Тогда объединения

St(u, P ) =⋃

σ2∈∂−2(u,P )

σ2 и Lk(u, P ) =⋃

σ2∈∂−2(u,P )

Lk(u, σ2)

называются соответственно звездой и линком вершины u в комплексеK(P ). Разность st(u, P ) = St(u, P ) \ Lk(u, P ) принято называть откры-той звездой вершины u.

Ясно, что St(u, P ) и Lk(u, P ) – однородные подполиэдры поверх-ности P размерностей 2 и 1 соответственно, а st(u, P ) – окрестностьвершины u в P (см. рис 7.1).

122

1. Однородные двумерные полиэдры 123

Рис. 7.1: Звезда и линк вершины u.

Определение 7.4. Вершина u ∈ K0(P ) поверхности P называется изо-лированной особенностью, если выполнены два условия:

• вершина u не лежит на ребре ветвления поверхности P ,

• звезда St(u, P ) не является сильно связным подполиэдром или,что то же самое, линк Lk(u, P ) состоит не менее чем из двух ком-понент связности.

Для натурального числа n, вещественного r > 0 и точек v ∈ Rn иo = (0, . . . , 0) ∈ Rn будем полагать

Dn(v, r) = {x ∈ Rn| |x− v| < r},

Dn = Dn(o, 1) и Dn+ = {x ∈ Dn|xn > 0}.

Определение 7.5. Если каждая точка подмножества P ⊂ RN облада-ет окрестностью, гомеоморфной кругу D2, то P называют замкнутымдвумерным многообразием.

Предложение 7.1. Связный двумерный полиэдр P ⊂ Rn являетсязамкнутым многообразием тогда и только тогда, когда обладает сле-дующими свойствами:

(e) любое ребро e ∈ K1(P ) инцидентно двум и только двум двумер-ным симплексам (треугольникам) поверхности P ,

(v) звезда St(u, P ) каждой вершины u ∈ K0(P ) сильно связна.

124 Глава 7. Комбинаторная теория поверхностей

Доказательство. Пусть сначала дано, что P – замкнутое многообра-зие.

Рассмотрим ребро e ∈ K1(P ) и предположим, что количество [e :K2(P )] инцидентных e треугольников полиэдра P отлично от двух. Вы-берем произвольную точку v ∈ e \ ∂e. Согласно определению 7.5 най-дутся окрестность V ⊂ P точки v и гомеоморфизм f : D2 → V . Приэтом без ограничения общности всегда можно считать, что окрестностьV достаточно мала, а f(o) = v, где o = (0, 0) ∈ D2.

Если [e : K2(P )] = 0, то можно ограничиться случаем, когда V ⊂ e.При этом разность D2 \ {o} связна, а разность V \ {v} состоит из двухкомпонент связности (см. рис. 7.2).

Рис. 7.2: Круг D2 без точки o связен, а интервал V без точки v = f(o) – нет.

Следовательно, H0(D2 \ {o}) ∼= Z2, а H0(V \ {v}) ∼= Z22. Вместе с тем

сужение f : D2 \ {o} → V \ {v} является гомеоморфизмом и потомуиндуцирует изоморфизм f∗ : H0(D2 \ {o}) → H0(V \ {v}). Полученноепротиворечие означает, что равенство [e : K2(P )] = 0 невозможно.

Допустим далее, что [e : K2(P )] = 1 и рассмотрим единственныйтреугольник t ∈ K2(P ), для которого ребро e является гранью. Со-гласно сказанному выше будем считать, что V ⊂ t. При этом найдетсятакое число ε > 0, что пересечение W = Dn(v, ε) ∩ P лежит в t. В силунепрерывности отображения f существует число δ > 0, для которогоf(D2(o, δ)) ⊂W (см. рис. 7.3). Таким образом, определена коммутатив-ная диаграмма

D2(o, δ) \ {o} f−−−−→ W \ {v}yı2 yıD2 \ {o} f−−−−→ V \ {v},


в которой ı2 и ı – включения.

Рис. 7.3: f отображает круг D2 гомеоморфно на V , а круг D2(o, δ) – в W .

Она индуцирует диаграмму

H1(D2(o, δ) \ {o}) f∗−−−−→ H1(W \ {v})yı2∗ yı∗H1(D2 \ {o}) f∗−−−−→ H1(V \ {v}).

(7.1)

Заметим, что множествоW\{v} стягиваемо в точку. ПоэтомуH1(W\{v}) = 0 и для любого элемента [α] ∈ H1(D2(o, δ) \ {o}) имеют месторавенства

ı∗ ◦ f∗([α]) = ı∗(0) = 0. (7.2)

С другой стороны, ı2 : D2(o, δ) \ {o} → D2 \ {o} – гомотопическаяэквивалентность. Поэтому ı2∗ – изоморфизм. Кроме того, множестваD2(o, δ) \ {o} и D2 \ {o} гомотопически эквивалентнтны окружностиS1. Следовательно, H1(D2(o, δ) \ {o}) ∼= H1(D2 \ {o}) ∼= Z2. Выберемотличный от нуля элемент [α] ∈ H1(D2(o, δ) \ {o}). Тогда

f∗ ◦ ı2∗([α]) 6= 0, (7.3)

так как ı2∗ : H1(D2(o, δ) \ {o}) → H1(D2 \ {o}) и f∗ : H1(D2 \ {o}) →H1(V \ {v}) – изоморфизмы.

Очевидно, равенства (7.2) и (7.3) противоречат коммутативностидиаграммы (7.1) Следовательно, наше допущение неверно и равенство[e : K2(P )] = 1 также невозможно.

Предположим, наконец, что [e : K2(P )] = q > 2 и рассмотрим список∂−1(e, P ) = {t1, . . . , tq} инцидентных ребру e треугольников полиэдра


P . Положим g = f−1 и будем считать, что V ⊂ t1 ∪ · · · ∪ tq. Выберемчисло δ0 > 0, для которого пересечениеW0 = Dn(v, δ0)∩P принадлежитокрестности V . Тогда если U0 = g(W0), то g : W0 → U0 – гомеоморфизм.

Поскольку U0 – открытое подмножество плоскости R2, то найдетсятакое число ε > 0, что D2(o, ε) ⊂ U0. В силу непрерывности отобра-жения g : V → D2 существует число δ, удовлетворяющее условиям:0 < δ < δ0 и g(W ) ⊂ D2(o, ε), где W = Dn(v, δ) ∩ P (рис. 7.4).

Рис. 7.4: Здесь g(W0) = U0 и g(W ) ⊂ D2(o, ε).

Таким образом, построена коммутативная диаграмма

W \ {v} g−−−−→ D2(o, ε) \ {o}yı yı2W0 \ {v}

g−−−−→ U0 \ {o},

в которой, как и выше, ı и ı2 – включения. Она индуцирует диаграмму

H1(W \ {v})g∗−−−−→ H1(D2(o, ε) \ {o})yı∗ yı2∗

H1(W0 \ {v})g∗−−−−→ H1(U0 \ {o}).

(7.4)

Так как здесь ı – гомотопическая эквивалентность, а g : W0 \ {v} →U0 \{o} – гомеоморфизм, то g∗ ◦ ı∗ – изоморфизм. Кроме того, разностьW \ {v} гомотопически эквивалентна букету из q− 1 окружностей. По-этому

im(g∗ ◦ ı∗) ∼= H1(W \ {v}) ∼= Zq−12 . (7.5)


Но H1(D2(o, ε) \ {o}) ∼= Z2. Следовательно,

rank im(ı2∗ ◦ g∗) = rank ı2∗(im g∗) 6 rank ı2∗(Z2) 6 1. (7.6)

Очевидно, при q > 2 коммутативность диаграммы (7.4) с равенства-ми (7.5) и (7.6) несовместима. Поэтому случай [e : K2(P )] > 2 такженевозможен.

Итак, нами доказано, что произвольное ребро e ∈ K1(P ) многооб-разия P инцидентно двум и только двум его треугольникам, то естьP обладает свойством (e). Теперь рассмотрим вершину u ∈ K0(P ), еезвезду St(u, P ) и инцидентное u ребро e0 ∈ ∂−1(u, P ).

По доказанному выше найдется треугольник t0 ∈ ∂−2(u, P ), для ко-торого e0 является гранью. Если e1 – другое ребро треугольника t0,содержащее вершину u, то по той же причине существует инцидентныйему треугольник t1 ∈ ∂−2(u, P ). Таким образом может быть построенапоследовательность треугольников t0, t1, . . . , tl ∈ ∂−2(u, P ), для кото-рых ti−1 ∩ ti = ei ∈ ∂−1(u, P ). Процесс ее построения закончится тогдаи только тогда, когда не равная ребру el и содержащая вершину u сто-рона очередного треугольника tl совпадет с начальным ребром e0.

По построению подполиэдр Q = t0 ∪ t1 ∪ · · · ∪ tl ⊂ P сильно связен илежит в звезде St(u, P ). Допустим, что St(u, P ) 6= Q. Тогда объединениеQ′ всех не принадлежащих St(u, P ) треугольников из списка ∂−2(u, P )является непустым подполиэдром полиэдра P . Поскольку каждое реброиз списка {e0, e1, . . . , el} инцидентно двум треугольникам подполиэдраQ ⊂ P , то оно уже не может быть инцидентным ни одному треуголь-нику подполиэдра Q′ ⊂ P . Это значит, что

Q ∩Q′ = {u}, причем Q ∪Q′ = St(u, P ). (7.7)

Рис. 7.5: St(u, P ) = Q ∪Q′ – звезда вершины u.

Поскольку P – многообразие, то найдутся окрестность U ⊂ St(u, P )вершины u и гомеоморфизм h : U → D2, h(u) = o (рис. 7.5). При этом


сужение h : U \ {u} → D2 \ {o} также является гомеоморфизмом. Носогласно (7.7) количество компонент связности разности U\{u} не мень-ше двух. Следовательно, rankH0(U \ {u}) > 1. Вместе с тем множествоD2 \ {o} связно и потому H0(D2 \ {o}) ∼= Z2. Получено противоречие,означающее, что звезда St(u, P ) обязана совпасть с сильно связным под-полиэдром Q ⊂ P . Таким образом, для многообразия P имеет место исвойство (v).

Пусть далее известно, что полиэдр P обладает свойствами (e) и (v).Докажем, что тогда он является замкнутым многообразием.

Если t ∈ K2(P ) и v ∈ Int t, то V = Int t – окрестность точки v.Согласно лемме 1.2 она гомеоморфна кругу D2.

Предположим, что v ∈ e\∂e. Тогда по свойству (e) имеется точно дватреугольника t и t′ полиэдра P , для которых e – одномерная грань. Приэтом t∩ t′ = e, а разность V = (t∪ t′) \ ∂V , где ∂V – объединение реберцепи ∂(t + t′), является окрестностью точки v. Очевидно, существуетгомеоморфизм f объединения t∪t′ на выпуклый четырехугольник M ⊂R2, причем f(V ) = IntM . По лемме 1.2 найдется гомеоморфизм g :IntM → D2. Но тогда g ◦ f : V → D2 – также гомеоморфизм.

Рассмотрим теперь вершину u ∈ K0(P ). Согласно свойству (e) темже способом, что и выше, могут быть построены последовательноститреугольников t0, t1, . . . , tl ∈ ∂−2(u, P ) и ребер

e0 = [uv0], e1 = [uv1], . . . , el = [uvl] ∈ ∂−1(u, P ),

для которых ti ∩ ti+1 = ei при всех i = 0, 1, . . . , l − 1 и tl ∩ t0 = e0. Ра-зумеется, ei 6= ej для различных i, j ∈ {0, 1, . . . , l}. Кроме того, ни одноребро ei из построенной последовательности не может быть инцидент-ным треугольникам из списка K2(P ) \ {t0, t1, . . . , tl}. Отсюда согласносвойству (v) следует, что объединение Q = t0 ∪ t1 ∪ · · · ∪ tl совпадает созвездой St(u, P ).

Пусть ϕ0, ϕ1, . . . , ϕl – углы треугольников t0, t1, . . . , tl при вершинеu, а ϕ = ϕ0 + ϕ1 + · · ·+ ϕl. Положим φ0 = 0 и

φi =2π(ϕ0 + ϕ1 + · · ·+ ϕi−1)

ϕ

для всех i = 1, . . . , l + 1.Рассмотрим лучи Li в плоскости R2, выходящие из точки o = (0, 0) и

образующие угол φi с положительным направлением прямой R×0 ⊂ R2,i = 0, 1, . . . , l. При этом предполагается, что все углы отсчитываются водном направлении, выбранным в качестве положительного. ПоложимS1 = {x ∈ R2| |x| = 1}, wi = Li ∩ S1, ∆2

i = [owiwi+1] для всех i =


0, 1, . . . , l−1 и ∆2l = [owlw0]. Так как φl+1 = 2π, то M = ∆2

0∪∆21∪· · ·∪∆2

l

– выпуклый многоугольник, вписанный в единичную окружность S1.Для всех i существуют симплициальные гомеоморфизмы fi : ti →

∆2i , определенные равенствами: fi(u) = o, fi(vi) = wi и fi(vi+1) = wi+1.

Поскольку отображения fi и fi+1 совпадают на пересечении ei+1 = ti ∩ti+1, а отображения fl и f0 – на пересечении e0 = tl ∩ t0, то полагаяf(v) = fi(v) при v ∈ ti, мы определим непрерывное отображение f :Q→M (рис. 7.6). По той же причине, полагая g(w) = f−1

i (w) для всехi и w ∈ ∆2

i , мы получим непрерывное отображение g : M → Q, обратноедля f . Таким образом, f : Q → M – гомеоморфизм. В силу леммы1.2 отсюда следует, что открытая звезда st(u, P ) = IntQ гомеоморфнагругу D2.

Рис. 7.6: Гомеоморфизм звезды вершины u на выпуклый многоугольник M .

Определение 7.6. Подмножество P ⊂ RN , каждая точка которогообладает окрестностью, гомеоморфной кругу D2 или полукругу D2

+,называется двумерным многообразием с краем.

Предложение 7.2. Связный двумерный полиэдр P ⊂ Rn являетсямногообразием с краем тогда и только тогда, когда обладает следую-щими свойствами:

(e) любое ребро e ∈ K1(P ) инцидентно не более чем двум двумернымсимплексам (треугольникам) поверхности P ,

(v) звезда St(u, P ) каждой вершины u ∈ K0(P ) сильно связна.

Обоснование данного утверждения аналогично доказательству пред-ложения 7.1 и потому предоставляется читателям в качестве упражне-ния.


Следствие 7.1. Поверхность P является 2-многообразием (замкну-тым или с краем) тогда и только тогда, когда она не содержит реберветвления и изолированных особенностей.

Определение 7.7. Ребро e ∈ K1(P ) поверхности P , инцидентное толь-ко одному двумерному симплексу комплекса K(P ), считается краевым.Объединение краевых ребер поверхности P называется его краем и обо-значается символом ∂P .

Упражнение 7.1. Пусть P – двумерное многообразие и ∂P – его край.Докажите, что ∂P – однородный одномерный подполиэдр полиэдра P ,причем каждая его вершина u ∈ K0(∂P ) инцидентна точно двум ребрамкомплекса K(∂P ).

2. Представления двумерных многообразий по-средством семейств многоугольников

Лемма 7.1. Пусть X – замкнутое и ограниченное подмножество про-странства Rp, Y ⊂ Rq, f : X → Y – непрерывное и сюръективноеотображение и y0 ∈ Y . Тогда для любого положительного δ ∈ R най-дется такое λ ∈ R, λ > 0, что если y ∈ Y ∩Dq(y0, λ) и x ∈ f−1(y), тодля некоторог x0 ∈ f−1(y0) справедливо неравенство |x− x0| < δ.

Доказательство. Допустим противное. При этом существует такое δ >0, что для каждого натурального числа n можно выбрать точки yn ∈Y ∩Dq(y0, 1/n) и xn ∈ f−1(yn), вторая из которых удовлетворяет усло-вию:

|xn − x| > δ при всех x ∈ f−1(y0). (7.8)

Если бы последовательность {xn} состояла из конечного набора то-чек, то таким же свойством обладала бы последовательность {yn}. По-следняя сходится к точке y0. Поэтому в рассматриваемой ситуацииyn = y0 для всех n, больших некоторого n0. Но тогда xn ∈ f−1(y0)для тех же n и условие (7.8) не может выполняться.

Итак, {xn} – бесконечное подмножество множества X. Но тогда полемме 6.1 существует подпоследовательность {zn} ⊂ {xn}, сходящаясяк некоторой точке z ∈ X. Согласно (7.8) z /∈ f−1(y0) и потому f(z) 6= y0.

С другой стороны, в силу непрерывности отображения f : X → Yпоследовательность {f(zn)} обязана сходиться к точке f(z). Так как{f(zn)} ⊂ {yn}, а последовательность {yn} сходится к y0, то f(z) = y0.

Полученное противоречие показывает, что наше допущение неверно.

2. Представления двумерных многообразий 131

Определение 7.8. Пусть m – натуральное число, m > 3, а M – выпук-лый m-угольник, M ⊂ R2. Для множеств его вершин и сторон будемиспользовать обозначения K0(M) и K1(M). Если K0(M) = {v1, . . . , vm}и K1(M) = {[v1v2], . . . , [vmv1]}), то положим M = [v1 . . . vm]. Мы будемговорить, что многоугольник M = [v1 . . . vm] триангулирован из верши-ны v1, если он разбит на треугольники отрезками [v1v3], . . . , [v1vm−1].

Определение 7.9. Рассмотрим замкнутое 2-многообразие P и наборM1, . . . ,Mn попарно непересекающихся выпуклых многоугольников. По-ложим M = M1 ∪ · · · ∪Mn и K l(M) = K l(M1) ∪ · · · ∪K l(Mn), l = 0, 1.Тогда IntM = IntM1 ∪ · · · ∪ IntMn и ∂M = ∂M1 ∪ · · · ∪ ∂Mn. Допустим,что непрерывное отображение χ : M → P обладает свойствами:

• χ(IntM) ∩ χ(∂M) = ∅;

• сужение χ|IntM : IntM → P инъективно;

• для любой стороны a ∈ K1(M) сужение χ|Int a : Int a → P такжеинъективно;

• каждой стороне a ∈ K1(M) соответствуют единственная сторонаa′ ∈ K1(M) и симплициальная биекция ϕa : a → a′, удовлетворя-ющие равенству χ|a′ ◦ ϕa = χa.

Тогда пара (M,χ) называется представлением многообразия P посред-ством семейства многоугольников. При этом указанные в последнемсвойстве стороны a и a′ называется эквивалентными (обозначение: a ∼a′), а соответствующее отображение ϕa : a→ a′ – склеивающим.

Всюду далее мы будем называть (M,χ) просто представлением мно-гообразия P , опуская словосочетание "посредством семейства много-угольников". Согласно определению множество K1(M) состоит из чет-ного числа элементов, поскольку разбито на пары {a, a′}, состоящиеиз эквивалентных сторон, связанных склеивающими отображениямиϕa : a → a′. Нетрудно видеть, что данное разбиение индуцирует от-ношение эквивалентности и на множестве вершин K0(M).

Определение 7.10. Пусть (M,χ) – представление многообразия P .Тогда вершины v ∈ K0(M) и v′ ∈ K0(M) считаются эквивалентными,если найдутся последовательности вершин w0, w1, . . . , wk ∈ K0(M) исторон a1, a

′1, . . . , ak, a

′k ∈ K1(M), обладающие свойствами:

• ai ∼ a′i для всех i = 1, . . . , k;


• v = w0 ∈ a1, wi = ϕai(wi−1) ∈ a′i ∩ ai+1 для всех i = 1, . . . , k − 1 иv′ = wk = ϕak

(wk−1).

Пусть (M,χ) – представление замкнутого двумерного многообразияP , причем M = M1 ∪ · · · ∪ Mn и M1 = [v1 . . . vm]. Рассмотрим чис-ло k ∈ {2, . . . ,m − 1}, выпуклый k-угольник M1

1 = [v11 . . . v

1k] и вы-

пуклый (m − k + 2)-угольник M21 = [v2

1 . . . v2m−k+2]. Будем считать,

что многоугольники M1, M11 и M2

1 триагулированы из вершин v1, v11

и v21 соответственно. Тогда существует симплициальное отображение

f : M11 ∪M2

1 → M1, удовлетворяющее равенствам f(v1i ) = vi для всех

i = 1, . . . , k, f(v21) = v1 и f(v2

j ) = vj+k−2 для j = 2, . . . ,m− k + 2. Поло-жим M∗ = M1

1 ∪M21 ∪ · · · ∪Mn и определим отображение χ∗ : M∗ → P ,

полагая χ∗(u) = χ(u) при u ∈ M2 ∪ · · · ∪ Mn и χ∗(u) = χ(f(u)) приu ∈M1

1 ∪M21 . Этим определено новое представление (M∗, χ∗) многооб-

разия P (рис. 7.7).

Рис. 7.7: Двумерное подразделение представления многообразия P .

Определение 7.11. Принято говорить, что представление (M∗, χ∗) по-лучено двумерным подразделением представления (M,χ) по диагонали[v1vk] многоугольника M1.

Предположим, что для представления (M,χ) многообразия P , M =M1∪· · ·∪Mn, и некоторой стороны a ∈ K1(M1) найдется эквивалентная


ей сторона a′ ∈ K1(M2). Занумеруем вершины многоугольников M1 =[v1

1 . . . v1p] и M2 = [v2

1 . . . v2q ] так, чтобы имели место равенства

a = [v11v

1p], a′ = [v2

1v22], ϕa(v1

1) = v21, ϕa(v1

p) = v22. (7.9)

Положим m = p + q − 2 и рассмотрим выпуклый m-угольник M0 =[v1 . . . vm]. Будем считать, что многоугольники M1, M2 и M0 триангу-лированы из вершин v1

1, v21 и v1 соответственно. Тогда найдется симпли-

циальное отображение f : M1 ∪M2 →M0 удовлетворяющее условиям

f(v1i ) = vi для i = 1, . . . , p,

f(v21) = v1 и f(v2

j ) = vj+p−2 для j = 2, . . . , q. (7.10)

Положим M∗ = M0 ∪M3 ∪ · · · ∪Mn, χ∗(u) = χ(u) при u ∈M3 ∪ · · · ∪Mn

и χ∗(u) = χ(f−1(u)) при u ∈M0. В силу 7.9 и 7.10 этим корректно опре-делено отображение χ∗ : M∗ → P . Согласно лемме 7.1 оно непрерывно.Отсюда и из симплициальности отображения f следует, что (M∗, χ∗) –представление многообразия P (рис. 7.8).

Рис. 7.8: Двумерное укрупнение представления многообразия P .

Определение 7.12. Полученное представление (M∗, χ∗) многообразияP будет считаться двумерным укрупнением представления (M,χ) попаре эквивалентных сторон {a, a′}.


Рассмотрим представление (M,χ) многообразия P и допустим, чтоM = M1 ∪ · · · ∪Mn, M1 = [v1 . . . vp], M2 = [v′1 . . . v

′q],

a = [v1v2], b = [v2v3], a′ = [v′1v′2], b′ = [v′2v

′3],

ϕa(v1) = v′1, ϕa(v2) = ϕb(v2) = v′2, ϕb(v3) = v′3.

Будем считать, что многоугольники M1 и M2 триангулированы из вер-шин v2 и v′2 соответственно. Выберем выпуклый (p− 1)-угольник M∗

1 =[u1 . . . up−1] и выпуклый (q − 1)-угольник M∗

2 = [u′1 . . . u′q−1], а также

барицентры w и w′ сторон c = [u1u2] и c′ = [u′1u′2]. Триангулируем мно-

гоугольники M∗1 и M∗

2 , соединяя точки w и w′ с вершинами u3, . . . , up−1

и u′3, . . . , u′q−1 соответственно. Положим M∗ = M∗1 ∪M∗

2 ∪M3 ∪ · · · ∪Mn

и построим симплициальное отображение f : M∗ → M , обладающеесвойствами:

f(u1) = v1, f(w) = v2, f(ui) = vi+1 для i = 2, . . . , p,f(u′1) = v′1, f(w′) = v′2, f(u′j) = v′j+1 для j = 2, . . . , q,

f(u) = u для всех u ∈M3 ∪ · · · ∪Mn.

Тогда пара (M∗, χ∗), где χ∗ = χ ◦ f , является представлением многооб-разия P . (рис. 7.9).

Рис. 7.9: Одномерное укрупнение представления многообразия P .


Определение 7.13. Построенное в предыдущем абзаце представле-ние (M∗, χ∗) многообразия P будет считаться одномерным укрупнениемпредставления (M,χ) по сторонам a и b.

Отметим, что при одномерном укрупнении по сторонам a и b двепары эквивалентных сторон {a, a′} и {b, b′} заменяются одной парой{c, c′}. Однако такое преобразование возможно не всегда.

Упражнение 7.2. Построить преобразование представления (M,χ), об-ратное по отношению к одномерному укрупнению. Его называют одно-мерным подразделением.

Определение 7.14. Пусть далее представление (M,χ) содержит одинвыпуклый многоугольник M = M1. При этом мы будем говорить, что(M,χ) – одинарное представление. Зафиксируем направление обходаграницы ∂M . Ориентируем стороны многоугольникаM так, чтобы скле-ивающие отображения ϕa : a→ a′ сохраняли ориентации. Каждой ори-ентированной стороне a ∈ K1(M) поставим в соответствие символ, со-стоящий из буквы (возможно с номером) и показателя, равного 1 (такойпоказатель обычно опускается) при совпадении направления стороны aс направлением обхода границы ∂M и равного −1 в противном случае.При этом будем соблюдать следующие условия:

• символы, соответствующие эквивалентным сторонам a и a′, могутотличаться только показателями;

• если стороны a и b многоугольника M не эквивалентны, то соот-ветствующие им символы должны быть различны даже без учетапоказателей.

Выписав символы, соответствующие всем сторонам многоугольника M ,в порядке, определенном направлением обхода границы ∂M , получимпоследовательность s, которая называется схемой представления (M,χ).

Поскольку в определении 7.14 выбор первой стороны многоуголь-ника произволен, то даже при использовании для обозначения сторонфиксированных символов схема представления определена с точностьюдо циклической перестановки входящих в нее символов. Поэтому имеетсмысл следующее определение.

Определение 7.15. Рассмотрим одинарные представления (M,χ) и(M, χ) замкнутых 2-многообразий P и P . Их схемы s и s будут счи-таться одинаковыми, если s можно получить из s заменой соответству-ющих сторонам многоугольника M символов (с соблюдением условийиз определения 7.14), а также их циклической перестановкой.


Рис. 7.10: Данное представление имеет схему s = ab−1acc−1b−1.

Предложение 7.3. Если схемы s и s одинарных представлений (M,χ)и (M, χ) замкнутых 2-многообразий P и P одинаковы, то P ≈ P .

Доказательство. Во-первых, из совпадения схем представлений (M,χ)и (M, χ) следует, что M и M – выпуклые многоугольники с одинако-вым количеством сторон. Поэтому без ограничения общности мы мо-жем считать, что M = M . Во-вторых, согласно равенству s = s дляпроизвольных точек u ∈ P и u ∈ P полные прообразы χ−1(u) и χ−1(u)либо не пересекаются, либо совпадают. Следовательно, формулы f(u) =χ(χ−1(u)) и f(u) = χ(χ−1(u)) корректно определяют отображения f :P → P и f : P → P . По построению f = f−1.

Если U – открытое подмножество многообразия P , то множествоW = χ−1(U) открыто в M в силу непрерывности характеристическогоотображения χ : M → P . С другой стороны, множество W насыщеноотносительно отображения χ : M → P . Согласно лемме 7.1 в такойситуации U = χ(V ) – открытое подмножество многообразия P . Но U =f−1(U). Поэтому f : P → P – непрерывное отображение.

Точно так же проверяется непрерывность обратного отображенияf : P → P .

Определение 7.16. Говорят, что одинарное представление (M,χ) за-мкнутого 2-многообразия P имеет канонический тип, если его схема sсодержится в следующем списке:

• abb−1a−1;

• abab;

• a1b1a−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p , p > 1;

• c1c1 . . . cqcq, q > 2.


Теорема 7.1. Любое связное замкнутое двумерное многообразие Pимеет представление канонического типа.

Доказательство. По теореме 6.1 для P существует одинарное пред-ставление (M,χ). Дальнейшие рассуждения разобъем на шесть этапов.

Этап 1. Допустим сначала, что M – 4-угольник. В этом случаепростым перебором можно убедиться в том, что список всех возможныхсхем представления (M,χ) имеет вид:

abb−1a−1, abab, aba−1b−1, aabb, abba−1, aba−1b.

Если схема s представления (M,χ) совпадает с одной из первых четы-рех из указанного списка, то (M,χ) – каноническоге представление.

Предположим, что s = abba−1 и M = [v1v2v3v4]. Тогда можно по-ложить a = [v1v2], b = [v2v3], a′ = [v1v4] и b′ = [v3v4]. При этом a ∼ a′

и b ∼ b′. Произведем двумерное подразделение представления (M,χ)по диагонали x = [v1v3]. Затем выполним двумерное укрупнение полу-ченного (уже не одинарного) представления по паре сторон {b, b′}. Врезультате получим представление (M1, χ1) со схемой xa−1xa−1. Поло-жив y = a−1, из последней получим схему xyxy, которая уже входитв список из определения 7.16. Следовательно, (M1, χ1) – представлениеканонического типа.

Если s = aba−1b и M = [v1v2v3v4], то a = [v1v2], b = [v2v3], a′ = [v4v3],b′ = [v4v1], a ∼ a′ и b ∼ b′. С помощью двумерного подразделения по диа-гонали x = [v1v3] и двумерного укрупнения по паре сторон {b, b′}, полу-чим представление (M1, χ1) многообразия P , имеющее схему xxa−1a−1.Замена y = a−1 приводит последнюю к требуемому виду xxyy. Поэтому,как и выше, (M1, χ1) является каноническим представлением.

Этап 2. Пусть теперь число r сторон многоугольника M большечетырех. Докажем, что тогда P имеет представление (M2, χ2), для ко-торого либо M2 – 4-угольник, либо схема s2 не содержит подпоследова-тельностей вида aa−1.

Если r > 4 и в схеме s представления (M,χ) найдется подпоследова-тельность aa−1, то вершины многоугольника M можно обозначить так,чтобы M = [v1v2v3 . . . vk . . . vr], a = [v1v2], a′ = [v3v2], a ∼ a′ и 3 < k < r.Выполним двумерное подразделение представления (M,χ) по диагона-ли x = [v2vk] и одномерное укрупнение того, что получилось, по сто-ронам a и x. Результатом этих действий будет представление (M∗, χ∗),в котором пары эквивалентных сторон {a, a′} и {x, x′} заменятся па-рой {y, y′}. После двумерного укрупнения (M∗, χ∗) по паре {y, y′} мыпридем к представлению (M∗∗, χ∗∗), схема s∗∗ которого получается из sудалением подпоследовательности aa−1. При этом многоугольник M∗∗


имеет r∗∗ = r − 2 сторон. Если r∗∗ > 4 и в схеме s∗∗ остались под-последовательности интересующего нас вида, то описанную процедуруможно повторить. Так как r < ∞, то через конечное число шагов мыобязательно получим представление (M2, χ2) с требуемыми свойствами.

Этап 3. Предположим, чтоM2 – r2-угольник и r2 > 4. Покажем, чтопри этом можно построить представление (M3, χ3) многообразия P , вкотором либо M3 является 4-угольником, либо все вершины из K0(M3)эквивалентны.

Выберем класс эквивалентности C ⊂ K0(M2) и допустим, что C 6=K0(M2). Тогда найдутся две смежные вершины многоугольникаM2, од-на из которых принадлежит классу C, а другая – нет. Пусть для опре-деленности M2 = [v1v2v3 . . . vr2 ], v1 ∈ C и v2 /∈ C. Положим a = [v1v2].Тогда a′ 6= [v2v3] и a′ 6= [v3v2]. Действительно, если a′ = [v2v3], тоϕa(v1) = v2, где ϕa : a → a′ – склеивающее отображение, и потомуv2 ∈ C вопреки предположению. При a′ = [v3v2] схема s2 содержа-ла бы подпоследовательность aa−1, что по построению представления(M2, χ2) также исключено.

Произведем теперь двумерное подразделение представления (M2, χ2)по диагонали x = [v1v3] и двумерное укрупнение полученного представ-ления по паре эквивалентных сторон {b, b′}, где b = [v2v3]. Согласнодоказанному в предыдущем абзаце это возможно и приводит к одинар-ному представлению. Если в его схеме появится подпоследовательностьaa−1, то мы избавимся от нее описанным выше методом.

В любом случае будет построено представление (M∗2 , χ

∗2), по отноше-

нию к которому класс эквивалентности C∗ вершины v1 удовлетворяетравенству card(K0(M∗

2 ) \ C∗) = card(K0(M2) \ C) − 1. При этом ко-личество вершин многоугольника M∗

2 меньше или равно r2. Поэтомуповторив эту процедуру конечное число раз, мы неизбежно придем кпредставлению (M3, χ3) с указанными свойствами.

Этап 4. ПустьM3 – r3-угольник, r3 > 4 и схема s3 содержит две оди-наковых буквы, разделенных другими символами. При этом без огра-ничения общности можно предполагать, что s3 = as′as′′, где s′ 6= ∅и s′′ 6= ∅. Обозначим вершины многоугольника M3 так, чтобы M3 =[v1v2 . . . vkvk+1 . . . vr3 ], a = [v1v2] и a′ = [vkvk+1]. Тогда 2 < k < r3.

Произведем двумерное подразделение представления (M3, χ3) по диа-гонали x = [v2vk+1]. Затем выполним двумерное укрупнение по паре{a, a′}. В результате получим представление (M∗

3 , χ∗3), в схеме которого

уже нет буквы a, но появилась подпоследовательность xx.Заметим, что из эквивалентности элементов набора K0(M3) следу-

ет эквивалентность вершин многоугольника M∗3 относительно (M∗

3 , χ∗3).

Отсюда следует, что подпоследовательности вида cc−1 в схеме s∗3 не воз-


никнут. Кроме того, если схема s3 содержала подпоследовательностьbb, то она или сохранится неизменной, или превратится в подпоследо-вательность b−1b−1, которую очевидной заменой можно вернуть к ис-ходному виду.

Согласно сказанному через некоторое число повторений описаннойпроцедуры мы построим представление (M4, χ4) многообразия P , в схе-ме которого любые два одинаковых символа стоят рядом. Многоуголь-ник M4 будет иметь r4 = r3 вершин, образующих один класс эквива-лентности относительно (M4, χ4). Если при этом схема s4 не содержитодинаковых символов с противоположными показателями, то (M4, χ4)– представление канонического типа.

Этап 5. Допустим, что в схеме s4 имеется пара символов a и a−1.Тогда без ограничения общности можно считать, что она имеет видs4 = as′a−1s′′, где s′ 6= ∅ и s′′ 6= ∅.

Если для каждого b ∈ s′ символ b или b−1 также принадлежит s′,то вершины соответствующих s′ сторон многоугольника M4 не могутбыть эквивалентными вершинам сторон, соответствующих подпоследо-вательности s′′. Поэтому хотя бы для одного b ∈ s′ либо b ∈ s′′, либоb−1 ∈ s′′. Однако согласно построению представления (M4, χ4) одина-ковые символы могут располагаться в последовательности s4 толькорядом. Следовательно, первый из указанных случаев невозможен.

Таким образом, с точностью до обозначений

M4 = [v1v2 . . . vivi+1 . . . vjvj+1 . . . vkvk+1 . . . vr4 ],

a = [v1v2], a′ = [vj+1vj ], b = [vivi+1] и b′ = [vk+1vk], где 1 < i < j < k <r4. Допустим, что символы a, b, a−1 и b−1 расположены в s не подряд.Это значит, что 2 < i, i+ 1 < j, j + 1 < k и k + 1 < r4.

Выполнив сначала двумерное подразделение по диагонали y = [v2vj ],а затем двумерное укрупнение по паре сторон {b, b′}, мы превратим(M4, χ4) в представление (M∗

4 , χ∗4), в котором

M∗4 = [u1u2u3u4 . . . ulul+1 . . . ur4 ],

a = [u1u2], u′ = [u4u3], y = [u2u3] и y′ = [ul+1ul]. Произведем егодвумерное подразделение по диагонали x = [ulu3], а затем двумерноеукрупнение по паре сторон {a, a′}. В результате получим представле-ние (M∗∗

4 , χ∗∗4 ) многообразия P со схемой s∗∗4 , не содержащей символовa, a−1, b и b−1, но обладающей подпоследовательностью xyx−1y−1.

Отметим, что M∗∗4 – r4-угольник. Кроме того, если в схеме s4 име-

лись подпоследовательности вида cc и cdc−1d−1, то они останутся ив схеме s∗∗4 . Наконец, все вершины многоугольника M∗∗

4 эквивалент-ны относительно представления (M∗∗

4 , χ∗∗4 ). Поэтому после нескольких


итераций описанного преобразования будет построено представление(M5, χ5), схема которого является объединением последовательностейвида cc и cdc−1d−1. Если подпоследовательностей первого вида она несодержит, то (M5, χ5) – представление канонического типа.

Этап 6. Предположим однако, что в s5 имеются и пары cc, и четвер-ки aba−1b−1. Обозначим вершины многоугольника M5 так, чтобы име-ли место равенства M5 = [v1 . . . vr5 ], c = [v1v2], c′ = [v2v3], a = [vivi+1],a′ = [vi+3vi+2], b = [vi+1vi+2] и b′ = [vi+4vi+3].

С помощью двумерного подразделения по диагонали d = [v2vi+2] ипоследующего двумерного укрупнения по паре сторон {c, c′} построимпредставление (M∗

5 , χ∗5), в котором M∗

5 = [v∗1 . . . v∗r5 ], a

′ = [v∗2v∗3], a =

[v∗j v∗j+1], b

′ = [v∗1v∗2], b = [v∗j+1v

∗j+2], d

′ = [v∗4v∗3] и d = [v∗j+3v

∗j+2].

К нему применим двумерное подразделение по диагонали x = [v∗j+2v∗2]

и двумерное укрупнение по паре {b, b′}. Полученное представление обо-значим символом (N,κ). Вершины многоугольника N можно обозна-чить так, чтобы N = [w1 . . . wr5 ], a′ = [w4w5], a = [wkwk+1], d = [w1w2],d′ = [w6w5], x = [w2w3] и x′ = [w3w4].

Воспользовавшись двумерным подразделением по диагонали y =[w4wk] и двумерным укрупнением по паре {a, a′}, от (N,κ) придем кпредставлению (N∗,κ∗). При этом можно положить d = [w∗

1w∗2], d′ =

[w∗l w

∗l+1], x = [w∗

2w∗3], x′ = [w∗

3w∗4], y = [w∗

4w∗5] и y′ = [w∗

5w∗6].

Наконец, произведем двумерное подразделение представления (N∗,κ∗)по диагонали z = [w∗

l+1w∗2] и двумерное укрупнение по паре сторон

{d, d′}. Схема s∗∗ полученного представления (N∗∗,κ∗∗) не содержитсимволов a, a−1, b, b−1 и c, но включает в себя подпоследовательностьzzxxyy. При этом если другие пары вида ee и четверки вида ghg−1h−1

имелись в схеме s5, то они без изменений войдут и в схему s∗∗. Такжеясно, что N∗∗ – r5-угольник и все его вершины эквивалентны относи-тельно (N∗∗,κ∗∗).

Повторяя вышеописанные действия достаточное число раз, мы при-дем к представлению (M6, χ6), в схеме которого все четверки вида aba−1b−1

исходной схемы s5 заменятся подпоследовательностями, состоящими изпар одинаковых символов. А это значит, что (M6, χ6) – представлениеканонического типа.

Замечание 7.1. Если замкнутое многообразие P является полиэдром, тосогласно теореме 6.1 для него существует представление (M,χ), в кото-ром многоугольник M триангулирован так, что отображение χ линейноотображает каждый симплекс комплекса K(P ) на некоторый симплекстой же размерности полиэдра P . Ясно, что при одномерных и двумер-ных укрупнениях такое свойство представления сохраняется. То же са-


мое будет происходить и при двумерных подразделениях, если вместодиагоналей мы будем использовать ломаные, соединяющие те же вер-шины и состоящие из ребер симплициального комплекса K(M). Поэто-му в рассматриваемом случае многообразие P обладает представлением(M,χ) канонического типа, в котором M – полиэдр, а χ : M → P – сим-плициальное отображение.

Определение 7.17. Рассмотрим двумерное многообразие P с краем∂P , семейство попарно непересекающихся выпуклых многоугольниковM1, . . . ,Mn и объединение M = M1∪· · ·∪Mn. Предположим, что непре-рывное отображение χ : M → P обладает свойствами:

• χ(IntM) ∩ χ(∂M) = ∅;

• сужение χ|IntM : IntM → P инъективно;

• для любой стороны a ∈ K1(M) сужение χ|Int a : Int a → P такжеинъективно;

• K1(M) = K11 (M)∪K1

2 (M), причем каждой стороне a ∈ K12 (M) со-

ответствуют единственная сторона a′ ∈ K12 (M) и симплициальная

биекция ϕa : a→ a′, удовлетворяющие равенству χ|a′ ◦ ϕa = χa, адля любых d ∈ K1

1 (M) и c ∈ K1(M) образы χ(Int d) и χ(Int c) непересекаются.

Тогда пара (M,χ) называется представлением многообразия P посред-ством семейства многоугольников, указанные в последнем свойстве сто-роны a и a′ – эквивалентными (обозначение: a ∼ a′), а соответствующееотображение ϕa : a→ a′ – склеивающим.

Точно так, как было сделано выше, определяется схема одинарногопредставления многообразия с краем и доказывается, что многообразияимеющие представления с одинаковыми схемами гомеоморфны.

Определение 7.18. Говорят, что одинарное представление (M,χ) 2-многообразия с краем имеет канонический тип, если его схема s содер-жится в следующем списке:

• ada−1;

• aba−1b−1d;

• aad;

• a1b1a−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p c1d1c−11 . . . ckdkc

−1k , p > 1, k > 1;


• a1a1 . . . aqaqc1d1c−11 . . . cldlc

−1l , q > 2, l > 1.

Теорема 7.2. Произвольное связное двумерное многообразие с краемимеет представление канонического типа.

Это утверждение доказывается аналогично теореме 7.1.

3. Топологические типы двумерных многообра-зий

ПустьQ = {(x, y) ∈ R2| 0 6 |x| 6 1, 0 6 |y| 6 1}.

Соединив отрезками точки (1/3, 2/3) и (2/3, 1/3) друг с другом и совсеми вершинами квадрата Q, получим его триангуляцию.

В пространстве R3 рассмотрим точки

v0 = (0, 0, 0), v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v± = (0, 0,±1)

и треугольники

∆±0 = [v1v2v±], ∆±

1 = [v0v2v±], ∆±2 = [v0v1v±].

Символом S0 обозначим объединение треугольников ∆±i , i = 0, 1, 2. По-

скольку S0 – поверхность выпуклого многогранника, то она гомеоморф-на двумерной сфере.

Построим симплициальное отображение σ : Q→ S0, удовлетворяю-щее равенствам

σ((0, 0)) = v−, σ((1, 1)) = v+, σ((2/3, 1/3)) = v1,

σ((1/3, 2/3)) = v2 и σ((0, 1)) = σ((1, 0)) = v0.

Положим

a = [(0, 0)(0, 1)], b = [(0, 1)(1, 1)], a′ = [(0, 0)(1, 0)], b′ = [(1, 0)(1, 1)].

Тогда (Q, σ) – представление замкнутого 2-многообразия S0 со схемойabb−1a−1.

Пусть далее Q1 = {(x, y) ∈ M | y 6 1 − x}. Тогда S1 = σ(M1) –объединение треугольников ∆−

i , i = 0, 1, 2. Очевидно, оно гомеоморфнополусфере, которую иногда называют сферой с одной дыркой. Положивσ1 = σ|Q1 и d = [(0, 1)(1, 0)], получим представление (Q1, σ1) многооб-разия S1 со схемой ada−1.

3. Топологические типы 2-многообразий 143

Рассмотрим тор T 2, реализованный как поверхность вращения окруж-ности {(0, y, z) ∈ R3| (y − 2)2 + z2 = 1} вокруг оси oz = (0, 0)×R. Опре-делим отображение τ : Q→ T 2 формулой

τ(α, β) = ((2 + cos 2πα) cos 2πβ, (2 + cos 2πα) sin 2πβ, sin 2πα).

Сохраним для a и b прежние значения, а в качестве a′ и b′ выберемотрезки [(0, 1)(1, 1)] и [(0, 0)(1, 0)] соответственно. Тогда (Q, τ) – пред-ставление тора T 2 со схемой aba−1b−1.

Удалив из квадрата Q внутренность треугольника

∆0 = [(0, 0)(1/3, 2/3)(2/3, 1/3)],

получим подполиэдр Q′ ⊂ Q. Его образ R = τ(Q′) является тором безобласти, гомеоморфной открытому кругу, и называется тором с дыркойили ручкой.

Поскольку упомянутая область гомеоморфна сфере с дыркой, то торможно интерпретировать как сферу с одной ручкой.

Обозначим символомN пятиугольник в R2 с вершинами (0, 0), (0, 1),(1/2, 2), (1, 1) и (1, 0). Триангулируем его, соединяя отрезками точку(1/3, 0) с вершинами (0, 1) и (1/2, 2), а точку (2/3, 0) – с вершинами(1/2, 2) и (1, 1). Тогда имеется единственное симплициальное отображе-ние ν : N → Q′, для которого

ν(0, 1) = (0, 1), ν(1/2, 2) = (1, 1), ν(1, 1) = (1, 0),ν(1/3, 0) = (1/3, 2/3), ν(2/3, 0) = (2/3, 1/3), ν(0, 0) = ν(1, 0) = (0, 0).

Положим

a = [(0, 0)(0, 1)], b = [(0, 1)(1/2, 2)],a′ = [(1, 1)(1/2, 2)], b′ = [(1, 0)(1, 1)], d = [(1, 0)(0, 0)]

и ρ = τ ◦ ν. Тогда (N, ρ) – представление ручки R со схемой aba−1b−1d.Представим замкнутый круг в виде

D2 = {(r cosα, r sinα)| r ∈ [0, 1], α ∈ [0, 2π]}.

Тогда формула

δ(r cosα, r sinα) = (cosπ(r − 1/2) cosα, cosπ(r − 1/2) sinα, sinπ(r − 1/2))

определяет непрерывное отображение δ : D2 → S2, переводящее грани-цу S1 = ∂D2 в точку (0, 0, 1) сферы S2 = {(x, y, z) ∈ R3|x2+y2+z2 = 1}.


Если Mp – вписанный в окружность S1 выпуклый p-угольник, p > 2,то Sp = δ(Mp) – сфера без областей, гомеоморфных открытому кругу,иначе говоря, сфера с p дырками.

Воспользовавшись леммой 7.1 отсюда получим, что если S′ – дву-мерное многообразие, а κ : Mp → S′ – непрерывное и сюръективноеотображение, для которого сужение κ|Mp\S1 : Mp \S1 → S′ инъективнои κ(Mp ∩ S1) – одна точка, то S′ ≈ Sp.

Пусть теперь M = [v0v1 . . . v4p−1] – 4p-угольник, p > 1, а (M,χ) –представление со схемой a1b1a

−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p некоторого замкну-того 2-многообразия P . Рассмотрим диагонали di = [v4(i−1)v4i], i =1, . . . , p − 1, и dp = [v4(p−1)v0]. Обозначим p-угольник со сторонамиd1, . . . , dp символом Mp, а пятиугольники со сторонами ai, bi, a′i, b

′i

и di – символами Ni, i = 1, . . . , p. Тогда согласно доказанному вышеRi = χ(Ni) – ручка с краем ∂Ri = χ(di). При p > 2 образ Sp = χ(Mp)является сферой с p дырками, причем границы дырок совпадают с кра-ями ручек Ri. Поэтому поверхность P называют сферой с p ручками.

Если p = 2, то многоугольник M распадается на два пятиугольникаN1 и N2 с общей стороной d = d1 = d2. Поэтому P состоит из двухручек R1 = χ(N1) и R2 = χ(N2), склеенных по общему краю ∂R1 =χ(d) = ∂R2. Данная поверхность называется кренделем.

Упражнение 7.3. Докажите, что крендель гомеоморфен сфере с двумяручками.

Упражнение 7.4. Докажите, что 2-многообразие, имеющее представле-ние со схемой a1b1a

−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p c1d1c−11 . . . ckdkc

−1k , p > 1, k > 1,

гомеоморфно сфере с p ручками и k компонентами края.

Пусть снова

Q = {(x, y) ∈ R2| 0 6 |x| 6 1, 0 6 |y| 6 1}.

Положим

b = [(0, 0)(0, 1)], b′ = [(1, 1)(1, 0)], d1 = [(1, 1)(0, 1)], d2 = [(1, 0)(0, 0)]

и определим гомеоморфизм ϕb : b → b′ формулой ϕb((0, y)) = (1, 1 −y). Склеив стороны b и b′ квадрата Q по гомеоморфизму ϕb, то естьотождествив точки u ∈ b и ϕb(u) ∈ b′, получим поверхность L, котораяназывается пленкой (или лентой) Мебиуса. По построению она имеетпредставление (Q,λ) со схемой bd1bd2.

Выполнив двумерное подразделение представления (Q,λ) по диа-гонали a = [(0, 0)(1, 1)] и двумерное укрупнение по паре сторон {b, b′},мы придем к представлению со схемой aad1d2. С помощью одномерного

4. Группы гомологий 2-многообразий 145

укрупнения по сторонам d1 и d2 из него получим представление со схе-мой aad. Таким образом, любое 2-многообразие L′, имеющее представ-ление (∆, λ′) со схемой канонического вида aad, гомеоморфно пленкеМебиуса. При этом ∂L′ = λ(d).

Рассмотрим теперь 2q-угольник M = [v0v1 . . . v2q−1], p > 1, и пред-ставление (M,χ) некоторого замкнутого 2-многообразия P , имеющеесхему a1a1 . . . aqaq. Положим dj = [v2(j−1)v2j ] для j = 1, . . . , q − 1 иdq = [v2(p−1)v0]. Обозначим q-угольник со сторонами d1, . . . , dq сим-волом Mq, а треугольники со сторонами aj , a′j и dj – символами ∆j ,j = 1, . . . , q. Тогда Lj = χ(∆j) – пленка Мебиуса с краем ∂Lj = χ(dj).Если q > 2, то образ Sq = χ(Mq) является сферой с q дырками, причемграницы дырок совпадают с краями пленок Lj . Поэтому поверхностьP в этом случае называют сферой с q пленками.Упражнение 7.5. Докажите, что 2-многообразия, имеющее представ-ления со схемами abab и aabb, гомеоморфны проективной плоскости ибутылке Клейна соответственно. Последние, в свою очередь, можно ин-терпретировать как сферы с одной и двумя пленками Мебиуса.Упражнение 7.6. Докажите, что 2-многообразие, имеющее представле-ние со схемой a1a1 . . . aqaqc1d1c

−11 . . . ckdkc

−1k , q > 1, k > 1, гомеоморфно

сфере с q пленками и k компонентами края.Из полученныех выше результатов (включая упражнения) вытека-

ют следующие утверждения.

Теорема 7.3. Произвольное замкнутое двумерное многообразие гомео-морфно либо сфере, либо сфере с p ручками, либо сфере с q пленкамиМебиуса; p, q > 1.

Теорема 7.4. Любое двумерное многообразие с краем гомеоморфно ли-бо сфере с k дырками, либо сфере с p ручками и k дырками, либо сферес q пленками Мебиуса и k дырками; p, q, k > 1.

4. Группы гомологий двумерных многообразий

Теорема 7.5. Пусть P – связное замкнутое двумерное многообразие.Тогда

• если P ≈ S2, то

H0(P ) ∼= Z2, H1(P ) = 0, H2(P ) ∼= Z2;

• если P гомеоморфно сфере с p ручками, p > 1, то

H0(P ) ∼= Z2, H1(P ) ∼= Z2p2 , H2(P ) ∼= Z2;


• если P гомеоморфно сфере с q пленками Мебиуса, q > 1, то

H0(P ) ∼= Z2, H1(P ) ∼= Zq2, H2(P ) ∼= Z2.

Доказательство. Пусть (M,χ) – представление канонического типа дляP . Оно индуцирует клеточное разбиение многообразия P , в которомe2 = χ(IntM) – единственная клетка размерности 2, образы χ(a) сто-рон a ∈ K1(M) являются замкнутыми одномерными клетками, а обра-зы χ(v) вершин v ∈ K0(M) представляют собой нульмерные клетки.

Так как ∂cw0 = 0 всегда, а ∂cw3 = 0 в силу отсутствия трехмерныхклеток, то

ker ∂cw0 = Ccw0 (P ) и im ∂cw3 = 0. (7.11)

Согласно определению 7.9 для полученного CW-комплекса (P,K(P ))выполнены условия предложения 4.4.

Так как по построению на каждую одномерную клетку χ отображаетточно две стороны многоугольника M , то в силу предложения 4.4 [e2 :e1] = 0 для всех e1 ∈ K1(P ). Это значит, что во всех случаях ∂cw2 = 0 ипотому

ker ∂cw2 = Ccw2 (P ) = 〈e2〉 и im ∂cw2 = 0. (7.12)

Из (7.11) и (7.12) немедленно следует, что H2(P ) = Ccw2 (P ) = 〈e2〉 ∼=Z2 для любого замкнутого 2-многообразия P .

Если (M,χ) – представление со схемой вида a1b1a−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p ,p > 1, или вида c1c1 . . . cqcq, q > 2, тоK0P содержит единственную нуль-мерную клетку e0. При этом для любой стороны a многоугольника Mимеет место равенство χ(∂a) = e0. Отсюда по определению 4.2 следует,что [e1 : e0] = 0 для всех e1 ∈ K1(P ). Таким образом, в рассматриваемойситуации и ∂cw1 = 0. Но тогда

ker ∂cw1 = Ccw1 (P ) и im ∂cw1 = 0. (7.13)

Пусть многообразие P гомеоморфно сфере с p ручками, p > 1. Тогдапредставление (M,χ) имеет схему a1b1a

−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p . При этом

Ccw1 (P ) = 〈a1b1 . . . apbp〉 ∼= Z2p2 . (7.14)

Тогда согласно (7.11), (7.13) и (7.14) H0(P ) = Ccw0 (P ) = 〈e0〉 ∼= Z2 иH1(P ) = Ccw1 (P ) ∼= Z2p

2 .Если P гомеоморфно сфере с q пленками Мебиуса, q > 2, то (M,χ)

– представление со схемой c1c1 . . . cqcq. В этой ситуации имеют месторавенства (7.11) – (7.13) и

Ccw1 (P ) = 〈c1 . . . cq〉 ∼= Zq2. (7.15)

4. Группы гомологий 2-многообразий 147

Поэтому группа H0(P ) останется такой же, что и для сферы с ручками,но согласно (7.15) H1(P ) = Ccw1 (P ) ∼= Zq2.

Предположим, что P ≈ S2. Тогда представление (M,χ) имеет схемуabb−1a−1. При этом можно считать, что M = [v1v2v3v4], a = [v1v2], b =[v2v3], a′ = [v1v4] и b′ = [v4v3]. Поэтому e01 = χ(v1), e02 = χ(v2) = χ(v4),e03 = χ(v3), e11 = χ(a) = χ(a′) и e12 = χ(b) = χ(b′).

По определению 4.2 [e11 : e01] = [e11 : e02] = [e12 : e02] = [e12 : e03] = 1, а [e11 :e03] = [e12 : e01] = 0. Следовательно, ∂cw1 (e11) = e01 + e02 и ∂cw1 (e12) = e02 + e03.Согласно полученным равенствам

ker ∂cw1 = 0 и im ∂cw1 = 〈e01 + e02, e02 + e03〉 = 〈e01, e03〉.

Поэтому

H1(P ) = 0 и H0(P ) = 〈e01, e02, e03〉/〈e01, e03〉 ∼= Z2.

Пусть, наконец, многообразие P гомеоморфно проективной плос-кости, то есть сфере с одной ручкой. Его представление (M,χ) имеетсхему abab. При этом если M = [v1v2v3v4], то a = [v1v2], b = [v2v3],a′ = [v3v4] и b′ = [v4v1]. Поэтому e01 = χ(v1) = χ(v3), e02 = χ(v2) = χ(v4),e11 = χ(a) = χ(a′) и e12 = χ(b) = χ(b′). В такой ситуации [e1i : e0j ] = 1 длявсех i, j = 1, 2. Следовательно, ∂cw1 (e11) = ∂cw1 (e12) = e01 + e02. Но тогда

ker ∂cw1 = 〈e11 + e12〉 ∼= Z2 и im ∂cw1 = 〈e01 + e02〉.

Согласно последним равенствам

H1(P ) ∼= Z2 и H0(P ) = 〈e01, e02〉/〈e01 + e02〉 ∼= Z2.

Замечание 7.2. Разумеется, при доказательстве теоремы 7.5 группуH0(P )можно было не вычислять. Так как P – связное многообразие, тоH0(P ) ∼=Z2 в силу теоремы 3.2. Однако мы сочли полезным вычислить все груп-пы гомологий многообразия P с помощью клеточного цепного комплек-са.

Теорема 7.6. Пусть P – связное двумерное многообразие с краем. То-гда

H0(P ) ∼= Z2, H2(P ) ∼= Z2;

• H1(P ) = 0 при P ≈ D2;

• H1(P ) ∼= Zk−12 , если многообразие P гомеоморфно сфере с k дыр-

ками, k > 2;


• H1(P ) ∼= Z2p+k−12 в случае, когда P гомеоморфно сфере с p ручками

и k дырками, p, k > 1;

• H1(P ) ∼= Zq+k−12 , если P гомеоморфно сфере с q пленками Мебиуса

и k дырками, q, k > 1.

Доказательство последнего утверждения аналогично обоснованиютеоремы 7.5 и состоит в прямом вычислении соответствующего клеточ-ного цепного комплекса. Мы предлагаем читателю в качестве упраж-нения самому выполнить эти вычисления.

Глава 8

Индексы пересечения циклов

1. Барицентрические звездные комплексы и груп-пы гомологий

Рассмотрим связный и однородный m-мерный полиэдр P . Тогда длялюбого k-мерного симплекса σk, 0 6 k 6 m, существует инцидентныйему m-симплекс σm. Вершины последнего можно занумеровать так,чтобы выполнялись равенства

σk = [v0v1 . . . vk] и σm = [v0v1 . . . vkvk+1 . . . vm]. (8.1)

Тогда определена (m − k − 1)-мерная грань Lk(σk, σm) = [vk+1 . . . vm]симплекса σm, противоположная грани σk.

Определение 8.1. Пусть D−1(σk, P ) – набор всех m-симплексов σm ∈K(P ), инцидентных σk. Тогда объединения

St(σk, P ) =⋃

σm∈D−1(σk,P )

σm и Lk(σk, P ) =⋃

σm∈D−1(σk,P )

Lk(σk, σm)

называются соответственно звездой и линком симплекса σk в комплексеK(P ).

Ясно, что St(σk, P ) и Lk(σk, P ) – однородные подполиэдры полиэдраP размерностей m и m− k − 1.

Определение 8.2. Если для каждого k-мерного симплекса σk ∈ K(P )его линк Lk(σk, P ) гомеоморфен краю (поверхности) выпуклого много-гранника размерности m−k, то полиэдр P мы будем называть замкну-тым многообразием.

149

150 Глава 8. Индексы пересечения циклов

Замечание 8.1. Отметим, что для двумерного полиэдра P в силу пред-ложения 7.1 определения 8.2 и 7.5 равносильны.

Напомним, что символом Sm−k принято обозначать группу всех би-екций на себя конечного множества, состоящего из m − k элементов.Элементы группы Sm−k обычно называют перестановками.

Рассмотрим снова симплексы σk и σm, имеющие вид (8.1). Выберемперестановку α : {k + 1, . . . ,m} → {k + 1, . . . ,m} и положим

uk =v0 + v1 + · · ·+ vk

1 + k, (8.2)

uαi =v0 + v1 + . . . vk + vα(k+1) + · · ·+ vα(i)

1 + i(8.3)

для i = k + 1, . . . ,m, а также

bstα(σk, σm) = [ukuαk+1 . . . uαm] и blkα(σk, σm) = [uαk+1 . . . u

αm]. (8.4)

Этим построены (m − k)-мерный симплекс bstα(σk, σm) барицентриче-ского подразделения K ′(P ) комплекса K(P ) и его (m − k − 1)-мернаягрань blkα(σk, σm).

Определение 8.3. Положим

cbst(σk, P ) = {bstα(σk, σm)|α ∈ Sm−k, σm ∈ D−1(σk, P )}, (8.5)

cblk(σk, P ) = {blkα(σk, σm)|α ∈ Sm−k, σm ∈ D−1(σk, P )}, (8.6)

где Sm−k – группа перестановок элементов множества {k + 1, . . . ,m}.Объединение симплексов цепи cbst(σk, P ) ∈ Cm−k(P ) обозначим сим-волом bst(σk, P ) и назовем барицентрической звездой симплекса σk вP . Объединение симплексов цепи cblk(σk, P ) ∈ Cm−k−1(P ) договоримсяобозначать символом bst(σk, P ) и называть барицентрическим линкомтого же симплекса σk.

Предложение 8.1. Симплициальные схемы полиэдра blk(σk, P ) и ба-рицентрического подразделения K ′(Lk(σk, P )) комплекса K(Lk(σk, P ))эквивалентны.

Доказательство. Пусть (U,BL) – симплициальная схема барицентри-ческого линка blk(σk, P ). По построению

U =⋃

σm∈D−1(σk,P )

Uσm ,

1. Барицентрические звездные комплексы и группы гомологий 151

гдеUσm = {uαi |α ∈ Sm−k, i = k + 1, . . . ,m},

симплексы σk и σm связаны равенствами (8.1), а вершина uαi опреде-лена формулой (8.3). При этом семейство BL состоит из подмножеств{uαi0 , . . . , u

αip} ⊂ V , {i0, . . . , ip} ⊂ {k + 1, . . . ,m}.

Вершинами комплекса K ′(Lk(σk, P )) являются барицентры

wαi =vα(k+1) + · · ·+ vα(i)

i− k + 1(8.7)

граней σm−k = [vk+1 . . . vm] симплексов σm = [v0 . . . vm] ∈ D−1(σk, P ),α ∈ Sm−k. Поэтому положим

Wσm = {wαi |α ∈ Sm−k, i = k + 1, . . . ,m},

W =⋃

σm∈D−1(σk,P )

Wσm .

Произвольный p-симплекс σp комплекса K ′(Lk(σk, P )) натянут на вер-шины wαi0 , . . . , w

αip

, {i0, . . . , ip} ⊂ {k+1, . . . ,m}. Обозначим совокупностьвсех таких подмножеств {wαi0 , . . . , w

αip} ⊂ W буквой L. Тогда (W,L) –

симплициальная схема комплекса K ′(Lk(σk, P )).Определим отображения f : V → W и g : W → V , полагая f(uαi ) =

wαi и g(wαi ) = uαi для всех σm ∈ D−1(σk, P ), α ∈ Sm−k и i ∈ {k +1, . . . ,m}.

Предположим, что для симплекса σm = [v0 . . . vkvk+1 . . . vm], пере-становки β : {k+1, . . . ,m} → {k+1, . . . ,m} и номера j ∈ {k+1, . . . ,m}барицентры uαi и

uβj =v0 + · · ·+ vk + vβ(k+1) + · · ·+ vβ(j)

j + 1

совпадают. Тогда j = i и

vβ(k+1) + · · ·+ vβ(j) = vα(k+1) + · · ·+ vα(i).

Поэтому f(uβj ) = wβj = wαi = f(uαi ) и отображение f : V → W опреде-лено корректно.

Аналогично проверяется корректность определения отображения g :W → V .

Согласно (8.3) и (8.7) g ◦ f = idV и f ◦ g = idW . Следовательно, f –биекция.


Наконец,f({uαi0 , . . . , u

αip}) = {wαi0 , . . . , w

αip} ∈ L

для каждого {uαi0 , . . . , uαip} ∈ BL и

g({wαi0 , . . . , wαip}) = {uαi0 , . . . , u

αip} ∈ BL

для всех {wαi0 , . . . , wαip} ∈ L.

Предложение 8.2. Для любого замкнутого m-мерного многообразияP и его k-симплекса σk справедливо равенство

∂(cbst(σk, P )) = cblk(σk, P ). (8.8)

Доказательство. Согласно (8.4) – (8.6)

∂(cbst(σk, P )) = blk(σk, P ) + ck+1 + · · ·+ cm, (8.9)

где для всех j = k + 1, . . . ,m

cj =∑

σm∈D−1(σk,P ),α∈Sm−k

τ(σm, α, j),

σm имеет вид (8.1), τ(σm, α, j) = [ukuαk+1 . . . uαj−1u

αj+1 . . . u

αm], а вершины

uk, uαk+1, . . . , u

αm определены формулами (8.2) – (8.3).

Докажем, что cj = 0 для всех j = k + 1, . . . ,m.Пусть сначала j < m. Определим отображение fj : cj → cj форму-

лой fj(τ(σm, α, j)) = τ(σm, β, j), где β = α◦γj , γj(i) = i для i, отличногоот j и j + 1, γj(j) = j + 1 и γj(j + 1) = j. Так как γj ◦ γj = id, то

fj ◦ fj = id . (8.10)

Согласно (8.2) – (8.3) uβi = uαi при i 6= j. Поэтому τ(σm, β, j) = τ(σm, α, j).Отсюда и из (8.10) следует, что цепь cj разбивается на пары одинаковыхсимплексов и потому равна нулю.

Так как bst(σk, P ) – конус над blk(σk, P ) с вершиной uk, то по пред-ложению 8.1, полагая

h([ukuαk+1 . . . uαm]) = [wαk+1 . . . w

αm]

для произвольного симплекса σm = [v0v1 . . . vkvk+1 . . . vm] из D−1(σk, P )и перестановки α : {k+1, . . . ,m} → {k+1, . . . ,m}, мы получим биекциюцепи cbst(σk, P ) на цепь, образованную всеми (m− k− 1)-симплексамикомплекса K ′(Lk(σk, P )).


Рассмотрим еще один симплекс σm ∈ D−1(σk, P ) и перестановку β :{k+1, . . . ,m} → {k+1, . . . ,m}. Тогда σm = [v0v1 . . . vkvk+1 . . . vm], а сим-плексы σm−k = [ukuαk+1 . . . u

αm] ∈ cbst(σk, P ) и σm−k = [uku

βk+1 . . . u

βm] ∈

cbst(σk, P ) пересекаются по (m − k − 1)-мерной грани в том и толь-ко в том случае, если их образы h(σm−k) = [wαk+1 . . . w

αm] и h(σm−k) =

[wβk+1 . . . wβm] имеют общую грань размерности m− k − 2.

Поскольку Lk(σk, P )) – многообразие размерности m− k− 1, то лю-бой (m − k − 2)-симплекс комплекса K ′(Lk(σk, P )) инцидентен точнодвум его (m − k − 2)-мерным симплексам. Отсюда согласно преды-дущему абзацу следует, что для каждого симплекса τ(σm, α,m) цепиcm найдется точно одна такая пара (σm, β) ∈ D−1(σk, P ) × Sm−k, чтоτ(σm, β,m) = τ(σm, α,m). Поэтому cm = 0.

Итак, ck+1 = · · · = cm = 0. Согласно (8.9) этим предложение дока-зано.

Предложение 8.3. Если P – замкнутое m-мерное многообразие иσk ∈ K(P ), то

∂(cbst(σk, P )) =∑

σk+1∈∂−1(σk,P )

cbst(σk+1, P ). (8.11)

Доказательство. Рассмотрим произвольный симплекс blkα(σk, σm) це-пи cblk(σk, P ), определенный формулами (8.1), (8.3) и (8.4) с помощьюперестановки α ∈ Sm−k. Положим vi = vi для i = 0, 1, . . . , k и vj = vα(j)

для j = k + 1, . . . ,m. При этом σk = [v0, . . . , vk] и σm = [v0, . . . , vm].Пусть σk+1 = [v0, . . . , vk+1] и α(l) = l для всех l = k+2, . . . ,m. Тогда

α ∈ Sm−k−1,

uk+1 =v0 + . . . vk+1

2 + k= uαk+1,

uαl =v0 + . . . vk+1 + vα(k+2) + · · ·+ vα(l)

1 + l= uαl ,

l = k + 2, . . . ,m. Поэтому

σk+1 = [v0 . . . vkvα(k+1)] ∈ ∂−1(σk, P ),

bstα(σk+1, σm) = [uk+1uαk+2 + · · ·+ uαm] = [uαk+1 + · · ·+uαm] = blkα(σk, σm).

Этим доказано, включение

∂(cbst(σk, P )) ⊂∑

σk+1∈∂−1(σk,P )

cbst(σk+1, P ). (8.12)


Рассмотрим далее симплексы σk+1 ∈ ∂−1(σk, P ) и σm ∈ D−1(σk+1, P ),а также перестановку β ∈ Sm−k−1. Тогда с точностью до нумерациивершин σk+1 = [v0 . . . vk+1] и σm = [v0 . . . vk+1vk+2 . . . vm]. Кроме того,bstβ(σk+1, σm) = [uk+1u

βk+2 . . . u

βm], где

uk+1 =v0 + · · ·+ vk+1

2 + k,

uβl =v0 + · · ·+ vk+1 + vβ(k+2) + · · ·+ vβ(l)

1 + l

для l = k + 2, . . . ,m. Положим α(k + 1) = k + 1 и α(l) = β(l) приl ∈ {k + 2, . . . ,m}. Этим определена перестановка α ∈ Sm−k. Построимсимплекс blkα(σk, σm) с помощью формул (8.3) и (8.4). Тогда

blkα(σk, σm) = [uαk+1 . . . uαm] = [uk+1u

β . . . uβm] = bstβ(σk+1, σm).

Таким образом, имеет место включение

∂(cbst(σk, P )) ⊃∑

σk+1∈∂−1(σk,P )

cbst(σk+1, P ). (8.13)

В силу (8.12) и (8.13) предложение доказано.

Пусть BStm−k(P ) = {bst(σk, P )|σk ∈ Kk(P )} – множество всехбарицентрических звезд размерности (m − k) комплекса K(P ). Про-извольное его подмножество назовем звездной (m − k)-цепью. Сово-купность всех звездных (m − k)-цепей полиэдра P обозначим симво-лом C∗

m−k(P ). Определим операцию сложения цепей c∗1, c∗2 ∈ C∗

m−k(P )формулой c∗1 + c∗2 = (c∗1 ∪ c∗2) \ (c∗1 ∩ c∗2) и договоримся любую цепьвида {bst(σk, P )} обозначать символом bst(σk, P ). Тогда для каждойцепи c =

∑pi=1 σ

ki ∈ Ck(P ) определена дуальная звездная цепь c∗ =∑p

i=1 bst(σki , P ) ∈ C∗m−k(P ).

Формулами

∂∗ bst(σk, P ) =∑

σk+1∈∂−1(σk,P )

bst(σk+1, P ), (8.14)

∂∗m−k(c∗) = ∂∗c∗ = ∂∗(

p∑i=1

bst(σki , P )) =p∑i=1

∂∗ bst(σki , P ) (8.15)

определим гомоморфизмы ∂∗n : C∗n(P )→ C∗

n−1(P ), n = m−k = 1, . . . ,m.Положим ∂∗0 = 0 и ∂∗m+1 = 0.

Этим построена последовательность абелевых групп и гомоморфиз-мов

. . .→ C∗n+1(P )

∂∗n+1−→ C∗n(P )

∂∗n−→ C∗n−1(P )→ . . . . (8.16)


Предложение 8.4. Для любого целого неотрицательного n имеет ме-сто равенство ∂∗n ◦ ∂∗n+1 = 0. Поэтому (8.16) – цепной комплекс.

Доказательство. Пусть ıc : C∗n(P ) → Cn(P ) – естественные гомомор-

физмы, определенные формулой

ıc(p∑i=1

bst(σki , P )) =p∑i=1

cbst(σki , P ), (8.17)

n = 0, 1, . . . ,m.Согласно (8.14) и (8.17) для k = m− n и произвольной барицентри-

ческой звезды σ∗ = bst(σk, P ) ∈ BStn(P ) имеют место равенства

ıc ◦ ∂∗(σ∗) = ıc(∑

σk+1∈∂−1(σk,P )

bst(σk+1, P )) =∑

σk+1∈∂−1(σk,P )

cbst(σk+1, P ).

Но в силу (8.11) и (8.17)∑σk+1∈∂−1(σk,P )

cbst(σk+1, P ) = ∂ cbst(σk, P ) = ∂ ◦ ıc(σ∗).

Этим доказано, что в любой размерности

ıc ◦ ∂∗ = ∂ ◦ ıc. (8.18)

Но тогда для всех неотрицательных n

ıc ◦ ∂∗n ◦ ∂∗n+1 = ∂n ◦ ıc ◦ ∂∗n+1 = ∂n ◦ ∂n+1 ◦ ıc = 0. (8.19)

Так как ıc – мономорфизм, то из (8.19) следует доказываемое утвер-ждение.

Согласно (8.18) естественные отображения ıc : C∗n(P ) → Cn(P ) ин-

дуцируют гомоморфизмы ıc∗ : H∗n(P )→ Hn(P ).

Предложение 8.5. Если P – замкнутое m-мерное многообразие, товсе индуцированные гомоморфизмы ıc∗ : H∗

n(P )→ Hn(P ), n = 0, 1, . . . ,m,являются изоморфизмами.

Мы не будем доказывать этого предложения в общем случае. В сле-дующем параграфе оно будет обосновано и затем использовано в ситу-ации, когда m = dimP = 2.

По определению 8.2 для замкнутого m-мерного многообразия P ба-рицентрический линк blk(σk, P ) каждого симплекса σk ∈ K(P ), гомео-морфен поверхности некоторого выпуклого (m−k)-мерного многогран-ника M , а его барицентрическая звезда bst(σk, P ) является конусом над


указанным линком. Это значит, что bst(σk, P ) ≈ M ≈ Dm−k. Согласнопредложению 8.2 граница звезды bst(σk, P ) состоит из барицентриче-ских звезд, имеющих размерность Dm−k−1. Положим

em−k(σk) = bst(σk, P ) \ blk(σk, P )

для всех σk ∈ K(P ), k = 0, 1, . . . ,m. Тогда

P =m⋃k=0

em−k(σk)

– клеточное разбиение полиэдра P , а P вместе с набором таких кле-ток представляет собой CW-комплекс. При этом характеристическимотображением для произвольной клетки em−k(σk) является включениеı∗σk : bst(σk, P )→ P .

Согласно определению 4.3, предложению 4.4 и формулам (8.14) и(8.15) цепные комплексы (8.16) и (4.19) совпадают. Отсюда по теоремам4.4 и 3.13 следует, что

H∗m−k(P ) = Hcw

m−k∼= Hs

m−k∼= Hm−k. (8.20)

Замечание 8.2. Формула (8.20) гарантирует существование некоторогоизоморфизма группы H∗

m−k(P ) на группу симплициальных гомологийHm−k(P ). Однако это не значит, что именно ıc∗ является таким изомор-физмом. Для доказательства предложения 8.5 требуется еще убедитьсяв том, что гомоморфизм ıc∗ сюръективен (или инъективен).

2. Определение и некоторые свойства индексовпересечения

Пусть P – замкнутое m-мерное многообразие, K(P ) – его симплици-альный комплекс, а K ′(P ) – барицентрическое подразделение комплек-са K(P ).

Определение 8.4. Рассмотрим число k ∈ {0, 1, . . . ,m}, k-мерные сим-плексы σk, τk ∈ K(P ) и цепи

x =p∑i=1

σki ∈ Ck(P ), z∗ =q∑j=1

bst(τkj , P ) ∈ C∗k(P ).

Будем считать, что

I∗(σk,bst(τk, P )) =

{1 при σk = τk,

0 при σk 6= τk.

2. Определение и свойства индексов пересечения 157

Положим

I∗(x, z∗) =p∑i=1

q∑j=1

I∗(σki ,bst(τkj , P )).

Теорема 8.1. Формула

Ind∗([x], [z∗]) = I∗(x, z∗),

где x ∈ Zk(P ) и z∗ ∈ Z∗k(P ), корректно определяет билинейное отобра-

жение Ind∗ : Hk(P )×H∗m−k(P )→ Z2.

Доказательство. Сначала покажем, что для произвольного числа l ∈{0, 1, . . . ,m − 1} и любых симплексов σl+1 и τ l комплекса K(P ) имеетместо равенство

I∗(∂σl+1,bst(τ l, P )) = I∗(σl+1, ∂∗ bst(τ l, P )). (8.21)

Для этого выясним, когда равны единице сравниваемые величины.По определению 8.4 I∗(∂σl+1,bst(τ l, P )) = 1 в том и только в том

случае, если τ l ∈ ∂σl+1.Пусть ∂−1(τ l, P ) =

∑rs=1 τ

k+1s . Тогда согласно (8.14)

∂∗ bst(τ l, P ) =r∑s=1

bst(τ l+1s , P ).

Следовательно,

I∗(σl+1, ∂∗ bst(τ l, P )) =r∑s=1

I∗(σl+1,bst(τ l+1s , P )).

Последняя сумма равна единице тогда и только тогда, когда найдетсяs ∈ {1, . . . , r}, для которого σl+1 = τ l+1

s . Так как {∂τ l+1s |s = 1, . . . , r} –

совокупность всех (l+ 1)-мерных симплексов, для которых τ l являетсягранью, то предыдущее условие эквивалентно включению τ l ∈ ∂σl+1.

Таким образом, I∗(∂σl+1,bst(τ l, P )) = 1 и I∗(σl+1, ∂∗ bst(τ l, P )) = 1при одних и тех же условиях. Этим равенство (8.21) доказано.

Из (8.21) следует, что для любых цепей a ∈ Cl+1(P ) и c∗ ∈ C∗m−l

I∗(∂a, c∗) = I∗(a, ∂∗c∗). (8.22)

Рассмотрим далее циклы x ∈ Zk(P ) и z∗ ∈ Z∗m−k(P ), гомологичные

циклам x и z∗ соответственно. Тогда x + x = ∂a и z∗ + z∗ = ∂∗c∗, гдеa ∈ Ck+1(P ), а c∗ ∈ C∗

m−k+1(P ). При этом по определению

I∗(x+ x, z∗) = I∗(x, z∗) + I∗(x, z∗),


а в силу (8.22)

I∗(x+ x, z∗) = I∗(∂a, z∗) = I∗(a, ∂∗z∗) = I∗(a, 0) = 0.

В итоге, I∗(x, z∗)+I∗(x, z∗) = 0, что эквивалентно равенству I∗(x, z∗) =I∗(x, z∗).

Точно так же доказывается, что I∗(x, z∗) = I∗(x, z∗). Билинейностьпостроенного отображения следует из определения 8.4.

Определение 8.5. Элемент Ind∗([x], [z∗]) ∈ Z2 из теоремы 8.1 называ-ется индексом пересечения гомологических классов [x] и [z∗], а такжепредставляющих их циклов x ∈ Zk(P ) и z∗ ∈ Z∗

m−k(P ).

Замечание 8.3. Пусть [x] ∈ Hk(P ) и ıc∗ : H∗m−k(P )→ Hm−k(P ) – изомор-

физм из предложения 8.5. Для произвольного [y] ∈ Hm−k(P ) положим

Ind([x], [y]) = Ind∗([x], (ıc∗)−1[y]). (8.23)

Согласно теореме 8.1 этим определено билинейное отображение Ind :Hk(P ) × Hm−k(P ) → Z2. При этом элемент Ind([x], [y]) ∈ Z2 такженазывается индексом пересечения гомологических классов [x] и [y] илициклов x ∈ Zk(P ) и y ∈ Zm−k(P ).

Предложение 8.6. Пусть полиэдр P является замкнутым двумер-ным многообразием, а (M,χ) – его представление канонического типа.Тогда

• если (M,χ) имеет схему a1b1a−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p , p > 1, то груп-па H1(P ) имеет базис [x1], . . . , [x2p], для которого

Ind([xi], [xj ]) = Ind([xj ], [xi]) =

{1 при i = 2n− 1, j = 2n, n = 1, . . . p;0 во всех остальных случаях.

• если (M,χ) – представление со схемой c1c1 . . . cqcq, где либо q >1, либо q = 1 и c1 = ab, то группа H1(P ) обладает базисом[x1], . . . , [xq], для которого

Ind([xi], [xj ]) = Ind([xj ], [xi]) =

{1 при i = j;0 при i 6= j.

Доказательство. Согласно замечанию после доказательства теоремы7.1 мы без ограничения общности можем считать, что M – полиэдр, аχ : M → P – симплициальное отображение. Как обычно, обозначим


символами K(M) и K(P ) симплициальные комплексы полиэдров M иP , а символами K ′(M) и K ′(P ) – их барицентрические подразделения.

Предположим сначала, что представление (M,χ) имеет схему

a1b1a−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p .

Одномерные симплициальные циклы многообразия P , на которые χотображает стороны an, обозначим символами x2n−1, а циклы, соответ-ствующие сторонам bn – символами x2n, n = 1, . . . , p. Гомологическиеклассы выбранных циклов образуют базис группы H1(P ).

Совокупность всех треугольников комплекса K(M), имеющих хо-тя бы одну общую точку со стороной bn, представляет собой связную2-цепь t0, t0, . . . , tr, соединяющую ребра e0 и e′0 = er+1, лежащие на сто-роне an. При этом ts−1 ∩ ts = es – ребро для всех s = 1, . . . , r и es 6= es′

при s 6= s′.Пусть u0, u1, . . . , u

′0 = ur+1 – барицентры ребер e0, e1, . . . , e

′0 = er+1,

а v0, v1, . . . , vr – барицентры треугольников t0, t0, . . . , tr соответственно.Положим

z2n = [u0v0] + [v0u1] + [u1v1] + [v1u2] + · · ·+ [urvr] + [vrur+1].

Тогда z2n – одномерная симплициальная цепь комплекса K ′(M). Ееобраз z′2n = χ(z2n) является цепью комплекса K ′(P ). Так как ребрам e0и e′0 = er+1 соответствует одно ребро σ1

0 многообразия P , то z′2n – цикл,гомологичный в K ′(P ) барицентрическому подразделению цикла x2n.

Заметим, что образы s0 = χ([vru′0]∪ [u0v0]) и sk = χ([vk−1uk]∪ [ukvk])представляют собой барицентрические звезды 1-симплексов σ1

0 = χ(e0)и σ1

k = χ(ek) многообразия P , k = 1, . . . , r. Положим z∗2n = s0 +s1 + · · ·+sr. Тогда z∗2n ∈ Z∗

1 (P ) и ıc(z∗2n) = z′2n. Поэтому

ıc∗([z∗2n]) = [z′2n] = [x2n] (8.24)

Из набора {σ10, σ

11, . . . , σ

1r} один и только один симплекс σ1

0 принадлежитциклу x2n−1. Отсюда согласно (8.24) следует, что

Ind([x2n−1], [x2n]) = Ind∗([x2n−1], [z∗2n]) = 1.

Так как ни один из симплексов σ10, σ

11, . . . , σ

1r не принадлежит циклу xi

при i 6= 2n− 1, то

Ind([xi], [x2n]) = Ind∗([xi], [z∗2n]) = 0

для всех i = 1, . . . , 2p, i 6= 2n− 1.


Воспользовавшись совокупностью всех симплексов комплексаK(M),имеющих хотя бы одну общую точку со стороной a−1

n , мы точно так жеполучим равенства

Ind([x2n], [x2n−1]) = Ind∗([x2n], [z∗2n−1]) = 1,

Ind([xj ], [x2n−1]) = Ind∗([xj ], [z∗2n−1]) = 0,

j = 1, . . . , 2p, j 6= 2n.Допустим далее, что (M,χ) – представление со схемой

c1c1 . . . cqcq, q > 2.

Обозначим символами xn – одномерные циклы многообразия P , соот-ветствующие сторонам cn, n = 1, . . . , q. Тогда гомологические классы[x1], . . . , [xq] образуют базис группы H1(P ).

Рассмотрим первое ребро e0 первой (по месту, занимаемому в схемепредставления) стороны cn и первое ребро e′0 второй (в той же схеме)стороны cn. Пусть t0, t0, . . . , tr – связная 2-цепь, соединяющая e0 и e′0и состоящая из треугольников комплекса K(M), имеющих хотя бы од-ну общую точку со стороной cn. Пересечения tk−1 ∩ tk = ek являютсяребрами для всех k = 1, . . . , r и ek 6= ek′ при k 6= k′.

Как и в предыдущем случае, выберем барицентры u0, u1, . . . , u′0 =

ur+1 ребер e0, e1, . . . , e′0 = er+1, и барицентры v0, v1, . . . , vr треугольни-

ков t0, t0, . . . , tr. Положим

zn = [u0v0] + [v0u1] + [u1v1] + [v1u2] + · · ·+ [urvr] + [vrur+1]

и z′n = χ(zn). Ребрам e0 и e′0 = er+1 соответствует одно ребро σ10 мно-

гообразия P . Поэтому z′n – цикл комплекса K ′(P ), гомологичный бари-центрическому подразделению цикла xn.

Пусть снова s0 = χ([vru′0] ∪ [u0v0]) и sk = χ([vk−1uk] ∪ [ukvk]) дляk = 1, . . . , r. Положим z∗2n = s0 + s1 + · · · + sr и σ1

l = χ(e) для l =0, 1, . . . , r. Тогда s0, s1, . . . , sr – барицентрические звезды 1-симплексовσ1

0, σ1k, . . . , σ

1r , z∗n ∈ Z∗

1 (P ), ıc(z∗n) = z′n и

ıc∗([z∗n]) = [z′n] = [xn] (8.25)

Поскольку набор {σ10, σ

11, . . . , σ

1r} содержит один и только один симплекс

σ10, принадлежащий циклу x2n−1, то в силу (8.25)

Ind([xn], [xn]) = Ind∗([xn], [z∗n]) = 1.


Ни один из симплексов σ10, σ

11, . . . , σ

1r не принадлежит циклу xi при i 6=

n. Следовательно,

Ind([xi], [xn]) = Ind∗([xi], [z∗n]) = 0

для всех i = 1, . . . , q, i 6= n.Случай, когда представление (M,χ) имеет схему abab, мы оставляем

читателю в качестве упражнения.

Замечание 8.4. Разумеется, для многообразия, представление которогоимеет схему abb−1a−1, утверждение предложения 8.6 уже неверно. Этоследует из того, что одномерная группа гомологий такого многообразияравна нулю.

Определение 8.6. Построенные в предложении 8.6 базисы групп го-мологий H1(P ) называются каноническими.

Предложение 8.7. Для любого замкнутого двумерного многообразияP билинейная 2-форма Ind : H1(P )×H1(P )→ Z2 невырождена.

Доказательство. Если каноническое представление многообразия P име-ет схему a1b1a

−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p , то по предложению 8.6 матрица Aформы Ind в каноническом базисе [x1], . . . , [x2p] группы H1(P ) имеетвид

A =

0 1 0 0 . . . 0 01 0 0 0 . . . 0 00 0 0 1 . . . 0 00 0 1 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . 0 10 0 0 0 . . . 1 0

.

Поэтому detA = 1. Для многообразия P , имеющего представление сосхемой c1c1 . . . cqcq, где либо q > 1, либо q = 1 и c1 = ab, матрица формыInd в каноническом базисе [x1], . . . , [xq] является единичной.

Предложение 8.8. Пусть P – замкнутое двумерное многообразие и[y1], . . . , [yr] – базис группы H1(P ). Тогда для произвольного [z] ∈ H1(P )следующие утверждения равносильны:

I1) [z] = 0;

I2) Ind([z], [yn]) = 0 для всех n = 1, . . . , r.


Доказательство. По условию [z] =∑r

i=1 li[yi], где li ∈ Z2 для i =1, . . . , r. Рассмотрим матрицу B с элементами bij = Ind([yi], [yj ]); i, j =1, . . . , r. Тогда

Ind([z], [yn]) =r∑i=1

libin.

Поэтому утверждение I2) эквивалентно матричному равенству

L ·B = 0, (8.26)

где L = (l1 . . . lr). По предложению 8.7 detB = 1. Следовательно, равен-ство (8.26) возможно в том и только в том случае, если L = 0. Осталосьзаметить, что последнее равносильно утверждению I1).

Следствие 8.1. Рассмотрим базис [z1], . . . , [zr] одномерной группы го-мологий замкнутого двумерного многообразия P и цепи x, y ∈ C1(P ).Тогда x ∼ y в том и только в том случае, если x + y ∈ Z1(P ) иInd([x+ y], [zn]) = 0 для всех n = 1, . . . , r.

Предложение 8.9. Пусть P – замкнутое двумерное многообразие,обладающее представлением со схемой a1b1a

−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p , где p >1, [x1], . . . , [x2p] – канонический базис группы H1(P ), [z] ∈ H1(P ) иl1, . . . , l2p ∈ Z2. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• [z] =∑2p

i=1 li[xi];

• l2n−1 = Ind([z], [x2n]) и l2n = Ind([z], [x2n−1]) = 0 для n = 1, . . . , p.

Предложение 8.10. Если P – замкнутое двумерное многообразие, ка-ноническое представление которого имеет схему c1c1 . . . cqcq, где либоq > 1, либо q = 1 и c1 = ab, [x1], . . . , [xq] – канонический базис груп-пы H1(P ), [z] ∈ H1(P ) и l1, . . . , lq ∈ Z2, то следующие утвержденияравносильны:

• [z] =∑q

i=1 li[xi];

• ln = Ind([z], [xn]) для всех n = 1, . . . , q.

Доказательство предложений 8.9 и 8.10 аналогично обоснованиюпредложения 8.8 и потому предоставляется читателям в качестве упраж-нения.

3. Вычисление индексов пересечения 163

3. Вычисление индексов пересечения

Всюду в этом параграфе предполагается, что P – замкнутое дву-мерное многообразие и оно имеет представление со схемой

a1b1a−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p , q > 1.

АЛГОРИТМ 8.1. Вычисление индексов пересечения 1-циклов.

Вход:1) простые одномерные циклы x и y многообразия P ;2) список ребер E(P, y) многообразия P из окрестности цикла y;3) для каждого ребра e ∈ E(P, y) список ∂−1(e, P ) инцидентных ему

2-симплексов полиэдра P .Выход:

1) цепь z ⊂ E(P, y);2) функция J : E(P, y) ∪ x→ Z2;3) элемент I(x, y) поля Z2.

Описание алгоритма.Шаг 0. Инициализация. Положим B := ∅,z := ∅, I(x, y) := 0 и

J(e) := 0 для всех e ∈ E(P, y) ∪ x.Шаг 1. Выбор начальных значений главных внутренних пе-

ременных t, b и v.1.1. Выберем ребро a = [uv] цикла y и инцидентный ему треуголь-

ник t = [uvw] ∈ ∂−1([uv], P ).1.2. Проверим, принадлежат ли ребра [uw] и [vw] треугольника t

циклу y? Если [uw] /∈ y и [vw] /∈ y, то перейдем к 1.5.1.3. Если [vw] ∈ y, то присвоим переменной v значение u.1.4. Если снова [vw] ∈ y, то положим I(x, y) = 0 и перейдем к шагу

5.1.5. Положим b := [vw].Шаг 2. Построение цепи z и функции J . Добавим ребро b в

конец списка B и положим z := z + {b} и J(b) := J(b) + 1 mod 2.Шаг 3. Обновление главных внутренних переменных t, b и

v.3.1. Выберем треугольник t′ из списка ∂−1(b, P ) \ {t} и присвоим

переменной t новое значение t′.3.2. Найдем ребро e треугольника t, содержащее вершину v, но от-

личное от b.3.3. Проверим, принадлежит ли ребро e циклу y? Если e /∈ y, то

положим b := e и перейдем к шагу 2.


3.4. При e ∈ y проверим, верно ли равенство e = a. Если e = a, топерейдем к шагу 4.

3.5. Если e 6= a, то найдем конец w′ ребра e, отличный от v и поло-жим v := w′. Затем найдем сторону e′ треугольника t, отличную от b иe, и присвоим переменной e значение e′.

3.6. Снова проверим, имеет ли место включение e ∈ y? Если e /∈ y,то положим b := e и перейдем к шагу 2.

3.7. При e ∈ y повторим проверку равенства e = a. Если e = a, топерейдем к шагу 4.

3.8. При e 6= a найдем конец w′′ ребра e, отличный от v, положимv := w′′ и перейдем к шагу 2.

Шаг 4. Вычисление элемента I(x, y) ∈ Z2. Для каждого ребраc ∈ x положим I(x, y) := I(x, y) + J(c) mod 2.

Шаг 5. Выход.


Теорема 8.2. Предположим, что P – замкнутое 2-многообразие, име-ющее представление со схемой a1b1a

−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p , q > 1, x и y– его простые циклы, а цепь z и элемент I(x, y) ∈ Z2 вычислены с по-мощью алгоритма 8.1. Тогда барицентрические звезды bst(b, P ) всехребер b ∈ z образуют цикл z∗ ∈ Z∗

1 (P ), ı∗∗([z∗]) = [y] и Ind([x], [y]) =I(x, y).

Доказательство. Если y – граница треугольника из K(P ), то согласношагу 1.4 z = ∅ и I(x, y) = 0. При этом [y] = 0 в H1(P ). Следовательно,ı∗∗[z

∗] = 0 = [y] и Ind([x], [y]) = 0 = I(x, y). Далее будем считать этотслучай исключенным из рассмотрения.

Пусть K ′(P ) – барицентрическое подразделение комплекса, а y′ –соответствующее подразделение цикла y.

Лемма 8.1. Циклы z∗ и y′ комплекса K ′(P ) гомологичны.

Доказательство. Докажем сначала, что утверждение леммы верно приB = z.

Обозначим символом E(y) совокупность вершин цикла y, а симво-лом T (y) – совокупность всех треугольников комплекса K(P ), рассмот-ренных в алгоритме в пп. 1.1 и 3.1.

Рассмотрим треугольник t = [uvw] ∈ T (y), у которого одна и толькоодна вершина v принадлежит E(y). Пусть ub и wb – барицентры ребер[uv] и [wv], а tb – барицентр треугольника t. Согласно шагу 2 алгоритма8.1 [uv], [wv] ∈ B. В силу равенства B = z отсюда следуют включения


[uv], [wv] ∈ z. Поэтому ребра [ubtb] и [tbwb] комплекса K ′(P ) принадле-жат цепи z∗. Положим z∗ = z∗+[ubtb]+[tbwb]+[ubv]+[vwb]. Тогда z∗+ z∗

– граница двумерной цепи [ubtbv] + [vtbwb]. Следовательно, z∗ ∼ z∗.Выполнив описанную процедуру для всех треугольников t ∈ T (y),

имеющих точно одну вершину из E(y), мы получим цикл z∗ комплек-са K ′(P ), гомологичный циклу z∗ и не пересекающий внутренностейуказанных треугольников.

Рассмотрим далее треугольник t = [uvw] ∈ T (y), имеющий с цикломy общее ребро [uv]. При этом в силу равенства B = z ребра [uw] и [vw]не могут принадлежать циклу y. Следовательно, на шаге 2 алгоритма8.1 они оба попадают в цепь z.

Пусть ub и vb – барицентры ребер [uw] и [vw] соответственно, wb

– барицетр ребра [uv], tb – барицентр треугольника t. Положим z∗ =z∗ + [ubtb] + [tbvb] + [ubu] + [uwb] + [wbv] + [vvb]. Тогда z∗ + z∗ – границацепи [ubutb] + [tbuwb] + [wbtbv] + [vtbvb] и потому z∗ ∼ z∗.

Выполнив преобразования предыдущего абзаца для всех треуголь-ников комплексаK(P ), имеющих с y общее ребро, мы получим цикл z∗∗,гомологичный z∗ и не пересекающий внутренностей всех треугольниковиз списка T (y).

В процессе построения в z∗∗ могут попадать только ребра циклаy′ и инцидентные вершинам из E(y) половины ребер b ∈ z. Но каждоеребро b ∈ z инцидентно точно двум треугольникам из T (y). Поэтому егополовина прибавляется к строящейся цепи два раза и, следовательно,в цикле z∗∗ отсутствует. Таким образом, z∗∗ ⊂ y′.

С другой стороны, каждое ребро цикла y инцидентно точно одномутреугольнику t из списка T (y). Поэтому его половинки обязательно по-падут в z∗∗. Следовательно, y′ ⊂ z∗∗ и для B = z утверждение леммыдоказано.

В общем случае мы докажем лемму, пользуясь индукцией по числуребер цикла y.

Если card y = 3, то B = z и по доказанному выше z∗ ∼ y′.Предположим, что утверждение леммы справедливо для всех цик-

лов, состоящих менее чем из n ребер, и рассмотрим цикл y, для которогоcard y = n.

Заметим, что различные элементы списка B = {b1, . . . , bp} могутпредставлять собой одно ребро комплекса K(P ). А именно, если реброb, расположенное в B на k-ом месте, k ∈ {1, . . . , p}, не принадлежитцепи z, то оно входит в список B еще с одним номером l ∈ {1, . . . , p},l 6= k. Иначе говоря, в рассматриваемой ситуации bk = b = bl.

Пусть для определенности k < l, t – треугольник из E(y), выбран-ный на шаге 3.1 из ∂−1(b, P ) после включения b в списокB на k-ое место,


а v0, v1, . . . , vq – вершины цикла y, которые использовались в качествепеременной v при включении в список B элементов bk, bk+1, . . . , bl.

Положим ei = [vi−1vi] для i = 1, . . . , q и y = b + e1 + · · · + eq. Тогдаесли мы начнем выполнять алгоритм 8.1 для цикла y, начиная с ребраb и треугольника t, то получим список B = {bk+1, . . . , bl−1} и цепь z =bk+1 + · · · + bl−1. Поскольку card y < card y = n, то по предположениюиндукции z∗ ∼ y′.

Пусть далее y = y + y. Применим алгоритм 8.1 к циклу y, выбрав вкачестве начальных переменных то же ребро a и тот же треугольник t,что и при построении списка B и цепи z для цикла y. Тогда мы получимсписок B = {b1, . . . , bk−1, bl+1, . . . , bp} = B \ {bk, . . . , bl} и цепь z = z + z.По тому же предположению индукции z∗ ∼ y′.

Так как z + z = z и y + y = y, то из результатов предыдущих двухабзацев следует, что z∗ ∼ y′. Лемма доказана.

Вернемся к обоснованию теоремы 8.2. Согласно лемме 8.1 ı∗∗([z∗]) =[y′] = [y]. Поэтому

Ind([x], [y]) = Ind∗([x], [z∗]) = I∗(x, z∗). (8.27)

Если x = {c1, . . . , cm} и z = {e1, . . . , en}, то по определению 8.4

I∗(x, z∗) =m∑i=1

n∑j=1

I∗(ci,bst(ej , P ).

Кроме того, I∗(ci,bst(ej , P )) = 1 при ci = ej и I∗(ci,bst(ej , P )) = 0 приci 6= ej . Следовательно, I∗(x, z∗) = 1 тогда и только тогда, когда в цепьz входит нечетное число ребер цикла x.

С другой стороны, согласно шагам 2 и 4 алгоритма 8.1

I(x, y) =m∑i=1

J(ci),

а J(ci) = 1 при ci ∈ z и J(ci) = 0 при ci /∈ z. Поэтому I(x, y) = 1 такжев том и только том случае, если количество входящих в z ребер циклаx нечетно.

Этим доказано, что I∗(x, z∗) = I(x, y). А отсюда и из (8.27) следует,что Ind([x], [y]) = I(x, y).

Замечание 8.5. Указанное в алгоритме 8.1 и теореме 8.2 ограничениена циклы x и y не является препятствием для вычисления индексов пе-ресечения произвольных 1-циклов. Действительно, любые одномерные


циклы x и y могут быть представлены в виде сумм x =∑

i xi, y =∑

j yjпростых циклов xi и yj с помощью известного алгоритма построенияфундаментальных циклов графа [16]. При этом в силу билинейностиформы Ind

Ind([x], [y]) =∑i,j

Ind([xi], [yj ]). (8.28)

Поэтому для вычисления индекса Ind([x], [y]) мы можем сначала найти спомощью алгоритма 8.1 индексы Ind([xi], [yj ]), а затем воспользоватьсяформулой (8.28).

Глава 9

Вычисление базисных цикловбез применения матриц

1. Вычисление базисных 1-циклов 2-многообразий

Всюду в этом параграфе мы считаем, что полиэдр P ⊂ R3 представ-ляет собой двумерное многообразие. Обычно в такой ситуации он зада-ется списками вершин V (P ) = K0(P ) и треугольников T (P ) = K2(P ).Однако с помощью алгоритма 5.1 мы можем вычислить список реберE(P ) = K1(P ), а для каждого симплекса σn−1 ∈ K(P ), n = 1, 2, –список ∂−1(σn−1, P ) инцидентных ему n-мерных симплексов.

АЛГОРИТМ 9.1. Вычисление базисных 1-циклов.

Вход:списки вершин V (P ) = K0(P ) и треугольников T (P ) = K2(P ) мно-

гообразия P .

Выход:набор циклов zi ∈ Z1(P ), i = 1, . . . , r.


Шаг 1. Построение симплициального комплекса K(P ) и об-ращение оператора ∂2 : C2(P ) → C1(P ). С помощью алгоритма 5.1получим следующие данные:

• список ребер E(P ) = K1(P ) многообразия P ,

• для каждого ребра a ∈ E(P ) список T (a) = ∂−1(a, P ) и количество[a : T (P )] инцидентных ему треугольников.

168

1. Вычисление базисных 1-циклов 2-многообразий 169

Шаг 2. Понижение размерности. Применив алгоритм 6.1, по-строим списки вершин V (Q) = K0(Q) и ребер E(Q) = K1(Q) одномер-ного подполиэдра Q ⊂ P , обладающего свойствами из теоремы 6.2.

Шаг 3. Удаление лишнего ребра. Проверим, имеется ли у мно-гообразия P хотя бы одно ребро, для которого [a : T ] = 1? Если такоеребро d найдется, то удалим его из списка E(Q). В результате получимсписки вершин V (Q′) = V (Q) и E(Q′) = E(Q)\{d} подполиэдра Q′ ⊂ Q.

Шаг 4. Обращение оператора ∂1 : C1(Q′)→ C0(Q′). Для вершинv ∈ V (Q′) найдем списки E′(v) = ∂−1(a,Q′) и количества [v : E(Q′)]инцидентных им ребер полиэдра Q′.

Шаг 5. Коллапсирование. Воспользовавшись алгоритмом 6.2,построим неколлапсируемый подполиэдр Q′′ ⊂ Q′, гомотопически экви-валентный Q′. При этом на выходе получим списки его вершин V (Q′′)и ребер E(Q′′), а также списки E′′(v) = ∂−1(a,Q′′) и числа [v : E(Q′′)]для всех вершин v ∈ V (Q′′).

Шаг 6. Вычисление базисных циклов подполиэдра Q′′. Спомощью алгоритма для вычисления фундаментальных циклов графа[16] найдем базисные циклы z1, . . . , zr графа Q′′.Конец алгоритма.

Теорема 9.1. Гомологические классы [z1], . . . , [zr] ∈ H1(P ) полученныхв результате работы алгоритма 9.1 циклов z1, . . . , zr образуют базисгруппы гомологий H1(P ).

Доказательство. Из теоремы 6.2 следует точность последовательности

0→ 〈D〉 ıD−→ H1(Q) ı∗−→ H1(P )→ 0, (9.1)

где D – 1-цикл, образованный ребрами края ∂P , а ıD : 〈D〉 → H1(Q) иı : Q→ P – включения. Рассмотрим гомоморфизм ı′∗ : H1(Q′)→ H1(P ),индуцированный включением ı′ : Q′ → P .

Пусть [x] ∈ H1(P ). В силу (9.1) найдется цикл y ∈ H1(Q), удовле-творяющий равенству ı∗(y) = [x]. Положим z = y+D при d ∈ y и z = yпри d /∈ y. В обоих случаях цикл z принадлежит подполиэдру Q′ ⊂ Q.Поскольку [D] = ıD(D) = 0, то [z] = [y] в H1(P ). Таким образом, намипостроен цикл z ∈ H1(Q′), для которого ı′∗(z) = [x]. Следовательно, ı′∗– эпиморфизм.

Если z ∈ H1(Q′) и ı′∗(z) = 0 в H1(P ), то имеет место и включениеz ∈ ker ı∗. При этом согласно (9.1) либо z = 0, либо z = D. Однако циклz не содержит ребра d ∈ D. Поэтому второй случай невозможен и ı′∗ –мономорфизм.

Итак, нами доказано, что включение ı′ : Q′ → P индуцирует изо-морфизм ı′∗ : H1(Q′) → H1(P ). Кроме того, по построению включение

170 Глава 9. Вычисление базисных циклов без применения матриц

ı′′ : Q′′ → Q′ является гомотопической эквивалентностью. Следова-тельно, композиция h = ı′∗ ◦ ı′′∗ представляет собой изоморфизм группыH1(Q′′) на группу H1(P ) и потому [z1] = h(z1), . . . , [zr] = h(zr) – базиспоследней.

2. Базисные 1-циклы группы относительных го-мологий

Пусть M – замкнутое 2-многообразие, A – его подполиэдр без изо-лированных вершин.

АЛГОРИТМ 9.2. Вычисление базисных циклов группы отно-сительных гомологий H1(M,A).Вход:

1) списки вершин V (M) = K0(M) и треугольников T (M) = K2(M)многообразия M ;

2) списки ребер E(A) = K1(A) и треугольников T (A) = K2(A) под-полиэдра A.Выход:

набор цепей zi ∈ C1(M), i = 1, . . . , r.Описание алгоритма.

Шаг 1. Построение замыкания P для дополнения M \A под-полиэдра A. Положим T (P ) = T (M) \ T (A) и обозначим объединениетреугольников из списка T (P ) буквой P .

Шаг 2. Построение симплициального комплекса K(P ) и об-ращение граничного оператора ∂ : C2(P ) → C1(P ). С помощьюалгоритма 5.1 построим список E(P ) ребер полиэдра P и для каждогоребра e ∈ E(P ) найдем список ∂−1(e, P ) инцидентных ему треугольни-ков из T (P ).

Шаг 3. Поиск общей границы подполиэдров A и P . Для всехребер e ∈ E(P ) проверим, имеет ли место включение e ∈ E(A)?

3.1. Если e ∈ E(A), то включим ребро e в список B, положим [e :T (P )] = 1 и перейдем к шагу 4.

3.2. При e /∈ E(A) положим [e : T (P )] = card ∂−1(e, P ).Шаг 4. Выбор базисных циклов "группы" H0(B). Найдем ком-

поненты связности B1, . . . , Bn полиэдра B. Выберем по одной вершинеuk из каждой компоненты Bk и положим U = {u1, . . . , un}.

Шаг 5. Вычисление базисных циклов группы H1(B). Пользу-ясь алгоритмом 6.2, построим неколлапсируемый подполиэдр B′ ⊂ B,гомотопически эквивалентный B. К графу B применим алгоритм для

2. Базисные 1-циклы группы относительных гомологий 171

нахождения базисных циклов, основанный на поиске в глубину [16].Найденные циклы соберем в список Z(B).

Шаг 6. Понижение размерности полиэдра P , не уменьша-ющее его группы гомологий. Подадим на вход алгоритма 6.1 спис-ки симплексов Km(P ) = T (P ) и Km−1(P ) = E(P ), а также списки∂−1(σm−1, P ) = ∂−1(e, P ) и числа [σm−1 : Km(P )] = [e : T (P )] для всехσm−1 = e ∈ E(P ). На выходе получим списки вершин V (Q) = K0(Q)и ребер E(Q) = K1(Q) одномерного подполиэдра Q ⊂ P , обладающегосвойствами из теоремы 6.2, а также 1-циклы D1, . . . , Dl ∈ Z1(Q).

Шаг 7. Преобразование графа Q, аннулирующее подгруппуH1(B) ⊂ H1(Q). Выберем по одному ребру из каждого цикла z ∈ Z(B)и удалим выбранные ребра из E(Q). В итоге получим одномерный под-полиэдр L ⊂ Q.

Шаг 8. Построение одномерного полиэдра, содержащего всюинформацию о гомологиях пары (M,A). Построим конус K =conU , состоящий из дополнительной (абстрактной) вершины u и ребер,соединяющих u с вершинами из списка U . Объединив K и L, получимполиэдр G.

Шаг 9. Вычисление базисных циклов группы H1(G). С помо-щью алгоритма 6.2 построим неколлапсируемый и гомотопически эк-вивалентный G подполиэдр G′ ⊂ G. К полученному графу применималгоритм нахождения базисных циклов [16]. Найденные циклы соберемв список X(G) = {x1, . . . , xr}.

Шаг 10. Построение представителей базисных циклов груп-пы H1(M,A). Из каждого цикла xk ∈ X(G) удалим ребра, принадле-жащие конусу K. Полученные одномерные цепи обозначим символамиzk, k = 1, . . . , r.


Теорема 9.2. Смежные классы z1 = z1 + C1(A), . . . , zr = zr + C1(A)образуют систему базисных циклов группы H1(M,A).

Доказательство. Сначала сформулируем и докажем ряд вспомогатель-ных лемм.

Лемма 9.1. Имеют место следующие утверждения:

• B ⊂ Q и Dk ∈ Z1(B) ⊂ Z1(Q) для всех k = 1, . . . , l;

• подгруппа 〈D1, . . . , Dl〉 группы H1(Q), порожденная граничнымициклами D1, . . . , Dl, ее включение ıD : 〈D1, . . . , Dl〉 → H1(Q) ииндуцированный включением ıQP : Q → P гомоморфизм групп


гомологий образуют короткую точную последовательность

0→ 〈D1, . . . , Dl〉ıD−→ H1(Q)

ıQP∗−→ H1(P )→ 0. (9.2)

Доказательство. Для любого ребра e ∈ B на шаге 3.1 мы полагаем[e : T (P )] = 1. Поэтому на шаге 6 при выполнении вызванного здесьалгоритма 6.1 реализуется вариант 4.2.2. В результате ребро e попадаетв список E(Q) = Km−1(Q). Следовательно, B ⊂ Q.

Так как ребер ветвления у P нет, то получаемые на том же шаге6 после выполнения алгоритма 6.1 подполиэдры P1, . . . , Pl полиэдра Pсовпадают с его компонентами сильной связности. При этом согласнотеореме 6.2 для произвольного k ∈ {1, . . . , l} цепь Ck представляет собойсовокупность всех 2-симплексов компоненты Pk, а Dk = ∂Ck. ОднакоM – замкнутое многообразие. Следовательно, если e ∈ Dk, то e – реброкакого-либо 2-симплекса подполиэдра A. При этом e ∈ K(B). Этимдоказаны включения Dk ∈ Z1(B), k = 1, . . . , l.

Второе утверждение леммы следует непосредственно из теоремы 6.2.

Лемма 9.2. Рассмотрим коммутативную диаграмму

H1(L)ıLQ∗−−−−→ H1(Q)

ıBQ∗←−−−− H1(B)yıLP

∗

yıQP∗

yıBP∗

H1(P ) id−−−−→ H1(P ) id←−−−− H1(P ),

(9.3)

в которой все гомоморфизмы индуцированы включениями. Тогда еслиx ∈ H1(L), y ∈ H1(B) и ıLP∗ (x) = ıBP∗ (y), то x = 0.

Доказательство. Положим x′ = ıLQ∗ (x) и y′ = ıBQ∗ (y). Тогда из комму-тативности (9.3) следует, что ıQP∗ (x′+y′) = ıLP∗ (x)+ıBP∗ (y) = 0. При этомx′ + y′ ∈ ker ıQP∗ . Согласно лемме 9.1 ker ıQP∗ = 〈D1, . . . , Dl〉 ⊂ im ıBQ∗ .Таким образом, сумма x′ + y′ принадлежит подгруппе im ıBQ∗ ⊂ H1(Q)вместе с элементом y′. Но тогда x′ ∈ im ıLQ∗ ∩ im ıBQ∗ . По построению по-следнее пересечение равно нулю. Поэтому x′ = 0. Так как гомоморфизмıLQ∗ : H1(L)→ H1(Q) инъективен, то этим лемма доказана.

Лемма 9.3. Положим N = P ∪C, где C = conB – конус над B. Тогдавключение ıGN : G → N индуцирует мономорфизм ıGN∗ : H1(G) →H1(N).

2. Базисные 1-циклы группы относительных гомологий 173

Доказательство. Так как элементы триады (G,L,K) являются подпо-лиэдрами полиэдров, образующих триаду (N,P,C), то включения инду-цируют гомоморфизм соответствующих последовательностей Майера-Вьеториса. По построению L ∩K = U и P ∩ C = B, а K и C – конусы.Поэтому H1(K) = H1(C) = 0 и указанный гомоморфизм определяеткоммутативную диаграмму

. . . −−−−→ H1(L)ıLG∗−−−−→ H1(G)

dGU∗−−−−→ H0(U) −−−−→ . . .

ıLP∗

y ıGN∗

y ıUB∗

y. . .→ H1(B)

ıBP∗−−−−→ H1(P )

ıPN∗−−−−→ H1(N)

dNB∗−−−−→ H0(B) −−−−→ . . . ,

(9.4)в которой строки точны.

Пусть теперь z ∈ H1(G) и ıGN∗ (z) = 0. Тогда в силу (9.4) ıUB∗ ◦dGU∗ (z) = dNB∗ (0) = 0. Так как ıUB∗ – мономорфизм, то из предыдуще-го следует равенство dGU∗ (z) = 0. При этом z ∈ ker dGU∗ = im ıLG∗ и,следовательно, существует такой элемент x ∈ H1(L), что ıLG∗ (x) = z.

Используя коммутативность левого квадрата диаграммы (9.4), по-лучим равенства ıPN∗ ◦ ıLP∗ (x) = ıGN∗ (z) = 0. Но тогда ıLP∗ (x) ∈ ker ıPN∗ =im ıBP∗ . Поэтому найдется элемент y ∈ H1(B), для которого ıBP∗ (y) =ıLP∗ (x). По лемме 9.2 отсюда следует, что x = 0. При этом z = 0.

Таким образом, ker ıGN∗ = 0 и лемма доказана.

Лемма 9.4. Гомоморфизм ıGN∗ : H1(G)→ H1(N) является эпиморфиз-мом.

Доказательство. Пусть

. . .→ H1(N,U)ıUK∗−→ H1(N,K) ∂∗−→ H0(K,U)→ . . . , (9.5)

. . .→ H1(N,U)ıUL∗−→ H1(N,L) ∂∗−→ H0(L,U)→ . . . (9.6)

– гомологические последовательности троек (N,K,U) и (N,L,U) Таккак полиэдры K и L связны, U ⊂ K и U ⊂ L, то H0(K,U) = 0 иH0(L,U) = 0. Поэтому из точности последовательностей (9.5) и (9.6)вытекают равенства

im ıUK∗ = H1(N,K) и ıUL∗ = H1(N,L). (9.7)

Рассмотрим далее относительную последовательность Майера-Вье-ториса

. . .→ H1(N,U) α−→ H1(N,K)⊕H1(N,L)β−→ H1(N,G)→ H0(N,U)→ . . .


для триады (N,K,L). Поскольку она точна, а H0(N,U) = 0, то образгомоморфизма β совпадает с группой H1(N,G). С другой стороны, α =(ıUK∗ , ıUL∗ ) и потому согласно (9.7) kerβ = imα = H1(N,K)⊕H1(N,L).Таким образом,

H1(N,G) = imβ = 0. (9.8)

Осталось заметить, что из (9.8) и точности гомологической последова-тельности

. . .→ H1(G)ıGN∗−→ H1(N)

∗−→ H1(N,G)→ . . .

пары (N,G) следуют равенства im ıGN∗ = ker ∗ = H1(N). Лемма дока-зана.

Для каждой цепи y ∈ Cs(N), s = 0, 1, 2, символом pNP (y) обо-значим цепь, полученную из y удалением симплексов конуса C. Поло-жим pNP (y) = pNP (y) + Cs(B). Этим построены гомоморфизмы pNP :Cs(N)→ Cs(P,B).

Лемма 9.5. Формула pNP∗ ([y]) = [pNP (y) +Cs(B)] определяет изомор-физм pNP∗ : H1(N)→ H1(P,B).

Доказательство. Поскольку pNP ◦ ∂ = ∂ ◦ pNP , то гомоморфизм pNP∗определен корректно. Рассмотрим далее диаграмму

H1(N)pNP∗−−−−→ H1(P,B)

id

y yıPN∗

H1(N)∗−−−−→ H1(N,C),

(9.9)

в которой гомоморфизм ıPN∗ индуцирован включением, а ∗ – гомомор-физм из гомологической последовательности

. . .→ H1(C)ıCN∗−→ H1(N)

∗−→ H1(N,C) ∂∗−→ H0(C)ıCN∗−→ H0(N)→ . . .

(9.10)пары (N,C). По построению для произвольного [y] ∈ H1(N) имеютместо равенства ıPN∗ ◦ pNP∗ ([y]) = ıPN∗ ([pNP (y) + C1(B)]) = [pNP (y) +C1(C)] и ∗([y]) = [y + C1(C)]. В силу включения pNP (y) + y ∈ C1(C)этим доказана коммутативность диаграммы (9.9).

В последовательности (9.10) гомоморфизм ıCN∗ : H0(C) → H0(N)инъективен. Следовательно, im ∂∗ = ker ıCN∗ = 0 и im ∗ = ker ∂∗ =H1(N,C). С другой стороны, H1(C) = 0. Поэтому ker ∗ = im ıCN∗ = 0.Таким образом, ∗ – изоморфизм. Поскольку N = P ∪C и C = conB, то

3. Базисные 2-циклы разветвленных поверхностей 175

ıPN∗ также является изоморфизмом [3]. Отсюда в силу коммутативностидиаграммы (9.9) немедленно следует утверждение леммы.

Завершим, наконец, доказательство теоремы 9.2. Для этого рассмот-рим последовательность трех гомоморфизмов

H1(G)ıGN∗−→ H1(N)

pNP∗−→ H1(P,B)

ıPM∗−→ H1(M,A).

В леммах 9.1 – 9.5 нами доказано, что ıGN∗ и pNP∗ – изоморфизмы.Рассмотрим триады (M,A,P ) и (A,A,B). Поскольку полиэдры второйиз них являются подполиэдрами первой, A∪P = M , A∩P = B, A∪B =A и A ∩B = B, то по теореме 2.11 точна последовательность

. . .→ H1(B,B)ı′∗−→ H1(A,A)×H1(P,B)

′∗−→ H1(M,A) ∆∗−→ H0(B,B)→ . . . .

В силу равенств H1(B,B) = H0(B,B) = H1(A,A) = 0 отсюда следуетточность последовательности

0→ 0×H1(P,B)′∗−→ H1(M,A)→ 0.

При этом по построению гомоморфизма ′∗

′∗(0, [x+ C1(B)]) = [0 + x+ C1(A)] = ıPM∗ ([x+ C1(B)]).

для любого [x+ C1(B)] ∈ H1(P,B).Таким образом, ıPM∗ : H1(P,B) → H1(M,A) – также изоморфизм.

Следовательно, изоморфизмом является композиция q = ıPM∗ ◦ pNP∗ ◦ıGN∗ . При этом для любого найденного с помощью алгоритма 9.2 ба-зисного цикла xk, k = 1, . . . , r, группы H1(G) имеет место равенствоq(xk) = [pNP (xk)+C1(A)]. Осталось заметить, что по построению pNP (xk) =zk.

3. Базисные 2-циклы разветвленных поверхно-стей

Всюду в этом параграфе мы будем предполагать, что полиэдр Pимеет размерность m = 2, он однороден, сильно связен и неколлапси-руем. Рассмотрим его правильное разложение P = P1 ∪ · · · ∪Pl, постро-енное с помощью алгоритма 6.1.

Пусть i ∈ {1, . . . , l}. Если на шаге 4.1 указанного алгоритма вы-брать ориентацию начального симплекса σ2

0, то ее можно распростра-нить на все симплексы подполиэдра Pi так, чтобы на внутренних реб-рах e ∈ K1(Pi) \ K1(∂Pi) их ориентации были когерентными. Сово-купность таким образом ориентированных 2-симплексов подполиэдра


Pi обозначим символом +Ci. Поменяв на противоположные ориента-ции всех симплексов из +Ci, получим набор −Ci. Положим C2(P ) ={+C1,−C1, . . . ,+Cl,−Cl}.

Определение 9.1. Наборы ориентированных 2-симплексов +Ci и −Ciиз C2(P ) назовем ориентированными 2-цепями, порождающими подпо-лиэдр Pi ⊂ P .

Если ориентированный 2-симплекс σ2 принадлежит цепи +Ci или−Ci для некоторого i ∈ {1, . . . , l}, то будем полагать h(σ2) = +Ci илиh(σ2) = −Ci соответственно. Этим определено сюръективное отображе-ние h множества ориентированных 2-симплексов полиэдра P на C2(Pi).

Определение 9.2. Пусть последовательность T = {τ20 , τ

21 , . . . , τ

2p } ори-

ентированных 2-симплексов полиэдра P обладает свойствами:

• для каждого k ∈ {1, . . . , p} пересечение ek = τ2k−1∩τ2

k представляетсобой общую одномерную грань симплексов τ2

k−1 и τ2k ;

• ориентации симплексов τ2k−1 и τ2

k когерентны на ek, то есть инду-цированные ими ориентации на ребре ek противоположны;

• ek 6= ej для различных k, j ∈ {1, . . . , p}.

Тогда T называется ориентированной связной 2-цепью с началом τ20 и

концом τ2p . Также говорят, что цепь T соединяет ориентированные 2-

симплексы τ20 и τ2

p .

Предложение 9.1. Для произвольных ориентированных 2-симплексовσ2 и σ2

∗ полиэдра P , удовлетворяющих равенству h(σ2) = h(σ2∗), суще-

ствует ориентированная связная 2-цепь {τ20 , . . . , τ

2p } с началом τ2

0 = σ2

и концом τ2p = σ2

∗.

Доказательство. Во-первых, из равенства h(σ2) = h(σ2∗) следует, что

симплексы σ2 и σ2∗ принадлежат одному подполиэдру Pi, i ∈ {1, . . . , l}.

Во-вторых, ориентации этих симплексов получены распространениемориентации одного начального симплекса σ2

0. При этом согласно алго-ритму 6.1 симплексы σ2 и σ2

∗ соединены с σ20 ориентированными связ-

ными 2-цепями.

АЛГОРИТМ 9.3. Вычисление базисных 2-циклов.

Вход:1) список W (P ) ребер ветвления полиэдра P ;


1) множество C2(P ) = {+C1,−C1, . . . ,+Cl,−Cl} ориентированных2-цепей, порождающих подполиэдры Pi, i = 1, . . . , l, из правильногоразложения P = P1 ∪ · · · ∪ Pl;

2) для каждого ребра e ∈ W (P ) список ∂−1(e, P ) инцидентных ему2-симплексов полиэдра P .

Выход:1) целое нетрицательное число r;2) набор R из r двумерных цепей полиэдра P .


Шаг 0. Инициализация функции выделения циклов. Длявсех C ∈ C2(P ) положим f(C) = 0.

Шаг 1. Ориентация линий ветвления. Используя поиск в глу-бину, ориентируем каждое ребро ветвления и упорядочим их списокW (P ) так, чтобы выполнялось свойство: если вершина v ∈ K0(P ) ин-цидентна двум и только двум ребрам ветвления, то эти ребра имеютв W (P ) соседние номера, причем v является концом ребра с меньшимномером и началом ребра с большим номером.

Шаг 2. Обход линий ветвления. Для каждого ориентированногоребра e ∈W (P ) выполним последовательность операций 2.1 – 2.5.

2.1. Ориентация инцидентных e треугольников. Ориентируемтреугольники из списка ∂−1(e, P ) так, чтобы индуцированная ими наобщей стороне e ориентация совпадала с исходной ориентацией ребраe.

2.2. Вычисление двугранных углов. Выберем ориентированныйтреугольник из списка ∂−1(e, P ) и обозначим его символом t0. Затемдля каждого треугольника tk ∈ ∂−1(e, P ) вычислим двугранный уголφk ∈ [0, 2π) от треугольника t0 до треугольника tk в положительномнаправлении, определенном ориентацией ребра e.

2.3. Упорядочение списка инцидентных e треугольников.Перенумеруем элементы списка ∂−1(e, P ) так, чтобы для треугольниковti ∈ ∂−1(e, P ) и tj ∈ ∂−1(e, P ) с номерами i < j выполнялось неравен-ство φi < φj .

2.4. Удвоение списка инцидентных e треугольников. Найдемчисло n = card ∂−1(e, P ). Затем образуем список D−1(e, P ) = {s1 =t0, s2 = −t1, s3 = t1, . . . , s2n−2 = −tn−1, s2n−1 = tn−1, s2n = −t0}.

2.5. Построение функции склейки. Для каждого k = 1, . . . , nвыполним цикл 2.5.1 – 2.5.5.

2.5.1. Если f(h(s2k−1)) = p > 0 и f(h(s2k)) = q > 0, то положимf(h(s2k)) = f(h(s2k−1)) = min{p, q} и перейдем к 2.5.5.


2.5.2. Если f(h(s2k−1)) = p > 0 и f(h(s2k)) = 0, то положим f(h(s2k)) =p и перейдем к 2.5.5.

2.5.3. Если f(h(s2k−1)) = 0 и f(h(s2k)) = q > 0, то положим f(h(s2k−1)) =q и перейдем к 2.5.5.

2.5.4. При f(h(s2k−1)) = f(h(s2k)) = 0 вычислим величину

m = max{f(+C1), f(−C1), . . . , f(+Cl), f(−Cl)}

и положим f(h(s2k−1)) = f(h(s2k)) = m+ 1.2.5.5. Переход к следующему значению номера k (конец цикла по

k).Шаг 3. Сокращение. Для каждого i = 1, . . . , l выполним следую-

щую операцию: если f(+Ci) = f(−Ci), то положим f(+Ci) = f(−Ci) =0.

Шаг 4. Построение расширенного набора цепей. Найдем ко-личество r′ и набор {n1, . . . , ns} натуральных чисел, для которых Fj =f−1(nj) 6= ∅, j = 1, . . . , r′. Для каждого j = 1, . . . , r′ символом Yj обозна-чим множество двумерных (неориентированных) симплексов, входящихс какой-либо ориентацией в цепи из набора Fj .

Шаг 5. Удаление лишней цепи. Положим r = r′ − 1 и, удаливиз списка S = {Y1, . . . , Yr′} одну цепь, получим набор R = {Z1, . . . , Zr}.


Теорема 9.3. Построенные в результате работы алгоритма 9.3 це-пи Z1, . . . , Zr являются циклами, образующими в совокупности базисдвумерной группы гомологий H2(P ).

Доказательство. Пусть j ∈ {1, . . . , r′} и Fj множество ориентирован-ных 2-цепей C ∈ C2(P ), для которых f(C) = nj до выполнения шага 3.Обозначим символом Xj множество ориентированных двумерных сим-плексов, входящих в цепи набора Fj . Тогда Fj ⊂ Fj , причем каждый2-симплекс σ2 ∈ Yj входит в Xj только с одной ориентацией.

Рассмотрим произвольную одномерную грань e некоторого 2-сим-плекса σ2 ∈ Yj .

Если e не является ребром ветвления, то в силу неколлапсируемо-сти полиэдра P имеется один и только один 2-симплекс σ2

∗ ∈ K(P ),инцидентный e и отличный от σ2. При этом симплекс σ2

∗, снабженныйнекоторой ориентацией, принадлежит той же ориентированной 2-цепиC ∈ C2(P ), что и σ2. Так как симплексы цепи C по построению вхо-дят или нет в цепь Yj одновременно, то отсюда следует, что σ2

∗ ∈ Yj . Витоге: e /∈ ∂Yj .


Предположим далее, что e ∈ W (P ). Тогда согласно шагу 2.5 в Xj

входит четное число ориентированных симплексов из списка D−1(e, P ).При сокращении на шаге 3 множество Xj либо не меняется, либо из негоудаляются все имеющиеся пары {+σ2,−σ2}, состоящие из одного сим-плекса, снабженного двумя противоположными ориентациями. В лю-бом случае после этого мы получаем список Xj , который по-прежнемусодержит четное число 2-симплексов, инцидентных ребру e. Кроме то-го, в Xj каждый 2-симплекс входит уже с одной ориентацией, а приигнорировании ориентаций набор Xj превращается в цепь Yj . Следо-вательно, ребро e инцидентно четному числу 2-симплексов цепи Yj ипотому снова e /∈ ∂Yj .

Результаты предыдущих двух абзацев означают, что ∂Yj = ∅, тоесть Yj – двумерный цикл.

Предположим, что циклы Z1, . . . , Zr линейно зависимы. Тогда сумманекоторых из этих циклов равна нулю. Перенумеруем циклы набора Sтак, чтобы

Y1 + · · ·+ Yk = 0, (9.11)

где 1 6 k 6 r.Пусть U – объединение всех цепей из набора C2(P ). Положим Uk =

X1 ∪ · · · ∪ Xk и U∗ = U \ Uk. Поскольку полиэдр P сильно связен, тонайдется его ребро e ∈ K1(P ), инцидентное одновременно симплексамиз Uk и U∗. При этом список D−1(e, P ) = {s1, s2, . . . , s2n} содержит со-седние элементы si−1, si, один из которых принадлежит Uk, а другой –множеству U∗. В силу (9.11) Uk вместе с каждым ориентированным сим-плексом +σ2 содержит и противоположно ориентированный симплекс−σ2. Поэтому i – четное число. Но тогда согласно шагу 2.5 алгорит-ма f(h(si−1)) = f(h(si)) и потому симплексы si−1 и si должны вместепопасть либо в Uk, либо в U∗. Получено противоречие. Следовательно,наше допущение неверно и циклы Z1, . . . , Zr линейно независимы.

Так как P – ограниченное подмножество пространства R3, то суще-ствует выпуклый многогранник M , внутренность которого содержитP . Последнее означает, что P ∩ ∂M = ∅. Многогранник M может бытьтриангулирован так, чтобы P стал его подполиэдром [6].

Рассмотрим симплексы σ3, σ3∗ ∈ K3(M). Предположим, что суще-

ствуют последовательность σ30, σ

31, . . . , σ

3p трехмерных симплексов по-

лиэдра M и последовательность t1, . . . , tp его двумерных симплексов,обладающие свойствами:

• σ3i−1 ∩ σ3

i = ti для i = 1, . . . , p;

• ti /∈ K2(P ) для всех i = 1, . . . , p;


• σ30 = σ3 и σ3

p = σ3∗.

Тогда мы будем говорить, что указанные последовательности соединя-ют симплексы σ3 и σ3

∗ в M \P , а сами симплексы σ3 и σ3∗ сильно связаны

в M \ P .Символом S(σ3,M \ P ) обозначим совокупность всех трехмерных

симплексов полиэдра M , сильно связанных с σ3 в M \ P . Объединениесимплексов набора S(σ3,M\P ) назовем компонентой сильной связностисимплекса σ3 по отношению к M \ P .

Ясно, что два набора S(σ3,M \P ) и S(σ3∗,M \P ) либо не пересекают-

ся, либо совпадают. Поэтому M = M0 ∪M1 ∪ · · · ∪Mρ, где подполиэдрыMq ⊂ M , q = 0, 1, . . . , ρ, являются компонентами сильной связностисвоих 3-симплексов по отношению к M \P , причем Mq и Mq′ при q 6= q′

общих трехмерных симплексов не имеют.Обозначим символом Dq цепь, образованную всеми трехмерными

симплексами подполиэдра Mq ⊂M . Тогда ∂Dq ∈ Z2(P ) для всех номе-ров q ∈ {0, 1, . . . , ρ}.

Цепи C,C∗ ∈ C2(P ) назовем 3D-смежными, если выполнены усло-вия:

• существуют ориентированные 2-симплексы +t ∈ C и +t∗ ∈ C∗,имеющие общую одномерную грань e ∈ ∂t ∩ ∂t∗; при этом e ∈W (P );

• в списке D−1(e, P ) = {s1, s2, . . . , s2n} симплексы +t и +t∗ занима-ют места с номерами 2k − 1 и 2k, k ∈ {1, . . . , n}.

Рассмотрим ориентированный 2-симплекс +t = [v0v1v2] ∈ K2(M) инекоторый трехмерный симплекс σ3 ∈ K3(M). Если +t не является гра-нью симплекса σ3, то будем считать, что [σ3 : +t] = 0. В противном слу-чае с точностью до нумерации вершин σ3 = [v0v1v2v3], где v3 ∈ K0(M).Положим [σ3 : +t] = 1, если смешанное произведение (v0v1, v0v2, v0v3)положительно, и [σ3 : +t] = −1 в противном случае. Ясно, что приперестановке вершин симплекса +t число [σ3 : +t] изменится тогда итолько тогда, когда эта перестановка нечетна. Но последнее означаетизменение ориентации симплекса +t. Таким образом, число [σ3 : +t]определено корректно.

Лемма 9.6. Пусть j ∈ {1, . . . , r′}, +t,+t∗ ∈ Xj, σ3, σ3∗ ∈ K3(M), [σ3 :

+t] = [σ3∗ : +t∗] = 1, q ∈ {0, 1, . . . , ρ} и σ3 ∈ K3(Mq). Тогда и σ3

∗ ∈K3(Mq).

Доказательство. Рассмотрим цепи C = h(+t) ∈ Fj и C∗ = h(+t∗) ∈ Fj ,содержащие ориентированные симплексы +t и +t∗ соответственно. По


построению для них найдется последовательность цепей C0, C1, . . . , Cm∗ ∈Fj , в которой C0 = C, Cm∗ = C∗, а цепи Cp−1 и Cp 3D-смежны при всехp = 1, . . . ,m∗.

Согласно предложению 9.1 из сказанного выше следует, что утвер-ждение леммы достаточно доказать в ситуациях, когда треугольники+t и +t∗ имеют общее ребро e и удовлетворяют одному из следующихусловий:

• e ∈ K1(Pi) \K1(∂Pi) для некоторого i ∈ {1, . . . , l} и треугольники+t и +t∗ индуцируют на e противоположные ориентации;

• e ∈W (P ) и

+t = s2k−1 ∈ D−1(e, P ) и + t∗ = s2k ∈ D−1(e, P ), (9.12)

где D−1(e, P ) = {s1, s2, . . . , s2n} и k ∈ {1, . . . , n}.

На самом деле, первый вариант можно считать частным случаем второ-го, полагая t0 = +t и t1 = −t∗. Тогда треугольники t0 и t1 индуцируютна e одинаковые ориентации и потому согласно шагу 2.4 алгоритма 9.3s1 = t0 = +t, s2 = −t1 = +t∗, s3 = t1 = −t∗ и s4 = −t0 = −t. При этом всписке D−1(e, P ) = {s1, s2, s3, s4} ориентированные симплексы +t и +t∗занимают места с номерами 2k − 1 и 2k, где k = 1.

Рассмотрим двумерную грань +τ1 симплекса σ31, содержащую реб-

ро e, отличную от +t и −t и ориентированную так, чтобы она инду-цировала на e то же направление, что и треугольник +t = +τ0. Тогда[σ3

1 : +τ1] = −1.Если +τ1 6= −t∗, то в силу (9.12) +τ1 /∈ K2(P ). Так как M – много-

образие, то имеется единственный симплекс σ32 ∈ K3(M), инцидентный

треугольнику +τ1 и отличный от σ31. Очевидно, что для него [σ3

2 : +τ1] =1. Так как +τ1 /∈ K2(P ) и σ3 ∈ K3(Mq), то по построению подполиэдраMq ⊂M верно включение σ3

2 ∈ K3(Mq).Продолжив эти рассуждения, мы докажем существование последо-

вательности трехмерных симплексов σ31, . . . , σ

3m и последовательности

ориентированных 2-симплексов +τ0,+τ1, . . . ,+τm, обладающих свойства-ми:

(1) σ3p ∈ K3(Mq) для всех p = 1, . . . ,m;

(2) 2-симплексы +τ0,+τ1, . . . ,+τm содержат ребро e и индуцируют нанем одинаковые ориентации;

(3) [σ3p : +τp−1] = 1 и [σ3

p : +τp] = −1 для p = 1, . . . ,m;


(4) +τ0 = +t, +τm ∈ K2(P ), а треугольники +τ1, . . . ,+τm−1 не при-надлежит полиэдру P .

В силу свойств (2) – (4) и (9.12) +τm = −t∗. Поэтому [σ3m : +t∗] =

[σ3m : −τm] = 1. Но тогда σ3

m = σ3∗ и согласно свойству (1) σ3

∗ ∈ K3(Mq).

Построим отображение η : {1, . . . , r′} → {0, 1, . . . , ρ} следующим об-разом. Для произвольного j ∈ {1, . . . , r′} выберем треугольник t ∈ Yj .Ему соответствует ориентированный 2-симплекс +t ∈ Xj . Для послед-него найдутся 3-симплекс σ3 ∈ K3(M) и число q ∈ {0, 1, . . . , ρ} такие,что [σ3 : +t] = 1 и σ3 ∈ K3(Mq). Положим η(j) = q. В силу леммы9.6 число q от выбора симплекса t не зависит. Поэтому отображение ηопределено корректно.

Докажем, что η : {1, . . . , r′} → {0, 1, . . . , ρ} – сюръекция. Для это-го рассмотрим произвольное число q ∈ {0, 1, . . . , ρ} и некоторый 2-симплекс t ∈ Dq. По построению цепи Dq существует 3-симплекс σ3 ∈K3(Mq), для которого треугольник t является гранью. Выбрав подхо-дящую ориентацию, получим ориентированный симплекс +t, удовле-творяющий равенству [σ3 : +t] = 1. При этом +t ∈ Xj для некоторогоj ∈ {1, . . . , r′}.

Предположим, что t /∈ Yj . Тогда −t ∈ Xj . Выберем симплекс σ3∗ ∈

K3(M), для которого [σ3∗ : −t] = 1. По лемме 9.6 в этих условиях

σ3∗ ∈ K3(Mq). Но тогда в сумму границ всех трехмерных симплексов

подполиэдра Mq ⊂ M симплекс t войдет дважды. Последнее означает,что t /∈ Dq. Полученное противоречие показывает, что наше допущениеневерно. Следовательно, t ∈ Yj .

Согласно последнему включению η(j) = q. Таким образом, отобра-жение η сюръективно.

Полученный результат влечет за собой неравенство r′ > 1 + ρ. Таккак r′ = r + 1, то этим доказано, что

r > ρ. (9.13)

Лемма 9.7. Справедливо неравенство ρ > rankH2(P ).

Доказательство. Докажем лемму индукцией по числу β = rankH2(P ).Пусть сначала β = 0. Так как дополнение M \ P не пусто, то число

1+ρ его компонент связности не меньше единицы. При этом ρ > 0 = β.Предположим далее, что β > 0 и для каждого двумерного подполи-

эдра P ′ ⊂ M такого, что β′ = rankH2(P ′) < β, число 1 + ρ′ различныхкомпонент сильной связности полиэдра M по отношению к M \P ′ удо-влетворяет неравенству ρ′ > β′.


Рассмотрим 2-циклы c1, . . . , cβ ∈ Z2(P ), образующие базис группыгомологий H2(P ), и выберем симплекс t ∈ cβ . Если t принадлежит ещеодному циклу cγ , γ ∈ {1, . . . , β}, то положим c′γ = cγ + cβ и c′α = cα дляα ∈ {1, . . . , β} \ {γ}. В противном случае будем считать, что c′i = ci длявсех i = 1, . . . , β.

Пусть P ′ = P \ Int t. Поскольку t ∈ cβ и t /∈ cδ для δ 6= β, тоc′1, . . . , c

′β−1 – базис группы H2(P ′).

Занумеруем компоненты сильной связности M ′0,M

′1, . . . ,M

′ρ′ полиэд-

ра M по отношению к разности M \ P ′ так, чтобы

Int t ⊂M ′ρ′ \ P ′. (9.14)

Рассмотрим симплексы σ3+, σ

3− ∈ K3(M), инцидентные треугольни-

ку t, и предположим, что S(σ3+,M \P ) = S(σ3

−,M \P ). Тогда существу-ют последовательности σ3

0, σ31, . . . , σ

3p и t1, . . . , tp симплексов полиэдра

M , связывающие σ3+ и σ3

− в M \ P .Пусть t0 = t и

x∗ =p∑i=0

bst(ti,M)

– цепь, состоящая из барицентрических звезд двумерных симплексовti полиэдра M . По построению она является циклом. Следовательно,определен гомологический класс [x∗] ∈ H∗

1 (M). Рассмотрим также го-мологический класс [cβ]M цикла cβ = c′β в полиэдре M . Так как выпук-лый многогранник M гомотопически эквивалентен точке, то H2(M) =0. Следовательно, [cβ]M = 0 и потому Ind∗([cβ ]M , [x∗]) = 0. С другойстороны, в цикл x∗ входит барицентрическая звезда точно одного дву-мерного симплекса цикла cβ ⊂ P . А это согласно определению индексапересечения означает, что Ind∗([cβ]M , [x∗]) = I∗(cβ, x∗) = 1. Таким об-разом, мы пришли к противоречию. Поэтому наше допущение невернои, на самом деле,

S(σ3+,M \ P ) 6= S(σ3

−,M \ P ) (9.15)

По построению P = P ′∪t. Отсюда и из включения (9.14) следует, чтоподполиэдры M ′

0,M′1, . . . ,M

′ρ′−1 будут компонентами сильной связности

полиэдра M и по отношению к разности M \ P . Согласно неравенству(9.15) симплексы σ3

+ и σ3− лежат в различных компонентах M по от-

ношению к разности M \ P . Поскольку σ3+ ⊂ M ′

ρ′−1 и σ3− ⊂ M ′

ρ′−1, топоследние две компоненты лежат в M ′

ρ′−1.Таким образом, полиэдр M состоит из не менее чем 1 + ρ′ − 1 + 2 =

2 + ρ′ = 1 + ρ компонент сильной связности по отношению к M \ P ,


где ρ = ρ′ + 1. По предположению индукции ρ′ > β − 1. Следовательно,ρ > β.

Согласно (9.13) и лемме 9.7 r > rankH2(P ). С другой стороны, наборZ1, . . . , Zr состоит из линейно независимых двумерных циклов полиэдраP . Поэтому r = rankH2(P ) и Z1, . . . , Zr – базис группы H2(P ).

Глава 10

Минимальные одномерныециклы

1. Индексная вектор-функция и ее свойства

Пусть P – замкнутое двумерное многообразие, y1, . . . , yr ∈ Z1(P ) и[y1], . . . , [yr] – базис группы H1(P ).

Определение 10.1. Гомоморфизм J : C1(P ) → Zr2, J = (J1, . . . , Jr),мы будем называть индексной вектор-функцией, если для произволь-ных z ∈ Z1(P ) и k ∈ {1, . . . , r} имеет место равенство

Jk(z) = Ind([z], [yk]). (10.1)

При этом для любой цепи x ∈ C1(P ) значение J(x) будет называться ееиндексом относительно базиса [y1], . . . , [yr].

Предложение 10.1. Если x, x′ ∈ C1(P ) и ∂x = ∂x′, то J(x) = J(x′)тогда и только тогда, когда x ∼ x′.

Доказательство. Положим z = x + x′. Тогда по условию z ∈ Z1(P ) исогласно определению 10.1 для всех k = 1, . . . , r справедливо равенство(10.1). Отсюда в силу предложения 8.8 следует, что J(z) = 0 в томи только в том случае, если [z] = 0 в H1(P ). Осталось заметить, чтопоследнее равенство эквивалентно гомологичности цепей x и x′.

Пусть далее P – замкнутое двумерное многообразие и оно имеетпредставление со схемой a1b1a

−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p , q > 1.

АЛГОРИТМ 10.1. Построение индексной вектор-функции.Вход:

185

186 Глава 10. Минимальные одномерные циклы и их применения

1) список ребер E(P ) многообразия P ;2) для каждого ребра e ∈ E(P ) список ∂−1(e, P ) инцидентных ему

2-симплексов полиэдра P ;3) базисные 1-циклы y1, . . . , yr группы H1(P );4) одномерная цепь x ∈ C1(P ).

Выход:вектор J(x) = (J1(x), . . . , Jr(x)) ∈ Zr2.


1. Для всех k = 1, . . . , r выполним шаги 1.0 – 1.4.1.0. Инициализация. Положим Jk(x) := 0 и Jk(e) := 0 для всех

e ∈ E(P ).1.1. Выбор начальных значений переменных t, b и v для

цикла yk.1.1.1. Выберем ребро a = [uv] цикла y и инцидентный ему треуголь-

ник t = [uvw] ∈ ∂−1([uv], P ).1.1.2. Проверим, принадлежат ли ребра [uw] и [vw] треугольника t

циклу y? Если [uw] /∈ y и [vw] /∈ y, то перейдем к 1.1.5.1.1.3. Если [vw] ∈ y, то присвоим переменной v значение u.1.1.4. Если снова [vw] ∈ y, то положим I(x, y) = 0 и перейдем к

шагу 2.1.1.5. Положим b := [vw].1.2. Индексация ребер, трансверсальных циклу yk с выбран-

ной стороны.Положим Jk(b) := Jk(b) + 1 mod 2.1.3. Обновление переменных t, b и v.1.3.1. Выберем треугольник t′ из списка ∂−1(b, P ) \ {t} и присвоим

переменной t новое значение t′.1.3.2. Найдем ребро e треугольника t, содержащее вершину v, но

отличное от b.1.3.3. Проверим, принадлежит ли ребро e циклу y? Если e /∈ y, то

положим b := e и перейдем к шагу 1.2.1.3.4. При e ∈ y проверим, верно ли равенство e = a. Если e = a, то

перейдем к шагу 1.4.1.3.5. Если e 6= a, то найдем конец w′ ребра e, отличный от v и

положим v := w′. Затем найдем сторону e′ треугольника t, отличнуюот b и e, и присвоим переменной e значение e′.

1.3.6. Снова проверим, имеет ли место включение e ∈ y? Если e /∈ y,то положим b := e и перейдем к шагу 1.2.

1.3.7. При e ∈ y повторим проверку равенства e = a. Если e = a, топерейдем к шагу 1.4.

1. Индексная вектор-функция 187

1.3.8. При e 6= a найдем конец w′′ ребра e, отличный от v, положимv := w′′ и перейдем к шагу 1.2.

1.4. Вычисление k-ой координаты индекса цепи x. Для всехc ∈ x положим Jk(x) := Jk(x) + Jk(c) mod 2.

2. Конец цикла по k.Конец алгоритма.

Теорема 10.1. Если P – замкнутое 2-многообразие, имеющее пред-ставление со схемой a1b1a

−11 b−1

1 . . . apbpa−1p b−1

p , q > 1, а y1, . . . , yr –простые циклы, то вычисленный с помощью алгоритма 10.1 векторJ(x) = (J1(x), . . . , Jr(x)) ∈ Zr2 является индексом цепи x ∈ C1(P ) от-носительно базиса [y1], . . . , [yr] группы H1(P ).

Доказательство. Предположим, что x ∈ Z1(P ). Тогда согласно теоре-ме 8.2 Jk(x) = Ind([x], [yk]) для всех k = 1, . . . , r. Поэтому J : C1(P ) →Zr2 – индексная вектор-функция.

Определение 10.2. Пусть V (P ) – множество вершин многообразияP , E(P ) – множество его ребер, [y1], . . . , [yr] – базис группы гомоло-гий H1(P ), а J : C1(P ) → Zr2 – соответствующая индексная вектор-функция. Положим V (P ) = V (P ) × Zr2. Элементы u = (u, ξ) ∈ V (P ) иv = (v, η) ∈ V (P ) назовем соседними, если выполнены два условия:

(A1) существует 1-симплекс e = [uv] ∈ E(P );

(A2) η = ξ + J(e).

Совокупность всех пар (u, v) ∈ V (P ) × V (P ), состоящих из соседнихэлементов множества V (P ), обозначим символом K1(P ).

Если K0(P ) – набор одноэлементных подмножеств множества V (P )и K(P ) = K0(P ) ∪ K1(P ), то S(P ) = (V (P ), K(P )) – симплициальнаясхема.

Определение 10.3. Произвольная реализация P схемы S(P ) далеебудет называться 1-полиэдром, индуцированным многообразием P ииндексной вектор-функцией J . При этом символом E(P ) будет обозна-чаться множество ребер полиэдра P .

Определение 10.4. Пусть P – 1-полиэдр, индуцированный замкну-тым двумерным многообразием P и индексной вектор-функцией J :C1(P )→ Zr2. Положим

πV ((u, ξ)) = u, πE([uv]) = [πV (u)πV (v)], π(p∑i=1

ei) =p∑i=1

πE(ei)


для (u, ξ) ∈ V , [uv] ∈ E(P ) и x =∑p

i=1 ei ∈ C1(P ). Этим определеныпроекции πV : V → V , πE : E → E и гомоморфизм π : C1(P )→ C1(P ).

Предложение 10.2. Для любого пути x = [u0u1]+[u1u2]+· · ·+[up−1up]многообразия P и произвольного вектора ξ0 ∈ Zr2 существует един-ственный путь x = [u0u1] + [u1u2] + · · · + [up−1up] индуцированного1-полиэдра P , обладающий свойствами:

(C1) u0 = (u0, ξ0);

(C2) π(x) = x.

Доказательство. Положим u0 = (u0, ξ0),

xi = [u0u1] + [u1u2] + · · ·+ [ui−1ui], и ui = (ui, J(xi)) (10.2)

для всех i = 1, . . . , p. Тогда условие (C1) выполнено по построению.Кроме того, J(xi) = J(xi−1) + J([ui−1ui]) и потому элементы ui−1 и uiмножества V (P ) являются соседними. Следовательно, имеются ребра[ui−1ui] ∈ E(P ), i = 1, . . . , p. Последнее означает, что в индуцированномполиэдре P определен путь x = [u0u1] + [u1u2] + · · ·+ [up−1up]. Так какπV (ui) = ui для всех i = 0, 1, . . . , p, то путь x обладает свойством (C2).

Рассмотрим далее другой путь y = [v0v1] + [v1v2] + · · · + [vp−1vp] вP и допустим, что v0 = (u0, ξ0) и π(y) = x. Тогда vi = πV (vi) = ui. Изпоследнего следует равенство v0 = u0 и существование векторов ηi ∈ Zr2,i = 1, . . . , p, для которых

vi = (ui, ηi). (10.3)

Включения [vi−1vi] ∈ E(P ) означают, что vi−1 и vi – соседние эле-менты множества V (P ). Поэтому ηi = ηi−1 + J([ui−1ui]). Но выше намиустановлено, что η0 = ξ0. Следовательно,

ηi = ξ0 +p∑i=1

J([ui−1ui]). (10.4)

Согласно (10.4) и (10.2) ηi = J(xi). В силу (10.2) и (10.3) отсюда выте-кают равенства vi = ui для всех i = 1, . . . , p. Таким образом, y = x ипредложение доказано.

Определение 10.5. Путь x из предложения 10.2 далее будет назы-ваться накрывающим для пути x.

2. Поиск минимальных циклов 189

Предложение 10.3. Пусть x = [u0u1] + [u1u2] + · · · + [up−1up] и y =[v0v1]+[v1v2]+· · ·+[vp−1vq] – пути многообразия P , идущие из вершиныu0 = v0 в вершину up = vq, x = [u0u1] + [u1u2] + · · · + [up−1up] и y =[v0v1] + [v1v2] + · · · + [vp−1vq] – пути в P , накрывающие пути x и yсоответственно и имеющие общее начало u0 = v0. Тогда up = vq втом и только в том случае, если x ∼ y.

Доказательство. Как установлено при доказательстве предложения 10.2,из равенств π(x) = x и π(y) = y следует, что up = (up, J(x)) и vq =(vq, J(y)). Поэтому up = vq тогда и только тогда, когда J(x) = J(y)или, что то же самое, J(x+y) = 0. Поскольку J : C1(P )→ Zr2 – индекс-ная вектор-функция, а x+ y – цикл, то согласно определению 10.1

Jk(x+ y) = Ind([x+ y], [yk])

для всех k = 1, . . . , r. Следовательно, равенство J(x + y) = 0 эквива-лентно тому, что индексы пересечения цикла x+ y со всеми базисными1-циклами y1, . . . , yr многообразия P равны нулю. По следствию 8.1 по-следнее равносильно гомологичности цепей x и y.

2. Поиск минимальных циклов

Пусть L : E(P ) → R – неотрицательная функция. Она может бытьпродолжена до функции L : C1(P )→ R с помощью формул

L(0) = 0 и L({e1, . . . , ep}) = L(p∑i=1

ei) =p∑i=1

L(ei), (10.5)

где ei ∈ E(P ), для всех i = 1, . . . , p.Заметим, что построенное таким образом отображение L : C1(P )→

R не является гомоморфизмом, поскольку для произвольных x, y ∈C1(P ) имеет место равенство

L(x+ y) = L(x) + L(y)− 2L(x ∩ y). (10.6)

Также очевидно, что для произвольной неотрицательной функцииL : C1(P )→ R, обладающей свойством (10.6), верна и формула (10.5).

Определение 10.6. Любая нетрицательная функция L : C1(P ) → R,обладающая свойством (10.6), далее будет называться весовой. Приэтом для произвольной цепи x ∈ C1(P ) число L(x) будет считатьсяее весом.


Наиболее важен случай, когда L(x) – длина цепи x, то есть сум-ма длин ее ребер. Если L(e) = 1 для всех e ∈ E(P ), то для цепиx = {e1, . . . , ep} вес L(x) совпадет с количеством p ребер, из которых xсостоит.

Далее рассматриваются алгоритмы, предназначенные для поискациклов, имеющих наименьший вес среди всех циклов замкнутого иориентируемого двумерного многообразия P , обладающих заданнымисвойствами. Эти свойства могут быть различными. Поэтому и алгоритмпоиска минимальных циклов не единствен.

АЛГОРИТМ 10.2. Поиск минимального цикла с заданным ин-дексом, проходящего через заданную вершину.Вход:

1) список вершин V (P ) многообразия P ;2) для каждой вершины v ∈ V (P ) список U(v, P ) смежных с нею

вершин многообразия P ;3) индексная вектор-функция J : C1(P )→ Zr2 относительно некото-

рого базиса группы гомологий H1(P );4) весовая функция L : C1(P )→ R;5) вектор i ∈ Zr2;6) вершина u ∈ V (P ).

Выход:1) одномерная цепь z ∈ C1(P );2) ее вес L(z).

Описание алгоритма.Шаг 0. Положим z := ∅ и L(z) = 0.Шаг 1. Выбор начальных значений подмножеств S и P ∗ про-

изведения V (P ) × Zr2, а также отображения D : V (P ) × Zr2 → R.Положим S := {(u, 0)}, где 0 – нулевой вектор пространства Zr2, P ∗ := ∅и D(u, 0) = 0.

Шаг 2. Первое продолжение множества P ∗ и функции D.Для каждой вершины v ∈ U(u, P ) выполним действия 2.1 – 2.4.

2.1. Положим j := J([uv]).2.2. Добавим пару (v, j) в список P ∗

2.3. Присвоим переменной D(v, j) значение L([uv]).2.4. Положим F (v, j) := (u, 0).Шаг 3. Выбор нового кандидата на включение в список S.

Найдем пару (w, k) ∈ (P \ S), для которой

D(w, k) = min(v,j)∈(P\S)

D(v, j).


Шаг 4. Критерий завершения процесса построения мно-жеств S, P ∗ и функции D. Если w = u и k = i, то перейдем кшагу 8.

Шаг 5. Расширение множества S. Добавим пару (w, k) в списокS.

Шаг 6. Очередное продолжение множества P ∗ и функцииD. Для каждой вершины v ∈ U(w,P ) выполним цикл 6.1 – 6.7.

6.1. Положим j := k + J([wv]).6.2. Если (v, j) ∈ S, то сразу перейдем к 6.7.6.3. Если (v, j) ∈ (P ∗ \ S) и D(v, j) 6 D(w, k) + L([wv]), то снова

перейдем к 6.7.6.4. Если (v, j) /∈ P ∗, то включим пару (v, j) в список P ∗.6.5. Присвоим переменной D(v, j) значение D(w, k) + L([wv]).6.6. Положим F (v, j) := (w, k).6.7. Перейдем к следующей вершине из множества U(w,P ) (конец

цикла по v).Шаг 7. Продолжение процесса построения множеств S, P ∗

и функции D. Перейдем к шагу 3.Шаг 8. Построение цикла z и вычисление его длины.8.1. Выберем пару (v, j) = F (w, k).8.2. Положим z := z + [vw] = z ∪ {[vw]} и L(z) := L(z) + L([vw]).8.3. Если (v, j) 6= (u, 0), то присвоим переменной (w, k) значение

(v, j) и перейдем к шагу 8.1.Конец алгоритма.

Теорема 10.2. Вычисленная с помощью алгоритма 10.2 цепь z ∈ C1(P )обладает свойствами:

• z ∈ Z1(P );

• J(z)=i;

• u ∈ E(z), где E(z) – множество вершин цепи z;

• L(z) 6 L(x) для всех циклов x ∈ Z1(P ), удовлетворяющих усло-виям J(x) = i и u ∈ E(x).

Доказательство. Определим весовую функцию L : C1(P ) → R, пола-гая

L(x) = L ◦ π(x) (10.7)

для всех x ∈ C1(P ).По определению 10.2 пары v = (v, j) и u = (u, 0) на шаге 2, а также

пары v = (v, j) и w = (w, k) на шаге 6 являются соседними. Поэтому


существует ребро [vu] ∈ E(P ) в первом случае и ребро [vw] ∈ E(P ) вовтором. Кроме того, согласно (10.7) на шаге 2 имеет место равенствоL([vu]) = L([vu]), а на шаге 6 – равенство L([vw]) = L([vw]). Отсю-да следует, что построенное к началу шага 8 множество S совпадетс результатом выполнения алгоритма Дейкстры для графа P с весо-вой функцией L, если в качестве начальной вершины выбрать паруu = (u, 0), а в качестве конечной вершины – пару (u, i).

Заметим, что на шаге 8 строится не только путь z = [v0v1]+ [v1v2]+· · · + [vq−1vq] с началом v0 = u и концом vq = u, но и последователь-ность j0, j1, . . . , jq векторов пространства Zr2, удовлетворяющая равен-ствам j0 = 0, jq = i и js = js−1 + J([vs−1vs]). Положим vs = (vs, js) длявсех s = 0, 1, . . . , q. Тогда [vs−1vs] ∈ E(P ) и vs−1 = F (vs) для тех же s, а

z = [v0v1] + [v1v2] + · · ·+ [vq−1vq]

– путь в графе P с началом u = (u, 0) и концом (u, i). Поскольку онможет быть получен применением алгоритма Дейкстры [12], то его весL(z) не превышает веса любого другого пути в P , имеющего началоu = (u, 0) и конец (u, i).

По построению пути z и определению (10.7) L(z) = L(z). Если z′ –другой цикл многобразия P , содержащий вершину u и имеющий индексJ(z′) = i, то согласно предложению 10.2 найдется единственный путьz′ в P , накрывающий z′ и начинающийся в вершине u = (u, 0). Изравенства J(z′) = J(z) и предложения 10.1 следует, что циклы z и z′

гомологичны. А это по предложению 10.3 влечет за собой совпадениеконцов путей z и z′. Но тогда согласно доказанному в предыдущемабзаце

L(z) = L(z) 6 L(z′) = L(z′).

Замечание 10.1. В доказательстве теоремы 10.2 мы указали, что выпол-няемые в алгоритме 10.2 процедуры могут быть дополнены действия-ми, которые превратят его в алгоритм Дейкстры для графа P . Данноеобстоятельство было существенно использовано при обосновании мини-мальности пути z. Однако это не значит, что такое дополнение целесо-образно практически. Граф P содержит в 2r раз больше вершин, чемисходный полиэдр P . Поэтому информацию о нем не следует хранить впамяти компьютера. Достаточно знать способ ее воспроизведения в про-цессе вычислений по мере возникновения необходимости в этом. Именнотак и устроен алгоритм 10.2.

Заметим также, что к моменту завершения работы алгоритма ре-ально построенной оказывается только часть V (P )∗ множества всех


вершин V (P ) графа P . Для больших значений ранга r группы H1(P )мощность множества V (P )∗ существенно меньше мощности множестваV (P ).

АЛГОРИТМ 10.3. Поиск минимального цикла в заданном го-мологическом классе.

Вход:1) список вершин V (P ) многообразия P ;2) для каждой вершины v ∈ V (P ) список U(v, P ) смежных с нею

вершин многообразия P ;3) простые базисные циклы y1, . . . , yr группы гомологий H1(P );4) списки вершин V (y1), . . . , V (yr) циклов y1, . . . , yr;5) индексная вектор-функция J : C1(P ) → Zr2 относительно базиса

[y1], . . . , [yr] группы H1(P );6) весовая функция L : C1(P )→ R;7) цикл x ∈ Z1(P ).

Выход:одномерный цикл z ∈ Z1(P ).


Шаг 0. Положим Z := ∅.Шаг 1. Вычислим вектор i = J(x).Шаг 2. Если i = 0, то положим z = 0 и перейдем к шагу 6.Шаг 3. Выберем номер s ∈ {1, . . . , r}, для которого координата is

вектора i равна единице.Шаг 4. Для каждой вершины u ∈ V (ys) выполним цикл 4.1 – 4.3.4.1. С помощью алгоритма 10.2 найдем цикл zu ∈ Z1(P ), проходя-

щий через вершину u, имеющий индекс J(zu) = i и наименьший весL(zu) среди всех циклов, обладающих аналогичными свойствами.

4.2. Добавим цикл zu в список Z.4.3. Перейдем к следующей вершине из V (ys) (конец цикла по u).Шаг 5. Выберем из списка Z цикл z, для которого L(z) = minz′∈Z L(z′).Шаг 6. Выход.


Теорема 10.3. Пусть z – цикл многообразия P , найденный с помощьюалгоритма 10.2. Тогда

• z ∼ x;

• L(z) = miny∈[x] L(y).


Доказательство. Если i = 0, то по предложению 10.1 цикл x гомологи-чен нулю. При этом на шаге 2 мы полагаем z = 0. Согласно (10.5) L(0) =0. Таким образом, в данной ситуации z ∼ x и L(z) = 0 = miny∈[x] L(y).

Пусть далее i 6= 0. Тогда согласно шагу 3 is = 1 для s ∈ {1, . . . , r}.Рассмотрим произвольный элемент zu списка Z. Он отбирается на

шаге 4.1, согласно которому J(zu) = i = J(x). По тому же предложению10.1 последнее означает, что zu ∼ x. Так как z = zu для некоторогоu ∈ V (ys), то и z ∼ x.

Предположим, наконец, что некоторый одномерный цикл y много-образия P принадлежит гомологическому классу [x]. Тогда, как ужеотмечалось, J(y) = J(x) = i. Следовательно, Ind([y], [ys]) = Js(y) = 1 ипотому циклы y и ys имеют хотя бы одну общую вершину u ∈ V (ys). Вэтом случае по правилам отбора цикла zu на шаге 4.1 алгоритма L(zu) 6L(y). Согласно шагу 5 отсюда следует, что L(z) 6 L(zu) 6 L(y).

Литература

[1] П.С. Александров. Комбинаторная топология. М. – Л.: ОГИЗ. 1947.

[2] А. Дольд. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир. 1976.

[3] Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геомет-рия. Методы теории гомологий. М.: Наука. 1984.

[4] Г. Зейферт, В. Трельфалль. Топология. М. - Л.: ГОНТИ, 1938;Ижевск: НИЦ РХД, 2001.

[5] Л.С. Понтрягин. Основы комбинаторной топологии. М.: Наука.1986.

[6] К. Рурк, Б. Сандерсон. Введение в кусочно линейную топологию.М.: Мир. 1974.

[7] В.А. Рохлин, Д.Б. Фукс. Начальный курс топологии. Геометриче-ские главы. М.: Наука. 1977.

[8] Э. Спеньер. Алгебраическая топология. М.: Мир. 1971.

[9] Н. Стинрод, С. Эйленберг. Основания алгебраической топологии.М.: ИЛ. 1956.

[10] А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. М.: На-ука. 1989.

[11] П. Хилтон, С. Уайли. Теория гомологий. Введение в алгебраиче-скую топологию. М.: Мир. 1966.

[12] А.В. Ахо, Д.Э. Хопкрофт, Д.Д. Ульман. Структуры данных и ал-горитмы. Москва – Санкт-Петербург – Киев: Изд. дом "Вильямс".2001.

195


[13] П.А. Гордиенко, Е.И. Яковлев. Построение кратчайших базисныхциклов одномерных групп гомологий 2-многообразий. Труды Ма-тематического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-воКазанского матем. общества. 2002. Т. 18. С. .

[14] В.Ю. Зинченко. Новый метод построения базисных циклов группгомологий полиэдров. Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2003.Т. 21. С. 118-120.

[15] Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест. Алгоритмы: построение и ана-лиз. М.: МЦНМО. 2001.

[16] В. Липский. Комбинаторика для программистов, М.: Мир. 1988.

[17] С.В. Матвеев. Algorithmic classification of 3-manifolds: Problem andresults. Труды Математического института имени В.А. Стеклова,Т. 225, 1999, 264-275.

[18] С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко. Алгоритмические и компьютерныеметоды в трехмерной топологии. Москва: Издательство МГУ. 1991,1998.

[19] А.Т. Фоменко. Наглядная геометрия и топология. Математическиеобразы в реальном мире. М.: Изд-во МГУ, 1992.

[20] Е.И. Яковлев, П.А. Гордиенко. Быстрые алгоритмы вычислениягрупп гомологий и их базисов. Материалы VII Международногосеминара "Дискретная математика и ее приложения", 2001, с. 284-287.

[21] Е.И. Яковлев, О.В. Логинов. Алгоримы для вычисления базис-ных циклов одномерной группы относительных гомологий. Вест-ник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Нижний Новгород: Изд-во НН-ГУ. 2003. Вып. 1. С. 132-142.

[22] D. Anick. Computing Rational Homotopy Groups in P-Hard inComputers in Geometry and Topology, Lecture Notes in Pure andApplied Mathematics, ed, M. Tangora, Marcel Dekker: New York(1989).

[23] U. Axen. Computing morse functions on triangulated manifolds. InProceedings of the SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA),1999.


[24] U. Axen, H. Edelsbrunner. Auditory morse analysis of triangulatedmanifolds. In H.-C. Hege and K. Polthier editors. MathematicalVisualization, p. 223-236. Springer-Verlag, Berlin, 1998.

[25] J. Chao and J. Nacayama, Cubical singular simplex model for 3Dobjects and fast computation of homology groups - Proc. IEEE, 190-194 (1996).

[26] C.J. A. Delfinado, H. Edelsbrunner. An incremental algorithm forbetti numbers of simplicial complexes on the 3-sphere. Comput. AidedGeom. Design, 12:771-784, 1995.

[27] T.K. Dey, H. Edelsbrunner, S. Guha. Computational topology. InChazelle, B., Goodman, J., and Pollack, R., eds., Advances in Discreteand Computational Geometry, Providence, 1998. ContemporaryMathematics, AMS.

[28] T.K. Dey, S. Guha. Optimal algorithms for curves on surfaces. In "Proc.35th IEEE Ann. Sympos. Found. Comput. Sci. 1995", 266-274.

[29] T.K. Dey, S. Guha. Algorithms for manifolds and simplicial complexesin Euclidean 3-space. In "Proc. 28th ACM Sympog. Theory Comput.1996", 398-407.

[30] T.K. Dey, H. Schipper. A new technique to compute polygonal schemafor 2-manifolds with application to null-homotopy detection. DiscreteComput. Georm. V. 14 (1995), 93-110.

[31] B.R. Donald, D.R. Chang. On the complexity of computing thehomology type of a triangulation - Proc. IEEE, 650-661 (1991).

[32] R. Forman. A discrete morse theory for cell complexes, Geometry,Topology and Physics for Raoul Bott, International Press, 1994, pp.112-125.

[33] J. Friedman. Computing Betti numbers via combinatorial Laplacians.In "Proc. 28th ACM Sympos. Theory Comput. 1996", 386-391.

[34] P.A. Gordienko, A.D. Krakhnov, E.I. Yakovlev. The algorithmsof homology groups basis cycles fast calculation and topologicalrecognition of a 2D polyhedron. In GraphiCon‘2001 ConferenceProceedings, Computational Geometry Section, p. 177-181.

[35] Grapo, H. Applications of Geometric Homology, Geometry andRobotics, Springer-Verlag LNCS 391, ed. Boissonnat and Laumond(1989).


[36] I. Guskov. Wood Z.J. Topological Noise Removal. In GI 2001proceedings, June 2001, pp. 19-26.

[37] J.C. Hart. Morse theory for implicit surface modeling. In Hege, H.-C. and Polthier, K., eds.. Mathematical Visualization, pp. 257-268.Springer-Verlag, Heidelberg, 1998.

[38] C. Hayat-Legrand, S.V. Matveev, H. Zieschang. Computer calculationof the degree of maps into the Poincare homology sphere, PreprintIHES, M/99/11, 1999.

[39] J.R. Kent, R.E. Parent, W.E. Carlson. Establishing correspondencesby topological merging: A new approach to 3d shape transformation.In Proc. Graphics Interface ’91, pages 271-278. Morgan Kaufmann, SanFrancisco, Calif., June 1991.

[40] S.V. Matveev. Computer recognition of three-manifolds, ExperimentalMathematics, 1998, V. 7, N. 2, 153 - 161

[41] J. Rubio, F. Sergeraert. Locally effective objects and AlgebraicTopology, in Computational Algebraic Geometry, Birkhauser, 1993, pp.235-251.

[42] J. Rubio, F. Sergeraert, Y. Siret. EAT: Symbolic Software for EffectiveHomology Computation, ftp: //fourier.ujf-grenoble.fr/pub/EAT,Institut Fourier, Grenoble, 1997.

[43] H. Schipper. Determining contractibility of curves. In "Proc. 8thSympos. Comput. Geom. 1992", 358-367.

[44] F. Sergeraert. The computability problem in algebraic topology,Advances in Mathematics, 1994, vol. 104, pp. 1-29.

[45] Y. Shinagawa, T.L. Kunii, Y.L. Kergosien. Surface coding based onmorse theory. IEEE Computer Graphics and Applications 11(5), Sep.1991, pp. 66-78.

[46] G. Taubin, J. Rossignac. Geometric compression through topologicalsurgery, Research report. IBM (1997).

[47] G. Vegter, C.K. Yap. Computational Complexity of CombinatorialSurfaces, Proc. 6th ACM Symp. on Computational Geometry, Berkeley,CA (1990), pp. 102-111.

Documents

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ · 2005. 8. 22. · При построении групп гомологий в качестве коэффициентов выбираются