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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique
MémoireMémoireMémoireMémoire
Pour l’obtention du diplôme de Magister en Mathématiques
de l’école doctorale
Option : Option : Option : Option : Probabilités et StatistiqueProbabilités et StatistiqueProbabilités et StatistiqueProbabilités et Statistique
Intitulé :
FONCTIONNELLES EXPONENTIELLES
DU MOUVEMENT BROWNIEN
Présenté par Sous la direction de
Chalabi EChalabi EChalabi EChalabi Ellll----HacèneHacèneHacèneHacène Pr. Boutabia Pr. Boutabia Pr. Boutabia Pr. Boutabia HacèneHacèneHacèneHacène
Soutenu devant le jury composé de :
Dr. Nouar Ahmed M.C Univ. Skikda Président
Dr. Boutabia Hacène Prof Univ. Annaba Rapporteur
Dr. Remita Mohamed Rida M.C Univ. Annaba Examinateur
Dr. Djellab Natalia M.C Univ. Annaba Examinatrice
Année universitaire 2009 / 2010
Soutenu le ... / ... / 2010
Université 20 Août 1955 de Skikda
Faculté des Sciences Département des sciences fondamentales
1
2
Table des matières
0 Introduction 6
1 Chapitre 1. Notions générales 10
1.1 Opérateurs 10
1.2 Fonctions spéciales 13
1.3 Généralités sur les processus stochastiques 16
1.3.1 Tribus et Filtrations 16
1.3.2 Processus stochastiques 17
1.3.3 Espérance conditionnelle par rapport à une tribu 19
1.3.4 Temps d�arrêt 20
1.3.5 Martingales 21
1.3.6 Mouvement brownien 23
1.3.7 Processus de Markov 24
1.3.8 Intégrale stochastique 27
1.3.9 Equations di¤érentielles stochastiques 37
1.3.10 Formules de Feynman-Kac 39
1.3.11 Théorème de Girsanov 44
2. Chapitre 2. Théorème de Pitman 50
2.1 Théorème de Pitman 50
2.2 Théorème de Pitman pour les mouvements browniens 52
2.3 Théorème de Lévy-Pitman (pour le mouvement brownien avec drift) 54
2.4 Extensions du théorème de Lévy au mouvement brownien géométrique 56
3. Chapitre 3. Fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien 60
3.1 Fonctionnelle exponentielles 60
-
3
3.2 Lois des fonctionnelles exponentielles et équations aux dérivées partielles associées 75
3.3 Densités conditionnelles 81
4 Chapitre 4 . Applications 87
4.1 Applications en Physique 87
4.1.1 Motivation 88
4.1.2 Distribution de la fonction de répartition et l�énergie libre associée 90
4.1.3 Une expression de E�lnZ
(0)L
�92
4.1.4 L�identité de Bougerol 93
4.2 Applications en mathématiques �nanciéres 94
4.2.1 Les options Asiatiques 94
- Conclusion 101
- Références 102
4
Abstract
This paper is organized around two themes. The �rst concerns the study of Pit-
man theorem and its versions extended to the geometric Brownian motions. The
second is related to the study of the distributions of probability laws of exponen-
tial functionals of the Brownian motion which intervene into various physical and
mathematical �nancial contexts.
5
Résumé
Ce mémoire s�organise autour de deux thèmes. Le premier concerne l�étude du
théorème de Pitman et ses versions étendues au mouvement brownien géométrique. Le
second se rapporte à l�etude des distributions de probabilité des fonctionnelles expo-
nentielles du mouvement brownien qui interviennent dans divers contextes physiques
et mathématiques �nancières.
Mots-clés
Mouvement brownien; Fonctionnelles exponentielles; Transformée de Laplace, Proces-
sus de di¤usion, Temps exponentiel; . . .
6
Introduction
En général, les fonctionnelles et en particulier les fonctionnelles exponentielles
du mouvement brownien jouent un rôle très intéréssant en probabilités et en statis-
tiques .Il y a beaucoup d�applications de ces fonctionnelles surtout en physique , en
mathématiques �nancières et en gestion.
Dans ce mémoire, on commence par traiter brièvement le théorème de Pitman
et ses extenssions au mouvement brownien géométrique. Puis, avec un peu plus de
détails, on étudie les fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien, a�n de
préciser leurs lois de probabilité, et on insiste sur les fonctionnelles exponentielles du
mouvement brownien unidimensionnel de la forme
A(�)1 =
Z 1
0
exp��2B(�)
s
�ds
où�B(�)t
�t�0est un mouvement brownien unidimensionnel de drift constant �,
puis on va généraliser dans le cas où�B(�)t
�t�0est un mouvement brownien multidi-
mensionnel de drift � 2 Rn avec
Ai1 =
Z 1
0
e�2�i
�B(�)s
�ds (i = 1; 2; :::; d)
où les �i sont des fonctionnelles linéaires, et on va donner quelques exemples pour
plus de précision.
Finalement, on donne deux applications de ces fonctionnelles, l�une en physique
et l�autre en mathématiques �nancières. Pour cela on procède par étapes:
7
- Dans le premier chapitre on présente brièvement les principaux résultats sur les
opérateurs, les fonctions spéciales et les processus stochastiques dont on aura besoin
dans les chapitres suivants.
- Dans le deuxième chapitre, on démontre les théorèmes de J.W.Pitman puis on
étudie les versions correspondantes au mouvement brownien géométrique et on montre
que le mouvement brownien géométrique de paramètre �; divisé par sa variation
quadratique est une di¤usion.
- Dans le troisième chapitre, on donne les lois de probabilités des fonctionnelles
exponentielles A(�)t et A
(�)T�; où t � 0 et T� est le temps exponentiel de paramètre
�:
- De plus on montre que la transformée de Laplace de A1 satisfait certaines
équations di¤érentielles aux dérivées partielles du type Schrödinger et on caractérise
les di¤usions qui peuvent être interprétées comme loi de B(�) conditionnée par la
loi de A1:
Pour cela, on établira une équation di¤érentielle aux dérivées partielles de type
Schrödinger satisfaite par la fonction caractéristique des fonctionnelles exponentielles
d�un mouvement brownien multidimensionnel. On étudiera également une famille de
martingales liant les lois conditionnelles des fonctionnelles exponentielles de la forme
Ait =
Z t
0
exp��2�i
�B(�)s
��ds; i = 1; 2; : : : ; d
- Dans le dernier chapitre, on donne deux applications des chapitres précédents.
- La première application en physique: on discute dans cette application quelques
propriétés de la fonctionnelle A(�)t ; concentrées principalement sur la valeur de la
8
moyenne E�lnA
(�)t
�; en relation avec d�autres interprétations physiques inspirées
par la mécanique statistique des systèmes désordonnés. Dans ces systèmes, la fonction
de répartition Z est une fonctionnelle qui dépend d�un ensemble de couples aléatoires
et on étudie la valeur moyenne de l�énergie libre du mouvement d�une particule.
- La deuxième application en mathématiques �nancières: on étudie les valeurs
d�option Asiatique dans le modèle de Black-Schooles.
9
Chapitre 01
Notions générales
10
Chapitre 01
Notions générales
Le but de ce chapitre est de présenter brièvement les principaux résultas des
opérateurs , les fonctions spéciales et les processus stochastiques, dont nous aurons
besoin pour la suite de notre étude.
1.1 Opérateurs.
1.1.1 Semi-groupes.
On note par E un espace de Banach sur le corps des nombres complexes C, par
B (E) l�algèbre de Banach des opérateurs linéaires bornés dans E et par I l�unité
de B (E)
Dé�nition 1.1
On appelle C0-semi groupe d�opérateurs bornés sur E une famille
fT (t)gt�0 � B (E)
véri�ant les propriétés suivantes :
(i) T (o) = I
(ii) T (t+ s) = T (t)T (s) ; 8t; s � 0
(iii) limt&0
T (t)x = x; 8x 2 EDé�nition 1.2
On appelle générateur in�nitésimal du C0-semi-groupe fT (t)gt�0 ; un opérateur
11
A dé�nit sur l�ensemble
D (A)=�x 2 E jlim
t&0
T (t)x� x
texiste
�
par
Ax = limt&0
T (t)x� x
t; 8x 2 D (A)
1.1.2 La transformée de Laplace d�un C0-semi-groupe
Soit
SG (M;!)
l�ensemble des C0-semi-groupes
fT (t)gt�0 � B (E)
pour lesquels il existe ! � 0 et M � 1 tel que
jjT (t)jj �Me!t
Dans ce cas, on dira que fT (t)gt�0 est un C0-semi groupe exponentiellement
bornné.
Pour ! � 0; on désigne par �! l�ensemble
�! = f� 2 C jRe� > 0g
Soit
� 2 �! et fT (t)gt�0 2 SG (M;!)
Dé�nissons l�application
R� : E �! E
12
par
R�x =
Z 1
0
e��tT (t)xdt
Il est clair que R� est un opérateur linéaire. De plus, on a
jjR�xjj �Z 1
0
����e��tT (t)x���� dt � M
Re�� !jjxjj ; 8x 2 E
d�où, il résulte alors que R� est un opérateur linéaire borné.
Dé�nition 1.3
L�opérateur
R� : E �! E tel que R (�) =
Z 1
0
e��tT (t) dt
s�appelle la transformée de Laplace du semi-groupe
fT (t)gt�0 2 SG (M;!)
1.1.3 Opérateur hypoélliptique
On considère un opérateur di¤érentiel du second ordre, donné par
P =rPj=1
X2j +X0 + c (1:1)
où X0; X1; : : : ; Xr sont des champs de vecteurs à coe¢ cients réels de classe C1
dans un ouvert O de Rn et c est une fonction à valeurs complexes de classe C1:
Dé�nition 1.4
On appelle algèbre de Lie la donnée d�un espace vectoriel V et d�une application
bilinéaire V � V ! V notée (X;Y )! [X;Y ] ; appelée crochet de Lie, telle que
- pour tout X 2 V; [X;X] = 0 (le crochet est alterné)
13
- pour tout X; Y; Z dans V; [X; [Y; Z]] + [Y; [Z;X]] + [Z; [X; Y ]] = 0 (identité de
Jacobi)
Notons qu�il résulte de la propriété d�alternance que [X; Y ] = � [Y;X] pour tout
X et Y dans V:
Dé�nition 1.5
On dit que le système de vecteurs (X0; X1; : : : ; Xr) est de rang k au point x0
de l�ouvert O, si l�algèbre de Lie L (X0; X1; : : : ; Xr) engendrée par les champs de
vecteurs X0; X1; : : : ; Xr est de dimension k en ce point.
Dé�nition 1.6
Soit � Xn, un opérateur di¤érentiel p (x;D) à coe¢ cients dans sera dit
hypoélliptique dans s�il possède la propriété suivante:
Toute distribution ' dans est une fonction indé�niment di¤érentiable dans
tout ouvert de ; où p (x;D)' est une fonction indé�niment di¤érentiable.
Théorème 1.1 (de Hörmander) (cf [26]) :
Soit l�algèbre de Lie L (X0; X1; : : : ; Xr) engendrée par les champs de vecteurs
X0; X1; : : : ; Xr est de dimension constante égale à n dans l�ouvert O, alors
l�opérateur (1:1) est hypoélliptique.
1.2 Fonctions spéciales
1.2.1 Fonctions hpergéométrique
� (�; ; z) =1Pk=0
(�)k zk
( )k k!(1.2)
14
- Représentation intégrale de �
� (�; ; z) =� ( )
� (�) � ( � �)
Z 1
0
ezuu��1 (1� u) ���1 du; Re ( ) > Re (�) > 0
(1.3)
- Transformation de Kummer
� (�; ; x) = ex� ( � �; ;�x) ; � =2 N
(�; ; z) =� (1� )
� (1 + �� )� (�; ; z) +
� ( � 1)� (�)
z1� � (1 + �� ; 2� ; z) (1.4)
(�)k =� (�+ k)
� (�)= � (�+ 1) : : : (�+ k � 1) ; k = 1; 2; : : : (1.5)
- Représentation intégrale de
(�; ; z) =1
� (�)
Z 1
0
e�ztt��1 (1 + t) ���1 dt; � > 0; z > 0 (1.6)
- Wronskien de � et :
� (�; ; z)0 (�; ; z)� �0 (�; ; z) (�; ; z) = � ( )
� (�)z� e�z (1.7)
Théorème 1.2 (cf [19])
� (�; ; z) et (�; ; z) sont linéairement indépendantes et sont solutions de
l�équation di¤érentielle ordinaire
zu00 + ( � z)u0 + �u = 0
15
1.2.2 Polynômes d�Hermite, et de Laguere.
- Polynôme d�Hermite
H� (z) =2��
�12
���12(1� �)
����12�;1
2; z2�+2��
��12
����12�� z��1
2(1� �) ;
3
2; z2�(1.8)
�; z 2 C:
- Représentation intégrable des fonctions d�Hermite
H� (z) =
8>><>>:1
�(��)R10exp
���2 � 2�z
�����1d�; R (�) < 0
2�+1p�ez
2 R10e��
2�� cos
�2z� � ��
2
�d�; R (�) > �1
(1.9)
- Polynômes de Laguere.
L�n (x) =x��
n!exdn
dxn�xn+ae�x
�; n = 0; 1; 2; : : :
- Relations entre les polynômes de Laguere et d�Hermite8>><>>:L�1=2n (x) = (�1)n
22nn!H2n (
px) ;
L1=2n (x) = (�1)n
22n+1n!
H2n+1(px)p
x
(1.10)
1.2.3 Fonction de Macdonaled
K� (�) =1
2
��2
�� Z 1
0
e��+�2
4 ����1d� (1.11)
- Fonction de Bessel modi�ée.
Ij�j (r) =
Z 1
0
exp
���
2t
2
�� (r; t) dt ; r > 0 (1.12)
On dé�nit la fonction F� par:
F� (x; y) =
8>><>>:I� (x)K� (y) ; si x � y
K� (x) I� (y) ; si x � y
(1.13)
16
et
I� (x)K� (y) =1
2
Z 1
0
exp
���2� (x
2 + y2)
2�
�I�
�xy
�
�d�
�; 0 < x � y (1.14)
- Fonction de Whittaker
Wk;� (x) =xke�
x2
��12+ �� k
� Z 1
0
e�tt��k�12
�1 +
t
x
��+k� 12
dt (1.15)
1.3 Généralités sur les processus stochastiques
On va s�intéresser à des phénomènes dépendant du temps. Ce qui est connu à la
date t est rassemblé dans une tribu Ft, c�est l�information à la date t.
Dans la suite (;F ;P) est un espace de probabilités.
1.3.1 Tribus et Filtrations
Dé�nition 1.7
Une �ltration est une famille croissante de sous tribus de F , c�est-à-dire, telle que
Fs � Ft pour tout s � t:
On interprète Ft comme l�information antérieure au temps t : plus le temps croît
(s � t) plus on a des informations (Fs � Ft) :
- Le quadruplet�;F ; (Ft)t�0 ;P
�est dit espace de probabilité �ltré.
Dé�nition 1.8
On appelle tribu des ensembles prévisibles, la tribu sur ]0;+1[ � engendrée
par les rectangles de la forme
]s; t[� A; 0 � s � t; A 2 Fs
17
1.3.2 Processus stochastiques
Dé�nition 1.9
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires (Xt)t�0 indexée
par un paramètre t � 0; dé�nies sur (;F ;P) à valeurs dans un espace mesurable
(E; ") appelé espace d�état. La vriable Xt donne l�état à l�instant t:
Remarque 1.1.
La �ltration (Ft) dé�nie par
Ft = � (Xs; s � t) ; t � 0
s�appelle la �ltration naturelle du processus (Xt)t�0 et on la note par�FXt
�:
L�interprétation de la �ltration naturelle�FXt
�t�0 est que FX
t contient toutes
les informations sur les variables aléatoires (Xs)s�t :
Dé�nition 1.10
Un processus stochastique (Xt)t�0 est dit adapté par rapport à une �ltration Ft
si pour tout t, Xt est Ft� mesurable.
Il est inutile de dire qu�un processus est toujours adapté par rapport à sa �ltration
naturelle.
Dé�nition 1.11
On dit que le processus (Xt)t�0 est continu (ou à trajectoires continues ) si les
trajectoires t! Xt (!) sont continues pour presque tout !:
Dé�nition 1.12
- Un processus est dit càdlàg (continu à droite et pourvu de limite à gauche) si ses
trajectoires sont continues à droite et pourvues de limites à gauche pour presque tout
18
!:
- Un processus est dit càglàd (continu à gauche et pourvu de limite à droite) si ses
trajectoires sont continues à gauche et pourvues de limites à droite pour presque tout
!:
Dé�nition 1.13
Un processus stochastique est prévisible si et seulement si l�application (t; !) !
Xt (!) est mesurable par rapport à la tribu des ensembles prévisibles.
- On dit que deux processus (X)t�0 et (Yt)t�0 sont égaux à une modi�cation
près si Xt = Yt p:s. 8t:
- Deux processus sont égaux en loi, et on écrit X loi= Y , si pour tout (t1; t2; : : : ; tn)
et pour tout n les vecteurs
(Xt1 ; Xt2 ; : : : ; Xtn) et (Yt1 ; Yt2 ; : : : ; Ytn)
ont même loi.
Dé�nition 1.14 (fonction à variation �nie)
Soit T > 0: Une fonction continue a : [0; T ] �! R telle que a (0) = 0 est
dite à variation �nie s�il existe une mesure signée ( i e. di¤érence de deux mesures
positives �nies ) � telle que a (t) = � ([0; t]) pour tout t 2 [0; T ] :
Dé�nition 1.15 (processus à variation �nie)
Un processus à variation �nie (Xt)t�0 est un processus adapté dont toutes les
trajectoires sont à variation �nie .
Le processus (Xt)t�0 est appelé processus croissant si de plus ces trajectoires sont
croissantes.
19
1.3.3 Espérance conditionnelle par rapport à une tribu.
Dé�nition 1.16
Soit X une variable aléatoire (intégrable) dé�nie sur (;F ; P ) et G est sous
tribu de F : L�espérance conditionnelle E (X jG ) de X par rapport à G est l�unique
variable aléatoire telle que :
i) E (X jG ) est G -mesurable.
ii) ZA
E (X j G) dP =ZA
XdP; 8A 2 G
C�est aussi l�unique ( à une égalité presque sûrement près) variable G-mesurable
telle que
E (E (X j G)Y ) = E (XY )
pour toute variable Y; G-mesurable.
Il en résulte que si X est de carré intégrable, E (X j G) est la projection de X
sur l�espace des variables aléatoires G mesurables et de carré intégrable, c�est-à-dire
la variable aléatoire G-mesurable qui minimise E�(X � Y )2
�parmi les variables
aléatoires G-mesurable.
- Propriétés
Les propriétés suivantes se démontrent alors facilement.
1) E (E (X j G)) = E (X) ;
2) E (X j G) = X, si X est G -mesurable;
3) E (XY j G) = Y E (X j G); si Y est G -mesurable;
4) E (aX + Y j G) = aE (X j G) + E (Y j G) ; si X et Y sont intégrables;
20
5) si X � 0; alors E (X j G) � 0;
6) si H est un sous tribu de G, alors E (E (X j G) j H) = E (X j H) :
Proposition 1.3 ( Inégalité de Jensen )
Soit X une variable aléatoire de L1, soit ' : R �! R une fonction convexe.
Alors on a:
' (E (X j G)) � E (' (X) j G)
1.3.4 Temps d�arrêt
On note F1 = � ([tFt) :
Dé�nition 1.17
Un temps d�arrêt est une variable aléatoire � à valeurs dans R telle que
f� � tg 2 Ft; 8t 2 R+
On associe à un temps d�arrêt � la tribu F� dite des évènements antérieurs à
� , dé�nie par
F� = fA 2 F1 jA \ f� � tg 2 Ft;8t 2 R+g
Un temps d�arrêt est donc un temps aléatoire, tel que sur chaque ensemble f! : T (!) � tg,
l�application ! 7! T (!) dépend seulement de ce qui s�est passé avant le temps t:
- Propriétés
1�: Si T est un temps d�arrêt alors T est FT mesurable.
2�: Si S et T sont des temps d�arrêt alors S^T est un temps d�arrêt. En particulier
T ^ t est un temps d�arrêt.
3�: Si S et T sont des temps d�arrêt tels que S � T; on a FS � FT :
21
4�: Soit (Xt)t�0 un processus mesurable et T un temps d�arrêt �ni.La variable
aléatoire XT dé�nie par
XT (!) = XT (!) (!)
est FT -mesurable.
5�: Si un processus (Xt)t�0 est continu et adapté, alors XT est FT -mesurable.
1.3.5 Martingales
Dé�nition 1.18
Un processus (Mt)t�0 est une martingale ( resp. sur martingale, sous martingale
) par rapport à la �ltration (Ft) s�il satisfait les propriétés suivantes :
i) (Mt)t�0 est (Ft) adapté .
ii) (Mt)t�0 intégrable pour tout t ( c-a-d.E (jMtj)<+1 ).
iii) E (Mt j Fs) =Ms ( resp E (Mt j Fs) �Ms; E (Mt j Fs) �Ms; ) 8s � t
- Propriétés
1� Si (Mt)t�0 est une martingale alors
E (Mt) = E (M0) ; 8t
2� Si (Mt)t�T est une martingale alors le processus est complètment déterminé
par sa valeur terminale car
Mt = E (MT j Ft)
Théorème 1.4 (Inégalité de Doob ) (cf [9])
Soit (M t)t�0 une martingale nulle en 0, alors pour tout entier p > 1
E��sups�tjMsj
�p���
p
p� 1
�pE (jM jp) (1:16)
22
- Martingales locales
Dé�nition 1.19
Le processus (Mt)t�0 est dit martingale locale s�il existe une suite de temps d�arrêt
(Tn) croissante et
limn!1
Tn = +1
telle que
(MTn^t)
soit une martingale.
- Semi-martingale
Dé�nition 1.20
une semi-martingale est un processus X = X0+A+M , où A est un processus
à variation �nie, X0 est une variable F0 mesurable et M est une martingale
locale, ces deux deniers processus étant issus de 0. Une semi-martingale est donc un
processus adapté càdlàg.
- Temps local
Dé�nition 1.21 ( formule de Tanaka)
Soit (X)t�0 une semi martingale continue.
Pour tout x 2 R, il existe un processus adapté et continu (Lxt )t�0 tel que
jXt � xj = jX0 � xj+Z t
0
Sgn (Xs � x) dXs + Lxt
Le processus (Lxt )t�0 est appelé temps local de X en x.
23
1.3.6 Mouvement brownien.
On se donne un espace (;F ; P ) et un processus (Bt)t�0 dé�ni sur cet espace à
valeurs réelles.
Dé�nition 1.22
Le processus (Bt)t�0 est un mouvement brownien (standard)si
(i) P (B0 = 0) = 1 (le mouvement brownien issu de l�origine).
(ii) 8s � t; Bt�Bs est une variable réelle de loi gaussienne centrée, de variance
(t� s) :(stationnarité des accroissements du mouvement brownien)
(iii) 8n; 8ti; 0 � t0 � t1 � : : : � tn; les variables Btn�Btn�1 ; : : : ; Bt1�Bt0 ; Bt0
sont indépendantes, ou bien sous forme équivalente: Soit s � t; La variable Bt�Bs
est indépendante de la tribu � (Bu; u � s).
- Mouvement brownien multidimensionnel.
Dé�nition 1.23
Soit Bt =�B(1)t ; B
(2)t ; : : : ; B
(n)t
�Tun processus n -dimensionnel On dit que B
est un mouvement brownien n-dimensionnel si les processus�B(i); i � n
�sont des
mouvements browniens indépendants.
- Temps d�atteinte
dé�nition 1.24
Si (Xt)t�0 est le processus dé�ni par Xt = �t+Bt; avec (Bt)t�0 est un mouve-
ment brownien standard ; T �a = finf t � 0; Xt = ag est appelé temps d�atteinte de
a:
24
- Mouvement brownien géométrique
Dé�nition 1.25
Soient (Bt )t�0 un mouvement brownien réel, � et � deux constantes. Le
processus
Xt = X0 exp
���� 1
2�2�t+ �Bt
�est appelé mouvement brownien géométrique.
Ce processus est aussi appelé processus �log-normale�.
En e¤et, dans ce cas
logXt =
��� 1
2�2�t+ �Bt + logX0
suit une loi normale.
- Propriétés
Proposition 1.5
Si (Bt )t�0 un mouvement brownien, alors
i) le processus eB dé�ni par eBt = �Bt est un mouvement brownienii) le processus bB dé�ni par bBt = 1
cBc2t est un mouvement brownien ( Propriété
de scaling ).
iii) le processus B dé�ni par Bt = tB 1t; 8t > 0; B0 = 0 est un mouvement
brownien .
1.3.7 Processus de Markov
En probabilité un processus stochastique véri�e la propriété de Markov si et seule-
ment si la distribution conditionnelle de probabilité des états futurs, étant donné les
25
états passés et l�état présent, ne dépend en fait que de l�état présent et non pas des
états passés (absence de « mémoire » ). Un processus qui possède cette propriété
est appelé processus de Markov. Pour de tels processus, la meilleure prévision qu�on
puisse faire du futur, connaissant le passé et le présent, est identique à la meilleure
prévision qu�on puisse faire du futur, connaissant uniquement le présent : si on con-
nait le présent, la connaissance du passé n�apporte pas d�information supplémentaire
utile pour la prédiction du futur.
Dé�nition 1.26 ( propriété de Markov)
Le processus (Xt)t�0 sur (;F ; (Ft)t�0;P ) est dit véri�er la (Ft)-propriété de
Markov, s�il existe un semi-groupe de transitions (Pt)t�0 tel que pour tout s; t > 0
et toute fonction mesurable f , positive ou bornée,
E(f(Xt+s) jFt ) = Psf(Xt)
Si Ft = �(Xs : s � t), on parle simplement de la propriété de Markov.
- Propriété faible de Markov
Soit (Xt)t�0 un processus sur (;F ; (Ft)t�0;P ) . L�égalité
P [X (t+ h) = y jX (s) = f (s) ; s � t] = P [X (t+ h) = y jX (t) = f (t) ] ;8h >
0:
où f est une fonction est appelée la propriété faible Markov.
Généralement, on utilise une hypothèse d�homogénéité dans le temps, c�est-à-dire:
P [X (t+ h) = y jX (t) = f (t) ] = P [X (h) = y jX (0) = f (0)] ;8h > 0:
- Propriété forte de Markov.
Soit (Xt)t�0 un processus de Markov homogène, de semi-groupe de transition
26
(Pt)t�0. On dit que (Xt)t�0 est un processus fortement markovien si pour chaque
temps d�arrêt T , conditionnellement à la tribu du passé Ft et sur l�ensemble
fT <1g, la loi de Xt+s dépend seulement de XT et égale à Ps (XT ; :) :
- Processus semi-stable
Dé�nition 1.27
Soit (Xt)t�0 un processus fortement markovien stationnaire issu de l�origine.
Le processus (Xt)t�0 est dit semi-stable d�ordre � si pour tout c > 0 les proces-
sus (Xct)t�0 et (c�Xt)t�0 ont même loi de distribution pour tout temps t1; t2; : : : ; tn:
Il est clair qu�un processus stable est un processus semi-stable.
- Processus de di¤usion
Soient a; b deux fonctions de Rd à valeurs respectivement dans Rd �Rd et Rd
telles que.
i ) Les applications x 7! a (x) et x 7! b (x) sont mesurables ( pour les tribus
boréliennes ) et localement bornées.
ii ) Pour tout x, la matrice a (x) est symétrique et positive, c�est-a-dire que
pour tout � 2 Rd on a :
ha�; �i =dPi;j
aij�i�j � 0
On associe au couple (a; b) l�opérateur di¤érentiel du second ordre
Lf (x) =1
2
dPi;j=1
aij (x) @2ijf (x) +
dPi=1
b (x) @if (x)
où @2ij =@2
@xi@xjet @i =
@@xi
27
Dé�nition 1.28
Un processus de Markov (Xt)t�0 = (;F ;Ft; Xt;Px) à valeurs dans Rd est
appelé processus de di¤usion de générateur L si
i) les trajectoires de (Xt)t�0 sont continues,
ii) pour tout x 2 Rd et f 2 C1K on a :
Ex [f (Xt)] = f (x) + Ex�Z t
0
Lf (Xs) ds
�
où Ex est l�espérance sous Px et C1K est l�espace vectoriél des fonctions
indé�niment di¤érentiables à support compact.
On dira dans ce cas que (Xt )t�0 admet a pour matrice de di¤usion et b pour
coe¢ cient de dérivée.
1.3.8 Intégrale stochastique.
1.3.8.1 Intégrale de Wiener
Dans cette partie, on considère l�espace de Hilbert L2 (R+; dt) muni de la norme jjf jj2 =
�Z +1
0
f 2 (s) ds
� 12
!
Soit f une fonction en escalier, de la forme
f (x) =i=nPi=1
fi�11]ti�1;ti[;
On pose Z +1
0
f (s) dBs =i=nPi=1
fi�1 (B (ti)�B (ti�1))
La variable
I (f)def=
Z +1
0
f (s) dBs
28
est une variable gaussienne d�espérance nulle et de variance
Z +1
0
f 2 (s) ds
I (f) est appelé intégrale de Wiener.
- Propriétés
1� Linéarité de l�intégrale deWiener.
I (f + g) = I (f) + I (g)
2� Si f et g sont des fonctions en escalier, alors on a
E (I (f) I (g)) =Z 1
0
f (s) g (s) ds
- Cas général.
On montre en analyse que, si f 2 L2 (R+; dt) ; il existe une suite (fn) de
fonctions en escalier qui converge (dans L2 (R+; dt)) vers f , c�est-à-dire qui véri�e
que Z 1
0
jfn � f j2 (x) dx �!n!1
0
Dans ce cas, la suite (fn) est de Cauchy dans L2 (R+; dt) :
La suite de variables aléatoires
Fn =
Z +1
0
fn (s) dBs
est aussi une suite de Cauchy dans l�espace de Hilbert L2 ()
(en e¤et jjFn � Fmjj2 = jjfn � fmjj2 �!n;m!1
0), donc convergente. Notons que la
limite dépend de f et non de la suite (fn) :
29
On pose Z +1
0
f (s) dBsdef= lim
n!1
Z +1
0
fn (s) dBs
la limite étant prise dans L2 () :
On dit queR +10
f (s) dBs est l�intégrale stochastique (ou intégrale de Wiener) de
f par rapport à B:
Théorème 1.5 (Intégration par parties) (cf. [28] ).
Si f est une fonction de classe C1; alors
Z t
0
f (s) dBs = f (t)B (t)�Z t
0
f0(s)Bsds
1.3.8.2 Intégrale stochastique
On se donne un espace (;F ; P ) et un mouvement brownien (Bt)t�0 sur cet
espace, muni de la �ltration naturelle du (Bt)t�0.
On veut généraliser l�intégrale de Wiener et dé�nir
Z 1
0
�sdBs
pour des processus stochastiques �:
- Cas de processus étagés.
Dé�nition 1.29
On dit q�un processus � est étagé (ou élémentaire) s�il existe une subdivision de
réel
tj; 0 � t0 � t1 � : : : � tn � : : :
et une suite de variables aléatoires �j telle que �j est Ftj mesurable et
30
appartenant à L2 () et que �t = �j pour tout t 2 [tj; tj+1[ ; on a:
�s (!) =n�1Pj=0
�j (!)1[tj ;tj+1[ (s)
On dé�nit alors Z 1
0
�sdBs =n�1Pj=0
�j�Btj+1 �Btj
�On a
E�Z 1
0
�sdBs
�= 0 et V ar
�Z 1
0
�sdBs
�= E
�Z 1
0
�2sds
�
Notons que si t � 0, alors
Z t
0
�sdBs =n�1Pj=0
�j�Btj+1^t �Btj^t
�ce qui établit la continuité de l�application
t!Z t
0
�sdBs
- Conséquence.
Si (Tj) est une suite croissante de temps d�arrêt telle que
limn!1
Tn = +1
et si
�s =n�1Pj=0
�j1[Tj ;Tj+1[ (s)
où �j soit FTj -mesurable, appartiennent à L2 () ; alors
Z t
0
�sdBs=n�1Pj=0
�j�BTj+1^t �BTj^t
�
31
- Cas général.
On peut prolonger la dé�nition de l�intégrale stochastique à une classe plus large.
Dans ce cas on perd le caractère Gaussien de l�intégrale stochastique.
On considère l�ensemble S des processus càglàd à carré intégrable ( appartenant
à L2 (� R+) ), (Ft)-adaptés et tel que
jj�jj2 def= E�Z 1
0
�2sdBs
�<1
L�application � ! jj�jj dé�nit une norme qui fait de S un espace complet.
Notons que l�ensemble des processus simples est dense dans S:
On peut dé�nirR10�sdBs pour tous les processus � de S de la manière
suivante:
on approche � par des processus étagés, soit
� = limn!1
�n
où
�n =k(n)Pj=1
�nj 1[tj ;tj+1[
la limite étant au sens de L2 (� R+).
L�intégraleR10�sdBs est alors la limite dans L2 () des sommes
k(n)Pj=1
�nj�Btj+1^t �Btj^t
�dont l�espérance est 0 et la variance
E
"Pj
�2j (tj+1 � tj)
#
32
On note Z t
0
�sdBsdef=
Z 1
0
�s1]0;t[ (s) dBs
Si � est étagé Z t
0
�sdBs =Pj
�j�Btj+1^t �Btj^t
�Plus généralement, si � est un temps d�arrêt, le processus 1]0;� [ (t) est adapté
et on dé�nit Z �^t
0
�sdBs =
Z t
0
�s1]0;� [ (s) dBs
- Propriétés
On note � l�ensemble L2loc (� R+) des processus � adaptés càglàd véri�ant
E�Z t
0
�2sdBs
�<1; 8t
1�: Linéarité.
Soit a et b des constantes et ( �i; i = 1; 2 ) deux processus de �. On a
Z t
0
�a�1s + b�2s
�dBs = a
Z t
0
�1sdBs + b
Z t
0
�2sdBs
2�: Propriétés de martingale.
Mt =
Z t
0
�sdBs
où � 2 �:
i) Le processus (Mt)t�0 est une martingale à trajectoires continues.
ii) Soit
Nt =
�Z t
0
�sdBs
�2�Z t
0
�2sdBs
Alors le processus (Nt)t�0 est une martingale.
33
Remarque 1.1
On peut dé�nir Z t
0
�sdBs
pour des processus adaptés càglàd qui n�appartiennent pas nécessairement à L2 (� R) ;
mais véri�ent pour tout t;
E�Z t
0
�2sds
�<1 p:s
Dans ce cas (Mt)t�0 n�est pas nécessairement une martingale mais une martingale
locale et E (Mt) peut être non nul.
On a souvent besoin de majorations d�intégrales stochastiques. La proposition
suivante est une conséquence directe d�inégalité de Doob avec p = 2:
Proposition 1.6 ( Inégalité maximale )
Soit � 2 �
E
�sups�T
Z s
0
�udBu
�2!� 4E
�Z T
0
�udBu
�2!= 4
Z T
0
E��2u�du
1.3.8.3 Processus d�Itô.
Dé�nition 1.30
Un processus (Xt)t�0 est un processus d�Itô si
Xt = x+
Z t
0
�sds+
Z t
0
�sdBs
où � est un processus adapté tel queR t0j�sj ds existe (au sens de Lebesgue)
p.s. pour tout t; et � un processus appartenant à �:
34
En utilisant la notation di¤érentielle la plus concise suivante8>><>>:dXt = �tdt+ �tdBt
X0 = x
Le coe¢ cient � est le drift ou la dérivé, � est le coe¢ cient de di¤usion.
- Intégrale par rapport à un processus d�Itô
Soit (Xt)t�0 un processus d�Itô de di¤érentielle
dXt = �tdt+ �tdBt
On note ( sous réserve de conditions d�intégrabilité )
Z t
0
�sdXsdef=
Z t
0
�s�sds+
Z t
0
�s�sdBs
- Crochet d�un processus d�Itô
Théorème 1.7. ( cf. [28] ).
Soit Z une martingale continue de carré intégrable ( i.e E (supt Z2) < 1 ).
Alors il existe un unique processus croissant continu A tel que
�Z2t � At; t � 0
�soit une martingale.
Dé�nition 1.31
Le processus A est appellé le �crochet oblique�ou le crochet de Z: On le note
très souvent
At = hZ;Zit
ou encore hZit :
35
En utilisant ce vocabulaire cher aux probabilistes, il est démontré que le crochet
du mouvement Brownien est t et que le crochet de l�intégrale stochastique
Mt =
Z t
0
�sdBs
est Z t
0
�2sds
Dé�nition 1.32
Si M et N sont deux martingales locales continues, on dé�nit leur crochet par
hM;Nit =1
2hM +N;M +Nit � hM;Mit � hN;Nit
C�est l�unique processus à variation �nie telle que le processus MN �hM;Ni est
une martingale locale.
Dé�nition 1.33
Le crochet de deux intégrales stochastiques
Xt = x+
Z t
0
HsdBs et Yt = x+
Z t
0
KsdBs
est
hX; Y it =Z t
0
HsKsds
- Lemmes d�Itô.
- Première forme.
Soit (Xt)t�0 un processus d�Itô de di¤érentielle
dXt = �tdt+ �tdBt
36
Théorème 1.8 ( cf. [28] ).
Soit f une fonction de R dans R, de classe C2 à dérivées bornées. Alors on
a:
f (Xt) = f (X0) +
Z t
0
f 0 (Xs) dXs +1
2
Z t
0
f 00 (Xs)�2sds
ou encore
df (Xt) = f 0 (Xt) dXt +1
2f 00 (Xt)�
2tdt
- Règles de multiplication
On convient que:
dt:dt = 0; dt:dBt = 0; dBt:dBt = dt
- Cas bidimensionnel.
Théorème 1.9
Soit (X it)t�0 ; i = 1; 2 deux processus d�Itô tels que
dXi (t) = �i (t) dt+ �i (t) dBt
Soit f une fonction de R2 dans R de classe C2: Alors On a
df (X1 (t) ; X2 (t)) = f�01 (X1 (t) ; X2 (t)) dX1 (t) + f�02 (X1 (t) ; X2 (t)) dX2 (t)
+1
2
�f 0011�
21 (t) + 2f
0012�1 (t)�2 (t) + f 0022�
22 (t)
�(X1 (t) ; X2 (t)) dt
où f 0 désigne la dérivée par rapport à xi; i = 1; 2 et f 00ij la dérivée seconde par
rapport à xi; xj:
Sous forme condensée, on écrit
df (X1 (t) ; X2 (t)) =2Pi=1
f 0i (X1 (t) ; X2 (t)) dXi (t) +1
2
Pi;j
f 00ij (X1 (t) ; X2 (t))�i�jdt
37
- Intégration par parties, crochet
La formule d�Itô montre que
d [X1X2] (t) = X1 (t) dX2 (t) +X2 (t) dX1 (t) + �1 (t)�2 (t) dt
Cette formule est connue sous le nom d�intégration par parties.
La quantité �1 (t)�2 (t) correspond au crochet de X1 et X2; noté hX1; X2i est
dé�ni comme étant le processus à variation �nie
hX1; X2it =Z t
0
�1 (s)�2 (s) ds
- Cas vectoriel.
Soit (Xt)t�0 un processus d�Itô multidimensionnel de composantes (Xit ; i = 1; : : : ; n) ;
tel que
dXt = utdt+ vtdBt;
Soit 0BBBBBBBBBB@
dX1t
dX2t
...
dXnt
1CCCCCCCCCCA=
0BBBBBBBBBB@
u1
u2
...
un
1CCCCCCCCCCAdt+
0BBBBBBBBBB@
v11 v12 � � � v1p
v21 v22 � � � v2p
......
...
vp1 vp2 � � � vnp
1CCCCCCCCCCA
0BBBBBBBBBB@
dB1t
dB2t
: : :
dBpt
1CCCCCCCCCCASoit f une fonction dé�nie sur R+ � Rn de classe C1;2: Alors on a
df (t;Xt) = f 0t (t;Xt) dt+nPi=1
f 0i (t;Xt) dXi (t) +1
2
nPi;j=1
f 00ij (t;Xt) dXi (t) dXj (t)
où l�on a utilisé les conventions d�écrire
dBidBj = �ijdt; dBidt = 0; dtdt = 0
38
1.3.9 Equations di¤érentielles stochastiques
De manière informelle, on appelle équation di¤érentielle stochastique une équation
di¤érentielle ordinaire perturbée par un terme stochastique.
Plus précisément
Dé�nitions 1.34
Une équation di¤érentielle stochastique est une équation de la forme.
Xt = x+
Z t
0
� (s;Xs) ds+
Z t
0
� (s;Xs) dBs
ou sous sa forme di¤érentielle8>><>>:dXt = � (t;Xt) dt+ � (t;Xt) dBt
X0 = x
(1:17)
dBt est la di¤érentielle d�un mouvement brownien (Bt)t�0 ; � .et .� sont les
coe¢ cients de l�équation (1:17) ( ce sont des fonctions de R+ � R dans R ), et
X0 2 R est la valeur initiale.
- Un processus qui résout l�équation (1:17) est appelé processus de di¤usion, ou
simplement, une di¤usion.
- L�inconnu est le processus (Xt)t�0. Le problème est , comme pour une équation
di¤érentielle ordinaire, de montrer que sous certaines conditions sur les coe¢ cients
� et �, l�équation di¤érentielle a une unique solution. Il est utile de préciser les
données.
- Une solution de (1:17) est un processus (X t)t�0 continu (Ft)-adapté tel que
les intégrales Z t
0
� (s;Xs) ds et
Z t
0
� (s;Xs) dBs
39
aient un sens et l�égalité
Xt = x+
Z t
0
� (s;Xs) ds+
Z t
0
� (s;Xs) dBs
est satisfaite pour tout t; p:s:
Théorème 1.10 (d�existence et d�unicité) ( cf [27] ).
On suppose que
a) les fonctions � et � sont continues,
b) il existe K tel que pour tout t 2 [0; T ] ; x 2 R; y 2 R
i) j� (t; x)� � (t; y)j+ j� (t; x)� � (t; y)j � K jx� yj
ii) j� (t; x)j2 + j� (t; x)j2 � K2�1 + jxj2
�c) la condition initiale X0 est indépendante de (Bt)t�0 et est de carré intégrable.
Alors il existe une solution unique de (1:2) à trajectoires continues pour t � T:
De plus cette solution véri�e
E( sup0�t�T
jXtj2) <1
1.3.10 Formules de Feynman-Kac
Soient q; f deux fonctions bornées. On considère l�équation8>><>>:ut (t; x) =
12�2 (x)uxx (t; x) + � (x)ux (t; x) + q (x)u (t; x)
u (0; x) = f (x)
(1:18)
avec �; � sont lipschitziennes et �2 + �2 � A (1 + x2) pour A constante, alors
l�unique solution de l�équation (1:18) est donnée par
u (t; x) = E�f (x+Xt) exp
�Z t
0
q (x+Xs) ds
��
40
avec 8>><>>:X0 = 0
dXt = � (Xt) dt+ � (Xt) dBt
1.3.10.1 Equations paraboliques et formule de Feynman-Kac
- Equation de la chaleur en dimension 1
Considérons une barre métallique in�nie, assimilée à l�axe réel. Cette barre est
chau¤ée et on note f (x) sa température à l�instant t = 0 et pour la position x
sur la barre. Soit u (t; x) la température de la barre au temps t et à la position
x. Avec un choix approprié d�unités, on sait que la fonction u est solution d�une
équation au dérivées partielles, appelée équation de la chaleur
@u
@t=1
2
@2u
@x2(1.19)
avec la condition initiale u (0; x) = f (x) ; x 2 R que l�on suppose continue. On
a alors le théorème suivant:
Théorème 1.11 (cf [34])
1�Si u est une fonction continue sur [0;+1[ � R, de classe C1;2 sur
]0;+1[� R; est solution de (1:19) ; alors
u (t; x) = Ex (f (Bt)) =Z +1
�1f (y) p (t;x; y) dy; 8 (t; x) 2 [0;+1[� R (1.20)
où l�application y 7! p (t;x; y) est la densité de mouvement Brownien issue de
x au temps t.
(Cela entraîne donc l�unicité d�une telle solution).
41
2�Supposons qu�il existe a > 0 tel que
RR e
�ax2 jf (x)j dx <1; alors pour tout
0 < t < 12aet pour tout x 2 R; la fonction u dé�nie par (1:20) est dérivable à
tous ordres et est solution de (1:19) :
Cette fonction u est donc l�unique solution de l�équation (1:19), qui soit une
fonction continue sur [0;+1[� R et de classe C1;2 sur ]0;+1[� R:
1.3.10.2 Formule de Feynman-Kac multidimensionnelle
On va généraliser l�approche précédente à d�autre équations paraboliques. Plus
précisement, nous allons tout d�abord donner une représentation probabiliste de la
solution d�une équation rétrograde, apparaissant classiquement en mathématiques
�nancières.
Pour T > 0 �xé, introduisons l�équation:
8>><>>:�@v@t+ kv = 1
24v + g; (t; x) 2 [0; T [� Rd
v (T; x) = f (x) ; x 2 Rd(1.21)
Pour des fonctions
k : Rd ! [0;+1[ ; g : [0;+1[� Rd ! R et f : Rd ! R
les fonctions k; g; et f étant supposées continues et bornées.
Une solution v est dite solution du problème de Cauchy pour l�équation rétrograde
(1:21) avec potentiel k et Lagrangien g. Elle admet la représentation probabiliste
suivante:
Théorème 1.12 (cf [35])
Supposons que v soit une fonction de classe C1;2 sur [0; T [� Rd, solution de
42
(1:21). Alors v admet la représentation probabiliste:
v (t; x) = Ex�f (BT�t) exp
��Z T�t
0
k (Bs) ds
�+
Z T�t
0
g (t+ u;Bu) exp
��Z u
0
k (Bs) ds
�du
�;
0 � t � T; x 2 Rd
où Ex désigne l�espérance sous px la loi de mouvement brownien (B)t�0 issu
de x:
- Corollaire 1.1
Supposons que
f : Rd ! R; k : Rd ! [0;+1[ et g : [0;+1[� Rd ! R
sont continues bornées et que la fonction u de classe C1;2 sur ]0;+1[�Rd; est
solution de 8>><>>:@u@t+ ku = 1
24u+ g : (t; x) 2 ]0;+1[� Rd
u (0; x) = f (x) ; x 2 Rd
Alors u admet la représentation stochastique:
u (t; x) = Ex�f (Bt) exp
��Z t
0
k (Bs) ds
�+
Z t
0
g (t� u;Bu) exp
��Z u
0
k (Bs) ds
�du
�0 � t <1; x 2 Rd
Remarque 1.2
Dans le cas où g = 0, on peut voir u (t; x) comme la température au temps t
en un point x d�un milieu qui n�est pas un parfait conducteur, et qui dissipe de la
chaleur localement au taux k:
43
1.3.10.3 Problème de Cauchy pour des opérateurs généraux
On regarde ici la situation la plus générale que l�on peut obtenir par cette approche.
On considère un temps arbitraire T > 0; des fonctions
f : Rd ! R; k (t; x) : [0; T ]� Rd ! [0;+1[ et g (t; x) : [0; T ]� Rd ! R
continues telles qu�il existe L > 0 et � � 1 avec:
jf (x)j � L�1 +
���jxj2����� ou bien f (x) � 0; x 2 Rd
jg (t; x)j � L�1 +
���jxj2����� ou bien g (t; x) � 0; x 2 Rd
0 � t � T
On note At l�opérateur dé�ni par
Atf (x) =dPi=1
bi (t; x) f 0i (x) +1
2
dPi;j=1
�i;j (t; x) f 00i;j (x)
b et � satisfaisant les hypothèses de Lipschizianité et de croissance linéaire
jjb (t; x)� b (t; y)jj+ jj� (t; x)� � (t; y)jj � c jjx� yjj
jjb (t; 0) + � (t; y)jj � c
avec c est une constante positive, et soit X le processus solution de l�équation
di¤érentielle stochastique
X it = X i
0 +
Z t
0
bi (s;Xs) ds+qPj=1
Z t
0
�i;j (s;Xs) dWis ; i = 1; 2; : : : ; d
associée. On note Et;x l�espérance sous laquelle Xt = x: On a alors une forme
générale du théorème de Feynman-Kac.
Théorème 1.13 (cf [35])
44
Sous les hypothèses précédentes, soit v une fonction de classe C1;2 sur [0; T [�Rd;
satisfaisant au problème de Cauchy:8>><>>:�@vdt+ kv = Atv + g; (t; x) 2 [0; T [� Rd
v (T; x) = f (x) ; x 2 Rd
et à la condition de puissance polynomiale:
max0�t�T
jv (t; x)j �M�1 + jjxjj2�
�; x 2 Rd
pour M > 0 et � � 1: Alors v admet la représentation probabiliste suivante:
v (t; x) = Et;xhf (Xt) exp
��R Ttk (s;Xs) ds
�+R T0g (u;Xu) exp
��R utk (s;Xs) ds
�dui; 0 � t � T; x 2 Rd
1.3.11 Théoreme de Girsanov.
- Cas unidimensionnel
Proposition 1.14 ( cf [28] ).
Rappelons que deux probabilités P et Q sur (;Ft) sont dites équivalentes si
P << Q et Q << P:
Soient P et Q deux probabilités sur (;FT ). On suppose P et Q équivalentes.
Alors il existe (Lt)t�T ; une P -(Ft) martingale strictement positive telle que
Q = LTP sur FT et Q jFt= LtP jFt
c�est-à-dire telle que
EQ (X) = EP (LTX)
pour toute variable aléatoire X:
45
De plus,
L0 = 1 et EP (LT ) = 1:
Proposition 1.15 ( cf [28] ).
On a équivalence entre M est une Q-martingale et LM est une P -martingale.
Théorème 1.16 ( de Girsanov ). ( cf [26] ):
Soit (Bt)t�0 un mouvement brownien sur l�espace (;F ; P ) et (Ft) sa �ltration
naturelle.
Soit
Lt = exp
�Z t
0
�sdBs �1
2
Z t
0
�2sds
�; t � T
où � est un processus (Ft)-adapté ( autrement dit dLt = Lt�tdBt:). On suppose
E (LT ) = 1
Soit
dQ jFTdef= LTdP jFT
Le processus (Bt)t�0 s�écrit
Bt = eBt + Z t
0
�sds
où eB est un Q-mouvement brownien.
Sous la condition de Novikov
EP�exp
�1
2
Z T
0
�2ds
��<1
LT est une variable positive d�espérance 1 sous P et (Lt)t�0 est une P -
martingale.
46
Si LT n�est pas d�espérance 1; (Lt)t�0 est une sur martingale d�espérance
strictement plus petite que 1:
- Une façon d�utiliser le théorème de Girsanov est la généralisation suivante:
Proposition 1.17 ( cf [28] ):
Soit (Zt)t�0 une P -martingale locale continue et Q dé�nie sur Ft par
dQ = exp
�Zt �
1
2hZit
�dP = LtdP
On suppose que Q est une probabilité. Si (Nt)t�0 est une P -martingale locale
continue, le processus
�Nt � hN;Zit = Nt �
1
LthN;Lit ; t � 0
�
est une Q-martingale locale continue de crochet hNit :
- Cas vectoriel.
Proposition 1.18 ( cf [28] ):
Si�B(1)t
�t�0
et�B(2)t
�t�0
deux mouvements browniens standards indépendants
sous P et si dQ = LtdP avec Lt = L1TL2t et
Lit = exp
�Z t
0
�(i)s dB(i)s � 1
2
Z t
0
��(i)s
�2ds
�; i = 1; 2
alors
dLt = Lt
��(1)t dB
(1)t + �
(2)t dB
(2)t
�et
eB(i) = B(i)t �
Z t
0
�(i)s ds
47
sont des mouvements browniens sous Q.
Théorème 1.19 (cf [22]).
Soient l�espace probabilisé (;F ; P ) : On considère les variables aléatoires in-
dépendantes gaussiennes centrées réduites Z1; Z2; : : : ; Zn sur (;F ; P )
on donne le vecteur
(�1; �2; : : : ; �n) 2 Rn
et on considère la nouvelle probabilité Q sur (;F) donnée par
Q (dw) = exp
�nPi=1
�izi �1
2
nPi=1
�2i
�P [z1 2 dz1; : : : ; zn 2 dzn]
=1
(2�)n2
exp
��12
nPi=1
(zi � �i)2
�dZ1dZ2 : : : dZn
alors les variables aléatoires Z1; Z2; : : : ; Zn sont indépendantes gaussiennes sous
Q avec
EQ (Zi) = �i et EQ�(Zi � �i)
2� = 1Le théorème suivant a été prouvé d�abord par Camrron et Martin en 1944, en
suite par Girsanov en 1960.
Théorème 1.20 (cf [15]).
Soient l�espace probabilisé (;F ; P ) ;
B =nBt =
�B(1)t ; : : : ; B
(d)t
�;Ft; 0 � t <1
omouvement brownien d-dimensionnel issu de 0 et
X =nXt =
�X(1)t ; X
(2)t ; : : : ; X
(d)t
�;Ft; 0 � t <1
oun vecteur de processus stochastiques mesurables adaptés satisfaisant:
P
�Z T
0
�X(i)t
�2dt <1
�= 1; 1 � i � d; 0 � T <1
48
Soit le processus Z (X) dé�ni par
Zt (X) = exp
�dPi=1
Z t
0
X(i)s dB
(i)s � 1
2
Z t
0
jjXsjj2 ds�
et soit le processus
eB = n eBt = � eB(1)t ; : : : ; eB(d)
t
�;Ft; 0 � t <1
odé�ni par
eB(i)t = W
(i)t �
Z t
0
X(i)s ds; 1 � i � d; 0 � t <1
alors Z (X) est une martingale, et le processus fW est un d-dimensionnel
mouvement brownien sur (;FT ; QT ) :
49
Chapitre 02
Théorème de Pitman.
50
Chapitre 02
Théorème de Pitman.
Le but de ce chapitre est de prouver le théorème de J.W. Pitman et de montrer
que le mouvement brownien géométrique de paramètre �, divisé par sa variation
quadratique est une di¤usion.
2.1 Théorème de Pitman.
Dé�nition 2.1
On appelle processus de Bessel d�ordre n issu de 0, le processus (�t)t�0 dé�ni
par �t = jjBtjj ; où (Bt)t�0 est un mouvement brownien à valeurs dans Rn; issu
de 0, et jj:jj désigne la norme euclidienne.
Dé�nition 2.2
Un processus de Lévy est un processus à accroissements indépendants et station-
naires.
Si (Xt)t�0 est un processus de Lévy, Xt � Xs avec t > s est indépendant
de l�histoire du processus avant le temps s et sa loi ne dépend pas de t ou s
séparément mais seulement de t� s:
Le théorème suivant est une version du théorème de Pitman
Théorème 2.1 (cf [6])
a) Soit (Bt)t�0 un mouvement brownien réel issu de 0, et soit St = sups�t
Bs:
Alors 2S �B a même loi qu�un processus de Bessel d�ordre 3 issu de 0:
51
b) Soit (Zt )t�0 un processus de Bessel d�ordre 3 issu de 0; et soit Jt = infs�tZs:
Alors 2J � Z est un mouvement brownien .
Si (�t)t�0 est un processus de Bessel d�ordre n; issu de 0; il découle d�une
application simple de la formule d�Itô que:
a) ��2t � nt
�t�0
est une martingale continue de processus croissant égale à
4
Z t
0
�2sds
b) Si sur un espace de probabilité �ltré, (�t)t�0 est un processus à valeurs
positives, nul en 0; qui véri�e (a), (�t)t�0 est ( en loi ) un processus de Bessel
d�ordre n:
Théorème 2.2 ( P. Lévy )
Soit (Bt)t�0 un mouvement brownien réel issu de 0, et soit St = sups�t
Bs:
Alors
Y = S �B
est (en loi) un processus de Bessel d�ordre 1; issu de 0.
Preuve
comme
Yt = St �Bt
d�après Itô ( formule d�intégration par partie ) on�a
dY 2 = 2Y dY + dt
52
alors
Y 2 = 2
Z t
0
YsdYs + t
= �2Z t
0
YsdBs + t
car la mesure aléatoire dSs est portée sur fs j Bs = Ssg
et commeR t0YsdBs est une martingale, par conséquent, � = Y véri�e (a) avec
n = 1; et donc d�aprés (b) Y est un processus de Bessel d�ordre 1 �
Théorème 2.3 (de P.Lévy). (cf [25]) :
Si (Bt)t�0 est un mouvement brownien standard sur R, et si
Ht = mins�t
Bs
Alors
(Yt) = (Bt �Ht)
est un mouvement brownien avec 0 comme borne inférieure.
2.2 Théorème de Pitman pour les mouvements browniens
Le processus d�Ornstein-Uhlenbek de paramètre � 2 R; solution de l�équation de
Langevin
8>><>>:dXt = dBt � �Xtdt
X0 = x
s�exprime en terme du mouvement brownien (Bt)t�0, comme
Xt = exp (��t)�x+
Z t
0
exp (�s) dBs
�; t � 0 (2.1)
53
qui reste toujours valable si l�on remplace dans (2:1) les processus (Bs)s�0 et
(�s)s�0 par deux processus de Lévy indépendants (Cs)s�0 et (�s)s�0 respectivement
appelés processus conducteur et processus de dérivée.
Le processus
Xt = exp (��t)�x+
Z t
0
exp (�s) dCs
�; t � 0
est encore un processus de Markov relativement à la �ltration naturelle de couple
f(Ct; �t) ; t � 0g
On s� intéresse en particulier au cas où �t = aB(�)t , multiple du mouvement
brownien avec «drift» � et Ct = t:
Plus généralement, on pose la question de s�avoir si
Y a;bt = exp
��aB(�)
t
��x+
Z t
0
exp�bB(�)
s
�dCs
�; t � 0
est une di¤usion par rapport à la �ltration naturelle . La réponse est a¢ rmative
seulement pour a = b:
Si x = 0, outre le cas précédent où b = a, on répond a¢ rmativement dans le
cas où b = 2a, la �ltration naturelle de Y a;2at étant alors strictement contenue dans
celle de B(�)t :
On conjecturera que, pour b =2 fa; 2ag et x = 0, Y a;bt n�est pas une di¤usion.
2.3 Théorème de Lévy-Pitman pour le mouvement brownien avec drift
Soit B = (Bt)t�0 un mouvement brownien unidimensionnel standard et soit
B(�) =�B(�)t
�t�0
54
le mouvement brownien avec drift constant � dé�ni par
B(�)t = Bt + �t
On pose
St = sups�t
Bs; et S(�)t = sup
s�tB(�)s
et on note par L(�)t le temps local de B(�) en 0:
Théorème 2.4 (cf [12]) :
Soit � 2 R: Alors on a l�identité en loi suivante:
n�S(�)t �B
(�)t ; S
(�)t
�; t � 0
oloi=n����X(�)
t
��� ; `(�)t � ; t � 0oavec X(�) =
�X(�)t
�t�0
est le processus de di¤usion avec paramètre �, ayant
comme générateur in�nitésimal
1
2
d2
dx2� �sgn (x)
d
dx
et (`�t )t�0 est le temps local de X(�) en 0: En outre la �ltration naturelle de
nS(�)t �B
(�)t ; t � 0
oest identique à celle de B(�):
Théorème 2.5 (cf [31]) :
Soient � � 0;��(�)t
�t�0
un processus de di¤usion issu de 0 de paramètre �;
ayant comme générateur in�nitésimal,
1
2
d2
dx2� � coth (�x)
d
dx
55
et
J�t = infs�t�(�)s
Alors on a:
i ) L�identité en loi
n�2S
(�)t �B
(�)t ; S
(�)t
�; t � 0
oloi=n��(�)t ; J
(�)t
�; t � 0
o
ii) La �ltration naturelle de
n2S
(�)t �B
(�)t ; t � 0
o
est strictement incluse dans celle de B(�)
iii ) Les processus de di¤usion
n2S
(�)t �B
(�)t ; t � 0
oet
n2S
(��)t �B
(��)t ; t � 0
o
ont même distribution.
Remarque 2.1�X(0)t
�t�0
et��(0)t
�t�0
sont respectivement mouvement brownien et processus
de Bessel d�ordre 3.
Théorème 2.6 (c.f [32]) :
Soit � 2 R: Alors la distribution de B(�)t étand.donné G(�)t et 2S(�)t �B(�)
t = r
est
P�B(�)t 2 dx j G(�)t ; 2S
(�)t �B
(�)t = r
�=� cosh (�x)
2 sinh (�r)I[�r;r] (x) dx
56
2.4 Extensions du théorème de Lévy au mouvement brownien géométrique
Au mouvement brownien
B(�) =�B(�)t
�t�0
avec drift �, on associe le mouvement brownien géométrique correspondant dé�ni
par
e(�)t = exp
�B(�)t
�qui admet comme variation quadratique:
A(�)t =
Z t
0
�e(�)s�2ds
On considère les trois processus stochastiques suivants:
�(�)t =
�e(�)t
��2A(�)t ; Z
(�)t =
�e(�)t
��1A(�)t
et
�a;bt = exp��aB(�)
t
���0 +
Z t
0
exp��bB(�)
s
�ds
�pour �; �0; a; b 2 R:
la formule d�Itô donne:
�a;bt = �0 � a
Z t
0
�a;bt dB(�)s +
a2
2
Z t
0
�a;bt ds+
Z t
0
(b� a)B(�)s ds
En particulier,
Si a = b;��a;bt
�t�0
est une di¤usion sur R+; engendrée par l�opérateur
di¤érentiel du second ordre
57
a2
2x2
d2
dx2+
��a2
2� a�
�x+ 1
�d
dx(2.2)
et pour a = 2; on a le théorème suivant:
Théorème 2.7 (cf [16]) :
Soit � 2 R: Alors
i)��(�)t
�t�0
est un processus de di¤usion sa �ltration naturelle est la même que
celle de B(�)et ayant (2:2) comme générateur pour a = 2. Dans ce cas
�2;2t = �(�)t ; t � 0
ii)
�(�)t
loi=
Z t
0
exp��2B(�)
s
�ds
loi=
Z t
0
exp�2B(��)
s
�ds
Théorème 2.8 (cf [16]) :
Soit � 2 R; et Z(�) =�Z(�)t
�t�0
: Alors
i) Z(�) est un processus de di¤usion dont la �ltration naturelle est strictement
contenue dans celle de B(�):
ii) Les processus de di¤usion Z(�) et Z(��) ont la même distribution.
Proposition 2.9 (cf [16]) :
Soit � 2 R; pour tout t > 0; la distribution conditionnelle de B(�)t donnée
Z(�)t est
P�B(�)t 2 dx jZ(�)t = z
�=exp (�x)
2K�
�1z
� exp��cosh (x)z
�dx
58
Théorème 2.10 (cf [16]):
Soit � 2 R et c > 0; alors le processus stochastique
�c log
�Z t
0
exp
��2cB(�)s
�ds
�+B
(�)t �c log c2; t > 0
�
est un processus de di¤usion ayant comme générateur in�nitésimal l�opérateur
L(�);c =1
2
d2
dx2+ b(�);c (x)
d
dx
ou le drift b(�);c est donné par
b(�);c = ��+ 1ce�
xc
�K1+�c
K�c
��e�
xc
�=
d
dxlogK�c
�e�
xc
�En particulier, dans le cas où c = 1; le processus
�B(�)t + log
�Z t
0
e�2B(�)(s)ds
�; t � 0
�est une di¤usion ayant comme générateur in�nitésimal l�opérateur
1
2
d2
dx2+
�d
dxlogK�
�e�x�� d
x
où K� est la fonction de Macdonaled donnée par (1:11)
59
Chapitre 03
Fonctionnelles exponentielles du mouvementbrownien
60
Chapitre 03
Fonctionnelles exponentielles du mouvementbrownien
3.1 Fonctionnelle exponentielle
Dan cette partie on veut examiner les lois des fonctionnelles A(�)t avec di¤érent
drift, on commence par des cas simples � = 0 ou 1; puis le cas ou � entier positif,
puis on va généraliser pour � réel.
3.1.1 Relation de Lemperti
Soit (Bt)t�0 un mouvement brownien issu de 0 et � > 0; on considère la
fonctionnelle exponentielle de (Bt)t�0 dé�nie par
A(�)t =
Z t
0
exp [�2 (Bs + �s)] ds
Notons que la relation de Lemperti suggère une relation entre les processus de
Lévy et les processus de Markov semi stable de la manière suivante:
Etant donné un processus de Lévy (�t)t�0, alors il existe un processus de Markov
semi- stable (Xu)u�0 tel que:
exp (�t) = X
�Z t
0
exp (2�s) ds
�En particulier on a
exp [� (Bt + �t)] = R
�Z t
0
exp [�2 (Bs + �s)] ds
�(3.1)
61
avec (Ru)u�0 est un processus de Bessel.
Théorème 3.1 (cf [31; 32] :
On désigne par P(�)x la loi de probabilité du processus de Bessel R(�) issu de x
sur l�espace des trajectoires canoniques C ([0;1[ �! R), Rt la �ltration naturelle
du processus (Ru) et � c (X) le temps d�atteinte à c 2 R du processus stochastique
(Xt)t�0 : on a les relations suivantes:
1) Il existe un processus de Bessel R(�) =�R(�)u
�, avec R
(�)0 = 1; et un nombre
réel � satisfait
exp (Bt + �t) = R(�)
A(�)t
; t � 0 (3.2)
Quand � < 0, on voit que A(�)1 est �ni et de la formule (3:2) que
A(�)1 = inf�s; R(�)s = 0
<1
2)
pour � � 0 et x > 0
P (�)x jRt =
�Rtx
��exp
���
2
2
Z t
0
ds
(Rs)2
�P (0)x jRt (3.3)
pour � < 0 et x > 0
P (�)x
��Rt\ft<�0(R)g =
�Rtx
��exp
0B@��22
Z t
0
ds�R(�)s
�21CAP (0)x jRt (3.4)
3)
E�exp (��) (Rt)2
�=
1
(1 + 2�t)exp
�� x2�
1 + 2�t
�; � � 0 (3.5)
62
3.1.2 La densité de probabilité de A(�)t
Soit f� (x; t) la densité de 1
2A(�)t
, et soient
p� (x; t) = exp
��2t
2
�f� (x; t)
et
h�;r (s; t) = h (s; t) = exp
��2t
2
�E�2A
(�)t
��rexp
s
2A(�)t
!
= E exp (�Bt)�2A
(0)t
��rexp
s
2A(0)t
!
La formule d�inversion de la transformée de Laplace donne:
p� (x; t) =x�r
2�i
Z4esxh�;r (�s; t) ds (3.6)
où la trajectoire d�intégration 4 varie de c� i1 à c+ i1; avec c 2 R .
Théorème 3.2 (cf [10])
Pour tout �; r 2 R; Re (s) < 1; t > 0
h�;r (s; t) = (1� s)��r h2r��;r (s; t)
Théorème 3.3
Pour t; x > 0, on a:
P0 (x; t) = x�12
Z4esxk (s; t) ds (3.7)
= 2x�12
Z 1
0
exp��x cosh2 y
�q (y; t) cos
��y2t
�dy
P1 (x; t) = x�12
Z4esxk (s; t)
p1 + sds (3.8)
2x�12
Z 1
0
exp��x cosh2 y
�q (y; t) sinh y sin
��y2t
�dy
63
où
k (s; t) =exp
��arcsinh2
ps
2t
�2�ip2t (1 + s)
; q (y; t) =exp
��2
8t� y2
2t
��p2t
cosh y
De plus pour � = 0 ou 1 et t > 0 la fonction x 7�! p� (x; t) est C1 (R+) :
Preuve
Les formules (3:7) et (3:8) sont obtenues par changement de la trajectoire 4
d�intégration de (3:6) : on considère P0 en détail, l�autre cas est le même.
pour arg s 2 ]��; �[, 4 peut être remplacè par
4�;" =��1 + �e�i�; �1 + �e�i�; �1 + �ei�; " � � <1; �� < � < �
avec 1
2� < � < �; " > 0: On a alors � croît vers � et " décroît vers 0: Dans
la limite la contribution d�intégral sur le long de cercle autour �1 est nulle, comme
arcsinhz est uniformément bornée aux voisinage de �1; donc limz!0
zK (z � 1) = 0;
on sait que
arcsinhp"ei� � 1 = log(
p"ei� � 1 +
p"ei�
tend vers �12i� quand " décroît vers 0; selon le signe de � 2 ]��; �[ : On a
donc 4�;0 varie de 1 à +1: D�ou,
x12P0 (x; t) =
Z 1
1
e�ux�K�ue�i�; t
��K
�uei�; t
��du
=
Z 1
1
e�(v+1)x�K�(v + 1) e�i�; t
��K
�(v + 1) ei�; t
��dv
Maintenant (1 + (v + 1) e�i�)12 = �iv 12 et
arcsinhp(v + 1) e�i� = log
�p(v + 1) e�i� +
p1 + (v + 1) e�i�
�= log
�p(v + 1) +
pv�� i�
2
64
par conséquent
P0 (x; t) =e�2
8t
�p2tx
Z 1
0
1pvexp
�� (v + 1) x� 1
2t
�arcsinh
pv�2�
�12
�exp
�i�
2arcsinh
pv
�+ exp
��i�2arcsinh
pv
��dv
=e�2
8t
�p2tx
Z 1
0
1pvexp
�� (v + 1) x� 1
2t
�arcsinh
pv�2�
cos�arcsinh
pv�dv
=e�2
8t
�p2tx
Z 1
0
1pvexp
��x cosh2 y � y2
2t
�cosh y cos
��y2t
�dy:
Dans le cas de P1, le raisonnement est le même, la seule di¤érence est le facteur
(1 + s)12 =
�1 + (v + 1) e�i�
� 12 = �iv 12 = �i sinh y
lequel a l�e¤et de remplacer cos��y2t
�par sin
��y2t
�dans la dernière intégrale.
Remarque 3.1
On peut généraliser ce théorème pour � entier positif comme suit:
Théorème 3.4
Cas où � = 2n; (n 2 N) on a:
P2n (x; t) = x�n�12
Z4k (s; t) esxn!L
� 12
n (� (1 + s)x) ds
= 2x�n�12
Z 1
0
exp��x cosh2 y
�q (y; t) cos
��y2t
�n!L
� 12
n
�x sinh2 y
�dy
= x�n�12
Z +1
�1exp
��x cosh2 y
�q (y; t) exp
�i�y
2t
�n!L
� 12
n
�x sinh2 y
�dy
Cas où � = 2n+ 1; (n 2 N) on a:
P2n+1 (x; t) = x�n�12
Z4k (s; t) esx
p1 + sn!L
12n (� (1 + s)x) ds
P2n+1 (x; t) = 2x�n�12
Z 1
0
exp��x cosh2 y
�q (y; t)
px sinh y sin
��y2t
�n!L
12n
�x sinh2 y
�dy
= ix�n�12
Z +1
�1exp
��x cosh2 y
�q (y; t)
px sinh y exp
�i�y
2t
�n!L
12n
�x sinh2 y
�dy
65
Les relations entre les polynômes de Laguere et d�Hermite données par (1:5)
rendent possible de réécrire les expressions précédentes pour P2n et P2n+1 en une
seule formule à savoir
Pm (x; t) = (2i)�m x�m+12
Z +1
�1exp
��x cosh2 y
�q (x; y) exp
�i�y
2t
�Hm
�px sinh y
�dy
m = 0; 1; : : : (3.9)
Le théorème suivant montre que la même formule reste valable pour m 2 N est
remplacé par � 2 R: Les polynômes d�Hermite donnés par (1:8) sont alors remplacés
par les fonctions d�Hermite données par (1:9) :
Théorème 3.5
Soient � 2 R; t; x > 0 et
q (y; t) =exp
��2
8t� y2
2t
��p2t
cosh y
la fonction de densité de 1
2A(�)t
est donnée par la formule:
P� (x; t) = 2��x�
(�+1)2
Z +1
�1exp (�x cosh y) q (y; t) cos
��2
�yt� �
��H�
�px sinh y
�dy
(3.10)
La densité de probabilité est une fonction entière en �; quand � est un entier
non négatif. La fonction d�Hermite H� se réduit au polynôme donné par (1:8)
De plus on a les expressions équivalentes suivantes:
66
a) Si � 6= �1; �3; : : :
P� (x; t) = 2x�(�+1)2 e�x
��12(�+ 1)
���12
��Z 1
0
q (y; t) cos��y2t
��
�1
2(�+ 1) ;
1
2;�x sinh2 y
�dy (3.11)
= 2x�(�+1)2 e�x
��12(�+ 1)
���12
��Z 1
0
exp��x cosh2 y
�q (y; t) cos
��y2t
��
��12�;1
2; x sinh2 y
�dy(3.12)
b) Si � 6= �2; �4; : : :
P� (x; t) = 2x��2 e�x
��12�+ 1
���32
��Z 1
0
q (y; t) sinh y sin��y2t
��
�1
2�+ 1;
3
2;�x sinh2 y
�dy (3.13)
= 2x��2 e�x
��12�+ 1
���32
��Z 1
0
exp��x cosh2 y
�q (y; t) sinh y sin
��y2t
��
�1
2(1� �) ;
3
2; x sinh2 y
�dy(3.14)
Preuve
Soient, x > 0; � < n; n 2 N: D�après ( le théorème 3:2), on a
h�;n+�2 (s; t) = (1� s)
��n2 hn;
n+�2 (s; t)
et donc
P� (x; t) =x�
n+�2 e�x
��12(n� �)
� Z x
0
(x� y)n��2�1 y
n+�2 eypn (y; t) dy (3.15)
Soit epx;t (�) le second membre de (3:15), dé�ni pour Re (�) < n: D�aprés la
formule (3:9) ; epx;t (�) est analytique sur fRe (�) < ng ; pour tout n 2 N; il
résulte alors que epx;t (�) est une fonction entière de � et coincide avec px;t (�)
pour � 2 R:
67
En réécrivant (3:7) et (3:8)
P0 (y; t) = y�12
Z +1
�1exp
��y cosh2 u
�exp
�i�u
2t
�q (u; t) du
où
P1 (y; t) = �iy�12
Z +1
�1exp
��y cosh2 u
�sinhu exp
�i�u
2t
�q (u; t) du
Si n = 0 et �1 < � < 0; (3:15) devient
x�2 exp� (x; t)
=1
���12�� Z x
0
(x� y)��2�1 y
��12 ey
Z +1
�1exp
��y cosh2 u
�exp
�i�u
2t
�q (u; t) dudy
=1
���12�� Z +1
�1exp
�i�u
2t
�q (u; t)
Z x
0
(x� y)��2�1 y
��12 exp
��y sinh2 u
�dydu
=x�
12
���12�� Z +1
�1exp
�i�u
2t
�q (u; t)
Z 1
0
(1� v)��2�1 v
��12 exp
��vx sinh2 u
�dvdu
=x�
12��12(�+ 1)
���12
� Z +1
�1exp
�i�u
2t
�q (u; t) �
�1
2(�+ 1) ;
1
2;�x sinh2 u
�du (3.16)
=x�
12��12(�+ 1)
���12
� Z +1
�1exp
�i�u
2t
�q (u; t) exp
��x sinh2 u
��
��12�;1
2; x sinh2 u
�du(3.17)
L�échange d�intégrale est justi�é par la convergence absolue de l�integrale dou-
ble. Ces deux dernières égalités résultent des propriétés usuelles de la fonction
hpergéométrique (1:3)
On a également pour
68
n = 0 et �2 < � < 1; (3:14) devient
x�+12 exp� (x; t)
=1
��12(1� �)
� Z x
0
(x� y)�(�+1)
2 y(�+1)2 eyp1 (y; t) dy
=�i
��12(1� �)
� Z x
0
(x� y)�(�+1)
2 y�2 eyZ +1
�1exp
��y cosh2 u
�sinhu exp
�i�u
2t
�q (u; t) dudy
=�i
��12(1� �)
� Z +1
�1sinhu exp
�i�u
2t
�q (u; t)
Z x
0
(x� y)�(�+1)
2 y�2 exp
��y sinh2 u
�dydu
=�ix 1
2
��12(1� �)
� Z +1
�1sinhu exp
�i�u
2t
�q (u; t)
Z 1
0
(1� v)�(�+1)
2 v�2 exp
��vx sinh2 u
�dvdu
=x�
12��12(�+ 1)
���32
� Z +1
�1sinhu exp
�i�u
2t
�q (u; t) �
�1
2�+ 1;
3
2;�x sinh2 u
�du (3.18)
=x�
12��12(�+ 1)
���32
��Z +1
�1sinhu exp
�i�u
2t
�q (u; t) exp
��x sinh2 u
��
�1
2(1� �) ;
3
2;�x sinh2 u
�du (3.19)
Les équations (3:16), (3:19) sont deux expressions di¤érentes pour la même
fonction, si �1 < � < 0:
. Appliquons respectivement les poids suivants à (3:17) et (3:19) :
1
2
�1 + ei��
�;
1
2
�1� ei��
�:
On déduit alors
x(�+1)2 p� (x; t) =
Z +1
�1e�x cosh
2 uei�u(2t) q (u; t)��
�z2�du; �1 < � < 0
où z =px sinhu; et en utilisant la formule
� (!) =�
sin (�!) � (1� !)
69
on obtient
���z2�=
1
2
�1 + e�i��
� � �12(�+ 1)
���12
� �
��12�;1
2; z2�
� i2
�1� e�i��
� � �12(�+ 1)
���32
� z�
�1
2(1� �) ;
3
2; z2�
=1 + e�i��
2 sin���12(�+ 1)
�� ��12
���12(1� �)
����12�;1
2; z2�
+i (1� e�i��)
2 sin���12(�+ 1)
�� � ��12
����12��z��1
2(1� �) ;
3
2; z2�
=1 + e�i��
ei��2 + e�
�i��2
��12
���12(1� �)
����12�;1
2; z2�
+1� e�i��
ei��2 � e�
�i��2
���12
����12��z��1
2(1� �) ;
3
2; z2�
= e��i��2
��12
���12(1� �)
����12�;1
2; z2�
+e��i��2���12
����12��z��1
2(1� �) ;
3
2; z2�
= 2��e��i��2 H� (z)
d�où (3:10) pour �1 < � < 0 . Mais le second membre ep� (x; t) de (3:10)
est une fonction entière de �, comme il est montré par la représentation intégrale de
H� donnée par (1:15). L�équation (3:10) tient pour tout � 2 R par continuité
analytique, puisque p� (x; t) coïncide avec la fonction entière ep� (x; t) pour � 2 R:
Les formules (3:11) et (3:12) sont obtenues en notant que les expressions (3:16)
et (3:17) sont des fonctions entières de �, et sont divisées par ��12(�+ 1)
�. La
même discussion s�applique pour les formules (3:18) et (3:19), pour avoir (3:13) et
(3:14). �
70
Théorème 3.6 (cf [17])
Pour tout t > 0. On a:
P (At 2 dt) =dup2�u3
1p2�t
ZRcosh (y) exp
"�(cosh (y))
2
2��y + i�
2
�2t
#dy
et
limt!1
p2�tP (At 2 dt) =
1
uexp
�� 1
2u
�du; u > 0
Théorème 3.7
Soient � > 0 et � est une variable aléatoire Gamma distribuée de paramètre
�: Alors A(��)1 et
�2 ���1
ont même distribution.
Preuve
Soientne(�)x (t)
ole processus de di¤usion dé�ni par
e(�)x (t) = x exp�B(�)t
�et � z est le temps d�atteinte de z.
Pour � > 0; la fonction
vz (x; �) = E�exp
���
2
2
Z �z
0
�e(�)x (t)
��2dt
��est la solution de l�équation di¤érentielle ordinaire du second ordre8>><>>:
12x2v00 (x) +
��+ 1
2
�xv0 (x) = �2
2x2v (x)
v (z) = 1; limx#0v (x) = 0
De plus on a:
limz!1
vz (x; �) = E�exp
�� �2
2x2
Z 1
0
e�2B(�)t dt
��= E
�exp
�� �2
2x2A(��)1
��= ev �x
�
�(3.20)
71
où
ev (z) = E �exp�� 1
2z2A(��)1
��D�autre part les changements de variable
� =x
�et ev �x
�
�= ��� (�)
donnent:
�00 (�) +1
��0 (�)�
�1 +
�2
�2
�� (�) = 0
Notons que la condition aux limites de vz impose que lim�#0v (�) = 0; et on obtient
la solution de cette équation di¤érentielle sous la forme:
� (�) =� z�
�� K� (�)
K�
��z
�et par conséquent
ev �x�
�=� z�
�� K�
��x
�K�
��z
�d�où d�aprés la formule
K� (�) = 2��1� (�) (1 +O (1)) quand � ! 0
et en mettant x = 1; la formule (3:20) donne
E�exp
��12�2A(��)1
��=
2
� (�)
��2
��K� (�)
Finalement, par l�utilisation de la représentation intégrale de K� donnée par
(1:11)
et par l�application de l�injectivité de la transformée de Laplace on arrive à la
démonstration �
72
3.1.3 La loi de A(�)t à temps exponentiels
Le théorème suivant exprime la distribution de�A(�)t ; B
(�)t
�Théorème 3.8
Soit t > 0 �xè. Alors on a pour u > 0 et x 2 R :
P�A(�)t 2 du;B(�)
t 2 dx�= exp
��x� �2t
2
�exp
��1 + e
2u
2u
��
�ex
u; t
�dudx
u
(3.21)
où � et la fonction dé�nie par
� (r; t) =r
(2�3)12
exp
��2
2t
�Z 1
0
exp
��y
2
2t
�exp (�r cosh (y)) sinh (y) sin
��yt
�dy
Preuve
On considère l�opérateur de Schrödinger H�; � > 0; sur R appelé potentiel de
Liouville donné par
H� = �1
2
d2
dx2+1
2�2e2x; � 2 R
Alors en utilisant les propriétés de la fonction de Bessel modi�ée , nous pouvons
démontrer que la fonction de Green
G
�x; y;
�2
2
�=
�H� +
�2
2
�(x; y) ; � > 0
est donée par
G
�x; y;
�2
2
�= 2I� (�e
x)K� (�ey) = 2F� (�e
x; �ey) ; x � y
où F� est la fonction dé�nie par (1:13)
et I� (x)K� (y) et Ij�j (r) sont dé�nies respectivement par (1:14) et (1:12)
Soit q� (t; x; y) le noyau de la chaleur associe au semi-groupe exp (�tH�) ; t > 0
73
Alors on a d�après la formule de Feynman Kac
q� (t; x; y) = E�exp
��12�2e2xAt
�j Bt = y � x
�1p2�t
exp�(y � x)2
2t(3.22)
=
Z 1
0
exp
���
2t
2
�q� (t; x; y) dt = G
�x; y;
�2
2
�Rappelons la représentation de l�intégrale (1:14) pour le produit de deux fonctions
de Bessel modi�ées, alors si on remplace dans (3:22) x par 0 , on obtient de (1:4)Z 1
0
1p2�t
exp
��y
2
2t� �2t
2
�dt
Z 1
0
exp
���
2u
2
�p (At 2 du j Bt = y)
=
Z 1
0
exp
��12u� �2 (1 + e2y)
2u
�I�
��2ey
u
�du
u
=
Z 1
0
exp
��12u� �2 (1 + e2y)
2u
�du
u
Z 1
0
exp
���
2t
2
��
��2ey
u; t
�dt
En utilisant le théorème de Fubini, on peut directement invertir la double trans-
formée de Laplace et on obtient
P (At 2 du j Bt = y)1p2�t
exp
��y
2
2t
�= exp
��1 + e
2y
2u
��
�ey
u; t
�du
u
ce qui est équivalent à (3:21) pour � = 0: �
Remarque 3.2
On peut présenter le noyau de la chaleur obtenu dans (3:22) sous la forme explicite
suivante:
q� (t; x; y) =
Z 1
0
exp
���2� �2 (e2x + e2y)
2�
��
��2ex+y
�; t
�d�
�
Si on remplace le temps t par T�, on obtient le théorème suivant:
Théorème 3.9
Soient � 2 R et � > 0 et soient Z1;a, b deux variables aléatoires de loi
respectivement beta avec paramètres (1; a) et gamma de paramètre b:
74
Alors on a l�identité en loi suivante:
A(�)T�
loi=Z1;a2 b
(3.23)
où
a =
p2�+ �2 + �
2et b =
p2�+ �2 � �
2
De plus Z1;a et b sont indépendantes.
Preuve
La relation de Lemperti (3:1) donne
P�A(�)T�� u
�= �
Z 1
0
e��tP�A(�)t � u
�dt
= �
Z 1
0
e��tP��(�)u � u
�dt = E
�exp
����(�)u
��où
�(�)u =
Z u
0
1�R(�)v
�2dvDe plus d�aprés les relations (3:3) et (3:4) on a:
E�exp
����(�)u
��= E
��R(0)u
��exp
��(�+ �2)
2
��(0)u
�= E
h�R(0)u
��2bioù R
(0)0 = R
(v)0 = 1
En utilisant (3:5) et la formule élémentaireZ 1
0
e���2
�b�1d� = � (b) ��2b
on obtient par un simple changement de variables
P�A(�)T�� u
�=
1
� (b)
Z 1
0
Ehexp
����R(0)u
�2�i�b�1d�
=1
� (b)
Z 12u
0
vb�1e�vdv
Z 1
2uv
a (1� t)a�1 dt
75
ce qui montre (3:23) : �
3.2 Lois des fonctionnelles exponentielles et équations aux dérivées par-
tielles associées
Dans cette partie, on établira une équation aux dérivées partielles de type Schrödinger
satisfaite par la fonction caractéristique des fonctionnelles exponentielles d�un mouve-
ment brownien multidimensionnel. On étudiera également une famille de martingales
liant les lois conditionnelles des fonctionnelles exponentielles qui apparaîtront dans la
suite.
Soient �1; �2; :::; �d une collection de vecteurs distincts non nuls de Rn telle que
= fx 2 Rn : �i (x) > 0; i = 1; 2; : : : ; dg
soit non vide.
Soit B(�) le mouvement Brownien standart sur Rn de drift � 2 : Pour
0 � t � 1; on pose:
Ait =
Z t
0
e�2�i
�B(�)s
�ds i = 1; 2; :::; d
où �i (B) = (�i; B) , (�; �) étant le produit scalaire sur Rn:
3.2.1 Equation aux dérivées partielles pour la fonction caractéristique
Le processus �B(�)t ; At
�t�0
est une di¤usion ayant comme générateur in�nitésimal
1
24x + (�;rx)
dXi=1
e�2�i(x)@
@ai
76
La proposition suivante montre que cet opérateur est hypoélliptique.
Proposition 3.10
L�opérateur
1
24x + (�;rx)
dXi=1
e�2�i(x)@
@ai
est hypoélliptique sur Rn+d et par conséquent pour t > 0 la variable aléatoire
�B(�)t ; At
�admet une densité régulière par rapport à la mesure de Lebesgue.
Preuve.
Nous utilisons le théoréme de Hörmonder. Puisque les �i sont deux à deux
di¤érents et non nuls, il existe v 2 Rn telle que
i 6= j implique �i (v) 6= �j (v)
Soient les champs de vecteurs
V =nXi=1
vi@
@xi
et
T =
dXi=1
e�2�i(x)@
@ai
Le crochet lie entre V et T est donné par
LV T = [V; T ] = �2dXi=1
�i (v) e�2�i(x) @
@ai
Notons que par un calcul simple,on a
L2V T = 22
dXi=1
�i (v)2 e�2�i(x)
@
@ai
77
et un raisonnement par récurrence permet d�écrire
LkV T = (�1)k 2k
dXi=1
�i (v)k e�2�i(x)
@
@ai
pour tout entier k � 2
Comme les �i, sont deux à deux di¤érentes et non nulles, alors on en déduit à
partir du déterminant de Van Der Monde que la famille
�LkV T ; 1 � k � d
est une base de Rd: Ceci sous-entend que la condition de Hörmonder est satisfaite
de sorte que l�opérateur
1
24x + (�;rx)
dXi=1
e�2�i(x)@
@ai
est hypoélliptique. �
Soient maintenant � 2 Rd et x 2 Rn: On dé�nit les fonctions
g�� (t; x) = E
exp
�
dPj=1
�2je�2�j(x)Ajt
!!; t � 0
et
J�� (t; x) = E
exp
�
dPj=1
�2je�2�j(x)Aj1
!!Proposition 3.11
1) Le semi groupe engendré par l�opérateur de Schrödinger
1
24+ (�;r)
dXi=1
�2e�2ai(x)@
@ai
admet comme noyau de la chaleur
q�� (t; x; y)
78
et on a
g�� (t; x) =
ZRnq�� (t; x; y) dy
2) La fonction J�� est l�unique fonction limitée qui satisfait l�équation di¤éren-
tielle aux dérivées partielles
1
24J�� (x) +
��;rJ�� (x)
�=
dXi=1
�2e�2�i(x)
!J�� (x)
avec condition aux limites
lim J�� (x)x!1;x2
= 1
Preuve.
1) C�est en fait une conséquence directe des formules de Feynman-Kac, q�� (t; x; y)
existe et donné par la formule suivante:
q�� (t; x; y) = E
exp
�
dPj=1
�2je�2�j(x)Ajt
!j B(�)
t = y � x
!1
(2�t)n2
e�jy�x��tj2
2t
Intégrant ceci par rapport à y, on obtient
g�� (t; x) =
ZRnq�� (t; x; y) dy
2) C�est encore une conséquence directe des formules de Feyman-Kac que J�� résout
l�équation aux dérivées partielles, et la condition aux limite est facilement véri�ée.
Maintenant prouvons l�unicité. Nous devons montrer que si � est une solution de
l�équation aux limites qui satisfait
limx!1;x2
� (x) = 0
alors � = 0:
79
Pour cela, observons que sous les conditions mentionnées ci dessus, pour x 2 Rn,
le processus
��B(�)t + x
�exp
�
dXi=1
�2i e�2�i(x)Ait
!est une martingale avec limite nulle quand t ! +1: Il s�ensuit que cette mar-
tingale est de la même manière nulle presque sûrement, ce qui implique que � = 0:
�
Pour une utilisation ultérieure, peut être que nous reformulons la seconde partie
de la proposition précédente comme ceci.
Corollaire 3.1
La fonction
h�� (x) = e�(x)J�� (x)
est l�unique solution de l�équation
1
24h�� (x)�
dXi=1
�2i e�2�i(x)h�� (x) =
1
2jj�jj2 h�� (x)
telle que e��(x)h�� (x) est bornée et
limx!1;x2
e��(x)h�� (x) = 1
Exemple 3.1
Par exemple, on suppose que
n = d = 1; �21 =1
2et �1 (x) = x
Alors
A1 =
Z 1
0
e�2(Bt+�t)dt; � > 0
80
où (Bt)t�0 est un mouvement brownien unidimensionnel standard, et
J�� (x) = E�exp
��12e2xA1
��; x 2 R
Dans ce cas,
h�� (x) = e��(x)J�� (x)
résout l�équation �d2
dx2� e�2x
�h�� = �2h��
Cette équation est facilement soluble grâce à la fonction de Bessel et en prenant
en considération les conditions aux limites quand x! +1; on obtient
J�� (x) =21��
� (�)e��xK�
�e�x�
où K� est la fonction de Macdonaled donnée par (1:11)
Observons que cette formule peut aussi être dérivée en utilisant le fait que A1 a
même loi que 2 �; où � est une variable aléatoire Gamma distribuée de paramètre
�:
Exemple 3.2
On suppose que
n = 1; d = 2; �21 = �22 =1
2; �1 (x) = x et �2 (x) =
x
2
Alors
A11 =
Z 1
0
e�2(Bt+�t)dt; A21 =
Z 1
0
e�(Bt+�t)dt; � > 0
où (Bt)t�0 est un mouvement brownien standard, et
J�� (x) = E�exp
��12e�2xA11 �
1
2e�xA21
��; x 2 R
81
Dans ce cas,
h�� (x) = e�xJ�� (x)
résout l�équation �d2
dx2� e�x � e�2x
�h�� = �2h��
c�est une équation de Schördinger avec le fameux potentiel de Morse. Elle est
soluble grâce aux fonction de WhittakerWk;� dé�nie par (1:15), et prenant en compte
la condition de limite quand x!1, on a
J�� (x) = 2�� 1
2� (1 + �)
� (2�)e(�+
12)xW� 1
2;�
�2e�x
�
3.3 Densités conditionnelles
L�objet de cette partie est de prouver que la variable A1 a une densité régulière
par rapport à la mesure de Lebesgue sur Rd et on donne une expression des densités
conditionnelles.
Proposition 3.12
La variable A1 a une densité régulière P par rapport à la mesure de Lebesgue
de Rd et on a pour t � 0
P (A1 2 dy j Ft) = exp
�2
dPi=1
�i
�B(�)i
���
�P�e2�1
�B(�)t
� �y1 � A1t
�; :::; e
2�d
�B(�)t
� �yd � Adt
��(3.22)
�1(0;y1)�:::�(0;yn) (At) dy
où Ft est la �ltration naturelle de B(�):
82
Preuve.
Si on note par � la fonction caractéristique de A1
� (�) = E (exp f� (�;A1)g) ; �1; �2; :::; �d > 0
alors
E�exp
��
dPi=1
�iAi1
�j Ft�
= exp
��
dPi=1
�iAit
�E�exp
��
dPi=1
�i�Ai1 � Ait
��j Ft�
= exp f� (�;At)g���1e
�2�1�B(�)t
�; ::; �de
�2�d�B(�)t
��Par conséquent, le processus
exp f� (�;At)g���1e
�2�1�B(�)t
�; ::; �de
�2�d�B(�)t
��est une martingale. Ceci implique que la fonction
exp f� (�; a)g���1e
�2�1(x); ::; �de�2�d(x)
�est harmonique pour l�opérateur
1
24x + (�;rx) +
dXi=1
e�2�i(x)@
@ai
Cet opérateur étant hypoélliptique, ceci implique que A1 a une densité régulière
par rapport à la mesure de Lebesgue sur Rd.
La formule (3:22) provient de l�injectivité de la transformée de Laplace. �
En particulier, on déduit de la proposition précédente que si pour y 2 Rd, on
pose
q (x; a; y) = exp
�2
dPi=1
�i (x)
�P�e2�1(x) (y1 � a1) ; :::; e
2�d(x) (yd � ad)�;
o < ai < yi; x 2 Rd
83
alors le processus
q�B(�)t ; At; y
�1(0;y1)�:::�(0;y1) (At)
est une martingale. Il en résulte que pour tout y 2 Rd+, q (x; a; y) satisfait
l�équation aux dérivées partielles suivante:
1
24xq + (�;rxq) +
dXi=1
e�2ai(x)@q
@ai= 0
On peut aussi observer que ceci implique que P est solution de l�équation aux
dérivées partielles
dXi;j=1
(ai; aj) yiyj@2p
@yi@yj+
+dXi=1
ai (�) + jjaijj2 + 2
dXj=1
(ai; aj)
!yi �
1
2
!@p
@yi
= �
dXi;j=1
(ai; aj) +dXi=1
ai (�)
!p (�)
Exemple 3.3
On suppose que
n = d = 1 ; �21 =1
2et �1 (x) = x
Alors A1 est distribuée comme2
��, où �� est une variable aléatoire gamma
distribuée de paramètre �, qui est
P (y) =1
2�� (�) y1+�exp
�� 1
2y
�1R>0 (y)
et on a
q (x; a; y) =1
2�� (�)
e�2�x�12e�2xy�a
(y � a)1+�1R>0 (y � a) ; � > 0
84
Exemple 3.4.
On suppose que
n = 1; ; d = 2 et �1 (x) = x et �2 (x) =x
2
Alors, comme il a été vu auparavant,
A11 =
Z 1
0
e�2(Bt+�t)dt; A21 =
Z 1
0
e�(Bt+�t)dt; � > 0
et pour �1; �2 > 0,
E�exp
��12�21A
11 �
1
2�22A
21
��= 2��
12�
�� 12
1
���+ 1
2+ �22
2�1
�� (2�)
W �222�1
;�(2�1)
�exp
��12�1�
� (2�)
Z +1
0
e�tt�+
�222�1
� 12 (2�1 + t)
�� �222�1
� 12 dt
En utilisant dans l�intégrale précédente le changement de variable
t =2�1
e�21�1
on déduit la formule suivante
E�exp
��12�21A
11
� ��A21 = s
�P�A21 2 ds
�=
�2�+11
2� (2�)
exp���1 cot anh�1s2
��sinh �1s
2
�2�+1 ds; s > 0
La transformée conditionnelle de Laplace peut être intervertie (voir [7]) mais,
contrairement au cas unidimensionnel, il n�a pas l�air de conduire à une meilleure
formule pour P
P (y1; y2) =22�
� (2�)p2�
+1Xi;j=0
(�1)j 2jj!
� (j + 2�+ 1 + k)
k!� (j + 2�+ 1)
1
yj2+�+ 3
21
� exp(��1 + y2
�k + �+ j + 1
2
��4y1
)Dj+2�+1
1 + y2
�k + j + �+ 1
2
�py1
!
85
où Dv est une fonction cylindrique parabolique telle que
Z +1
0
e��t
t1+�e�
a2
4tD2�+1
�apt
�dt =
p�2v+
12 �ve�a
p2�
qui est
D� (x) =
p2p�e�
x2
4
Z +1
0
tve�t2
2 cos
�xt� ��
2
�dt; v > �1
86
Chapitre 04
Applications
87
Chapitre 04
Applications
On s�intéresse dans ce chapitre, aux applications notamment en physique et en
mathématiques �nancières.
4.1 Applications en physique
On considère le mouvement brownien linéaire (Bt)t�0 issu de 0, et la fonctionnelle
exponentielle
A(�)t =
Z t
0
exp [�2 (Bs + �s)] ds
Soit la représentation de Lempertie donnée par (3:1)
En physique, cette fonctionnelle exponentielle du mouvement brownien joue un
rôle central dans le contexte de di¤usion classique unidimensionnelle dans un envi-
ronnement aléatoire.
En fait, la variable aléatoire A(�)1 peut être interprétée comme un temps du
branchement. Sa distribution de probabilité contrôle les comportements anormaux
de di¤usion des particules pour un grand échantillon en temps in�ni.
La fonctionnelle A(�)L intervient aussi dans l�étude des propriétés de transport
d�échantillons désordonnés de longueur �nie L.(cf [4])
La distribution de A(�)L se produit quand la particule brownienne atteint le
maximum pour un potentiel du mouvement brownien avec drift.
Dans cette application, on discute quelque propriétés de cette fonctionnelle no-
88
tamment sur la valeur moyenne E�lnA
(�)t
�; en relation avec une autre interprétation
physique inspirée par la mécanique statistique de systèmes désordonnés. Dans ces sys-
tèmes, la fonction de répartition Z est une fonctionnelle dépendant d�un ensemble
des couples aléatoires.
Pour obtenir les propriétés thermodynamiques du système, on a calculer la moyenne
de l�énergie libre F de système désordonné:
E (F ) = E (�KT lnZ)
La détermination de la distribution de probabilité de F est plus di¢ cile.
4.1.1 Motivation
On considère une particule se déplaçant sur l�intervalle 0 � x � L et soumise à
une force aléatoire F (x), que l�on supposera gaussienne distribuée de moyenne �f0:
Le potentiel aléatoire correspondant est dans ce cas le mouvement brownien avec
drift, qui peut être écrit en terme de processus de Wiener �x comme suit:
U (x) =
Z x
0
F (y) dyd�ef= f0x+
p��x
Pour une relation donnée du potentiel U (x), on dé�nit la fonction de répartition
Z par:
ZL =
Z t
0
e��U(x)dx
où comme d�habitude � est l�inverse de la température du système.
En posant � = 2f0��, ZL devient
Z(�)L =
Z L
0
exph����x+
p2��x
�idx (4.1)
89
Par conséquent, pour � = 2, Z(�)L et A(�)L coïncident. Pour � 6= 2, on utilise
la propriété de scaling du mouvement brownien donné par la proposition (1.5), on
obtient
Z(�)L
loi=2
�
Z �L2
0
exp [�2 (�x+ �x)] dx
d�où
Z(�)L
loi=2
�A(�)�L2
La moyenne thermique d�une fonction g (x) de la position de la particule est
donnée par la formule:
g (x) =
R L0g (x) exp [��U (x)] dxR L0exp [��U (x)] dx
Par exemple, la moyenne thermique et la variance de la position de la particule
s�écrivent comme suit:
x =1
Z(�)L
��1�
@
@�Z(�)L
�=�1�
@
@�ln�Z(�)L
�
x2 � (x)2 = 1
�2@2
@�2ln�Z(�)L
�Plus généralement, la fonction génératrice des cumulants thermiques de la position
de la particule est donnée par:
lnhexp (�px)
i= lnZ
(�+ p�)
L � lnZ(�)L
Ces relations montrent que les propriétés statistiques de la position de la particule
dans le cas où � = 0; exige, en fait, la connaissance de la fonction de la répartition
avec un drift arbitraire �:
90
La quantité fondamentale pour la mécanique statistique de ce système désordonné
est l�énergie libre F(�)L relative au logarithme de la fonction de la répartition
F(�)L = � 1
�lnZ
(�)L
Ceci traite essentiellement des propriétés statistiques de la moyenne de l�énergie
libre de ce système désordonné
E�F(�)L
�=�1�E�lnZ
(�)L
�
4.1.2 Distribution de la fonction de répartition et l�énergie libre asso-
ciée
Dans cette partie, on considère le cas de potentiel aléatoire avec drift nul � =
0: On donne la distribution de probabilité de l�énergie libre. On établit plusieurs
formules pour la valeur de la moyenne, en utilisant en particulier l�identité de Bougerol
( cf [4] ; [2])
On a
E�e�pZ
(0)L
�=2
�
Z 1
0
cosh�k
2Kik
�2
rp
�
�exp
��k2�L
4
�dk (4.2)
où
Kik
�2
rp
�
�=
Z 1
0
cos kt exp
��2rp
�cosh t
�dt
on intègre (4:2) par rapport à k pour obtenir la relation suivante:
E�e�pZ
(0)L
�=
2p��L
exp
��2
4�L
�Z 1
0
cos
��t
�L
�exp
�� t2
�L
�exp
��2rp
�cosh t
�dt
(4.3)
91
on peut utiliser l�identité suivante:
exp
��2rp
�cosh t
�=cosh tp��
Z 1
0
1
Z32
e�pZ exp
��cosh
2 t
�Z
�dz
pour mettre (4:3) sous la forme
E�e�pZ
(0)L
�=
Z 1
0
e�pZ (0)L (Z) dZ
où
(0)L (Z) =
2 exp��2
4�L
���pL
1
Z32
�Z 1
0
cosh t cos
��t
�L
�exp
�� t2
�L
�exp
��cosh
2 t
�Z
�dt
Un simple changement de variables donne la distribution de probabilité P(0)L (F )
de l�énergie libre F (0)L = � 1�lnZ
(0)L comme suit
P(0)L (F ) =
2� exp��2
4�L
���pL
exp
��
2F
��Z 1
0
cosh t cos
��t
�L
�exp
�� t2
�L
�exp
��cosh
2 t
�
�e�Fdt
Pour L très grand, la densité de probabilité de la variable XL (�) réduite
� = (�F � ln�)p2�L
tend vers la loi gaussienne
XL (�) �!L!1
1p2�exp
���
2
2
�
92
Ce résultat asymptotique peut être directement obtenu à partir de la dé�nition
(4:1)
Z(0)L =
Z L
0
expp2��xdx
loi= L
Z 1
0
exp�p2��sds
�d�où
1pLlnZ
(0)L =
lnLpL+ ln
�Z 1
0
exp�p2�L�s
�ds
� 1pl
de
ln
�Z 1
0
exp�p2�L�s
�ds
� 1pl
�!L!1
ln exp
�p2�sup
s�1Bs
�loi=p2� jN j
où N est �une variable gaussienne, on a
1p2�L
lnZ(0)L converge en loi vers jN j quand L �!1
4.1.3 Une expression de E�lnZ
(0)L
�L�identité de Frullani
lnZ(0)L =
Z 1
0
�e�p � e�pZ
(0)L
� dpp
peut être utilisée pour calculer la moyenne du logarithme de Z(0)L , de la fonction
génératrice de l�équation (4:2)
Utilisons la régularisation intermédiaire
E�lnZ
(0)L
�= lim
�!0+
�� (�)�
Z 1
0
p��1E�e�pZ
(0)L
�dp
�on obtient
E�lnZ
(0)L
�=2
�
Z 1
0
h1� e��Lk
2
�k coth (�k)i dkk2+ C � ln�
où C = �0 (1) est la constante d�Euler.
93
4.1.4 L�identité de Bougerol
L�identité de Burgerol est une identité en loi qui relie deux fonctionnelles exponen-
tielles des deux mouvements browniens indépendants (Bs)s�0 ; et ( u) ; On intéresse
à l�identité pour t �xé:
sinh (Bt)loi= At
où
At =
Z t
0
e�2Bsds = A(0)t
alors les propriétés de scaling du mouvement brownien donnent
Atloi= t
Z 1
0
e�2ptBudu
sinh (Bt)loi=
�Z 1
0
e�2ptBudu
� 12
t
loi=
�Att
� 12
t
s�ensuit que
E (lnAt) = E
ln
�sinh (Bt)
Bt
�2!+ ln t
=
Z +1
�1
1p2�t
exp
��x
2
2t
�ln
�sinh (x)
x
�2dx+ ln t
on commence par la fonction de répartition
Z(0)L
loi=2
�A�L
2
donc on déduit une nouvelle expression pour la valeur de la moyenne du logarithme
de Z(0)L
94
E�lnZ
(0)L
�=
Z +1
�1
1p��L
exp
�� x2
�L
�ln
�sinh (x)
x
�2dx+ ln (L)
4.2 Applications en mathématiques �nancières
4.2.1 Les options Asiatiques
Dans cette section, on considère la prime Asiatique ou la moyenne d�option call
dans le cadre de ce travail de modèle de Black-Scholes, et on présente des identités
pour la formule évaluée.
Par le modèle de Black-Scholes, on sous-entend au modèle de marché qui consiste
un actif sans risque b = (bt)t�0 avec un taux d�intérêt constant r et un prix risqué
S = (St)t�0 ; avec un taux d�appréciation constant pour une volatilité. Si on suppose
que r > 0; � 2 R et � > 0; b et S sont alors données par les équations di¤érentielles
stochastiques suivantes:
dbtbt= rdt;
dStSt
= �dt+ �dBt
où B = (Bt)t�0 est�un mouvement brownien unidimensionnel, avec B0 = 0 dé�ni
sur un espace de probabilité complet (;F ; P ) :
Pour simpli�er on pose b0 = 1: Alors on a:
bt = exp (rt) ; et St = S0 exp
��Bt +
��� �2
2
�t
�
Dans la suite, on considère le prix de l�actif risqué actualisé eS = �eSt�t�0
donné
par
eSt = e�rtSt = S0 exp
��Bt +
��� r � �2
2
�t
�
95
D�après le théorème de Girsanov, il existe une unique probabilité Q qui est
absolument continue par rapport à P et sous laquelle eS est �une martingale. Q est
appelé la mesure de martingale eS et on a:
dQ
dP
��FT= exp
��� r
�Bt �
(�� r)2
2�2T
!
où
FT = � fBs; s � Tg
et T est l�échéance.
On pose:
eB = eBt = �Bt + ��� r
�
�t
�t�0
est une martingale sous Q.
On considère les options call Européenne et Asiatique, avec le capital initial k > 0
et l�échéance T:
Les portefeuilles sont donnés respectivement par
(ST �K)+ et (A (T )� k)+
où
x+ = max fx; 0g
et
A (t) = 1
t
Z t
0
Sudu; 0 < t � T
D�après la formule de Black-Scholes où par l�absence d�opportunité d�arbitrage,
on peut démontrer que les prix théoriques d�options call à la date t = 0 sont donnés
96
par
CE (k; T ) = e�rTEQ�(ST �K)+
�
et
CA (k; T ) = e�rTEQ�(A (T )�K)+
�
avec EQ désigne l�espérance sous Q:
Proposition 4.1
Si r � 0, on a
CA (k; T ) � CE (k; T )
pour tout k > 0 et T > 0:
preuve
On a:
CA (k; T ) = e�rTEQ��1
T
Z T
0
Stdt� k
�+
�
Il résulte de l�inégalité de Jensen que:
CA (k; T ) � e�rT1
T
Z T
0
EQ�(St � k)+
�dt
et comme pour r � 0; alors�St = S0 exp
h� eBt + �r � �2
2
�ti�
est une sous-
martingale sous Q:
Par conséquent en utilisant une autre fois l�inégalité de Jensen, on voit que
97�(St � k)+
�est aussi une sous-martingale, d�où on obtient
CA (k; T ) � e�rT1
T
Z T
0
EQ�(St � k)+
�dt
� e�rT1
T
Z T
0
EQ�(ST � k)+
�dt
= e�rTEQ�(ST � k)+
�= CE (k; T )
Théorème 4.2
Pour tout � 2 R; � > max f2 (1 + �) ; 0g et k > 0: On a:
�
Z 1
0
e��tE��A(�)t � k
�+
�dt
=1
(�� 2 (1 + �)) � (b� 1)
Z 12k
0
e�ttb�2 (1� 2kt)a+1 dt
avec
a =� + �
2; b =
� � �
2; � =
p2�+ �2
Preuve
on a d�après ( théorème 2.6 ). Le processus stochastique
Y (�) (x) =�Y(�)t (x)
�dé�ni par
Y(�)t (x) = exp
�2B
(�)t
��x+
Z t
0
exp��2B(�)
s
�ds
�
est une di¤usion ayant comme générateur in�nitésimal
L(�) = 2x2d2
dx2+ (2 (1 + �)x+ 1)
d
dx
= 2x1��e12xd
dx
�x1+�e
12xd
dx
�
98
et on a aussi l�identité en loi
Z t
0
exp�2B(�)
s
�ds
loi= Y
(�)t (0) = exp
�2B
(�)t
��Z t
0
exp��2B(�)
s
�ds
�
Pour tout t > 0 et pour calculer la transformée de Laplace de
EhY(�)t (0)� k
i+
en utilisant la théorie générale de l�opérateur de Sturm-Liouville, on présente une
forme explicite de la fonction de Green pour L(�):
Pour cela on rappelle les fonctions hypergéométriques � (�; ; z) et (�; ; z)
dé�nies par (1:2) ; (1:4) et (1:5) avec (�)0 = 1
et d�après( le théorème 1.2) � et sont linéairement indépendantes et sont
solutions de l�équation di¤érentielle ordinaire
zu00 + ( � z)u0 + �u = 0
On dé�nit les fonctions u1 et u2 sur ]0;+1[ par
u1 (x) = x�(�+�)2
��+ �
2; 1 + �;
1
2x
�(4.5)
et
u2 (x) = x�(�+�)2 �
��+ �
2; 1 + �;
1
2x
�(4.6)
Alors on peut véri�er par des calculs simples que
L(�)ui = �ui; i = 1; 2:
De plus, u2 (x) est monotone décroissante sur ]0;+1[ et on utilise la représen-
tation intégrale de donnée dans (1:6)
99
on peut montrer que u1 (x) est monotone croissante. En e¤et nous avons
u1 (x) =1
��(�+�)2
� Z 1
0
e��2 �
�+�2�1 (1 + x�)
(���)2 d�; x � 0
D�après le Wronskien donné dans (1:7)
on a
1
x�(1+�)e12x
(u01 (x)u2 (x)� u1 (x)u02 (x)) =
2�� (1 + �)
��(�+�)2
�Ici la fonction x�(1+�)e
12x est la dérivée de la fonction en escalier pour Y (�) (x)
véri�er les conditions aux limites , on obtient le résultat suivant:
Proposition 4.3
Soient u1 (x) et u2 (x) les deux fonctions dé�nies par (4:5) et (4:6) : Alors la
fonction de Green G(�) (x; y; �) de L(�) par rapport à la mesure de Lebesgue est
donnée par
G(�) (x; y; �) =��(�+�)2
�21+�
y��1e�12yu1 (x)u2 (x) ; 0 � x � y
Pour la preuve de proposition 4.3 on rappelle l�identité suivante présentée dans
[35]
Z 1
0
(� � a) ��1�(���)2 e�
1��
��+ �
2; 1 + �;
1
�
�d�
=��(���)2� 1�
��(���)2+ 1�a1� (���)
2 e�1a�
��+ �
2+ 2; 1 + �;
1
a
�
lequel peut être prouvé par la transformée de Kummer donnée par (1:3) et le
dévloppement en série de � donné par (1:2)
100
En posant u1 (0) = 2(���)2 ; on obtient:
�
Z 1
0
e��tE��A(�)t � k
�+
�dt = �
Z 1
k
(y � k)G(�) (0; y; �) dy
=��(���)2� 1�
21+(���)2 � (1 + �) �
�(���)2+ 1�
�k1�(���)2 e�
12k�
��+ �
2+ 2; 1 + �;
1
2k
�
de plus on utilise la représentation intégrale de � donnée par (1:3)
Aprés quelques calculs élémentaires, on arrive à
�
Z 1
0
e��tE��A(�)t � k
�+
�dt
=���(�+�)2
�4��(���)2+ 1�:��(�+�)2+ 2� Z 1
2k
0
e�ubb�2 (1� 2ku)a+1 du
Finalement, en utilisant l�identité z� (z) = � (z + 1) ; on obtient
���(�+�)2
�4��(���)2+ 1�:��(�+�)2+ 2� = 1
(�� 2 (1 + �)) � (b� 1)
et le théorème (4:2) �
101
Conclusion
Tout au long de cette modeste contribution, tâche est de prouver que le
mouvement brownien géométrique de paramètre réel divisé par sa variation quadra-
tique est une di¤usion, dans l�intention d�établir des théorèmes reliant les processus
de Bessel et Lévy au mouvements browniens, posant en outre di¤érents processus à
distributions et �ltrations identiques.
Comme, il a été procédé à l�extension des théorèmes dits théorèmes de Lévy et Pit-
man au mouvement brownien géométrique avec drift. D�où le processus d�Ornstein-
Uhlenbek de paramètre � solution de l�équation di¤érentielle stochastique d Xt =
dBt + �Xtdt et X0 = x reste valable même si on remplace (Bt)t�0 et (�t)t�0 par
deux processus indépendants de Lévy.
Par ailleurs notre étude a porté sur les fonctionnelles exponentielles du mouve-
ment brownien intervenant dans divers contextes physiques relativement à la di¤usion
unidimensionnelle, au sein d�un environnement aléatoire, pour plus de précision con-
cernant leurs lois de distribution, évidente notamment lors de l�intérêt porté à la
distribution du �ux de particules traversant un échantillon désordonné de taille �nie.
Une généralisation s�impose dans le cas de la multidimensionnalité du mouvement
brownien.
Arrivé à l�ultime de notre démonstration, la citation de quelques exemples et
applications en physique et en mathématiques �nancières est d�un grand apport ex-
plicatif pour étayer davantage notre démarche dans ce domaine dont la perspective
de recherche reste toujours en cours.
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