Ecole Nationale Supérieure d'Ingénieurs Electriciens de Grenoble

COURS

DE

TEMPS-ECHELLE

3A / ANALYSE et TRAITEMENT DES IMAGES ET DES SIGNAUX/

.f...

Table des matières

1 Transformée en ondelettes continues représentations temps-échelle 71.1 Introduction. 71.2 Temps-fréquence et temps-échelle . 7

1.2.1 Le pavage du plan temps-fréquence associé à la STFT 71.2.2 Le pavage du plan temps-fréquence par les ondelettes 8

1.3 Transformée en ondelettes continues TOC 101.3.1 Transformation directe . 101.3.2 Transformation inverse TOCl . 101.3.3 Quelques ondelettes Il

1.4 Redondance, frame, échantillonnage critique . 131.4.1 Redondance . 131.4.2 Frame, échantillonnage critique 141.4.3 Bases discrètes temps-échelle et temps-fréquence 141.4.4 Bases critiques 141.4.5 La base critique dyadique en temps-échelle 15

1.5 Mise en œuvre de la TOC 151.5.1 Étapes du calcul 151.5.2 Calcul du produit scalaire 15

1.6 Répartition de l'énergie dans le plan temps-échelle 171.6.1 Le scalogramme 171.6.2 Le scalogramme : mise en œuvre 17

1.7 Illustration 18

2 Transformée en ondelettes dicrètes, Analyse multirésolution 212.1 Introduction................. 212.2 Présentation de l'analyse multirésolution . 212.3 Aspects mathématiques . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Espaces des approximations . . . 232.3.2 Espaces des détails . . . . . . . . . . . . . . 242.3.3 Les différents types d'ondelettes 242.3.4 Reconstruction du signal. . . . . . . . .. 25

2.4 L'algorithme pyramidal de transformation en ondelettes discrètes (TOD) 252.4.1 Relations entre échelles 25

3

. \

4 TABLE DES MATIÈRES

2.4.2 Analyse: construction des approximations et des détails auxdifférentes échelles . . . . . . . . .. 26

2.4.3 Initialisation de l'AMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272.4.4 Synthèse: reconstruction du signal. . . . . . . . . . . . . .. 272.4.5 Construction des fonctions échelles et des ondelettes par filtrage 28

2.5 Interprétation de la TOD en fréquence. . . . . . . . . . . . . . . .. 282.5.1 Définitions 282.5.2 Les séquences génératrices (filtres) pour l'analyse et la synthèse

en fréquence 292.5.3 Propriétés des séquences génératrices, filtres en sous-bandes. 29

2.6 Filtres en sous-bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7 Quelques ondelettes 31

2.7.1 Fonction échelle et ondelette de Haar. . . . . . . 312.8 Signaux à plusieurs dimensions 342.9 Conclusion 35

3 Réduction de bruit, compression, paquets d'ondelettes3.13.2

3.33.43.53.6

Introduction .Les paquets d'ondelettes .3.2.1 Présentation .3.2.2 Indiçage des composantesLes critères de choix . . .Stratégies de recherche . .IllustrationConclusion

373738384042434545

Bibliographie

[1] D. Gabor, Theory of communications,J. IEE, Vol. 93, No3 , pp 429-457, 1946.

[2] J. Morlet, Sampling theory and waves propagation, NATO ASI Serie, Issue onacoustic/image Proceszsing and recognition, Vol. 1, CH. Chen (Ed), pp 233-261,Springer Verlag, Berlin, 1982.

[3] P. Flandrin Temps-fréquence, Hermés,1993.

[4] D. Donoho and I. Johnstone, Ideal denoising in an orthonormal basis chosenfrom a library of bases, Comptes rendus de l'Académie des sciences, pp. 1317­1322, Paris 1994.

[5] D. Donoho Denoising via soft thresholding, IEEE Transactions on InformationTheory, 3 (41), pp. 613-627, May 1995.

[6] P. Abry Ondelettes et turbulence, Diderot éditeur,1997.

[7] J.L Lacoume, P.O. Amblard et P. Comon Statistiques d'ordre supérieur pour letraitement du signal, Masson, 1997.

[8] Ph. Ravier Détection de transitoires par ondelettes adaptées, Thèse de doctoratde l'INPG, juillet 1998.

[9] B. Leprettre, Bibliothèque Ondelettes pour Mustig Grésilog, 1999.

5

6 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 1

Transformée en ondelettescontinues représentationstemps-échelle

1.1 Introduction

Les représentations temps-fréquence sont associées à la transformation de Fourieret à la représentation de Wigner-Ville qui sont fondées sur un recouvrement du plantemps-fréquence obtenue par des translation en temps et fréquence. Les ondelettes in­troduisent une autre stratégie de couverture du plan temps-fréquence fondée sur destranslations dans le temps et sur des contractions-dilatations en fréquence (groupeaffine). Dans ces représentations, à une fonction initiale, l'ondelette de référence, onassocie un ensemble d'ondelettes obtenues par translation en temps et par contrac­tion ou dilatation en temps. L'intérêt principal des ondelettes est de permettre lacontruction de bases orthogonales complètes comportant un nombre minimal defonctions de bases. La transformation en ondelettes donne une représentation d'unsignal à une, ou plusieurs dimensions (images par exemple), la plus économique enplace mémoire (compression d'information). Elle conduit à un pavage du plan temps­fréquence variable avec la fréquence qui donne parfois une image plus parlante despropriétés d'un signal en temps et fréquence.

1.2 Temps-fréquence et temps-échelle

1.2.1 Le pavage du plan temps-fréquence associé à la STFT

Le spectrogramme d'un signal x(t) est (voir le cours sur les RTF)

PSTFT,x(t, li) = J If(~)I2dU Il h(u - t)x(u)e-21fjUVdtI2.

Dans cette expression la fonction du temps et de la fréquence

rh(t, li) = 1h(u - t)x(u)e-21fjuVdt =< hT,vl x >,

7

8CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES CONTINUES REPRÉSENTATIONS TEMPS·

< xly >== Jx*(t)y(t)dt est un produit scalaire et hT,v représente le signal h translatéen temps et en fréquence.

rh(t, v), obtenu en projetant le signal x(u) sur hT,v == h(u - t)e21rjuv, est unetransformation temps-fréquence: la transformée de Fourier à court terme (STFT).

Le spectrogramme, introduit dans le cours sur les RTF, s'écrit alors

(_ 1 < hT,vl x > 1

2

PSTFT,x t, V) - < hlh >Irh(t, v)1 2

< hlh >.

Les fonctions hT,v sont obtenues par translation en temps (T) et en fréquence(v) de la fonction h. Cette famille de fonctions, indicées par T et par v, pave leplan temps-fréquence. On peut schématiser ce pavage en associant à chacune deces fonctions un rectangle du plan temps-fréquence comme cela est indiqué sur lafigure 1.1. Cette interprétation des représentation temps-fréquence a été introduitepar Gabor [1].

Dans sa présentation Gabor [1] avait choisi comme fonction h une courbe en clochede Gauss g. Ce choix venait du fait que les courbes en cloche de Gauss, comme nousl'avons indiqué dans le cours sur les RTF, ont un produit durée-bande minimal etsont donc les fonctions qui localisent le plus précisément l'énergie du signal dans leplan temps-fréquence. Pour obtenir, à partir de ces projections, une représentationtemps-fréquence ne perdant pas d'informations sur le signal les fonctions hT,v doiventformer une base complète.

On peut imaginer d'autres pavages du temps-fréquence comme cela est réaliséepar les ondelettes qui conduisent aux représentations temps-échelle.

1.2.2 Le pavage du plan temps-fréquence par les ondelettes

Les ondelettes, introduites par Morlet [2], réalisent un pavage du plan temps­fréquence par une famille de fonctions, les ondelettes, obtenues en translatant entemps et en comprimant ou en dilatant, une ondelette de référence. Cette ondeletteest une fonction oscillante centrée sur une fréquence (arbitraire) et sur le temps O.En appelant c/J(u) l'ondelette de référence on obtient la famille des ondelettes en luiappliquant un facteur de changement d'échelle c et une translation en temps t

1 u - tc/Jt,c(u) == c,c/J(-).

yC C

Je normalise les différentes ondelettes.Le facteur c est appelé l'échelle de l'ondelette.La transformée en ondelettes continues (TOC), d'un signal x(t) est formée des

projections de ce signal sur les ondelettes

O"c/J(t, c) = J<p;,c(u)x(u)du =< <Pt,c(u)lx(u) > ·

L'ondelette de référence, c/J(u) , est généralement centrée sur le temps t == 0, ellea une fréquence centrale VQ une durée b.t et une bande passante b.v (voir le cours

1.2. TEMPS-FRÉQUENCE ET TEMPS-ÉCHELLE 9

FréquenceJ~

...-Temps

Jl

...-

Fréquence

Temps

Figure 1.1: Pavages temps-fréquence et temps-échelle

RTF). L'ondelette translatée et dilatée cPt,c(u) est centrée sur le temps t, a unefréquence centrale Va / c, une durée c~t et une bande ~v/ c. Les ondelettes réalisentdonc un pavage du plan temps fréquence (figure1.1) dans lequel la durée et la bandedépendent de l'échelle. A partir des remarques précédentes sur la fréquence centraleet sur la bande passante des ondelettes on peut transformer le plan temps-échelleen un plan temps-fréquence ce qui permet de rendre comparables les transforméestemps-fréquence et temps-échelle. Nous reviendrons sur ce point à propos du scalo­gramme.

Les fonctions de base utilisées par les transformations temps-fréquence occupentune bande de fréquences indépendante de la fréquence. Les fonctions de base utiliséespar les transformation temps-échelle ont un rapport constant entre leur fréquencecentrale et leur bande passante. Ce sont des fonction a surtension constante, la sur­tension, définie dans l'étude des circuits, étant le rapport entre la fréquence centraleet la bande passante.

Après cette introduction des transformations temps-fréquence et temps-échelle onpeut se demander quelle est la meilleure façon de représenter un signal. Il n'y a pasde réponse absolue; nous verrons dans la suite que les représentations temps-échelleconstituent une alternative intéressante aux représentations temps~fréquence.

10CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES CONTINUES REPRÉSENTATIONS TEMP;

1.3 Transformée en ondelettes continues TOC

1.3.1 Transformation directe

La transformée en ondelettes continues (TOC), Œ<jJ(t, c) d'un signal x(t) est lafonction des variables retard t et échelle c donnée par les projections du signal surles ondelettes

1 1 1 u-t(Jt/>(t, c) =< 4>t,c(u)lx(u) >= 4>;,Au)x(u)du = Vê 4>*(-c-)x(u)du.

1.3.2 Transformation inverse TOC!

(1.1)

La propriété fondamentale de la transformation en ondelettes est son inversibilité.L'inversibilité est réalisée sous des conditions très générales. La TOC est inversiblesi l'ondelette q;(u) vérifie la condition suivante, dite d'admissibilité.

<P (v) étant la transformée de Fourier de q;(u)

Ct/> = 1I<p(v) 12 d: est fini

La condition d'admissibilité impose que l'ondelette tende vers 0 lorsque v tendvers l'infini. Les ondelettes admissibles sont donc localisées en fréquence.

La condition d'admissibilité nécessite que la moyenne de l'ondelette soit nulle.

<p(O) = 14>(u)du = O.

Une ondelette est donc une fonction oscillante présentant de valeurs positives etnégatives. Ces deux conditions ne sont pas très restritives: de nombreuses fonctionssont des ondelettes admissibles.

Lorsque l'ondelette de référence est admissible on peut retrouver le signal x(t), àpartir de sa transformée en ondelettes, par la transformation en ondelettes continuesinverse (TOC1)

1 11 dudcx(t) = Ct/> (Jt/>(U, c)4>u,c(t)----;;2 (1.2)

Pour démontrer l'inversibilité de la transformation en ondelettes remplaçons la trans­formée en ondelettes, dans la relation 1.2, par son expression issue de 1.1.

1 111* dvdudcx(t) = Ct/> 4>u,c(v)4>u,c(t)x(v) c2

Considérons

en posantt - u-- ==w,

c

1.3. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES CONTINUES TOC Il

Représentation fréquence

4,...-----.------r--

1MorleLRe/tReprésentation temps

50 100 0.2 0.4

1MorleLlm/t

50 100 0.2 0.4

Figure 1.2: Ondelettes de Morlet à différentes échelles

avec s == Ile

Je-27rjvs(t-v)ds = ~8(t - v),Ivl .

donnant finalement la "condition de fermeture"

I(t, v) == 8(t - v),

et JI(t,v)x(v)dv = x(t)

1.3.3 Quelques ondelettes

L'ondelette de Morlet

Historiquement c'est la première ondelette utilisée pour l'analyse tems-échelle [2].L'ondelette de Morlet est une gaussienne modulée, inspirée par les fonctions de basede la représentation temps-fréquence de Gabor

O::;u<!!::;u<l

12CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES CONTINUES REPRÉSENTATIONS TEMP~

L'ondelette réelle de Morlet est la partie réelle de cPM(U),

2 1/4 (1 (U) 2)cPMR(U) = (7rto)- exp -2" to cos(27rllou),

l'ondelette imaginaire de Morlet est la partie imaginaire de cPM(U)

Au sens strict l'ondelette de Morlet n'est pas admissible car la valeur de sa trans­formée de Fourier à la fréquence 0,

n'est pas nulle.Pratiquement, on impose une valeur "faible" à <PM(O). Ainsi la contrainte <P(O)jmax<P(v) ==

10-6 conduit à 27rtoVo == 5.43. On choisit en général la valeur de 27rtoVo entre 5 et 6.L'enveloppe des ondelettes de Morlet est la courbe de Gauss (7rtô)-1/4exp (-~(t/tO)2).

La durée de ces ondelettes est fixée par to. La fréquence centrale est donnée par vo.Le produit 27rtoVo fixe le nombre d'oscillations des ondelettes de Morlet. L'ondeletteréelle et l'ondelette imaginaire sont approximativement 2 signaux en .quadraturecorrespondant à un cosinus et à un sinus dans les représentations temps-fréquence.

Le chapeau Mexicain

Une autre ondelette très utilisée est le "chapeau Mexicain", proportionnelle à ladérivée seconde de la fonction de Gauss

La transformée de Fourier du chapeau Mexicain est

cette ondelette est admissible.

L'ondelette de Haar

Cette ondelette très simple est issue des fonctions de Haar qui permettent deréaliser des transformations analogues à la transformationde Fourier d'une manièrenumériquement très simple. L'ondelette de Haar est

{

1 si

cPH(u) == 0- 1 SI

sinon

1.4. REDONDANCE, FRAME, ÉCHANTILLONNAGE CRITIQUE 13

Représentation temps .,. Représentation fréquence

50 100 0.2 0.4

50 100 0.2 0.4

Figure 1.3: Chapeau mexicain et ondelette de Haar à différentes échelles

La transformée de Fourier de l'ondelette de Haar est

L'h () • cos 1rV - 1 -j1rV'J!H v ==Je,

1rV

montrant que cette ondelette est admissible.L'ondelette de Haar est peu régulière, en temps elle est discontinue et en fréquence

elle est mal localisée. Les ondelettes de Battle-Lemarié et de Daubechies, que nousprésenterons plus loin, sont des ondelettes de la même famille présentant de meilleurespropriétés de régularité.

Autres ondelettes

Il existe de nombreuses autres ondelettes possibles. Nous présenterons plus loinles ondelettes de Daubechies et de Battle-Lemarié qui se déduisent de l'analysemultirésolution.

1.4 Redondance, frame, échantillonnage critique

1.4.1 Redondance

La transformée en ondelettes, comme la transformée temps-fréquence, associentà un signal dépendant d'une variable une représentation dépendant de 2 variables.Ces représentations contiennent plus de degrés de liberté que le signal: on dit

14CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES CONTINUES REPRÉSENTATIONS TEMP;

qu'elles sont redondantes. On peut décrire complètement le signal à partir d'unsous-ensemble de valeurs de ces représentations.

1.4.2 Frame, échantillonnage critique

On échantillonne la TOC en temps et en échelle en retenant une suite infiniedénombrable de valeurs de l'échelle (Cl lEZ) et du temps (tk k E Z). la base desondelettes engendrées cPtk,Cl (u) est, selon le cas

• un "frame", ou encore une base redondante. Un frame est un ensemble d'onde­lettes tel que tout signal peut être approché d'aussi près que l'on veut par unecombinaison linéaire de vecteurs de base on dit alors que la base est complète.Une telle base est redondante si on peut en extraire certains éléments tout enconservant la propriété de base complète.

• une base complète critique: dans ce cas la base est complète mais elle perdcette propriété si on extrait un quelconque de ses vecteurs de base,

• une base non-complète.

En projetant le signal sur une base critique on réalise un échantillonnage critique.

1.4.3 Bases discrètes temps-échelle et temps-fréquence

Dans la transformation temps-fréquence, les fonctions de base ont toutes la mêmedurée et la même bande. Il est donc logique de disposer les fonctions de base selon unpavage régulier dans le plan temps fréquence. Les temps moyens tk et les fréquencescentrales VI seront disposées selon une grille régulière

Dans la transformation temps-échelle, la durée est proportionnelle à l'échelle, lafréquence centrale et la bande passante des ondelettes sont inversement propor­tionnelle à l'échelle c. Il est donc logique de disposer les ondelettes sur une grillelogarithmique régulière en échelle et sur une grille de retards régulière pour chaqueéchelle avec une valeur du retard à chaque échelle proportionnelle à l'échelle. Pourune ondelette de durée Ta à l'échelle j == 0 on obtient le pavage

1.4.4 Bases critiques

Dans la transformation temps-fréquence la base critique est obtenue pour voTa ==

1.Dans la transformation temps-échelle on obtient une base critique en prenant

Ta == 1 (pratiquement, pour des signaux échantillonnés cela revient à faire Ta == Te) etCo == 2. Cette propriété sera démontrée au chapitre suivant quand nous présenteronsla transformation en ondelettes discrètes et l'analyse multirésolution.

1.5. MISE EN ŒUVRE DE LA TOC 15

C'est à ce stade qu'apparaît la différence essentielle entre les transformationstemps-fréquence et temps-échelle. On souhaite, en effet, que les vecteurs de basesoient localisés en temps et fréquence ou en temps et échelle. On a démontré (celas'appelle l'obstruction de Balian-Low [3]) qu'il n'existe pas de base critique en temps­fréquence dont les vecteurs de base ont à la fois une durée et une bande finie. Cette"non-propriété" des transformations temps-fréquence établit le grand intérêt desreprésentations temps-échelle.

1.4.5 La base critique dyadique en temps-échelle

Nous avons vu que l'échantillonnage critique de la base des ondelettes est obtenuavec To == 1 et Co == 2 la base critique est donc formée des ondelettes

1 (U - 2jkTe)<Pj,k(U) = .j2i<P 2j .

Ces fonctions de base sont réparties dans le plan temps-échelle selon une grilledyadique.

1.5 Mise en CEuvre de la TOC

1.5.1 Étapes du calcul

Pour réaliser une transformation temps-échelle il faut

• choisir une ondelette de référence cjJ(u) vérifiant la propriété d'admissibilité cequi rend la transformation inversible,

• choisir un jeu de facteurs d'échelle Cj et de décalages temporels tj,k. Pourassurer l'inversibilté de la transformation il faut que la base d'ondelettes ainsiformée soit un frame ou une base critique.

• pour chaque couple Cj,tj,k construire l'ondelette correspondante et projeter lesignal analysé sur cette ondelette.

1.5.2 Calcul du produit scalaire

Le calcul du produit scalaire peut se faire en temps ou en fréquence.

a<l>(t, c) =< <pt,clx >= ~J<P* (U ~ t) x(u)du = VCJ<I>*(cv)X(v)e21rjvtdv.

Pratiquement on utilise des signaux à temps et fréquence discrets.En temps dicret la transformée en ondelettes d'un signal x(n) formé de N échantillons

est1 N-l ( )p-n

a<l>(n, c) = .jC~ x(p)<p* -c-

16CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES CONTINUES REPRÉSENTATIONS TEMP;

En temps, le calcul d'une valeur de la transformée en ondelettes demande Nopérations. Pour N échantillons et M échelles le nombre d'opérations est propor­tionnel à M N 2 .

En fréquence

fJ<jJ(n,c) == JCTFD-l[X(m)~*(cm)],

avec X(m) == TFD[x(n)] et ~(m) == TFD[cjJ(n)].Pour calculer la TOC sur M échelle il faut réaliser M TFD sur N échantillons. En

uilisant l'algorithme de F FT le nombre d'opérations est proportionnel à M N Log2N.Le calcul en fréquence est donc plus rapide que le calcul en temps.

Dans les expressions précédentes donnant le produit scalaire en temps ou enfréquence il apparait une difficulté issue de l'échantillonnage combiné avec les contractions-dilatation d'échelle. Lorsque l'échelle n'est pas une puissance de 2 les fonctions

</J (p~n ), en temps, ou <I> (cm), en fréquence, ne sont pas sur la grille des échantillons

connus. On peut envisager d'interpoler en temps ou en fréquence mais cela conduità des procédures lourdes en temps de calcul. On a développé des méthodes, approxi­matives ou exactes, qui permettent de réaliser la transformation en ondelettes pourdes valeurs quelconques de l'échelle [6].

La transformée en ondelettes continues inverse TOCl

Le calcul peut également se faire en temps ou en fréquence.

En temps

1 JJ dudc 1 JJ u - t dudcx(t) = Cq, O"q,(u,c)</Ju,c(t)-;}2 = Cq, O"q,(u,c)</J(-c-) c2JC"

A temps discret l'algorithme pratique est

1 1 p- nx(n) == -C L L 2 r;.fJ<jJ(p, C)cjJ(-)

<jJ pcC yC C

Pour N échantillons et M échelles ce calcul demande M N 2 opérations.

En fréquence

1 JJ . dvdc 1 J 1 dcx(t) = Cq, ~;(v, c)<I>(cv)e21rJvt cJC = Cq, TP- [~;(v, c)<I>(cv)] cJC"

A temps et fréquence discrets

1 1x(n) == -C L .r;.TFD-l[~<jJ(m,c)~(cm)].

<jJ c Cy C

Pour N échantillons et M échelles il faut MNLog2N opérations.

1.6. RÉPARTITION DE L'ÉNERGIE DANS LE PLAN TEMPS-ÉCHELLE 17

1.6 Répartition de l'énergie dans le plan temps-échelle

1.6.1 Le scalogramme

Les représentations temps-fréquence, RTF, donnent la répartition de l'énergiedans le plan temps-fréquence. On peut aussi chercher à représenter la répartition del'énergie dans le plan temps-échelle.

L'énergie du signal x(t), calculée à partir de sa transformée en ondelettes ŒcP(t, c),est

Ex = JIx(t)1 2dt = JJa</>(t,c)a;(t,c)d~~c.

ŒcP(t,C)Œ;(t,C) t "'t 'd/ / 1 d . / d'/ . d . 1 (t) d 1c2 peu e re consI eree comme a ensIte energle u sIgna x ans eplan temps-échelle.

L'interprétation de la répartition de l'énergie dans le plan temps-échelle est ce­pendant peu aisée et l'on cherche à retrouver une répartition issue de la transfor­mation temps-échelle dans le plan temps-fréquence. On pourra ainsi comparer lesreprésentations temps-fréquence et temps-échelle. Les fréquences v étant inverse­ment proportionnelles aux échelles la relation entre les éléments de surface dans ces2 plans est donnée par

d d_ dtdc

t v - 2'C

Dans le plan temps-échelle transformé pour obtenir un plan temps-fréquence ladensité d'énergie est le scalogramme

Le scalogramme, module carré de la représentation temps-échelle, étend aux représentationstemps-échelle le spectrogramme qui donne la répartition de l'énergie dans les représentationstemps-fréquence par le module carré de la transformée de Fourier à court terme.

Dans la même ligne on peut (voir [3]) étendre aux représentations temps-échellela représentation de Wigner-Ville.

1.6.2 Le scalogramme: mise en œuvre

Le scalogramme est obtenu sur une grille discrètes de valeurs de l'échelle, Cl == Cb,

et du temps, tk,l == kcbTe . Donnant

Pour représenter le scalogramme dans le plan temps-fréquence obtenu par transfor­mation des échelles en fréquences il faut respecter le pavage du plan temps-fréquenceinduit par la représentation temps-échelle. On doit donc déterminer

• la position du centre de chaque pavé, fixée par le temps moyen et la fréquencecentrale de l'ondelette,

• la largeur en temps et en fréquence de chaque pavé.

18CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES CONTINUES REPRÉSENTATIONS TEMP~

Pour que la représentation soit esthétiquement correcte il est bon que les pavésainsi déterminés soient contigus et disjoints pour réaliser un pavage complet du plantemps-fréquence.

Dans une famille d'ondelettes donnée on doit donc calculer le temps moyen, lafréquence centrale, la durée et la bande de chaque ondelette. Pratiquement il suffitde calculer

• le temps moyenJtl<p(t) 1

2dtto = J 14>(t)l2dt '

• la fréquence centraleJvlq>(v)1 2dv

Vo == J 1q>(v)1 2dv '

• la durée

• et la bande

de l'ondelette de référence. Les autres valeurs s'en déduisent en appliquant lesformules de transformations des échelles et des retards.

La valeur de Co doit être adaptée à la bande de l'ondelettes pour réaliser un pavagecorrect du plan temps-fréquence. Nous donnerons des exemples dans les illustrations.

1.7 Illustration

Pour illustrer les scalogrammes nous donnons les scalogrammes de différents si­gnaux: impulsion de Dirac (figure 1.4), somme de 2 fréquences pures (figure 1.5),somme de 2 fréquences pures bruitées (figure 1.6) et signal modulé linéairement enfréquence (figure 1.7).

Les 2 panneaux du haut représentent les scalogrammes obtenus avec les ondelettesréelles et imaginaires de Morlet. Le panneau du bas, à gauche, est la somme des 2scalogrammes précédents. Le panneau de droite donne la forme d'onde du signal.

Les ondelettes réelles et imaginaires de Morlet sont assimilables à un cosimuset à un sinus (1.3.3). La somme des deux scalogrammes donne le "scalogrammeenveloppe" qui fait disparaitre le déphasage entre les ondelettes et le signal traité...

1.7. ILLUSTRATION 19

0.5

o

0.5

o

o

o

o

200

200

1.0623

oo

o 100

200

0.7769

200

Figure 1.4: Scalogrammes d'une impulsion de Dirac

0"

0.5

o

o

0.5

o

o

o

o

200

12.936

200

13.006

o

o 100

200

200

Figure 1.5: Scalogrammes de la somme de 2 fréquences pures

------------------------------------------ ~- --

20CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES CONTINUES REPRÉSENTATIONS TEMP;

0.5

o

o~

o

0.5

o

o

o

o

200

12.852

200

oo

o 100

200

13.555

200

Figure 1.6: Scalogrammes de la somme de 2 fréquences pures bruitées

0.5

o

oo 200

10.492 oo 200

10.589

0.5

o

oo 200

11.380

Figure 1.7: Scalogrammes d'un signal modulé linéairement en fréquence

Chapitre 2

Transformée en ondelettesdicrètes, Analysemultirésolution

2.1 Introduction

Les ondelettes permettent de construire des bases de l'espace des signaux de carrésommable L 2(R). Une construction très élégante et très facile à mettre en œuvre estl'analyse multirésolution (AMR).

L'AMR permet de construire des bases cornpIètes de manière récursive à partird'une seule fonction: la fonction d'échelle ou l'ondelette mère.

L'AMR conduit à la transformation en ondelettes discrètes (TOD) qui est unereprésentation temps-échelle.

L'AMR permet de créer de multiples bases de L 2(R). Ces bases peuvent êtremises en concurrence pour obtenir la base adaptée à un signal ou à un traitementdonné. La mise en concurrence à travers un critère permet de réaliser des traitementsoptimaux, citons

• la réduction de bruit,

• la détection de transitoires ...

2.2 Présentation de l'analyse rnultirésolution

L'opération de base de l'AMR est la décomposition du signal, x(u), en deuxparties: approximation et détail.

L'approximation est obtenue en projetant le signal sur les translatées d'une fonc­tion basse fréquence appelée fonction d'échelle. Cette projection réalise un filtragepasse-bas qui ne retient que les variations lentes du signal. Les détails sont obtenusen projetant le signal sur une fonction haute fréquence appelée ondelette. Cetteprojection réalise un filtrage passe-haut qui retient les évolutions rapides du signal.

21

22CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES DICRÈTES, ANALYSE MULTIRÉSOLUTIC

F.P.H.

rï\ sous-'.±J échantillonnage

j~

~~~

...... ~

.....

fréquence pavages du plan t/f associés aux étapes de l'AMR

temps

Figure 2.1: Analyse multirésolution et pavages du plan temps-fréquence associés

Ces 2 opérations sont réversibles: le signal peut être reconstruit à partir de l'ap­proximation et des détails.

Le signal d'approximation est ensuite décomposé en son approximation et sesdétails (figure 2.1). Et ainsi de suite... Les détails, aux différentes échelles, donnentles composantes du signal à différents niveaux de résolution. D'où la dénominationd'analyse multirésolution. Ces différentes opérations conduisent à des pavages suc­cessifs du plan temps-fréquence qui sont représentés sur la figure 2.1. On peut in­terpréter l'AMR comme un "microscope mathématique" permettant de voir le signalavec différents grossissements.

Le signal initial peut être reconstruit à partir des coefficients de détail aux différenteséchelles et de la dernière approximation.

2.3 Aspects mathématiques

Nous définissons les séries emboîtées d'espaces contenant les approximations et lesdétails: espaces des approximations et espace des détails. Nous précisons les condi­tions que doivent remplir la fonction d'échelle et l'ondelette mère pour construire uneAMR. Nous montrons (ceci est la base de l'AMR) que les fonctions d'échelleset les ondelettes, dans les différents espaces d'approximation et de détails, peuventêtre construites par récurrence.

2.3. ASPECTS MATHÉMATIQUES 23

2.3.1 Espaces des approximations

Dans l'espace .c2(R) des signaux à énergie finie on définit une suite discrète desous-espaces fermés VjEZ vérifiant les propriétés suivantes

1.

UVj dense dans .c2(R)JEZ

2. Toutes les translatées temporelles entières d'un élément de Vo sont dans Vo :

\fX(U)EVo et kEZ =} x(u-k) EVo,

3. Toute fonction de Vj dilatée ou comprimée de 2j est dans Vo :

4. Il existe une fonction normée, ~o(u) de Vo telle que l'ensemble de ses translatées

~o(U - k) k E Z

est une base de Vo. Cette fonction, ~o(u), est la fonction d'échelle.

Avec ces conditions

1. les fonctions

(2.1)

constituent une base de Vj.

2. ~l(U) == 1/V2~o(u/2) est dans Vo. Elle est donc une combinaison linéaire desfonctions de base (~o(u - k)) de Vo

~l(U) == L: Uk~O(U - k) == (u * ~o)(u)k

(2.2)

Cette équation reliant les fonctions d'échelle à 2 échelles peut être réécrite à uneéchelle, en utilisant la relation 2.1,

~o(V) == V2L: uk~o(2v - k)k

(2.3)

La séquence Uk est la séquence génératrice de la fonction d'échelle: elle définitla multirésolution en permettant d'engendrer la famille des fonctions d'échelle auxdifférentes échelles. Cette séquence joue un rôle fondamental dans l'AMR.

Les fonctions d'échelle ~j,k, pour k E [-00, +00] engendrent l'espace Vj des ap­proximations à l'échelle j.

24CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES DICRÈTES, ANALYSE MULTIRÉSOLUTIC

W détails 11

V 1 approx 1 W 2 détails 2

V 2 approx 2

Figure 2.2: Espaces emboités

2.3.2 Espaces des détails

L'espace Wj complémentaire de Vj dans Vj-l est l'espace des détails à l'échelle j(figure 2.2).

A partir de la fonction d'échelle 1/Jo, il est possible de construire une ondelettemère <Po. L'espace des détails à l'échelle j est engendré par les ondelettes

(2.4)

obtenues par changement d'échelle et translation en temps de l'ondelette mère.L'ondelette <Pl (u) est dans le sous-espace WI qui est contenu dans Vo. Les fonctions

d'échelle translatées 1/Jo(u - k) constituent une base de Vo. Il s'ensuit que l'ondelette<Pl (u) est une combinaison linéaire des fonctions d'échelle translatées:

<Pl (u) == L Vk1/Jo (U - k) == (v * 1/Jo) (u ).k

Cette relation peut être écrite, en utilisant 2.4,

(2.5)

<Po(V) == V2L vk1/Jo(2v - k). (2.6)k

Comme les fonctions d'échelle, les ondelettes sont engendrées par une séquencegénératrice, Vk, qui définit l'AMR.

2.3.3 Les différents types d'ondelettes

Ondelettes semi-orthogonales

Le sous-espace des détails, Wj, est le complémentaire orthogonal du sous-espacedes approximations Vj dans le sous-espace des approximations Vj-l. Il s'ensuit que2 ondelettes d'échelles différentes sont orthogonales. Cela n'implique pas que 2 on­delettes de même échelle soient orthogonales. Les ondelettes orthogonales entreles échelles mais non-orthogonales à une échelle sont appellées ondelettes semi­orthogonales. Elles vérifient la relation

\:Ij, j', k, k' < <pj,kl<pj/,kl >== 8j,jl f(k, k')

On peut imposer une orthogonalité des ondelettes à la même échelle ce qui conduitaux ondelettes orthogonales.

2.4. L'ALGORITHME PYRAMIDAL DE TRANSFORMATION EN ONDELETTES DISCRÈTES (T

Ondelettes orthogonales

Les ondelettes orthogonales ont un grand intérêt car elles constituent une baseorthonormée de l'espace des signaux, ce qui facilite l'inversion de la transformation.Ces ondelettes vérifient la relation

Vj,j',k,k'

2.3.4 Reconstruction du signal

Pour reconstruire le signal on utilise la base réciproque, ~k,l, telle que

Vj,j',k,k'

Dans cette base le signal est donné à partir des coefficients de détails

et de l'approximation ultime au par

x(u) == ~~ dx(j, k)~j,k(U) + au(u).j k

Dans une base d'ondelettes semi-orthogonales la base duale est calculée à chaqueéchelle puisque les ondelettes d'échelles différentes sont orthogonales.

Dans une base d'ondelettes orthogonales, la base réciproque est égale à la basedes ondelettes. Le signal est reconstruit à partir des coefficients de détails et desondelettes

x(u) == ~~dx(j,k)c/Jj,k(U) +au(u).j k

2.4 L'algorithme pyramidal de transformation en onde­lettes discrètes (TOD)

Cet algorithme joue un rôle important car il réalise une AMR élégante et rapide.Les coefficients de détails, obtenus aux différentes échelles, donnent une transforméeen ondelettes discrètes (TOD).

2.4.1 Relations entre échelles

Soit la fonction d'échelle

La relation entre échelles (2.3) donne

2- j / 2,,/. (u-~jk)==2-(j/2)-1 '" U ,,/. (U---:2jk_p)==2-(j/2)-1 '" u ,,/. (U-2

j-.

1(2k+ p ))

If/Û 2) L-ip plf/Û 2)-1 L-ip plf/Û 2)-1

26CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES DICRÈTES, ANALYSE MULTIRÉSOLUTIC

soit, finalement1f;j,k(U) == LUp1f;j-l,2k+p(U). (2.7)

p

En utilisant la relation (2.6) on obtient de même pour les ondelettes

cPj,k(U) == LVp1f;j-l,2k+p(U). (2.8)p

2.4.2 Analyse: construction des approximations et des détails auxdifférentes échelles

Appelons ax(j, k) et dx(j, k) les approximations et les détails à l'échelle j et autemps k. En utilisant la relation 2.7 on obtient pour les coefficients d'approximation

ax(j, k) ==< 1f;j,kl x >== L up < 1f;j-l,2k+plx >== L Un-2k < 1f;j-l,nl x >,p n

et pour les coefficients de détail (relation 2.8)

dx(j, k) ==< cPj,kl x >== L vp < 1f;j-l,2k+plx >== L Vn-2k < 1f;j-l,nl x > .p n

Les coefficients d'approximation et de détail à l'échelle j sont donc, en. fonctiondes coefficients d'approximation à à l'échelle j - 1

n

dx(j, k) == L vn-2kax(j - 1, n).n

(2.9)

(2.10)

On obtient les coefficients d'approximation et les coefficients de détail à l'échelle jpar la convolution, le filtrage, des coefficients d'approximation à l'échelle précédentepar les séquences générant l'AMR, suivie d'un sous-échantillonnage d'un facteur2. Le sous-échantillonnage est naturel car le filtrage peut être vu comme un filtrepasse-haut pour les détails et un filtre passe-bas pour l'approximation. Ces filtresdivisent par 2 la bande passante.

Les réponses impulsionnelles des filtres donnant les détails, 91 (n), et les approxi­mations, hl (n), sont des copies retournées des séquences génératrices

hl(n) == u(-n)

9l(n) == v(-n)

Le synoptique de l'algorithme d'analyse est donné sur la figure 2.3.Partant d'un signal formé de N == 2P échantillons à l'échelle 1 on obtient N /2

coefficients de détail, que l'on conserve, et N /2 coefficients d'approximation. Cetteapproximation donne N /4 coefficients de détail, que l'on conserve, et N /4 coefficientsd'approximation, et ainsi de suite. On voit facilement, qu'à chaque étape le total descoefficients de détail et de l'approximation ultime est N: on conserve donc, à chaqueétape, la même quantité d'information.

2.4. L'ALGORITHME PYRAMIDAL DE TRANSFORMATION EN ONDELETTES DISCRÈTES (T

x(n)initialisation t--~-+

sous-échantillonnaged'un facteur 2

Figure 2.3: Algorithme pyramidal d'analyse

2.4.3 Initialisation de l'AMR

Le signal x(u) n'est pas forcément dans Va on doit donc, en toute rigueur, utiliserdes algorithmes d'initialisation [6], qui projettent le signal original sur l'espace Va.

2.4.4 Synthèse: reconstruction du signal

On utilise les propriétés des espaces emboîtés: l'espace des approximations Vj-lest la somme des espaces des approximations Wj et des détails Vj

L'approximation à l'échelle j - 1 est une combinaison linéaire de l'approximationet des détails à l'échelle j

L ax(j - 1, k)1/Jj-l,k(U) == L ax(j, l)1/Jj,z(u) + dx(j, l)cjJj,z(u).k Z

En utilisant les relations 2.10 il vient

L ax(j - 1, k )1/Jj-l,k(u) == L L upax(j, l)1/Jj-l,2Z+p(u) + vpdx(j, l)1/Jj-l,2Z+p(u)k p Z

En posant 2l +p == k, l'approximation à l'échelle j - 1 est donnée, en fonction del'approximation à l'échelle j et des détails à l'échelle j, par la relation

(2.11 )

où

et

n n

92(n) == Vn ·

Pour obtenir l'approximation au niveau j - 1 il faut entrelacer des 0 (additiond'un zéro entre chaque échantillon) et appliquer les filtres passe-bas h2 ou passe-haut

92·

~------------------------------------------------~~

28CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES DICRÈTES, ANALYSE MULTIRÉSOLUTI(

x(n)initialisation 1--__-+

sous-échantillonnaged'un facteur 2

Entrelacementde zéros

Figure 2.4: Algorithme pyramidal d'analyse-synthèse

En partant de l'approximation et des détails à la dernière échelle d'analyse, onreconstitue ainsi les approximations à toutes les échelles et finalement le signal (figure2.4).

2.4.5 Construction des fonctions échelles et des ondelettes par fil­trage

Les relations 2.11 donnent un moyen de construction des ondelettes et des fonc­tions d'échelle par filtrage. Supposons que le signal traité soit formé d'une ondelette,ou d'une fonction échelle, à l'échelle j. A cette échelle tous les coefficients serontnuls sauf dx(j, n), ou ax(j, n), pour un n donné. On obtiendra donc l'ondelette ou lafonction échelle en filtrant un Dirac par le filtre G2 , pour les ondelettes ou le filtreH 2 , pour les fonctions échelle.

2.5 Interprétation de la TOD en fréquence

2.5.1 Définitions

On introduit les représentations fréquentielles de la fonction échelle et de l'onde­lette

WO(II) = J'l/Jo(v)e-27rjvvdv

<po(lI) = J</Jo (v)e-27rjVvdv,

2.5. INTERPRÉTATION DE LA TOD EN FRÉQUENCE 29

On définit de la même façon les représentations fréquentielles des séquences génératrices(U(v) et V(v)), des filtres d'analyse et de synthèse (Hl (v), H2 (v), G1 (v) et G2 (v))et des coefficients d'approximation et de détails (Ax(j, v) et Dx(j, v)).

Le signaux étant échantillonnés avec un pas de 1 les représentations fréquentiellesdes séquences génératrices, filtres d'analyse et de synthèse, des coefficients de détailet d'approximation, sont des fonctions périodiques en v de période 1.

2.5.2 Les séquences génératrices (filtres) pour l'analyse et la synthèseen fréquence

Les relations entre 2 échelles pour les fonctions échelle (2.3) et pour les ondelettes(2.6) s'écrivent, en tenant compte des propriétés de convolution et de changementd'échelle de la transformation de Fourier,

(2.12)

(2.13)

Analyse

De même, les relations permettant le calcul des coefficients d'approximation et dedétail entre les échelles (2.10) sont

On voit sur cette relation qu'en passant de l'échelle j - 1 à l'échelle j la bandepassante des détails et des approximations est divisée par 2.

Synthèse

Les relations permettant de calculer l'approximation à l'échelle j - 1 en fonctionde l'approximation et des détails à l'échelle j (synthèse, 2.11) sont

Le facteur 2v est significatif de l'élargissement de la bande passante.

2.5.3 Propriétés des séquences génératrices, filtres en sous-bandes

Les translatées des fonctions échelle constituent une base des espaces d'approxi­mation. Pour que les translatées des fonctions d'échelle constituent une base ortho­normée il faut que

30CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES DICRÈTES, ANALYSE MULTIRÉSOLUTIC

soit

L Iw(v + k)1 2== 1.

k

En combinant avec 2.13, et en posant v == 2'fJ, on obtient

Ek IU(7J+~)12IW(7J+~)12==ElIU(7J+l)12Iw(7J+l)12+ElIU(7J+l+~)12Iw(7J+l+~)12==1.

Les représentations fréquentielles étant périodiques de période 1

IU('fJ) 12 L Iw('fJ + l)1 2 + U('fJ + -21

)1 2 L Iw(ry + l + !)12= 1,

l l 2

ce qui entraine, pour la représentation fréquentielle de la séquence génératrice

1 1jU(II)1

2+ IU(1I + 2)1 2= 2'

De même l'orthogonalité des ondelettes impose

1 1IV(II) 12 + 1V(1I + 2)12

= 2'L'orthogonalité des ondelettes et des fonctions d'échelle conduit à

(2.14)

(2.15)

(2.17)

L ~(v + k)w*(v + k) == O. (2.16)k

La relation entre les représentations fréquentielles des séquences génératrices desondelettes V(À) et des fonctions d'échelle U(À) qui s'en déduit est

1 1U(II)V*(II) + U(1I + 2)V*(11 + 2) = 0

cette relation est vérifiée par

V(II) = e27rj (v+l/2)U*(11 + !),2

La relation entre les réponses impulsionnelles des 2 filtres associés aux séquencesgénératrices est alors

Vk == (-1)k u1 _k.

L'ondelette est donnée, à partir de la fonction d'échelle par

q;(v) == V2L(-1)kul_k~(2v- k).k

Toujours dans la même analyse mathématique, que nous n'avons pas approfondie,on obtient les résultats suivants

• pour les fonctions d'échelle

w(O) -# 0 U(O) == 1 U(lj2) == 0

ceci nous indique que la fonction d'échelle et le filtre associé sont passe-bas,

• pour les ondelettes

~(O) == 0 V(O) == 0 IV(lj2)1 == 1

ceci nous indique que l'ondelette et le filtre associé sont passe-haut.

2.6. FILTRES EN SOUS-BANDES

'l'(t) ~~

1

q>(t)

1

31

o 1

.....-t o

-1

1

fonction échelle ondelette

Figure 2.5: Fonction échelle et ondelette de Haar

2.6 Filtres en sous-bandes

La TOD met en jeu 4 filtres

• les filtres passe-bas Hl et passe-haut Gl donnant les approximations et lesdétails à l'échelle j à partir des approximations et des détails à l'échelle j - 1,

• les filtres inverses, passe-bas H2 et passe-haut G2 , permettant de reconstruireles approximations et les détails à l'échelle j - 1 à partir des approximationset des détails à l'échelle j.

Les réponses impulsionnelles de ces filtres sont des copies retournées des séquencesgénératrices (2.4.2) elles vérifient, en fréquence, les relations 2.14, 2.15 et 2.16 soit

2 1 2 1IH1(v)1 + IH1(v + 2)1 = 2'

2 1 2 1IG1(v)1 + IG1(v + 2)1 = 2'

Hl(V)Gi(V) + Hl(V + ~)Gi(v + ~) = 0

Ces filtres miroirs en quadrature, ou filtres en sous-bandes, découpent la bandepassante en deux bandes orthogonales complémentaires.

2. 7 Quelques ondelettes

2.7.1 Fonction échelle et ondelette de Haar

La fonction d'échelle de Haar est (figure 2.5)

1/Jo(u) = { ~ si 0:S U < 1SInon

Le filtre associé à cette fonction échelle est obtenu en projetant 'l/Jo sur 'l/Jl,k (voir2.3)

J { -.L si k == 0, 1uk==V2 'l/Jo(v)'l/Jo(2v-k)dv== J2.o SInon

32CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES DICRÈTES, ANALYSE MULTIRÉSOLUTIC

le filtre associé à l'ondelette est, (relation 2.17)

k==Ok==1

L'ondelette de Haar (relation 2.6) est donnée par

cPo(v) == ~o(2v) - ~o(2v - 1),

soit

{

1 si 0 :S v < ~cPo (v) == -1 si ~:S v < 1 .

o sinon

Fonctions échelles et ondelettes de Battle-Lemarié

La fonction d'échelle et l'ondelette de Haar sont mal conditionnées en temps et enfréquence: discontinues en temps et mal localisées en fréquences. On a donc cherchéà créer des ondelettes mieux conditionnées.

Les ondelettes de Battle-Lemarié sont déduites d'une fonction d'échelle apparte­nant à la famille des splines qui sont obtenues par autoconvolution de la fonctiond'échelle de Haar. La première de ces fonctions d'échelle est

~ (u) == { = 1 - 1~ 1 si== 0 SInon

-1:Su<1

Ces fonctions d'échelle ne forment pas une base normée. On les norme en rem­plaçant ~(u) par ~+ (u) dont la TF est

Les ondelettes qui s'en déduisent ont une meilleure régularité en temps et sontmieux localisées en fréquences que les ondelettes de Haar .

Fonctions échelles et ondelettes de Daubechies

Les ondelettes de Battle-Lemarié ont un inconvénient: le filtre qui les définit,et les ondelettes, sont de durée infinie. Les ondelettes de Daubechies ont le grandavantage d'être à support temporel compact (fini).

Pour que l'ondelette soit à support fini, il faut que le gain complexe du filtreassocié

V(v) == L vke-21rjvk

k

soit un polynome trigonométrique de degré fini vérifiant la relation (2.15)

1 1lV(v)1

2 + lV(v + 2)1 2= 2·

2.7. QUELQUES ONDELETTES 33

Représentation temps I~I Représentation fréquence

4 "r------.,-.---------,---

o

4

o50 100 o 0.2 0.4

50 100 o 0.2 0.4

Figure 2.6: Ondelettes de Daubechies

34CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES DICRÈTES, ANALYSE MULTIRÉSOLUTIC

-IPBY~

~PHY~

--l PBY~

Détails diagonaux

Détails verticaux(selon x)

Détails horizontaux(selon y)

Approximation

Figure 2.7: Transformée en ondelettes discrètes d'une image 2D

1. Daubechies a proposé de donner à IV(v)12 la forme

p (x) étant un polynôme de degré r - 1.Le polynôme P(x) doit vérifier la relation

ce qui conduit à

P(x) = ~ ( k _ 1 k) xk.

k=O r + 'Les ondelettes de Daubechies de degré r ont un degré de régularité de r et un

support de longueur 2r.La construction des ondelettes de Daubechies fixe le module du gain complexe du

filtre associé aux ondelettes mais ne détermine pas la phase de ce filtre. Il existe doncplusieurs ondelettes de degré r et dans cette famille on peut fixer la phase: phaseminimale, phase maximale, phase quasi-linéaire (il n'est pas possible d'obtenir unephase parfaitement linéaire). Pour adapter la phase on choisit la position des zérosdans la fonction de transfert en Z du filtre associé à l'ondelette.

2.8 Signaux à plusieurs dimensions

On peut appliquer la TOD à des signaux dépendant de plusieurs variables. Illus­trons cette transformation sur les images qui sont des signaux à 2 dimensions.

Soit une image f(x, y) dépendant des variables x et y. Pour réaliser la TOD decette image on applique le filtrage passe-bas et le sous-échantillonage d'un facteur2 (par la fonction d'échelle) et le filtrage passe-haut et le sous-échantillonage d'unfacteur 2 (par l'ondelette) successivement sur les variables x et y (figure 2.7). Apartir d'une image de N 2 pixels on obtient 4 imagettes ayant chacune N2/4 pixels.On obtient ainsi (figure 2-.7)

35

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1100

0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1100

050

50o

o

o

o

50

50

100

100

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1100

0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1100

050

50o

o

2.9. CONCLUSION

Figure 2.8: TOD-2D de deux images

• l'imagette des approximations, qui sélectionne les variations lentes (bassesfréquences) ,

• l'imagette des détails selon y, qui sélectionne les détails horizontaux,

• l'imagette des détails selon x, qui sélectionne les détails verticaux,

• l'imagette des détails selon x et y, qui sélectionne les détails diagonaux.

On continue la transformation en décomposant l'imagette des approximations en3 imagettes des détails, verticaux, horizontaux et diagonaux et une imagette desapproximations. Et ainsi de suite...

Cette TGD - 2D permet de sélectionner dans une image les structures à variationslentes et les structures présentant des variations rapides selon les axes horizontaux,verticaux ou diagonaux. Elle est utilisée dans les systèmes de communication et destockage des images pour réaliser une compression d'information (JP EG).

Nous donnons sur la figure 2.8 la première étape de la décomposition en ondelettesde 2 images "simples". On voit sur cet exemple la sélection des différents composantesde l'image par la décomposition en ondelettes.

2.9 Conclusion

L'analyse multirésolution permet de construire, de manière simple et rapide, desbases complètes orthogonales en utilisant l'algorithme pyramidal. Cette nouvelle

36CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE EN ONDELETTES DICRÈTES, ANALYSE MULTIRÉSOLUTIC

technique de représentation des signaux a de nombreuses applications pour le trai­tement, le stockage ou la transmission des signaux et des images. Parmi les appli­cations de l'AMR nous citerons la compression d'information pour la transmissionou le stockage des signaux et des images, la séparation de signaux dans le plantemps-échelle...

La technique de construction de bases qui se déduit de l'AMR peut être utilisée,comme nous le verrons dans le chapitre suivant, pour la réduction de bruit ou ladétection de signaux transitoires.

L'AMR est un champ de recherche qui recelle encore de multiples possibilités.

Chapitre 3

Réduction de bruit,compression, paquetsd'ondelettes

3.1 Introduction

Dans ce chapitre nous allons illustrer les propriétés de la transformation en onde­lettes pour le débruitage ou la compression d'information.

Le débruitage concerne les situations dans lesquelles un signal utile est pollué parun bruit additif. Le signal observé r(t) s'écrit

r(t) == s(t) + b(t),

s(t) est le signal utile et b(t) le signal parasite ou bruit. A partir de r(t) on veutretrouver, au mieux, s(t). On peut décrire cette situation en partitionnant l'espacecontenant le signal en 2 sous- espaces: le sous-espace bruit, qui ne contient que dubruit, et le sous-espace signal qui contient tout le signal et du bruit. En projetantle signal observé sur le sous-espace signal on réduira le bruit. Pour réaliser cetteopération de réduction de bruit on doit déterminer le sous-espace signal. Si l'onconnaît la forme du signal utile on en déduit aisément le sous-espace signal. Nousenvisageons ici le cas où le sous-espace signal est inconnu et doit être obtenu àpartir du signal observé. Cette situation est dénommée traitement adaptatif car letraitement doit s'adapter au signal observé. On qualifie aussi ces traitement d'aveugleou d'autodidacte. La méthode de recherche qui vient à l'esprit consiste à projeter lesignal observé sur une base et à mettre en œuvre un critère de choix permettant dedistinguer les composantes qui appartiennent à chacun des 2 sous-espaces.

La recherche des sous-espaces signal et bruit en utilisant une seule base est peuefficace car on ne sait pas si cette base est bien adaptée au signal utile cherché.La réduction de bruit sera d'alItant plus efficace que le sous-espace signal sera dedimension faible. La solution idéale est celle pour laquelle le sous-espace signal estle plus concentré possible c'est à dire lorsque ce sous-espace est de dimension 1.Pour obtenir cette solution il faut que l'un des vecteurs de base soit proportionnel

37

38CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE BRUIT, COMPRESSION, PAQUETS D'ONDELETTES

(colinéaire) au signal. On se retrouve alors dans une situation qui rappelle le filtreadapté mais avec une différence importante: dans la mise en œuvre du filtre adaptéon doit connaître la forme, ici inconnue, du signal utile.

Pour obtenir cette base "optimale" il faut mettre en concurrence plusieurs, uneinfinité à la limite, bases possibles. Nous allons montrer que les paquets d'ondelettesqui se déduisent de l'AMR permettent de construire des familles de base et, enutilisant un critère de sélection distinguant le signal utile du bruit, de sélectionnerla meilleure base, selon un critère [4, 5].

La technique de réduction de bruit que nous venons de décrire peut égalements'appliquer pour la compression d'information. L'objectif de la compression d'in­formation est de décrire un signal avec un nombre minimal de paramètres. Cettetechnique est très utilisée dans les systèmes de communication car elle permet d'op­timiser le débit d'un système de communication ou de réduire la taille de la mémoirenécessaire pour stocker un signal. La compression d'information est particulièrementutilisée pour le codage des données nécessitant des mémoires importantes, c'est enparticulier le cas du stockage ou de la transmission des images. Cette application im­portante ne sera pas développée ici. Elles est décrite dans les cours sur le traitement,la transmission et le stockage des images. Les ondelettes jouent un rôle importantdans la compression d'information.

Plusieurs méthodes de construction des familles de bases ont été développées: on­delettes de Malvar, paquets d'ondelettes. Nous présentons les paquets d'ondelettes.

3.2 Les paquets d'ondelettes

Les paquets d'ondelettes se déduisent directement de l'analyse multirésolution(AMR).

3.2.1 Présentation

Dans l'AMR le signal est décomposé, par filtrage passe-bas et passe-haut, endeux composantes: l'approximation et les détails. Cette opération est itérée surl'approximation donnant ainsi une suite de signaux de détail qui constituent la TOD.

Dans la transformation en paquets d'ondelettes on décompose également les détails,au moyen d'un filtre passe-bas et d'un filtre passe-haut complémentaires. Le filtrepasse-bas donne l'approximation des détails, le filtre passe-haut donne les détails desdétails. Dans l'AMR on itère cette opération uniquement sur les approximations.Dans la méthode des paquets d'ondelettes on itère cette opération à la fois sur lesdétails et sur les approximations. Ceci conduit à une décomposition arborescente quiengendre une collection de bases.

Décrivons cette collection de bases. Pour ce faire nous associons à chaque baseun pavage du plan temps-fréquence (figure 3.1). Cette illustration donne une idéeintuitive des vecteurs de chaque base et des éléments la composant. En appliquantles filtres passe-haut et passe-bas on passe de l'échelle p à l'échelle p + 1.

Considérons un signal discret de N points, N étant une puissance de 2 pourdes raisons pratiques. A l'échelle D·les vecteurs de base sont des "Diracs" décalés

3.2. LES PAQUETS D'ONDELETTES

fréquence

échelle 0

échantillons du signalN

temps

39

échelle 1

échelle 2

d d d d

a a a a

dd dd

ad ad

da da

aa aa

famille des détailsN /2 termes

famille des approximationsN /2 termes

famille des détails des détailsN /4 termes

famille des approximations des détailsN /4 termes

famille des détails des approximationsN /4 termes

famille des approximations des approximationsN /4 termes

Figure 3.1: Pavage du plan temps-fréquence par des bases issues des paquets d'on­delettes à différentes échelles

d'un échantillon en temps. A cette échelle les vecteurs de base forment une famillehomogène de N vecteurs de base. A l'échelle 1 les filtres passe-haut donnent une fa­mille de vecteurs de base occupant, en fréquence, la demi-bande supérieure, les filtrespasse-bas donnent une famille de vecteurs de base occupant, en fréquence, la demi­bande inférieure. Après filtrage la bande passante des signaux est divisée par 2 il suffitdonc d'un échantillon sur 2 pour les décrire (selon le thérorème d'échantillonnage).On sous-échantillonne les signaux filtrés d'un facteur 2 ce qui conduit à deux famillesde N /2 vecteurs de base. A l'échelle 2 on scinde chacune des bandes passantes en2 sous-bandes ce qui conduit à 4 familles de vecteurs de base de N /4 vecteurs. Etainsi de suite...

On peut également représenter la décomposition en paquets d'ondelettes parune structure arborescente comme le montre la figure 3.2. Dans cette figure nousreprésentons par "a" les approximations issues d'un filtre passe-bas et par "d" ledétails issus d'un filtre passe-haut.

La décomposition en paquets d'ondelettes produit une collection de vecteurs debase. La durée et corrélativement la bande passante des vecteurs de base dépend del'échelle. A chaque échelle les vecteurs de base réalisent un recouvrement completdu plan teml)s-fréquence (figure 3.1). On peut espérer que le signal utile sera bienreprésenté par une, ou par la composition d'un nombre faible, de vecteurs de base.Si l'on est capable de sélectionner ces vecteurs on construira un sous-espace signalde dimension faible qui permettra un débruitage- efficace.

40CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE BRUIT, COMPRESSION, PAQUETS D'ONDELETTES

titre passe-bas

signal échantillonné

titre passe-haut

Échelle 0

Échelle 1

titre passe-haut

Échelle 2

Figure 3.2: Structure arborescente de la décomposition en paquets d'ondelettes

Les paquets d'ondelettes donnent une collection de bases redondantes. Pour unsignal formé de N points (N == 2P ) à l'échelle 0 on obtient 1 famille de N vecteurs debase identiques: ce sont des "Diracs discrets" couvrant tout l'axe des fréquences,ils forment une base complète. A l'échelle 1 on obtient 2 familles de vecteurs debase couvrant les hautes et les basses fréquences. Comme on a divisé par 2 la bandepassante on doit sous-échantillonner le signal d'un facteur 2. Les N /2 vecteurs dela famille haute fréquence et les N /2 vecteurs de la famille basse fréquence formentune nouvelle base complète. Et ainsi de suite... Finalement pour q échelles on a crééN q vecteurs de base pour représenter un signal à N dimensions. La collection devecteurs de base est redondante. Notons qu'à chaque niveau on engendre une basecomplète non redondante.

Les paquets d'ondelettes ont une propriété très utile. On sait sélectionner dans lacollection des bases redondantes N vecteurs de base constituant une base complètenon redondante. Pour cela quand on a sélectionné une famille de vecteurs de baseà une échelle on ne retient pas les vecteurs des échelles inférieures qui, dans lareprésentation arborescente (figure 3.2), sont connectés à la famille retenue. Nousillustrons la construction d'une base orthonormée complète non-redondantes sur lafigure 3.3 .

En conclusion les paquets d'ondelettes permettent de construire un vaste ensemblede bases. Dans cet ensemble nous mettrons en jeu un critère pour sélectionner labase la mieux adaptée au signal traité.

3.2.2 Indiçage des composantes

Les composantes du signal sur les vecteurs de base des paquets d'ondelettesdépendent (voir figure 3.4)

• de l'échelle, indicée par e, variant de 0 à une valeur maximale, emax , fixée demanière à borner inférieurement le nombre de composantes d'une famille,

• de la famille, indicée par i, à l'échelle e. Le nombre de familles à l'échelle e est2e .

3.2. LES PAQUETS D' signal échantillonné 41

~ l fréquence

dd dd

ad ad

a a a a

~temps

Figure 3.3: Une base orthonormale complète non-redondante construite avec lespaquets d'ondelettes

• du temps n qui indice les composantes du signal sur les vecteurs de base dechaque famille. A l'échelle e pour un signal initial de N échantillons il yaN/2e

composantes sur chaque vecteur de base de la famille.

On notera les composantes issues de la projection sur les paquets d'ondelettes

r(e,i,n)

avec, pour un signal de N échantillons, 0 :S e :S emax , 0 :S i < 2e et 0 :S n < N /2e .

Après avoir construit une famille de bases il faut sélectionner la base adaptée ausignal et au bruit. Pour cela on utilise des critères. Famille: indice i

011.-- _

1 1 a : famille i=O"-----

d : famille i=1

21 aa :famille i=O 1 Ida: famille i=1 1 1ad : famille i=21 Idd : famille i=31

Échelleindice e

Figure 3.4: Les familles de vecteurs de base aux différentes échelles

"------------------------------------~---~~-----------~--- ------

42CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE BRUIT, COMPRESSION, PAQUETS D'ONDELETTES

3.3 Les critères de choix

A l'échelle e dans la famille i les fonctions de base forment une famille de N/2e

translatées 1Je,i (t - n). La décision élémentaire est de savoir si les fonctions de base1Je,i(t - n) sont dans l'espace signal ou dans l'espace bruit. Le critère sera donc unefonction de e et i calculée à partir des composantes r(e,i,n). Nous avons vu en(3.2.1) que les variables e et i fixent la forme du pavage et la position, en fréquence,dans le plan temps-fréquence. La variable n quand à elle définit la position en temps.Dans le calcul du critère que nous venons de présenter le temps est la variable passive(on ne cherche pas à localiser les fonctions de base en temps) et la fréquence est lavariable active: on cherche à localiser les fonctions de base en fréquence.

Il existe une approche duale, que nous ne présenterons pas ici, dans laquelle lafréquence est la variable passive et le temps la variable active. Cette approche estfondée sur les ondelettes de Malvar qui réalisent un pavage du plan temps-fréquencedual de celui réalisé par les paquets d'ondelettes.

En revenant aux paquets d'ondelettes la question du critère se formule ainsi: poure et i fixé, nous disposons de Ne == N/2e composantes du signal observé r(e,i,n) etnous voulons savoir si ces composantes doivent être affectées au sous-espace signalou au sous-espace bruit. Plusieurs critères ont été proposés en se fondant sur unecaractérisation "qualitative" du signal et du bruit [4, 5].

Les critères à seuil

On peut considèrer que le bruit est assez régulièrement distribué dans le plantemps-fréquence alors que le signal est localisé dans certaines zones du plan temps­fréquence. Cette approche est communément utilisée dans la réduction de bruitdans des situations stationnaires: le bruit est souvent supposé blanc, sa puissanceest uniformément répartie en fréquence, alors que le signal est passe-bas ou passe­bande: localisé en fréquence. Cela conduit à des critères à seuil: on compare lapuissance

1P(e, i) = N 2:::1r (e, i, nW,

e n

des composantes de la famille e, i a un seuil. Les valeurs importantes sont attribuéesà l'espace signal, les valeurs faibles à l'espace bruit. Il reste à définir le seuil. On aproposé des seuils absolus, définis a priori, ou des seuils relatifs dont la valeur estun pourcentage (à fixer) de la puissance totale du signal observé.

Les critères entropiques

Ces critères se fondent sur l'idée que le signal est relativement ordonné et que lebruit est "désordonné". Cette idée d'ordre et de désordre est rattachée à l'entropie,définie en thermodynamique et réintroduite dans la théorie de l'information. Onutilise généralement l'opposée de l'entropie, la néguentropie, qui est une mesure del'ordre.

Il existe plusieurs néguentropies issues de la théorie de la communication

3.4. STRATÉGIES DE RECHERCHE

• la néguentropie non-normalisée

s(i,e) == - Llr(e,i,n)12 1nlr(e,i,n)12,

n

• la néguentropie de Shannon

43

ss(i,e) == - Ly(e,i,n)lny(e,i,n)n

avec. Ir(e,i,n)1 2

y(e,'t,n) = L: 1 ( . )1 2 "n r e,~, n

Les critères d'écart à la gaussiannité

On peut aussi considérer que le bruit est gaussien alors que le signal ne l'est pas.On en déduira des critères en chiffrant l'écart à la gaussiannité.

Les critères entropiques sont des critères d'écart à la gaussiannité. Dans une fa­mille de variables aléatoires la variable gaussienne est celle qui a une entropie maxi­mum, donc une néguentropie minimum.

On peut également se fonder sur le critère de kurtosis [7, 8]. Le kurtosis d'unevariable aléatoire x, est le cumulants d'ordre 4 normalisé

Le kurtosis d'une variable aléatoire gaussienne est nul. On peut donc prendrele module (car le kurtosis peut être négatif ou positif) du kurtosis comme critèred'écart à la gaussiannité.

Le critère du kurtosis est

avec. Ne lr(e,i,n)1 2

y(e,'t,n) = L: 1 ( " )1 2 "n r e,~, n

Il existe encore d'autres critères, vous pouvez en proposer ...

3.4 Stratégies de recherche

Les bases engendrées par les paquets d'ondelettes peut être représentée par unestructure arborescente (figure 3.2). Nous schématisons sur la figure 3.5 cet arbre desvecteurs de base. Comme nous l'avons indiqué pour construire une base orthonormalecomplète lorsque un noeud de l'arbre est sélectionné on ne retient pas les vecteursassociés aux nœuds "fils" qui s'en déduisent. Plusieurs stratégies de recherche de labase optimale ont été utilisées.

Méthode de la meilleure échelle

Dans cette méthode on compare le critère obtenu aux différentes échelles et l'onretient l'échelle qui conduit au critère maximal. A chaque échelle les valeurs ducritère c(e, i) sont fonctions de la famille i. Pour associer un critère à la famille onpeut

44CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE BRUIT, COMPRESSION, PAQUETS D'ONDELETTES

Figure 3.5: L'arbre des bases

- - - - - - ~ Critère

Echelle

"+-......~----I~-.......-+--.......~-.......~--+--\o----I- ......---I-+-------' retenue

Figure 3.6: Recheche de la meilleure échelle

• prendre la somme ou la somme des carrés des critères en fonction de la famille,

• retenir la valeur maximale du critère...

Cette méthode est illustrée sur la figure 3.6.

Méthode de la meilleure base

Dans cette méthode on part de l'échelle la plus élevée (la décomposition en bandesde fréquences la plus étroite) et l'on compare le critère des nœuds de cette échelle auxcritères des nœuds pères. Si le critère des nœuds pères est plus élevé on conserve lenœud père sinon on conserve les nœuds fils. On passe ensuite à l'échelle inférieure etl'on réalise la même opération sur les nœuds retenus à cette échelle. Cette rechercheest illustrée sur la figure 3.7.

On pourrait imaginer d'autres stratégies de recherche...

3.5. ILLUSTRATION

Figure 3.7: Recheche de la meilleure base

3.5 Illustration

base retenue

45

Nous illustrerons cette méthode de recherche en présentant une méthode de re­cherche de transitoires développée dans la thèse de Ph. Ravier [8].

Une application vous sera proposée lors des BE.

3.6 Conclusion

Les ondelettes constituent depuis leur introduction, il y a une vingtaine d'années,un domaine de recherche très riche en analyse fonctionnelle et en traitement dusignal.

En traitement du signal et des images les ondelettes ont permis de développerdes méthodes de représentation des signaux (TOC et scalogramme) qui concur­rencent les techniques classiques de représentation temps-fréquence centrées sur lareprésentation de Wigner-Ville. Des études sont encore en cours dans ce domaine,en particulier pour la généralisation à la classe affine (l'espace des ondelettes) despropriétés de la représentation de Wigner-Ville.

Les ondelettes jouent également un rôle important dans le codage et le stockagedes signaux. En sélectionnant dans une base, construite à partir des ondelettes,les composantes les plus significatives on réalise une compression d'information.Ces techniques sont utilisées dans les systèmes opérationnels de codage des images(JPEG).

Le débruitage, et des problèmes connexes comme la détection de transitoires, ontété résolus en mettant en compétition des bases redondantes construites à partir desondelettes: paquets d'ondelettes et ondelettes de Malvar par exemple.

La modélisation des signaux par les ondelettes et l'analyse multirésolution sontégalement utilisées en physique pour représenter la cascade d'énergie dans les écoulementsturbulents. Dans ce domaine les ondelettes permettent de représenter les trans­ferts d'énergie entre les structures à différentes échelles qui se développent dans

46CHAPITRE 3. RÉDUCTION DE BRUIT, COMPRESSION, PAQUETS D'ONDELETTES

un écoulement turbulent.Bien que des questions restent ouvertes, comme le choix, dans un problème donné,

de la meilleure ondelette mère les ondelettes ont été un puissant vecteur de progrèsen traitement du signal et des images, dans l'analyse fonctionnelle et en physique dela turbulence...

-----------------------------------------~-~-- -

ENSIEG, Option ATIS Octobre 2006

SYNTHESE ONDELETTES·

1. Concept telDps-échelle

• Projection du signal sur un ensemble de fonctions définies à plusieurs échelles et décalées entemps

~L(u)= l;o(u~t)<~,fA > TOC

-2 Grande échelle

200100 150Temps

50

0.3~c:

~ 0.2~u.

0.4

- .... - - - - .0...; t ~ ~ _------25C200100 150Temps

50

-1

- La transformée en ondelettes continues: TOCx (t, s ) = (x, rpt,s (u ))- Deux propriétés fondamentales: Admission (caractère onde) + Régularité (capacitéd'approximation). En plus, orthogonalité, symétrie, support compact, etc.- Pavage Q-constant du plan temps-fréquence

<1)

~~1-----f--+----+--4--~

s-'lU 1----f--+----+--4--~

~1-----4--+----+----I-----f

(1)u~

!)~~L...--.I----L..--1I---lL..--1I---l~

'tU~~-L...--.-~-'------.f

Tenlps Telnps

II. Discrétisation

• En réalité nous utilisons la version discrète de la TOC obtenue pour:

f/J. (u) =_1;(u -~OS6)J,k Ci sJ

"sa 0

- La reconstruction sans pertes - possible si so=2 et to=l. Réseau d'échantillonnage dyadique:o 1 2 3 telllpS

-+---+--+--l~';---+---+--I---I---+--+-~io--b

·1 • • • • • • • • •·2 • • • • •·3 • • •lU=~f,;}'~

• •

III. Analyse Multi-Résolution

ComelIOANA

ENSIEG, Option ATIS Octobre 2006

Outil efficace pour l'implémentation, basé sur la dichotomie spectrale itérative à des échellessuccessives ;

Deux types de fonctions de base: échelle (lj/) - caractère passe bas et ondelettes (fjJ) - caractèrepasse bande ;

La décomposition <=> filtrage du signal + sous-échantillonage ;

h[k] = (_l)k g [L- k]; L -tailledeh

h[k]=(~ w(~}W(t-k))

~1 j=O 1

Signal =(10

A.

·u

\ 1 j=l 1'u1 J

1---

hf-V \ 1 j=21

UA---------.-·u

1Io \ IJ~=3 ,33

aj+l [k ] = (x, lf/j+l,k ) = Laj [k ] h[2k - n]n

d j+l [k ] =(X, r/Jj+l,k ) =L a j [k ] g [2k - n]n

- Reconstruction (synthèse) = les mêmes opérations mais en ordre inverse (A~S)

S

1 Opérateur de synthèse (S) 1

IV. Applications

Grâce à l'analyse multi-résolution - il est possible de séparer efficacement (en termes detemps de calcul et de précision) les approximations et les détails. En plus, l'orthogonalité permet àla fois la reconstruction sans pertes ainsi qu'une décorrelation des données d'entrée.

Compression, Débruitage, Analyse des transitoires, Classification, etc.

ComelIOANA

ENSIEG, Option ATIS Octobre 2006

Outil efficace pour l'implémentation, basé sur la dichotomie spectrale itérative à des échellessuccessives;

Deux types de fonctions de base: échelle (1jJ) - caractère passe bas et ondelettes (fjJ) - caractèrepasse bande ;

La décomposition ~ filtrage du signal + sous-échantillonage ;

h [k ] = (-1)k g [ L - k ] ; L - taille de h

h[k] =(~ V/(~).V/(t -k))

~1 j=O 1

Signal =ao

·u

\ 1 j=l 1

·u

\ 1 j=2 1

'u

1 3

to~~J 33 d3

WU__\~[EJ'u

a}+l [k] =(x,V1}+l.k) =La} [k] h[2k - n]n

d}+l [k ] =(x, f/J}+l.k ) =La} [k ]g [2k - n]n

- Reconstruction (synthèse) = les mêmes opérations mais en ordre inverse (A~S)

s

1 Opérateur de synthèse (S) 1

IV. Applications

Grâce à l'analyse multi-résolution - il est possible de séparer efficacement (en termes detemps de calcul et de précision) les approximations et les détails. En plus, l'orthogonalité permet àla fois la reconstruction sans pertes ainsi qu'une décorrelation des données d'entrée.

Compression, Débruitage, Analyse des transitoires, Classification, etc

Cornel IOANA