3. Circuits électriques en régime continuneo.dmcs.p.lodz.pl/iee/iee_cmtd_gee_5-6_b.pdf · Normalement, ce sera la plupart de cete énergie Exemple : pile ... Théorème de Norton

Łukasz Starzak, Ingénierie électronique et électrique, été 2017/18 1

3. Circuits électriques en régime continu

Classification des dipôlesAssociations de dipôles passifs linéaires et les circuits diviseurs

Dipôles actifs et leurs modèles de Thévenin et de NortonPrincipe de superposition


Régime continu

En régime continu, toutes les tensions et tous les courants sont constants dans le temps

Les grandeurs électriques correspondant au régime continu sont désignées avec les letres majuscules : U, I, P

Le régime continu peut être appliqué pour décrire seulement une partie du comportement d’un circuit

Ce sera le comportement lié aux forces constantes dans le temps même si elles ne sont pas les uniques forces à apparaître

Le théorème de superposition précise quand et comment on peut se servir des résultats d’une telle analyse partielle


Dipôles passifs

Un dipôle passif est un dipôle qui ne peut que consommer ou accumuler l’énergie électrique

L’énergie nete délivrée à un dipôle passif n’est jamais négative Indépendant du caractère du courant et de la tension à ses bornes Énergie nete ≡ énergie délivrée au dipôle en jeu moins énergie fournie

par ce dipôle au circuit Sa caractéristique courant-tension passe par l’origine (I = 0 ⇔ U = 0)

Il ne peut pas y exister une tension sans un courant et vice versa Un dipôle passif qui ne fait que consommer de l’énergie électrique

est appelé dipôle dissipatif Toute l’énergie électrique délivrée à un dipôle dissipatif y est transformée en

autre forme d’énergie Premièrement dissipée comme chaleur (énergie thermique) par l’efet Joule

Exemple : ampoule Dipôle passif dissipatif où toute l’énergie électrique est transformée en

énergie thermique ou lumineuse


Dipôles actifs

Un dipôle actif (générateur) est un dipôle capable de produire l’énergie électrique

L’énergie nete délivrée à un dipôle actif peut être négative L’énergie fournie au circuit est supérieure à l’énergie reçue de ce circuit

La caractéristique courant-tension ne passe pas par l’origine (I ≠ 0 pour U = 0, U ≠ 0 pour I = 0)

Il sufit que juste une de ces conditions est remplie, pourtant normalement les deux seront remplies

Une partie de l’énergie électrique mise en jeu dans un dipôle actif n’est pas transformée en autre forme d’énergie

Normalement, ce sera la plupart de cete énergie Exemple : pile

La plupart de l’énergie électrique mise en jeu est fournie au circuit Pourtant une petite partie est dissipée par l’efet Joule à cause de l’existence

d’une résistance parasite de la pile


Linéarité des dipôles

La relation courant-tension d’un dipôle linéaire peut être exprimée par une équation linéaire (algébrique ou diférentielle) à coeficient constant

Dans le cas d’une équation algébrique, la caractéristique courant-tension est une droite dont le coeficient est la résistance du dipôle en jeu

Exemple : résistor Tout autre dipôle est un dipôle

non linéaire Exemple : ampoule Le filament étant un conducteur, sa

résistance augmente avec la température qui résulte de la puissance

dissipée, proportionnelle à I2

I

U

I

U


Caractéristique symétrique et non symétrique

Si la caractéristique d’un dipôle est symétrique par rapport à l’origine, alors son comportement dans un circuit électrique ne dépend pas du sens de son branchement

Exemple : ampoule Si la caractéristique d’un

dipôle est non symétrique, alors son comportement dépend du sens de branchement

Exemple : diode

I

U


Association de dipôles passifs linéaires en série

Une association quelconque de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire dont le coeficient de la caractéristique courant-tension est appelé résistance équivalente

Loi des mailles + loi d’Ohm

Dans une association en série, les résistances s’additionnent

R eq=∑k=1

N

Rk

U=U 1+U 2+U 3=R1 I+R 2 I+R 3 I=(R 1+R 2+R 3)I=R eq IR eq=R 1+R 2+R 3

R1

R2

R3

Req

U1

U2

U3


Association de dipôles passifs linéaires en parallèle (en dérivation)

Loi des nœuds + loi d’Ohm :

Dans une association en parallèle, les conductances s’additionnent

La somme des inverses des résistances composantes est égale l’inverse de la résistance équivalente

Cas particulier : deux dipôles

R eq=R 1∥R 2=1

1R 1

+ 1R2

= 1R 2

R1R 2

+R 1

R1R 2

=R1R 2

R 1+R 2

R1

R2

R3

I1

I2

I3

Req

I=I 1+I 2+I 3=UR1

+ UR2

+ UR3

=

=U( 1R1

+ 1R2

+ 1R 3

)=U1R eq

1Req

=∑k=1

N 1Rk

ou

G eq=∑k=1

N

G k


Exercices

3.1.1. Calculer la résistance équivalente de trois résistors dont les résistances sont R1 = 4,7 kΩ, R2 = 47 kΩ, R3 = 470 Ω, s’ils sont associés :a) en série ;b) en parallèle.

3.1.2. Assumant le courant mortel égal 30 mA, calculer les valeurs mortelles des tensions :a) de contact ;b) de pas.

500 Ω 500 Ω

100

Ω

500

Ω

500 Ω

V

V


Diviseur de tension

Le même courant traverse toutes les résistances On peut calculer son intensité en se servant de la

résistance équivalente

Selon la loi d’Ohm, les tensions partielles sont

Formule générale :

R1

R2

R3

U1

U2

U3

Req=R 1+R 2+R3

I= UReq

= UR1+R 2+R3

U 1=I R 1=UR1

R1+R2+R3

U 2=I R 2=UR 2

R1+R 2+R3

U 3=I R 3=UR3

R1+R 2+R3

U n=UR n

∑k

Rk


Diviseur de courant

La même tension doit apparaître aux bornes de chaque résistance parce que ces bornes sont connectées

En se servant de la conductance équivalente

Formule générale : Cas particulier de deux résistances :

R1

R2

R3

I1

I2

I3Geq=G1+G 2+G3=

1R 1

+ 1R 2

+ 1R3

U= IGeq

I 1=U G1=IG 1

G 1+G 2+G3

I 2=IG 2

G1+G2+G3

I 3=IG3

G1+G2+G3

In=IG n

∑k

Gk

I 1=I

1R 1

1R1

+ 1R 2

=I

1R1

R 2+R1

R1R 2

=IR 2

R 1+R 2

I 2=IR1

R1+R2


Exercices

3.2.1. Étant donné Ui = 3,3 V et R1 = 47 kΩ, quelle doit être la résistance R2 pour que la tension Uo soit égale 1,25 V ?

3.2.2. Déterminer l’intensité du courant I2.

R1

R2

Ui

Uo

1,2 V

50 Ω

100 Ω 7,2 Ω

I2


Caractéristiques des dipôles actifs

Les caractéristiques courant-tension des dipôles actifs ne sont jamais symétriques

Le comportement du dipôle dépend du sens de la tension à ses bornes (polarité)

Des vrais dipôles actifs ne sont pas linéaires Pourtant, on essaie toujours de les représenter comme tels (au moins dans

une partie choisie de la caractéristique), car ça simplifie les calculs Exemple : pile

Jusqu’au courant nominal (et même plus), la relation entre courant et tension est basiquement linéaire

Si on dépasse le courant nominal Irat, on risque de détruire la pile

Il y a des sources à caractéristique similaire mais qui n’ont pas cete limitation, p.ex. la cellule photoélectrique

U

IIrat

chargement alimentation


Paramètres de la caractéristique d’un dipôle actif

Uoc – tension à vide (en circuit ouvert)

on la mesure lorsqu’on laisse les bornes de la pile à vide (ouvertes en air), c.-à-d. on n’y connecte rien

correspond à I = 0 appelé aussi force

électromotrice, notée E

Isc – courant en court-circuit on le mesure lorsqu’on court-

circuite la pile, c.-à-d. on connecte ses deux bornes ensemble

correspond à U = 0

Uoc

=EIsc

U

I

E = Uoc

Isc


Modèle linéaire de la pile

Valable dans une plage limitée du courant : où la relation entre courant et tension est linéaire

En région linéaire, on peut exprimer la tension comme

où k est un coeficient constant Notons que [k] = 1 Ω, alors ça représente une

résistance

Le terme RI correspond à une tension UR développée aux bornes d’une résistance R parcourue par le courant de la pile I

Cete formule décrit donc un schéma électrique → À noter le sens opposé de UR par rapport à E, ce qui

reste en accord avec le sens du courant I Notons qu’à vide, on va bien mesurer U = Uoc = E, car

I = 0 donc UR = 0 (selon la loi d’Ohm)

U=U oc−k⋅I

U=E−R I=E−U R

UR

U

I

UR = R∙I

E = Uoc


Dipôle actif linéaire

Un dipôle actif linéaire possède une caractéristique :

linéaire pour n’importe quel courant et tension

mais qui – au contraire d’un dipôle passif – ne passe pas par l’origine

L’équation de la caractéristique :

finalement :

où R est appelée résistance interne

U=−a⋅I+bU oc=−a⋅0+b ⇒ b=U oc

0=−a⋅I sc+b ⇒ a= bI sc

=U oc

I sc

=R

U=E−R I

avec E=U oc et R=U oc

I sc

U

I

E = Uoc

Isc

R∙I

sourcede tension


Représentation alternative d’un dipôle actif linéaire

L’équation peut être réarrangée

et finalement :

Cete nouvelle forme aussi décrit un schéma électrique équivalent →

Notons que la résistance interne est restée la même

U=E−R I E=U oc R=U oc

I sc

U=U oc−U oc

I sc

I

U oc

I sc

I=U oc−U

I=I sc−I sc

U oc

U

I= J−UR

avec J=I sc et R=U oc

I sc

U

I

U/R

Uoc

J = Isc

sourcede courant


Théorèmes de Thévenin et de Norton

Théorème de Thévenin :Tout dipôle actif linéaire peut être modélisé par une source de tension parfaite avec une résistance en série

Théorème de Norton :Tout dipôle actif linéaire peut être modélisé par une source de courant parfaite avec une résistance en parallèle

Les schémas électriques qui en résultent sont appelés modèle équivalent de Thévenin et modèle équivalent de Norton

Les deux modèles sont équivalents l’un à l’autre

U=E−R I I= J−UR

E=U+RI=U+R( J−UR )=U+RJ−U=RJ

E=R J ou J=ER


Exercice

3.3.1. En mesurant la tension aux bornes d’un accumulateur, on a obtenu 1,25 V lors de la décharge avec un courant de 300 mA et 1,18 V avec un courant de 1,5 A.a) Déterminer les modèles équivalents de Thévenin et de Norton de cet accumulateur.b) Calculer la tension avec laquelle cet accumulateur pourra alimenter un circuit consommant un courant de 2,4 A.c) Calculer le courant et la tension aux bornes d’une charge résistive de 2,1 Ω si elle est alimentée par cet accumulateur.

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