« De façon apparemment paradoxale, l'accumulation d'événements au hasard aboutit à une répartition parfaitement prévisible des résultats possibles. Le hasard n'est capricieux qu'au coup par coup. »

M. SERRES et N. FAROUKI,« Le Trésor » - article loi des grands nombres.

 

• Domaines d’applications des probabilités:• Jeux de hasard bien sûr• Statistiques (traitement et interprétation des 

données)• Théorie des jeux (utilisée en économie)• Mathématiques financières (cours de la bourse)• Etudes probabilistes de sureté où l’on évalue la 

probabilité d’occurrence d’un évènement indésirable (évaluation des risques, des défauts)

Probabilités

VocabulaireExpérimentation –propriétés-

Un exemple d’approche par démarche d’investigation auprès d’une classe de seconde bac pro

• Préparation en amont: faire rechercher par les élèves les définitions des mots suivants:

• Hasard• déterminisme• probabilités

• Toujours dans cette préparation en amont du cours, faire préparer des instruments de mesure:

• Un dé d’arête 2cm et dont les faces sont numérotées de 1 à 6

1 35

• Un tétraèdre fabriqué à partir de 4 cercles de diamètre 3cm dans lesquels on trace des triangles équilatéraux (une face Rouge, une Verte , deux jaunes)

• Et une pièce de monnaie Pile /Face               (pas tranche…)

                Oui                                         non

Déroulement de la séquence 1 (2heures)

• Répartition des élèves par groupes (2;3;4 élèves)  : groupe1:G1,groupe 2: G2   etc…

• Chaque groupe possède les trois instruments de mesure (la pièce, le tétraèdre, le dé)

• On distribue un « menu du jour » 

vocabulaire

Menu du jour: vocabulaire des probabilités

•Expérience•Issue•Evènement élémentaire                 Non élémentaire                 Certain                 Impossible•Aléatoire•Equiprobabilité

• Puis on laisse les groupes se débrouiller…• La seule contrainte est que chaque groupe remette un compte rendu (noté)avec ses définitions.

• Intervenir le moins possible, • Ne pas répondre directement aux questions mais proposer des pistes de réflexion… 

• Ce travail peut durer de 40 minutes à une heure…

• Ensuite…

• On ramasse les comptes rendus et on va faire la synthèse sous forme d’un organigramme du vocabulaire utilisé en probabilités

• A nouveau, il semble préférable que des élèves passent au tableau pour écrire leurs définitions .

Vocabulaire des probabilités

elementaire Non elementaire certain impossible

Pièce

Tétraèdre

dé

Déroulement de la séquence 2 (2heures)

• Maintenant que les élèves savent de quoi on parle, il faut les faire expérimenter !

• On pose la question ouverte:  « que peut on faire comme expérience, combien de mesures? Comment peut on procéder ?Etc… » 

• On répartit à nouveau les élèves par groupes (2;3;4 élèves).• On doit avoir 50 mesures par objet et par groupe récapitulées 

dans un tableau de ce type:(pour la pièce)

• De même pour le tétraèdre  et le cube.

Pile Face Total

Effectif 23 27 50

fréquence 0,46 0,54              1

• Un élève passe au tableau et recense les résultats des groupes:

• Par exemple:• Nombre de Pile: 23 +24+27 = 74• Nombre de Face: 27 +26+23 =76

• A nouveau : un tableau récapitulatif mais ici sur un plus grand nombre d’échantillons et c’est là que c’est intéressant:(3groupes)

• A ce moment là, on fait réagir les élèves sur le fait que la fréquence se rapproche de 0,50 (ce qu’ils attendaient mais dont ils étaient loin avec leurs seuls résultats )  

Pile Face Total

Effectif 74 76 150

fréquence 0,49 0,51              1

• La définition se fait toute seule…• « Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un évènement se rapproche d’une fréquence théorique appelée probabilité »

• On peut même en déduire des propriétés sur les probabilités :

• 0<p(A)<1 ;  somme des probas = 1• p(A)=0 si évènement impossible     et p(A)=1 si évènement certain

• Pour le dé, étant donné sa petite taille les résultats peuvent ne pas être ceux qui sont attendus (c’est à dire une équiprobabilité de 1/6). Ceci permet de faire réagir les élèves sur le fait que l’instrument de mesure doit être idéal !Parfaitement équilibré .

Les mesures seraient même différentes d’une pièce de monnaie à une autre !  

•  On répond bien aux préconisations du programme:

Expérimenter la « loi des grands nombres », du point de vue des fluctuations  (à taille d’échantillon fixée) et des probabilités (lorsque la taille de l’échantillon augmente).

• Évaluer la probabilité d’un événement à partir des fréquences (stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de l’événement quand n augmente).

• Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple.(Probabilités).

• Faire remarquer que la loi des grands nombres peut exceptionnellement etre mise en défaut et que la moyenne des  lancers (3,5 pour un dé) ne tende pas vers l’espérance (on pourrait ne jamais avoir de 1 par exemple) …mais cela peut il arriver ?

• Obtenir la probabilité d’un événement dans le cas d’une situation aléatoire simple:

ExerciceExerciceAnnie aime les bonbons rouges.Le sachet A contient 14 bonbons rouges et 6 bonbons jaunes.Le sachet B contient 6 bonbons rouges et 2 bonbons jaunes.Les sachets sont opaques et Annie ne peut prendre qu’un bonbon au hasard.Dans quel sachet la probabilité de prendre un bonbon rouge est la plus grande ?

• La probabilité se résume à :

• Probabilité = nombre de cas favorables/nombre de cas possibles

• C’est ce genre d’exercices qu’on retrouve dans les manuels  scolaires.

• Le hasard c’est Dieu qui se promène incognito…                                              Einstein

• Ce que nous appelons hasard n’est et ne peut etre que la cause ignorée d’un effet connu.

                                                                    Voltaire