Analyse et Quantification d'événements extrêmes dans le

Analyse et Quanti�cation d'événements extrêmes dans le cadre de Solvabilité II

Analyse et Quanti�cation d'événements extrêmes dans le cadre deSolvabilité II

Élisabeth Golovina-Benois

Institut de Statistiques de l'Université de Paris & AXA Group Risk Management

1er décembre 2011

1/22


Sommaire

Sommaire

I Introduction

II Étude des Scénarios-type de catastrophes naturelles

III Quanti�cation et Sous-échantillonnage

2/22


Introduction

Cadre de Travail : Solvabilité II


Les Trois piliers de Solvabilité II :

I. Quantitatif : détermination des seuils des provisions techniques des fonds propres :

II. Normes Qualitatives : justi�cation des modèles et hypothèses, maîtrise des risques.

III. Communication des informations nécessaires au pouvoir de surveillance des autorités decontrôle.

3/22


Introduction





SCR (Solvency Capital Requirement) : capital nécessaire pour absorber le choc produit parune sinistralité de probabilité 0.5% (= V aR99.5%(Résultat)).



3/22


Introduction





Approche par la formule standard ou



3/22


Introduction





Approche par la formule standard ouApproche par modèle interne.



3/22


Introduction







3/22


Introduction







3/22


Introduction

Positionnement du mémoire en terme de risques

Positionnement du mémoire en terme de risques

Les catastrophes naturelles sont des événements :rares

aux caractéristiques physiques complexes

avec une spéci�cité spatiale

et une dimension temporelle

4/22


Introduction

Un modèle par simulations : pourquoi ?


Figure: Périls

5/22


Introduction



Figure: Périls

5/22


Introduction



Figure: Exposition

5/22


Introduction



Figure: Périls

Figure: Exposition

5/22


Introduction



Figure: Flux �nanciers pour une entité

5/22


Introduction



Figure: Périls

Figure: Exposition

Figure: Flux �nanciers pour une entité

5/22


Introduction

Un modèle par simulations : Comment ?

Un modèle par simulations : Comment ?

On simule de manière indépendante n fois l'année à venir (SCR à échéance 1 an). On appellera"année de simulation" chaque simulation. Pour chaque entité x péril, un sous-modèle.

1 Tirage aléatoire du nombre d'événements (Ni) et de leurs coûts (Si,k, k ∈ 1, . . . , Ni)pour chaque sous-modèle i.

2 Application des mécanismes de réassurance (Quote-Parts, XS, Stop-Loss, . . . ) à touteséchelles (locales, par bassins, globales)

3 Obtention des résultats bruts, nets, locaux pour l'année simulée RB , RN , RN,i, RB,i, . . .

⇒ Obtention de la distribution des di�érents résultats, avec estimation de E(Rx),V aRα(Rx), SCRCat.Nat....

⇒ Transmission des simulations pour calculs SCR Non-vie & SCR locaux.

6/22


Introduction

Un modèle par simulations : quelles conséquences ?

Problématiques

1 Des distributions globales simples cachant la complexité des mécanismes sous-jacents →nécessité de comprendre les risques sous-jacents

2 Con�it entre problématiques de stabilité des résultats et de volumétrie des données →nécessité d'analyser et d'améliorer la stabilité des résultats.

7/22


Première partie I

Étude des scénarios-type de catastrophes naturelles

8/22



Données et problématique

Comprendre les risques sous-jacents : données et problématique

Données à disposition : grand volume de données.On se restreint, sur n = 140.000simulations, à :

Pertes globales (Nettes, Brutes, ...)Pertes annuelles par type de Péril : Tempête, Tremblement de Terre, Inondation,Attritionnel (grande fréquence, coûts faibles), autres.Pertes par événement par type de Périls.

Problématique : Analyse de la composition du SCR Catastrophes Naturelles, ie quantile 99.5(période de retour 200 ans) des résultats nets de réassurance, en fonction des pertes brutesglobales et pertes par type de péril.

Dé�nition : Période de Retour

La période de retour d'une valeur x d'une v.a. X est le réel T ≥ 0 tel que : T = 1PX (X>x)

=1

1−Px(X≤x). Ainsi, pour x = V aR99.5, T = 200 ans.

Méthodologie : Après première analyse globale, sélection des 120 scénarii compris dansl'intervalle de con�ance à 2% de l'estimation du quantile 200 ans :

1 Analyse univariée2 Analyses bivariées3 Classi�cation : k-means et CAH sur pertes annuelles par péril4 Ajout de variable traduisant les pertes événement à événement.

9/22



Classi�cation du SCR

Classi�cation du SCR par type de périls

Figure: Critère du Coude

Figure: HeatMap

Stabilité et signi�cativité de la classi�cation :Indice de Rand(# accords et désaccords entre partitions A et B

# accords et désaccords) :

entre plusieurs k-means avec initialisations di�érentes : 0.85.entre k-means et CAH : 0.8. K-means minimise en moyenne la variance.entre k-means sur intervalle I0 et sur intervalle élargit de 2% : 0.75.

10/22



Portrait-Robot du SCR Cat Nat

Portrait-Robot du SCR Cat Nat

Pour chaque péril, chaque année de simulation, entre 0 et 300 événements (N ∼ Pλ ou βdépendant du type de péril et de son intensité) → volume de données et bruit.Résultats :

11/22



Focus sur la tempête européenne

Tempête Européenne

1 Modèle. Monte-Carlo, tirage sur une base d'événements physiques cohérents (historique :ex : Lothar 1999 / stochastique : perturbations de tempêtes historiques)

2 Périmètre.9 entités concernées en Europe.3 Caractéristiques univariées.Distributions à queue lourde (type Pareto)4 Structure de corrélation.

Pertes corrélées entre les entités3 groupes distincts sur ACP.structure de corrélation complexe : représentation par copule empirique asymétrique (Teststatistique probant).

5 Stabilité. soit D( in

) =F−1m ( i

n)−F−1

n ( in)

F−1m ( i

n)

l'erreur relative commise pour un quantile

donné par le fait de sélectionner n=10.000 points au lieu de m=500.000. Erreur relativesur 2 entités.

12/22



Focus sur la tempête européenne

Tempête Européenne

1 Modèle. Monte-Carlo, tirage sur une base d'événements physiques cohérents (historique :ex : Lothar 1999 / stochastique : perturbations de tempêtes historiques)

2 Périmètre.9 entités concernées en Europe.3 Caractéristiques univariées.Distributions à queue lourde (type Pareto)4 Structure de corrélation.

Pertes corrélées entre les entités3 groupes distincts sur ACP.structure de corrélation complexe : représentation par copule empirique asymétrique (Teststatistique probant).

5 Stabilité. soit D( in

) =F−1m ( i

n)−F−1

n ( in)

F−1m ( i

n)

l'erreur relative commise pour un quantile

donné par le fait de sélectionner n=10.000 points au lieu de m=500.000. Erreur relativesur 2 entités.

12/22


Deuxième partie II

Quanti�cation et Sous-Échantillonnage

13/22


Quanti�cation et K-means

Problématique

Problématique

À partir d'un nombre M de simulations, sélectionner N points, N�M représentant "au mieux"la distribution originelle. Deux types de solutions envisagées :

1 Quanti�cation optimale par cellules de Voronoï (distorsion quadratique) : non-équiprobabilité des points extraits.

2 Sous-échantillonnage (distorsion quantile à quantile)Méthode dite "des copules"Méthode du LHSD

14/22


Sous-Échantillonnage

Redé�nition du problème

Sous-échantillonnage

1 1 Dimension : Soit un échantillon de m points iid. On cherche à en extraire n points telsque le nouvel échantillon formé soit identiquement distribué et "colle au mieux" àl'échantillon de m points. Cette foi-ci, on dé�nit la distorsion comme étant :D = 1

n

∑ni=1 ||q(

in

)− q( in

)||2 ou alternativement :

D = max1,...,n .q( in)−q( i

n)

q( in)

( distance relative maximale).

Solution : On choisit Xi:n = q( in

) = Xi.l:n.l, si m = nl, l ∈ N∗,alors D = 0.

2 d dimensions : on cherche à minimiser D sur chaque marginale tout en gardant lastructure de corrélation la plus proche de celle de départ.

15/22



Problématique à 2 dimensions

2 Dimensions

16/22



LHSD

1 Dimension 1 : même solution que celle vue précédemment

2 Dimension d - indépendance : Xi = (q( i−1n

), q(σji−1

n)), avec approximation dû à la

nature discrète de Fm3 Dimension d - dépendance :

On tire y1, . . . , yn de manière indépendante parmi les m points initiaux.A chaque yi, on associe ses ordres de quantiles marginaux (

i1n ,

i2n ) dans le sous échantillon

ainsi produit.A chaque couple (

i1n ,

i2n ) on associe le point (q1(

i1n ), q2(

i2n )) de la distribution originale.

→ Si distribution continue, D1 = 0, D2 = 0 et structure de corrélation de la qualité d'unéchantillon à n points.→ Si distribution discrète, erreur due à la discrétisation ⇒ tirages successifs.

17/22



Méthode des Copules

Copules empiriques (2D) : C(u, v) = 1n

∑ni=0 1Ui≤u,Vi≤v

Principe :Découpe du plan des copules en K2 strates carrées de côté 1

KPour chaque carré,calcul de son e�ectif mi,j de points.Dé�nition de ni,j = mi,j × n

mpour chaque strate.

Tirage dans chaque strates, de ni,j éléments.

18/22



Méthode des Copules

PerformancesMarginalement : pour ∀x tel que ∃i1|x = F ( i1

k), F (x) = i1

k

Structure de corrélation : pour tout point (u,v) du treillis de pas 1K, on a :

Cn(u, v) = Cm(u, v)

19/22



Comparaison LHSD - Méthode des copules

Comparaison LHSD - Méthode des copules

On réalise 100 sous-échantillonnages avec chacune des deux méthodes et on sélectionne les 2meilleurs scénarios.

1 Marginalement, la distribution des distorsions relatives maximales est meilleure pour leLatin Hypercube, mais reste acceptable dans le cas de la méthode des copules.

2 La structure de corrélation est mieux préservée dans le cas de la méthode des copules.

Figure: Méthode des CopulesFigure: LHSD

20/22



Conclusions

Conclusions

1 Donner une vision synthétique du modèle interne dans un but de contrôle et decommunication : arbitrage entre simplicité et précision.

mise en évidence de scénarios-type, caractérisé par intensité, fréquence et nature du péril àune période de retour donnée.remise en cause de la vision simpliste ne prenant en compte que la tempête européenne.soutien à la correction, mise en cause des hypothèses et recul nécessaire sur tout modèle,surtout lorsque backtesting impossible.Un cadre à élargir aux di�érentes périodes de retour (notamment aux périodes de retourmoyennes) et à d'autres granularités.

2 Réduction du volume de données :Les deux techniques éprouvées pour d = 2. Des résultats concluants.À étendre aux dimensions supérieures & trouver une meilleure solution au problème desarrondis pour la deuxième méthode.Un problème en partie lié aux ressources IT → avec développement des technologies, serapeut-être moins crucial, même si concision des données importante.

21/22



Conclusions

22/22


Annexes

Autour du quantile 99.5

Dé�nition : Catastrophe Naturelle

Statistique d'ordre : X1:n ≤ X2:n, . . . ,≤ Xn:n.

Estimation des quantiles Si F C0, croissante, k(n) suite d'entiers telle que 1 ≤ k(n) ≤ n et

limn→∞k(n)n = p, alors (Xk(n):n,n≥1) cv. ps. vers xp quantile empirique d'ordre p.

Intervalle asymptotique Soit p ∈]0, 1[, lα quantile d'ordre 1− α/2 de N(0, 1). On dé�nit :

in = [np−√nlα

√p(1− p)], jn = [np+

√nlα

√p(1− p)]. L'intervalle aléatoire

[Xin:n;Xjn:n] est un intervalle de con�ance pour qp de niveau asymptotique α.

→ Sur les pertes par péril agregées sur l'année(cadre du SCR), intervalle asymptotique à 2% :Écart au quantile empirique de±3%, contenant119 éléments :

Pincement de l'attritionnel pour lesvaleurs extrêmes

Corrélation positive pour l'ensemble de latempête européenne : couverturedéterminée par la tempête.

Pincement du dépendogramme pourtremblement de Terre et Inondation(anti-corrélation) : événements moinsbien couverts.

Indépendance pour les autres variables.

23/22


Annexes

Théorie

Théorie

Tesselation de Voronoï.Cellule de centre xi : C(xi) = {ξ ∈ Rd | |ξ − xi| ≤ |ξ − xj |, j = 1, . . . , N}

24/22


Annexes

Théorie

Théorie


24/22


Annexes

Théorie

Théorie


24/22


Annexes

Théorie

Théorie


24/22


Annexes

Théorie

Théorie


24/22


Annexes

Théorie

Théorie


Problème d'optimisation.Soit X v.a. de fonction de probabilité Px. On cherche N points xi minimisant le critèresuivant :

DXN =N∑i=1

E(1c(xi)(X)|X − xi|2) =

∫Rd

min1≤i≤N

|xi − ξ|2PX(dξ).

24/22


Annexes

Résolution et Résultats

Résolution et Résultats

1 Variable de probabilité connue PX :

Solution analytique : cas où il existe une solution aux équations∂DXN∂xi

= 0

Résolution algorithmique : méthode du point �xe, méthode du gradient déterministe oustochastique.

2 Variable empirique : algorithme de Llyod discrète. On minimise :DN =

∑Ni=1

∑x∈ci ||x− ci||

2.

Pour N ≥ 5000, une erreur relative acceptable (moins de 2% sur le 200 ans, moyenne à 10−18 près).Défaut de la méthode. Stockage des données : ensemble de points sans équiprobabilité (probabilités piassociées). Dans le cas du modèle interne, il faut : p1 = · · · = pN = 1

N .Idée : Passer dans l'espace des quantiles.

25/22


Annexes

Quanti�cation sur l'espace des quantiles


Résultat

Soit F la fonction de répartition de la v.a. X. La variable aléatoire U = F (X) suit une loiuniforme.

En 1D : Classes de Voronoï obtenues analytiquement : xi = 2i−12N

et pi = 1N.

26/22


Annexes



Résultat

Soit F la fonction de répartition de la v.a. X. La variable aléatoire U = F (X) suit une loiuniforme.

En 1D : Classes de Voronoï obtenues analytiquement : xi = 2i−12N

et pi = 1N.

En 2D : Dépendance à la structure de corrélation : pavage du plan en structures plus complexedépendant de la structure de corrélation des composantes de X.

26/22

Documents

Analyse et Quantification d'événements extrêmes dans le