— M1P-PAM307 —

Ondes et Acoustique dans les Fluides

Travaux diriges

(Version du 30 janvier 2017)

Table des matieres

1 — Ondes acoustiques 31.1 Ordres de grandeur en acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Transmission du son a travers un mur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 — Ondes acoustiques dans un fluide isotherme au repos 5

3 — Ondes gravito-capillaires 6

4 — Ondes internes 7

5 — Ondes inertielles 9

6 — Equations d’onde non-lineaires 106.1 Paquets d’ondes solitaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Advection non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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1 — Ondes acoustiques

1.1 Ordres de grandeur en acoustique.

Dans cet exercice, on veut etablir les principales caracteristiques d’une onde acoustique (vitesse, intensite,etc) par analyse dimensionnelle. On s’interessera au cas d’ondes sonores se propageant dans l’air, l’eau, oule cuivre. On donne la masse volumique de l’air ρair ' 1, 30 kg ·m−3, de l’eau ρeau ' 103 kg ·m−3, et ducuivre ρcu ' 9× 103 kg ·m−3.

1. En partant de la pression de l’air p0 = 1 bar, et par analyse dimensionnelle, construire une grandeurc qui a les dimensions d’une vitesse, et la calculer dans le cas de l’air.

2. Evaluer l’ecart relatif entre la valeur trouvee et celle mesuree cair = 340 m · s−1. Comment expliquercette difference ?

3. En decrivant qualitativement le mecanisme de propagation du son dans un milieu materiel, montrerque la pression du fluide n’est pas la grandeur pertinente pour la construction d’une vitesse.

4. On definit alors le module d’elasticite volumique d’un milieu par K = ρ(∂p/∂ρ). Quelle est la dimen-sion de K ? Par analyse dimensionnelle, en deduire une nouvelle expression de c faisant intervenir lesbonnes grandeurs caracteristiques.

5. On rappelle que dans le cas d’un gaz parfait K = γp, ou γ = 1, 4 est l’indice d’adiabaticite. En deduirealors la vitesse du son dans l’air.

6. On donne le module d’elasticite volumique de l’eau Keau ' 2 × 109 N · m−2 et du cuivre Kcu '1, 2× 1011 N ·m−2. En deduire les vitesses de propagation du son dans ces deux milieux.

7. Comparer les trois vitesses obtenues et conclure.

8. La puissance vocale dans une conversation normale est de l’ordre de 10−5 W ·m−2. Quelle surpressioncela represente-t-il ? Comparer a la pression atmospherique. L’air peut-il encore etre considere commeun fluide incompressible ?

9. Quelle variation d’intensite sonore, en dB, represente l’ajout d’une seconde trompette a une premieretrompette dans une fanfare ?

10. L’onde se propage dans l’air, avec une amplitude de surpression δp ∼ 65 Pa. En deduire l’ordre degrandeur de l’intensite acoustique I de l’onde en W · m−2, puis l’exprimer en dB (on prendra pourintensite de reference I0 = 10−12 W ·m−2). Rappeler la signification physique du decibel.

1.2 Transmission du son a travers un mur.

On s’interesse a l’effet d’une deflagration 1 sur unesurface rigide mobile (mur). La surface est intiale-ment immobile mais peut etre mise en mouvement(vibrations) par l’onde de pression. On se placeradans le cas ou le mur n’est ni elastique ni absor-bant, et son epaisseur tres petite devant la longueurd’onde de l’onde. Sa masse surfacique est donneepar σ en kg · m−2. L’onde de pression incidentepi(x, t) = Aei(ωt−kix) arrive sur le mur sous incidencenormale ; une partie de l’onde se reflechit avec l’am-plitude (complexe) pr(x, t) = RAei(ωt+krx), le resteest transmis sous la forme pt(x, t) = TAei(ωt−ktx).

x

mur

(ki, ωi)

(kr, ωr)

(kt, ωt)

1. Une deflagration est une explosion relativement lente (de type combustions) qui engendre des ondes de pression subso-niques. A l’inverse, la detonation (explosifs) donne naissance a des ondes de pressions supersoniques (ondes de choc).

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Soit v(t) la vitesse de deplacement du mur et p(x = 0−, t) − p(x = 0+, t) la discontinuite de pressionentre les faces entrantes et sortantes du mur (le mur se trouve en x = 0).

1. Ecrire l’equation fondamentale de la dynamique pour le mur.

2. La relation entre la vitesse du fluide ~v(x, t) et la surpression locale p(x, t) pour des ondes de pressionest simplement donnee par :

ρ∂~v

∂t= −∇p. (1)

Rappeler l’origine physique de cette relation, et en deduire l’expression des vitesses de deplacementde l’air au passage des ondes incidente vi(x, t), reflechie vr(x, t) et transmise vt(x, t).

3. En remarquant que la composante normale de la vitesse de deplacement de part et d’autre du mur(en x = 0+ et x = 0−) doit etre continue, et en utilisant l’equation etablie en question (1), calculerles coefficients de reflexion R et de transmission T .

4. Que se passe-t-il dans la limite ou la masse M du mur est tres grande devant celle d’une tranche d’airm d’epaisseur λ ? Quelles sont les pulsations ω les mieux transmises ? les mieux reflechies ?

5. Application numerique. On considere un mur de beton de masse surfacique σ = 250 kg ·m−2, et unpaquet d’onde centre sur λ ∼ 1 m et d’amplitude A = 100 Pa. On rappelle la vitesse du son dansl’air c = 340 m · s−1, et la densite de l’air dans les conditions de l’experience ρ0 = 1, 2 kg ·m−3. Quelleest l’amplitude de la surpression ? Calculer l’intensite de l’onde transmise (en dB, avec pour intensitede reference I0 = 10−12 W ·m−2).

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2 — Ondes acoustiques dans un fluide isotherme au repos

On considere une masse fluide isotherme, en apesanteur, et au repos par rapport a un referentiel galileen.Soit ρ0 et p0 respectivement la masse volumique et la pression qui sont donc constantes dans ce fluide. Lasituation dynamique envisagee est celle d’une onde (acoustique) de pression δp se propageant dans cettemasse fluide suite a une pertubation de tres faible amplitude. On notera δρ et ~v les perturbations associeesde masse volumique et de vitesse respectivement. Pour analyser cette situation, on part des equations debilan suivantes,

ρ

(∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v

)= −∇δp+ µ

(∇2~v +

1

3∇(∇ · ~v)

),

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0, (2)

ou µ est la conductivite de quantite de mouvement, et ρ(x, y, z, t) = ρ0 + δρ(x, y, z, t). On admettra que lefluide verifie dans ces conditions l’equation d’etat approchee suivante,

ρ = ρ0 (1 + χ(p− p0)) ,

ou χ est la compressibilite adiabatique. On utilisera la relation 1χρ0

= c2, ou c est la vitesse de phase du sondans ce fluide.

1. En considerant que ‖δρ‖ ρ0, ‖δρ‖ indiquant l’ordre de grandeur de la perturbation δρ, ecrire cesequations au premier ordre en δρ et ~v.

2. Ecrire la relation entre δρ et δp = p− p0.

3. En deduire la nouvelle version des deux equations de bilan qui couplent l’evolution temporelle de δpet ρ0~v. On notera ν = µ

ρ0la diffusivite de quantite de mouvement.

4. En appliquant la divergence sur l’equation de bilan de la quantite de mouvement, etablir l’equationqui gouverne l’evolution espace-temps de δp. On ecrira cette equation sous la forme(

∂2

∂t2+ a∇2 + b

∂

∂t∇2

)δp = 0 (3)

ou a et b sont des coefficients que l’on precisera.

La solution d’onde de cette equation est cherchee sous la forme(~vδp

)(t) =

(~vδp

)ei(ωt+

~k·~r)

ou ~r est le vecteur position d’un point du fluide, ~k un vecteur d’onde reel et ω = ωr + i ωi une pulsation, apriori complexe.

1. Quelle est la signification physique d’une telle solution ?

2. Ecrire la relation de dispersion ω(k) que verifient ces ondes.

3. En deduire les deux relations qui couplent ωr(k) et ωi(k).

4. On veut la solution qui correspond a ωr(k) 6= 0. Comment s’exprime alors ωi(k) ? Que signifie ceresultat pour le comportement des ondes correspondantes ?

5. En deduire ω2r(k).

6. En deduire la vitesse de phase de ces ondes, vφ = ωr

k , sous la forme vφ = c√

1− f(k), avec f(k) quel’on precisera. Que signifie la presence de f(k) ?

7. On donne c = 340m/s dans l’air, et ν = 15 × 10−6m2/s la viscosite cinematique de l’air. Pourquelle valeur de k, et donc de λ, la longueur d’onde correspondante, la vitesse de phase des ondess’annule-t-elle dans l’air ?

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3 — Ondes gravito-capillaires

On considere une fine couche liquide d’epaisseur moyenne h. La question est de savoir si des ondesmaterielles peuvent se propager dans ce milieu, et si oui a quelle(s) relation(s) de dispersion elles obeissent.A l’equilibre hydrostatique, le fluide, suppose newtonien et non visqueux, est immobile (~v0(~r, t) = 0), etcaracterise par sa masse volumique ρ0 ∼ 103kg/m3, uniforme en espace et stationnaire dans le temps, par sadistribution de pression hydrostatique p0(~r, t), sa temperature T0 uniforme, et sa tension de surface lineiqueγ ∼ 7× 10−2 N ·m−1.

L’equation de Bernoulli conduit, pour la condition de surface libre, a la relation :(∂2φ

∂t2− γ

ρ

∂3φ

∂x2∂z+ g

∂φ

∂z

)z=ζ

= 0, (4)

et le potentiel des vitesses, φ, duquel derive le champ de vitesse, ~v, lie a la perturbation, verifie une equationde Laplace :

∆φ = 0. (5)

A l’equilibre, la surface libre du fluide dans le champ de pesanteur est plane. Si la surface est perturbee enun point, deux forces peuvent intervenir pour restaurer l’equilibre rompu : la force de gravite, d’une part,et la tension superficielle, d’autre part. Parce que l’interface est libre, des ondes peuvent alors se propagerdans le milieu. Dans toute la suite on negligera les effets visqueux.

0 ζ(x, t)x

z

h

1. En supposant une solution de la forme

φ(x, z, t) = f(z)ei(ωt−kx), (6)

montrer que f(z) = a cosh (k(z + h)).

2. Determiner la relation de dispersion pour les ondes de surface gravito-capillaires.

3. Que devient la relation de dispersion pour hk 1 ? hk 1 ? Quelle(s) est (sont) la (les) significa-tion(s) physique(s) de ces deux limites ?

4. Determiner l’echelle de longueur caracteristique, `c, pour laquelle les effets capillaires et de gravitesont du meme ordre de grandeur.

5. On se place dans la limite λ/`c 1 et h→ +∞.

(a) Que devient f(z) ?

(b) Ecrire la relation de dispersion des ondes, lorsque la profondeur de fluide est infinie (h λ).

(c) En deduire les vitesses de phase et de groupe de ces ondes.

(d) Que peut-on dire des trajectoires des particules fluides au passage de l’onde ?

6. En vous referant aux ondes que l’on peut observer a la surface de l’ocean, indiquez celles qui sont desondes de gravite, celles qui sont des ondes capillaires.

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4 — Ondes internes

Figure 1 – Definition de (r, θ, φ) en coordonnees spheriques.

On considere, dans le repere cartesien (ex, ey, ez), un fluide stratifie suivant ez, c’est-a-dire dont lamasse volumique varie avec l’altitude, ρ ≡ ρ(z). Cette variation est supposee lineaire avec l’altitude et lastratification stable dans le champ de pesanteur, ρ(z) = ρ0(1 − αz) avec α > 0, ρ0 = ρ(0) et g = −gezle champ de pesanteur. La stratification peut etre indifferemment due a un gradient de temperature ou desalinite. Le fluide peut se deplacer entre z− = −H/2 et z+ = H/2. Dans un tel milieu, une particule fluidese mouvant suivant z se retrouvera dans une region de densite differente, plus grande si la particule descend,plus faible si la particule monte. Il s’exerce alors sur cette particule une force de rappel, engendree par lapoussee d’Archimede, dirigee vers le haut lorsque la particule descend, vers le bas lorsque la particule monte,ce qui tend a la faire osciller autour de sa position d’equilibre. Le milieu stratifie peut donc etre le siege de lapropagation d’ondes. En considerant la dynamique lineaire, et non visqueuse, d’une petite perturbation del’etat d’equilibre du milieu, on aboutit a l’equation d’onde suivante qui gouverne l’evolution de uz, la vitessematerielle, suivant ez, d’une particule fluide :

∇2

(∂2uz∂t2

)+N2

(∂2uz∂x2

+∂2uz∂y2

)= 0, (7)

ou

∇2 ≡ ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2,

et

N =

√g

ρ0

∣∣∣∣dρdz∣∣∣∣

est la pulsation dite de Brunt-Vaisala. Dans la suite du probleme, on utilisera aussi les coordonees polaires(r, θ, φ), θ mesurant l’angle entre la rayon vecteur r et la verticale ez, cf Figure 1.

1. Montrer que la relation de dispersion peut se mettre sous une forme

ω2 = ω20 sin2 θ,

ou l’on explicitera ω20 en fonction des donnees du probleme.

2. Montrer que le milieu impose une pulsation de coupure ωc, que l’on determinera, pour les ondessusceptibles d’etre excitees. Les ondes excitables sont-elles de pulsation superieure ou inferieure a ωc ?

3. Comment est oriente le vecteur d’onde des ondes telles que ω → 0 ? ω → ωc ?

4. Rappeler la definition de la vitesse de phase, cφ (la vitesse etant une grandeur vectorielle). Determinerson expression, en fonction de θ, φ, ω0 et k, dans le cas des ondes internes.

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5. Meme question pour la vitesse de groupe, cg.

6. Montrer que cφ et cg sont orthogonales.

7. Sur la Figure 2, on visualise, dans un plan vertical, les ondes internes excitees dans un milieu stratifiepar un forcage local a une pulsation ω imposee. Il s’agit d’une visualisation Schlieren, qui met enevidence les variations de l’indice optique dans le plan d’observation.

(a) Indiquer, sur la figure, ou se trouve la source de la perturbation.

(b) A partir de la figure, pouvez-vous dire dans quelles directions se propagent respectivement la phaseet le paquet d’onde ?

(c) Representer les vecteurs cφ et cg.

(d) Quels sont les vecteurs d’onde possibles ? Les representer sur la figure.

(e) Determiner la valeur approximative de la pulsation de forcage, ω/ω0.

Figure 2 – Visualisation experimentale, par Schlieren, de l’onde excitee dans un milieu stratifie par unforcage interne. Composante verticale du gradient de densite. Les unites des axes vertical et horizontal sontidentiques. Figures extraites de la these de doctorat de Louis Gostiaux.

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5 — Ondes inertielles

On s’interesse aux ondes susceptibles de se propager dans l’atmosphere terrestre, sous l’action de laforce de Coriolis. Dans le referentiel terrestre tournant, l’equation d’onde derivee a partir de l’equation deNavier-Stokes, pour un fluide considere comme parfait en ecoulement incompressible, peut se mettre sous laforme :

∂2

∂t24~u = −4Ω2

0

∂2

∂z2~u, (8)

ou Ω0 est la vitesse de rotation selon la verticale locale de la Terre, a la latitude consideree. Nous allons nousinteresser aux ondes geostrophiques inertielles solutions de cette equation.

1. On definit le nombre de Rossby par :

Ro =U

2ΩL, (9)

ou U est la vitesse caracteristique de l’ecoulement, L la dimension caracteristique des structuresatmospheriques, Ω la vitesse angulaire de la Terre. Quels sont les effets relatifs compares par cenombre ? Dans quelle limite a-t-on Ro 1 ? En remarquant que le rapport U/L produit un tempscaracteristique T dont on precisera le sens physique, montrer que les effets produits par la force deCoriolis ne sont plus negligeables si l’experience dure “trop longtemps”.

2. On definit le nombre d’Eckman par :

Ec =ν

2ΩL2. (10)

ou ν = µ/ρ est la viscosite cinematique. Quels effets sont compares par ce nombre ? Que vaut-illorsque L ∼ 103 km, ν ∼ 15 ·10−6 m2/s ? En deduire que la dissipation visqueuse est negligeable pourla description des ecoulements atmospheriques.

3. Montrer que l’hypothese d’incompressibilite du fluide impose a une onde plane monochromatiqued’etre transverse.

4. Etablir la relation de dispersion pour une onde plane monochromatique de pulsation ω et vecteurd’onde ~k. Montrer alors que la pulsation ne depend que de la direction de propagation de l’onde, pasde sa longueur d’onde, et s’ecrit simplement en fonction de l’angle θ entre le vecteur d’onde et l’axede rotation z :

ω = 2Ω0 cos θ.

5. Representer la direction de propagation d’une onde de pulsation ω. Que se passe-t-il lorsque ω > 2Ω0 ?Dans quelle direction se propage une onde engendree par une source vibrant tres lentement ?

6. Determiner les vitesses de phase ~c et de groupe ~vg de l’onde en fonction de la longueur d’onde λ, etmontrer qu’elles sont perpendiculaires. Quelle en est la consequence physique ?

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6 — Equations d’onde non-lineaires

6.1 Paquets d’ondes solitaires.

On considere le paquet d’onde secante hyperbolique suivant :

ψ(η) =1

cosh2 η. (11)

1. Montrer que ψ(η) = 1 − tanh2 η, et representer le paquet d’onde (11). Discuter de la pertinencephysique d’un tel paquet d’onde.

2. Calculer ∂ψ/∂η.

3. Montrer alors que, lorsque η = kx − ωt, ψ est une solution de l’equation d’onde non-lineaire deKorteweg-de Vries :

∂ψ

∂t+ ψ

∂ψ

∂x+ ν

∂3ψ

∂x3= 0. (12)

Que valent alors k et ω ?

6.2 Advection non-lineaire

On considere l’equation de Burgers :

∂ψ

∂t+ ψ

∂ψ

∂x= ν

∂2ψ

∂x2. (13)

1. Indiquer dans quel type de probleme se rencontre cette d’equation.

2. Indiquer s’il s’agit d’une equation elliptique, parabolique, ou hyperbolique (ν 6= 0).

3. On pose ξ = x− ct, ou c est une inconnue, et l’on cherche une solution sous la forme ψ(x, t) ≡ ψ(ξ),avec pour conditions aux limites ψ(−∞) = ψ1 et ψ(+∞) = ψ2, ψ1 > ψ2. Ecrire l’equation differentielleordinaire verifiee par ψ.

4. Integrer une premiere fois l’equation pour obtenir l’expression de (on noteraK la constante d’integration) :

ψ ′(ξ) = F (ψ).

5. Deduire de ce qui precede les expressions de K et c en fonction de ψ1 et ψ2. Quelle conclusion entirez-vous pour la vitesse c des ondes ?

6. Verifier qu’une solution peut se mettre sous la forme (on determinera κ et δ) :

ψ(ξ) = c− κ

2tanh

(κδξ).

7. Representer la solution pour ν 1 et ν 1. Montrer que dans ce dernier cas la solution asymptotiqueest une discontinuite dans le profil de la fonction ψ. A quelle vitesse se propage le choc ?

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