— P-PAM-307B —

Ondes et Acoustique dans les Fluides

Notes de cours

(Version du 30 janvier 2017)

Table des matieres

1 Generalite sur les ondes 41.1 Modeles d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Equations d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ondes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Ondes longitudinales et transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Intensite de l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Paquets d’ondes 92.1 Qu’est-ce qu’un paquet d’ondes ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Vitesse de groupe et dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Transport de l’energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Ondes acoustiques 123.1 Observations sur le son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Equation d’onde de l’acoustique lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Solutions de type ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Energie acoustique et intensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Effet de la gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7 La source simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.8 Le dipole acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.9 Probleme aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Ondes gravito-capillaires 244.1 Ondes de gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.2 Ondes harmoniques en eaux profondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.3 Ondes de gravite en eau peu profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Ondes capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Ondes de gravite internes 335.1 Stratification continue du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Ondes dans les fluides en rotation 376.1 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3 Ondes geophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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7 Equations d’ondes non-lineaires 427.1 Fronts et chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2 Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3 Collision de solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.4 Methode des caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.5 L’equation de Schrodinger non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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Chapitre 1

Generalite sur les ondes

Sommaire1.1 Modeles d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Equations d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ondes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Ondes longitudinales et transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Intensite de l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Modeles d’ondes

Pour illustrer les propos qui suivent, on pourra prendre pour exemple les ondes a la surface de l’eauengendrees par une pierre jetee a la surface lisse d’un lac. Des anneaux concentriques de vaguelettes sontemis depuis le point source, ou la pierre a perce la surface de l’eau, et se propagent radialement avec uneamplitude de crete qui va diminuant a mesure que l’ondulation d’eloigne de la source.

Une definition possible pourrait etre la suivante :

Perturbation d’un milieu, qui se propage dans le milieu, eventuellement en se deformant, avecune vitesse mesurable.

Cette definition, tres generale, precise peu les choses et quelques remarques peuvent d’hors et dejaetre faites.

— La vibration du milieu peut etre modelisee par une grandeur scalaire, ψ, par exemple dans le casdes ondes de pression, en acoustique. Elle peut aussi etre represetee par une grandeur vectorielle,~ψ, comme dans le cas d’une onde electro-magnetique, ou la grandeur oscillante peut etre la pola-risation, ou plus fondamentalement les champs electrique et magnetique.

— La propagation de la perturbation n’implique pas la propagation de la matiere. Il faut differencierla vitesse de l’onde, c, de celle de l’element materiel, ~u. Propagation de l’energie contenue dans laperturbation, mais generalement pas de la matiere, dont les deplacements nets sont en moyennenuls, en premiere approximation.

— Les ondes ont besoin d’un milieu materiel pour se propager. Une exception (de taille) provientde la lumiere : on a longtemps pense que la lumiere se propageait dans un milieu subtil, l’ether,remplissant l’espace inter-planetaire. Aujourd’hui, l’idee d’un ether emplissant l’espace a ete aban-donnee et les ondes electro-magnetiques seraient ainsi capables de se propager dans le vide.

— L’onde modelise un champ de deformation, defini en tout point de l’espace, a chaque instant.L’onde est irreductible au corpuscule. Toujours ?

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— Comme le souligne J. Lighthill dans son Prologue, les ondes sonores sont les plus fondamentalesdans les fluides, parce qu’elles peuvent exister sans champ de force externe. En general, une onde,ou un systeme vibrant, suppose l’equilibre entre une force de restauration et l’inertie du systeme.Les ondes sonores se propagent, quant a elles, sans force de rappel externe. Dans le cas des ondessonores, la force de rappel equilibrant l’inertie du fluide est tout entiere produite par la compres-sibilie propre du fluide.

1.2 Equations d’ondes

Considerons, pour l’exemple, une perturbation du milieu qui se propage sans deformation dans ladirection des x > 0. Par commodite, la source se trouve en O, l’origine du repere cartesien. On observel’arrivee de la perturbation au point M , situe a la distance x de O. Le signal ψO(t = 0), envoye en O al’instant t = 0, se retrouve, identique a ce qu’il etait au point O a t = 0, au point M au temps x/c, desorte que

ψM (t) ≡ ψ(x, t) = ψO(t− x/c) ≡ ψ(t− x/c). (1.1)

Un signal de cette nature est solution de l’equation(∂

∂t+ c

∂

∂x

)ψ(x, t) = 0, (1.2)

qui est l’equation d’onde decrivant la propagation de la perturbation dans le milieu. Cette equation estmanifestement lineaire, de sorte que le principe de superposition s’applique a ces ondes. Cependant, lesequations d’onde peuvent ne pas etre lineaires (en ψ), comme nous en verrons certains exemples auChapitre 7.

Notons que ψ(t− x/c) est aussi solution de l’equation(∂2

∂t2− c2 ∂2

∂x2

)ψ(x, t) = 0, (1.3)

composition de deux operateurs lineaires,

∂2

∂t2− c2 ∂

2ψ

∂x2=

(∂

∂t+ c

∂

∂x

)(∂

∂t− c ∂

∂x

), (1.4)

le second admettant des solutions du type ψ(x+ct), c’est-a-dire une onde se propageant dans la directiondes x < 0. Dans un esapce de dimension 1, l’equation (1.3) est plus riche que l’Eq. (1.2) puisqu’elle rendcompte de la propagation d’ondes dans les deux directions de cet espace.

Exercice : On s’interesse a l’equation d’onde suivante :

∂ψ

∂t+ c0

∂ψ

∂x+ ν

∂3ψ

∂x3= 0. (1.5)

ou ψ(x, t) est l’amplitude de la vibration consideree, c0 > 0 et ν sont reels. Verifier la linearite de cetteequation. Quelles en sont les consequences physiques ?

1.3 Ondes harmoniques

Les ondes harmoniques, de la forme cos, sin, ei, sont solutions d’equations aux derivees partielleshyperboliques, c’est-a-dire de la forme

A(x, t)∂2ψ

∂t2+B(x, t)

∂2ψ

∂t∂x+ C(x, t)

∂2ψ

∂x2+D(x, t)

∂ψ

∂t+ E(x, t)

∂ψ

∂x+ F (x, t)ψ +G(x, t) = 0,

avec B2−4AC > 0. Si B2−4AC < 0, l’equation aux derivees partielles est dite elliptique, si B2−4AC = 0elle est parabolique.

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Pour de telles ondes, ψ(~r, t) = aeiϕ(~r,t), la perturbation du milieu est periodique, a la periode tem-porelle T . Parceque l’onde se propage dans l’espace a la vitesse c, il en resulte une periodicite spatiale,λ = cT , appelee longueur d’onde. L’amplitude a de l’onde mesure la deformation maximale du milieupar rapport a son etat d’origine.

Exercice : Rappeler quel phenomene physique chacune de ces equations decrit, et si elles sont hy-perbolique, parabolique, ou elliptique :

i)∂2ψ

∂t2− c2 ∂

2ψ

∂x2= 0, ii)

∂ψ

∂t= κ

∂2ψ

∂x2.

1.4 Phase

Ecrivons la perturbation du milieu sous la forme d’une amplitude scalaire complexe ψ = a exp(iϕ(x, t)),ou a et ϕ sont reelles. Le caractere cyclique de la perturbation se traduit par une orbite fermee dans leportrait de phase d’axes <(ψ), =(ψ), cf figure 1.1.

<(ψ)

=(ψ)

aϕ

Figure 1.1 – Portrait de phase d’une onde harmonique

Si l’on fixe x, l’orbite fermee, alors parametree par le temps, est parcourue a la vitesse angulaireω = ϕ, definie comme la pulsation de l’onde. Si au temp t = 0 la phase vaut ϕ = 0, au bout d’un tempst = T , qui est la periode de l’onde, elle vaudra ϕ = 2π, au temps T/2, ϕ = π, etc. Dans le cas d’uneonde harmonique, cette vitesse angulaire est constante, de sorte que l’on peut ecrire :

ϕ = 2πt

T= ωt.

Notons que si l’onde n’est pas harmonique, mais quelconque, et que la courbe fermee n’est pas circulaire,on fera dependre par exemple ω de t. La frequence f = 1/T compte le nombre de cycles complets realisespar la phase en une unite de temps.

La discussion se transpose identiquement a l’espace. La “vitesse de variation” de la phase, spatiale-ment, est donnee par le vecteur d’onde ~k = ∇ϕ. Une translation spatiale, a t fixe, d’une periode spatialeλ (longueur d’onde), fait egalement varier la phase de 2π. Pour une onde harmonique, il en resulte :

ϕ = 2πx

λ≡ ~k · ~r.

Le nombre d’onde n = 1/λ est la frequence spatiale de l’onde.La dependance en espace et en temps de la phase se generalise simplement en :

ϕ = ωt− ~k · ~r = ~k · (~r − ~c t) , (1.6)

ou ~c = (ω/k)~ek est la vitesse du front d’onde, avec ~k = k ~ek. Rappelons que le front d’onde est definicomme le lieu dans l’espace ou la phase est partout identique, par exemple le ligne de crete d’une onde sepropageant a la surface de l’eau, ou plus generalement une surface dans un milieu tri-dimensionnel. Pour

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une onde plane par exemple, la phase est constante dans un plan perpendiculaire au vecteur d’onde, desorte que l’on peut ecrire ψ(~r, t) = ψ(x− ct), le propagation se faisant sans deformation du front. Pourune onde spherique, le front d’onde est une sphere, de sorte que ψ(~r, t) = ψ(r − ct).

1.5 Ondes longitudinales et transverses

Une onde se propageant dans la meme direction que la vibration du milieu est dite longitudinale,~k ∧ ~ψ = ~0, transverse si elle se propage dans une direction perpendiculaire aux vibrations du milieu,~k · ~ψ = ~0.

Exercice : ~ψ represente une grandeur vectorielle ayant un comportement periodique dans le tempset/ou l’espace, de vecteur d’onde ~k et de pulsation ω reels (sauf indication contraire). Sa dimensionphysique n’est pas indiquee. Les vecteurs unitaires dans le systeme de coordonnees cartesiennes sontnotes ei.

1. On donne ψ = ψx(z, t)ex + ψy(z, t)ey + ψz(z, t)ez.

(a) Quelle est la direction du vecteur d’onde ~k de chaque composante de ce champ ?

(b) A quelle condition l’onde est-elle transverse ?

(c) A quelle condition l’onde est-elle longitudinale ?

2. On donne ~ψ = A cos(kz − ωt)ex.(a) Tracer ~ψ(z, t = 0). Cette onde est-elle transverse ou longitudinale ?

(b) Decrire comment le champ ~ψ(z, t) evolue avec le temps.

3. On donne ~ψ = A (cos(kz − ωt)ex + sin(kz − ωt)ey).

(a) Tracer ~ψ(z, t = 0). Cette onde est-elle transverse ou longitudinale ? Comment evolue-t-elledans l’espace ? Que vaut son amplitude locale |ψ(z, t = 0)| ?

(b) Decrire comment le champ ~ψ(z, t) evolue avec le temps.

1.6 Intensite de l’onde

Le module carre de la deformation, |ψ(~r, t)|2, en un point donne a un instant donne, representel’intensite de l’onde, c’est-a-dire la puissance qu’elle transporte par unite de surface. L’unite d’intensiteest le W·m−2. Si l’onde se propage sans dissipation, la puissance de la source, P (t1), emise a l’instant t1,doit se retrouver, a l’instant t2, sur le front d’onde situe a la distance r = c(t2 − t1) de la source, si lapropagation est isotrope et la source ponctuelle, c’est-a-dire sur la surface d’une sphere dans un espacea 3 dimensions :

P (t1) =

∫∫frontd′onde

|ψ(c(t2 − t1), t2)|2 dS = 4πr2I,

ou I = |ψ(c(t2 − t1), t2)|2 est uniforme, dans les hypotheses du probleme, sur tout le frond d’onde. Apuissance constante, I ∝ 1/r2.

1.7 Relation de dispersion

Le milieu selectionne les modes oscillants susceptibles de se propager : ainsi, a un vecteur d’onde ~kdonne sera associee une pulsation ω, c’est-a-dire

ω = ω(~k). (1.7)

Dans l’exemple de l’equation (1.3), une solution harmonique progressive, du type aei(kx−ωt) conduira ala relation de dispersion ω2 = k2c2, c’est-a-dire, en prenant la racine, ω = ±kc. On retrouve bien lesmodes de propagation gauche et droit.

Cette relation impose de severes restrictions aux ondes, notamment lorsque celles-ci interagissent enechangeant de l’energie (ω) et de l’impulsion (~k), comme cela se produit lorsque le modele de propagation

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cesse d’etre lineaire. Par exemple, lorsque le couplage est quadratique en ψ, deux modes elementaires(ω1,~k1) et (ω2,~k2) peuvent interagir pour engendrer un troisieme mode, (ω3,~k3), tel que ω3 = ω1 + ω2

et ~k3 = ~k1 + ~k2. Mais ce mode n’est effectivement engendre que si sa pulsation et son vecteur d’ondeverifient la relation de dispersion des ondes dans le milieu :

ω3 = ω(~k3).

Cette condition de resonance non-lineaire, en presence de non-linearites quadratiques (melange a troisondes), est typique d’une turbulence d’ondes.

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Chapitre 2

Paquets d’ondes

Sommaire2.1 Qu’est-ce qu’un paquet d’ondes ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Vitesse de groupe et dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Transport de l’energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Qu’est-ce qu’un paquet d’ondes ?

On s’est essentiellement interesse dans les cas precedents aux ondes monochromatiques, c’est-a-direcomposees d’une seule longueur d’onde. Ce type d’ondes, bien que fondamental, n’epuise cependant pasla definition generale que nous avons donnee d’une onde.

Nous nous interessons ici a une perturbation quelconque, bornee dans l’espace, pouvant etre decritepar une fonction compacte de carre sommable, ψ(~r, t). Ces fonctions peuvent etre decomposees sur unebase de Fourier, c’est-a-dire une base de fonctions harmoniques :

ψ(~r, t) =

∫ ∞−∞

ψ~kei(ω(~k)t−~k·~r)d~k (2.1)

ou ψ~k, la transformee de Fourier de ψ, est le poids relatif que represente la composante harmonique~k dans ψ. L’integrale s’etend de −∞ a +∞ pour tenir des ondes se propageant dans les deux sens,ωt±~k ·~r. Une premiere consequence de l’ecriture (2.1) resulte de la dualite qui existe entre espaces directet reciproque : plus un paquet d’onde est “pique” dans un espace, plus il est “etendu” dans l’autre. Parexemple, un paquet d’onde gaussien, d’extension spatiale σx dans l’espace reel, sera decrit comme lasuperposition de composantes harmoniques, avec une distribution gaussienne, autour de la composantemoyenne, d’extension spectrale σk = 1/σx. Le cas extreme est la distribution de Dirac, par exemple dansl’espace reciproque, qui correspond a une ondes harmonique, totalement delocalisee puisque d’extensioninfinie, dans l’espace reel. Lorsque l’equation d’onde est lineaire, il suffit de resoudre le probleme pour uncouple (~k, ω) donne pour que le probleme soit resolu dans son entier, les differentes composantes etantindependantes les unes des autres.

Exercice : On s’interesse a une onde, non monochromatique, dont la signature spectrale est unpaquet d’onde centre sur le vecteur d’onde k0, et d’extension spectrale δk k0.

1. Calculer l’integrale :

ψ(x) =1

2δk

∫ k0+δk

k0−δkeikxdk. (2.2)

2. La distribution spatiale ψ(x) peut se voir comme la superposition de composantes de Fourier eikx,

ponderees par une distribution spectrale ψ(k) :

ψ(x) =

∫ ∞−∞

ψ(k)eikxdk. (2.3)

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Que vaut ψ(k) ? Representer approximativement le signal ψ(x) ainsi que sa distribution spectrale

ψ(k).

3. Identifier dans l’expression (2.2) ce qui correspond a la porteuse (petite longueur d’onde λ) et ala modulation (grande longueur d’onde Λ).

2.2 Vitesse de groupe et dispersion

Les differentes composantes spectrales, ~k, qui composent le paquet d’onde peuvent se propager a desvitesses c(~k) differentes. Si le principe de superposition s’applique 1, cela signifie que le paquet d’ondeperd sa coherence initiale au cours de la propagation. Apparaissent alors des oscillations a l’avant et al’arriere du paquet au cours du temps. On dit que le paquet se disperse.

Aux cotes de la vitesse de phase, on introduit une nouvelle vitesse, qui est celle du paquet d’onde.Considerons pour cela un paquet d’onde centre sur la composante k0, dans l’espace reciproque, et d’ex-tension spectrale ∆k k0. La relation de dispersion, developpee en puissance de k − k0, s’ecrit

ω(k) = ω(k0) + (k − k0)

(∂ω

∂k

)k0

+O((k − k0)2). (2.4)

Dans l’hypothese d’un paquet d’onde compact dans l’espace reciproque, k − k0 est un infiniment petitd’ordre 1, de sorte que les termes d’ordre superieur dans le developpement (2.4) peuvent etre negliges. Ilen resulte, pour le paquet d’onde, en notant δk = k − k0,

ψ(~r, t) =

∫ ∞−∞

ψ(~k)ei(ω(~k)t−~k·~r)d~k (2.5)

= ei(ω(~k0)t−~k0·~r)∫ ∞−∞

ψ(~k0 + δ~k)e−iδ~k·(~r−(∇~kω)~k0

t)d(δ~k) (2.6)

= G(~r − ~vgt)ei~k0·(~ct−~r). (2.7)

A l’approximation lineaire de la relation de dispersion, le paquet d’onde apparaıt comme le produit d’une

onde porteuse, ei~k0·(~r−~ct), dont la phase se propoage a la vitesse de phase, c, et d’une enveloppe,

G(~r − ~vgt) =

∫ ∞−∞

ψ(~k0 + δ~k)eiδ~k·(~r−(∇~kω)~k0

t)dδ~k, (2.8)

qui se propage a la vitesse vg. On definit ainsi

~vg = ∇~kω (2.9)

comme la vitesse de groupe du paquet d’onde.Remarquons que

vg = d(kc)/dk = c+ k dc/dk = c− λ dc/dλ. (2.10)

Ainsi, si c est une fonction decroissante de λ, alors vg > c : ce sera le cas des ondes capillaires, commenous le verrons au Chapitre 4.

Exercice : Prenons l’exemple de l’equation de Korteweg-de Vrie lineaire :

∂ψ

∂t+ c0

∂ψ

∂x+ ν

∂3ψ

∂x3= 0. (2.11)

ou ψ(x, t) est l’amplitude de la vibration consideree, c0 > 0 et ν sont reels.

1. Etablir la relation de dispersion ω = ω(k) pour une onde harmonique monochromatique plane.En deduire la vitesse de phase c(k) = ω/k du mode k.

2. Calculer la vitesse de groupe vg = dω/dk d’un paquet d’onde. Le milieu dans lequel l’onde sepropage est-il dispersif ?

1. C’est-a-dire si l’equation d’onde est lineaire.

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3. Montrer que si la vitesse depend de l’amplitude de l’onde : c0 = ψ (equation de Korteweg-deVries), l’equation d’onde cesse d’etre lineaire. Quelle(s) consequence(s) cela implique-t-il ?

Exercice : Comparaison des vitesses de phase et de groupe.

On considere maintenant un paquet de deux ondes ψ = 12 (cosφ1 + cosφ2), dont les phases φi =

kix − ωit verifient, pour ωi, la relation de dispersion des ondes de gravite a la surface d’un fluide :ω =√gk. On a de plus k1 = k0 − δk et k2 = k0 + δk, avec δk k0. Tracer l’evolution de cette onde au

cours du temps et commentez son allure (on choisira par exemple k0 = 8δk et on ecrira ψ sous la formed’un produit).

Exercice : On considere dans cette partie le paquet d’onde :

ψ(x, t) =1

2δkRe

(∫ k0+δk

k0−δkei(kx−ω(k)t)dk

), (2.12)

ou Re(a) indique la partie reelle de a. La relation de dispersion est ω = ck.

1. Effectuer l’integrale pour exprimer ψ(x, t) sous la forme d’une porteuse et d’une modulation. Lesidentifier.

2. Donner la longueur d’onde λ et la periode τ de la porteuse.

3. Memes questions pour la modulation d’amplitude, avec Λ et T respectivement.

4. Donner les vitesses de phase vφ et de groupe vg. Comparer vφ a c. Commenter.

2.3 Transport de l’energie

Dans un systeme satisfaisant des equations lineaires a coefficients constants, il ne peut y avoir aucuntransfert d’energie d’une region du spectre vers une autre. Dans le cadre lineaire, l’intensite de l’onde estune fonction quadratique de l’amplitude des perturbations,

I(~r, t) = |ψ(~r, t)|2,

la forme (2.7) du paquet d’onde implique donc

I = |G(~r − ~vgt)|2, (2.13)

c’est-a-dire que l’energie est transportee, dans l’onde, a la vitesse de groupe, ~vg.

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Chapitre 3

Ondes acoustiques

Sommaire3.1 Observations sur le son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Equation d’onde de l’acoustique lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Solutions de type ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5 Energie acoustique et intensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6 Effet de la gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.7 La source simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.8 Le dipole acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.9 Probleme aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Observations sur le son

La theorie des ondes acoustiques, developpee dans la section suivante, doit rendre compte des elementsd’observations suivants :

1. Une observation rapide indique que les objets sonores sont dans un etat vibratoire. Mais cela estinsuffisant pour decrire le phenomene acoustique : il faut qu’un “lien” continu existe entre l’objetet l’oreille. Le son cesse en effet si l’objet vibrant est place dans une cloche a vide.

2. Le passage du son n’est pas instantane, comme le montre l’intervalle de temps qui s’ecoule entreun eclair et le bruit qu’il engendre. De ce point de vue, la lumiere voyage plus rapidement que leson. Les premieres experiences precises ont ete menees en 1738 par des membres de l’Academiefrancaise des Sciences, a l’aide de tirs de canon releves a differentes distances. Il est une precautionnecessaire a prendre dans ces experiences, a savoir se positionner symetriquement par rapport aucanon, afin d’eliminer l’influence du mouvement propre de l’air en masse. Sous le vent, en effet, leson se propage plus vite. Dans un air sec au repos, a 0C, des observateurs francais 1 ont mesuresc = 337 m/s. Les mesures donnent generalement c autour de 332 m/s. On remarque l’influence dela temperature et de la pression sur c.

3. Toutes les composantes spectrales voyagent a la meme vitesse. Dans le cas contraire, une piecemusicale deviendrait rapidement confuse et dissonante a quelque distance de l’orchestre.

4. De la meme maniere, la vitesse est independante de l’intensite de l’onde. On note toutefois desexceptions, lorsque par exemple la perturbation du milieu est violente ou abrupte, ou les variationssont de l’ordre de la densite moyenne du milieu.

5. L’air n’est pas le seul milieu capable de propager le son. En 1826, Colladon & Sturm mesurent lavitesse dans le lac de Geneve, a 8C, par un coup de feu tire sur une berge et releve, a l’aide d’untube immerge sous la surface, sur la berge opposee. Ils mesurent c ' 1435 m/s.

1. Ainsi qu’Arago en 1822 ; les neerlandais Moll van Beck & Kuyten Brouwer a Amsterdam ; Bravais & Martins, etc.

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6. Dans les solides, Wheatstone utilise deux barres metalliques, encastrees dans un mur d’un batiment,a des etages differents, excite l’une et releve le signal sur l’autre.

7. Les ondes sonores peuvent se propager selon deux modes : longitudinalement et transversalement,relativement a la vibration de la source. Dans les gaz courants en revanche, les ondes transversessont inexistantes, le cisaillement ne se transmettant que sur des distances tres courtes.

8. Dans un espace ouvert, l’intensite du son decroıt rapidement avec la distance a la source. Lameme impulsion s’exerce en effet sur des surface croissant comme r2. Tout ce qui confine tendcependant a diminuer l’attenuation : une etendue d’eau calme porte le son plus loin qu’une surfaceaccidentee, un angle entre un pavement regulier et un mur est encore meilleur, mais le plus efficaceest encore le tube, qui empeche la dispersion de l’onde sonore. On utilisa d’ailleurs ce principepour communiquer dans les immeubles.

9. Les sons peuvent etre classes en “musicaux” (notes) et “non musicaux” (bruits). Les cas extremesne font pas debat : tout le monde distingue une note de piano d’un crissement de chaussures. Maisil n’est pas aise de tracer la ligne de separation.

10. Focalisons-nous quelques instants sur les notes. Elles s’arrangent en hauteurs. Les oreilles en-trainees peuvent reconnaıtre une gamme consequente de gradations — superieure a mille dans lespectre de la voix humaine ! Ces gradations ne sont pas sans rapport entre elles. A partir d’unenote quelconque, les musiciens peuvent en sortir d’autres, dans un rapport bien defini avec lapremiere, connu comme l’octave, la quinte, etc. Les differences de hauteur correspondantes sontappelees intervalles : une note et son octave sont separees d’un intervalle d’un octave. Puisque lessons sont produits par des objets vibrants, il est naturel d’envisager les notes musicales comme desvibrations periodiques, c’est-a-dire qui se repetent apres un intervalle de temps appele la periode.

11. La Sirene, inventee par Cagniard de la Tour, est l’instrument historique des experiences fonda-mentales sur les notes. Il s’agit d’un disque tournant perce d’un ou plusieurs ensembles de trous,disposes a intervalles reguliers sur la circonference de cercles concentriques a l’axe de rotation. Untube alimente par un soufflet se presente perpendiculairement au disque, son ouverture en regarddes trous. Alors que le disque tourne suffisamment vite, il se forme une note, dont la hauteuraugmente avec la vitesse de rotation.

Figure 3.1 – Sirene de Charles Cagniard de Latour

12. La taille ou la forme des trous, la force du vent, ainsi que d’autres elements, peuvent etre varies,mais la hauteur ne depend jamais que de la vitesse de rotation, c’est-a-dire la frequence de passagedes trous. Cependant, dire que la periode ne depend que de la periode masque une difficulte. Eneffet, un phenomene de periode τ est aussi periodique a 2τ , 3τ , etc. De la meme maniere, unerecurrence selon τ n’exclut pas des recurrences selon des fractions entieres de τ . La force de cetteconsideration ne peut etre totalement eludee en definissant la periode comme le plus petit tempsrequis pour produire la repetition. D’abord, la necessite d’une telle restriction est en elle-memepresque suffisante pour montrer que nous n’avons pas atteint la racine du probleme. Car bienque le droit, pour une periode τ , doit etre refuse a une vibration se repetant rigoureusementa τ/2, il ne peut etre refuse a une vibration qui en differe tres legerement. Dans la Sirene, en

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decalant legerement un trou sur deux, on n’entend pas la difference dans la note resultante, orpourtant la periode a ete doublee ! D’autre part, il est evident, de la nature de la periodicite, quela superposition des vibrations τ/2, τ/3, etc, sur une vibration de periode τ , ne perturbe pasla periode τ , tandis que maintenant il ne peut etre suppose que l’ajout des nouveaux elementsait laisse la qualite du son inchangee. De plus, puisque la hauteur n’a pas ete affectee par cettepresence, comment savoir que des elements de periode plus courte ont ete ajoutees ?

13. Ces considerations suggerent des relations remarquables entre les notes dont les periodes sontreciproques des nombres naturels. En disposant deux cercles concentriques sur le disque de laSirene, l’un contenant deux fois plus de trous que l’autre, on aura toujours la periode double.On s’apercoit que les notes produites sont dans une relation d’octave, quelque soit la vitesse derotation.

14. Identiquement, le rapport 3 :1 correspond a la douzieme des musiciens (octave + quinte), 4 :1 ala double octave, 5 :1 a 2 octaves plus une tierce majeure, etc. La quinte est quant a elle obtenuedans le rapport 3 :2 et la tierce majeure par 5 :4. La douzieme part d’un octave correspond aurapport 12

√2 : 1, car c’est l’intervalle qui, repete 12 fois, produit l’octave.

15. D’autres intervalles, connus des musiciens, peuvent ainsi etre derives :

octave 2 :1quinte 3 :2quarte 4 :3tierce majeure 5 :4sixte mineure 8 :5tierce mineure 6 :5sixte majeure 5 :3

Les frequences, multiples d’une autre, sont appelees harmoniques, et la serie complete composeune echelle harmonique.

16. Apres les premieres etudes de la Grece antique, l’etablissement du rapport entre les intervallesmusicaux et le rapport de frequence est du a Mersenne, en 1636. Les Grecs notamment savaientdans quel rapport les longueurs de cordes devaient etre modifiees pour produire l’octave ou laquinte, mais Mersenne demontra la loi reliant la longuer d’une corde a la periode de vibration etfit la premiere demonstration des taux de vibration des notes de musique connues.

17. Etant donnee une tonique, par exemple le Do, une echelle diatonique peut etre construite

Do Re Mi Fa Sol La Si Do1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

Sol etant la dominante et Fa la sous-dominante.

18. A la conference de Stuttgard de 1834, il fut choisi La≡ 440 Hz (correspondant a a’ dans la tessituredes tenors, c’ etant fixe a 264 Hz) :

c d e f g a b c’ d’ e’ f’ g’ a’Do tenor ut3 La

3.2 Equation d’onde de l’acoustique lineaire

Les ondes sonores se propagent dans le milieu sans qu’il soit necessaire qu’une force de rappel externes’exerce. La force de rappel equilibrant l’inertie du fluide est tout entiere produite par la compressibiliepropre du fluide. Par ailleurs, puisque les proprietes de compressibilite de la plupart des milieux sontles memes dans toutes les directions, la propagation du son est isotrope. En contraste, la plupart desmouvements ondulatoires dus a une force externe de rappel sont anisotropes. Les ondes a la surfacehorizontale de l’eau sont un cas a part, car elles sont sujettes a une propagation sur une surface, dansdes directions horizontales toutes equivalentes pour la force de pesanteur. Au contraire, lorsque la sourcede ces ondes est un navire en mouvement, elles deviennent anisotropes par effet Doppler — tout commele feraient les ondes acoustiques si la source ou l’observateur etaient mobiles.

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Si l’on neglige les contraintes visqueuses, le mouvement d’une particule fluide, au passage de l’onde,peut se decrire par l’equation d’Euler

ρ

(∂u

∂t+ u · ∇u

)= −∇p. (3.1)

La compressibilite implique que la masse volumique d’une particule fluide, ρ, puisse varier, en accordavec l’equation de continuite de la masse

∂ρ

∂t+ div (ρu) = 0. (3.2)

Le second terme se decompose en div (ρu) = (u · ∇)ρ+ ρ(∇ ·u). Le terme (u · ∇)ρ represente le taux dechangement total de masse volumique, tandis que ρ(∇ · u) est le taux d’accroissement du volume d’unelement en mouvement dans le champ de vitesse, rapporte au volume de l’element.

En supposant de petites variations du milieu (l’approximation sera a valider par la suite), on lineariseles equations autour d’un etat de repos (u = 0) et de densite uniforme ρ0. En l’absence de forcesexterieures, cela implique que la pression est uniforme a p0,

ρ0∂u

∂t= −∇p (3.3)

∂ρ

∂t= −ρ0 div u. (3.4)

Il en resulte que les taux de variations de la vitesse et de la masse volumique sont directement propor-tionnels au gradient de pression et a la divergence de la vitesse, respectivement.

L’Eq. (3.3) implique∂

∂trot u = 0, (3.5)

de sorte que la vorticite, ω = rot u se conserve (et donc ne se propage pas). Ainsi la partie rotationnellede la vitesse doit etre independante du temps. La partie restante du champ de vitesse est irrotationnelleet peut etre ecrite en fonction d’un potentiel des vitesses,

u = uω + ua, ua = ∇φ. (3.6)

Seule la composante ua de la vitesse peut rendre compte des fluctuations associees a la propagationdu son. A l’approximation lineaire, le champ de vitesse acoustique n’interagit jamais avec le champd’ecoulement rotationnel stationnaire. Les couplages existent en fait aux ordres superieurs du developpementen puissances de la perturbation. Mais meme dans ce cas, lorsque la vitesse de l’ecoulement est tres petitedevant celle du son, l’interaction entre la contribution potentielle et rotationnelle evolue au plus par deschangements graduels.

Les equations (3.3) et (3.6) donnent

p− p0 = −ρ0∂φ

∂t, (3.7)

car les gradients des deux cotes sont partout egaux et parce que les deux membres s’annulent dans lesregions non perturbees du fluide, du moment que le potentiel φ s’annule dans ces regions.

Les equations (3.4) et (3.6) expriment le taux de variation de la masse volumique

∂ρ

∂t= −ρ0∆φ. (3.8)

A ce stade, il faut faire appel aux proprietes de compressibilite du fluide, car il nous faut pouvoir relierles variations de pression et de densite : p = p(ρ). En linearisant autour de ρ0,

p(ρ) ' p(ρ0) + (ρ− ρ0)p′(ρ0),

de sorte qu’en negligeant les ordres superieurs,

∂p

∂t= p′(ρ0)

∂ρ

∂t. (3.9)

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Finalement, les equations (3.7), (3.8) et (3.9) donnent

∂2φ

∂t2= p′(ρ0)∆φ, (3.10)

equation d’onde caracteristique de tout phenomene, d’energie conservee, impliquant la propagation dansun milieu homogene a une vitesse unique, c =

√p′(ρ0), independante de la forme de l’onde et de la

direction de propagation.

3.3 Solutions de type ondes planes

Une solution simple de l’equation d’onde est une onde plane se propageant sans deformation dans ladirection des x > 0, soit

φ(r, t) = f(x− ct).

La fonction f(x) donne la forme de la perturbation a l’instant t = 0, tandis que la forme de l’onde resteinchangee au cours du temps, simplement translatee de ct dans la direction des x > 0.

L’onde est longitudinale car le champ de vitesse u = (u, v, w), satisfaisant u = f ′(x− ct), v = w = 0,est parallele a la direction de propagation.

Pour cette onde plane progressive, l’equation (3.7) donne

p− p0 = ρ0cu, (3.11)

soit une proportionnalite entre l’exces de pression et la composante de vitesse du fluide dans la directionde propagation. Proportionnalite due a ce qu’en un point de l’onde ou la pression augmente, le gradientde pression dans la direction de propagation prend la valeur negative −1/c (∂ρ/∂t) et donc accelere lefluide, dont la composante d’acceleration correspondante, ∂u/∂t, prend la valeur positive 1/(ρ0c)(∂p/∂t).Les variations de pression induite par (3.11) sont sensiblement plus importante, pour un u donne, quen’en produirait ρ0u

2/2.Une autre solution de l’equation d’onde, ne dependant que de x et t, est

φ(r, t) = g(x+ ct),

qui represente cette fois une onde plane progressive selon les x < 0. Du fait de la linearite de l’equationd’onde, et de son degre de derivation, la solution generale de l’equation peut s’ecrire sous la forme

φ(r, t) = f(x− ct) + g(x+ ct).

Le champ de vitesse u satisfait u = g′(x+ ct), v = w = 0, et l’exces de pression est a nouveau

p− p0 = −ρ0cu,

le rapport de la pression a la vitesse (−u) etant toujours +ρ0c.De maniere generale, une onde plane s’ecrira

φ(r, t) = h±(n · r± ct),

si |n| = 1. Il resulte, des equations (3.6) et (3.7),

u =p− p0

ρ0cn. (3.12)

L’independance de c avec la direction n et la forme h de l’onde est une consequence de l’equation d’onde,mais cette particularite disparaıt dans de nombreux problemes d’ondes dans les fluides, comme on leverra par la suite.

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3.4 Vitesse du son

On a vu que c2 = p′(ρ0). Il faut donc se donner une equation d’etat reliant p et ρ. Si le milieu estl’air, on peut raisonnablement considerer l’air comme un gaz parfait, et ecrire

p = ρRT/M,

ou M est la masse molaire moyenne de l’air et R = 8134 m2 · s−2 · K−1. Si la transformation subie parl’element fluide est isotherme, comme on l’a initialement suppose, alors

c2 = RT/M = p0/ρ0.

Dans l’air a 20C, cela donne c ' 290 m/s, trop loin des 340 m/s effectivement mesurees. Il a fallu attendreun siecle pour que Laplace explique ce desaccord par l’hypothese de transformation isotherme. En effet,si un element fluide est comprime, les elements voisins exercent un travail sur celui-ci, qui augmente sonenergie interne et accroıt potentiellement sa temperature. Le premier principe de la thermodynamiqueimpose que

dU = δQ+ δW

= cvdT + (`− P )dV (3.13)

(3.14)

Dans un gaz parfait, l’energie interne par unite de masse, U , est, en bonne approximation, une fonctionde la temperature seule. U est en effet proportionnelle a l’energie cinetique moyenne (de translation,rotation, vibration) d’une molecule isolee, parce que les contributions a l’energie potentielle, associeesaux forces inter-moleculaires, sont negligeables. Il en resulte ` = P et

dU = cvdT,

et cv est la chaleur specifique massique du systeme a volume constant 2.Lorsque le travail est la seule source de variation de l’energie interne (δQ = 0), comme c’est le

cas pour les ondes sonores (en negligeant conduction thermique et dissipation de l’energie mecanique),l’augmentation dT de temperature est alors

cvdT = dU = −pdV/m = p dρ/ρ2. (3.15)

L’equation d’etat des gaz parfaits donne

cvdT = cvM

R

(dp

ρ+ p d(1/ρ)

),

c’est-a-dire, au final,

pdρ

ρ2= cv

M

R

(dp

ρ− p dρ

ρ2

)Pour un gaz parfait, les chaleurs specifiques molaires a volume constant et pression constante, cMv et cMp ,

sont liees par cMp − cMv = R. Par definition du coefficient d’adiabaticite, γ = cp/cv, il vient

γ = (R+ cMv )/cMv .

Les chaleurs specifiques auxquelles nous nous interessons, cv et cp, sont definies par unite de masse, c’est-a-dire pour n = 1/M mole de gaz, de sorte que γ = (R+Mcv)/Mcv ' 1.40. Au final, c2 = p′(ρ0) = γp0/ρ0,

2. Il existe deux facons d’accroıtre l’energie interne d’un element fluide :— A volume constant, par un apport de chaleur et une augmentation de la temperature, dU = U ′(T )dT . Pour cette

raison U ′(T ), notee cv , est appelee chaleur specifique a volume constant.

— Par apport de travail, en l’absence d’echange de chaleur, dU = −p dV/m = p dρ/ρ2.

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avec, pour l’air considere comme un gaz parfait diatomique, γ, la masse molaire de l’air, M = 29.0 g/mol,et a T = 293 K, on obtient

c ' 340 m · s−1,

qui est l’ordre de grandeur effectivement attendu. Notons que pour les gaz parfait, γ = cp/cv, ou cpest la chaleur specifique a pression constante. Les valeurs typiques de γ vont de 5/3 au plus, pour lesgaz mono-atomique, dont l’energie interne est toute translationnelle, a 7/5 pour les gaz di-atomiques(ajoutant les degres de liberte rotationnels), et jusqu’a 6/5 voire 11/10 pour des gaz poly-atomiques ahaute temperature (ajout des degres vibrationnels).

Dans un milieu autre qu’un gaz, ou si le gaz est lui-meme trop dense pour etre parfait, il faut reveniraux fonctions d’etat, p et U , exprimees en fonction de la masse volumique, ρ, et de l’entropie, S, cettederniere etant supposee rester inchangee lors du passage de l’onde sonore. Dans ce cas, une variation depression est toute due a une variation de densite de l’element considere :

dp(ρ, S) =∂p

∂ρ

)S

dρ,

car dS = 0. Autrement dit,

c2 =∂p

∂ρ

)S

. (3.16)

En introduisant le coefficient de compressibilite adiabatique, χSV = − ∂V/∂p)S , c’est-a-dire

χS =1

ρ

∂ρ

∂p

)S

, (3.17)

on voit immediatement que l’on peut ecrire la vitesse sous la forme

c2 =1

χSρ0, (3.18)

avec une erreur d’ordre (ρ− ρ0).

Pour plus de details sur la thermodynamique du son, on pourra consulter le “Manuel d’acoustiquefondamentale” de M. Bruneau.

3.5 Energie acoustique et intensite

Les ondes ont cette propriete de transporter l’energie sans transport net de matiere. On definit :

— l’energie acoustique comme la fraction de l’energie totale du fluide associee a la presence de l’onde ;

— l’intensite acoustique comme la puissance par unite de surface, ou le taux de variation (spatiale)de l’energie acoustique.

Considerons le cas simple d’une onde plane se propageant selon x > 0 et verifiant

φ = f(x− ct)u = f ′(x− ct)

p− p0 = ρ0cu

On attend un transport positif d’energie a travers tout plan x = cst dans la direction des x > 0. Celasuppose que le fluide a gauche exerce une puissance positive sur l’element a droite. Cette puissance estle produit de i) la force agissant sur le plan, selon x > 0, soit (p− p0)dS pour la perturbation, et ii) lacomposante de vitesse u dans cette direction. Or (p− p0) et u sont de meme signe, d’apres (3.11), doncl’intensite

I = (p− p0)u = ρ0cu2 = δp2/ρ0c > 0,

soit, pour une direction quelconqueI = (p− p0)u. (3.19)

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En utilisant (3.6) et (3.7), il vient

I = −ρ0∂φ

∂t∇φ. (3.20)

La densite d’energie acoustique totale, cinetique et potentielle, est alors,

W =1

2ρ0

((∇φ)2 +

1

c2

(∂φ

∂t

)2). (3.21)

L’expression de la contribution cinetique est triviale, celle de la densite d’energie potentielle est moinsdirecte :

−∫ V

V0

(p− p0)dV/m =

∫ ρ

ρ0

(p− p0)dρ/ρ '∫ ρ

ρ0

(ρ− ρ0)c2dρ/ρ0 =(p− p0)2

2ρ0c2=

ρ0

2c2

(∂φ

∂t

)2

.

Pour l’onde plane, la densite d’energie W se reduit a

W = ρ0u2.

On verifie alors aisement la conservation de l’energie, en faisant intervenir l’equation de propagation :

∂W

∂t= −∇ · I. (3.22)

L’intensite acoustique peut se mesurer en W·m−2, mais une echelle logarithmique est plus approprieeen regard de la perception subjective du son par l’oreille humaine, qui ressent des differences de niveausonore egales pour des differences egales du logarithme de l’intensite. On definit ainsi le dB :

WdB = 120 + 10 log

(I

1 W ·m−2

). (3.23)

Le seuil d’audibilite, entre 500 et 8 000 Hz, est de l’ordre de I0 = 10−12W ·m−2 dans l’air, en moyennesur la population, correspondant, selon la definition (3.23) du decibel, a 0 dB. En fait, les frequencesinferieures a 20 Hz, ou superieures a 20 kHz, ne sont generalement pas percues par l’oreille humaine, maisla limite n’est pas tranchee et peut varier d’un individu a l’autre, ou avec l’age. Ainsi, le seuil d’audebilitea 100 Hz ou 15 kHz est de 20 dB. Le seuil de douleur est estime a 120 dB quelque soit la frequence. Il esta noter que differentes echelles logarithmiques existent, qui definissent le 0 dB frequence par frequenceen fonction de la courbe en frequence du seuil d’audibilite moyen de l’oreille humaine. D’autres unites,ponderees, tiennent compte de la perception de l’oreille humaine aux differentes frequences du spectreaudible (cf Figure 3.2).

Pour fixer les idees, la puissance vocale, dans une conversation normale, est de l’ordre de 10−5 W(W · m−2 en divisant par 4πr2) et peut monter a 0.03 W dans le chant. La puissance acoustique d’unmoteur de fusee, au decolage, avoisine les 105 W !

3.6 Effet de la gravite

Nous l’avons vu, les ondes sonores n’ont pas besoin de la gravite pour se propager : la presence d’unmilieu materiel suffit. Neanmoins, il est interessant de voir de quelle maniere cette force peut affecter lephenomene acoustique. En l’absence d’onde, la distribution de pression est hydrostatique

∇p0 = ρ0~g. (3.24)

On suppose par ailleurs toujours que la perturbation du milieu au passage de l’onde est isentropique. Te-nant compte de l’etat d’equilibre, l’equation d’Euler, linearisee autour de l’etat de l’equilibre, se simplifieen

ρ0∂u

∂t+∇(p− p0) = (ρ− ρ0)g. (3.25)

La definition de la vitesse selon l’Eq. (3.16) donne encore

ρ0∂u

∂t+∇(p− p0) = (p− p0)c−2g.

Comparons les ordres de grandeur des termes ∇(p− p0) et (p− p0). Si p est du type harmonique, alorsle rapport du gradient au terme lui-meme est d’ordre 2π/λ. Ainsi, toute onde sonore telle que λ c2/gest affectee de maniere negligeable par la gravite. Pour l’air, c2/g ' 12 km. Pour l’eau, c2/g ' 200 km.

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Reponse relative (dB) Frequence (Hz)31.5 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000

dB(A) -40 -26 -16 -8.6 -3.2 0 1.2 1 -1.1dB(B) -17 -9 -4 -1 0 0 0 -1 -3dB(C) -3 -0.8 -0.2 0 0 0 -0.2 -0.8 -3

Figure 3.2 – Differentes definitions du dB (credit : wikipedia). Le dB(A) definit une ligne isophonique,c’est-a-dire de percpetion identique a l’oreille, pour les faibles intensites sonores. Aux intensites plussoutenues, la perception relative des frequences se modifie encore, ce que le dB(B) tente de rendrecompte. Le dB(C) est quasiment lineaire sur plusieurs octaves et approprie pour les niveaux sonoresintenses.

3.7 La source simple

La solution la plus simple est la source ponctuelle non directionnelle (isotrope) a symetrie spherique.La symetrie implique φ(r, t) = φ(r, t) et

∆φ =∂2φ

∂r2+

2

r

∂φ

∂r=

1

r

∂2

∂r2rφ,

de sorte que l’equation d’onde se met sous la forme

∂2

∂t2rφ = c2

∂2

∂r2rφ. (3.26)

Du fait de la symetrie, le probleme tri-dimensionnel se reduit a un simple probleme uni-dimensionnel,en coordonnees spheriques. La solution generale est du type

rφ(r, t) = f(r − ct) + g(r + ct).

La fonction f decrit une onde spherique emise depuis le point source, en r = 0. Inversement, la fonctiong decrit une onde convergente vers le point source, que l’on considerera donc nulle par la suite. Remar-quons tout d’abord que dans la limite du fluide incompressible, c’est-a-dire lorsque c2 → ∞, l’equationd’onde se reduit a l’equation de Laplace, ∆φ = 0, autrement dit φ(r, t) = −m(t)/(4πr), ou m(t) est

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le debit volumique. Du fait de l’incompressibilite, l’ecoulement, a une distance r de la source, repondinstantanement a une variation de m au point source, car le temps de propagation de l’information estnul. Lorsque la vitesse c est finie, en revanche, l’information arrive au point r avec un retard, τ = r/c.La solution de l’equation d’onde s’ecrit donc simplement

φ(r, t) = −m(t− r/c)4πr

. (3.27)

La surpression induite par la source vibrante resulte de l’equation (3.7) :

p(r, t)− p0 =q(t− r/c)

4πr, (3.28)

ou q(t) = ρ0m(t) est le debit massique de la source. Cette derniere equation est consideree commel’equation fondamentale de la source acoustique simple, ou monopole, car la surpression, p − p0, et ledebit massique, q, sont des grandeurs directement mesurables. Comme on le voit, c’est le taux de variationdu debit massique, q, qui produit la surpression acoustique. La grandeur q est, pour cette raison, aussiappelee force 3 de la source.

La vitesse radiale de l’element fluide s’obtient facilement

ur =∂φ

∂r=

1

4πρ0cr

(q(t− r/c) +

c

rq(t− r/c)

). (3.29)

En champ lointain, le terme dominant est

ur 'q(t− r/c)

4πρ0cr. (3.30)

L’intensite de la source, en champ lointain, vaut donc

I = (p− p0)ur 'q2(t− r/c)16π2ρ0cr2

, (3.31)

et la puissance de la source, rayonnee dans le champ lointain, est

P (t) =q2(t− r/c)

4πρ0cr. (3.32)

3.8 Le dipole acoustique

Considerons deux sources acoustiques, situees en S1 et S2, a une distance ` l’une de l’autre. On note xl’axe les reliant. Les sources sont de debits massiques opposes, ±q(t). On s’interesse au champ acoustiquepercu au point P , situe a la distance r1 ≡ r de S1 et r2 ' r1 de S2.

+q−q

P

x`

r1r2

θ

Il est aise de construire le champ acoustique au point P a l’aide de l’equation. (3.28) ; en effet,l’equation d’onde etant lineaire, le champ acoustique produit en P est la simple superposition des champsproduit par S1 au point P a l’instant t, et le champ produit par S2 au point P au meme instant. Ainsi :

p− p0 =q(t− r1/c)

4πr1− q(t− r2/c)

4πr2.

3. Strength en englais

21

A ce stade, si les sources sont tres proches, c’est-a-dire si `/ri 1, on est tente d’effectuer un developpementen puissance de `/r, limite au premier ordre, de l’expression de la surpression. Il faut cependant verifierune seconde condition, que l’on appelle compacite acoustique de la source. Cela suppose que λ, la lon-gueur d’onde acoustique, soit grande aussi devant ` : `/λ 1, auquel cas le champ entre les deux sourcespeut etre considere comme uniforme. Comme on le voit, cette condition depend de la frequence de l’onderayonnee. Supposons-la verifiee aux longueur d’ondes d’interet, il vient alors :

p− p0 = −(r2 − r1)∂

∂r

(q(t− r/c)

4πr

)r1

.

Au premier ordre, (r2 − r1) = ` cos θ, de sorte que

p− p0 = − cos θ∂

∂r

(`q(t− r/c)

4πr

)r1

. (3.33)

La grandeur `q = G(t) est la force du dipole. La derivation par rapport a r va conduire a deux termesdans l’expression de la surpression :

p− p0 = cos θ

(`q(t− r/c)

4πr2+`q(t− r/c)

4πrc

). (3.34)

Si l’on compare les ordres de grandeurs des deux termes, on voit qu’ils sont d’ordre relatif :

c

r

O(q)

O(q)=

c

fr=λ

r.

On peut donc definir deux regions de l’espace, selon que λr 1 : c’est le region de champ proche, ou

λr 1, qui definit la region de champ lointain. La region telle que r ' λ serait celle du champ proximal.L’intensite rayonnee par le dipole est a nouveau donnee par :

I = (p− p0)ur = (p− p0)∂φ

∂r

En champ lointain, comme on l’a vu, la contribution

∂φ

∂r' cos θ

`q(t− r/c)4πr

domine, de sorte que

I = cos2 θ`2q2(t− r/c)

16πρ0r2c3. (3.35)

A la difference de la source ponctuelle, le dipole est directionnel ; cela vient du terme en cos θ dans l’ex-pression de la surpression. Le maximum d’intensite sera obtenu selon l’axe du dipole, l’energie rayonneedans une direction perpendiculaire a cet axe etant nulle. De plus, la puissance totale rayonnee, en champlointain, vaut :

P (t) =`2q2(t− r/c)

12πρ0c3. (3.36)

Le dipole acoustique est une source relativement inefficace, comparee au monopole. En effet,

O(Pdipole)

O(Pmonopole)= (f`/c)2 1.

3.9 Probleme aux limites

L’ensemble des equations doivent etre verifiees partout dans le domaine spatio-temporel considere.L’equation de propagation, lineaire, fait intervenir des operateurs de derivation d’ordre deux : sa solutiongenerale dependra donc de deux fonctions arbitraires, lineairement independantes. Les fonctions sourcespermettent de preciser ces fonctions, du moins en partie, ce qui traduit une simple relation de cause (les

22

sources) a effet (le champ). Mais cela ne suffit generalement pas pour obtenir la solution unique d’unprobleme precis. En effet, il peut y avoir lieu de preciser des conditions initiales et aux limites. Si ledomaine spatial est infiniment etendu, sans obstacle, il convient dans ce cas d’imposer une condition dedecroissance qui annule le champ a l’infini (loin des sources) et interdit toute retro-diffusion ou reflexion.Si le domaine est borne, il convient d’imposer une condition sur les frontiere du domaine, pour notammentrendre compte des phenomenes de transmission et de reflexion des ondes.

23

Chapitre 4

Ondes gravito-capillaires

Sommaire4.1 Ondes de gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.2 Ondes harmoniques en eaux profondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.3 Ondes de gravite en eau peu profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Ondes capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Ondes de gravite

On s’interesse a l’interface entre deux fluides, par exemple entre l’eau et l’air, soumise au champde pesanteur. Dans un premier temps nous negligerons la tension de surface, ce qui est, comme nousle verrons, legitime pour la gamme des grandes longueurs d’onde, de l’ordre du cm et au-dela. Desperturbations de la surface prennent la forme d’ondes de gravite de surface, qui ne penetrent dans lefluide que sur des distances de l’ordre de la longueur d’onde. Leur propagation se fait ainsi dans ladirection horizontale, et puisque la force de rappel est la force de pesanteur, la propagation est isotrope.L’inertie effective du fluide est associee a la profondeur de penetration de la perturbation, qui dependde la longueur d’onde. Ainsi, pour ces ondes, la celerite depend de la longueur d’onde, ce qui induit lemecanisme de dispersion. Nous verrons que la phenomenologie de ces ondes de surface est affectee parla profondeur du canal dans lequel elles prennent naissance.

4.1.1 Equation d’onde

La compressibilite de l’eau s’avere negligeable, sa densite, constante, sera notee ρe. Dans la suite,nous negligerons egalement la viscosite du fluide et tout effet dissipatif. A l’equilibre, la distribution depression est hydrostatique,

pe = pa − ρegz, (4.1)

ou pa est la pression atmospherique. Nous nous interessons aux ecarts a l’etat d’equilibre induit par lapresence de l’onde. Les equations de continuite de la quantite de mouvement et de la masse, lineariseesautour de l’etat non perturbe au repos, s’ecrivent

∂u

∂t= −∇p/ρe + g (4.2)

div u = 0 (4.3)

En prenant le rotationnel de l’equation d’Euler linearisee (4.2), on voit que l’ecoulement est irrotationnel :la vorticite se conserve, tandis que d’autres quantites se propagent. Le champ de vitesse, induit par le

24

passage de l’onde, derive donc d’un potentiel des vitesses, φ :

u = ∇φ,

auquel l’equation de continuite de la masse (4.3) impose

∆φ = 0. (4.4)

L’equation consitutive des ondes de gravite differe ainsi de celle des ondes sonores, en ceci que le terme depropagation (1/c2)∂2/∂t2 est absent de l’equation (4.4). Cela traduit la nature incompressible du fluide.Bien que l’equation de Laplace ne puisse jamais propager d’ondes, dans un fluide borne par des surfacesstationnaires, elle peut le faire en presence d’une surface libre deformable. La surface etant materielle, lavitesse verticale de la surface libre doit etre confondue a celles des particules fluides qui la constituent.La condition s’ecrit :

∂ζ

∂t+ u · ∇ζ =

(∂φ

∂z

)z=ζ

, (4.5)

une condition aux limites delicate a manipuler a cause de la forme z = ζ de la surface, qui n’est pasconnue par avance. Cette complication disparaıt dans la theorie lineaire, car (∂φ/∂t)z=ζ ne differe de(∂φ/∂t)z=0 que par des termes d’ordre superieurs. Il en resulte :

∂ζ

∂t=

(∂φ

∂z

)z=0

. (4.6)

D’autre part, l’interface constitue une ligne de courant de l’ecoulement, de sorte que la relation deBernoulli (instationnaire) appliquee a la surface libre donne :

ρu2/2 + p(z = ζ) + ρgζ + ρ∂φ

∂t

)z=ζ

= C, (4.7)

ou ρu2/2 est un infiniment petit d’ordre deux, negliges dans la suite. La pression p(z = ζ) dans le fluidea l’interface est egale a la pression dans le gaz, p(z = ζ) = pa. Cette hypothese revient a ne considererque la force de pesanteur comme force de rappel, negligeant toute discontinuite de pression a la surfacelibre due a la tension de surface. Nous reviendrons sur ce point plus tard. A l’ordre dominant,(

∂φ

∂t

)z=ζ

'(∂φ

∂t

)z=0

,

et la relation (4.7) devient :

ρgζ + ρ∂φ

∂t

)z=0

= Π, (4.8)

ou Π est une constante. Ainsi, en derivant l’Eq. (4.8) par rapport au temps, et en rapprochant del’expression (4.6), il vient : (

∂2φ

∂t2

)z=0

= −g(∂φ

∂z

)z=0

, (4.9)

qui est la condition aux limites que doit verifier φ. Nous allons maintenant verifier que les solutionsde l’equation (4.4), soumises a la condition aux limites (4.9), sont bien les ondes de gravite que nousrecherchons.

Notons deja qu’une condition appropriee, pour le fond du canal, devra egalement etre prise en compte.Il faut que la composante de vitesse normale a la frontiere, c’est-a-dire la derivee de φ normale a lafrontiere, soit nulle. La composante tangentielle de la vitesse, en l’absence de viscosite, peut en revancheetre non nulle. En eaux profondes, cette condition est naturellement satisfaite, puisque la penetration desondes dans le milieu est limitee. Dans la pratique, la limite d’eau profonde est raisonnablement verifieepour une profondeur superieure a la longueur d’onde.

25

λ

Figure 4.1 – Trajectoires (grands cercles) des particules fluides (points noirs) au passage d’une ondesinusoidale de longueur d’onde λ, se propageant de la droite vers la gauche, en eau profonde.

4.1.2 Ondes harmoniques en eaux profondes

On recherche la solution sous une forme harmonique, suggeree par la geometrie du probleme (milieunon borne selon x, uniforme selon y) :

φ(r, t) = ϕ(z)ei(ωt−kx), (4.10)

ou ω et k verifient la relation ω = kc. Il est entendu que c’est la partie reelle de la fonction test (4.10) quidoit etre solution de l’equation de Laplace. L’equation de Laplace est d’ailleurs verifiee si ϕ(z) satisfait

ϕ′′(z)− k2ϕ(z) = 0, (4.11)

equation differentielle dont les solutions sont une combinaison lineaire de ekz et e−kz, dont seule lapremiere verifie la condition aux limites en eau profonde. Ainsi,

ϕ(z) = ϕ0ekz, (4.12)

ou ϕ0 est une constante dependant des conditions initiales. L’equation (4.9) a la surface impose, de plus,la relation de dispersion

ω2 = gk. (4.13)

La celerite des ondes s’ecrit doncc = ω/k =

√g/k. (4.14)

Dans le systeme d’unites international, c = 1.25√λ, T = 0.80

√λ, de sorte que des ondes de gravite de

longueurs d’onde comprises entre 1 et 100 m ont des vitesses comprises entre 1.25 et 12.5 m/s et desperiodes comprises entre 0.8 et 8.0 s. Notons que des ondes de longueur d’onde de l’ordre de 1000 m sontencore dans la limite d’eau profonde dans les regions de l’ocean dont la profondeur depasse plusieurs km.En observant encore qu’a la plage, l’arrivee successive des vagues est separee d’une duree de l’ordre de8 s, on peut en deduire que la longueur d’onde doit etre de l’ordre de 100 m : ce qui est sensiblement lecas au large des cotes ! La diminution de la longueur d’onde a des valeurs plusieurs fois inferieures presde la plage resulte de la diminution de la profondeur.

Les composantes horizontales et verticales de la vitesse

∂φ

∂x= −ikϕ0ekzei(ωt−kx),

∂φ

∂z= kϕ0ekzei(ωt−kx), (4.15)

sont, comme on peut le voir, de meme amplitude, mais dephasees de π/2, la composante u etant enretard de phase sur w. Cela signifie que le vecteur vitesse tourne dans le sens horaire, a la vitesseω, conservant toujours la meme amplitude kϕ0e

kz tandis que les composantes horizontale et verticaleoscillent en quadrature. En un point donne, la vitesse d’une particule fluide reste donc constante tandisque la direction du mouvement tourne a la vitesse angulaire ω. Autrement dit, a l’approximation lineaire,

26

la particule fluide decrit un cercle, de rayon kϕ0ekz/ω, dans le sens horaire si c > 0. Les mouvements de

particules fluides verticalement alignees sont en phase, puisque le facteur ekz est partout reel et positif.La densite d’energie transportee par l’onde se divise, comme pour le son, de facon egale entre l’energie

cinetique et l’energie potentielle. L’energie potentielle totale du fluide, par unite de surface horizontales’ecrit ∫ ζ

−hρegz dz =

1

2ρeg(ζ2 − h2). (4.16)

L’energie potentielle en exces, par unite de surface horizontale, liee au passage de l’onde, vaut donc∫ ζ

−hρegz dz −

∫ 0

−hρegz dz =

1

2ρegζ

2, (4.17)

proportionnelle, comme attendu dans une theorie lineaire, au carre du deplacement ζ par rapport a laposition d’equilibre. L’energie cinetique totale du fluide s’ecrira, quant a elle

∫∫∫V

1

2ρe(∇φ)2 dV =

∫∫∫V

1

2ρe

div (φ∇φ)− φ div (∇φ)︸ ︷︷ ︸∆φ=0

dV =1

2ρe

∫∫S(V)

φ∂φ

∂ndS, (4.18)

ou ∂φ/∂n represente la composante de vitesse normale a la surface libre. La contribution du fond du canala l’integrale est nulle car ∂φ/∂n = 0. La contribution due a la surface libre se reduit, dans l’approximationlineaire, a

1

2ρe

∫∫interface

(φ∂φ

∂z

)z=0

dS. (4.19)

En remarquant que ∂φ/∂z = w = ∂ζ/∂t en z = 0, d’apres (4.6), et que d’apres (4.10), (4.12)

φ =1

k

∂φ

∂z,

l’energie cinetique par unite de surface horizontale vaut

ρe2k

(∂ζ

∂t

)2

. (4.20)

Le facteur 1/k traduit la proportion de fluide transportee par l’onde, qui ne penetre dans le milieu qued’une epaisseur λ = 2π/k sous la surface. L’energie totale par unite de surface transportee par l’onde estdonc

ε =ρe2k

(∂ζ

∂t

)2

+1

2ρegζ

2. (4.21)

L’expression de l’energie introduit donc une inertie, ρe/k, et une raideur, ρeg, generalisees, par unitede surface libre. On retrouve ainsi ω2 = gk, rapport de la raideur et de l’inertie generalisees. Lorsquel’elevation de la surface libre prend la forme ζ = a cos(ωt− kx), l’energie totale de l’onde, W , par unitede surface horizontale, prend la valeur constante,

W =1

2ρega

2, (4.22)

avec, pour garder la consistance avec (4.12), ϕ0 = iωa/k.Lorsque l’onde n’est pas parfaitement sinusoidale, il suffit que la dependance en y de la forme d’onde

varie suffisamment lentement pour que le terme ∂2φ/∂z2 soit negligeable dans l’equation de Laplace.Cela correspond a des ondes a longue crete, qui s’etend dans la direction y sur des distances de plusieurslongueurs d’onde.

27

4.1.3 Ondes de gravite en eau peu profonde

x0

1

2

3

4

0 1 2

coshx

sinhx

tanhx

Considerons maintenant un milieu de profondeur h finie, mais de valeur uniforme dans tout le plan(xy). Au fond du canal,

∂φ

∂z= 0, en z = −h. (4.23)

Cette condition contraint les solutions de l’equation (4.11),

ϕ(z) = ϕ+ekz + ϕ−e−kz

par φ(−h) = 0. Autrement dit,ϕ+e−kh = ϕ−ekh,

de sorte queϕ(z) = ϕ0 cosh(k(z + h)). (4.24)

En z = 0,∂ϕ

∂z=

(ϕ′(0)

ϕ(0)

)ϕ = (k tanh kh)ϕ,

de sorte que la relation de dispersion s’ecrit a present

ω2 = gk tanh kh, (4.25)

qui donne, pour la celerite des ondes,

c = ω/k = (gk−1 tanh kh)1/2. (4.26)

Dans la limite d’un canal tres profond, kh 1, on retrouve la relation de dispersion precedemmentobtenue, c =

√g/k, tandis que pour des ondes de tres grande longueur d’onde, kh 1, on obtient une

celerite constante, c =√gh, independante de k, c’est-a-dire que le milieu est non dispersif lorsque la

longueur d’onde est tres grande devant la profondeur h du milieu. La valeur numerique de√

tanh kh estentre 0.97 et 1 pour kh > 1.75, de sorte que c prend sa valeur limite en eau profonde, a 3% pres, deslors que h > 0.28λ (λ < 3.5h). Dans l’autre limite, (tanh kh/kh)1/2 est entre 0.97 et 1 pour kh < 0.44,de sorte que c prend sa valeur limite des tres grandes longueurs d’onde,

√gh, a 3% pres, des lors que

h > 0.07λ (λ > 14h). C’est donc seulement dans la gamme 0.07 < h/λ < 0.28 que la vitesse, donnee parla relation (4.26), est differente de ses deux valeurs limites.

28

√gh

√g/k

λ/h

c/√gh

1/2

1

2 4 6 8 10 12 14

Figure 4.2 – Celerite c des ondes, en fonction de la longueur d’onde λ, a profondeur h constante, selon latheorie lineaire. Les courbes en pointilles representent les limites en eau profonde (

√g/k) et tres grande

onde (√gh).

Lorsque la profondeur, h, varie graduellement, par exemple a mesure que l’on se rapproche des cotes,la frequence tend a rester sensiblement constante, tandis que la longueur d’onde λ, et la celerite c,subissent une variation

c =g

ωtanh

(ωh

c

). (4.27)

La limite en eau profonde est retrouvee lorsque la tangente hyperbolique vaut 1, c’est-a-dire c = g/ω,tandis que la limite des tres longues ondes est obtenue lorsque tanh(ωh/c) vaut 1, c’est-a-dire a nouveauc =√gh. Par exemple, une onde de periode 8 s a, en eau profonde, une longueur d’onde λ = 100 m et

une celerite c = 12.5 m/s. Toutes deux sont reduites lors du passage progressif en eau peu profonde. Presde la plage, avec une profondeur h = 1 m, λ = 25 m et c = 3.1 m/s. Les cretes de vagues paralleles sontsouvent observees a la plage, meme si la houle a ete engendree en haute mer avec un angle quelconque.Cet alignement des cretes suivant les lignes d’egale profondeur, pres des plages, resulte en fait de ladiminution de c lorsque h diminue.

Le mouvement des particules fluides s’etudie ici encore a partir des composantes horizontale et ver-ticale de la vitesse

∂φ

∂x= −ikϕ0 cosh(k(z + h))ei(ωt−kx),

∂φ

∂z= kϕ0 sinh(k(z + h))ei(ωt−kx). (4.28)

Les amplitudes suivant x et z ne sont plus egales : elles le redeviennent dans la limite k(z + h) 1(limite eau profonde), tandis que l’amplitude des oscillations, suivant z, devient negligeable devant celledes oscillations suivant x, dans la limite des tres grandes ondes (kh 1). En tout point, les oscillationsdes deux composantes sont en quadrature de phase, avec un retard de u sur w. Le mouvement desparticules fluides, a l’approximation lineaire, est donc une ellipse, de grand et petit axes

kϕ0 cosh(k(z + h))/ω, kϕ0 sinh(k(z + h))/ω.

L’energie potentielle des ondes, par unite de surface libre, reste inchangee, tandis que l’energie cinetique,par unite de surface libre, devient

ρe2k tanh kh

(∂ζ

∂t

)2

, (4.29)

definissant une inertie generalisee ρe(k tanh kh)−1. Il peut paraıtre surprenant qu’un fond solide, restrei-gnant la hauteur de fluide susceptible d’etre mise en mouvement, augmente l’inertie, et donc reduise lafrequence. Cela vient en fait de ce que ∂ζ/∂t represente le mouvement vertical de la surface : alors que kh

29

est reduit, l’accroissement dans le rapport entre mouvement horizontal et mouvement vertical engendreun changement plus important d’energie cinetique par unite de surface, pour un ∂ζ/∂t donne, que ne leferait n’importe quelle diminution dans le volume de fluide disponible.

4.2 Ondes capillaires

Dans la section precedente, nous avons considere la force de gravite comme unique force de rappel al’interface : a travers l’interface, la pression atmospherique, pa, est supposee egale a la pression dans lefluide, de sorte que la surpression, par rapport a l’equilibre hydrostatique pe = pa−ρegz, prend la valeurρegζ. Dans ce qui suit, on prend en compte une force additionnelle tendant a restaurer l’horizontalite de lasurface, la tension de surface. Celle-ci introduit une discontinuite de pression a l’interface, proportionnellea la courbure de la surface libre : T∂2ζ/∂x2. Le terme de pression supplementaire varie comme l’inversedu carre de la longueur d’onde. En consequence, cet effet sera important aux petites longueurs d’onde.Les ondes de surface ainsi engendrees sont appelee ondes capillaires, ou ridules. Dans la pratique, il s’agitde longueurs d’onde inferieures au cm.

La pression de l’eau a la frontiere est inferieure a la pression atmospherique, pa, d’une valeurT∂2ζ/∂x2, proportionnelle a la courbure de la surface, dans l’approximation lineaire. La relation deBernoulli, ecrite a la surface libre, devient (cf Eq.(4.13)) :

p(z = ζ)︸ ︷︷ ︸pa−T ∂2ζ

∂x2

+ρgζ + ρ∂φ

∂t

)z=ζ

= C. (4.30)

Pour une solution de la forme ζ = ζ(z) exp(i(ωt− kx)), la relation de dispersion en eau profonde devient

ω2 =

(g +

Tk2

ρe

)k, (4.31)

et la celerite des ondes

c = ω/k =

(g + Tk2/ρe

k

)1/2

. (4.32)

L’ajout du terme supplementaire ne s’impose que si les longueurs d’onde sont petites, telles que le rapportTk2/ρeg ne soit pas negligeable. Il en resulte une longueur critique,

`c = 2π

√T

ρeg, (4.33)

appelee longueur capillaire, vis-a-vis de laquelle les longueurs d’onde doivent etre petites. Par exemplepour l’eau, T = 0.074 N · m−1, ρe = 1 000 kg · m−3, `c = 1.7 cm Ainsi, pour des longueurs d’ondesuperieures a 10 cm, les ondes sont de gravite pure. Pour la valeur particuliere λ = `c, la vitesse atteintsa valeur minimum, cm =

√2g/kc = 0.23 m/s pour l’eau.

Les frequences des ondes capillaires depassent 70 Hz, c’est-a-dire sont dans la gamme acoustique. Ilest donc facile de les exciter en plongeant un diapason vibrant dans l’eau. A 440 Hz (La du violon),λ = 1.3 mm et c = 0.57 m/s. Ces ondes ne sont en fait observees qu’au voisinage des bras du diapasoncar elles subissent un tres fort amortissement qui ne leur permet pas de se propager a la surface du fluide,au-dela d’un cercle de quelques cm autour du diapason.

Notons que les trajectoires de particules restent les memes que celles decrites dans la section precedente.

4.3 Vitesse de groupe

Comme nous l’avons vu precedemment, la vitesse de phase, c, n’est pas proportionnelle a k. Il enresulte une dispersion des ondes se propageant a la surface libre du fluide, les differentes composantesspectrales, k, voyageant a des celerite differentes. Cette propriete apparaıt aussi dans la vitesse de groupe,

30

√g/k

√Tk/ρe

λ/`c

c/cm

1

2

1 2 3 4

Figure 4.3 – Celerite des ondes gravito-capillaires en eau profonde. Le minimum de vitesse, cm, estatteint pour la longueur d’onde capillaire, `c.

qui ne peut plus etre confondue a la vitesse de phase. En effet, si nous considerons le cas des ondes degravite, k`c 1, la relation de dispersion, en eau de profondeur h, s’ecrit, selon (4.25),

ω2 = gk tanh kh.

Par differenciation, il vient :

2ωdω

dk= g

(tanh kh+

kh

cosh2 kh

),

c’est-a-dire,vgc

=k

ω

dω

dk=

1

2

(1 +

2kh

sinh 2kh

). (4.34)

En eau profonde, kh 1, il apparaıt que la vitesse de groupe vaut la moitie de la vitesse de phase,vg = c/2, tandis que dans la limite des grandes ondes, vitesses de groupe et de phase sont confondues.Dans ce dernier cas, cela vient du fait que le milieu n’est plus dispersif, c =

√gh est independante de k.

Dans le cas des ondes capillaires, en revanche, k`c 1, la relation de dispersion (4.31) s’ecrit

ω2 =Tk3

ρetanh(kh),

de sorte que, dans la limite d’eaux profondes, vg/c = 3/2 > 1 : l’energie se propage ainsi plus rapidementque la phase ! Cela se produit chaque fois que c est fonction decroissante de λ, comme consequence del’equation (2.10).

4.4 Attenuation

Les ondes gravito-capillaires sont attenuees selon trois mecanismes differents :

31

λ/h

vg/c

4 8 12 16 20

1/2

1

Figure 4.4 – Rapport des vitesses de groupe, vg, et de phase, c, en fonction de la longueur d’onde λrapportee en unite de la profondeur, h, pour des ondes de gravite.

i) par friction avec le fond ; c’est le mecanisme le plus important chaque fois que la longueur d’onde λest plus grande que la profondeur h, car alors le mouvement horizontal est relativement consequentsur le fond. L’energie se dissipe dans une petite couche limite, pres du fond.

ii) Par dissipation interne. Les contraintes visqueuses agissent en effet dans tout le fluide, d’autantplus efficacement que la longueur d’onde est courte.

iii) Par dissipation a la surface, associee aux ecarts de la tension de surface, T , de la valeur qu’elleprend a l’equilibre. Cet effet peut etre important quand la surface est recouverte d’une fine pelli-cule de contaminant.

32

Chapitre 5

Ondes de gravite internes

Sommaire5.1 Stratification continue du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Les ondes de gravite internes, que l’on observe dans un fluide stratifie soumis a la force de pesanteur,ont la particularite d’etre anisotropes, c’est-a-dire que leur vitesse depend de la direction de propagationaussi bien que de la longueur d’onde. Dans ce contexte, la vitesse de groupe, vg, n’est plus perpendiculaireaux cretes des ondes, comme nous allons le voir.

5.1 Stratification continue du milieu

Le milieu presente ici une stratification continue de la densite, stable dans le champ de pesanteur, ilfaut s’interesser a la perturbation de l’equilibre stable, ρ0(z), fonction decroissante de z. La distributionde pression a l’equilibre decroit aussi avec l’altitude, selon la loi hydrostatique

dp0(z)

dz= −ρ0(z)g. (5.1)

Cette distribution de pression affecte la force de restauration. Supposons, par exemple, qu’une particulefluide, a l’altitude z, de densite ρ0(z), se deplace legerement en z + ζ : elle se retrouve dans une regionou la densite d’equilibre prend une valeur inferieure,

ρ0(z) + ζρ′0(z), avec ρ′0(z) < 0,

et ou la pression est reduite ap0(z)− ρ0(z)gζ.

Dans un processus reversible, la particule doit subir cette chute de pression de maniere isentropique, desorte que sa propre densite est reduite a 1

ρ0(z)− ρ0(z)gζ/c0(z)2,

ou, c0(z)2, le carre de la vitesse du son dans le milieu non perturbe, a la pression p0 et densite ρ0, est lerapport des variations de pression et de densite a entropie constante. L’exces de densite de la particule

1. On rappelle que c2 = p′(ρ0). D’autre part, si ρ, fonction d’etat, est fonction des variables thermodynamiques p et S,alors

dρ =

(∂ρ

∂p

)S

dp+

(∂ρ

∂p

)p

dS =dp

c2.

33

fluide, par rapport a son voisinage, est donc 2

δρ =(−ρ0(z)g/c0(z)2 − ρ′0(z)

)ζ, (5.2)

la particule fluide subit donc la force de rappel

f =(−ρ0(z)g/c0(z)2 − ρ′0(z)

)gζ.

La force de rappel n’est positive que si

|ρ′0(z)| > ρ0(z)g/c0(z)2.

Ainsi, une atmosphere ou un ocean stratifies ne sont stables que si le taux relatif de baisse de la densiteavec l’altitude, −ρ′0(z)/ρ0(z), depasse g/c0(z)2. Dans le cas ou la stratification est stable, la force derappel, par unite de volume, peut s’ecrire

ρ0(z)N2(z)ζ, (5.3)

ou la nouvelle grandeur

N(z) =

√−gρ

′0(z)

ρ0(z)− g2

c0(z)2, (5.4)

a la dimension d’une frequence, generalement appelee frequence de Vaisala-Brunt. Les raideur et inertiegeneralisees de ces ondes sont, respectivement K ≡ ρ0(z)N2(z) et m ≡ ρ0(z), par unite de volume. Nousverrons que la frequence N(z) est une frequence maximum, pour les oscillations induites par la gravite.

5.2 Approximation de Boussinesq

Bien que l’exces de densite produise une force de rappel gravitationnelle significative, qui doit etreprise en compte dans l’equation de transport de la quantite de mouvement, les oscillations resultantesse produisent a des frequences si basses que le taux de variation de l’exces de densite affecte de faconnegligeable l’equation de continuite de la masse.

Notons p et ρ les exces de pression et de masse volumique ; les equations de continuite de la quantitede mouvement et de la masse s’ecrivent, en tenant compte de la condition d’equilibre,

ρ0∂u

∂t+∇p = ρg, (5.5)

div (ρ0u) = 0 (5.6)

La divergence de (5.5) combinee a (5.6) conduit a

∇2p = −g ∂ρ∂z, (5.7)

et l’equation (5.5), projetee sur z, se reecrit

∂(ρ0w)

∂t+∂p

∂z= −ρg. (5.8)

La combinaison des deux dernieres equations conduit a

∇2

(∂(ρ0w)

∂t

)= g

∂2ρ

∂z2− g∇2ρ = −g

(∂2ρ

∂x2+∂2ρ

∂y2

). (5.9)

Par ailleurs, la relation (5.2) implique, avec la definition (5.4),

g∂ρ

∂t= [N(z)]2ρ0(z)

∂ζ

∂t= [N(z)]2ρ0w. (5.10)

Au final, en introduisant q = ρ0w la composante verticale du flux de masse,

∇2

(∂2q

∂t2

)= −[N(z)]2

(∂2q

∂x2+∂2q

∂y2

). (5.11)

Le caractere anisotrope de l’equation d’onde apparaıt par le fait que le laplacien 3D a gauche equilibreun laplacien 2D a droite.

2. La particule qui monte de z a z + ζ, selon une transformation isentropique, voit sa densite varier de ρ0(z) a ρ0(z)−ρ0(z)gζ/c0(z)2, tandis que la particule en z + ζ, a l’equilibre, a pour densite ρ0(z) + ζρ′0(z).

34

5.3 Relation de dispersion

Lorsque N ne depend pas de z, l’equation possede une solution de type onde plane :

q(r, t) = q exp (i(ωt− k · r)) ,

avec

ω2 = N2 k2⊥k2

= N2 sin2 θ. (5.12)

ou k⊥ est la composante du vecteur d’onde dans le plan perpendiculaire a z.

x

y

z

k

k⊥φ

θ

~eθ

~eφ

~er

Les fronts d’onde sont des plans, definis par k · r = constante, perpendiculaires au vecteur d’onde.La relation de dispersion indique que ω ne peut prendre que des valeurs inferieures a N , qui se comporteainsi comme une frequence de coupure.

L’equation de transport de la masse (5.6) indique par ailleurs que la vitesse du fluide, u, est perpen-diculaire au vecteur d’onde. Cela signifie que les mouvements du fluide sont paralleles aux fronts d’onde.En d’autres termes, bien que les gradients de surpression, perpendiculaires a un front d’onde, peuvent secombiner a la force de gravite, verticale, pour produire des accelerations du fluide parallele a ces surfaces,cela doit se faire suivant la ligne de plus forte pente. Ainsi, les ondes planes impliquent des oscillationsunidirectionnelles du fluide, a un angle θ avec la verticale tel que sin θ = k⊥/k.

5.4 Vitesses de phase et de groupe

La relation de dispersion (5.12) des ondes de gravite internes (planes), conduit aux vitesses de phaseet de groupe :

cφ = Nk⊥k3k = N | sin θ| er, (5.13)

et

cg =N

k

kzk⊥k3

kzkxkzky−k2⊥

=N

kcos θ eθ. (5.14)

On verifie bien que cφ · cg = 0, c’est-a-dire que vitesses de phase et de groupe sont orthogonales. Dansun milieu de propagation bi-dimensionnel, excite par une source ponctuelle oscillant verticalement a unefrequence f < N/2π, l’energie se propage a la vitesse cg a l’interieur de faisceaux dessinant une croix deSaint Andre, les fronts d’onde se propageant quant a eux perpendiculairement a l’energie, comme celaest represente sur la figure ci-dessous.

35

Figure 5.1 – Ondes internes de gravite en milieu stratifie, observees par Schlieren. On distingue nette-ment les bras de la croix de Saint Andre.

θcg cφ

θ

Le sens dans lequel la phase se propage se deduit de l’expression (5.14) de la vitesse de groupe. Lacomposante verticale de cg a toujours un signe oppose a la composante verticale du vecteur d’onde. Lapropagation de l’energie a donc une composante vers le haut lorsque la phase se propage vers le bas,et reciproquement. Peu de cretes sont visibles dans les bras de la croix car les bras, dans lesquels toutel’energie est confinee, sont de meme extension que la sphere oscillante qui les engendre.

L’amplitude de la vitesse de groupe se deduit de (5.14) :

cg = N|kz|k2

= (Nλ/2π)| cos θ| (5.15)

montre que cg s’annule pour des oscillations verticales d’une colonne fluide, qui se produisent a la pulsa-tion N . Inversement, des oscillations lentes, ω N , induisent des mouvements horizontaux et l’energiese propage quasi-horizontalement a la vitesse Nλ/2π, proportionnelle a la distance λ qui separe deuxcretes.

Pour aller plus loin

— A propos du phenomene des eaux mortes, voir par exemple le seminaire de Thierry Dauxoishttp://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/Phenomene-eaux-mortes.xml.

36

Chapitre 6

Ondes dans les fluides en rotation

Sommaire6.1 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.3 Ondes geophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

La force de Coriolis peut etre une autre force de rappel susceptible d’engendrer des ondes. La propa-gation resulte de mouvements fluides distordant des lignes de vorticite paralleles du fluide en rotation.L’importance de ces ondes est d’abord geophysique, reliees aux effets de rotation de la Terre sur lesmouvements oceaniques ou atmospheriques.

6.1 Equation d’onde

Dans un fluide en rotation uniforme a la vitesse angulaire,

Ω = (0, 0,Ω0), (6.1)

autour de l’axe z, le champ de voriticte ω prend la valeur uniforme ω = 2Ω dans le referentiel geocentrique(R) galileen. Dans le referentiel (R′) en rotation solide avec le fluide, les particules fluides sont immobileset donc 1 ω(R′) = rotu(R′) est nulle dans l’etat d’equilibre que nous allons perturber. Pour un fluidehomogene, si on neglige la dissipation visqueuse, les lignes de vorticite se deplacent avec le fluide. Ladynamique d’une perturbation de vitesse est regie par l’equation de Navier-Stokes, que l’on ecrit dans lereferentiel tournant (R′) :

ρ

(∂u

∂t+ (u · ∇)u

)= −∇p+∇φ+ fc + µ∆u (6.2)

div u = 0 (6.3)

ou fc = −2ρΩ × u est la force de Coriolis, consideree comme la force de rappel dominante, et φ est lepotentiel engendre par la force de pesanteur et la force centrifuge 2. Le rotationnel de l’equation (6.2)annule les gradients, de sorte que l’equation se simplifie en 3

∂ω

∂t− (ω · ∇)u + (u · ∇)ω = rot fc/ρ+ ν∆ω.

1. Rappelons que la vorticite est invariante par changement de referentiel inertiel, mais varie par changement dereferentiel non inertiel.

2. fe = −Ω× (Ω× r) = −Ω2r⊥ = ∇φe.3. On rappelle les relations vectorielles :

∇× (a ~A) = a∇× ~A+∇a× ~A

∇( ~A · ~B) = ( ~A · ∇) ~B + ( ~B · ∇) ~A+ ~A× (∇× ~B) + ~B × (∇× ~A)

∇× ( ~A× ~B) = ~A(∇ · ~B)− ~B(∇ · ~A) + ( ~B · ∇) ~A− ( ~A · ∇) ~B

37

L’equation linearisee pour u petit et ω une perturbation du champ de vorticite a l’equilibre (6.1) devient

∂ω

∂t= 2(Ω · ∇)u + ν∆ω,

∂ω

∂t− 2Ω0

∂

∂zu = ν∆ω. (6.4)

En prenant a nouveau le rotationnel de l’equation precedente, et en remarquant que rot rot u = −∆ulorsque div u = 0, l’equation precedente devient

− ∂

∂t∆u− 2Ω0

∂

∂zrot u = ν rot ∆ rotu,

Dans la suite, on negligera la dissipation visqueuse (ν = 0). En derivant l’equation precedente par rapporta z, il vient :

− ∂

∂t∆∂

∂zu− 2Ω0

∂2

∂z2rot u = 0,

c’est-a-dire, en utilisant l’equation (6.4), avec ν = 0 et ω = rot u :

− 1

2Ω0

∂2

∂t2∆ rotu− 2Ω0

∂2

∂z2rot u = 0.

A une constante pres que l’on supposera nulle, il vient finalement :

−∂2∆u

∂2t= 4Ω2

0

∂2

∂z2u. (6.5)

On peut noter la tres forte ressemblance avec l’equation d’onde des ondes internes, que l’on retrouveradans la relation de dispersion.

6.2 Relation de dispersion

La relation pour des ondes planes, du type,

u = u1 exp (i(ωt− k · r))

s’ecrit

ω2 = 4Ω20

k2z

k2. (6.6)

Ainsi, la pulsation ω ne depend que de la direction, pas de la norme, du vecteur d’onde, et peut prendren’importe quelle valeur inferieure a Ω0. En introduisant l’angle θ entre le vecteur d’onde, k, et l’axe derotation, z, la relation de dispersion devient

ω = 2Ω0| cos θ|. (6.7)

C’est l’equation de dispersion pour des ondes internes, le sinus etant remplace par un cosinus.

38

x

y

z

k

φ

θ

~eθ

~eφ

~er

Dans le repere spherique local (er, eθ, eφ), on peut ecrire la vitesse de phase sous la forme :

c =ω

k2k =

Ω0λ

π| cos θ| er, (6.8)

soit en module :

c =ω

k=

Ω0λ

π| cos θ|, (6.9)

et la vitesse de groupe sous la forme :

vg =2Ω0

k3

−kxkz−kykzk2⊥

=Ω0λ

πsin θ eθ, (6.10)

de module :

vg =Ω0λ

π| sin θ|. (6.11)

On retrouve donc les vitesses de phase et de groupe des ondes de gravite internes, en remplacant Npar 2Ω0 et en echangeant cosinus et sinus. Mais a la difference des ondes internes, kz et vg sont ici dememe signe. Ainsi, la propagation de l’energie le long de l’axe de rotation se fait dans le meme sensque la composante axiale du mouvement des cretes. Dans un fluide en rotation, une source oscillant a lapulsation ω < 2Ω0 engendre des ondes dont l’energie voyage avec un angle

θ = arccos (ω/2Ω0)

par rapport a l’axe z. Ces ondes forment a nouveau une croix de Saint Andre, dans une propagation adeux dimensions ; en trois dimensions, elles forment un double cone a partir d’un point source. Seulementdeux a trois cretes sont presentes, mais le sens de leur mouvement est oppose a celui des ondes internes.

Ainsi, un corps solide en mouvement lent a la vitesse V vg, dans le plan perpendiculaire a l’axe derotation, peut pousser une colonne au-dessus de lui-meme (colonne de Taylor), i.e. propager un paquetd’onde dans la direction de l’axe de rotation consistant en toutes les perturbations de longueur d’ondesatisfaisant 2Ω0λ > 2πV .

Les ondes decrites ici sont habituellement appelees ondes inertielles car leur energie est entierementcinetique : la force de Coriolis est une force non-conservative incapable d’emmagasiner, ou meme demodifier, l’energie. Dans le cas d’ondes planes, les particules fluides se deplacent avec une energie cinetiqueconstante, le long de trajectoires circulaires perpendiculaires au vecteur d’onde.

Notons que la reflexion de ces ondes aux interfaces n’est pas speculaire mais contrainte a verifier larelation de dispersion (6.7).

39

6.3 Ondes geophysiques

Les ondes inertielles decrites precedemment sont d’un interet mineur pour les fluides stratifies tels queoceans ou atmospheres. La vitesse angulaire de la Terre vaut Ω0 = 2π par jour, soit 1.45 × 10−4 rad/s.En comparaison, la frequence de Vaisala-Brunt vaut 10−2 rad/s. Cela suggere que les ondes internes degravite sont dominantes dans l’ocean ou l’atmosphere a cause des effets de stratification. Une exceptiontoutefois provient des ondes tres longues, pour lesquelles kx et ky sont quasi nuls. Ce sont ainsi les modesde guide d’onde, avec des longueurs d’onde grandes devant la profondeur de l’ocean, qui sont significati-vement affectees par la rotation de la Terre. Parmi celles-ci, le mode le plus bas est dit barotropique 4. Desmodes de guide d’onde d’ordre superieur, dits barocliniques 5, sont affectes a la fois par la stratificationet la rotation de la Terre.

Les mouvements fluides dans ces grandes ondes sont essentiellement horizontaux, bien qu’ils in-duisent une legere elevation, ζ, de la surface libre. Dans ces conditions, les composantes horizontales del’equation (6.4) ne font intervenir que la composante verticale (locale) du champ de vorticite non perturbe2Ω0, notee f par les oceanographes, egale a 2Ω0 sinλL, ou λL est la latitude du lieu. La distributionhydrostatique de pression p0 = ρg(h− z) est perturbee par la surelevation locale ζ de la tranche fluide,induisant une surpression p′ = ρ0gζ(x, y). Les equations de continuite de la quantite de mouvement,linearisees, donnent :

∂u

∂t= −g ∂ζ

∂x+ fv

∂v

∂t= −g ∂ζ

∂y− fu

0 = −∂p∂z− ρg (6.12)

(6.13)

et l’equation de continuite de la masse

∂ζ

∂t+∂(hu)

∂x+∂(hv)

∂y= 0. (6.14)

La theorie suppose que les variations de profondeur, h, avec la position, et du parametre de Coriolis,f , avec la latitude, sont negligeables. Dans ce cas, si h et f sont consideres constants, l’equation de lavorticite verticale, due aux ondes, s’ecrit

∂v

∂x− ∂u

∂y= f

ζ

h. (6.15)

Cela peut etre deduit des equations precedentes ou interprete comme du aux lignes de vorticite nonperturbees changeant leur extension verticale de h a h + ζ. L’equation (6.14), avec les equations (6.13)et (6.15), impliquent

∂2ζ

∂t2= gh

(∂2ζ

∂x2+∂2ζ

∂y2

)− f2ζ, (6.16)

de sorte que l’equation de dispersion bi-dimensionnelle pour les grandes ondes s’ecrit

ω2 = ghk2⊥ + f2. (6.17)

Alors que la rotation limite la frequence des ondes inertielles a des valeurs inferieures a 2Ω0, elle a uneffet precisement opposee sur les grandes ondes, limitant ω a des valeurs superieures a f . Ces ondes sepropagent isotropement, mais de maniere dispersive. La norme de la vitesse de groupe s’ecrit

vg =

√gh(ω2 − f2)

ω, (6.18)

4. Les isobares sont alignees sur les lignes de densite constante (isopycnes). Les masses fluides se deplacent alors pa-rallellement aux isothermes.

5. Les isobares croisent les isopcynes : les masses fluides se deplacent a travers les isothermes.

40

qui tend vers 0 lorsque ω atteint la frequence de coupure f . Bien entendu, de nombreuses ondes longues,telles que les tsunamis par exemple, engendres par des tremblements de terre, ont des pulsations ω tressuperieures a f . Dans ces cas, l’effet de la rotation de la Terre sur la propagation des ondes est negligeable.Mais la theorie est importante pour cette raison que les oceans sont excites a des frequences comparablesa f par les forces de maree. La contribution principale est due a l’exces d’attraction gravitationnelle dela Lune sur l’eau qui lui est la plus proche relativement au centre. La frequence a laquelle cette forcevarie, en tout point de la Terre en rotation, alors que la Lune poursuit sa trajectoire sur son orbite, prendla valeur de 1.40 × 10−4 rad/s, a peine inferieure a 2Ω0, correspondant a une periode de 12h25’. Elleexcede en revanche f a toute latitude inferieure a 75. Le Soleil exerce des forces plus faibles, avec desfrequences proches de 2Ω0. Ses effets sont surtout important tous les 14 jours (aux pleines et nouvelleslunes) lorsque les forces de maree dues au soleil et a la lune se renforcent l’une l’autre.

Les proprietes de propagation des solutions des equations d’ondes longues ont un effet particulierementsignificatif sur les marees en eaux peu profondes. Elles repondent avec un certain retard aux montees etdescentes de la maree dans un ocean profond adjacent, selon la valeur limitee de la vitesse de propagationdonnee par (6.18). L’augmentation inevitable de l’amplitude de l’onde a mesure que son energie sepropage dans des eaux moins profondes et se retrouve confinee dans des profondeurs reduites, ajoute al’importance pratique de la connaissance de ces effets.

D’autres modes de propagation, au-dela de ceux gouvernes par la relation de dispersion (6.17), de-viennent importants dans ce contexte. Ils incluent un mode quasi uni-dimensionnel de propagation deguide d’onde connu sous le nom d’onde de Kelvin, qui peut etre pense comme une onde frontiere (edge-wave) modifiee par les effets de rotation de la Terre.

Les grandes ondes de pulsation ω > f se comportent generalement en accord avec la relation dedispersion (6.17), meme si f et h sont variables. Ces variations rendent toutefois possible des mouve-ments a plus basses frequences, les ondes de Rossby. Elles peuvent etre specialement importantes dans lemecanisme de maree des grands oceans. Il est alors necessaire d’abandonner les coordonnees cartesiennespour adopter les coordonnees spheriques.

41

Chapitre 7

Equations d’ondes non-lineaires

Sommaire7.1 Fronts et chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.2 Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.3 Collision de solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.4 Methode des caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.5 L’equation de Schrodinger non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.1 Fronts et chocs

On sait que l’equation∂ψ

∂t+ c

∂ψ

∂x= 0

est une equation d’onde lineaire admettant des solutions du type ψ = f(x − ct). Si le celerite de l’ondeest maintenant fonction de l’amplitude, ψ, par exemple c ≡ ψ, alors l’equation devient

∂ψ

∂t+ ψ

∂ψ

∂x= 0 (7.1)

Exercice : Montrer qu’il s’agit d’une equation non-lineaire.

Si ψ ≡ u, on reconnaıt l’equation d’Euler sans membre de droite. Sous forme compacte, (7.8) sereecrit encore

Dψ

Dt= 0,

c’est-a-dire que la grandeur ψ se conserve le long des trajectoires particulaires.

Exercice : Considerons l’action de l’equation (7.8) sur les paquets d’onde initiaux de la Fig. 7.1

Le paquet d’onde initial tend ainsi a se raidir jusqu’au choc. En rajoutant de la diffusion (Navier-Stokes en champ de pression uniforme sans force de volume), on obtient l’equation dite de Burger :

∂ψ

∂t+ ψ

∂ψ

∂x= ν

∂2ψ

∂x2(7.2)

Cette equation fut introduite en 1948 par Burger pour etudier la turbulence, a une dimension d’espace.C’est une equation que l’on retrouve dans la description des ondes acoustiques en milieu visqueux (Ligh-thill 1956) ou les ondes magnetohydrodynamiques dans un milieu de conductivite finie. Neanmoins, laturbulence est intrinsequement tri-dimensionnelle, de sorte que l’equation (7.2) est inappropriee a rendrecompte de la turbulence developpee.

42

x

ψ(x, 0)

-1 0 1

1

x

ψ(x, 0)

-1 0 1

1

Exercice : On va rechercher une solution de l’equation de Burger de type front 1.

1. On pose ξ = x−ct, ou c est une inconnue, et l’on cherche une solution sous la forme ψ(x, t) ≡ ψ(ξ),avec pour conditions aux limites ψ(−∞) = ψ1 et ψ(+∞) = ψ2, ψ1 > ψ2. Ecrire l’equationdifferentielle ordinaire verifiee par ψ.

2. Integrer une premiere fois l’equation pour obtenir l’expression de (on notera K la constanted’integration) :

ψ ′(ξ) = F (ψ).

3. Deduire de ce qui precede les expressions de K et c en fonction de ψ1 et ψ2. Quelle conclusion entirez-vous pour la vitesse c des ondes ?

4. Verifier qu’une solution peut se mettre sous la forme (on determinera κ et δ) :

ψ(ξ) = c− κ

2tanh

(κδξ).

5. Representer la solution pour ν 1 et ν 1. Montrer que dans ce dernier cas la solutionasymptotique est une discontinuite dans le profil de la fonction ψ. A quelle vitesse se propage lechoc ?

7.2 Solitons

In John Scott Russell, “Report on Waves”, Report of the fourteenth meeting of the British Associationfor the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311-390 :

I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrowchannel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped - not so the massof water in the channel which it had put in motion ; it accumulated round theprow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind,rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, arounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course alongthe channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed iton horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine milesan hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot anda half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or twomiles I lost it in the windings of the channel. Such, in the month of August 1834,was my first chance interview with that singular and beautiful phenomenon whichI have called the Wave of Translation.

1. La notion de choc est habituellement attribuee a des changements brusques de pression dans un milieu non dissipatif.Ici il s’agira d’un front, se propageant a une vitesse constante, et de part et d’autre duquel une grandeur physique changeabruptement.

43

En ecrivant les equations d’Euler pour le fluide, les conditions aux limites au fond et a la surface, encanal peu profond, et en supposant l’ecoulement irrotationnel, on se ramene a l’equation de Korteweg-deVries :

∂ψ

∂t+ c0

∂ψ

∂x+

3c02h

ψ∂ψ

∂x+h2c0

6

∂3ψ

∂x3= 0, (7.3)

avec c0 =√gh la vitesse de propagation des ondes lineaires dans la limite des grandes longueurs d’onde

en eau peu profonde, et ψ la hauteur de la surface libre par rapport a la position d’equilibre. En passantdans le referentiel mobile a la vitesse c0, X = x− c0t, T = t,

∂ψ

∂T+

3c02h

ψ∂ψ

∂X+h2c0

6

∂3ψ

∂X3= 0. (7.4)

En introduisant alors les variables ξ = X/X0, τ = T/T0, η = ψ/h, on est ramene a la forme compacte

∂η

∂τ+ 6η

∂η

∂ξ+∂3η

∂ξ3= 0. (7.5)

ou X0 = h et T0 = 4h/c0.

Exercice : Montrer que

η = A sech2

(√A

2(ξ − 2Aτ)

), (7.6)

ou sech2x = 1/ cosh2 x, est solution de l’equation (7.5).

La condition A > 0 est en accord avec le fait qu’on n’observe pas d’ondes solitaires de type depressiona la surface de l’eau. L’extension spatiale du soliton est L =

√2/A, sa vitesse c = 2A fonction de

l’amplitude. La largeur L croıt tandis que c decroıt avec A. En termes de variables dimensionnees,

ψ = ψ0 sech2

(1

2h

√3ψ0

h

(x− c0

(1 +

ψ0

2h

)t

)). (7.7)

de sorte que c ≥ c0 (regime torrentiel ou supersonique) et l’ecart de c a c0 est proportionnel a ψ0.L’existence d’une telle solution resulte de l’equilibre entre les effets de la non-linearite et de la dis-

persion. La non-linearite tend a focaliser la solution tandis que la dispersion tend a l’etaler. C’est unequilibre stable : si la condition initiale est trop etroite, la dispersion predomine et l’onde s’etalera jusqu’ace que l’equilibre soit atteint. Inversement, si l’on part d’une condition initiale trop etalee, la dispersionsera nettement dominee par la non-linearite, qui refocalisera la solution jusqu’a ce que l’equilibre soitatteint. Cet equilibre peut cependant ne pas etre atteint, par exemple si les conditions exterieures varient,comme un milieu de profondeur croissante a mesure que le soliton avance. Pour autant, un soliton peuttout a fait se propager au-dessus d’un fond irregulier. Le mascaret de la Seine, qui etait engendre parla maree, remontait l’estuaire de la Seine comme un soliton, jusqu’a ce que l’on creuse le chenal pourpermettre aux gros bateaux de remonter jusqu’a Rouen. La profondeur etant desormais trop grande, leseffets non-lineaires ne sont plus suffisants pour compenser la dispersion et le mascaret a presque totale-ment disparu. A l’embouchure de l’Amazone, dans le nord du Bresil, lorsque la maree monte durant lesgrandes marees de fevrier-mars, une vague de 5 m de hauteur, se propageant a des vitesse de l’ordre de30 m/s, remonte certains bras du fleuve sur plusieurs centaines de kilometres. Les indiens Tupi appellentcette vague pororoca, bruit gigantesque . Les tsunamis, grande vague dans le port en japonais,sont decrits de maniere tres satisfaisante par l’equation KdV car, bien que se deplacant dans des oceansde profondeur moyenne 4 000 m, leur extension depasse les 100 km, justifiant l’approximation de propa-gation en eau peu profonde. La vitesse de ces vagues, en pleine mer, depasse les

√gh = 700 km/h ; la

vague ralentit en approchant des cotes, la profondeur diminuant, mais deferle sur plusieurs centaines demetres a l’interieur des terres apres que la focalisation non-lineaire, due a la diminution de profondeur,lui ait donne une hauteur considerable.

44

7.3 Collision de solitons

Une autre solution de l’equation KdV est une solution a deux solitons :

η =2(K2

1 −K22 )

(K1 cothX1 −K2 tanhX2)2

(K2

1

sinh2X1

+K2

2

cosh2X2

),

ou X1 = K1(ξ − 4K21τ) et X2 = K2(ξ − 4K2

2τ). Supposons K1 > K2. Dans la limite τ → −∞, auvoisinage de ξ = 4K2

2τ , on obtient :

η ' η2 = 2(1− tanh2 ∆)K2

2

(coth2X2 − tanh ∆ sinhX2)2=

2K22

cosh2(X2 −∆)

avec tanh ∆ = K2/K1, c’est-a-dire que l’on a un soltion d’amplitude A = 2K22 . De meme, au voisinage

de ξ = 4K21τ , la solution est :

η ' η1 = 2K21 sech2(X1 + ∆′),

c’est-a-dire que la solution complete a la forme de deux solitons separes, l’un d’amplitude 2K21 , de vitesse

4K21 , l’autre d’amplitude 2K2

2 , de vitesse 4K22 < 4K2

1 . Lorsque τ → +∞, on obtient le meme resultat,mais la position relative des deux solitons est inversee. Chacun a conserve son amplitude et sa vitesse,et pourtant les solitons ont interagi. L’equation etant non-lineaire, la collision n’est pas qu’une simplesuperposition. Au moment de la collision, l’amplitude observee est inferieure a celle du soliton η1. Deplus, au moment de la collision, les deux solitons subissent un dephasage : pour t→ −∞, η2 s’exprime enfonction de sa position 4K2τ+∆/K2, pour t→ +∞, il s’exprime en fonction de sa position 4K2τ−∆/K2.A cause de la collision, le soliton a ete retarde de 2∆/K2 par rapport a la position qu’il aurait eu enl’absence de collision. On montre que le soliton η1 a quant a lui pris de l’avance.

En fait, une impulsion initiale explose en une chaıne de solitons. Les solitons maintiennent leurforme et leur vitesse en se propageant et en collisionnant, et une impulsion arbitraire se romp en unesequence de solitons differents. Ainsi, les solitons dans un milieu non-lineaire jouent le meme role que desondes sinusoidales dans un milieu lineaire ! Les solitons peuvent donc etre consideres comme les ondespropres du probleme non-lineaire.

7.4 Methode des caracteristiques

On s’interesse a la resolution de l’equation d’advection de la grandeur ψ(x, t) :

∂ψ(x, t)

∂t+ c(ψ, x, t)︸ ︷︷ ︸

vitesse

∂ψ(x, t)

∂x= f(ψ, x, t)︸ ︷︷ ︸

source de ψ

. (7.8)

Adoptons un point de vue Lagrangien et cherchons la famille de courbes C le long desquelles(dx

dt

)C

= c(ψC , xC , t) (7.9)(dψ

dt

)C

=∂ψ(x, t)

∂t+ c(ψ(x, t), x, t)

∂ψ(x, t)

∂x≡ f(ψC , xC , t) (7.10)

Les courbes C solutions sont dites courbes caracteristiques de l’equation d’advection. La methode descaracteristiques consiste a resoudre le probleme (7.10), avec pour conditions initiales x(0) = a et ψ(x, 0) =ψ0(a) dans la region du plan (x, t) ou les courbes C ne se coupent pas. Lorsque les courbes se coupent,les solutions ψ(x, t) peuvent prendre des valeurs multiples pour un couple (x, t) donne. Sur la frontiereentre de telles regions, les solutions de l’equation (7.8) cessent d’etre continues et il y a formation d’unchoc. Les equations doivent alors faire intervenir des relations de saut sur les grandeurs concernees. Demaniere generale, il suffit de connaıtre la valeur de ψ(x, t) sur une courbe S transverse aux courbescaracteristiques C , ψ(x, t) ≡ ψS(t) pour resoudre l’equation (7.8). En effet, les courbes C ”propagent”l’information dans le plan (x, t) a partir de l’information connue sur S.

L’equation d’advection scalaire se resout en ecrivant :(dψ

dt

)C

= f(ψ, x, t) le long de la courbe C d’equationdx

dt= c(ψ, x, t).

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Exemple : On considere une fonction ψ(x, t) de l’espace et du temps, qui verifie une equation auxderivees partielles du type :

A(x, t)∂ψ

∂t+B(x, t)

∂ψ

∂x= 0.

Les courbes caracteristiques du probleme considere sont les lignes du plan (x, t) telles que ψ(x, t) =Cste.

1. Montrer que les caracteristiques verifient l’equation :

dx

dt=B

A.

2. On considere le cas particulier ou :∂ψ

∂t+ t

∂ψ

∂x= 0.

avec pour condition initiale ψ(x, 0) = cosx. En deduire les caracteristiques, ou ligne d’iso-valeursde ψ du probleme, et les representer dans le plan (x, t).

7.5 L’equation de Schrodinger non-lineaire

L’equation de Schrodinger non-lineaire (ESNL) est une variante non-lineaire de l’equation de Schrodin-ger qui apparaıt, en particulier, dans l’etude des ondes de gravite de petite amplitude en eaux profondes.Elle s’ecrit sous la forme :

i∂tψ = −1

2∂2xψ + κ|ψ|2ψ, (7.11)

ou ψ(x, t) est un champ complexe.Cette equation apparaıt egalement dans de nombreux autres domaines de la physique, et princi-

palement en optique non-lineaire, pour decrire la propagation de la lumiere dans des fibres optiqueset des guides d’ondes plans ; les ondes de Langmuir dans les plasmas chauds ; la propagation de fais-ceaux d’ondes planes diffractees dans les regions focalisantes de l’ionosphere ; etc. Plus generalement,l’ESNL apparaıt comme l’une des equations universelles pour decrire l’evolution de paquets d’onde quasi-monochromatiques lentement variables dans des milieux dispersifs faiblement non-lineaires.

Le cas κ > 0 est dit focalisant et peut produire des solutions de type solitons brillants, spatialementlocalisees et s’evanouissant a l’infini, ainsi que des solutions de type breather. Le cas κ < 0 est ditdefocalisant et peut produire des solutions de type solitons noirs, d’amplitude constante a l’infini etpresentant une depression de l’amplitude localisee dans l’espace.

A une dimension d’espace, l’ESNL est integrable, et se resout par la technique dite de transformationde diffraction inverse (inverse scattering transform) introduite par Zakharov & Shabat en 1972. Lesysteme d’equations lineaires correspondant est connu sous le nom de systeme de Zakharov-Shabat :

φx = JφΛ + Uφφt = 2JφΛ2 + 2UφΛ + (JU2 − JUx)φ,

ou

Λ =

(λ1 00 λ2

), J = iσz =

(i 00 −i

), U = i

(0 qr 0

).

L’ESNL apparaıt dans ce contexte comme une condition de solvabilite du systeme de Zakharov-Shabat :

φxt = φtx ⇒ Ut = −JUxx + 2JU2U ⇔

iqt = qxx + 2qrq

irt = −rxx − 2qrr.

En posant q = r? ou q = −r?, on aboutit a l’une des deux formes focalisante ou demoralisante de l’ESNL.Diverses methodes permettent d’obtenir des solutions numeriques de l’equation, comme par exemple lamethode dite de split-step.

L’ESNL est invariante sous une transformation Galileenne. En effet, si ψ(x, t) est solution, une nou-velle solution peut etre obtenue en remplacant x par x+ vt partout en ψ(x, t) et en ajoutant le facteurde phase e−iv(x+vt/2) :

ψ(x, t) 7→ ψ[v](x, t) = ψ(x+ vt, t) e−iv(x+vt/2).

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Pour les ondes de surface, l’ESNL decrit l’evolution de l’envelope d’un paquet d’ondes module. En 1968,Vladimir E. Zakharov decrit la structure Hamiltonienne des ondes de surface. Il montre egalement quepour un paquet faiblement module, l’amplitude de l’onde satisfait approximativement une ESNL. Lecoefficient du terme non-lineaire, κ, depends de la profondeur relative. En eau profonde (profondeurgrande devant la taille du paquet d’onde), κ < 0 et un soliton d’enveloppe peut etre forme. En eaupeu profonde, typiquement pour des longueurs d’onde superieures a 4.6 fois la profondeur du canal, lecoefficient κ est positif et les solitons d’enveloppe n’existent pas. Les solitons de type elevation de surface,ou ondes de translation, peuvent exister, mais ils ne sont alors pas gouvernes par l’ESNL.

Pour les ondes de surface, l’amplitude complexe ψ represente l’amplitude et la phase des ondes.Considerons une onde porteuse legerement modulee, d’elevation de surface η, de la forme :

η = a(x0, t0) cos [k0 x0 − ω0 t0 − θ(x0, t0)] ,

ou a(x0, t0) et θ(x0, t0) sont l’amplitude et la phase lentement modulees. La pulsation Ω0 et le vecteurd’onde k0 des ondes porteuses doivent satisfaire la relation de dispersion Ω0 = Ω(k0), de sorte que :

ψ = a exp (iθ) .

Le module |ψ| est donc l’amplitude a de l’onde, et son argument arg(ψ) sa phase θ. La relation entre lescoordonees physiques (x0, t0) et les coordonnees (x, t) de l’ESNL s’ecrit :

x = k0 [x0 − Ω′(k0) t0] , t = k20 [−Ω′′(k0)] t0

Ainsi, (x, t) represente la passage a un systeme de coordonnees en mouvement a la vitesse de groupeΩ′(k0) des ondes porteuses. La courbure de la relation de dispersion Ω”(k0) est toujours negative sousl’action de la gravite. En eaux profondes, les coefficients importants sont :

κ = −2k20, Ω(k0) =

√gk0 = ω0

et donc

Ω′(k0) =1

2

ω0

k0, Ω′′(k0) = −1

4

ω30

k30

ou g est l’acceleration de pesanteur.

Le 30 juin 2001, le magazine New Scientist affichait, en couverture :

It came from nowhere, snapping giant ships in two. No one believed the survivors. . .until now .

L’ESNL represente une piste de recherche actuelle pour expliquer la formation de vagues scelerates.

Pour aller plus loin

— A propos des vagues scelerates,C. Garrett & J. Gemmrich, Physics Today 62 (2009) pp 62-63 ; doi : 10.1063/1.3156339P. Muller , C. Garrett & A. Osborne, Oceanography 18 (2005) pp 66-75.

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Bibliographie

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[2] Landau, L. D., & Lifchitz, E. M. (1971). Physique theorique. Tome 6, Mecanique des fluides.

[3] Lighthill, J. (2001). Waves in fluids. Cambridge university press.

[4] L. Petit, L., Hulin, J. P., & Guyon, E. (2012). Hydrodynamique physique 3e edition (2012). EDPSciences.

[5] Rayleigh, J. W. S. B. (1896). The theory of sound (Vol. 2). Macmillan.

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