Ondes monochromatiques• Les ondes progressives ne sont, en générale, pas périodiques, ni

en temps ni en espace

• Idée importante en analyse d’onde:

– Toute fonction périodique T peut se décomposer en unesomme de fonction de période T/n ( Série de Fourier)

– En imaginant la période infinie, un signal non périodique peutdonc se décomposer en une somme infini de signaux de toutesles périodes…

Notation complexe• Solution particulière• Et la solution en sin ?• Idée:

– l’équation d’onde est linéaire– Prendre la partie réelle d’un nombre complexe est

une opération linéaire– Deux opérations linéaires permutent

– Si A complexe -> sin– Attention: ceci ne peut se faire que pour l’équation

d’onde linéaire et pour les grandeurs linéaires…paspossible pour l’énergie….

– Résolution de l’équation d’onde…

!

v = A(x) cos("t)

!

v = A(x) exp( j"t)

!

!

" 2v

"t 2= c

2 "2v

"x 2

implique

#$ 2A = c

2 "2A

"x 2

d' où

A(x) = A0 exp(± jkx)

et

$ 2

k2

= c2

On retrouve les ondesse propageant à droite etgaucheV= A e j(!t-kx) +B e j(!t+kx)

Equation de dispersion:Relie la fréquence spatiale à lafréquence temporelleLa première impose la seconde!

Rappel

T Période ( sec) !=2"/T Pulsation ( s-1)

f=1/T= !/( 2") Fréquence ( Hz)

k= !/c Vecteur d’onde ( m-1)

#=cT= 2"/k Longueur d’onde ( m)

1/# Nombre d’onde (m-1)

Vitesse de phase• La vitesse c est donc la vitesse de phase de l’onde• Vitesse de phase= vitesse de propagation d’un

point ayant une phase constante

• La vitesse de phase n’est pas toujours uneconstante mais peut varier et dépendre de lafréquence

• La vitesse de phase peut être plus grande que lavitesse de propagation du milieu

!

cte = "t # kx

$dx

dt="

k= c

Variation avecla fréquence

Variation avecla profondeur

Vitesse de groupe• Un signal monochromatique n’a pas de début ou

de fin– Ne permet pas d’envoyer de l’information

• Pour envoyer de l’information ( ou de l’énergie),une superposition d’ondes monochromatiques estnécessaire comme par exemple– Paquet d’onde (signal de durée finie)– Signal A(t)<<1 en modulation d’amplitude

– Signal en modulation de fréquence

!

s(t) = (1 + A(t)) exp( j"t)

!

A(t) = a exp( j"#(t)t)

s(t) = A(t) exp( j#t)

= a[1 + (1 $ exp( j"#(t)t))] exp( j#t)

Propagation d’un paquet• On considère un paquet d’onde autour d’une

fréquence centrale !0

• Sa propagation donne

!

s(x, t) = a(")d""#

"+

$ exp( j(" t # k(")x))

k(" ) = k("o) + (" # "o)%k

%" 0

s(x, t) = a(")d""#

"+

$ exp( j(" t # k(")x)) = exp( j(k("0) # "o

%k

%" 0

)x) a(")d""#

"+

$ exp( j"(t #%k

%" 0

x))

soit

s(x, t) = A(t #x

vg) exp( j(k("0) # "o

%k

%x 0

)x)

!

A(t) = d""#

"+

$ a(") exp( j"t)

!

vg =d"

dk

Vitesse de groupe

Variation de la vitesse de phase en pourcent à 80secondes des ondes de surface

Réflexion et transmission• On considère un tsunami arrivant près d’un

plateau continental

!

1

g

" 2u

"t 2= #

"h

"x

h = #d"u

"xd' où

" 2u

"t 2= c

2 "

"xc2 "u

"x

$

% & '

( )

h, u continus

Équationu déplacementhorizontal( primitive de v)h hauteur

Pour d’autres cas, nousaurons aussi une continuité:

-de F ( corde)

-De p (tube)

!

F = T0

"u

"x

!

p = "#$u

$x

d1

d2

• On considère une onde incidente , réfléchieet transmise

• On applique la continuité du déplacement etde la seconde grandeur (h, F, p, suivant lecas)

!

u1 = A exp( j("t # k1x) + B exp( j("t + k1x)

u2 = C exp( j("t # k1x)

!

h1 = jk1d1(A exp( j("t # k1x) # B exp( j("t + k1x))

u2 = jk2d2C exp( j("t # k1x)

!

A + B = C

jk1d1(A " B) = jk

2d2C

!

C

A=

2k1d1

k1d + k

2d2

B

A=k1d1" k

2d2

k1d + k

2d2

D’où

Quelques propriétés

• Surface libre ( c2<< c1, => t=2, r=1)• Surface rigide ( c2>> c1, => t=0, r=-1)• Pas de dépendance en fréquence… Pourquoi?• Cas d’une corde ou d’un tuyau ( )

– Z = impédance =

!

t =C

A=

2k1d1

k1d1

+ k2d2

=2c1

g

c1

g+c2

g

r =B

A=k1d1" k

2d2

k1d1

+ k2d2

=

c1

g"c2

g

c1

g+c2

g

!

1

g" # ou µ

!

c

g" #c ou µ c

!

t =2Z

1

Z1

+ Z2

r =Z1" Z

2

Z1

+ Z2

Bilan énérgie

• Pour faire un bilan d’énergie, necessitéd’utiliser les flux

– Energie entrante = énergie sortante

!

T =Z2t2

Z1

=Z2

Z1

2Z1

Z1

+ Z2

"

# $

%

& '

2

R =Z1

Z1

Z1( Z

2

Z1

+ Z2

"

# $

%

& '

2

1 = R + T

!

" = #cA2 = ZA2

Ondes stationnaires

• Ondes dans une cavité• Les réflexions multiplent forment des

ondes qui en générale, vont avoir desamplitudes n’ayant pas la même phaseque les autres ondes

• Solution stationnaire n’est non nulleque si les interférence sontconstructives

Corde de piano• Deux conditions aux limites rigide

• Longueur L

• Une solution sous la forme d’unesuperposition d’ondes se propageant dansles deux directions

!

u(x, t) = A exp( j("t # kx)) + B exp( j("t + kx))

conditions aux lim ites

u(0, t) = A + B

u(L, t) = A exp(# jkL) + B exp( jkL) = 0

d' où

sin(kL) = 0

Et

!

k ="

c

Solution• Quantification des solutions

– Modes ou oscillations propres

– Solution identique pour tout objet fini

– Analogie avec mécanique quantique

!

kL = n"

d' où

#n

=n"c

L

et

!

un (x, t) = A exp( j"t) sin(n#x

L)

Si !n est solution,- !n est aussi solution

Autres propriétés

• Considérons deux solutions

• L’énergie cinétique stockée est et définitune norme ( toujours positive)

• Soit le produit scalaire- on montre que deux solutions sontorthogonales en raison des conditions auxlimites

- les modes forment une base des solutions

!

"#1

2u1

=$ 2u

1

$x 2,"#

2

2u2

=$ 2u

2

$x 2

!

µdxu2

0

L

"

!

< u1| u

2>= µdxu

1

0

L

" u2

Sommation de modes• Toute solution peut s’écrire sous la forme

d’une somme des modes

• Les coefficients s’obtiennent en projetant lesconditions initiales (ou la source) sur lesfonctions de base

!

< u0 | un >=< un | un > (An + Bn )

< v0 | un >= j"n < un | un > (An # Bn )

An =

< u0 | un > +< v0 | un >

j"n

2 < un | un >

Bn =

< u0 | un > #< v0 | un >

j"n

2 < un | un >

!

u(x, t) = unn

" (x)(An exp( j#nt) + Bn exp($ j#nt))

u0 ~déplacement initial

v0 ~vitesse initialle

Solution finale

• On normalise les modes propres

!

un(x, t) =

2

Lsin(n"

x

L)

!

u(x, t) = un

n

" (x)(< u0 | un > cos(#nt) +

< u0 | un >

#n

sin(#nt))

D’où

Autre Exemple à 1 dimension• Les modes propres sont pour la plupart associés

à des ondes de surface ou des ondes devolumes

• Pour être crées, une interférence constructivedoit se faire après un tour de Terre

• Pour c= 4km/s, on trouve f = n*0.1 mHz

!

2"r = ncT

f =1

T= n

c

2"r

Sismologie de la Terre: modes propres

• Lors des grands séismes, la Terre résonne comme unecloche

• Typiquement, il faut des séismes de magnitudesupérieure à 7

Dispersion et positionnementGPS

Propagation dans le plasma

• Propagation dans un plasma

• Masse des électrons << Masse des ions

• Fréquence plasma entre 1 et 10 Mhz