IUT - GMP2 - F311
Dans tout ce cours, on note K = R ou C. Les nombres appartenant
K sappellent des scalaires
1 Calcul matriciel lmentaire
1.1 Matrices et vecteursDfinition 1.1.1 Une matrice de taille
(p,q) (ou matrice p q) coefficients dans K est un tableau de
nombresappartenant K prsent sous la forme :
A =
a1,1 a1,j a1,q...
......
ai,1 ai,j ai,q...
......
ap,1 ap,j ap,q
i me ligne ai,j Kj me colonne
Lensemble des matrices de taille (p,q) coefficients dans K est
notMK (p,q) (ou plus simplementM (p,q)). Si p = q, onnoteMK (p,q)
=MK (p) lespace des matrices carres.
La i-me ligne de la matrice A est (ai,1,ai,2, . . . ,ai,q). La
j-me colonne de A est
a1,j...ap,j
. Pour i = 1, . . . ,p etj = 1, . . . ,q, le terme gnral de la
matrice A est not Ai,j .
Dfinition 1.1.2 Un vecteur ligne q coefficients dans K est une
matrice coefficients dans K une ligne et q colonnes.Cest donc un
lment deMK (1,q). On note :
` = (`1, . . . ,`j , . . . ,`q)
Un vecteur colonne p lments dans K est une matrice coefficients
dans K p lignes et une colonne. Cest donc unlment deMK (p,1). On
note :
v =
v1...vp
On identifie les vecteurs colonnes p lments et les lments de Kp.
On dit que Kp est un espace vectoriel sur K (ouun K-espace
vectoriel) de dimension p.Dfinition 1.1.3 Soit A MK (p) une matrice
carre.
1) A est dite triangulaire si tous les termes situs en-dessous
(ou au-dessus) de la diagonale sont nuls.2) A est dite diagonale si
tous les termes non diagonaux sont nuls : aij = 0 si i 6= j, pour
i,j = 1, . . . ,p.3) A est dite scalaire si tous ses termes
diagonaux sont gaux. Si de plus, ils sont gaux 1, alors A est la
matrice
identit , et est note Idp.
1.2 Oprations sur les matrices1.2.1 Addition de matrices
Dfinition 1.2.1 Soient A et B deux matrices appartenant MK
(p,q). La somme des matrices A et B est la matriceC = A+B MK (p,q)
de terme gnral :
Ci,j = Ai,j +Bi,j , i = 1, . . . ,p , j = 1, . . . ,q
Remarque 1.2.2 La somme de deux matrices A et B ne se fait que
pour deux matrices de mme taille . Il est clair queA+B = B +A
1
1.2.2 Produit dune matrice par un scalaire
Dfinition 1.2.3 Soient M MK (p,q) et K. Le produit de M par le
scalaire K est la matrice M MK (p,q)de terme gnral :
Mi,j , i = 1, . . . ,p, j = 1, . . . ,q
1.2.3 Produit de matrices
Dfinition 1.2.4 Soient A MK (p,q) et B MK (q,r). Alors le
produit C = A B = AB est la matrice C MK (p,r)de terme gnral :
Ci,j = Ai1B1j +Ai2B2j + +AiqBqj =k
k=1
AikBkj , i = 1, . . . ,p ,j = 1, . . . ,r
Si A MK (p) et n N, on note An = A A.
Remarque 1.2.5 1) On peut avoir A 6= 0 et An = 0. Exemple : A
=(
0 10 0
), A2 = 0
2) On na pas en gnral A B = B A: si le produit A B est bien
dfini, le produit B A nest peut-tre mme pasdfini, ou na peut-tre
pas la mme taille que le produit A B. Exemple : le produit dun
vecteur ligne et dun vecteurcolonne.
1.2.4 Trace dune matrice carre.
Dfinition 1.2.6 Soit A M (p). La trace de A est le nombre :
tr (A) = A11 +A22 + +App =pi=1
Aii
Proposition 1.2.7 Si A,B M (p), on a :tr (AB) = tr (BA)
(mme si AB 6= BA).
1.2.5 Transpose dune matrice
Dfinition 1.2.8 Soit A MK (p,q). La transpose de A est la
matrice tA MK (q,p) de terme gnral :tAij = Aji
Proposition 1.2.9 Soient A MK (p,q) et B MK (q,r). Alors :t(AB)
= tBtA
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