Croissance et extremums

Jacques ParadisProfesseur

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre

Éléments de compétence Croissance et décroissance Lien entre la croissance et la dérivée Maximum et minimum relatifs Maximum et minimum absolus Test de la dérivée première Tableau de variation relatif à f’ Exemples et exercices

3Département de mathématiques

Éléments de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction

représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique

Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique

Relier la croissance ou la décroissance d’une fonction au signe de sa dérivée

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance

Déterminer les maximums et minimums de f Construire un tableau de variation relatif à f’ Utiliser le test de la dérivée première Donner une esquisse du graphique de f

4Département de mathématiques

Croissance et décroissance (1 de 2) Soit une fonction f

définie sur un intervalle I

f est croissante sur I si x1 , x2 I on a que x1 < x2 f (x1) < f (x2)

f est décroissante sur I si x1 , x2 I on a que x1 < x2 f (x1) > f (x2)

5Département de mathématiques

Croissance et décroissance (2 de 2)

Croissance et décroissance et signe de la dérivée première f ’ (x) > 0 sur ]a,b[ f(x) croissante sur [a,b] f ’ (x) < 0 sur ]a,b[ f (x) décroissante sur [a,b]

m<0

m>0

6Département de mathématiques

Maximum et minimum relatifs Soit I un intervalle ouvert autour d’un point c du

domaine d’une fonction f, alors f(c) est un 1) maximum relatif ssi f(c) f(x) x I 2) minimum relatif ssi f(c) f(x) x I

Remarque : Pour une borne, on peut limiter I à un intervalle ouvert d’un seul côté de c (plutôt qu’autour)

•

••

•

•max relatif

min relatif

max relatif

min relatif

min relatif

(c , f(c)

(c , f(c)

7Département de mathématiques

•

••

•

•max rel et absolu

min rel et absolu

max rel

min rel

min rel

Maximum et minimum absolus Soit une fonction f définie sur son domaine D,

alors f(c) est un1) maximum absolu ssi f(c) f(x) x D2) minimum absolu ssi f(c) f(x) x D

Remarque : Il peut arriver qu’une fonction n’aie pas de maximum ou minimum absolu.

(c , f(c)

(c , f(c)

8Département de mathématiques

Si une fonction f atteint un extremum relatif en une valeur c de son domaine, alors :

f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas

Nombre critique de f : une valeur c du domaine de f pour laquelle f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas. (Un maximum ou un minimum potentiel)*

Maximum / minimum et dérivée

m=0

Pas de dérivée(La courbe possède un maximum relatif qui est un maximum absolu, mais elle possède un minimum relatif qui n’est pas un minimum absolu)

max rel

min rel

9Département de mathématiques

Définitions Le point (c,f’(c)) est un point stationnaire de f si f’(c) = 0.

Le point (c,f’(c)) est un point de rebroussement de f si en ce point la tangente est verticale et f’(x) change de signe autour de x = c.

Le point (c,f’(c)) est un point anguleux de f si en ce point les portions de courbes admettent deux tangentes distinctes.

10Département de mathématiques

Test de la dérivée première Soit f une fonction continue sur un intervalle

ouvert I et c I, un nombre critique de f (f’(c) = 0 ou f’(x) n’existe pas),

1) Si f’(x) passe de + à – lorsque x passe de c- à c+, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f.

2) Si f’(x) passe de – à + lorsque x passe de c- à c+, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f.

11Département de mathématiques

Test de la dérivée première (Illustration)

Soit une fonction f définie sur [a , b]

Remarque : a et b, les bornes, sont automatiquement des nombres critiques car la dérivée n’y existe pas.

12Département de mathématiques

Tableau de variation relatif à f’

x

f’(x)f(x)

Valeurs de x

Valeurs de f’(x)

Valeurs de f(x)

Borne inférieure Borne supérieure

max ou min

Nombres critiques

Pour une fonction définie sur un intervalle : ------

13Département de mathématiques

Exemple 1 Déterminer les intervalles de croissance, de

décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de la fonction f(x) = x3 – 48x. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f

x - -4 4

f’(x) + 0 0 +

f(x) 128 -128

max min

14Département de mathématiques

Exemple 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de

maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 - 14x2 + 24x + 4 définie sur [-4 , 3].

x -4 -3 1 2 3

f’(x) 0 + 0 0 +

f(x) -60 -113 15 12 31

max min max min max

15Département de mathématiques

Exercice 1 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de

maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 – 8x3 + 18x2 + 1.

x - 0 3

f’(x) 0 + 0 +

f(x) 1 28

min

16Département de mathématiques

Exemple 3 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance,

les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = 23 x 4x .

x - 0 2 4

f’(x) 0 + +

f(x) 0 -1,6 0

min

17Département de mathématiques

Exercice 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance,

les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = 2x x 6 3.

x - -3 2

f’(x) +f(x) -3 -3

min min

18Département de mathématiques

Devoir Série 6.1, page 230, nos 1,3, 5, 6 et 8. Ex. récapitulatifs, page 284, nos 1, 2 et 3.

1b) f sur - ; -0,41] [2,41 ; ; f sur [-0,41 ; 2,41];max. rel. : (-0,41 ; 4,31); min. rel. : (2,41 ; -18,31)

1d) f sur - , 3] ; f sur [3 , ;max. : aucun; min. rel. : (3 , 4).

1f) f sur [0 , 2] ; f sur [2 , 5];max. rel. : (0 , 2) et (5 , 67); min. rel. : (2 , -14).

1h) f sur [-2 , -1] [1 , 2 ]; f sur [-1 , 1];max. rel. : (-2 , 0) et (1 , 3); min. rel. : (2 , 0) et (-1 , -3).