Comparaison des Méthodes Numériques pour les Equations de

Saint Venant

Mamisoa RANDRIAMPARANYJustin RATSARAMODY, Michel Aimé RANDRIAZANAMPARANY

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3-O-099

INTRODUCTIONUn pourcentage considérable de gens vit dans des zones inondables

Cela explique pourquoi des millions de personnes sont touchées par les inondations.

La prévision des inondations est l’un des éléments fondamentaux de mesures d'atténuation de l'impact économique et social des dégâts d'inondation

L’objectif principal était d’analyser les efficacités des méthodes numériques utilisées pour la résolution des équations de Saint Venant 2D.

Pour cela il a été effectué des comparaisons du niveau de l’eau et de la vitesse dans toutes les grilles de calcul

L’étude sur les inondations a commencé depuis 2015.

3 articles scientifiques (Télédétection, dégâts d’inondations, érosion causé par une inondation, effet de digue dans les plaines inondables)

CADRAGE GLOBAL ET OBJECTIFS DE LA RECHERCHE

Phénomènes dans la nature

Equations gouvernant les phénomènes

Solutions des EDP

Méthodes numériques

Méthodes aux volumes finis

Méthodes des différences finies

Méthodes des éléments finis

INONDATION

EQUATIONS DE SAINT VENANT

PROFONDEUR ET VITESSE D’ECOULEMENT

EQUATIONS DE SAINT VENANT 2D

0=¶¶

+¶¶

+¶¶

yG

xF

tU

ïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì=hvhuh

Uïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì

+=huv

ghhuhu

F 2/22

ïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì

+

=

2/22 ghhvhuvhv

G

h : profondeur de l'eau, t : temps, u : vitesse d'écoulement dans la direction x, v : vitesse d'écoulement dans la direction y, g : accélération de la pesanteur.

Ces équations régissent généralement les écoulements à surfaces libres

THÉORIE SUR LES DEUX MÉTHODES

Méthode des différences finies :

C’est une approximation purement mathématique qui met en jeu l’approximation des derivés en discrétisant directement les opérateurs de dérivés par les formules de Taylor.Deux type d’approximation : centrée et décentrée (en amont)

Méthode des volumes finis

La méthode des volumes finis exploite des approximations d'intégrales et se base directement sur la forme forte de l'équation à résoudre.La méthode es conservative car le flux entrant dans un volume donné est égal au flux sortant du volume adjacent

OUTILS UTILISÉS POUR L’ÉTUDES

BASEMENT

Logiciel suisse

Méthode des volumes finis utilisant un maillage triangulaire non structuré

Mailleur et visualisation des résultats externes sous forme de plugin dans QGIS (BASEmesh)

https://basement.ethz.ch/

IRIC

Logiciel japonais

Méthodes des différences finies utilisantun maillage quadrangle curviligne

Méthode CIP pour la discrétisation du terme d’advection

Interface graphique unique

https://i-ric.org/en/about/

SITE D’ÉTUDES

MODÉLISATION D’UN TRONÇON DU SAMBIRANODonnée topographique:Un MNT (Modèle Numérique de Terrain) de haute résolution

Hydrogramme :Hydrogramme synthétique basé sur les valeurs indiquées dans Fleuves et Rivières de Madagascar

MISE EN ŒUVRE DE LA SIMULATION

Méthode des différences finies:Pour la méthode des différences finies la simulation avait été effectuée avec le solveur Nays2D Flood version 5.0 dans la suite logicielle iRIC version 2.3.9.6034 et avec les caractéristiques suivantes :

• Une grille de 251 * 31 soit 7781 mailles• Pas de temps de calculs Dt = 0,1s • Nombre maximal d'itérations pour le calcul de la surface = 10• Profondeur minimale de l'eau = 0,20 m

Méthode des volumes finisPour la méthode des volumes finis nous avons utilisé BASEMENT 2.8 avec les caractéristiques suivantes :

• Une grille de 17351 mailles• Une condition CFL de 0.8• Un solveur de Riemann de type exact avec un schéma explicite• Profondeur minimale de l'eau = 0,20 m

RÉSULTATS

Les figures suivantes montrent les profondeurs de l’écoulement à différents instants de l'hydrogramme.

Profondeur d'eau dans le domaine de calcul à t=7200s

RÉSULTATS

Profondeur d'eau au pic de l'hydrogramme t = 80400 sAu pic de l’hydrogramme

Profondeur d'eau pendant le décrue à t = 145200 s

DISCUSSIONSLes résultats obtenus reproduisent globalement la réalité (observation visuelle d’unévènement de crue) malgré le manque de donnée à disposition

Les résultats numériques obtenus avec les deux méthodes ne se diffèrent que de trèspeu.

Les deux codes de calcul sont parallélisable c’est-à-dire que l’on peut pour l’un etl’autre exploité le maximum de threads possible pour le matériel informatique utilisé

Dans cette étude le terme source modélisant la précipitation tombée dans la zoned’étude pendant l’évènement n’est pas considéré. Il peut être considéré dans leschéma numérique Nays2D flood au contraire de BASEMENT

On peut donc en déduire que d’un point de vue globale les deux outils sont fiablespour la modélisation des crues en utilisant un MNT de haute résolution

CONCLUSIONLes résultats des simulations ont montré que les deux méthodes sont utilisables pourla résolution de l’équation de Saint Venant en utilisant un modèle numérique deterrain de haute résolution.

Pour les deux méthodes l'algorithme implicite permet des pas de temps de calculplus importants que les méthodes explicites.

Pour la méthode des différences finies le maillage n'est pas forcement orthogonalmais si le maillage est orthogonal l'algorithme est plus simple et efficace.

La méthode des volumes finis fournit une augmentation de la stabilité et de larobustesse améliorée par rapport à techniques traditionnelles de différences finieset d'éléments finis.

L’utilisation d’un maillage triangulaire non structuré permet de reproduire lescourbures des fleuves

Comparaison des Méthodes Numériques pour les Equations de Saint Venant

• Mamisoa RANDRIAMPARANYIngénieur en Hydraulique,Doctorant de l’Université d’Antsiranana

• Justin RATSARAMODYDocteur Ingénieur,Enseignant Chercheur, Ecole Supérieure Polytechnique d’AntsirananaPrésident de l’Université d’Antsiranana

• Michel Aimé RANDRIAZANAMPARANYProfesseur Titulaire,Enseignant Chercheur, Ecole Supérieure Polytechnique d’Antsiranana