Expressions algébriques - Equations et inéquations

1Séquence 3 – MA20

Sommaire

1. Prérequis2. Expressions algébriques3. Équations : résolution graphique et algébrique4. Inéquations : résolution graphique et algébrique5. Algorithmique

6. Synthèse de la séquence

7. Exercices d’approfondissement

Expressions algébriquesÉquations et inéquations

Séquence 3

© Cned – Académie en ligne


1 PrérequisExpressions algébriques ; somme et produit

Une expression algébrique est composée de nombres, de lettres, de parenthèses,

d’opérations et de fonctions qui les relient. Par exemple, ( )( )x x xy2 5 4 9+ − +est une expression algébrique.

Si les expressions algébriques nous sont maintenant familières, il a fallu attendre le XVIe siècle et le mathématicien français François Viète (1540-1603) pour avoir l’idée de remplacer des inconnues ou des paramètres par des lettres.

Il est important dans les expressions algébriques de savoir distinguer les sommes des produits.

Une expression algébrique est une somme si la dernière opération avant d’obtenir le résultat est une addition et une expression algébrique est un produit si cette dernière opération est une multiplication.

A a b B x C x D n n n E= + = + = + = + + + =, , , ( ) ( ) , 2 1 1 12 2 2 2 55 454 2x x−sont des exemples de somme.

F ab G x H x x I x x J a b c a= = = + = + − = + +, , ( ), ( )( ), ( )(3 2 2 2 −− −b c )sont des exemples de produit.

À propos des solutions d’une équation ou d’une inéquation� Équations

Définition 1Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue x pour laquelle l’égalité est vraie.

Définition 2Résoudre une équation, c’est trouver l’ensemble de ses solutions.

AA

ExemplesExemples

BB

Par exemple, 3 est solution de l équation

x x x3 23 2 2− = +car 3 3 2 3 2 3 243 2− = × + × =( ).

Nous n avons pas résolu l équation x x x3 23 2 2− = + car nous ne savons pas si cette équation admet d’autres solutions.


4 Séquence 3 – MA20

Équation du premier degréVous avez appris en troisième à résoudre des équations du premier degré. Revoyons en un exemple.

Résoudre l’équation 3 5 7 4x x− = +On peut rajouter 5 aux deux membres de l’équation soit :

3 5 7 45 5x x− = ++ + soit 3 7 9x x= +Ensuite, on peut retrancher 7x aux deux membres de l’équation, soit :x

3 7 97 7x xx x− −= + soit − =4 9x

et en multipliant les deux membres par − 14

(ce qui revient au même que diviser

par −4 ), il vient x = − 94

.

On écrit alors habituellement que l’ensemble des solutions de cette équation est

− 94

sous la forme : � = −{ }.94

� Inéquations

Soit l’inéquation x x2 6 4≤ − .

Remplaçons x par 6 ; on obtientx 36 36 4≤ − , ce qui est faux.

On dit que le nombre réel 6 n’est pas solution de l’inéquation x x2 6 4≤ − .

Remplaçons maintenant x par 5 ; on obtientx 25 30 4≤ − , ce qui est vrai.

On dit que le nombre réel 5 est solution de l’inéquation x x2 6 4≤ − .

On verrait de même que 0 n’est pas solution, ni12

mais que 2 et 3 sont

solutions.

Définition 1Une solution d’une inéquation est une valeur de l’inconnue x pour laquelle l’inégalité est vraie.

Définition 2Résoudre une inéquation, c’est détermi-ner l’ensemble de ses solutions, c’est-à-dire toutes les valeurs de l’inconnue x pour laquelle l’inégalité est vraie.

Nous n’avons pas résolu l’inéquation x x2 6 4≤ − car nous n en avons pas déterminé toutes les solutions.

Inéquation du premier degréVous avez appris en troisième à résoudre une inéquation du premier degré. Revoyons en un exemple.

Résoudre dans � l’inéquation 3 5 2x x− ≥ − .On sait que l’on peut rajouter 5 aux deux membres de l’inéquation soit :

3 5 5 2 5x x− + ≥ − + soit 3 3x x≥ +On peut ensuite retrancher x aux deux membres de l’inéquation soit :x3 3x x x x− ≥ + − soit 2 3x ≥ .

ExempleExemple

ExempleExemple



On peut ensuite multiplier chaque membre de l’inéquation par 12

(ce qui revient

au même que diviser par 2) car le réel 12

est strictement positif.

Il vient x ≥ 32

.

L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc l’intervalle [ , [32

+∞ , ce que

l’on peut encore noter : � = +∞[ ; [.32

On peut multiplier les deux membres d’une inéquation par un nom-bre strictement négatif à condition de changer le sens de l’inégalité.

Par exemple, l’inéquation −2x ≥≥1 est équivalente à :

− × − − ×≤12

212

1( )x soit x ≤ − 12

.



Activités

Différentes expressions pour une aire

Soit un carré ABCD de côté 5. On dessine aux quatre coins des carrés de côté x et on s’intéresse à l’aire coloriée x A x( ) formée de la réunion de ces quatre carrés et du carré intérieur EFGH.

� Montrer par un raisonnement géométrique que A x( )peut s’écrire sous l’une des formes suivantes :

A x x x( ) ( )= + −4 5 22 2 ou A x x x( ) ( )= − −25 4 5 2 .

� Montrer que l’on aussi : A x x x( ) .= − +8 20 252

� En utilisant la forme la plus adaptée, calculer A( , )2 5

et A( ).3

� a) Montrer que A x x( ) , .= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+854

12 52

b) En déduire que l’aire minimale est obtenue pour x = 54

et donner cette

aire minimale.

� a) Montrer que A x x x( ) ( )( ) .= − − +2 1 4 8 17

b) Déterminer les valeurs de x tels quex A x( ) .= 17

Forme développée et factorisée

Soit f x x x( ) ( ) ( )= − − −2 3 22 pour tout nombre réel x.

� Montrer que, pour tout nombre réel x, f x x x( ) .= − +2 7 10

� Montrer que, pour tout nombre réel x, f x x x( ) ( )( ).= − −2 5

� On dispose maintenant de trois formes pour f x( ) :

Forme initiale Forme développée Forme factorisée

f x x x( ) ( ) ( )= − − −2 3 22 f x x x( ) = − +2 7 10 f x x x( ) ( )( )= − −2 5

AA

Activité 1Activité 1

x

x

x

A B

D

H G

E F

C

xx

x

x

A B

D

H G

E F

C

x


2 Expressions algébriques



Répondre à chacune des questions suivantes, sans calculatrice, en veillant à

choisir judicieusement à chaque fois la forme de f x( ) que vous utiliserez :

a) Calculer f ( )0 et f ( ).2

b) Calculer f ( )2 et f ( ).5

c) Résoudre l’équation f x( ) .= 0

d) Résoudre l’équation f x( ) .= 10

Cours

� Transformation d’une expression algébriqueUne expression algébrique peut s’écrire de plusieurs façons et il faut savoir la transformer afi n d’utiliser la forme la plus adaptée au travail à effectuer.

Réduire une somme, c’est écrire cette somme sous la forme la plus condensée possible en regroupant les termes de même nature.

Soit A x x x x x x( ) = + − + − − +4 6 5 2 2 3 42 3 2

A x( ) est une somme qui se réduit sous la forme : A x x x x( ) = + − +2 3 1 22 3 , que l’on ordonne sous la forme :

A x x x x( ) .= + + −2 2 3 13 2

Développer signifie transformer une expression algébrique en une somme.

B x x x x( ) ( )( ) ( )= − − − −5 2 3 3 2

B x( ) est :

B x x x x x( ) = − − + − +2 3 10 15 3 62 qui après réduction donne :

B x x x( ) .= − +2 16 212

Factoriser signifie transformer une expression algébrique en un produit.

C x x x x x( ) ( )= + = +2 4 4

Le produit x x( )+ 4 est la forme factorisée de x x2 4+ .

BB

ExempleExemple

ExempleExemple

ExempleExemple



Réduire au même dénominateur avec des x.

Soit la fonction f défi nie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f f xx

( ) .= +21

f ( ) .3 213

63

13

73

= + = + =

f ( ) .7 217

147

17

157

= + = + =

Pour ajouter deux fractions, nous les avons mises au même dénominateur.

Si l’expression comporte des x au dénominateur, nous allons utiliser une technique xsimilaire.

f xx

xx x

xx

( ) .= + = × + = +2

1 2 1 2 1

Avec cette nouvelle expression def x( ) , on retrouve bien que :

f ( )32 3 1

373

= × + = et f ( ) .72 7 1

7157

= × + =

Soit la fonction g défi nie pourg x différent de 0 et de 1 par x g xx x

( ) .= +−

1 21

g( ) .414

23

34 3

2 43 4

312

812

1112

= + =×

+ ××

= + =

14

et23

, nous avons réduit ces fractions au même dénominateur

4 3× .

Nous allons utiliser une technique similaire pour ajouter 1x

et2

1x −.

g xx x

xx x

xx x

xx

( )( )( ) ( )

= +−

= × −× −

+ ×− ×

= −1 21

1 11

21

1(( ) ( ) ( )

.x

xx x

xx x−

+−

= −−1

21

3 11

Avec cette nouvelle expression, on retrouve bien que

g( )( )

.43 4 1

4 4 11112

= × −× −

=

�

a) k(a + b) = ka + kb

L’écriture ka kb+ est le développement de k a b( ).+k a b( )+ est l’écriture factorisée de ka kb+ .

Si le passage à l’écriture développée est mécanique et présente peu de diffi cultés, le passage à l’écriture factorisée nécessite de reconnaître un facteur commun et s’avère moins immédiate.

Exemple 1Exemple 1

Exemple 2Exemple 2



12 4 4 3 4 4 3− = × − × = −x x x( ).

On applique la formule k a b ka kb( )+ = + avec k a= =4 3, et b x= − .

4 3( )− x est l’écriture factorisée de 12 4− x.

3 22x x+ .

Les deux termes de la somme sont 3 2x et 2x et ils ont un facteur commun qui xest x.

3 2 3 2 3 22x x x x x x x+ = × + × = +( ).

x x( )3 2+ est l’écriture factorisée de 3 22x x+ .

a ab+ 2 .

Les deux termes de la somme sont a et 2a ab et ils ont un facteur commun qui est a. On peur alors écrirea

a ab a a b a b+ = × + × = +2 1 2 1 2( ).

Dans le cas particulier où un des termes se confond avec le facteur commun, il faut considérer qu’il est multiplié par 1 avant de le mettre en facteur. C’est ce qui est fait dans l’exemple 3.

b) Les identités remarquablesDéveloppons d’abord les expressions suivantes :

( ) ( )( ) .a b a b a b a ab ba b a ab b+ = + + = + + + = + +2 2 2 2 22

( ) ( )( ) .a b a b a b a ab ba b a ab b− = − − = − − + = − +2 2 2 2 22

( )( ) .a b a b a ab ba b a b− + = + − − = −2 2 2 2

Ces trois identités remarquables doivent être apprises par cœur.Résumons les ci dessous.

Forme développée (somme) Forme factorisée (produit).

a ab b a b

a ab b

2 2 2

2 2

2

2

+ + = +

− + =

( )

(aa b

a b a b a b

−

− = − +

)

( )( )

2

2 2

x x x2 212 36 6+ + = +( ) . On applique la formule ( )a b a ab b+ = + +2 2 22

avec a x= et b = 6.

x x x2 24 4 2− + = −( ) . On applique la formule ( )a b a ab b− = − +2 2 22

avec a x= et b = 2.

x x x2 9 3 3− = − +( )( ). On applique la formule a b a b a b2 2− = − +( )( )

avec a x= et b = 3.

Exemple 1Exemple 1

Exemple 2Exemple 2

Exemple 3Exemple 3

ExemplesExemples



� Exercices résolus

Développer les expressions suivantes :

A x B x x C x D x= +( ) = −( ) = + −( ) = +( )3 2 1 1 3 2 32

; ; ; ;; ; E x x= +( ) −( )3 2

F x x= −( ) −( )2 1 1 ; G x x H x x= −( ) +( ) = − −( ) +( )2 2 3 2 2 ; .

Réponse :

A x= +3 6

B x x= −2

C x= + −1 3 6 d’où C x= −3 5 .

Attention, la multiplication est prioritaire sur l’addition ;

D x x= + +2 6 9. Ici on utilise la formule a b+( )2 avec a x et b= = .3

E x x x x x x= −( )+ −( ) = − + −2 3 2 2 3 62 et ainsi E x x= + −2 6.

F x x x= − − +2 2 12 F x x= − +2 3 12 .

On peut remarquer que dans le cas de E, on a fait le développement en deux E

étapes et que pour F on a agit de manière plus directe.F

G x= − ( )2 22 en appliquant la formule a b2 2− avec a x et b= = .2

D’où G x= −2 2.

L’expression H est une somme dont le deuxième terme est un produit. Commençons donc par développer ce produit :

x x x x−( ) +( ) = − = −2 2 2 42 2 2 en appliquant la formule a b2 2− avec

a x et b= = .2 On en déduit que H x= − −3 42( ) (il ne faut pas oublier la

parenthèse) et donc que H x= − +3 42 , H x= −7 2.

Factoriser les expressions suivantes :

A x x B x x C x x D x= − = + = +( ) + + = −4 7 1 1 83 2 3 2 2 2 ; ; ; xx +16 ;

E x F x x= − = +( ) − +( )2 2 225 3 2 1 ; .

Réponse :

Recherchons un facteur commun : A xx x= −4 72 2. Il est clair que x 2 est un

facteur commun donc A x x= −( )4 7 2.

Exercice 1Exercice 1




De la même manière : B xx x= +2 21 d’où B x x= +( )1 2.

Dans l’expression C, on voit d’abord une somme de 3 termes dont on ne sait que

faire. Mais on peut aussi écrire C x x= +( ) + +( )1 12

où on a alors une somme

de deux termes contenant un facteur commun :

C x x x x x= +( ) +( )+ +( ) = +( ) +( )+⎡⎣ ⎤⎦1 1 1 1 1 1 1 et ainsi

C x x= +( ) +( )1 2 .

Pour D x x= − +2 8 16 il n’y a pas de facteur commun apparent mais on reconnaît

le développement de a b−( )2 avec a x b= = et 4 et donc

D x= −( )42

.

E est de la formeE a b2 2− avec a x b= = .et 5

Ainsi E x x= −( ) +( )5 5 .

C’est la même chose pour F : cette fois F a x b x= + = +3 2 1 .et On a donc

F x x x x= +( )− +( )⎡⎣ ⎤⎦ +( )+ +( )⎡⎣ ⎤⎦3 2 1 3 2 1 .

Supprimons les parenthèses à l’intérieur des crochets :

F x x x x= + − −⎡⎣ ⎤⎦ + + +⎡⎣ ⎤⎦3 2 1 3 2 1 et donc

F x x= +( ) +( )2 1 4 3 .

Connaissant 202 calculer mentalement 212 de deux manières différentes :

avec 20 12+( )

avec 21 202 2−

Réponse : nous savons que 20 4002 =

20 12+( ) est bien égal à 212 mais aussi à 20 2 1 20 1 400 40 12 2+ × × + = + +

donc 21 4412 = .

21 20 21 20 21 20 412 2− = −( ) +( ) = donc 21 20 412 2= + et ainsi 21 4412 = .

Comment calculer mentalement le carré d’un nombre entier qui se termine par 5 ?

Réponse : Observons d’abord qu’un nombre se terminant par 5 est égal à 10n + 5 noù n est son nombre de dizaines. Par exemple, 75 10 7 5= × + car 7 est le chiffre des dizaines.





Calculons 10 52

n +( ) ;

10 5 10 2 10 5 52 2

n n n+( ) = ( ) + × × + d’où 10 5 100 100 252 2n n n+( ) = + + .

Les deux premiers termes de cette somme ont un facteur commun : 100n. Ainsin

100 100 100 12n n n n+ = +( ) et 10 5 100 1 252

n n n+( ) = +( )+ .

Appliquons ceci à 75 : 75 100 7 8 252( ) = × × + . (n+1 est le nombre entier qui n

suit n). Le calcul donne :n 7 8 56× = et multiplier ce nombre par 100 revient à

adjoindre 00 et ajouter 25 à ce nombre revient à remplacer 00 par 25. Conclusion :

75 5 6252 = .

Autre exemple : pour 1052 on prend le nombre des dizaines : 10, on le multiplie par son suivant qui est 11 ce qui donne 110 et on accole 25 à ce résultat. Donc

105 11 0252 = .

(Il est conseillé de s’entraîner avec 25, 35,...)

Montrer que, pour tout nombre réel x de ]2, +∞ [,

4 12

47

2x

x x−

−= +

−.

Réponse : Pour montrer une égalité, on n’est pas obligé de partir du côté gauche

de l’égalité. Il est ici préférable de partir du côté droit de l’égalité, car on peut

réduire l’expression 47

2+

−xau même dénominateur.

Pour tout nombre réel x de ]2,+∞[,x

47

24 2

27

24 8 7

24 1

2+

−= −

−+

−= − +

−= −

−xx

x xxx

xx

( ).

Synthèse

Deux méthodes pour factoriser :

Facteur commun et la formule k(a + b) = ka + kb

Les identités remarquables : (a + b) = a + 2ab+ b

(a – b) = a – 2ab+ b

(a + b)(a – b) =

2 2 2

2 2 2

aa – b .2 2


CC

expression algébrique exdévelopper⎯ →⎯⎯⎯⎯ somme ppression algébrique factoriser⎯ →⎯⎯⎯⎯ produitexpression algébrique exdévelopper⎯ →⎯⎯⎯⎯ somme ppression algébrique factoriser⎯ →⎯⎯⎯⎯ produit



Exercices d’apprentissage

Dans un jardin carré de côté x (en m), on xréalise un parterre carré en laissant sur deux des côtés une bordure de largeur 1,5m.� Parmi les expressions suivantes, indiquer

celle(s) qui donnent l’aire de la bordure :

a) ( , )x x+ −1 5 2 2 b) 3x c) 3 2 25x − ,

d) x x2 21 5− −( , ) e) x x( , )−1 5

� Pour quelle valeur de x l’aire du parterre est xelle égale à 16 m2 ?

Les longueurs sont exprimées en cm.On désire imprimer une carte carrée de côté x avec x x compris entre 5 cm et 10 cm. On xsouhaite cependant laisser une marge de 2cm en haut et en bas de la carte et de 1 cm à gauche et à droite.

� On appelle f x( ) , l’aire en cm2 de la surface imprimable. En calculant cette aire de deux façons différentes, montrer que f x x x( ) = − +2 6 8 et

f x x x( ) ( )( ).= − −2 4

� Montrer que f x x( ) ( ) .= − −3 12

� Déterminer les dimensions de la feuille telles que l’aire de la surface imprimable soit égale à 8 cm2 puis à 15 cm2.

Soit la fonction f défi nie sur f � par f x x x( ) = − +2 8 7

� Montrer que : f x x( ) ( ) .= − −4 92

� En déduire une forme factorisée def x( ) .

�� Utiliser la forme la plus adaptée de f x( ) pour répondre aux questions suivantes

a) Calculer f ( ).3

b) Résoudre l’équation f x( ) .= 0

c) Calculer f ( )4 et montrer que, pour tout nombre réel x, f x( ) .≥ −9En déduire que f admet un minimum sur �.

Soit g la fonction défi nie sur g � par : g xx

x( ) .= −

+

2

24

4� Montrer que g x( ) peut s’écrire sous les formes suivantes :

g xx

x

x( ) .= −

+=

+−1

8

4

2

41

2

2

2

DD


xx


x

2

1

x

2

1





� Utiliser l’une ou l’autre de ces formes pour répondre aux questions suivantes :

a) Résoudre g x( ) .= 0

b) Montrer que, pour tout réel x, g x( ) .< 1c) Montrer que, pour tout réel x, g x( ) .≥ −1

Soit f la fonction défi nie sur ]1 ;+∞[ par f xx

( ) .= −−

21

1� Montrer que f x( ) peut aussi s’écrire :

f xxx

( ) = −−

2 31

ou f x xx

x( ) .= + −

−3

1

2

� En utilisant la forme la plus adaptée :

a) Résoudre l’équation f x( ) .= 0

b) Montrer que f x( ) < 2 pour tout réel x de ]1 ;+∞[.x

c) Montrer que f x x( ) < + 3 pour tout réel x de ]1 ;+∞[.x

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

A x x B x x C x x= − +( ) = − −( ) = − −( ) −( )6 3 1 3 4 7 3 52 2

; ; ;

D x x E x x= − −( ) − +( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠

8 1 4 315

313

2 2 ; ⎟⎟ + = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

115

36

2

; ;Fx

G x x x x= − − + − −( ) ( )( ).3 1 3 3 3 3 12

A x x x B x x x= −( ) − −( ) −( ) = − − +( ) −(3 7 3 7 2 1 2 3 5 1 2 32

; )) ; C x x x D x x= +( ) −( )− +( ) = −( ) + +( )4 3 5 4 9 3 4 3

2 2 2 ; ;

E x x Fx x

G x= − +( ) + = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− = −1 3 43

2 41 3

2 22 2

; ; (( ) − = + +2 23 9 12 4 ; .H x x

Réduire au même dénominateur les expressions :

Ax

=−

+11

25

;Bx x

=−

+22 3

3 ; C

xx

= +43

1.

� Développer et réduire : A x x x x x= − + + + +( )( ).1 14 3 2

� En déduire un moyen simple pour calculer la somme :

S = + + + +123

49

827

1681

.

� x, y, z( ) .x y z x y z xy yz xz+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2

� On considère trois nombres A, B et B C non nuls dont la somme des inverses est Cnulle. Démontrer que :

a) AB BC CA+ + = 0.b) Le carré de la somme de ces trois nombres est égal à la somme de leurs carrés.









Activités

Se ramener à une équation du premier degré

ABCD est un carré de côté 4 cm et I est le milieu de [BC].J est un point quelconque du segment [AB].On pose AJ = x (en cm).

� est le cercle de centre J qui passe par A.Γ est le cercle de diamètre [BC]. L’objet de l’activité est de déterminer s’il existe un point

J tel que � et Γ soient tangents en un point E.� Exprimer JI² en fonction de x puis vérifi er x

que � et Γ sont tangents lorsque :

( ) ( ) .x x+ = − +2 4 22 2 2

� Résoudre cette équation� En déduire la position du point J sur [AB] pour

que � et Γ soient tangents.

Résolution graphique et algébrique d’une équation

On a dessiné ci-dessous la courbe (C) représentative de la fonction f défi nie sur f

� par f x x( ) .= 2

� Dessiner dans le même repère sur le graphique suivant la courbe représentative

d de la fonction affi ne g défi nie parg g x x( ) .= +2 3

� Quel lien peut-on faire entre les points d’intersection de (C) et de d et l’équation d

x x2 2 3= + ?

� Quelles semblent être, par lecture graphique, les abscisses de ces deux points.

� Vérifi er que x x x x2 2 3 1 3− − = − +( )( ).

AA


C

I

B

E

JA

D

�

Γ

C

I

B

E

JA

D

�

Γ


3 Équations : résolution graphique et algébrique



� En déduire la résolution algébrique de l’équation x x2 2 3= + .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

12

11

10

1 2 3 4–4 –3 –2 –1 x

y

Cours

� Utilisation d’une calculatrice

Pour résoudre graphiquement une équation du typef x k( ) = , où k désigne un knombre réel, (ouf x g x( ) ( )= ), il peut être intéressant de savoir représenter sur sa calculatrice la courbe d’équation y f x= ( ) (et celle d’équation y g x= ( ) ) et de savoir obtenir un tableau de valeurs de la fonction f.

Nous donnons ici les principales manipulations qu’il faut connaître sur l’exemple de la fonction f défi nie sur l’intervalle [–8 ;6] parf f x x x( ) = + −2 4 8 sur une TI82stats.fr et sur une casio25+ qui sont les deux modèles les plus fréquemment utilisés au lycée actuellement. L’utilisation d’une autre TI ou casio est très voisine de celles-ci.

Nous nous appuierons sur des travaux réalisés par l’IREM de Lyon, fi gurant sur internet, et que vous pouvez consulter pour des compléments d’informations.

BB



A. Utilisation d’une TI82stats.fr

� Défi nir une fonction

Touche f (x)

Introduire la fonction par exemple en Y1.

Pour la variable X, utiliser la touche x, t, tt θ, n.

Valider avec la touche entrer .

� Tracer la courbe représentative

Touche graphe

→ L’écran ci-contre n’est qu’un exemple, il est possible que celui affi ché sur votre calculatrice soit différent.

Pour obtenir cet affi chage : touche zoom6:ZStandard

� Régler la fenêtre d’affi chage

Touche fenêtre .

Régler les paramètres comme sur l’écran ci-contre.

Touches Ÿ et ⁄ pour passer d’uneligne à l’autre.

Puis touche graphe .

� Régler les paramètres du tableau de valeurs

Instruction déf table (touches 2ndefenêtre ).

Régler les paramètres comme sur l’écran ci-contre.

DébTable : valeur initiale (1re valeur dutableau).

PasTable : pas du tableau (écart entre deux valeurs successives).



� Affi cher le tableau de valeurs

Instruction table

(touches 2ndegraphe ).

→ Si l’écran n’affi che pas toutes les valeurs souhaitées, on peut se déplacer dans la table à l’aide des fl èches.

� Parcourir une courbe

Touche trace .

Touches ÿ et ◊pour se déplacer sur la courbe.L’expression de la fonction ainsi que les coordonnées du point où est situé le curseur sont affi chées.

� Calculer une image

Instruction quitter (touches

2nde mode ) pour revenir

à l’écran de calcul.

Touche var option V

VAR-Y= à l’aide de la

fl èche ÿ .

Puis option 1 1:Fonctionet valider avec entrer .

Choisir la fonction désirée (pour notre exemple 1:Y1 ).

Puis compléter comme surl’écran ci-contre pour, parexemple, obtenir l’imagede 3.



� Ajouter une fonction

Touche f (x)Introduire la nouvelle fonctionpar exemple en Y2Puis graphe ou table .

� Choisir les représentations graphiques à tracer

Touche f (x)

Avec les touches de déplacement placer le curseur sur le signe = de la fonctionque vous ne souhaitez plus affi cher.

Ce signe doit alors clignoter.

Touche entrer pour modifi er le statutde la fonction sélectionnée.

Le signe doit alors être = et non plus.

Pour réaffi cher une fonction, procéderde la même façon.

Le signe doit alors être de nouveau = = au lieu de = .

Ensuite graphe ou table .

Seules les fonctions sélectionnées sont affi chées.

(Pour l’exemple Y1 a été désélectionnée).

� Effacer une fonction

Touche f (x)

Sélectionner la fonction à effacer, par exemple Y1.

Puis touche annul .




La fenêtre d’affi chage est la partie duplan délimitée par les valeurs

Xmin, Xmax, Ymin et Ymax.

La distance entre les graduations est défi nie par Xgrad pour l’axe horizontalet par Ygrad pour l’axe vertical.

Xrés défi nit la résolution de l’affi chage(de 1 à 8).

� Problèmes possibles

Problème rencontré Comment y remédier

ERR : SYNTAXE1 :Quitter 2:Voir

L’expression de la fonction est mal saisie. Par

exemple : -X ² doit être saisi en utilisant (-) et

non pas – .

ERR : VAL FENETRE1 :Quitter

fenêtre La fenêtre graphique est mal défi nie.

(Par exemple on a saisit des valeurs telles que :

Xmin ≥ Xmax)

Une série statistique est représentée il faut la

désactiver :

Effacer tous les graphiques statistique :

2nde f (x) . (graph stats)4 4 :graphOff .

ou

Effacer le graphique problématique :

f (x) . sélectionner le graphique activé et appuyer

sur entrer .

ERR : DIM INVALIDE1 :QUIT

Une série statistique est saisie mais de façon

incorrecte.

2nde f (x) . (graph stats) 4 4 :graphOff .



B. Utilisation d’une casio graph25+

� Défi nir une fonction

Icône Introduire la fonction par exemple en Y1.Valider avec la touche EXE .Utiliser la touche X,T pour la variable X.

� Tracer la courbe représentative

Instruction DRAW (touche F4 ).)→ L’écran ci-contre n’est qu’un exemple, il est possible que celui affi ché sur votre calculatrice soit différent.


Instruction V-Window (touches SHIFT F3 ).)Régler les paramètres commesur l’écran ci-contre.Touches Ÿ et ⁄ pourchanger de ligne.Touche EXE puis instructionDRAW .

� Régler les paramètres du tableau de valeurs

Icône puis instruction RANG (touche F3 ).Régler les paramètres comme sur l’écran ci-contre.Strt : valeur initiale (1ère valeur du tableau).End : valeur fi nale (dernière valeur du tableau).Ptch : pas du tableau (écart entre deux valeurs successives).Touche EXIT pour revenir à l’écran précédent.

� Affi cher le tableau de valeurs

Instruction TABL (touche F4 ).→ Si l’écran n’affi che pas toutes les valeurs souhaitées, on peut se déplacer dans la table à l’aide des fl èches.



� Parcourir une courbe

Retour au graphique : touche MENU icône

puis instruction DRAW .

Instruction TRACE (touches SHIFT F1 ).Un point apparait sur la courbe et ses coordonnées sont affi chées.

Touches ÿ et ◊ pour déplacer ce point.

� Calculer une image

Mode calcul : touche MENU et icône .

Touche VARS et instruction GRPH . pour cela :

Touche � (à droite de F4 ) puis F2 .

Mettre la valeur dont on veut l’image dans la mémoire X, par exemple pour l’image de 3 :

Touches 3 → X,θ,T puis.

→ correspond à la touche de mise en mémoire.

Instruction Y (Touche F1 ) suivie du numéro de la fonction à utiliser (pour notre exemple Y1).

Valider avec EXE.

� Ajouter une fonction

Mode graphique : touche

MENU et icône .

Introduire la nouvelle fonction par exemple en Y2

Puis DRAW .

Le tableau de valeur est lui aussi mis à jour :

Touche MENU et icône

Puis TABL.

Utiliser les fl èches ÿ et ◊pour se déplacer.



� Choisir les fonctions affi chées

Mode graphique : touche MENU et icône .

Avec les fl èches, sélectionner la fonction que vous ne souhaitez plus affi cher.

Instruction SEL (touche F1 ) pour valider votre choix.

Le signe = doit alors être = et non plus = .

Instruction DRAW pour tracer les courbes choisies. Pour réaffi cher une fonction, procéder de la même façon.Le signe = doit de nouveau être = au lieu de = .

On peut faire la même chose dans le mode table :

touche MENU et icône .

Sélectionner les fonctions à affi cher puis TABL.

� Effacer une fonction

Sélectionner la fonction à effacer, par exemple Y1.Puis instruction DEL (touche

F2 ), et enfi n choisir YES

(touche F1 )


La fenêtre d’affi chage est la partie du plan délimitée par les valeursXmin, Xmax, Ymin et Ymax.La distance entre les graduations est défi nie par Xsacle pour l’axe horizontal et par Yscale pour l’axe vertical.

� Problèmes possibles

Problème rencontré Comment y remédierSyn ERROR L’expression de la fonction est mal saisie.

Par exemple erreur de variable. Appuyer sur

AC/On

Ma ERROR Vérifi er la fenêtre d’affi chage.



� Résolution graphique d’une équation

Vous pourrez être amené à résoudre graphiquement des équations du type

f x k( ) = où k est un nombre réel ou du type k f x g x( ) ( ).=Les fonctions f etf g sont représentées par les courbes g C et C’.

f (x) = k f (x) = g(x)

Exemple

Résoudre l’équation f x( ) .= 3

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = 3

–0,5 2 3 3,5

x

y

Les solutions sont –0,5 et 3,5.

Cas général

On cherche les points de C d’ordonnée C k(ce travail peut être facilité par le tracé de la droite d’équation y k= ).

Les abscisses de ces points sont les solutions de

l’équation f x k( ) .=

Exemple

0

1

C

C’

10,6 2,2 x

y

Les solutions sont approximativement 0,6 et 2,2.

Cas général

On repère les poins communs à C etC C’.Les solutions sont les abscisses des points communs.

� Résolution algébrique

Définition

Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions. Résoudre l’une revient donc à résoudre l’autre.

3 6 0x + = est équivalent à x = −2.

L’expression est équivalente est synonyme de l’expression «si et seulement si ».ExempleExemple



Vous pourrez rencontrer lesymbole ⇔ pour remplacerl’expression est équivalent. Onécrira par exemple :

3 6 0 2x x− = ⇔ = .

Propriété 1 : Équations équivalentes

On transforme une équation en une équation équivalente :� en développant ou factorisant certains termes ;� en ajoutant ou retranchant un même terme à chaque membre� en multipliant ou divisant chaque membre par un même

nombre non nul.

Pour résoudre une équation qui ne se ramène pas par développement à une équation du 1er degré, on la transforme en une équation équivalente dont un membre et nul et on applique les propriétés suivantes :

Propriété 2 : Règle du produit nul

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.A B = 0 équivaut à A=0 ou B=0.×

Propriété 3 : Règle du quotient nul

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

AB

équivaut à A et B 0.= = ≠0 0


Résoudre les équations suivantes :

� 3 7 1 2 1− − −( ) = +( )x x x .

� 2 1 4 22

x x−( ) = − .

� 2 1 1 2 1 3 7 0x x x x+( ) −( )+ +( ) +( ) = .

� 2 3 42 2

x x+( ) = −( ) .

NotationNotation Ne pas confondre le symbole ⇔ avec celui de l’égalité =

Vous devez toujours pouvoir remplacer le symbole ⇔ par l’expression « si et seulement si ».

Ne pas confondre le symbole ⇔ avec celui de l’égalité =

Vous devez toujours pouvoir remplacer le symbole ⇔ par l’expression « si et seulement si ».




Réponse :

� Réduisons chacun des membres : 3 7 1 2 2− − + = +x x x ,

d’où − + = +6 2 2 2x x . On retranche 2 2x + à chaque membre : − =8 0x . Il ne

reste qu’à diviser par –8 et on obtient x = 0. S = { }0 .

� Mettons en facteur dans le membre de droite et retranchons ce terme aux

deux membres :

2 1 2 2 1 02

x x−( ) − −( ) = .

Nous pouvons mettre 2 1x −( ) en facteur : 2 1 2 1 2 0x x−( ) −( )−⎡⎣ ⎤⎦ = , soit

2 1 2 3 0x x−( ) −( ) = .

Nous savons qu’un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :

2 1 0x − = ou 2 3 0x − = . Donc S =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

32

, .

� Nous pouvons mettre 2 1x +( ) en facteur :

2 1 1 3 7 0x x x+( ) − + +( ) = . c’est-à-dire 2 1 4 6 0x x+( ) +( ) = .

On obtient 2 1 0x + = ou 4 6 0x + = . Donc S = −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

32

, .

Déterminer 5 nombres entiers consécutifs dont la somme est 405.

Réponse :

Le plus simple est de noter x le nombre du milieu ; les deux précédents sont alors x

x x− −2 1 et et les deux suivants x x+ +1 2 .et Le nombre x doit alors vérifi er x

x x x x x−( )+ −( )+ + +( )+ +( ) =2 1 1 2 405, 5 405x = d’où x = 81.

Les 5 nombres cherchés sont donc 79, 80, 81, 82, 83. Il est aisé de vérifi er que ces

5 nombres répondent bien au problème.

Un arbre de 9 m de haut dont le pied est en A s’est cassé en B. La cime est tombée en C à 3,5 m de A. Calculer la distance AB.

Réponse :

Le triangle ABC est rectangle en A ; on peut donc appliquer la propriété de

Pythagore : BC AB AC2 2 2= + . Nous savons que AC = 3 5, ; notons x la distance x

AB, il en résulte que BC = −9 x. On peut alors écrire

9 3 52 2 2−( ) = +x x , . Pour résoudre cette équation,

on développe le premier membre :

81 18 12 252 2− + = +x x x , .

On retranche le deuxième au premier, ce qui donne :

68 75 18 0, − =x d’où x = 68 7518,

soit 27572

.

L’arbre s’est donc cassé à environ 3,82 m du sol.



A C

B

A C

B



Résoudre les équations suivantes

�xx

−+

=51

0 �xx

2 11

0−+

= . �2 3

5x x=

+.

Réponse :

� Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son

dénominateur est non nul.xx

−+

=51

0 équivaut à x − =5 0 et x + ≠1 0 soit :

x = 5 et x ≠ −1 soit : x =5.x

On a donc � = {5}.

�xx

2 11

0−+

= équivaut à : x 2 1 0− = et x + ≠1 0

x 2 1 0− = équivaut à x 2 21 0− = soit ( )( ) .x x+ − =1 1 0

( )( )x x+ − =1 1 0 x + =1 0 ou x − =1 0 soit :

x = −1 ou x = 1.

Par suite xx

2 11

0−+

= équivaut à x = 1 ou x = −1 et x ≠ −1.

L’équation n’a donc qu’une solution : � = {1}.

�2 3

5x x=

+ équivaut à

2 35

0x x

−+

= .

Mettons l’expression 2 35x x

−+

au même dénominateur.

2 35

2 55

35

105x x

xx x

xx x

xx x

−+

= ++

− ×+

= − ++

( )( ) ( ) ( )

.

− ++

=xx x

105

0( )

équivaut à − + =x 10 0 et x x( )+ ≠5 0 .

soit x = 10 et x x ≠ 0 et x ≠ −5.

On en déduit � ={10}.

La négation de la proposition logique x = 0 ou x = −5 est :x ≠ 0 et x ≠ −5.

Plus généralement, considérons deux propositions P et Q.

La négation de « P est vraie ou Q est vraie » et « P est faux et Q est faux ».

Par exemple, la négation de la proposition :

« L’interrupteur A est ouvert ou l’interrupteur B est ouvert » est

« L’interrupteur A est fermé et l’interrupteur B est fermé»


RemarqueRemarque



� Donner à l’aide de votre calculatrice sur l’intervalle [–3 ; 3] le nombre de

solutions de l’équation x x x( )− =1 .

� Résoudre algébriquement sur l’intervalle [–3 ; 3] l’équation x x x( )− =1 .

Réponse :

� Soit f x x x( ) ( )= −1 et g x x( ) .=Graphiquement, on constate que

les courbes représentatives des

fonctions f et f g sur ont deux points gcommuns. Sur [–3; 3], on lit donc

graphiquement que l’équation

x x x( )− =1 admet deux solutions

(qui semblent être voisines 0 et 2).

� L’équation � x x x( )− =1 est équival

ente à x x x( )− − =1 0 soit après

factorisation par x, x x x( )− − =1 1 0

soit x x( ) .− =2 0

Cette dernière équation équivaut à

x = 0 ou x = 2.

On a donc � = {0 ;2}.

Synthèse

� Résolution graphique d’équations

Équation f x = k( )

Soit f une fonction de courbef

représentative C.

Les solutions de l’équation f x k( ) =sont les abscisses des points

d’intersection de C et de la droite

d’équation y k= .


Ce serait une erreur de simplifier par x dans l’expression x x x( )− =1 pour obtenir x − =1 1 soit x = 2.

Les équations x x x( )− =1 et x − =1 1 ne sont pas équivalen-tes car elles n’ont pas le même ensemble de solutions.

Ce serait une erreur de simplifier par x dans l’expression x x x( )− =1 pour obtenir x − =1 1 soit x = 2.

Les équations x x x( )− =1 et x − =1 1 ne sont pas équivalen-tes car elles n’ont pas le même ensemble de solutions.

CC

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = k

a b2 3

x

y

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = k

a b2 3

x

y



Équation f x = g x( ) ( )

Soit f une fonction de courbe freprésentative C et g une fonction de gcourbe représentative C’.

Les solutions de l’équation f x g x( ) ( )=sont les abscisses des points d’intersection de C et C’.


On obtient une équation équivalente en réalisant l’une des opérations suivantes :� Ajouter la même quantité à chaque membre� Multiplier chacun des membres par un même nombre non nul.


� Tracer dans une fenêtre standard ( − ≤ ≤10 10x et − ≤ ≤10 10y ) à l’écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction f défi nie sur [ –10 ;10 ] par f

f x x x( ) .= + −2 2 3

� a) Résoudre graphiquement l’équation f x( ) .= 0b) Vérifi er par le calcul les solutions lues sur le graphique.

� a) Résoudre graphiquement l’équation f x( ) .= 5b) Vérifi er par le calcul les solutions lues sur le graphique.

f et g sont les fonctions défi nies sur � par : f x x x( ) ( )= −2 1 et

g x x( ) .= − +3 3

� Tracer à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions f et f g.

0

1

C

C’

1a b x

y

0

1

C

C’

1a b x

y

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

Propriété :

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

DD





� Conjecturer graphiquement les solutions de l’équation f x g x( ) ( ).=� Résoudre algébriquement l’équationf x g x( ) ( ).=

Voici quatre équations :

(E1) : 1 5 02− − =( )x (E2) : 3 1 02x x x− − =( ) .

(E3) : 2 4 2 0( )( )x x− + = (E4) : 2 3 5 4 0( )x x− + − =

� a) En développant mentalement (et partiellement) les membres de gauche,

déterminer la seule de ces équations qui ne comportent pas de terme en x 2.

b) Résoudre alors cette équation.

� a) Pourquoi l’équation (E3) équivaut elle à l’équation ( )( )x x− + =4 2 0 ?

b) Résoudre alors cette équation

� a) Pour les deux équations restantes, factoriser le membre de gauche.

b) Résoudre alors ces équations.

Résoudre les équations suivantes :

a) 3 9 2x x+ = +

b) 2 1 2 3( )x x− = +

c) 4 25 02x − = .

d) ( )( ) ( )( ) .x x x x+ − − + + =1 2 5 1 2 0

e) ( ) ( ) .2 1 2 02 2x x+ − − =

f)x x+ = −2

42

3.

g) x x x( ) .+ = +4 12

Se ramener à un quotient égal à 0, puis résoudre l’équation.

a)2 1

31

xx

−+

= b)−+

=21

3xx

c) 2 1

35

3x x+ = d)

71

2x x+

= .

Sur un écran de calculatrice, on représente les fonctions f etf g défi nies sur g �par :

f x x x( ) ( )= −2 11 et g x x( ) = −11.

� Résoudre graphiquement f x g x( ) ( ).=







� Résoudre algébriquement l’équation : f x g x( ) ( ).=

� Pourquoi la résolution graphique ne donne-t-elle pas les mêmes solutions que la résolution algébrique ?

� A l’aide de la calculatrice, construire les courbes représentatives des fonctions f et f g pour :g

− ≤ ≤1 5 11 5, ,x et − ≤ ≤30 70y .

La résolution graphique donne-t-elle cette fois le même ensemble de solutions que la résolution algébrique ?

Un carré est tel que si l’on augmente son côté de 3 cm, alors son aire augmente de 21 cm2.Calculer son côté.

Un martin pêcheur est perché sur une branche B lorsqu’il aperçoit un poisson dans la rivière ; il plonge directement sur lui et remonte ensuite se percher sur

une autre branche A.

� Déterminer la distance PM au cm près sachant que les distances AP et BP sont égales.

� Donner une solution géométrique pour déterminer la position du poisson.

Trouver 5 entiers consécutifs tels que la somme des carrés des deux plus grands d’entre eux soit égale à la somme des carrés des trois nombres restants.

Quel entier faut-il rajouter au numérateur et au dénominateur du nombre 37pour obtenir le double de ce nombre ?


5 m

10 m

PM N

I

3,5 m

A

B

5 m

10 m

PM N

I

3,5 m

A

B






Activités

Étude du signe d’un produit

� Rappel du signe d’un produit

a eta b désignent deux nombres réels. Compléter le tableau ci-dessousb

Signe de a + – + –

Signe de b – + + –

Signe de a b×

� Les facteurs dépendent de x : tableau de signesx

On va étudier le signe du produit ( )( )2 5 3x x+ − selon les valeurs du nombre réel x.

a) Faire le tableau de signe de 2 5x + et celui de 3− x .

b) Sans calcul, en lisant les tableaux de signe, donner pour x = 6 4, le signe

de 2 5x + et 3− x .

En déduire le signe de leur produit lorsque x = 6,4.x

Recommencer pour x =x 3 puis pour x = −3 7, .

c) On rassemble les deux tableaux de signe en un seul. Le Compléter.

x −∞ − 52

3 + ∞

Signe de 2x + 5x

Signe de 3− x

Signe de ( )( )2 5 3x x+ −

d) Compléter : ( )( )2 5 3x x+ − est strictement positif quand x................................( )( )2 5 3x x+ − est strictement positif quand x................................( )( )2 5 3x x+ − est strictement négatif quand x..............................

AA


4 Inéquations : résolution graphique et algébrique



Plan d’une maison

Un architecte doit créer une maison de hauteur 10 m formé d’un corps rectangulaire de largeur 2x mxet d’un toit en forme de triangle isocèle de hauteur x mètre.x

� Exprimer l’aire du rectangle et celle du triangle en fonction de x.

� a) Sur la calculatrice, construire les courbes représentant ces deux aires pour x appartenantxà ]0 ;10[ (bien choisir la fenêtre).

b) Trouver graphiquement une valeur approchée de x pour laquelle ces aires xsont égales ; déterminer x par le calcul.x

� Par lecture graphique, préciser toutes les valeurs de x pour lesquelles l’aire du xtriangle est supérieure ou égale à l’aire du rectangle.

� Comment peut-on retrouver ces valeurs par le calcul ?

Cours

� Résolution graphique d’une inéquation

Les fonctions f et f g sont représentées par les courbes C et C’ ; g k est un nombre kréel.

f (x) < k ExempleRésoudre l’inéquation f x( ) < 3Les solutions sont les réels de l’intervalle ]-0,5 ; 3,5[

Cas général

On trace la droite d’équationy = y k.

Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite d’équationy k= .

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = 3

–0,5 2 3 3,5

x

y

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = 3

–0,5 2 3 3,5

x

y


2x

x

10

2x

x

10

BB




Définition

Deux inéquations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.

f (x) > kExemple

f x( ) > 3

] ; , [ ] , ; [.− ∞ − ∪ +∞0 5 3 5

y k= .

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = 3

–0,5 2 3 3,5

x

y

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = 3

–0,5 2 3 3,5

x

y f (x) > kExemple

Résoudre l’inéquation f x( ) > 3

Les solutions sont les réels de

] ; , [ ] , ; [.− ∞ − ∪ +∞0 5 3 5

Cas généralOn trace la droite d’équationy =y k.

Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés au dessus de la droite d’équation

y k= .

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = 3

–0,5 2 3 3,5

x

y

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = 3

–0,5 2 3 3,5

x

y

f (x) < g(x)Exemple

0

1

C

C’

10,6 2,2 x

y

0

1

C

C’

10,6 2,2 x

y f (x) < g(x)Exemple

Les solutions sont les nombres réels de l’intervalle ]0,6 ;2,2[

Cas général

On cherche les points de C situés au dessous de C’.

On lit leurs abscisses. 0

1

C

C’

10,6 2,2 x

y

0

1

C

C’

10,6 2,2 x

y



3 6x > − est équivalent à x > −2.

Pour résoudre une inéquation quine se ramène pas à une inéquationdu premier degré, on la transformetoujours en une inéquation équiva-lente dont un des membres est nul.La résolution d’une inéquation seramène alors à une étude de signe.

À savoirPropriété :

On transforme une inéquation en une iné-quation équivalente :

� En développant ou factorisant certains de ses termes

� En ajoutant ou retranchant un même terme à chaque membre

� En multipliant ou divisant chaque mem-bre par un même nombre non nul– sans changer le sens de l’inégalité si ce

nombre est positif.– en changent le sens de l’inégalité si ce

nombre est négatif.


Résoudre les inéquations suivantes :

a) − + > − +2 312

x x b) 2 7

39

4x x+ < −

c) 5 2 1 3 1x x x− +( ) > + .

Réponse :

a) En retranchant le membre de droite aux deux membres, on obtient :

− + + − >2 312

0x x , soit − + >x52

0 et donc x < 52

.

Conclusion : S = −∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢, .

52

b) Par la même méthode, il vient 2 7

39

40

x x+ − − < , d’où ce qui équivaut à 5 55

120

x + < .

En multipliant les deux membres par 125

, on a x + <11 0 et donc x < −11.

Ainsi S = −∞ −⎤⎦ ⎡⎣, .11

c) Retranchons 3 1x + à chaque membre : 5 2 2 3 1 0x x x− − − − > , ce qui fait

− >3 0. L’inconnue x a disparu.

Comment interpréter ce résultat ?

N’oublions pas que l’inéquation initiale est équivalente à –3 > 0 qui est une affi rmation fausse quelle que soit la valeur de x. On peut donc affi rmer que

l’inéquation initiale n’est vraie pour aucune valeur de x. Conclusion : S = ∅

ExempleExemple




� Étudier le signe de l’expression − +

+x

x5

2

� En déduire les solutions dans � de l’inéquation − +

+<x

x5

20.

Réponse :

� On étudie le signe du quotient − +

+x

x5

2en étudiant le signe de son numérateur

et de son dénominateur et en appliquant la règle des signes.

− + >x 5 0 équivaut à x < 5.

x + >2 0 équivaut à x > −2.

Pour déterminer le signe du quotient, effectuons un tableau où apparaîtra le signe de chaque facteur.

Sur la ligne des x, on fait apparaître les valeurs apparus dans l’étude du signe xdes facteurs − +x 5 et x + 2 , à savoir 5 et −2 .

x −∞ –2 5 + ∞

Signe de –x + 5x + + 0 –

Signe de x+2 – 0 + +

Signe de − +

+x

x5

2

– + 0 –

� Le signe de− +

+x

x5

2 se lit dans la dernière ligne du tableau.

Nous pouvons supprimer les lignes intermédiaires qui nous ont permis de l’obtenir.

x – ∞ −2 5 + ∞

Signe de − ++

xx

52

– + 0 –

Nous lisons en deuxième ligne que − ++

xx

52

<0 si et seulement si x appartient x

à l’intervalle ]–∞ ; –2[ ou à l’intervalle ]5 ;+∞[.

On en déduit que l’inéquation − ++

xx

52

<0 admet pour ensemble de solution :

𝒮 = −∞ − ∪⎡⎣ ⎤⎦ +∞⎤⎦ ⎡⎣; ; .2 5


Le dénominateur d’un quotient doit être dif-férent de 0, donc ici x ≠ 2.

La double barre à la dernière ligne du tableau indique que −2 est une « valeur interdite ».

Le dénominateur d’un quotient doit être dif-férent de 0, donc ici x ≠ 2.

La double barre à la dernière ligne du tableau indique que −2 est une « valeur interdite ».



Résoudre dans � l’inéquation 3

21 0

x −− < .

Réponse :Appliquons le savoir faire donné ci-dessus.

Il faut donc se ramener à une inéquation équivalente dont l’un des membres est nul.

Pour cela, retranchons 1 aux deux membres de l’inéquation.

On obtient3

21 0

x −− < .

Nous pouvons alors poursuivre en écrivant que 122

= −−

xx

(mise au même

dénominateur)

Il vient :3

222

0x

xx−

− −−

< soit3 2

20

− +−

<xx

soit− +

−<x

x5

20.

Le problème revient donc à l’étude de signe que nous avons effectuée dans l’exercice précédent.

On en déduit l’ensemble des solutions de l’inéquation 3

21

x −< est :

� = − ∞ − ∪ +∞] ; [ ] ; [.2 5

Synthèse

InéquationsRésolution graphique

Soit f une fonction défi nie sur f � , de courbe représentative C.

k désigne un nombre réel.k

Les solutions de l’équation f x k( ) < sont les

abscisses des points de C situés au dessous

de la droite d’inéquation y =y k.

Ci contre 𝒮 = ⎤⎦ ⎡⎣a b; .

Les solutions de l’inéquation f x k( ) > sont

les abscisses des points de C situés au dessus

de la droite d’équation y k= .

Ci contre � = − ∞ ∪ +∞] ; [ ] ; [.a b


CC

0

C

1

y = k

ba

x

y

0

C

1

y = k

ba

x

y



Soit f une fonction de fcourbe représentative Cet g une fonction de cour-gbe représenta-tive C’.

Les solutions de l’iné-

quation f x g x( ) ( )<sont les abscisses des

points de C situés au

dessous de C’.

Ci contre � = ⎤⎦ ⎡⎣a b; .

Résolution algébrique

On peut toujours se ramener à une étude de signe grâce à des inéquations équivalentes.


Dans un repère, � est la courbe représentative d’une fonction f défi nie sur [-4 ;4]. f

Résoudre graphiquement les inéquations

� f x( ) .≥ 1

� f x( ) .> 0

� f x( ) .≤ −1

� f x( ) .> −3

0

1

C

C’

1a b x

y

0

1

C

C’

1a b x

y

Ne pas oublier de changer le sens de l’inégalité si vous multiplier ou diviser

les deux membres d’une inéquation par un nom-bre réel strictement négatif.

Ne pas oublier de changer le sens de l’inégalité si vous multiplier ou diviser

les deux membres d’une inéquation par un nom-bre réel strictement négatif.

CC


0

1

1 2–1–2–3–4 3 x

y

–1

–2

–3

�

0

1

1 2–1–2–3–4 3 x

y

–1

–2

–3

�



Dans un repère, � est toujours la courbe représentative d’une fonction f défi nie sur f[-4 ;4].

On considère la fonction affi ne g restreinte à gl’intervalle [-4 ;4 ] représentée ci-contre.

Résoudre graphiquement les inéquations

� f x g x( ) ( ).≥

� f x g x( ) ( ).>

� f x g x( ) ( )<

Résoudre dans � les inéquations

� − + < +2 3 4x x � 3 2 4x x x− − <( ) .

� 23

8 0x + < � 2 5

32 3

7x x− ≤ −

.

x – ∞ −2 7 + ∞

Signe de f x( ) – + 0 –

Voici le tableau de signes d’une fonction f x( ).

� Quelle est la valeur pour laquelle :

a) On ne peut pas calculer f x( ).

b) f x( ) s’annule

� Donner le signe de

a) f ( )0 b) f ( )−100 c) f ( ).5 3

� Dans chaque cas, compléter par >, <, ≥ , ≤ .

a) Pour x <x −2 , f x( )...... ;0

b) Pour − < <2 7x f x( )...... ;0

c) Pour x ≥ 7 f x( )...... ;0

d) Pour − < ≤2 7x f x( )...... .0


0

1

1 2–1–2–3–4 3 x

y

–1

–2

–3

�

0

1

1 2–1–2–3–4 3 x

y

–1

–2

–3

�





a) Étudier le signe de ( )( )2 1 3x x− −

b) Étudier le signe de x

x+

−4

3 2.

� Résoudre l’inéquation

( )( ) .5 3 4 0x x− − >

� Vérifi er avec une calculatrice.

� a) Démontrer que x x x2 24 3 2 1− + = − −( ) .

b) En déduire la forme factorisée de x x2 4 3− + .

c) Construire le tableau de signe de l’expression

( )( ).x x− −1 3

d) En déduire les solutions de l’équation :

x x2 4 3 0− + > .

e) Indiquer la démarche permettant de vérifi er ce résultat à la calculatrice.

� Sur la figure ci-contre, ABCD et BEFG sont des carrés. Déterminer les réels positifs x tels que la xsomme des aires de ces deux carrés soit strictement supérieure à 10.

Résoudre dans � les inéquations :

� x

x+−

≥13

0 � −

−≥5

2 70

2x

x( ). �

xx

+−

<45

2.

Un particulier a des marchandises à faire transporter. Un premier transporteur lui demande 460€ au départ et 3,5€ par km. Un second transporteur lui demande 1000€ au départ et 2€ par kilomètre.

Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s’adresser au second transporteur ?

Pour quelles valeurs de x l’aire d’un carré, de côté x x est-elle inférieure à l’aire d’un xtrapèze, de hauteur x et dont les deux bases ont pour longueur respectives x x et 3 ?x

Quels sont les nombres réels dont le double est strictement supérieur au cube ?




B E

C

4

D

A

x

G F

B E

C

4

D

A

x

G F







Prérequis

� Division euclidienne

� L’ensemble � des entiers naturels est formé des nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4, etc.

� Si on adjoint à l’ensemble � tous les opposés des entiers naturels 0 ; −1;–2; –3; –4; etc. on forme l’ensemble � des entiers relatifs qui comprend entre

autres, ...; ; ...; ; ; ; ; ; ; ; ...; ; ...− − − −17 3 2 1 0 1 2 3 19

La division de 30 par 7 se pose de la manière suivante :

4

7

2

30

dividende

reste

diviseur

quotient

La division euclidienne de 30 par 7 s’écrit 30 7= × +4 2 .Le reste (ici 2) doit être strictement inférieur au diviseur (ici 7).

Définition

De manière générale, étant donnés deux entiers naturels A et B, il

n’y a qu’une seule façon d’écrire A BQ R= + avec 0 ≤ <R B (Q et R

doivent être des entiers naturels).Cette écriture s’appelle la division euclidienne de A par B.A s’appelle le dividende, B le diviseur, Q le quotient, R le reste.

� Divisibilité

Définition

Lorsque le reste de la division euclidienne de A par B est égal à zéro

on dit que B est un diviseur de A ou que B divise A ou encore que A

est divisible par B.

AA

RappelsRappels

5 Algorithmique



� 7 est un diviseur de 35 puisque 35 7 5 0= × + .

� 1 et 5 sont d’autres diviseurs de 35 puisque 35 1 35 0= × + et que

35 5 7 0= × + .� Les nombres 1; 2; 3; 4; 6; 12 sont des diviseurs de 12.

� Partie entière d’un réel positifPour la réalisation de certains algorithmes dans la suite du cours, lorsque nous disposerons d’un nombre réel positif, il sera utile d’utiliser la notation ent(f a) apour parler du nombre obtenu en enlevant les chiffres après la virgule dans

l’écriture décimale de a ≥ 0.

ent(3,9) = 3 ; ent(7,1) = 7 ; ent(12) = 12

L’étude de la partie entière des nombres réels strictement

négatifs est plus délicate. Nous ne l’aborderons pas ici.

Pour calculer la partie entière de 8 01, :

� Avec la calculatrice Texas Instrument TI82 stats.fr, on entre

ent(8.01) (ent se trouve dans le menu MATH)

� Avec la calculatrice Casio Graph 25+, on entre

Int(8.01) (Int se trouve dans MENU OPTN NUM)

� Avec le tableur CALC d’OPEN OFFICE, on entre dans une cellule la formule =ENT(8,01)

Introduction au langagede programmation

Il s’agit ici de présenter les mots à écrire dans une machine (calculatrice, ordinateur) afi n de traduire un algorithme sous une forme qui pourra être comprise par la machine. Ainsi, une fois la traduction faite, une personne désireuse de faire fonctionner l’algorithme n’aura qu’à préciser à la machine l’Entrée pour que cette dernière réponde automatiquement la e Sortiecorrespondante.

ExemplesExemples

ExemplesExemples

ExemplesExemples

�

Remarque

Un nombre réel positif est entier (autre-Un nombre réel positif est entier (autre-ment dit, il appartient àment dit, il appartient à � ) si et seule-) si et seule-ment s’il est égal à sa partie entière.ment s’il est égal à sa partie entière.

Remarque

BB



� Calculatrices

A. TI82 stats.fr (Texas Instrument)

Nous allons écrire un programme dans le langage de la calculatrice TI82 stats.fr de l’algorithme suivant :

ENTRER X

DANS A METTRE X 2

DANS B METTREB 3× X

DANS C METTREC A B+ − 7

AFFICHER C

(Cet algorithme calcule l’image du nombre x par la fonction x f x x x( ) = + −2 3 7 ).

Nous allons commencer par créer un nouveau programme

Touche de la calculatrice

Affi chage Commentaires

PRGM

Un menu en bandeau comportant3 choix : EXEC EDIT NOUV

Utiliser les fl èches � et � pour se déplacer dans ce menu.Pour quitter ce menu utilisez la fonction QUITTER (touches 2NDE MODE).

�Le deuxième choix EDIT du menu est sélectionné

Pour éditer un programme déjà créé, c’est-à-dire pour modifi er le contenu de ce programme.

� Le troisième choix NOUV du menu est sélectionné

Pour créer un nouveau programme.

ENTRERPROGRAMMENom =

On a validé le choix sélectionné (NOUV). La calculatrice attend que l’on donne un nom au nouveau programme.

2ND

Le curseur clignotant affi che un « A »

Pour bloquer le clavier en mode alphabétique.

ALPHA

F Les lettres de l’alphabet sont écrites au dessus des touches du clavier

C

T

ENTRER

PROGRAM : FCT:

Pour valider le nouveau nom donné au programme.La calculatrice attend alors la saisie de la première ligne du programme

Vocabulaire

La traduction d’un algorithme dans La traduction d’un algorithme dansle langage de la calculatrice s’appelle le langage de la calculatrice s’appelleun programme de l’algorithme.un programme de l’algorithme.

Vocabulaire



Il nous faut maintenant saisir le programme proprement dit. Voici ce que vous devez saisir :Prompt X

X A^ 2→3∗ →X BA B C+ − →7

Disp C

Plus généralement voici des indications pour effectuer la saisie d’un programme.

Le symbole → s'obtient par la touche STO→

Touche de la calculatrice

Affi chage Commentaires

Instructions d’Entrée / Sortie

PRGM � 2 Prompt

C’est la 2ème instruction du sous-menu E/S (Entrée/Sortie) des instructions disponibles dans un programme (PRGM). Son rôle est de demander à l’utilisateur du programme d’entrer une valeur. Cette valeur sera stockée dans la variable X si on a tapé Prompt X

PRGM � 3 DispC’est la 3ème instruction du sous-menu E/S.Son rôle est d’affi cher le contenu de la variable qui suit. Par exemple, Disp C affi che le contenu de la variable C C.

Instructions de contrôle

PRGM 1 IfC’est la 1ère instruction du sous-menu CTL (contrôle).Son rôle sera expliqué plus loin. (séquence 4)

PRGM 2 Then idem

PRGM 3 Else idem

PRGM 4 For idem

PRGM 5 While idem

PRGM 7 End idem

PRGM D prgmPour exécuter les instructions d’un autre programme déjà créé.Le nom du programme est donné à la suite.

PRGM E ReturnPour revenir au programme appelant.(nécessite, au préalable, l’exécution d’une instruction prgm décrite ci-dessus).



Instructions de tests logiques

2NDE MATH

Un menu en bandeau comportant 2 choix : TEST LOGIQUE

Ce sont les items du premier choix (TEST) qui sont présentées ici.

2NDE MATH 1 = Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 2 ≠ Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 3 > Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 4 ≥ Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 5 < Effectue un test entre deux quantités

2NDE MATH 6 ≤ Effectue un test entre deux quantités

Une fois le programme précédent mémorisé dans la calculatrice TI82 stats.fr, quittons l’édition du programme par la fonction QUITTER (touches 2NDE MODE ).

Plaçons-nous du point de vue de l’utilisateur pour le faire fonctionner.

Voici la démarche : PRGM , � ou � puis ENTRER . Pour l’utilisateur le déroulement du programme se réduit à l’Entrée de e X (par Xexemple, à la question X=?, on entre le nombre 2) puis à l’affi chage de la Sortie (le nombre 3 dans notre exemple car f ( )2 2 3 2 7 32= + × − = ). Les calculs intermédiaires n’apparaissent pas.

� Écrire un programme de l’algorithme suivant dans le langage de la TI82 stats.frENTRER X

DANS A METTRE X +1 DANS B METTRE X − 2

DANS C METTREC A B/AFFICHER C

� Tester ce programme avec X = −6puis avec X = 2 . Que se passe-t-il ?Pourquoi ?

Réponse :� PROMPT X

X A+ →1X B− →2

A B C/ →DISP C

Exemple 1Exemple 1

La touche − s’utilise pour la soustraction alors que pour l’opposé on utilise la touche ( )− .

La touche − s’utilise pour la soustraction alors que pour l’opposé on utilise la touche ( )− .



� Avec X = −6 le programme affi che 0.625. Avec X = 2 la variable B est égale Bà zéro; l’opération A B/ ne peut donc se faire ce qui explique l’erreur obtenue par la machine.

B. Graph 25 + (Casio)

Si vous avez ce modèle de calculatrice, nous vous indiquons, ici, les spécifi cités de la calculatrice Graph 25+ afi n que vous puissiez reprendre les notions vues au paragraphe précédent.

Par la touche Menu puis le choix PRGM qu’on valide à l’aide de EXE on peut � Créer un nouveau programme par la touche F3 (choix NEW du bandeau) puis

le nom du programme et enfi n EXE.� Éditer un programme déjà créé par la touche F2 (choix EDIT du bandeau) puis

EXE. On quitte l’édition du programme par la touche QUIT.� Exécuter un programme déjà créé par la touche F1 (choix EXE du bandeau)

puis EXE, à condition d’être passé en mode RUN auparavant (par la touche MENU puis le choix RUN).

TI82 stats.fr Graph25+ Commentaires

Prompt X ?→X le ? s'obtient par SHIFT, VARS, Ñ, F1

Disp X Xy le y s'obtient par SHIFT, VARS,Ñ, F2

If If SHIFT, VARS, F1, F1

Then Then SHIFT, VARS, F1, F2

Else Else SHIFT, VARS, F1, F3

While While SHIFT, VARS, F1, Ñ,Ñ, F1

EndIfEnd ouWhileEnd

IfEnd s'obtient par SHIFT, VARS, F1, F4WhileEnd s’obtient par SHIFT, VARS, F1, Ñ, Ñ, F2

Une fois éditer le programme de l’exemple 1 du paragraphe précédent on obtient :

? → XX+1→ AX – 2 → BA / B → CC y

� Tableur

Nous utilisons, ici, le tableur CALC d’OPEN OFFICE.

Une feuille de calcul du tableur CALC d’OPEN OFFICE est un tableau dans lequel on repère chaque colonne par une lettre (A; B; C; etc.) et chaque ligne par un nombre (1; 2; 3; 4; etc.).



La case du tableau située sur la colonne B et sur la ligne 3 s’appelle la cellule B3.Dans chaque cellule, on peut entrer un nombre, une formule ou une chaine de caractères.Pour entrer un nombre il suffi t de saisir sa valeur. Une formule doit commencer par le caractère réservé = (égal). Une chaine de caractère doit être entourée du caractère « (guillemets) comme par exemple «Tout fl atteur vit aux dépens de celui qui l’écoute».

Dans la cellule A1 on a saisi le nombre 492. Dans la cellule A2 on a saisi la formule =A1+5 puis la touche ENTRER . Instantanément, la valeur du résultat s’affi che : dans la cellule A2, on peut lire 497. Si l’on souhaite modifi er la formule on appuie sur la touche F2 .

A B C validationpar la touche

ENTRÉE .

A B C

1 492 =A1+5 1 492 497

2 2

Lorsqu’on modifi e le nombre dans la cellule A1, le résultat de la cellule A2 change puisque la formule =A1+5 fait référence au contenu de la cellule A1.

On considère la feuille de calcul suivante :

� On souhaite affi cher dans la cellule C1 le résultat du calcul 3 – 2 dans le premier cas et du calcul 7 – 4 dans le second cas. Quelle (même) formule doit-on saisir dans la cellule C1 ?

� On suppose avoir rentré un nombre x dans la cellule A1 et un nombre x y dans yla cellule B1.a. Quelle formule écrite dans la cellule D1 affi chera le résultat de x y+ ?

b. Quelle formule écrite dans la cellule E1 affi chera le résultat dex yx y

−+

?

Réponses :� On peut saisir, dans la cellule C1, la formule =A1+B1

� a. On peut saisir, dans la cellule D1, la formule =A1–B1.

b. Dans la cellule E1, on peut saisir la formule =C1/D1.

C. Instruction conditionnellePromotion sur le riz completDans un magasin d’aliments biologiques les céréales sont vendues au poids. Le riz complet est à 10€ le kilogramme. Lorsque le poids de riz acheté dépasse 2kg, le riz supplémentaire acheté est au prix de 5€ le kg. On a représenté ci-dessous le prix p (en €) d’un poids p x (en kg) de riz complet dans ce magasin :x

ExempleExemple

Exemple 2Exemple 2

ExempleExemple



0

1

1

2 3

prix (€)

poids (kg)

23456789

1011121314151617181920212223242526272829303132

Pour le calcul du prix d’un poids de x kg de riz complet nous devons x- décider si x < 2 ou si x ≥ 2- pour le choix précédent, tenir compte du fait que le prix p est une fonction affi ne

du poids x.Un moyen de calculer p(pp x) est, au préalable, de tester la condition xx x < 2 .L’algorithme suivant regroupe les deux cas :

Entrée ENTRER xTraitement SI x < 2

ALORS

DANS p METTREp 10 × x SINON

DANS p METTREp 5 10× +x fi n du SI

Sortie AFFICHER p

Cet algorithme peut se transcrire dans le langage de la calculatrice par le programme :

TI82 stats.fr (Texas Instrument) Graph 25 + (Casio)PROGRAM : RIZ:Prompt X:If X<2:Then:10*X→P:Else:5*X+10→P:End:Disp P

= RIZ =?→X8If X<2yThen 10 × X→P8Else 5 × X+10→P8IfEnd8Py

Remarque

Sur la Graph 25+, le signe < s’ob-Sur la Graph 25+, le signe < s’ob-tient par SHIFT, VARS,tient par SHIFT, VARS, ÑÑ,, ÑÑ, F1 , F1(Menu REL).(Menu REL).

Remarque



Faites fonctionner ce programme avec les valeurs 0,5; 1; 1,9; 2; 2,1; 4.

Réponse

À chaque exécution du programme l’utilisateur rentre une valeur pour X puis la machine teste si la condition X < 2 est vérifi ée.

� Si X < 2, il effectue les instructions placées entre le Then et len Else puis ecelles situées après le End. Dans l’exemple présent, après que la machine dait constatée que la condition X < 2 soit bien vérifi ée elle effectue les deux instructions : 10 – X → P puis Disp P.

C’est le cas pour les trois valeurs de X suivantes :

� Si X ≥ 2 alors le programme effectue les instructions situées entre le Else et ele End puis celles situées après le End. Dans l’exemple présent, après que la dmachine est constatée que la condition X < 2 n’est pas vérifi ée elle effectue les deux instructions : 5 × X + 10 → P puis Disp P. C’est le cas pour les trois valeurs de X suivantes :

A l’aide d’une feuille de calcul du tableur CALC

d’OPEN OFFICE on peut faire fonctionner le même algorithme, en plaçant la valeur voulue de X dans la cellule A1 et la formule =SI(A1<2; 10*A1; 5*A1+10) dans la cellule A2. Cette formule (qui débute toujours par le signe égal) utilise la fonction SI du tableur. La syntaxe de la fonction SI est SI(condition ;n résultat1 ; résultat 2). Le 22résultat de la fonction SI est égal à résultat1lorsque condition est vraie et est égal à n résultat2lorsque condition est fausse.n

� A l’aide d’une structure conditionnelle If… Then… Else… End, écrire un programme pour la TI 82 stats.fr dont la Sortie est la chaine de caractères «POSITIF», e«NEGATIF» ou «NUL» selon que l’Entrée x vérifi e x > 0 , x < 0 ou x = 0 .

� Donner la démarche à suivre pour obtenir le même résultat à l’aide du tableur CALC d’OPEN OFFICE.

ExerciceExercice

Remarque

PourPour traduire la phrase SI… ALORS… SINON…traduire la phrase SI… ALORS… SINON…fin du SI nous avons eu recours à de nouveaux fin du SI nous avons eu recours à de nouveaux termes du langage appelés termes du langage appelés instructions condi-instructions condi-tionnellestionnelles. Pour la TI82 stats.fr, ces instructions se. Pour la TI82 stats.fr, ces instructions secomposent d’une structure de la forme :composent d’une structure de la forme : IfIf condi-condi-tion :tion : ThenThen opération1 :opération1 : ElseElse opération2 :opération2 : EndEndPour le tableur, on peut utiliser dans une formulePour le tableur, on peut utiliser dans une formulela fonction la fonction SISI(condition; résultat1; résultat2) qui(condition; résultat1; résultat2) quirenvoie un résultat.renvoie un résultat.

Remarque

Exemple 3Exemple 3



Réponses

TI82 stats.fr (Texas Instrument) Graph 25 + (Casio):PROMPT X:If X > 0:Then:”POSITIF” → S:Else:If X < 0:Then:"NEGATIF" → S:Else:"NUL" → S:End:End:DISP S

?→X ↵

If X>0 ↵

Then "POSITIF"→S ↵

Else If X<0 ↵

Then " NEGATIF "→S ↵

Else "NUL"→S ↵

IfEnd ↵

IfEnd ↵

S

� Le contenu de la cellule A1 (qui doit être un nombre réel) entré par l’utilisateur joue le rôle de la variable X du programme précédent. Procédons par étapes :

� Occupons-nous dans un premier temps du cas où le nombre placé dans la cellule A1 est un nombre positif ou nul. On peut saisir dans la cellule A2 la formule suivante= SI(A1>0; «POSITIF»; «NUL»)On pourra alors lire dans la cellule A2 le mot POSITIF si le nombre placé dans la cellule A1 est strictement positif et le mot NUL si le nombre placé dans la cellule A1 est égal à zéro.

� Si le nombre placé dans la cellule A1 est strictement négatif la cellule A2 affi che « NUL ». Sinon, elle affi che le résultat demandé. Pour prendre en compte ces deux alternatives on peut saisir, dans la cellule A3, la formule suivante= SI(A1<0; «NEGATIF»; A2)

Dans tous les cas, la cellule A3 affi che le résultat demandé.

Une manière synthétique d’écrire les choses est d’entrer directement dans la cellule A2 la formule suivante

= SI(A1<0; «NEGATIF»; SI(A1>0; «POSITIF»; «NUL»))

Avec cette solution, le résultat escompté s’affi chera dans la cellule A2.

On considère l’algorithme suivant :Entrée ENTRER A (1)Traitement SI A < 10 (2)

ALORS (3) DANS B METTREB A (4) DANS C METTRE 10 (5)C DANS D METTRED B+B C (6) SINON (7) DANS B METTREB A/10 (8)AA DANS D METTRE ent(D B) (9)BB fi n du SI (10)

Sortie AFFICHER D (11)

Remarque

Sur la Graph 25+, le Sur la Graph 25+, lesymbole “ (guille-symbole “ (guille-mets) s’obtient par mets) s’obtient parALPHA, F2.ALPHA, F2.

Remarque

��

Exemple 4Exemple 4



� Faire fonctionner cet algorithme avec A = 6; A A = 162,6.A

� Que se passe-t-il si on déplace l’instruction fi n du SI (située à la ligne 10) Ia. entre les lignes 8 et 9 ?

b. après la ligne 11 ?

Réponse� Pour A = 6 Pour A = 162,6

A B C D A < 10 ? A B C D A < 10 ?

6 Entrée 162,6

Traitement

oui non

6 16,26

1016

16

Sortie 16 16

� a. Si on déplace l’instruction fi n du SI (située à la ligne 10) entre les lignes 8 Iet 9 ceci a pour effet l’exécution, dans tous les cas, de l’instruction DANS D METTRE ent(D B). BB

Le tableau de fonctionnement est le même pour A = 162,6. Pour A = 6, il devient

A B C D A < 10 ?

Entrée 6

Traitement

oui

6

10

16

6

Sortie 6

� b. Si on déplace l’instruction fi n du SI (située à la ligne 10) après la ligne 11 Iceci a pour effet, dans le cas où la condition A < 10 est vraie, de ne plus AFFICHER D.

Les tableaux de fonctionnement sont les mêmes et le contenu des variables (en particulier celui de la variable D en sortie) est le même.

� Une structure If… Then… Else… End commence nécessairement par l’instruc-tion If. La première instruction Then qui la suit dans le programme est relative à cet If. Ensuite, la première instruction Else (qui est facultative) qui suit est aussi relative à la structure If… Then précédente. Enfin, la première instruction End qui suit est aussi relative au plus proche Then qui la précède.

� Sur le TI82 stats.fr, un retour à la ligne peut être remplacé par le symbole : (2 points).�

Remarque



D. Exercices d’apprentissage

On s’intéresse à l’algorithme suivant.Entrée ENTRER a et a b (nombres réels)

DANS c METTRE a b× DANS s METTREs 1

SI c < 0 ALORS DANS s METTREs −1 SINON

SI c = 0 ALORS DANS s METTRE 0s Fin du SI Fin du SI

Sortie AFFICHER s

� Faites fonctionner cet algorithme avec les entrées

i. a = 6; a b = 0,5ii. a = – 6; a b = – 0,5iii. a = 6; a b = – 0,5iv. a = – 6; a b = 0,5

� Que fait cet algorithme ?

� Le tableur ou la calculatrice propose une fonction ABS (Menu Math-Num pour la Ti-82 et menu OPTN-NUM pour la Casio graph 25). En cherchant ABS (x) xxpour quelques valeurs du réel x, proposer une description de cette fonction.x

� On considère l’algorithme suivant.

Entrée ENTRER a et a b (nombres réels)

DANS c METTRE ( )) /a b a b+ − −ABS( 2Sortie AFFICHER c

a) Que fait cet algorithme ?

b) Sans utiliser les opérations usuelles ( , , , )+ − × ÷ écrire un algorithme effectuant la même chose que l’algorithme précédent.

� Ecrire un programme de l’algorithme de l’exercice 33b) précédent pour calculatrice.

� Faire la même chose pour le tableur.

Le retour du cyclisteDans l’exercice 29 de la séquence 1 nous avons étudié la distance parcourue par un cycliste en fonction du temps écoulé depuis son départ.







0 1 2 t (en heures)

d (en km)

E

10

20

30

40

50

60

70

80

Le trajet du cycliste peut se découper en 4 phases correspondant aux intervalles

de temps 0 1;⎡⎣ ⎤⎦ , 11 5; ,⎡⎣ ⎤⎦ , 1 5 2, ;⎡⎣ ⎤⎦ , 2 3;⎡⎣ ⎤⎦ .

Sur chacun de ces intervalles la distance parcourue d est une fonction affi ne du temps écoulé t puisque sur chaque intervalle la courbe de cette fonction est un tsegment de droite. On admet que :

- Si t ∈[ ; [0 1 alors : d (d t ) = 30t ;

- Si t ∈[ ; , [11 5 alors : d (d t ) = 10t + 20;

- Si t ∈[ , ; [1 5 2 alors : d (d t ) = 35 ;

- Si t ∈[ ; ]2 3 alors : d (d t ) = 40t - 45.

Compléter l’algorithme pour qu’il donne en sortie la distance D parcourue à l’instant T (T en entrée).

Entrée ENTRER T

SI T<1 ALORS D = 30*T SINON

SI T<1 5, ALORS •

••

Sortie AFFICHER D



Expressions algébriques

Deux méthodes pour factoriser :

Facteur commun et la formule k(a + b) = ka + kb

Les identités remarquables :

(a + b) = a + 2ab+ b

(a – b) = a – 2ab+ b

(a + b)(a – b) =

2 2 2

2 2 2

aa – b .2 2

� Équations

Résolution graphique d’équations

Il est très important pour la suite de bien savoir utiliser sa calculatrice. Revoyez au besoin les pages consacrées en début de chapitre 3 au maniement de modèles les plus courants pour les savoir faire les plus importants concernant la représentation graphique d’une fonction ou l’obtention d’un tableau de valeurs.

Équation f x = k( )

Soit f une fonction de courbefreprésentative C

Les solutions de l’équation f x k( ) =sont les abscisses des pointsd’intersection de C et de la droite d’équation y k= .

Équation f x = g x( ) ( )Soit f une fonction de courbe représentative C et f g une fonction de courbe greprésentative C’.

AA

expression algébrique exdévelopper⎯ →⎯⎯⎯⎯ somme ppression algébrique factoriser⎯ →⎯⎯⎯⎯ produitexpression algébrique exdévelopper⎯ →⎯⎯⎯⎯ somme ppression algébrique factoriser⎯ →⎯⎯⎯⎯ produit

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = k

a b2 3

x

y

0

1

–1

2

3

C

4

1

y = k

a b2 3

x

y

6 Synthèsede la séquence



Les solutions de l’équation f x g x( ) ( )=sont les abscisses des pointsd’intersection de C et C’.

Résolution algébrique

On obtient une équation équivalenteen réalisant l’une des opérations suivantes :� Ajouter la même quantité à chaque

membre� Multiplier chacun des membres par

un même nombre non nul.

Propriété :

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

� Inéquations

Résolution graphique

Soit f une fonction défi nie surf � , de courbe

représentative C.

k désigne un nombre réel.k

Les solutions de l’équation f x k( ) < sont

les abscisses des points de C situés au

dessous de la droite d’inéquation y = y k.


Les solutions de l’inéquation f x k( ) >sont les abscisses des points de C situés

au dessus de la droite d’équation y k= .

Ci contre � = − ∞ ∪ +∞] ; [ ] ; [.a b

0

1

C

C’

1a b x

y

0

1

C

C’

1a b x

y

0

C

1

y = k

ba

x

y

0

C

1

y = k

ba

x

y



Soit f une fonction de f

courbe représentative C

et g une fonction de g

courbe représentative C’.

Les solutions de l’iné-

quation f x g x( ) ( )<sont les abscisses des

points de C situés au

dessous de C’.


Résolution algébriqueOn peut toujours se ramener à une étude de signe grâce à des inéquations équivalentes.

0

1

C

C’

1a b x

y

0

1

C

C’

1a b x

y

Ne pas oublier de

si vous

multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre réel strictement

.

Ne pas oublier de changer le sens de changer le sens del’inégalitél’inégalité si vous

multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre réel strictement négatifnégatifff.



Les dimensions sont données en cm ; l’unité d’aire est le cm2.

a eta b désignent deux réels positifs tes que b a b> .ABCD est un rectangle tel que AB=a et AD=a b.M est le point de la demi-droite [DC], à l’extérieur du segment [DC] tel que CM=CB.

� est le cercle de diamètre [DM] et de centre O ; il coupe la demi-droite [CB) en N et CNEF est un carré avec F sur le segment [DC].Comparer les aires du rectangle ABCD et du carré CNEF.

� Supposons qu’une très grande fi celle fasse le tour de la terre sur l’équateur(longueur 40 000 000 m). On allonge la fi celle de 1 mètre et on la soulève au dessus du sol, uniformément, de façon à former une nouvelle circonférence. A quelle hauteur au dessus du sol sera la fi celle ainsi alongée ?

� Reprendre le même problème avec une balle de ping-pong.

Les superfi cies de deux jardins carrés diffèrent de 136 m2. Le côté du plus grand mesure 4 m de plus que le côté de l’autre. Calculer la surface de chaque jardin.

Le nombre de diagonales d’un polygone convexe de n (n n ≥ 4 ) côtés est :n n( )

.− 32

� Vérifi er cette formule pour un quadrilatère convexe� Combien existe-t-il de polygones dont le nombre de diagonales est égale au

nombre de côtés ?

En voiture sur une route de montagne, Michel a parcouru 1 008 km en deux étapes. La parcours total a duré 21 heures. La première étape a été effectuée à la vitesse moyenne de 56 km.h-1, la seconde à la vitesse moyenne de 42 km.h-1.Déterminer la longueur de chaque étape.

C’est en l’an 78 avant Jésus-Christ. Deux capitaines de César ont disposé les hommes de leur légion en deux carrés parfaits pour les faire défi ler sur le forum.Les effectifs de ces deux légions différent de 217 hommes. La plus nombreuse a sept rangées de soldats de plus que l’autre. Quel est l’effectif total de ce corps d’armée de César ?

On dispose d’une feuille de format A4 dont les dimensions sont 21 × 29,7 cm.

Exercice IExercice I

Exercice IIExercice II

Exercice IIIExercice III

Exercice IVExercice IV

Exercice VExercice V

Exercice VIExercice VI

Exercice VIIExercice VII

7 Exercicesd’approfondissement



Avec cette feuille, on veut construire une boîte sans couvercle. Pour cela, dans chacun des angles de cette feuille, on découpe un carré de côté x, puis on plie la xfeuille afi n d’obtenir une boîte de hauteur x.En utilisant la calculatrice, vérifi er qu’il est possible d’obtenir ainsi une boîte de volume égal à 1000cm3. Déterminer un encadrement à 0,1 près de chacune de ces deux valeurs de x.

x

x

x

Sur le graphique ci-contre, on a représenté sur l’intervalle [-4 ; 4], les courbes représentatives des fonctions f et f g défi nie surg � par :

f x x x x( ) ( )( )= − + −2 72

et g x x( ) .= −4 2

� Déterminer algébriquement les abscisses des points d’intersection des deux courbes.

� Résoudre graphiquement sur [–4 ;4 ] les inéquations :

a) f x g x( ) ( )< b) g x f x( ) ( ).<

f et g sont les fonctions défi nies surg � par :

f x x( ) = 2 et g x x( ) , ,= −1 9 0 9 .

Ci-contre, on a dessiné à la calculatrice les courbes représentatives � et d des fonctions f etf g.

� a) Comparer f ( , )0 91 et g( , )0 91 .

b) Le résultat est contraire aux apparences. Pourquoi ?

� Vérifi er que, pour tout réel x,

a) f x g x x x( ) ( ) ( )( , ).− = − −1 0 9

b) En déduire le signe de

f x g x( ) ( )− selon les valeurs

du réel x et la position de x d par rapport à d � .

Exercice VIIIExercice VIII

Exercice IXExercice IX



On peut lire dans le code de la route qu’une voiture doit être équipée à l’avant de deux feux de croisement éclairant à 30 mètres au moins ans éblouir. Pour régler les phares, on peut placer la voiture face à un mur vertical et mesurer la hauteur de la partie du mur qui est éclairée.

H

P

B

MA

Les longueurs sont en mètres. Le phare est identifi é au point P. Il est à une hauteur du sol : HP=0,6 m. On place la voiture à 3 m du mur : HA=3m. La portée du phare est la distance HM où M est le point où le rayon lumineux émis par le phare toucherait le sol en l’absence d’obstacle. x est la distance AB avec x 0 0 6≤ <x , et p x( ) la portée HM.

� Montrer que p xx

( ),

,.=

−1 8

0 6

� Déterminer les hauteurs auxquelles le phare doit éclairer le mur pour que sa portée soit bien comprise entre 30 et 45 m.

Le plan de la feuille est rapporté à un repère (O, I, J).

Écrire un algorithme dans lequel les Entrées sont quatre nombres réels m p x yA A, , , et la Sortie est l’une des chaines de caractères «le point e A est sur la Adroite D», «le point DD A est au-dessus de la droite A D», «le pointDD A est au-dessous Ade la droite D» selon la position du point DD A de coordonnées A ( ; )x yA A par rapport à la droite D d’équationD y mx p= + .

On considère l’algorithme suivant.

ENTRER N (nombre compris entre 10 et 99)

DANS A METTRE le quotient de la division euclidienne de N par 10

DANS B METTRE N-10*A

DANS M METTRE 10*B+A

SI M>N

ALORS

DANS P METTRE M-N

SINON

DANS P METTRE N-M

FIN DU SI

AFFICHER P

Exercice XExercice X

Exercice XIExercice XI

Exercice XIIExercice XII



� Faire fonctionner l’algorithme pour N=92 puis N=46. (on pourra pour cela reproduire et compléter le tableau suivant).

N A B M M N> ? P

Entrée

…

Sortie

� Si n est un entier compris entre 10 et 99 (c’est-à-dire un nombre à 2 chiffres), non note f (f n) la valeur obtenue P par l’algorithme si la valeur entrée (N) est n n.

Vrai ou Faux ? Justifi er.

a) Il existe n tel quen f (f n) soit divisible par 7.nb) Pour tout n, f (f n) est impair.nc) Pour tout n, f (f n) est divisible par 9.n

On considère la feuille de calculs suivante.

A B C D

1 x y

2

On entre dans C2 : = SI(A2<0;1;-1);On entre dans D2 : = SI(B2<C2*A2+1; «OUI»; «NON»).

On entre les réels a et a b dans, respectivement, les cellules A2 et B2.b

� Qu’obtient-on dans les cas suivants?

a) a = -2, a b = -3b b) a = -1, a b = 1b c) a = 0, a b = 1 b d) a = 2,a b = -1.b

� Soient a eta b deux réels. On suppose que b a est entré dans A2 eta b dans B2.ba) On suppose a < 0.a

Écrire alors plus simplement la condition «B2<C2*A2+1».

b) On suppose a ≥ 0.Écrire alors plus simplement la condition “B2<C2*A2+1”.

� Cette feuille de calculs nous donne dans D2, OUI si le point M(a;aa b) appartient bbà une partie � du plan et NON si M n’appartient pas à cette partie. Déterminer et représenter �.

Exercice XIIIExercice XIII


Documents

Expressions algébriques - Equations et inéquations