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À partir d’une expérimentation en classe d’

Amandine CAZANAVE et Amandine CHARRIÈRE, professeures stagiaires de mathématiques, à l'IUFM de

Grenoble, pour leur mémoire de deuxième année.

Direction du mémoire :

André Laur formateur à l'IUFM de Grenoble

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Deux jeunes femmes, professeures stagiaires de mathématiques à l'IUFM de Grenoble, en charge l'une d'une classe de 4ème, l'autre d'une classe de 2nde, ont choisi une démarche originale pour l'enseignement du chapitre de statistiques. Elles racontent leur expérience dans le mémoire professionnel qu'elles ont rédigé ensemble.

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Remarque pour le lecteur

• On a souhaité garder la fraîcheur des commentaires et des analyses des professeurs stagiaires : dans sa grande majorité, il s'agira donc ici de citations du mémoire (caractères bleus) déjà évoqué.

• Certains commentaires ont été rajoutés pour éclairer, nuancer ou mettre en perspective certains propos. Ces commentaires apparaissent dans des diapositives sur fond grisé ou dans la zone commentaire de chaque diapositive.

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Les intentions majeures

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1. le souci de prendre en compte les diverses dimensions du métier d'enseignant

(le "relationnel", l'"organisationnel", le "didactique")

"Nous sommes deux jeunes professeurs et même si nous n'en étions pas persuadées avant d'enseigner, après nos premières heures de cours, nous nous sommes bien rendu compte que la motivation des élèves ne passe pas seulement par l'amour de la matière mais aussi et surtout par l'affectif : ambiance de la classe, rapport avec l'enseignant,… Nous avons, en premier lieu, tenté de partager avec eux l'intérêt que nous portons aux mathématiques en proposant un contenu captivant et rigoureux, ce que les statistiques permettent. En second lieu, les relations au sein de la classe et la construction de l'élève nous préoccupent toutes les deux. C'est une des raisons principales qui nous a poussé à travailler ensemble sur ce mémoire."

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2. le souci de s'appuyer sur un environnement familier et stimulant

"Que ce soit en quatrième ou en seconde, l'élève s'implique davantage lorsque le travail qu'il lui est demandé d'accomplir l'intéresse, ou que le projet dans lequel il est acteur aboutit à la construction d'un résultat dont il peut être fier ("moi, j'ai fait ça !"). A cet âge, où ils se sentent bien souvent sans liberté et où ils se cherchent, un investissement de leur côté passe par la prise en compte par l'enseignant du rôle de chacun au sein de projet, mais aussi par un retour sur ce que chacun a accompli, une sorte de récompense, de valorisation…Comment faire en sorte de créer un climat propice à l'épanouissement des élèves ? Nous avons pensé que cela passait par un sujet qui leur plaise : pourquoi pas le football ? "

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3. la recherche d'une activité "fil rouge"

"Observer un éventuel changement de regard de la part de l'élève pour la matière ainsi que l'évolution de la relation professeur-élève ne se fait pas sur une séance ou même une séquence. Il nous a donc paru nécessaire de travailler sur la durée la plus longue possible, d'où l'idée de l'activité en fil rouge tout au long de l'année."

"Par ailleurs, l'activité fil rouge" permet de sortir de la progression scolaire très rythmée : un chapitre dure entre deux ou trois semaines, puis on passe au suivant, etc.… Ceci renforce le phénomène de consommation que les élèves peuvent avoir en dehors du cadre de l'école. … Une ambition non soupçonnée [de notre part] a peut être été ici d'aller contre certains aspects négatifs de la génération zapping".

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4. le choix d'une situation statistique

"Nous avons choisi de faire porter notre mémoire sur les statistiques pour plusieurs raisons. La première est que nous ne nous sentons pas forcément à l'aise pour enseigner ce chapitre étant donné que sa place dans nos cursus scolaires a été très restreinte."

"De plus l'enseignement des statistiques se résume assez souvent par la découverte des nouveaux outils tels que les formules de calculs de moyennes, de fréquences, d'étendue…Ces outils sont ensuite utilisés par les élèves de la même façon qu'ils appliquent les règles des signes pour ajouter deux nombres relatifs, c'est-à-dire sans aucune compréhension du sens qu'il y a derrière ces outils. Puis contrairement à la plupart des autres chapitres de mathématiques qui restent assez théoriques, et étant donné que la question "à quoi ça sert ?" est une des questions récurrentes des élèves, nous pensons qu'il est important de mettre en avant l'utilité des statistiques."

"Par ailleurs, nous pensons qu'il est important de faire découvrir l'esprit statistique, à travers une interprétation des résultats découverts, une certaine idée de l'aléatoire…"

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  - à court terme, le contenu mathématique et les relations dans nos classes,

- à moyen terme, la pensée statistique et le rapport à notre matière,

- à long terme, la construction de l'individu et sa place dans le monde."

Ainsi,

"Notre activité mène de front plusieurs objectifs, tous d'une ambition assez élevée, dont les résultats ont pu être observés, ou le seront plus tard :

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Les étapes de l'activité

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Une phase préparatoire (octobre-novembre)

Enquête auprès des élèves pour tester leur intérêt pour le football.

Constitution de groupes de 6 élèves : chaque groupe ayant pour mission de suivre 4 équipes de football du championnat de France de ligue 1 (en évitant que les élèves, supporters affichés d'une équipe, soient chargés du suivi de cette équipe)

NB. Le championnat de France de Ligue 1 concerne les 20 meilleures équipes masculines françaises de l'année.

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Une phase de collecte de données (novembre-février)

entièrement prise en charge par chaque groupe, pour susciter autonomie et responsabilité

Le groupe doit, semaine après semaine : - faire un pronostic des résultats des matchs des 4 équipes dont il assure le suivi (pronostic en fonction des goûts, envies, connaissances de chacun… décidé à la majorité) ;- faire un pronostic aléatoire des résultats de ces mêmes matchs (à l'aide d'un dé ou de l'application proposée par certaines calculatrices) tant en quatrième qu'en seconde ;- relever ensuite les résultats effectifs de ces mêmes matchs

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Exemple de recueil de données

Données (partielles) du groupe chargé des équipes de

Ajaccio, Lyon, Nantes et Strasbourg.

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Pour le lecteur non initié, on rappelle que chacune des 20 équipes doit rencontrer deux fois chacune des autres équipes : une fois sur son terrain (à domicile), une fois sur le terrain de l'adversaire (à l'extérieur).

Durant le championnat de Ligue 1, 380 matchs doivent donc être organisés : et ce, en 38 journées.

A raison d'une journée par semaine, le championnat dure donc 38 semaines : il commence en août d'une année donnée, pour se terminer en mai de l'année suivante. C'est ce qui explique que les élèves commencent leur travail de relevés à la 11ème journée.

Lors de leurs pronostics, les élèves ont "parié" sur le nom d'une équipe victorieuse.

Par contre, au moment de relever le résultat réel d'un match, les élèves ont relevé le score obtenu selon les règles en usage : la dénomination Lyon-Ajaccio signifie que le match entre ces deux équipes s'est déroulé à Lyon et le score 3-2 signifie que Lyon l'a emporté avec 3 buts contre 2 buts pour Ajaccio.

Chaque score se traduit en points pour le classement selon la règle suivante : match gagné = 3 points, match nul = 1 point, match perdu = 0 point.

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Données (partielles) du groupe chargé

des équipes Lens, Nancy, Nice et PSG.

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Le cours de statistiques (en février-mars)

Ce cours s'appuie sur les données collectées et est motivé par des questions qui ont émergé au fur et à mesure de la collecte des résultats.

Ces données ont permis d'aborder la plus grande partie des items du programme de statistiques, dans chacune des classes.

Une séance en salle informatique a été organisée dans chacune des classes.      

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- "Est-ce l'équipe qui met le plus de buts qui sera championne ?"- "Combien y a-t-il de buts en moyenne dans une journée ?"- "Comment faire pour voir quelque chose dans cette grande quantité de données ?"- "Quel groupe a le mieux pronostiqué ?" ou "quel(s) groupe(s) aurai(en)t mieux fait de pronostiquer au hasard ?"     

Exemples de questions motivant le cours

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en 4ème Exemples d'activitésActivités d'introduction

Exemple 1 : Remplir ce tableau après la 23ème journée

Tracer l'histogramme correspondant.

Exemple 2 : Compléter les lignes du tableau ci-dessous à l'aide des résultats de la 13ème journée. Représenter ces résultats sous forme de diagramme circulaire et de diagramme à barres.

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Cours : notion d'effectifs, de fréquences ; diagrammes

en 4ème

L'exemple 1 de la diapositive précédente pose la question de l'intérêt d'un histogramme.

Il s'agit dans un premier temps de faire connaissance avec cet outil et d'apprendre à le manipuler.

On peut néanmoins déjà faire percevoir l'effet de certains choix pour la construction de cet histogramme : choix qui prendront toute leur importance quand l'histogramme sera fait en réponse à une question que l'on se pose sur les données.

C'est ce qu'illustre la diapositive suivante.

Voir aussi : images inhabituelles du foot.

Suite à ces activités :

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Observations14

18

22

26

30

34

38

42

46

50

54

points

Données de l'exemple 1.Nombre de points acquis par chaque équipe à l'issue de la 23ème journée : 14 15 16 25 25 26 30 30 31 3233 34 34 34 35 37 37 39 42 54

Une première visualisation :

Quelques histogrammes

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Cours : moyenne

en 4ème

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Début février arrive enfin le chapitre statistique tant attendu (par les élèves aussi ?). Pour l'introduire, les élèves ont dû chercher chez eux les réponses aux questions suivantes :

Quel groupe a le mieux pronostiqué ? Pourquoi ?

Quel(s) groupe(s) aurait mieux fait de pronostiquer au hasard ?Ces questions étaient accompagnées de tout l'attirail nécessaire au bon statisticien : polycopiés en nombre avec les grilles de tous les groupes et les classements des équipes avant le début du fil rouge (11ème journée) et au moment de l'arrêt des pronostics (23ème journée)Les deux questions ont été sérieusement cherchées malgré la teneur non négligeable en calculs à effectuer. Ce fut une bonne surprise : visiblement quand cela les intéresse ils ne rechignent pas à passer du temps sur les devoirs à la maison. C'est un bon point pour notre "projet".

Exemples d'activités en 2nde

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Réflexions sur ce que signifie "un bon pronostiqueur"

Deux points de vue :

1. Le bon pronostiqueur est celui qui pronostique le bon résultat à chaque match :

pour chaque groupe, on calcule la fréquence de "bons pronostics" à l'issue des 13 journées observées.

2. Le bon pronostiqueur est celui qui aboutit au total de points le plus proche du "bon" total :

pour chaque groupe, on calcule le total des points acquis par pronostic pour chacune des équipes suivies par le groupe

en 2nde

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En prenant le 2ème point de vue :

Présentation faite par le prof au vidéoprojecteur (aucun élève n'avait pris ce point de vue)

en 2nde

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En prenant le 1er point de vue :en 2nde

"Voici le compte rendu que des élèves ont écrit sur leur cahier :

Si on considère que le groupe qui pronostique le mieux à chaque fois est celui qui se trompe le moins à chaque fois, c'est le groupe de Lyon qui l'emporte :

groupe Lyon Marseille Paris St-Etienne Monaco

Fréquence de bons pronostics

(en%)

56 % 50 % 43 % 40 % 35 %

Fréquence de bons pronostics au hasard (en%)

40 % 31 % 41 % 38 % 33 %

Tous les groupes ont mieux pronostiqué que s'ils avaient pronostiqué au hasard.

Simulation de paris au hasard : en pariant au hasard, à chaque match on a une chance sur trois de parier juste donc au final environ 33 % de réussite sur tous les pronostics ; un pronostiqueur doit donc faire mieux que 33 % de bonnes réponses pour être considéré comme bon.

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Qu'est-ce qu'un "bon pronostiqueur" ?

Ce qui précède montre qu'il n'y a pas a priori de "bonne" réponse à cette question !

Ce travail sur la notion de "bon pronostiqueur" a aussi été conduit en classe de 4ème ; l'orientation donnée rapidement par le professeur y était : "être un bon pronostiqueur, c'est faire mieux que le hasard…" et il s'en est suivi un travail de simulation avec le tableur puis des conclusions analogues à celles faites en 2nde.

Une des réponses possibles est de comparer avec des réponses choisies au hasard ; à ce niveau, cela nécessite de faire des simulations et celles-ci mettent alors en évidence qu’un tel pronostic au hasard, avec autant de chances pour chacune des réponses, produit un pourcentage de bons pronostics qui fluctue autour de 33%. Dans la diapositive précédente, il est dit que faire mieux que le hasard, c’est avoir un pourcentage de bons pronostics supérieur à 33%  ; mais si on y regarde de plus près, on voit que le hasard fait lui-même mieux que 33% dans environ 50% des cas ; ce n’est donc pas pertinent de dire qu’il faut faire mieux que 33% pour être meilleur que le hasard. Quand on affirme "je fais mieux que le hasard", je prends toujours un risque de me tromper (notion de risque que l'on peut faire sentir, pour l'équipe suivant Monaco par exemple, en comptant dans combien

de cas le hasard fait mieux que 35 %).

Dernière observation : pourquoi cette comparaison avec le « hasard pur » ? Cette référence aurait-elle été naturelle chez les élèves, si l'on s'était situé dans un environnement différent (i.e. sans demande de pronostics aléatoires) ?

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Un autre thème : Que faire avec beaucoup de données ? (ou comment faire parler un tableau de nombres?)

en 2nde

Ce tableau, fourni par un site internet sur le football, donne les points acquis par les 20 équipes à l'issue des 23 premières journées du championnat.

Légende : J : nombre de journéesG : nombre de matches gagnésP : nombre de matches perdusBp : nombre de buts marquésBc : nombre de buts encaissés

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Tableau à remplir à partir du tableau de données précédent

en 2nde

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Travail de déchiffrage guidé par des questions

en 2nde

• La médiane des matchs gagnés et celle des matchs perdus sont les mêmes : est-ce une coïncidence ? Il en est de même, par exemple, pour la médiane des buts marqués à domicile et pour celle des buts encaissés à l'extérieur.

• Peut-on expliquer la moyenne nulle de la différence de buts ?

• Quels commentaires peut-on faire sur les étendues ?

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"Lors d'un questionnaire auquel les élèves avaient à répondre, la grande majorité a indiqué qu'elle pronostiquait souvent une victoire à domicile. Il leur a donc été demandé de réfléchir chez eux à une façon d'illustrer le fait que parier des victoires à domicile augmente les chances de bons pronostics; autrement dit que ce n'est pas une fausse idée de considérer les équipes jouant à domicile comme favorites.

La consigne était d'utiliser une représentation graphique permettant de valider cette hypothèse en seul coup d'œil. Les réponses fournies ont été très différentes et donc très intéressantes.

Nous voyons ici plusieurs avantages à demander des choses libres : les élèves ont a être imaginatifs (ce qui est rare en mathématiques ?) et donc plus responsables du travail qu'ils fournissent; la diversité des réponses reflète la diversité des élèves; les meilleurs élèves n'ont pas forcément les meilleures idées.

Quelques élèves ont représenté les victoires à domicile des quatre équipes de leur groupe ; ce qui comparait les équipes entre elles et non pas les différents résultats selon le lieu des matchs. Ils ont pu comprendre leur erreur en observant les réponses pertinentes d'autres élèves."

Une nouvelle question : en 2nde

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Un dilemme d'enseignantQue vaut-il mieux faire ?

• Partir des données d'une situation « réelle » (ici celle du football) et s'interroger sur ces données ; introduire au fur et à mesure les outils théoriques dont on a besoin pour répondre aux questions que l'on se pose (sans se soucier du programme) ?

ou bien

• Partir du programme : enseigner les outils statistiques du programme en les illustrant à l'aide des données recueillies ?

La solution semble être dans un compromis : à savoir privilégier la situation réelle et s'autoriser quelques phases (mais pas trop !) d'instrumentalisation des données pour les besoins du programme. Selon ce point de vue, le choix de la situation à étudier revêt une importance

capitale : elle doit être telle que les réponses aux questions que l'on va se poser nécessitent "naturellement" l’usage d’une grande partie des outils du programme !On pourra consulter l’article « Instrumentaliser les données à ce propos ».

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Regrets

Une adaptation des programmes a été effectuée dans chaque classe.

En quatrième, la simulation de résultats qui a été faite tout au long de l’année est un travail qui dépasse les compétences que les élèves doivent avoir... De même, la notion de fluctuation d’échantillonnage a été approchée, sans que le professeur cite exactement ces termes, et le mot fonction a été employé lors de la séance sur tableur.

En seconde, le seul débordement du programme a été l'utilisation orale du mot probabilité, connu par certains élèves, lors de la recherche de distributions théoriques de fréquences.

Choix

En quatrième, la professeure est restée insatisfaite de l’emploi restreint de ces données… Elle garde le sentiment d’avoir survolé le vrai travail de fond (le raisonnement statistique, l’éveil d’un esprit critique envers toutes sortes de données et leur interprétation) fixé comme objectif de départ.

En seconde, la professeure regrette de ne pas avoir eu le temps de s'intéresser aux sondages et donc d'apprendre aux élèves à travailler avec les résultats donnés dans les médias.

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La conclusion des stagiaires

A la question "Et si les maths et le foot étaient faits pour s’entendre ? ", nous répondons sans hésiter un grand "oui" !

Nous pensons reprendre cette activité dans notre future carrière en effectuant les modifications nécessaires suite à l’évolution des élèves. Et peut-être un nouvel apport, qui serait l’utilisation de cartons jaunes et rouges pour gérer l’organisation de la classe. Pratique déjà rencontrée lors de différents stages.

Nous avons pris grand plaisir à travailler avec les élèves sur un projet créé uniquement par nos soins, et nous espérons qu’en plus de tout ce qu’ils ont pu acquérir, ils en garderont un bon souvenir.

Coup de sifflet final !