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LES PROBABILITES. 1. Activité 1 2. Expériences aléatoires et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités. Objectifs. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - PowerPoint PPT Presentation
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1. Activité 1
2. Expériences aléatoires et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Modéliser une expérience aléatoire à
l’aide de simulations d’échantillons de
chiffres au hasard.
Déterminer la probabilité de réalisation
d ’un événement.
Connaître le langage des probabilités :
expérience aléatoire, univers,
éventualité, événement contraire.
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Objectifs
On lance une pièce de monnaie bien équilibrée.
On est en présence d’une expérience aléatoire.
On a deux possibilités : « pile » ou « face » qui ne sont pas prévisibles à l ’avance .
Ces résultats sont appelés les éventualités.
L’ensemble de toutes les éventualités est appelé l’univers des possibles noté E.
Quel est le nombre d’éventualités de E ? Une partie de l’univers est aussi appelée un
événement ou si une unique éventualité événement élémentaire.
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Enoncé
b) Comparer les différents résultats obtenus par les élèves de la classe.
c) Regrouper les résultats obtenus par une moitié de la classe, par l’autre moitié, puis par la classe entière. d) Comparer les quatre tableaux (le tableau personnel, les tableaux des deux moitiés de la classe et le tableau de la classe entière). Les résultats sont-ils conformes avec l’hypothèse d’équilibre de la pièce émise au départ ?
a) Réaliser l’expérience en lançant une pièce à 10 reprises. Regrouper les résultats sous la forme d’un tableau.
Résultats possibles Pile Face Nombre de sorties Fréquence empirique
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé
- Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience réelle avec une pièce
On dit que les fréquences fluctuent.
Une calculatrice dispose d’un " générateur de nombres aléatoires ", c’est-à-dire d’un dispositif qui fournit un nombre pris au hasard dans un intervalle donné. On admet que chaque nombre de cet intervalle a autant de chances d’être obtenu.
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec une calculatrice
Une calculatrice peut ainsi produire un nombre de 14 chiffres de l’intervalle [0 ; 1[ .
Sur T I, grâce à la touche " rand " (pour random, " au hasard " en anglais). Les 10 premières décimales (resp. 14) sont affichées par les calculatrices TI 82 (resp. pour TI 89). (touches « MATH » « PRB » « RAND » ou « MATH » « Probabilité» « nbrAleat() » ).
Sur CASIO, « OPT » « PROB » « RAN# ».
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec une calculatrice
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec une calculatrice
QuestionQuestion
Déterminer la fréquence empirique d’apparition du côté Pile de 100 lancers.
Utilisation de votre calculatriceUtilisation de votre calculatrice
Technique 1Technique 1
.
On partage l’intervalle [0 ; 1[ en deux intervalles de même amplitude :
- si l’on obtient un nombre de l’intervalle [0 ; ½[, cela revient à obtenir Pile ;
- si l’on obtient un nombre de l’intervalle [½; 1[, cela revient à obtenir Face.
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec une calculatrice
On partage l’ensemble des chiffres affichés en deux parties, par exemple :
- les chiffres pairs correspondent à Pile ;
- les chiffres impairs correspondent à Face.Le tirage « RAND »ci-contre permet d’obtenir :
« Face, Pile, Face, Pile, Pile, Pile, Face, Pile, Pile, Pile ».
La sortie d’un seul nombre aléatoire simule 10 lancers de pièce.
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec une calculatrice
Technique 2Technique 2
On combine plusieurs commandes de la calculatrice ou du tableur. « rand » fournit un nombre décimal de l’intervalle [0 ; 1[ , « 2 * rand » fournit un nombre décimal de l’intervalle [0 ; 2[ , « 2 * rand + 1 » fournit un nombre x de l’intervalle [1 ; 3[ .
En prenant la partie entière de " 2 * rand + 1 " (notée " Int " sur la TI et la CASIO), on obtient alors un nombre entier égal à 1 ou 2.La commande " Int(2 * rand + 1) " SUR TI ou « Int(2*Rand#+1) » sur CASIO permet donc de simuler le jet d’une pièce.
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec une calculatrice
Technique 3Technique 3
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec une calculatrice
Technique 4Technique 4
Analyser le programme suivant et expliquer comment il peut simuler le lancer d’une pièce.
Algorithme entrer le nombre de lancers Ninitialiser à 0 le nombre de Piles Pinitialiser à 1 le nombre de lancers I
si le nombre aléatoire est inférieur à 0,5ajouter 1 dans P
ajouter 1 au nombre de lancerssi le nombre de lancers est inférieur à N
continuer la bouclesinon afficher
PN
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec un tableur
Utilisation du tableurUtilisation du tableur
b) Sur un tableur, on a obtenu les résultats pour 2 000 lancers, avec un pas de 100 et la courbe ci-dessus. Commenter ces résultats. Conjecturer le comportement de la fréquence empirique de Pile lorsque le nombre de lancers devient grand. Quel nombre théorique obtient-on ?
100 0,51 1100 0,48909 200 0,52 1200 0,4875 300 0,5133 1300 0,48538 400 0,5075 1400 0,48429 500 0,494 1500 0,49067 600 0,4867 1600 0,49625 700 0,4957 1700 0,49588 800 0,495 1800 0,49889 900 0,5044 1900 0,5
1000 0,491 2000 0,4985
0,460,470,480,49
0,50,510,520,53
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle
- Expériencesimulée - Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Expérience simulée avec un tableur
Résultats et conjectureRésultats et conjecture
Le nombre obtenu est appelé probabilité de réalisation de l’événement A : « obtenir Pile ». On a :
P(A) = 0,5
La modélisation permet ainsi de choisir une loi de probabilité selon « la loi des grands nombres »
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Conclusion : Approche de la loi des grands nombresApproche de la loi des grands nombres
La fréquence obtenue est comprise entre 0,478 et 0,522 avec un niveau de confiance de 95 %.
On dit que l ’hypothèse de bon équilibre du dé est au seuil de risque de 5 %.
PLANPLAN
1. Activité 1
- Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Conclusion : Précision des résultatsPrécision des résultats
Les formules permettant d ’obtenir la fourchette pour une valeur p = 0,5 et un échantillon de taille n avec un intervalle de confiance de 95% sont :
478,02000
5,05,096,15,0)1(96,1 n
ppp
522,02000
5,05,096,15,0)1(96,1 n
ppp
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand.
Loi des grands nombres PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expériencealéatoire et modélisation
- Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités,univers - Evénement
3. Activité 2
4. Probabilités
Définition
Définir une loi de probabilité sur l ’univers
E = x1, x2, …, xn , signifie associer à chacun
des éléments xi de E un réel pi vérifiant :
a) 0 < pi < 1
b) p1 + p2 + … + pn = 1
notation : pi = p(xi) = p( xi )
La probabilité d ’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires de A.
… Cf exemple
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expériencealéatoire et modélisation
- Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités,univers - Evénement
3. Activité 2
4. Probabilités
Lors d ’une expérience aléatoire, un résultat possible est appelé une éventualité.
Expérience aléatoire, éventualités, univers
L ’ensemble de toutes les éventualités est appelé univers E (ensemble des cas possibles)
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expériencealéatoire et modélisation
- Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités,univers - Evénement
3. Activité 2
4. Probabilités
Evénement
Un événement est une partie de l ’universE est l ’événement certain est l ’événement impossible
L ’événement contraire d ’un événement A est l ’ensemble des éventualités de E qui n ’appartiennent pas à A, noté A
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expériencealéatoire et modélisation
- Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités,univers
- Evénement
3. Activité 2
4. Probabilités
Objectifs PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
- Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8)
4. Probabilités
Enoncé
Connaître le langage des probabilités : intersection et réunion de deux événements, événements incompatibles. Calculer l ’espérance, la variance et l ’écart type d ’une loi de probabilité (cas xi réels)
On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.
Soit A, B et C les événements suivants :A : « tirer un as »
B : « tirer une figure » (c’est à dire un roi, une dame ou un valet)
C : « tirer un cœur »
Combien y a-t-il de résultats possibles au total ?Combien y a-t-il de résultats dans les événements A, B et C ?
Question 1
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
- Objectifs, énoncé
- Questions (1 à 8)
4. Probabilités
Question 2
UOn note A C l’événement A et C.a) Nommer les éventualités des événements A Cet B C. b) Comment appelle-t-on l’événement A B ?
U
UU
Représenter l’ensemble des 32 tirages possibles dans le diagramme suivant en précisant le nombre d’éventualités de chaque plage :
E
BA
C
Question 3
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
- Objectifs, énoncé
- Questions (1 à 8)
4. Probabilités
On note A U C l’événement A ou C. Expliciter par une phrase l’événement A U C. Donner la liste de ses éventualités.
Question 4
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
- Objectifs, énoncé
- Questions (1 à 8)
4. Probabilités
Question 5
Question 6
On note B l’événement constitué des tirages qui ne réalisent pas B. Expliciter par une phrase ne contenant pas de forme négative cet événement B. Que peut-on dire de B par rapport à B ?
Définir de même C. Donner la liste des éventualités constituant chacun des événements suivants : B Cet B C.
UU
Question 7
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
- Objectifs, énoncé
- Questions (1 à 8)
4. Probabilités
Question 8
a) Dans l’activité 1 on répète un grand nombre de fois le tirage. La fréquence de l’événement A est de 0,125. Donner p(A). Vérifier qu ’il est égal au quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles (loi de probabilité équirépartie).b) Calculer la probabilité des événements suivants :B, C, A B, A C, A U C, C.
U U
Conjecturer une relation liant :a) p(A U C) et p(A), p(C), p(A C).b) p(C ) et p(C).
U
Equiprobabilité
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
- Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, varianceécart-type d ’une loide probabilité
Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, alors on dit qu ’il y a équiprobabilité. On a :
pi = 1n
Si A événement de E alors :
p(A) = Nombre de cas favorables à la réalisation de A
Nombre de cas possibles
Exemples : 1) jeu de pile ou face 2) dé à 6 faces non pipé
Remarque : on repère l ’équiprobabilité par « au hasard », par des boules « indiscernables au toucher », ou par « bien équilibré »
Définitions
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
- Equiprobabilité
- Définitions - Incompatibilité - Théorèmes - Espérance, varianceécart-type d ’une loide probabilité
Si A et B sont deux événements n ’ayant aucune éventualité commune, on dit qu ’ils sont incompatibles (ou disjoints). (Cf exemple)A B =
U
L ’événement A ou B est formé des éventualités appatenant à A ou à B (A union B). (Cf exemple)A U B
L ’événement A et B est formé des éventualités appartenant à A ou à B , ou aux deux (A inter B). (Cf exemple)A B
U
Théorèmes
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
- Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, varianceécart-type d ’une loide probabilité
Si A et B sont deux évènements de E, on a :
p ( A U B) = p(A) + p(B) - p (A B)
U
Si A et B sont deux événements incompatibles, on a :
p (A U B) = p(A) + p(B)
Si A est l ’événement contraire de A, on a :
p (A) = 1 - p(A)
(… cf Exemple)
Espérance, variance, écart-type d ’une loi de probabilité (xi réel)
PLANPLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
- Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance,varianceécart-type d ’une loi de probabilité
n
i=1
La variance est le réel positif :
V = pi (xi - E)2 + … + pn (xn - E)2
V = pi (xi - E)2
L ’écart type est la racine carrée de la variance :
= VV
L’espérance d’une loi de probabilité est la moyenne des xi pondérés par les pi :
E = p1x1 + p2x2 + … + pnxn = pixi
n
i=1
(Cf exemple)
F I N