91 Les probabilités conditionnelles 92 · Formule desprobabilitéstotales Loi binomiale Activité dedécouverte Probabilitésconditionnelles ... Pour cela, on imagineune nouvelle

Notion de probabilité conditionnelleArbre pondéré

Formule des probabilités totalesLoi binomiale

[ Les probabilités conditionnelles \

Lycée du golfe de Saint Tropez

Année 2017/2018

Terminale ES Les probabilités conditionnelles



1 Notion de probabilité conditionnelle

Activité de découverte

Probabilités conditionnelles

Formule générale

Exemples

2 Arbre pondéré

Conventions

Exemples

Propriétés des arbres pondérés

3 Formule des probabilités totales

Propriété préliminaire

Formule des probabilités totales

Exercice

4 Loi binomiale

Schema de Bernoulli

Définition d’une loi binomiale

Espérance et écart-type

Calcul des probabilités

Exercices




Activité de découverteProbabilités conditionnellesFormule généraleExemples

I) Notion de probabilité conditionnellea) Activité de découverte

On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la

probacytose. On a effectué une étude statistique sur une population de 20 000

personnes. Voici les chiffres obtenus :

400 personnes sont à la fois fumeurs et malades

600 personnes sont non fumeurs et malades

4 600 personnes sont fumeurs et sains

14 400 personnes sont non fumeurs et sains













1 Placer ces données dans un tableau à double entrée.2 On choisit une personne au hasard dans cette population.

Quelle est la probabilité que :

Cette personne soit un fumeur ? Un non fumeur ? Malade ? Saine













1 Placer ces données dans un tableau à double entrée.2 On choisit une personne au hasard dans cette population.

Quelle est la probabilité que :

Cette personne soit un fumeur ? Un non fumeur ? Malade ? Saine3 On va définir pM(F) qui se lira « probabilité de F sachant M ». Pour cela, on

imagine une nouvelle expérience: on choisit une personne au hasard parmi

les malades et on cherche la probabilité qu’elle fume ? Donc

pM(F) =..........

..........= ..........

Calculer de même pM

(F) = ..............................Terminale ES Les probabilités conditionnelles




b) Probabilités conditionnelles

On va définir pM(F) qui se lira « probabilité de F sachant M ».

Pour cela, on imagine une nouvelle expérience, celle dont les issues possibles sont

celles réalisant M et parmi celles ci, les issues favorables à F.

Donc pM(F) =..........

..........= ..........





b) Probabilités conditionnelles

On va définir pM(F) qui se lira « probabilité de F sachant M ».

Pour cela, on imagine une nouvelle expérience, celle dont les issues possibles sont

celles réalisant M et parmi celles ci, les issues favorables à F.

Donc pM(F) =..........

..........= ..........

Calculer de même pM

(F) = ..............................





c) Formule générale

A et B sont deux événements d’un même universΩ de probabilité non nulle.

Lorsqu’il y a équiprobabilité on peut écrire

pA(B) =nombre d’issues de A∩B

nombre d’issues de A










=nombre d’issues de A∩B

nombre d’issues deΩ×

nombre d’issues deΩ











=nombre d’issues de A∩B

nombre d’issues deΩ×

nombre d’issues deΩ


=............

.............





Définition

Soit A un événement de probabilité non nulle et B un événement quelconque du

même univers.

On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A , le quotient

pA(B) =p(A∩B)

p(A).





d) ExemplesExpérience 1

On revient sur l’étude statistique concernant une population de 20000 personnes

Malades Sains

Fumeurs 400 4600

Non fumeurs 600 14400

Calculer pF(M) et pF

(M).





Expérience 2

Dans un jeu de 32 cartes, on extrait au hasard une carte.

Déterminer la probabilité que la carte tirée soit une dame, sachant que c’est une

figure.

Déterminer la probabilité que la carte tirée soit le roi de carreau, sachant qu’elle est

rouge.





Expérience 3

Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes

Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise

On gagne si la deuxième boule tirée est rouge





Expérience 3




1 Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir ?2 Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir ?





Expérience 3




1 Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir ?2 Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir ?

R1: « la 1ère boule tirée est rouge »

R2: « la 2ème boule tirée est rouge »

Calcul de pR1 (R2):

On a tiré une boule rouge dans l’urne, il reste alors 4 boules et parmi elles 2 rouges

donc

pR1 (R2) =2

4=

1

2Calcul de pR1 (R2):

On a tiré une boule verte dans l’urne, il reste alors ........... boules et parmi elles

............ rouges donc

pR1(R2) =

..........

............Terminale ES Les probabilités conditionnelles



ConventionsExemplesPropriétés des arbres pondérés

II) Arbre pondéréa) Conventions

On peut représenter une épreuve par un arbre de probabilité, en indiquant sur les

branches de premier niveau les probabilités de A et A , puis sur les branches de

deuxième niveau les probabilités conditionnelles.





Expérience 3

1 Faire un arbre de probabilité correspondant à l’expérience 3 du paragraphe I.

2 Calculer la probabilité de l’événement E : « tirer une boule rouge puis une

boule verte »

3 Comment à l’aide de l’arbre pourrait-on calculer la probabilité de l’événement

F : « tirer deux boules de couleurs différentes »





b) Propriétés des arbres pondérés

Propriétés

On retiendra les propriétés des arbres de probabilité:






Propriétés

n retiendra les propriétés des arbres de probabilité:

La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud

est 1;






Propriétés



est 1;

Un chemin —–A—–B correspond à l’événement A∩B et P(A∩B) est le produit

des probabilités affectées à chacune des branches qui le constituent;






Propriétés



est 1;



La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins de l’arbre

est la somme des probabilités de ces chemins.






Propriétés



est 1;



La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins de l’arbre

est la somme des probabilités de ces chemins.

Ne pas confondre p(A∩B) et pA(B).




Propriété préliminaireFormule des probabilités totalesExercice

III) Formule des probabilités totalesa) Propriété préliminaire

Propriété préliminaire

Soit les événements B, B1,B2 et B3 qui vérifient :

Si la réunion des évènements B1,B2 et B3 correspond à B.

Si les évènements B1,B2 et B3 sont disjoints deux à deux (c’est à dire qu’ils

n’ont aucune issue en commun)

On dit alors que B1,B2 et B3 forment une partition de B

Dans ces conditions p(B) = p(B1)+p(B2)+p(B3)





b) Formule des probabilités totales

Propriété

Si les événements B1,B2 et B3 forment une partition de l’univers et A est un

événement alors

p(A) = p(A∩B1)+p(A∩B2)+p(A∩B3)

p(A) = p(B1)×pB1 (A)+p(B2)×pB2 (A)+p(B3)×pB3 (A)





b) Formule des probabilités totales

Propriété

Si les événements B1,B2 et B3 forment une partition de l’univers et A est un

événement alors

p(A) = p(A∩B1)+p(A∩B2)+p(A∩B3)

p(A) = p(B1)×pB1 (A)+p(B2)×pB2 (A)+p(B3)×pB3 (A)

Remarque:

Si B est un événement quelconque, les événements B et B forme une partition de

l’univers.





c)Exercice

Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l’échographie, fait

des erreurs sur le sexe des enfants à naître.





c)Exercice



Il se trompe une fois sur vingt si c’est un garçon et une fois sur dix si c’est une fille.





c)Exercice




Il vient de dire à Madame Bertrand qu’elle attendait une fille.

Quelle est la probabilité que ce soit vrai ?





c)Exercice




Il vient de dire à Madame Bertrand qu’elle attendait une fille.

Quelle est la probabilité que ce soit vrai ?

On utilisera un arbre et les notations suivantes :

F : « l’enfant à naître est une fille »

G : « l’enfant à naître est un garçon »

A : « le docteur annonce un garçon »

B : « le docteur annonce une fille ».




Schema de BernoulliDéfinition d’une loi binomialeEspérance et écart-typeCalcul des probabilitésExercices

IV) Loi binomialea) Schema de Bernoulli

Définition

Un schéma de Bernoulli est une expérience au cours de laquelle on répète de

façon identique et indépendante n épreuves ne comportant que deux issues dont

une est appelée Succès.

Remarque: Une épreuve ne comportant que deux issues est appelée une épreuve

de Bernoulli





Exemple 1

On étudie la fiabilité du matériel d’une entreprise et on note S l’événement « le

matériel est défectueux ».





Exemple 1



On prélève un objet, il est défectueux ou il ne l’est pas. C’est donc une épreuve de

Bernoulli.





Exemple 1




Bernoulli.

Maintenant on prélève au hasard 4 objets de l’entreprise, si le nombre d’objets

dans l’entreprise est très important on peut assimiler cette expérience à un tirage

avec remise





Exemple 1




Bernoulli.

Maintenant on prélève au hasard 4 objets de l’entreprise, si le nombre d’objets

dans l’entreprise est très important on peut assimiler cette expérience à un tirage

avec remise

L’expérience est un schéma de Bernoulli puisqu’on répète la même épreuve de

Bernoulli de façon identique et indépendante.





Exemple 2 page I

On considère l’expérience aléatoire consistant tirer une carte d’un jeu de 32 cartes,

à noter sa couleur puis à la remettre dans le jeu.

On appelle "succès" l’événement S : « On obtient un cœur».

On répète trois fois cette expérience.

1 Quelle est la probabilité de S?

2 Les tirages sont-ils indépendants? En déduire la probabilité d’obtenir 3 succès

successifs, puis d’aucun succès.

3 Compléter l’arbre suivant:





Exemple 2 page II

S

. . .

S. . .

S. . .

S. . .

S

. . .S. . .

S. . .

S

. . .S. . .

S. . .

S. . .

S

. . .S. . .

S. . .Terminale ES Les probabilités conditionnelles




Exemple 2 page III

4 Déterminer les probabilités d’avoir:

• 2 succès ;

• 1 succès.





b) Définition d’une loi binomiale

Définition

Considérons un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de façon identiques et

indépendantes de n épreuves ne comportant que deux issues et dont le succès a

pour probabilité p.

La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès à l’issue de ces n épreuves

suit une loi binomiale de paramètre n et p, notée B(n,p) .





c) Espérance et écart-type

Espérance et écart-type

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p) .

Pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a :

E(X) = np V (X) = np(1−p)





d) Calcul des probabilités

Les probabilités seront toujours calculées à l’aide de la calculatrice






Sur TI83 : Si on veut calculer p(X = k) dans la loi binomiale B(n ; p) On appuie sur

la touche DIST (

2nd

VARS ) on choisit binomFdp

si la calculatrice est en anglais on choisit binompdf

Puis on ajoute les paramètres

binomFdp(n,p,k) permet de calculer p(X = k) dans la loi binomiale B(n ; p)

binomFdp(10,0.2,2) permet de calculer p(X = 2) dans la loi binomiale

B(10 ; 0,2)






Sur TI83 : Si on veut calculer p(X = k) dans la loi binomiale B(n ; p) On appuie sur

la touche DIST (

2nd

VARS ) on choisit binomFdp

si la calculatrice est en anglais on choisit binompdf

Puis on ajoute les paramètres

binomFdp(n,p,k) permet de calculer p(X = k) dans la loi binomiale B(n ; p)

binomFdp(10,0.2,2) permet de calculer p(X = 2) dans la loi binomiale

B(10 ; 0,2)

Si on veut calculer p(X É k) dans la loi binomiale B(n ; p)

On appuie sur la touche DIST (

2nd

VARS ) on choisit binomFRep

si la calculatrice est en anglais on choisit binomcdf

puis on ajoute les paramètres: en premier le nombre de de répétition, puis la

probabilité du succès et enfin le nombre succès

binomFRep(n,p,k) permet de calculer p(X É k) dans la loi binomiale B(n ; p)

binomFRep(12,0.4,5) permet de calculer p(X É 5) dans la loi binomiale

B(12 ; 0,4)Terminale ES Les probabilités conditionnelles




Calcul des probabilités

Sur CASIO Graph 35:

Dans le menu, on choisit STAT puis DIST et BINM puis enfin Bpd ou Bcd

ou bien

Dans l’écran de calcul, on appuie sur la touche

OPTN puis on choisit STAT puis

DIST et BINM puis enfin Bpd ou Bcd . On obtient:

Il faut rentrer les paramètres: en premier le nombre de succès, puis le nombre de

répétition et enfin la probabilité du succès

BinomialPD(2,10,0.2) permet de calculer p(X = 2) dans la loi binomiale

B(10 ; 0,2)

BinomialCD(5,12,0.4) permet de calculer p(X É 5) dans la loi binomialeTerminale ES Les probabilités conditionnelles




Exercice 4 page I

Dans un jeu vidéo, le héros Mario veut atteindre, en sautant, un trésor qui se trouve sur un

nuage. S’il touche le trésor, il peut obtenir :

Aucune pièce d’or et voir sortir un monstre avec une probabilité p0 = 0,4.

une pièce d’or avec la probabilité p1 = 0,3.

deux pièces avec la probabilité p2.

trois pièces avec la probabilité p3 = 0,1.

1 Calculer p2.

2 Mario ne fait qu’un seul saut. On note G la variable aléatoire égale au nombre de pièces

d’or de Mario.

1 Donner la loi de probabilité de G.

2 Calculer l’espérance de G : interpréter le résultat obtenu.





Exercice 4 page II

3 Mario saute 6 fois de suite. Chaque saut est indépendant du précédent.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de sauts où le monstre est

apparu.

1 Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont vous préciserez les

paramétres.

2 Calculer la probabilité que le monstre n’apparaisse pas.

3 Calculer la probabilité que le monstre apparaisse exactement deux fois.

4 Calculer la probabilité que le monstre apparaisse au moins deux fois.

5 Calculer p(2 É X É 4).

6 Calculer l’espérance de X et en donner une interprétation.


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