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Analyse temps-fréquence et ondelettesModule Traitement du Signal, EOST 2A et Master 1

11 jan. 2008 (Intervenant : Pascal Sailhac)

Dans un monde virtuel linéaire : Fourier ad hocMais dans un monde plus réaliste non linéaire…

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Introduction Svt les signaux réels = transitoire et à fréquence variable…

Figure : http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/transpEDSFA.pdf

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Introduction Svt les signaux réels = transitoire et à fréquence variable…

Figure : http://www.isteem.univ-montp2.fr/LGHF/equip/gaillot/PDF_these/TM.html

Jean Ville (Théorie et applications du signal analytique, Câbles et transmissions 2, 1948, 61-74) :

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Qualities: Fourier energy spectrum shows the relative frequency content in a signal.

For an oscillation or a superposition of oscillations (cosine functions), it provides the frequency ui and relative intensity Ai for each component:

Limits: The localisation is in frequency only, but not in time (or space)

For successive oscillations of different frequencies:

Qualities and limits of the Fourier domain

fi(x)=Aicos(2uix) Ei(u)=Ai(u-ui)/4f(x)=f1(x)+f2(x) E(u)=E1(u)+E2(u)

f(x)=f1(x)H(-x)+f2(x)H(x) E(u)≠E1(u)+E2(u)

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Qualities and limits of the Fourier domain

Figure : http://www.isteem.univ-montp2.fr/LGHF/equip/gaillot/PDF_these/TM.html

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Covariance instantanée – Transformée de Wigner-Ville…(puis on en prend sa transformée de Fourier pour avoir un spectre instantané)

Fourier à fenêtre glissante – Transformée de Gabor…(puis on en prend son module carré pour avoir un spectre instantané)

Transformée en ondelettes – Transformée de Morlet…(pareil qu’à fenêtre glissante, mais avec une taille de fenêtre liée à la période)

detRtWV iss ),(),(

dewtstWFG i

s

)()(),(

ii eeewg 22 2/2/1

, )()(

ieeg 2/2/1 22

)(

dgtsdgtstWFGconvcorr

s )()()()(),( /2/2

)2/()2/(),( tststRs

Comment déterminer un spectre temps-fréquence (ou temps-échelle) ?

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Points abordés

Ondelettes continues

A. ThéorieA.0 IntroductionA.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de FourierA.2 Représentations Temps-Fréquence et spectres d’énergie instantanéA.3 OndelettesA.3.1 Exemple de représentations Temps-EchellesA.3.2 Scalogramme et spectre localA.3.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion)A.3.4 A N-Dimensions : Ondelettes tensorielles

B. Exemples d’applications géophysiquesB.1 SismiqueB.2 Illustrations numériques simples avec MatlabB.3 …

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A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier

A.1 Rappel sur la TF

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Frequency Domain(Fourier Transform)

infinite support

time-freq.resolution

Cosinus

T=2/f

Time-Frequency Domain(Gabor Transform)

low-pass window of fixed length

Time-Scale Domain(Wavelet Transform)

low-pass window for a fixed oscillation number

Incr

easi

ng

fre

qu

en

cy

Incr

easi

ng

sc

ale

A.3 Temps-fréquence et spectre d’énergie instantanéDomaine de Fourier ou des Fréquences Domaines Temps-Fréquence et Temps-Echelle

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A.3 Temps-fréquence et spectre d’énergie instantané

Inégalité de Gabor (Heisenberg) : .t

gg

tˆ.

Largeur en temps x Largeur en pulsation

dttg

dttgttt

c

2

22

2

)(

)()()(

dttg

dttgttc 2

2

)(

)(

dg

dgc

2

22

2

)(ˆ

)(ˆ)()(

dg

dgc 2

2

)(ˆ

)(ˆoù

Résolutiontemps-fréquence

Gaborettes Ondelettes de Morlet

tt

ff

00

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A.4.1 Exemple de représentations Temps-EchellesA.4 Ondelettes

temps

éch

elle

s

Figure : http://www.isteem.univ-montp2.fr/LGHF/equip/gaillot/PDF_these/TM.html

éch

elle

s

temps

temps

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A.4.1 Exemple de représentations Temps-EchellesA.4.2 Scalogramme et spectre localA.4.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion)

A.4 Ondelettes

A.4.4 A N-dimensions (cartes, blocs 3D, 4D) : Ondelettes tensorielles

Décompositions position-échelle-angles d’Euler(Pour une carte: décomposition position-échelle-azimut)

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A.4.4. Ondelette classique à 2D : Chapeau Mexicain ou « DOG »

22

2

1222

yxe)yx(

2

2

2

1

22

2y

x

e)yx

(

2(anisotrope, ici avec )(isotrope)

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C. Illustrations numériques simples sur Matlab

Il s’agit d’un script éducatif initialement réalisé pour un cours donné à l’Ecole Polytechnique de Montréal en février 2000.Il permet de calculer les spectres de Fourier de différents signaux, et de les comparer à la transformée en ondelette calculé avec l’ondelette de Cauchy.

Lancer Matlab, puis dans le répertoire “OndelettesMontréal”, taper “TestSignaux”

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Représentation des sources sismiques (sweep/chirp)

B.1 Application en sismique

Source ‘‘propre’’

Source + harmoniquesFigure : Li et al., Geophysics 60, 1995, 501-516

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VosgesTemps (s)0 30

0

40

Fréquence

FosséTemps (s)0 30

0

40

Fréquence

Caractérisation des traces sismiques

Figure : J. Pi Alperin, DEA 2000, EOST

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1D wavelet of first order in x 2D wavelet of first order in x

General expression of 2D wavelets of order = i are obtained byConvolution of oblic derivatives in directions qi and upward continuation:

Oblic derivations Upward continuation

Ondelettes de Poisson (potentiel multipolaire)

1D wavelet of first order in x 2D wavelet of first order in x

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1D wavelet of first order in x 2D wavelet of first order in xTransformées dans le domaine temps-fréquence

Transformée en ondelettes complexesOndelettes + Hilbert

Transformée en ridgelettesOndelettes + Radon

Transformée de Wigner-HoughWigner-Ville + Hough

etc

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Bibliographie (1)Ouvrages de références

Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on wavelets, Regional conference series in applied mathematics No 61, Society for Industrial & Applied Mathematics Marie Farge, Julian Hunt & J. Cristos Vassilicos, 1993, Wavelets, fractals and Fourier transforms: New developments and new Applications, Clarendon Press, Oxford. Efi Foufoula-Georgiou & Praveen Kumar, 1994, Wavelets in Geophysics, Academic Press, San Diego.Bruno Torrésani, 1995, Analyse continue par ondelettes, InterEditions, CNRS Editions, Paris.Matthias Holschneider, 1995, Wavelets, an analysis tool, Clarendon Press, Oxford.Wolfgang Dahmen, Andrew J. Kurdila & Peter Oswald, 1997, Multiscale Wavelet Methods for Partial Differential Equations, Academic Press.Stéphane Mallat, 1997/99, A Wavelet tour of signal processing, Academic Press, San Diego.Patrick Flandrin, 1998 (1993 1ière édition), Temps-fréquence, Edition Hermes, Paris.

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Quelques Thèses

Hassina Boukerbout, 2004, Analyse en ondelettes et prolongement des champs de potentiels. Développement d’une théorie 3-D et applications en géophysique, Géosciences Rennes.Douzi Hassan, 1992, Construction de bases multi-échelles et application à l’estimation des paramètres en sismique, Univ. Paris 9.Fatimetou Mohamed-Salek, 1994, Inversion sismique par une méthode multi-échelles, Univ. Paris 9.Frédérique Moreau, 1995, Transformée en ondelettes de mesures géophysiques, Géosciences Rennes.Guy Ouillon, 1995, Application de l’analyse multifractale et de la transformée en ondelettes anisotropes à la caractérisation géométrique multi-échelle des réseaux de failles et de fractures, Univ. Nice-Sophia Antipolis/BRGM.Felix J. Herrmann, 1997, A scaling medium representation, a discussion on well logs, fractals and waves, Delft Univ. Technology.Pascal Sailhac, 1999, Analyse multiéchelles et inversion de données géophysiques en Guyane Française, Institut de Physique du Globe de Paris.Philippe Gaillot, 2000, Ondelettes continues en Sciences de la Terre - Méthodes et applications, Univ. Toulouse 3.

Bibliographie (2)

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B.2 Application aux champs de potentiel

Magnetic Signature of Dikes

Wav

elet

Do

mai

n

Magnetic Signature of a Fault

Mainly Acid Plutonism (~granodiorite)

Aer

om

agn

etis

mG

eolo

gy

Green Belt (sandstone, quartzite,…)