Embed Size (px)
Citation preview
17/11/2013 Approche théorique 2
La théorie des ondelettes
Elle se situe à la frontière entre : 1. Les mathématiques 2. Le calcul scientifique 3. Le traitement du signal
17/11/2013 Approche théorique 3
Historique
" 1971 Kenneth Wilson : décrit la renormalisation " Décomposition atomique " Fonction autosimilaires de Gabor " 1975 Morlet s’inspire de l’analyse de Fourier à
fenêtre de Gabor
17/11/2013 Approche théorique 4
Time Frequency Analysis The Short Time Fourier Transform
4
x(t) is the signal ω(t) is the window function t is the time period )()(),( 2* dtetttxftSTFT ftj
txπω ω −∫ ʹ′−=
In STFT the window function chosen remained the same width over the entire calculation process
A short data window is used so that the full-analysed signal is partitioned into segments each of them will be analysed separately
To obtain a good localization in time we have chosen a short window
IEEE ISIC 02
Wavelet based Residual Evaluation for Fault Detection and Isolation
17/11/2013 Approche théorique 5
Critique de la STFT
" Imprécise sur le temps dans les hautes fréquences
" Elle ne procure aucune méthode de
reconstruction du signal à partir de la transformée
17/11/2013 Approche théorique 6
17/11/2013 Approche théorique 7
Noise Corrupted Residuals Measurement White Noise (0, 0.2)
Coloured Noise (standard deviation = 1.6156 )
Fault in µm
0γ
1γ
2γ
0γ
1γ
2γ
Fault in Ks
0γ
1γ
2γ
0γ
1γ
2γ
IEEE ISIC 02
17/11/2013 Approche théorique 8
Residual Evaluation using TFA Noise free case
Coloured noise corrupted residuals
Fault in µm Fault in Ks
IEEE ISIC 02
17/11/2013 Approche théorique 9
Analyse temps-échelle
Analyse en ondelettes : F fréquence analysée en fonction de la
largeur de fenêtre
17/11/2013 Approche théorique 10
L’approche de Morlet
" Garder constant le nombre d’oscillations
" Varier la taille de la fenêtre: le principe de l’accordéon
" Nom : ondelettes de forme constante " Reconstruction par une intégrale double
17/11/2013 Approche théorique 11
Les Ondelettes « temps-échelle » de Grossman-Morlet
" L’échelle signifie que le signal sera, à une échelle donnée, remplacé par l’approximation la plus adéquate que l’on puisse tracer à cette échelle
" C ’est une projection sur une « base » dite
d ’ondelettes issues de la même ondelette mère.
17/11/2013 Approche théorique 12
Les ondelettes de Morlet
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
abt
atba ψψ
1)(,
Construction d’une famille de fonction élémentaires :
Les coefficients du signal f sont alors les nombres :
∫∞
∞−
== dtttffbaC babaf )()(),(),( ,, ψψ
17/11/2013 Approche théorique 13
Les ondelettes de Morlet )5cos()( 2
2
tett
−=ψ
.ctff=
Δ
tjt
eet ωσψ 2
2
)(−
=
17/11/2013 Approche théorique 14
Analyse d’un Dirac
20
020
22)(1),( a
bbjabb
eea
baC−
−−
−
=ω
abb −
= 00ωϕ
Module
17/11/2013 Approche théorique 15
Résultats
17/11/2013 Approche théorique 16
La transformée en ondelettes continue unidimensionnelle
" La transformée continue s'écrit :
( )dxabxxf
a−Ψ∫ )(1
Pour un signal, une formulation équivalente de WT est donnée à partir des transformées de Fourier de f et Ψ, si on utilise l'identité de Parseval. : >Ψ=< ˆ,),(2 , fbaWTfψπ
)(ˆ)exp()(ˆ , ωω aa iabba Ψ=Ψ −
17/11/2013 Approche théorique 17
La transformée en ondelettes continue unidimensionnelle (x)
" D'après cette interprétation, nous pouvons représenter un signal monodimensionnel f(x) (ou une fonction) sous forme d'un champ à deux dimensions WT(b,a); en faisant varier b (homogène à un temps), et a (homogène à une échelle). Le résultat est une représentation temps-échelle de f(x).
" La famille des ondelettes construite par dilatation-translation à partir de l'ondelette mère est définie comme :
( )abxaab −Ψ=Ψ 1
avec a ≠ 0 et a,b ∈ R, ainsi, toutes les ondelettes ont la même énergie.
17/11/2013 Approche théorique 18
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 2
2
2
2
41 2
exp13
2)(σσ
σπψ
ttt
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
2exp
38ˆ
222
41
25
ωσω
πσωψ
17/11/2013 Approche théorique 19 Transformée en Ondelettes
Deux sinus des fréquences différentes
Transformée de Fourier
17/11/2013 Approche théorique 20
l Condition de régularité-moments nuls: Ψ présente des moments nuls
La transformée en ondelettes continue
ts C(s,0)= ∫ f(t) s1/2 Ψ [ ] dt
+∞
-∞
n=0
∞
Ψ +∞
-∞
t
s = Σ [ ][ ∫ tn ] dt kn
s n-1/2
moment décroissant
Taylor …
17/11/2013 Approche théorique 21
La transformée en ondelettes continue unidimensionnelle
" La transformée en ondelettes est définie comme le résultat
d'un opérateur intégral qui transforme une fonction d'énergie finie f(x)∈L2(R) en utilisant un ensemble de fonction Ψab.
WT(f,Ψab)= < f | Ψab >
Où < > est le produit scalaire.
Cette transformation modifie l'espace L2(R) de fonctions complexes d'énergie finie à un espace à deux dimensions : l'espace des coefficients d'ondelettes.
17/11/2013 Approche théorique 22
La transformée en ondelettes continue unidimensionnelle
" D'après cette interprétation, nous pouvons représenter un signal
temporel monodimensionnel f(x) (ou une fonction) sous forme d'un champ à deux dimensions WT(b,a); en faisant varier b (homogène à un temps), et a (homogène à une échelle). Le résultat est une représentation temps-échelle de f(x).
" La famille des ondelettes construite par dilatation-translation à partir de l'ondelette mère est définie comme :
( )abxaab −Ψ=Ψ 1
avec a ≠ 0 et a,b ∈ R, ainsi, toutes les ondelettes ont la même énergie.
17/11/2013 Approche théorique 23
17/11/2013 Approche théorique 24
Propriétés fondamentales
17/11/2013 Approche théorique 25
" dilatations et translations d’une fonction analysante
Ondelettes mère
ψ
oscillante
localisée
normée
17/11/2013 Approche théorique 26
Filtre passe-bande " condition d’admissibilité " dilater dans le temps ≡ compresser en
fréquence
" on veut recouvrir tout le spectre en changeant le facteur d’échelle
F {f(at)} = F1 a
ω a
17/11/2013 Approche théorique 27
" L'ondelette mère doit vérifier les propriétés suivantes :
" a) la continuité : être absolument intégrable et de carré intégrable (énergie finie),
" b) l'analytique : sa transformée de Fourier doit être nulle pour ω < 0,
" c) l'admissibilité : ce qui induit un comportement de filtre passe-bande.
17/11/2013 Approche théorique 28
Linéarité, invariance par dilatation et translation
" La transformée en ondelettes est une application
linéaire. Une des propriétés importantes est le principe de superposition qui est respecté.
" Si WTf,ψ(a,b) est la transformée en ondelettes de f(x), alors WTf,ψ(a,b-x0) est la transformée de f(x-x0) et WTf,ψ(a/λ,b/λ) est la transformée de 1/√λ}f(x/ λ).
" Cette propriété n'est pas valable dans le cas de la transformée en ondelettes discrète.
17/11/2013 Approche théorique 29
Conservation de l'énergie
L'information contenue dans le signal est conservée dans le passage de f à ses coefficients d'ondelettes.
La transformée inverse permet la reconstruction de la fonction f en sommant toutes les contributions de la transformée directe dans le plan a x b.
dttfadadbbaC
K RRf
2
2
2)(),(1
2∫∫∫ =
2, ),( )(1)(2 a
dadbbaCtK
tf fR
ba∫∫= ψ
17/11/2013 Approche théorique 30
La transformée inverse " Dans le troisième cas la relation est :
ωψ ωωψπ dC
2)(̂2 ∫=
où
2,,1 )(),()( adadbxbaWTxf bafC ψψ
ψ ∫=
17/11/2013 Approche théorique 31
Définition
" Une fonction ψ(t) de L2(R) est une ondelette si :
17/11/2013 Approche théorique 32
Le principe d’incertitude
17/11/2013 Approche théorique 33
Localisation temps-échelle " La localisation d'ondelettes dans le temps
et dans les fréquences permet de représenter la zone d'influence dans le demi-plan temps-échelle R x R d'un événement se produisant à l'instant x pour le signal f.
17/11/2013 Approche théorique 34
Définitions
dxxfE
df
dxxfx
Rf
Rf
Rf
2
22ˆ
22
)(
)(ˆ
)(
∫
∫
∫
=
=
=
ωωωσ
σDispersion d’énergie de f, en temps
Dispersion d’énergie de f, en fréquence
Energie
17/11/2013 Approche théorique 35
Définition
" On appelle durée utile du signal f la quantité
" Et bande utile du signal la quantité
f
f
Et
22 σ=Δ
f
f
E
2ˆ2
σλ =Δ
17/11/2013 Approche théorique 36
Le principe d’incertitude :
" Indique que l’on ne peut pas localiser finement et le signal et la fréquence
πλ
41
≥ΔΔt
17/11/2013 Approche théorique 37
Relation d’incertitude de Heisenberg
" Le principe: Le produit de la variance de x pour |f|2 et de la variance de x pour |F|2 est supérieur ou égal à
" La largeur du paquet d'énergie d'un signal dans le temps est inversement proportionnelle à sa largeur dans l'espace des fréquences. On ne peut pas connaître avec une égale précision la position dans le temps et en fréquences d'un signal.
π216
1
17/11/2013 Approche théorique 38
17/11/2013 Approche théorique 39
Les ondelettes discrètes
" Transformée en ondelettes continue (s,u) valeurs continues redondance
" è ondelettes discrètes Ψj,k (t) =
s j 0
1 Ψ
j t-kτ0s0 s0 j
17/11/2013 Approche théorique 40
Paramètres: a : facteur d’échelle [1,m] b : facteur de temps [1,k] t : facteur de discrétisation du signal [1,n] Pour a =1,m
Pour b=1,k Initialiser les coefficients de l’ondelettes Pour t=1,n
Evaluer la transformée en ondelettes au point t i.e. wt[a][b]=wt[a][b]*f(t)+Psi((t-b)/a) Fin boucle t
wt[a][b] =(wt[a][b])/sqrt(a) Fin boucle b
Fin boucle a
Algorithme séquentiel de la Transformée en Ondelettes
17/11/2013 Approche théorique 41
Discrétisation de la WT
" La grille dyadique am = 2m bn = n2m où m ∈ Z* et n ∈Z.
" L’ondelettes s’écrit l ψm,n = 2 - m/2ψ(2 -m x –n)
" La transformée en ondelettes devient : l DWTf, ψ(x) = 2 -m/2 ∫ f(x) ψ(2 -m x –n) dx
17/11/2013 Approche théorique 42
Théorie de l’algorithme à trous
" Utilisation d’une ondelette échantillonnée en un nombre fixé de points et l’opération de dilatation se fait en insérant des zéros entre chacune des valeurs de l’ondelette échantillonnée.
17/11/2013 Approche théorique 43
Transformée 2D
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
−= −−
θθ
θθ
ψψ θ
cossinsincos
))((1 11,,
R
bxRaaba
!!
17/11/2013 Approche théorique 44
Exemple du pion-résol 0
17/11/2013 Approche théorique 45
Exemple du pion-résol 4
17/11/2013 Approche théorique 46
Exemple du pion-résol 8
17/11/2013 Approche théorique 47
Exemple du pion-résol 12
17/11/2013 Approche théorique 48
Exemple du pion-résol 16
