CONVERSION DE PUISSANCE 3 [ÉLECTROMAGNÉTISME 10]

CONVERSION ÉLECTROMÉCANIQUE DE PUISSANCE

1. CONTACTEUR ÉLECTROMAGNÉTIQUE EN TRANSLATION

1.1 Énergie magnétique En première année, la machine à courant continu est étudiée via les actions de Laplace sur un conducteur mobile dans un champ magnétique et la force électromotrice induite qui apparaît dans ce conducteur. Dans tout ce chapitre, on choisit une présentation énergétique, plus générale, de la conversion électromécanique. Prenons l’exemple d’un relais. Un noyau ferromagnétique fixe en forme de U est excité par une bobine de N spires parcourue par un courant d’intensité i (électro-aimant). Deux entrefers d’épaisseur x variable le séparent d’un bloc ferromagnétique mobile en translation selon Ox. On note S la section constante du circuit magnétique et l sa longueur moyenne en l’absence de l’entrefer. On va montrer que lorsque la bobine est parcourue par un courant, le bloc subit une force attractive quel que soit le sens de ce courant. On considère que le matériau ferromagnétique est linéaire avec

1r >>µ : il canalise donc les lignes de champ magnétique. On note H l’excitation magnétique et B le champ magnétique dans le matériau, eH et eB dans l’entrefer. Le théorème d’Ampère appliqué dans l’A.R.Q.S sur le contour fermé orienté moyen de longueur x2+l entraîne alors NixHH =+ e2l Par conservation du flux du champ magnétique, on a dans le matériau :

e0r0e HHBB µ=µµ== d’où x

NiB

2r

0

+µ

µ=l

.

Le flux à travers la bobine vaut donc ixLi

x

NNB )(

2r

20 =

+µ

µ==Φl

SS

Le système possède une énergie magnétique 2

r

202

m22

1)(

21

i

x

NixLU

+µ

µ==l

S

Exercice : Retrouver ce résultat en utilisant l’expression de l’énergie magnétique volumique qui

vaut r0

2

m 2 µµ= B

u dans un matériau L.H.I de perméabilité relative rµ

1.2 Force intérieure On considère l’ensemble constitué par la bobine et les matériaux ferromagnétiques. Pendant dt, le système reçoit une énergie électrique uidt et une énergie mécanique xFW dextext =δ sous forme de travail de la force extérieure qui s’applique sur le bloc en translation (et qui inclut son poids le cas échéant).

Si R est la résistance des N spires, on a t

RieRiuddΦ+=−= où e est la f.e.m d’induction qui

apparaît aux bornes de la bobine. D’après la loi de Faraday t

ixL

te

dd

)(dd −≠Φ−= car ici L

dépend de x et donc du temps : l’inductance varie.

On a ainsi xFitRixFtui ddddd ext2

ext +Φ+=+ . La partie tRi d2 de l’énergie étant perdue par

effet Joule, seule la partie xFi dd ext+Φ est stockée par le système sous forme d’énergie

cinétique ou d’énergie magnétique 2m 2

1LiU =

LixFEiLiLiExFiLiLiUExFi d21

dddd21

dddddddd 2extc

2cext

2mcext +=++=++⇔+=+Φ

Or le théorème de l’énergie cinétique appliqué au bloc soumis à extF et F la force exercée par

le reste du système donne xFxFE ddd extc +=

On en déduit LixF d21

d 2= soit ix

UF

∂∂= m

On généralisera cette formule : force i

x

UF

∂∂= m dans tous les cas de contacteur

électromagnétique en translation, et couple de moment i

U

θ∂∂=Γ m dans tous les cas de

contacteur électromagnétique en rotation d’angle θ autour d’un axe fixe.

Dans le cas qui nous intéresse : 2

r

20

m22

1i

x

NU

+µ

µ=l

S et le calcul fournit :

22

r

20

2

i

x

NF

+

µ

µ−=l

S : la force est toujours attractive, quel que soit le sens du courant, et elle est

maximale pour 0=x : 22

22r0

max iN

Fl

Sµµ−= .

On constate que le système cherche à confiner le champ magnétique, soit ici à réduire l’entrefer.

Exercice : Quelle masse peut-on soulever ainsi si 2000r =µ , 500=N , cm 50=l , 2cm 16=S et que le courant est sinusoïdal de fréquence 50 Hz et de valeur efficace mA 50=I ? Pourquoi une analyse fréquentielle du son émis par le système révèle-t-elle un pic fondamental à 100 Hz ?

Applications : électroaimant de levage, relais (le bloc est soumis à une force de rappel d’un ressort, un contact électrique s’établit lorsque le champ magnétique est appliqué).

2. MACHINE SYNCHRONE

2.1 Champ statorique La machine est constituée d’un circuit magnétique en fer doux considéré comme linéaire de perméabilité magnétique relative infinie. Il se compose d'une partie tournante, le rotor, d’axe Oz, de longueur l et de rayon l<<a , et d’une partie fixe, le stator, séparés par un entrefer d’épaisseur ae << constante (machine à pôles lisses). Des fils de cuivre parallèles à Oz sont placés dans des encoches taillées dans le stator, et sont sources d’un champ magnétique statorique que nous allons étudier. Comme l<<a , on peut considérer en négligeant les effets de bord que tout plan orthogonal à l’axe Oz est plan d’antisymétrie des courants et donc que le champ magnétique appartient à ce plan ( 0=zB ). Considérons d’abord le cas d’une seule spire dont deux brins diamétralement opposés sont donc parcourus par des courants inverses d’intensité i(t). On repère un point de l’entrefer par l’angle γ ( 0=γ correspond au plan médiateur des deux fils). On peut montrer (la simulation ci-contre obtenue grâce à un calcul par éléments finis le confirme) que puisque ∞→µr , les lignes de champ sont réfractées orthogonalement aux éléments en fer lors du passage dans l’entrefer : reBB

rr)(γ= radial dans

l’entrefer. Le plan 0=x contenant les deux fils est plan de symétrie de la distribution de courants donc le champ reBB

rr)(γ= est

antisymétrique par rapport à ce plan, alors qu’il est symétrique par rapport au plan médiateur 0=y des deux fils. En appliquant le théorème d’Ampère le long d’une ligne de champ magnétique (qui est aussi une ligne de champ pour l’excitation magnétique puisque les deux champs sont colinéaires dans un milieu linéaire), la circulation de l’excitation magnétique fait intervenir par symétrie 2 fois la contribution de l’entrefer et seulement ce terme puisque H est nul dans un matériau ferromagnétique parfait :

iB

e =µ

γ

0

)(2 d’où

e

iB

2)( 0µ=γ pour

ππ−∈γ2

,2

et e

iB

2)( 0µ−=γ pour

ππ−∉γ2

,2

.

On peut facilement en plaçant d’autres conducteurs bien répartis garder la symétrie de Br

par rapport au plan 0=y et l’antisymétrie par rapport au plan 0=x , tout en obtenant un champ variant sinusoïdalement avec γ. On a ainsi )cos()( s γ=γ iKB

Le fonctionnement des machines alternatives nécessite un champ magnétique tournant que l’on peut obtenir en rajoutant au bobinage précédent parcouru par )cos()( s1 tIti ω= un second

bobinage obtenu par rotation de 2π+ autour de Oz à partir du précédent, et parcouru par

)sin(2

cos)( ss2 tItIti ω=

π−ω= en quadrature de phase retard par rapport à 1i .

Sur le schéma, on n’a représenté que deux fils diamétralement opposés de chaque bobinage. Le champ dans l’entrefer vaut donc [ ] rr eBBeBB

rrr)()()( 21ss γ+γ=γ= avec :

π−γ+γ=γ2

cos)cos()( 2s1ss iKiKB

soit )sin()cos()( 2s1ss γ+γ=γ iKiKB Finalement [ ])sin()sin()cos()cos()( sss γω+γω=γ ttIKB :

)cos()cos()( maxssss tBtIKB ω−γ=ω−γ=γ

Le champ magnétique obtenu tourne à la vitesse angulaire ω autour de Oz. On lui donne le nom de champ glissant qui fait référence à sa structure d’onde harmonique se propageant dans l’entrefer.

2.2 Champ rotorique Des fils de cuivre sont placés dans des encoches taillées dans le rotor, et sont sources d’un champ magnétique rotorique que nous allons étudier. Comme précédemment, les bobinages permettent d’avoir dans le référentiel du rotor un champ spatialement sinusoïdal et stationnaire car les bobinages sont parcourus par des courants stationnaires d’intensité rI . Si on repère par l’angle θ la position du rotor ( 0=θ correspond à un champ maximal en 0=γ ), on a donc dans le référentiel d’étude :

)cos()cos()( maxrrrr θ−γ=θ−γ=γ BIKB

C’est-à-dire un champ glissant tournant à la vitesse angulaire instantanée θ=Ω & du rotor.

2.3 Énergie magnétique

L’énergie magnétique volumique vaut r0

2

m 2 µµ= B

u . Comme ∞→µr , elle est nulle dans le fer,

et on obtient l’énergie magnétique du système en intégrant uniquement sur l’entrefer ( 1r =µ ) :

π

γµ+=

µ=

2

00

2rs

entrefer

3

0

2

m d2

)(d

2lae

BBBU V puisque ae <<

[ ]π

γθ−γ+γ+γµ

=2

0

2rr2s1s

0m d)cos()sin()cos(

2IKiKiK

aeU

l

Comme π=γθ−γ=γγ=γγ πππ 2

0

22

0

22

0

2 )d(cos)d(sin)d(cos et 0)d)sin(cos(2

0

=γγγπ

, on a :

γ

θ−γγ+θ−γγ+π+π+πµ

= π

θ+θ−γθ+θ−γ

2

0)sin(

21

)2sin(21

2

)cos(21

)2cos(21

1rrs2

r2

r2

22

s2

12

s0

m d)cos()sin()cos()cos(22 444 3444 21444 3444 21

liiIKKIKiKiK

aeU

Comme 0)dsin(2)dcos(22

0

2

0

=γθ−γ=γθ−γ ππ

, on obtient :

[ ])sin(2)cos(22 r2rsr1rs

2r

2r

22

2s

21

2s

0m θ+θ+++

µπ= IiKKIiKKIKiKiKae

Ul

, que l’on identifie à :

r22rr11r21122

rr2

222

11m 21

21

21

IiMIiMiiMILiLiLU +++++= .

On en déduit les expressions des inductances propres et mutuelles :

)sin( )cos( 0

0

sr2r

0

sr1r12

0

2r

r0

2s

s21

θµ

π=θµ

π==

µπ=

µπ===

KKaeM

KKaeMM

KaeL

KaeLLL

ll

ll

seuls les termes r22rr11rm )(~

IiMIiMU +=θ dus au couplage entre le rotor et les phases du stator, dépendent de θ :

[ ])sin()sin()cos()cos()(~

0

rrss0m0m θω+θω

µπ+=θ+= tt

IKIKaeUUUU

l soit :

)cos()(~

0

maxrmaxsm t

BBaeU ω−θ

µπ

=θl

Remarque : le couplage entre les deux phases du stator est nul : 012 =M , comme on peut le constater dans le cas où l’enroulement (1) et l’enroulement (2) ne comportent qu’une seule spire constituée par deux fils diamétralement opposés, et fermée par deux fils orthogonaux à l’axe Oz du système. La spire (2) se trouve dans le plan d’antisymétrie des courants de la spire (1), donc le champ 1B

r créé par cette dernière ne traverse pas la spire (2) : la mutuelle

inductance 12M est nulle. En revanche, le rotor crée un champ magnétique dont le flux à travers une des phases du stator n’est pas nul. Toujours dans le cas d’une seule spire pour l’enroulement (1) et (2), on aurait des flux )cos(r01/r θ=Φ IM et )sin(r02/r θ=Φ IM , soit des

mutuelles )cos(01r θ= MM , et )sin(02r θ= MM .

2.4 Couple s’exerçant sur le rotor On admet comme on l’a vu au 1. que le couple des actions électromagnétiques s’exerçant sur

le rotor s’exprime par )sin(~

0

maxrmaxs

,,

m

,,

m

r21r21

θ−ωµ

π=

θ∂∂=

θ∂∂=Γ t

BBaeUU

IiiIii

l.

Pour que la machine fonctionne et convertisse de l’énergie électrique en mécanique ou l’inverse, il faut que la valeur moyenne du couple ne soit pas nulle, ce qui entraîne :

α==θ−ω Ctet soit ω=θ=Ω & d’où le nom « machine synchrone » : le rotor tourne à la même vitesse angulaire que le champ magnétique créé par le stator.

On a alors )sin()sin( max0

maxrmaxs αΓ=αµ

π=Γ

BBael : le couple est moteur si [ ]π∈α ,0 ,

résistant si [ ]0,π−∈α . Exercice : Quelle est la dépendance du moment maximal maxΓ en fonction de l’épaisseur e de l’entrefer ? Montrer que si on prend en compte le phénomène de saturation du champ magnétique dans un matériau ferromagnétique, il existe une valeur optimale de e.

α est l’angle de retard du champ moyen rotorique par rapport au champ moyen statorique. Dans le cas d’un moteur, 0>α : le rotor est en retard par rapport au champ statorique ; c’est l’inverse pour un alternateur. Cet angle dépend de la charge mécanique du rotor. On a en effet par application du théorème du moment cinétique au rotor par rapport à

l’axe Oz : chdd Γ−Γ=Ω

tJ où J est le moment d’inertie du rotor par

rapport à Oz et chΓ− le moment du couple extérieur reçu par le rotor (et incluant d’éventuels frottements solides et fluides).

En régime stationnaire max

chch )sin(

ΓΓ=αΓ=Γ ce qui donne le point de fonctionnement du

système. La condition de synchronisme ne peut être satisfaite que si maxch Γ≤Γ

Cas du moteur synchrone On a maxch0 Γ≤Γ< (si maxch Γ>Γ , le moteur s’arrête ; on dit qu’il décroche).

On a alors pour un moteur deux angles possibles 2

0 1π≤α≤ et π≤α≤π

22.

Pour étudier la stabilité de ces configurations, on les perturbe légèrement. Si 1α diminue, alors Γ diminue et donc le rotor ralentit, donc 1α augmente ; si 1α augmente, alors Γ augmente et donc le rotor accélère, donc 1α diminue. L’état correspondant à 1α est stable. Par le même raisonnement, et du fait que Γ est décroissant au voisinage de 2α , on montre que l’état correspondant à 2α est instable. Le couple électromagnétique qui s’exerce sur le rotor est positif (couple moteur) : de l’énergie électrique est convertie en énergie mécanique.

Cas de l’alternateur synchrone On a alors 0ch >Γ− : on applique un couple moteur, par exemple par des actions hydrauliques

sur l’axe d’une turbine. On a en régime stationnaire 0)sin(max

chch <

ΓΓ=αΓ=Γ .

L’état correspondant à 02 1 ≤α≤π− est stable ; celui à

22π−≤α≤π− instable.

Le couple électromagnétique qui s’exerce sur le rotor est négatif : de l’énergie mécanique est convertie en énergie électrique. Cette énergie est récupérable aux bornes des deux enroulements du stator.

Remarque : l’étude précédente de la stabilité est une étude statique (les courants alimentant les bobinages du stator et du rotor gardent la même amplitude) et montre juste que pour

22π≤α≤π− la machine peut continuer à fonctionner lorsque la charge varie.

Une étude dynamique est possible mais elle dépasse le cadre de ce cours. De toutes façons, un moteur synchrone en boucle ouverte (non asservi) est fortement instable parce que la dynamique des parties mécaniques est beaucoup plus lente que celle des parties électriques : une variation trop rapide des courants de l’induit, donc du champ statorique, ne permet pas au champ rotorique de « s’accrocher ». Ainsi un tel moteur ne peut pas démarrer seul si l’on impose directement un champ statorique de pulsation ω alors que 0=Ω . On règle ce problème en asservissant Ω à ω : machine synchrone autopilotée. On peut alors

se placer à 2π=α et ainsi diminuer l’intensité sI pour minimiser les pertes Joule.

2.5 Bilan énergétique On se place désormais dans le cas où la synchronisation est réalisée.

Équations électriques La machine fait intervenir trois enroulements : deux enroulements identiques au stator, appelés « phases », alimentés par des tensions sinusoïdales 1u et 2u de pulsation ω, en quadrature de phase, et un enroulement au rotor alimenté par une tension continue rU . On note sR la

résistance d’un enroulement du stator, rR celle de l’enroulement du rotor.

Comme 012 =M , une phase du stator ne crée aucun flux à travers l’autre phase du stator. En revanche, le rotor crée un champ magnétique dont le flux à travers une des phases du stator n’est pas nul. On a vu que )cos(r01/r θ=Φ IM et )sin(r02/r θ=Φ IM , avec α−ω=θ t :

)cos(r01/r α−ω=Φ tIM et ( )α−ω=Φ tIM sinr02/r On a donc les f.e.m induites correspondantes :

)sin(d

dr0

1/r1 α−ωω=Φ−= tIM

te et )cos(

dd

r02/r

2 α−ωω−=Φ−= tIMt

e

En tenant compte de l’inductance propre sL des phases, on a le même circuit équivalent pour les deux phases :

On n’a représenté ici que la première phase en introduisant la force contre-électromotrice (f.c.e.m) :

π+α−ωω=α−ωω−=−=′2

cos)sin( r0r011 tIMtIMee .

Toutes les tensions intervenant étant sinusoïdales de même pulsation ω, on peut représenter la loi des mailles à l’aide d’un diagramme de Fresnel en prenant le signal )cos()( s1 tIti ω= pour origine des phases :

Les équations électriques sont donc finalement pour le stator :

′++=

′++=

22

s2s2

11

s1s1

dddd

et

iLiRu

et

iLiRu

Rotor Le rotor étant parcouru par un courant continu, il n’y a pas d’auto-induction à prendre en compte. Le rotor tournant à la même vitesse angulaire que le champ statorique, le flux de ce dernier est constant à travers les bobinages du rotor, et il n’y a pas de f.e.m créée par le stator sur le rotor. La loi des mailles se résume à rrr IRU = C’est précisément parce que le stator n’induit pas de f.e.m dans le rotor alors que le rotor induit une f.e.m dans chaque phase du stator que dans une machine synchrone le rotor est appelé : inducteur et le stator : induit. Les équations électriques précédentes permettent d’écrire :

2211

22

21

s2

rr2

2s2

1srr2211 d)d(

21

ieiet

iiLIRiRiRIUiuiu ′+′+++++=++

Comme )(1 ti et )(2 ti sont en quadrature de phase, on a :

CteItItIii ==ω+ω=+ 2s

22s

22s

22

21 )(sin)(cos , d’où :

22112

rr2

2s2

1srr2211 ieieIRiRiRIUiuiu ′+′+++=++

En fonctionnement synchrone ( Cte=ω=Ω ), l’équation mécanique chdd Γ−Γ=Ω

tJ permet

d’écrire : ΓΩ−=ΩΓ− ch

ΩΓ− ch étant la puissance mécanique reçue par la machine, on a le bilan suivant pour la machine synchrone :

ΓΩ−′+′+++=ΩΓ−++ 2211

Joule effet par dissipée

2rr

22s

21s

reçue totale puissance

chrr2211 ieieIRiRiRIUiuiu444 3444 214444 34444 21

Or la puissance totale reçue qui n’est pas dissipée par effet Joule sert à augmenter l’énergie stockée par le système sous forme magnétique mU ou cinétique cE :

( )cm2211 dd

EUt

ieie +=ΓΩ−′+′

L’énergie cinétique 22

21

21 ω=Ω JJ est constante en fonctionnement synchrone, ainsi que

l’énergie magnétique mU . On a donc ΓΩ=′+′ 2211 ieie : la puissance absorbée par les f.c.e.m est intégralement convertie en puissance mécanique reçue par le rotor.

Le diagramme de Fresnel précédent montre que pour 2π±=α , la f.c.e.m 1e′ est en phase avec

le courant 1i (et 2e′ avec 2i ), ce qui correspond à une puissance maximale absorbée par les f.c.e.m donc à une puissance mécanique maximale, résultat en accord avec ceux du 2.4. Le bilan de puissance s’écrit donc finalement :

4444 34444 214444 34444 21Jouleeffet par dissipée

rrss

reçue totale puissance

chrr22

22

12211 IRiRiRIUiuiu ++=ΩΓ−++

Dans le cas du moteur, 0ch >Γ , on a :

44 344 21444 3444 2144 344 21charge par reçue

ch

Joule effet par dissipée

2rr

22s

21s

reçue électrique puissance

rr2211 ΩΓ+++=++ IRiRiRIUiuiu

Remarque : la puissance utile est plus faible du fait des frottements : sfrottementchu Γ−Γ=Γ On peut citer les 8 moteurs synchrones autopilotés qui équipent les TGV Atlantique et développent chacun une puissance de 1,1 MW. Dans le cas de l’alternateur, 0ch <Γ , on a :

444444 3444444 21444 3444 2144444 344444 21stator du phases les par reçue puissance

2211

Joule effet par dissipée

2rr

22s

21s

reçue éléctrique mécanique puissance

rrch iuiuIRiRiRIU −−+++=+ΩΓ−+

Remarque : la puissance mécanique à fournir est plus grande du fait des frottements :

sfrottementchext Γ+Γ−=Γ On peut citer les alternateurs de voiture, ainsi que les alternateurs de production d’énergie électrique d’E.D.F, ces derniers pouvant convertir des GW !

2.6 Complément : machine synchrone à p paires de pôles On peut reprendre le raisonnement dans le cas où il y a p paires de pôles au stator et au rotor (en pratique de 1 à 128 paires de pôles). On montre alors que le rotor tourne à une vitesse angulaire Ω qui n’est plus égale à la pulsation

d’alimentation ω des phases du stator, mais à p

ω.

Pour des phases du stator alimentées en 50 Hz, on obtient avec p paires de pôles une vitesse

de rotation de tours/min 3000

p

3. MACHINE À COURANT CONTINU

3.1 Champs statorique et rotorique

Une machine à courant continu se compose : — d’une partie fixe : le stator, constituée d’un matériau ferromagnétique qui peut présenter une aimantation permanente ou obtenue à l’aide de bobines d’excitation (parcourues par un courant continu). Il présente comme sur le schéma une paire de pôles (nord N et sud S) ou plusieurs paires de pôles. Le stator crée un champ magnétique B

r canalisé par le matériau

ferromagnétique : c’est le circuit inducteur. Le champ Br

possède des symétries. Dans le cas d’une seule paire de pôles (cas sur lequel nous allons raisonner), il possède un plan de symétrie 0=y et un plan d’antisymétrie 0=x . Le champ moyen statorique sB

r est porté par

Ox. Il est stationnaire contrairement au champ glissant de la machine synchrone. — d’une partie mobile : le rotor, qui tourne autour de l’axe ∆ Oz= . Le rotor est également constitué d’un matériau ferromagnétique. Des encoches sont incrustées dans le rotor, dans lesquelles on loge un ou plusieurs conducteurs appelés « brins ». Ces conducteurs sont disposés en spires bobinées sur le rotor. Les spires sont en série et sont donc parcourues par le même courant électrique i. Le rotor est le siège du phénomène d’induction de Lorentz (circuit mobile dans un champ B

r stationnaire) : c’est le circuit induit.

La partie 2 a montré qu’il y aura un couple d’actions électromagnétiques sur le rotor si on superpose au champ statorique sB

r un champ rotorique synchrone, c’est-à-dire ici un champ

stationnaire rBr

.

Pour obtenir un tel champ alors que le rotor tourne, il faut que le courant garde toujours le

même sens pour les brins caractérisés par

ππ−∈γ2

,2

.

À cet effet, les spires sont connectées au circuit extérieur par l’intermédiaire des lames du collecteur sur lesquelles frottent les balais, ce qui permet d’inverser le sens du courant à chaque demi-tour.

Le collecteur permet donc d’établir le synchronisme entre le champ statorique stationnaire et le champ rotorique quelle que soit la position angulaire du rotor. Le champ rotorique possède alors un plan de symétrie 0=x et un plan d’antisymétrie 0=y .

Le champ moyen rotorique rBr

obtenu est donc porté par Oy. Dans le cas d’un moteur, les courants rotoriques sont dans le sens indiqué sur la figure précédente et rB

r est dirigé selon ye

r− , sB

r selon xe

r et on

obtient ainsi le couple maximal sur le rotor (angle 2π=α ).

Dans le cas d’une génératrice à courant continu, les courants induits au rotor par sa rotation

dans le champ statorique sont opposés à ceux que l’on impose pour un moteur : 2π−=α

3.2 Couple électromagnétique exercé sur le rotor

Puisqu’il y a synchronisme entre les champs statorique et rotorique, on peut utiliser le résultat

vu pour une machine synchrone )sin(0

maxrmaxs αµ

π=Γ

BBael. La configuration

2π±=α permet

d’obtenir un couple maximal en norme.

Pour un moteur 2π+=α et 0>i . Comme iB ∝maxr , on peut écrire i0Φ=Γ

Pour une génératrice, 2π−=α et 0<i . Comme iB −∝maxr : on a la même relation i0Φ=Γ .

Contrairement aux machines synchrones, des champs variant sinusoïdalement avec l’angle γ ne sont pas recherchés. Nous ne donnerons pas d’expression de la constante 0Φ qui dépend

des bobinages du stator et du rotor. En revanche, on peut à titre d’exercice montrer que 0Φ est homogène au flux d’un champ magnétique et son unité est le weber (Wb).

i0Φ=Γ

couple des actions de Laplace sur le rotor La constante 0Φ en weber (Wb) est homogène à un flux de champ magnétique, c’est une

caractéristique du moteur électrique. Remarque : malgré le nom « machines à courant continu », le courant i peut varier, mais à une

fréquence très inférieure à la fréquence de rotation du moteur π

Ω2

.

3.3 Bilan énergétique / f.e.m induite dans le rotor Comme pour la machine synchrone, on peut montrer que la puissance mécanique ΓΩ est absorbée par la f.c.e.m ee −=′ apparaissant au rotor : ΓΩ=−=′ eiie . Comme i0Φ=Γ , on en déduit l’expression de la f.e.m : ΩΦ−= 0e

ΩΦ−= 0e

f.e.m aux bornes de l’induit

3.4 Réversibilité Une machine à courant continu peut fonctionner indifféremment en moteur ou en génératrice : elle est réversible. Les équations de couplage électromécanique i0Φ=Γ et ΩΦ−= 0e sont valables dans les deux cas. Fonctionnement en moteur : 00 <>ΓΩ ei : la puissance mécanique est positive, la force électromotrice induite s’oppose alors au courant dans l’induit. Fonctionnement en génératrice : 00 <ΓΩ>ei : la puissance de la f.e.m induite est positive, les actions électromagnétiques freinent le moteur. On parle de fonctionnement sur quatre quadrants en s’appuyant sur le graphe ci-dessus.

3.5 Moteur Pour un moteur, on utilise la convention récepteur et la force contre-électromotrice ee −=′ . En

tenant compte de l’inductance propre et de la résistance du moteur, on a t

iLrieu

dd++′= avec

0>′ie .

Le moteur à courant continu est alimenté par un générateur de tension continue, ou qui varie à

des fréquences faibles devant π

Ω2

.

Les inductances propres sont généralement très faibles et on les néglige souvent dans les calculs.

3.6 Générateur Pour une génératrice, on utilise la convention générateur. En tenant compte de l’inductance

propre et de la résistance de la génératrice, on a t

iLrieu

dd−−= avec 0>ei .

En présence d’une charge résistive, on a t

iLiRre

dd

)(0 ++=ΩΦ−= (équation électrique)

On obtient l’équation mécanique en appliquant le théorème du moment cinétique à l’ensemble rotor, arbre de moment d’inertie J par rapport à l’axe ∆ :

MiMt

J +Ωλ−Φ=+Ωλ−Γ=Ω0d

d, en tenant compte d’un couple de frottement fluide de

moment Ωλ− et d’un couple moteur de moment 0>M

Si l’on se place en régime stationnaire, on a

+Ωλ−Φ=+=ΩΦ−

Mi

iRr

0

0

0

)( d’où :

ΦΩλ+−

Φ+=+−=ΩΦ

Φ−

ΦΩλ=

000

00

)()()( RrM

RriRr

Mi

soit MRr

=Ω

λ+

+Φ 2

0

On en conclut que si R est finie ( 0≠i ) tout se passe comme si on avait un couple de

frottements fluides Ωλ′− avec Rr +

Φ+λ=λ′2

0 : les frottements sur l’arbre augmentent quand

la génératrice débite. Si ∞→R (circuit ouvert : 0=i ) on a Ω∝ΩΦ−== 0eu : c’est le principe des génératrices tachymétriques qui délivrent une f.e.m proportionnelle à la vitesse angulaire du rotor (capteur de vitesse angulaire).