1 CT 57 (année scolaire 2001/2002) RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Les sollicitations internes Diagrammes M,N et V JM CHATEL

1

CT 57(année scolaire 2001/2002)

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUXLes sollicitations internes

Diagrammes M,N et V

JM CHATEL

2

Résistance des matériauxPlan de la séance

1 - Rappels sur les différents types d ’appuis

2 - Système isostatique,hyperstatique ou hypostatique

3 - Rappels sur la notion d ’isolement d ’un système matériel (principe d ’action-réaction)

4 - Les sollicitations - Notion de coupure - Tracé des diagrammes M,N et V

5 - Exercices

3

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS1.1 Généralités (1/2)

A

B

Dans le plan, le solide (A,B) possède trois degrés de liberté de mouvement :

B’A’

u

v

- deux degrés en translation u et v

B’’

- un degré en rotation

4

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS1.1 Généralités (2/2)

A chaque blocage d’un degré de liberté

Génération d ’une force de liaison (inconnue )

5

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS1.2 L ’appui simple (appui à rouleau)

La liaison appui simple bloque 1 degré de liberté

y

xo

Modélisation :

Introduction d ’une inconnue

Intensité de la réaction verticale YY

6

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS1.3 L ’articulation

La liaison rotule bloque 2 degrés de liberté

y

xo

Introduction de deux inconnues

Intensité de la réaction verticale Y

Intensité de la réaction horizontale XY

X

Modélisation :ou

7

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS1.4 L ’encastrement

La liaison encastrement bloque 3 degrés de liberté

y

xo

Introduction de trois inconnues

Intensité de la réaction verticale Y

Intensité de la réaction horizontale X

Intensité du moment empêchant la rotation M

Y

X

M

Modélisation :ou

8

2 - NOTION DE STRUCTURE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE (1/3)

Un système isostatique est un système en équilibre dont la suppression d ’une liaison entraîne la rupture de l ’équilibre.

Exemple : F

3 degrés de liberté bloqués

Encastrement

Structure stable

ISOSTATIQUE

Libération de la rotation

F

Rotule

Structure instable

HYPOSTATIQUE

9

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS1.5 Notion de structure isostatique ou hyperstatique (2/3)

Un système hyperstatique est un système en équilibre dont la suppression d ’une liaison n’entraîne pas la rupture de l ’équilibre.

Exemple :F

Encastrement

Appui simple

4 degrés de liberté bloqués Libération de la rotation

F

Rotule

Appui simple

Structure ISOSTATIQUEStructure HYPERSTATIQUE


10

1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS1.5 Notion de structure isostatique ou hyperstatique (3/3)

Remarque :

Structure isostatique

Application du PFS

3 inconnues (les 3 réactions aux appuis)

3 équations

Les réactions sont calculables directement par simple

application du PFS


11

3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL

3.1 - Principe d ’action-réaction (1/3)

Soit deux solides (S1) et (S2) jointifs en A soumis respectivement à un système de forces (F) et (F) :

A(S2) F

F (S1)

12

Le seul point de contact entre ces deux solides étant le point A, nous pouvons en conclure, s ’il y a équilibre du système [(S1) + (S2)], que :

A(S2) F

F (S1)A

F 2/1

F 1/2

L ’effort F2/1 exercé par le solide (S2) sur le solide (S1) est égal en intensité mais de sens inverse à celui F1/2 exercé par (S1) sur (S2).



13

Remarques :

F1/2 et F2/1 sont des efforts internes (ou intérieurs) au système [(S1) + (S2)], ils s ’annulent,

F et F sont des efforts externes,

F1/2 et F2/1 sont également des efforts extérieurs pour chacun des solides pris séparément.



14


3.2 - Exemple (1/3)

Étude de l ’équilibre d ’un madrier posé sur deux cales en bois :

F

A

B

15


3.2 - Exemple (2/3)

Modélisation de l ’action des cales sur la poutre

F

Isolation de la poutre par rapport à son support

RA = F/2

RB = F/2

16


3.2 - Exemple (3/3)

Modélisation des actions de la poutre sur chaque cale

Isolation des cales par rapport à la poutre

- RB

- RA

Principe

d ’action-réaction

Les actions des cales sur la poutre sont égales en intensité, mais opposées en sens, aux actions de la poutre sur chaque cale

17

4 - LES SOLLICITATIONS

4.1 - Notion de coupures (1/5)

Remarque préliminaire :

Le but premier de la RdM étant de dimensionner une structure, il faut connaître, en tout point de celle-ci les efforts qui transitent.

Considérons une poutre soumise à un ensemble d ’effort externe :

Isolons cette poutre de ses appuis

18



Redonnons du volume à cet élément composant la structure :

x

y

z

19



Coupons cette poutre à l ’abscisse (x) et isolons le tronçon de gauche :

x

y

z

Ce tronçon de poutre est en équilibre sous l ’action :

- des efforts externes appliqués sur le tronçon de gauche conservé

G X

- des efforts internes (M,N et V) correspondant aux efforts résultants (calculés au CdG de la section considérée) de l ’ensemble des efforts externes agissant sur le tronçon de droite

N

V

M

20



Coupons cette poutre à l ’abscisse (x) et isolons le tronçon de droite :

x

y

z

Ce tronçon de poutre est en équilibre sous l ’action :

- des efforts externes appliqués sur le tronçon de droite conservé

X G

- des efforts internes (M’,N’ et V’) correspondant aux efforts résultants (calculés au CdG de la section considérée) de l ’ensemble des efforts externes agissant sur le tronçon de gauche

N’

V’

M’

21



X G

Principe d ’action - réaction

V

M

N

N’

V’

M’

M ’ = - M

N ’ = - N

V ’ = - V

22


4.2 - Tracé du diagramme V(x) (1/3)

Exemple :

XA = 0 kN

YA = (F/2) = 2,5 kN

YB = (F/2) = 2,5 kNYBYA

XA

F = 5 kN

L = 6 m

L/2L/2

PFSx

yM>0

V

MN

Convention de droite :

V(x) = + [ YB - F] = - 2,5 kN

x

0 x < (L/2)

(L/2) < x L V(x) = + [ YB] = + 2,5 kN

V(x)

x

L/2

-2,5 kN

+ 2,5 kN

F

23



Exemple :

XA = 0 kN

YA = (F/2) = 2,5 kN

YB = (F/2) = 2,5 kNYBYA

XA

F = 5 kN

L = 6 m

L/2L/2

PFSx

yM>0

V(x) = - [ YA] = - 2,5 kN

x

0 x < (L/2)

(L/2) < x L V(x) = - [ YA - F ] = + 2,5 kN

V(x)

x

L/2

-2,5 kN

+ 2,5 kN

F

Convention de gauche :

X GN’

V’M’

24



V(x)

x

L/2

-2,5 kN

+ 2,5 kN

F

Remarques :

1 - Les diagrammes sont identiques avec les deux conventions

2 - Les maximum sont situés, dans ce cas de figure, aux appuis (valeurs absolues des réactions aux appuis déjà calculées).

3 - Le « saut » observé pour l ’abscisse (L/2) correspond en intensité à F

25


4.3 - Tracé du diagramme M(x) (1/2)

Exemple :

XA = 0 kN

YA = (F/2) = 2,5 kN

YB = (F/2) = 2,5 kNYBYA

XA

F = 5 kN

L = 6 m

L/2L/2

PFSx

yM>0

V

MN

Convention de droite :M(x) = + {+[YB(L-x)] -[F((L/2)-x)]}

= (F/2).(L-x) - F ((L/2)-x)

= -(F/2).x + F.x = (F/2) . x = 2,5.x

x

0 x (L/2)

(L/2) x L M(x) = + [ YB. (L-x)] = (F/2).(L-x) = 2,5.(6-x)

26



Diagrammes :

Remarques :

M(x)

x

0 x (L/2)

(L/2) x L

M(x) = 2,5.x

L/2

M(x) = 2,5.(6-x)

L/2

+

Mmax = 7,5 kN.m

1 - En adoptant la convention de « gauche » nous aurions obtenu le même diagramme

2 - Il y a continuité du diagramme au changement d ’équation

3 - L ’abscisse du maximum correspond à l ’abscisse pour laquelle V(x) est nulle

27


4.4 - Tracé du diagramme N(x)

Exemple :

XA = 0 kN

YA = (F/2) = 2,5 kN

YB = (F/2) = 2,5 kNYBYA

XA

F = 5 kN

L = 6 m

L/2L/2

PFSx

yM>0

V

MN

Convention de droite :

N(x) = + [0] = 0 kN

x

0 x (L/2)

(L/2) x L N(x) = + [ XA ] = 0 kNN(x)

x

28


4.5 - Points particuliers 4.5.1 - Rotule interne

Remarque :

Rotule interne

dans la structure

Une équation suplémentaire

M(rotule) = 0

Exemple :

L = 2,00 m

L/2

F = 8 kN

h = 4,00 m

A

Cp = 3 kN /m

B

4 inconnues (XA,YA,MA et YC)

PFS 3 équations

MB = 0 1 équation

4 équations

29



Signification « physique » du signe de M(x) :


4.5 - Cas particuliers 4.5.2 - Effet de la continuité (1/3)

M(x)

xp (kN/m)

Poutre isostatique

L Mmax = (p.L²)/8

L/2 L/2

+?

Le moment ne changeant pas de signe, les fibres de la poutre seront :

- comprimées en partie haute de chaque section composant la poutre

(la flexion ne se fait que dans un sens),

- tendues en partie basse de chaque section composant la poutre.

f0

La flèche maximum sera égale à :fo = (5.p.L4)/(384.E.I)

30



Signification « physique » du signe de M(x) :



M(x)

x

p (kN/m)Poutre

continue à 2 travées

L L

+

-

+

Mmax = - (p.L²)/8 = - 0,125 p.L²

M = 0,07 p.l²

Moment négatifFibres supérieures tendues

Fibres inférieures comprimées

f f = 0,41 fo

31





La prise en compte de la continuité physique entre les tronçons de la poutre

est favorable du point de vue du dimensionnement :

1 - Valeur moins importante de M en travée,

2 - Flèche moins importante en travée.Gain en matériau

32




4.6 - Formulaire RdM (1/2)

POUTRE REACTIONSD'APPUIS

EFFORT TRANCHANT M OM ENT FLECHISSANT FLECHE M AXIM UM

Y A

A B

Y B

p

L

YpL

YpL

A

B

2

2

V est maxi sur

les appuis: V =pL

2

M oment m ax

pL

i à L / 2:

M max 2

8

fpL

EImax 5

384

4

Y A

A B

Y B

L

F

L/2

C

YF

YF

A

B

2

2

V sur les

V est maxi

appuis

V =F

2 en C:

V = F

M oment max

FL

i à L / 2:

M

Sur appuis M = 0

max 4

fFL

EImax 3

48

Y A

A B

Y B

L

F

C

a bY

Fb

L

YFa

L

A

B

V sur les

Fa

LV est maxi

appuis

V =Fb

L , V

en C:

V = F

A B M oment max

Fab

L

i en C :

M

Sur appuis M = 0

max

f

Fa

EIL

b L a

max

3 3

3

2

Y A

p

LC A B

A

Y pL

CpL

A

A

2

2

V est maxi en A :

V = pL 2M

:A en maxi 2

max

pL

Moment

f

pL

EImax 4

8CA

Y

A

A

A

33




4.6 - Formulaire RdM (2/2)

Y A

p

LC A B

AF

Y F

C F LA

A

V e s t m a x i

d e A à B :

V = F

M o m e n t m a x

F L

i e n A :

M m a x fFL

EImax 3

3

Y A

p

LC A B

AFab

C

Y F

C F aA

A

V e s t m a x i

d e A à C :

V = F

M o m e n t m a x

F a

i e n A :

M m a x

f

F a

E IL a

m a x

2

32

Y A

LC A B

A

charge totale F

Y F

CF L

A

A

3

V e s t m a x i e n A :

V = F

M o m e n t m a x

F L

i e n A :

M m a x 3

fFL

EImax 3

15

Y A

LC A B

A

charge totale:FY F

CF L

A

A

2

3

V e s t m a x i e n A :

V = F

M o m e n t m a x

F L

i e n A :

M m a x 23

fFL

EImax 11

60

3

C

Y

A

C

A

Y

A

C

Y

A

34




4.7 - Relations entre N, M et V

Ces relations permettent de déterminer plus rapidement l ’expression

de V(x) sans avoir à écrire les équations d ’équilibre.

V(x) = - dM(x)/dx

qy(x) = dV(x)/dx

qx(x) = dN(x)/dx

qy

qx

dx

x

y

-V

-N

-MM+dM

V+dV

N+dM

35

5 - EXERCICES

A

p = 2 kN /m

L/2L/4L/4

L = 6,00 m

F = 10 kN

B

1- Déterminer les réactions aux appuis

2- Tracer les diagrammes M,N et V

Documents

1 CT 57 (année scolaire 2001/2002) RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Les sollicitations internes Diagrammes M,N et V JM CHATEL