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2 Géométrie dans l’espace
1 Droites et plans
1. 1 Positions relatives de droites et de plans
Remarque 2. 1
Dans un plan deux droites qui n’ont aucun point en commun sont parallèles. Ce n’est pas le cas dans l’espace.
Exemple 2. 1
On considère un cube ��������1. des plans ��� et ���2. des droites �� et ��3. de la droite �� et du plan
1. 2 Parallélisme dans l’espace
i. Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l’une est
parallèle à l’autre.
ii. Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l’un est parallèle à
l’autre.
1. Deux droites �� et � de l’espace peuvent être
Coplanaires et sécantes
�� ∩ � est un point
Coplanaires et
��
2. Deux plans � et �� peuvent être :
Sécants � ∩ �� est une droite
3. Par rapport à un plan � une droite �Sécante � ∩ � est un point
Proposition 2. 1
Proposition 2. 2
Proposition 2. 3 1
1 Positions relatives de droites et de plans
Dans un plan deux droites qui n’ont aucun point en commun sont parallèles. Ce n’est pas le cas dans l’espace.
��������. Sans justifier indiquer les positions relatives
��� ; �� ;
et du plan ��� ;
4. des plans ��� et ��� ;
5. du plan ��� et de la droite ��6. des droites �� et ��.
Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l’une est
Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l’un est parallèle à
de l’espace peuvent être :
Coplanaires et strictement
parallèles �� ∩ � � ∅
�� ∩ � � �� � �
Coplanaires et confondues
� ∩ �� � ∅
Strictement parallèles
� peut être :
� ∩ � � ∅
Strictement parallèle
Contenue dans
TS 2017/2018
Dans un plan deux droites qui n’ont aucun point en commun sont parallèles. Ce n’est pas le cas dans l’espace.
relatives :
�� ;
�� ∩ � � ∅
Non coplanaires
� ∩ �� � � � �� Confondus
� ∩ � � �
Contenue dans �
2 Géométrie dans l’espace
Remarque 2. 2
- Si une droite est parallèle à un plan elle n’
- Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas nécessairement parallèles.
- Deux plans parallèles à une même droite ne sont pas nécessairement parallèles.
Exemple 2. 2
On considère un cube ��������1. Justifier que la droite 2. a. Démontrer que les droites
b. Démontrer que les droites
c. Démontrer que les droites
3. a. Justifier que �� est parallèle au
b. Justifier que �� et
1. 3 Orthogonalité dans l’espace
1. Deux plans sont parallèles si et seulement si deux
droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites
sécantes de l’autre.
1. Si une droite � est parallèle à deux plans
2. Si � et �� sont deux plans sécants selon une droite
contenues dans � et �� alors �, �� et
3. Si deux plans � et �� sont parallèles alors tout plan
parallèles.
1. Une droite � est parallèle à un plan �
est parallèle à une droite �� contenue dans
Proposition 2. 4
Proposition 2. 5
Proposition 2. 6 2
elle n’est pas parallèle à toutes les droites du plan.
Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas nécessairement parallèles.
droite ne sont pas nécessairement parallèles.
��������. �, � et � sont les milieux respectifs des segments �� est parallèle au plan ���.
Démontrer que les droites �� et �� sont parallèles.
Démontrer que les droites �� et �� sont parallèles.
Démontrer que les droites �� et �� sont sécantes et construire leur point d’intersection. est parallèle au plan ���. et ��� sont sécants et construire leur point d’intersection.
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux
droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites
2. Si un plan � contient deux droites sécantes et
parallèles à un plan �� alors
est parallèle à deux plans � et �� sécants en une droite � alors � et � sont parallèles.
sont deux plans sécants selon une droite � et si � et �� sont deux droites parallèles respectivement
et � sont parallèles.
sont parallèles alors tout plan ��� sécant à � est sécant à �� et les droites d’intersections sont
� si et seulement si �
contenue dans �.
2. Si deux plans � et �� sont parallèles alors toute droite
contenue dans � est parallèle à
TS 2017/2018
sont les milieux respectifs des segments ����, ���� et ����.
sont sécantes et construire leur point d’intersection.
sont sécants et construire leur point d’intersection.
contient deux droites sécantes et
alors � et �� sont parallèles.
sont parallèles.
sont deux droites parallèles respectivement
et les droites d’intersections sont
sont parallèles alors toute droite
est parallèle à ��.
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
3
Remarque 2. 3
- On utilise le mot « perpendiculaire » lorsque les ensembles concernés sont orthogonaux et sécants.
- Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et coplanaires.
- Deux droites perpendiculaires à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles.
Exemple 2. 3
��������est un cube.
1. Démontrer l’orthogonalité des droites �� et du plan ���.
2. En déduire que les droites �� et �� sont orthogonales.
3. En déduire l’orthogonalité de la droites �� et du plan ��� puis celle des
droites �� et ��.
Exercice 2. 1 (A préparer : questions e et f)
Exercice 2. 2 (A préparer : exercice 2. 3) ; exercice 2. 4 (A préparer : questions d et e)
Exercice 2. 5
2 Géométrie vectorielle
2. 1 Extension de la notion de vecteur à l’espace
La notion de vecteur est définie dans l’espace comme dans le plan. On a les mêmes définitions et on peut énoncer les mêmes
théorèmes avec démonstrations analogues à celles des théorèmes du plan.
i. Si � et � sont deux points distincts de l’espace, le vecteur �������� est défini par sa direction : celle de la droite ��, son
sens : de � vers � et sa norme : la longueur �� notée ����������.
ii. Lorsque � et � sont confondus, le vecteur �������� est appelé vecteur nul, noté 0��.
iii. Lorsque deux vecteurs ont même direction, même sens et même norme on dit qu’ils sont égaux.
1. Si deux droites sont parallèles toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
2. Si � est orthogonale à un plan � elle est orthogonale à toute droite contenue dans �.
3. Si deux droites sont parallèles,
tout plan perpendiculaire à
l’une est perpendiculaire à
l’autre.
4. Si deux droites sont
perpendiculaires à un même
plan alors elles sont parallèles.
5. Si deux plans sont parallèles
alors toute droite
perpendiculaire à l’un est
perpendiculaire à l’autre.
6. Si deux plans sont
perpendiculaires à une même
droite alors ils sont parallèles.
- Deux droites sont orthogonales si l’une d’elles est parallèle à une droite
perpendiculaire à l’autre.
- On dit qu’une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu’elle est perpendiculaire à
deux droites sécantes du plan.
Proposition 2. 7
Définition 2. 2
Proposition 2. 7
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
4
2. 2 Calcul vectoriel dans l’espace
Les opérations sur les vecteurs, addition de deux vecteurs, multiplication d’un vecteur par un réel, sont définies comme dans
le plan et leurs propriétés se démontrent de la même façon.
i. Soustraire un vecteur !� à un vecteur "�� c’est lui ajouter son opposé : "�� − !� � "�� + −!�.
ii. Le produit du vecteur %��� par le réel & est le vecteur '"�� tel que :
- si "�� � 0�� ou ' � 0 alors '"�� � 0�� ; - sinon, '"�� a :
- la même direction que "�� ; - le même sens que "�� si ' > 0, le sens contraire de "�� si ' < 0 ; - pour norme |'| × ‖"��‖.
Pour tous vecteurs "��, !�, .��� du plan,
i. "�� + !� � !� + "�� ;
ii. "�� + !� + .��� � "�� + !� + .��� ; iii. "�� + 0�� � 0�� + "�� � "�� ; iv. Il existe un unique vecteur, noté −"�� et appelé opposé de %���, tel que "�� + −"�� � −"�� + "�� � 0��.
(Si "�� � ��������, −"�� � ��������)
i. Relation de Chasles :
Quelque soient les points /, 0 et � de l’espace, /0�������� + 0�������� � /��������.
ii. Règle du parallélogramme :
�, �, � et � désignant quatre points de l’espace,
���� est un parallélogramme si et seulement si �������� � �������� + ��������.
Ces deux propriétés donnent deux manières permettant de construire une somme
vectorielle : « bout à bout » ou à l’aide d’un parallélogramme.
Comme dans le plan, si � ≠ � et � ≠ � , les vecteurs �������� et �������� sont égaux si et seulement si ���� est un
parallélogramme.
Proposition 2. 8
Proposition 2. 9
Définition 2. 3
Proposition 2. 10
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
5
Exemple 2. 4
���� est un tétraèdre. �, �, �, �, �, � sont les mieux respectifs des segments ����, ����, ����, ����, ����, ����.
1. Démontrer que �������� + �������� � �������� + ��������.
2. Montrer que ��������� + �������� � 2�������.
3. Montrer que 2������� � �������� et que 2������� � ��������.
En déduire la nature du quadrilatère ����.
4. Soit 3 le milieu du segment ����. Démontrer que 3������� + 3������� + 3������� + 3�������� � 0��.
2. 3 Vecteurs colinéaires
Remarque 2. 4
Lorsque deux vecteurs "�� et !� sont colinéaires on peut écrire l’un en fonction de l’autre. On dit que les vecteurs sont
dépendants ou liés. On dit qu’ils sont indépendants ou libres dans le cas contraire.
Exemple 2. 5
�������� est un cube. � est le centre du carré ����, � le point défini par ������� � �4 ��������, � est le milieu du
segment ���� et / le point défini par /�������� + 2/������� � 0��.
1. Faire une figure.
2. a. A l’aide de la relation de Chasles démontrer que �������� � 2������.
Que peut-on en déduire ?
b. Retrouver le résultat précédent en exprimant les vecteurs �������� et ������ en
fonction des vecteurs ��������, �������� et ��������.
3. Démontrer que les points �, /, � sont alignés.
Exercices 2. 6 (A préparer : exercice 2. 7)
i. Trois points �, �, � sont alignés si et seulement si les vecteurs �������� et �������� sont colinéaires.
ii. Trois points �, �, � définissent un plan si et seulement si ils �������� et �������� ne sont pas colinéaires.
iii. Deux droites �� et �� sont parallèles si et seulement si �������� et �������� sont colinéaires.
Soit � un point et "�� un vecteur non nul.
L’ensemble des points / tels que �/������� et "�� sont colinéaires est une droite, notée 5�, "��.
On dit que "�� dirige la droite ou que "�� est un vecteur directeur de cette droite.
Dire que deux vecteurs "�� et !� de l’espace sont colinéaires signifie qu’il existe un réel ' tel que "�� � '!�.
Quelque soient les vecteurs "��, !�, .��� et les réels ', '′, i. '"�� + !� � '"�� + '!� ; iii. ''�"�� � ''�"�� ;
ii. ' + '′"�� � '"�� + '′"�� ; iv. '"�� � 0 si et seulement si ' � 0 ou "�� � 0��.
Définition 2. 4
Proposition 2. 11
Conséquence 2. 1
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
6
2. 4 Vecteurs coplanaires
Remarque 2. 5
Lorsque trois vecteurs sont coplanaires on peut en écrire un en fonction des deux autres. On dit que les vecteurs sont
dépendants ou liés. On dit qu’ils sont indépendants ou libres dans le cas contraire.
Exemple 2. 6 ���� est un tétraèdre, � est le point tel que �������� � �9 ���������. Les vecteurs ��������, ���������, �������� sont-ils coplanaires ?
Remarque 2. 6
D’après i, trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si ils admettent des représentants dont les extrémités sont
coplanaires.
Exemple 2. 7
�������� est un cube, �, �, �, : sont les milieux respectifs des segments ����, ����, ����, ���� et / est
le point tel que �/������� � � �������� + 94 ���������.
1. Justifier que / se trouve dans le plan ���.
2. Démontrer que les droites �� et �: sont parallèles.
3. Démontrer que les vecteurs �/������, �������� et �������� sont coplanaires. Que peut-on en déduire ?
4. Démontrer que les plans ��/ et ��: sont parallèles.
Exercices 2. 8 et 2. 10 (A préparer : exercice 2. 9)
2. 5 Repérage dans l’espace
On appelle repère de l’espace tout quadruplet ;3 ; =�, >�, '��? où 3 est un point de l’espace et =�, >�, '�� trois vecteurs non
coplanaires
i. Quatre points �, �, �, � sont coplanaires si et seulement si les vecteurs ��������, ��������, �������� sont coplanaires.
ii. Deux droites �� et �� sont coplanaires si et seulement si les vecteurs ��������, ��������, �������� sont coplanaires.
iii. Une droite /0 est parallèle à un plan ��� si et seulement si /0��������, �������� et �������� sont coplanaires.
iv. Un plan /0� est parallèle à un plan ��� si et seulement si /0��������, /��������, �������� et �������� sont coplanaires.
Soit � un point, "�� et !� deux vecteurs non nuls non colinéaires.
L’ensemble des points / tels que �/�������, "�� et !� sont coplanaires est un plan, noté @�, "��, !�.
On dit que "�� et !� dirigent le plan ou sont des vecteurs directeurs de ce plan.
On dit que trois vecteurs "��, !� et .��� de l’espace sont coplanaires si il existe deux réels ' et '� tels que "�� � '!� + '�.���.
Définition 2. 5
Proposition 2. 12
Conséquence 2. 2
Définition 2. 6
Proposition 2. 13
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
7
Les propriétés de calcul sur les coordonnées sont analogues à celles du plan et peuvent être obtenues en utilisant les mêmes
procédés.
Exemple 2. 8
1. Soient �1 ; 2 ; −1, �2 ; 1 ; 3, �−1 ; 3 ; −2 et �1 ; 1 ; 6.
a. Démontrer que les points �, � et � définissent un plan.
b. �, �, � et � sont-ils coplanaires ? 2. Soient �−2 ; 3 ; 1, �1 ; 2 ; 2, �−1 ; −1 ; 3 et �4 ; −10 ; 8.
Les droites �� et �� sont-elles sécantes ?
3. Soient �1 ; 1 ; 1, �−1 ; 2 ; 3, �−2 ; −1 ; 6, �−3 ; −4 ; 3 et �−7 ; −9 ; 0.
a. Démontrer que les points �, � et � définissent un plan.
b. La droite �� est-elle parallèle au plan ��� ?
4. Soient �−1 ; 3 ; 1, �3 ; 1 ; −1, �1 ; −3 ; −1 et �−5 ; 0 ; 2.
a. Démontrer que ��� est un triangle rectangle.
b. Montrer que les vecteurs �������� et �������� sont colinéaires.
En déduire que les points �, �, � et � sont coplanaires.
c. Quelle est la nature du quadrilatère ���� ?
A préparer : exercice 2. 11
3 Produit scalaire dans l’espace
Soit ;3 ; =�, >�, '��? un repère de l’espace.
1. Si "��D ; E ; F et "′����D� ; E� ; F� alors :
- "�� � 0�� si et seulement si D � 0, E � 0 et F � 0 ; - "�� � !� si et seulement si D � D′, E � E′et F � F′ ; - "�� + "′���� GD + D′E + E′F + F′H ; - pour tout réel ', '"�� G'D'E'FH.
2. Si � et � sont deux points de l’espace de coordonnées respectives DI ; EI ; FI et DJ ; EJ ; FJ alors :
- �������� GDJ − DIEJ − EIFJ − FI H ;
- le milieu du segment ���� a pour coordonnées KLMNLO ; PMNPO ; QMNQO R.
3. Si le repère est orthonormé :
- ‖"��‖ � SD + E + F ;
- �� � ���������� � SDJ − DI + EJ − EI + FJ − FI .
Soit ;3 ; =�, >�, '��? un repère de l’espace.
i. Pour tout point /, il existe un unique triplet de nombres réels D ; E ; F tels que 3/������� � D=� + E>� + F'��.
ii. Pour tout vecteur "��, il existe un unique triplet de nombres réels D ; E ; F tels que "�� � D=� + E>� + F'��.
Ce triplet est appelé triplet de coordonnées du point / ou du
vecteur "�� dans le repère ;3 ; =�, >�, '��?. D, E, F sont respectivement appelés abscisse, ordonnée et côte du
point / ou du vecteur "��.
Proposition 2. 14
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
8
3. 1 Expressions du produit scalaire
Dans l’espace deux vecteurs sont nécessairement coplanaires. On étend alors aux vecteurs de l’espace la définition du
produit scalaire donnée dans le plan et les expressions établies dans le plan restent valables dans l’espace.
Remarque 2. 7
i. "�� � ‖"��‖ et pour deux points � et �, �������� � �� .
ii. Si "�� � 0�� ou si !� � 0�� alors "�� ∙ !� � 0.
iii. Si "�� et !� sont deux vecteurs colinéaires et de même sens, U � 0 donc "�� ∙ !� � ‖"��‖ × ‖!�‖.
Si "�� et !� sont colinéaires et de sens contraire, U � V donc "�� ∙ !� � −‖"��‖ × ‖!�‖.
iv. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
3. 2 Règles de calcul
Conséquence 2. 3 "�� + !� � "�� + 2"�� ∙ !� + !� ou encore ‖"�� + !�‖ � ‖"��‖ + 2"�� ∙ !� + ‖!�‖ ; "�� − !� � "�� − 2"�� ∙ !� + !� ou encore ‖"�� − !�‖ � ‖"��‖ − 2"�� ∙ !� + ‖!�‖ ; "�� + !� ∙ "�� − !� � "�� − !� ou encore "�� + !� ∙ "�� − !� � ‖"��‖ − ‖!�‖ .
Exemple 2. 9
�������� est un cube d’arête W. � est le milieu du segment ����. Les points / et 0 sont les centres des
faces ���� et ����. Exprimer en fonction de W les produits scalaires suivants :
a. �������� ∙ �������� ; c. �������� ∙ �������� ; e. �������� ∙ �������� ; g. ������� ∙ �������� ; i. ������� ∙ �������� ;
b. �������� ∙ �������� ; d. �������� ∙ ��������� ; f. ��������� ∙ �������� ; h. ������� ∙ �������� ; j. ������� ∙ ��������� ;
k. �/������� ∙ �0�������. En déduire l’arrondi au dixième de degré de l’angle /�0X .
Exercice 2. 12
Exercice 2. 13 (A préparer : exercice 2. 14)
4 Représentations paramétriques
Soient "��, !�, .��� trois vecteurs et ' un réel.
i. Le produit scalaire est symétrique : "�� ∙ !� � !� ∙ "�� ;
ii. "�� ∙ !� + .��� � "�� ∙ !� + "�� ∙ .��� et "�� + !� ∙ .��� � "�� ∙ .��� + !� ∙ .���
iii. '"�� ∙ !� � '"�� ∙ !� et "�� ∙ '!� � '"�� ∙ !�.
L’espace est muni d’un repère orthonormé ;3 ; =�, >�, '��?.
Soient deux vecteurs "��D ; E ; F, !�D� ; E� ; F�, �, �, � tels que �������� � "�� et �������� � !�.
Soit U la mesure de l’angle géométrique associé à "�� et !� et � le projeté orthogonal de � sur la droite ��.
i. "�� ∙ !� � � ‖"�� + !�‖ − ‖"��‖ − ‖!‖ ;
ii. "�� ∙ !� � ‖"��‖ × ‖!�‖ × cos U ;
iii. "�� ∙ !� � �������� ∙ ��������� ;
iv. "�� ∙ !� � DD� + EE� + FF�.
Proposition 2. 15
Proposition 2. 16
Proposition 2. 17
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
9
Remarque 2. 7
- Lorsqu’une représentation paramétrique d’une droite � est écrite sous la forme du système précédent alors on peut
affirmer que � passe par le point �DI; EI ; FI et que "��W ; \ ; ] dirige �.
- Puisqu’une droite � admet une infinité de vecteurs directeurs et passe par une infinité de points alors il existe une infinité
de systèmes d’équations paramétriques de �.
Exemple 2. 10
1. Donner une représentation paramétrique de la droite � � 5� ; "�� où �−1 ; 2 ; 0 et "��0 ; −1 ; 1.
2. Soit � la droite de représentation paramétrique ^D � 3_ − 1E � _ + 2 F � _ − 2 ` où _ ∈ ℝ.
Donner un point et un vecteur directeur de la droite �.
3. Le point �3 ; 1 ; 4 est-il un point de la droite définie par ^D � _ + 2 E � −2_ + 3F � 3_ − 2 ̀ où _ ∈ ℝ ?
4. Soient �2 ; 0 ; 1 et �0 ; −1 ; 3.
La droite �� a-t-elle pour représentation paramétrique ^D � 4 + 6_ E � 1 + 3_ F � −1 − 6_` où _ ∈ ℝ ?
A préparer : exercice 2. 15
Exemple 2. 11
1. Soient �1 ; 0 ; 2, �−1 ; 1 ; 3 et �5 ; 1 ; 0.
a. Démontrer que les points �, �, � définissent un plan.
b. Déterminer une représentation paramétrique de ���.
2. Soit � le plan de représentation paramétrique ^D � 1 + _ + 2_�E � −1 + _ − _�F � 3 + 3_� ` où _ ; _� ∈ ℝ .
a. Donner un point et un couple de vecteurs directeurs de ce plan.
b. Démontrer que � et @3, =�, >� sont sécants.
c. Déterminer l’intersection de � et @3, =�, >�.
A préparer : exercice 2. 16
5 Equation cartésienne d’un plan.
L’espace est rapporté à un repère ;3 ; =�, >�, '��?. Soient �DI; EI ; FI, "��W ; \ ; ] et !�W� ; \�; ]�.
Le plan @�, "��, !� est l’ensemble des points /D ; E ; F tels que cD � DI + W_ + W�_�E � EI + \_ + \�_�F � FI + ]_ + ]�_� ` où _ ; _� ∈ ℝ .
On dit que ce système est un système d’équations paramétriques de @�, "��, !�.
L’espace est rapporté à un repère ;3 ; =�, >�, '��?. Soit �DI; EI ; FI et "��W ; \ ; ].
La droite 5�, "�� est l’ensemble des points /D ; E ; F tels que ^D � DI + W_E � EI + \_F � FI + ]_ ` où _ ∈ ℝ.
On dit que ce système est un système d’équations paramétriques de 5� ; "��, _ est le paramètre.
Proposition 2. 18
Définition 2. 7
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
10
Remarque 2. 9
Si d�� est un vecteur normal à � alors tout vecteur non nul colinéaire à d�� est aussi un vecteur normal à �.
Exemple 2. 12 1. Vérifier que les points �0 ; 1 ; −1, �3 ; −2 ; 0 et �−3 ; −2 ; 2 définissent un plan.
2. Le vecteur d��1 ; 2 ; 3 est-il normal au plan ��� ?
Exemple 2. 13
1. a. Déterminer un vecteur normal au plan � d’équation 3D − E + F + 1 � 0.
b. Le point �1 ; 2 ; 3 appartient-il à � ?
2. Soient �1 ; 3 ; 2, �0 ; −1 ; −1 et �−9 ; 2 ; −2.
a. Démontrer que �, � et � définissent un plan.
b. Montrer que le vecteur d��1 ; 2 ; −3 est normal au plan ���.
c. Déterminer une équation cartésienne du plan ���.
3. Soient �1 ; 1 ; 5, �3 ; 1 ; 1 et �−2 ; −3 ; −1
a. Démontrer que les points �, � et � définissent un plan.
b. Démontrer que ��� admet pour équation cartésienne 2D − 3E + F − 4 � 0.
A préparer : exercice 2. 17
Exercice 2. 18
6 Positions relatives de plans et de droites
6. 1 Positions relatives de droites
Conséquence 2. 4 ROC
On peut démontrer le résultat suivant : une droite est orthogonale à toute droite d’un plan si et seulement si elle est
orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Les droites 5� ; "�� et 5� ; !� sont :
i. parallèles si et seulement si "�� et !� sont colinéaires.
ii. coplanaires si et seulement si les vecteurs ��������, "�� et !� sont coplanaires.
iii. sécantes si et seulement si elles sont coplanaires et non parallèles.
iv. orthogonales si et seulement si "�� et !� sont orthogonaux.
v. perpendiculaires si et seulement si elles sont coplanaires et orthogonales.
ROC
L’espace est muni d’un repère orthonormé ;3 ; =�, >�, '��?. Soit � un point, � un plan et d�� un vecteur non nul.
i. L’ensemble des points / tels que �/������� ∙ d�� � 0 est le plan � passant par � de vecteur normal d��.
ii. Si d��W ; \ ; ] est un vecteur normal à � alors � admet une équation cartésienne de la forme WD + \E + ]F + � � 0
où � ∈ ℝ.
iii. Réciproquement si W, \, ], � sont quatre réels, W, \, ] non tous nuls, alors l’ensemble des points /D ; E ; F tels que WD + \E + ]F + � � 0 est un plan de vecteur normal d��W ; \ ; ].
On appelle vecteur normal à un plan � tout vecteur non nul d�� orthogonal à deux vecteurs non colinéaires qui dirigent �.
Proposition 2. 19
Proposition 2. 20
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
11
Exemple 2. 14
Soient �2 ; −1 ; 5, �1 ; −3 ; 2, et � la droite de représentation paramétrique ^D � 1 + _ E � 2 F � −3 + _ ` où _ ∈ ℝ.
1. Les droites �� et � sont-elles parallèles ? Orthogonales ?
2. Soit �� la parallèle à � passant par �2 ; 3 ; 9. Donner une représentation paramétrique de ��. 3. Démontrer que les droites �� et �� sont sécantes.
4. �� et �� sont-elles perpendiculaires ?
5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de �� et ��.
Exercice 2. 20 (à préparer : exercices 2. 19 et 2. 21) Sujets 1, 2, 3
6. 2 Positions relatives de deux plans
Exemple 2. 15
1. Soient e ∶ 2D + E − F − 3 � 0 et e� ∶ D + 2E − 2F + 5 � 0 . Démontrer que e et e� sont sécants
suivant une droite � de représentation paramétrique gD � ��9 E � _ − �99F � _ ` où _ ∈ ℝ.
2. Soient �−1 ; 2 ; −8, �3 ; 4 ; 4 et �1 ; 0 ; 4 trois points de l’espace.
a. Démontrer que �, � et � définissent un plan.
b. Vérifier que ��� admet pour équation 4D − 2E − F � 0.
c. Démontrer que les plans ��� et � ∶ D + 3E − 2F + 1 � 0, sont perpendiculaires.
d. Déterminer une représentation paramétrique de la droite �, intersection de ��� et de �.
e. Déterminer une équation cartésienne du plan �� parallèle à � passant par �.
f. Justifier que �� et ��� se coupent perpendiculairement suivant une droite dont on donnera une
représentation paramétrique.
3. Existe-t-il un point appartenant aux trois plans � ∶ D − 2E − 3F � 6 , h ∶ 2D + 4E − F � 48 et i ∶ 3D − 2E + F � 2 ? Si oui le déterminer.
Exercice 2. 23 (à préparer : exercice 2. 22) Sujets 4, 5
6. 3 Positions relatives d’une droite et d’un plan
Exemple 2. 16
1. Soit e le plan d’équation 2D − E + 3F − 6 � 0. Dans chaque cas étudier les positions relatives de � et e. Lorsqu’ils sont sécants déterminer les coordonnées de leur intersection.
a. � � 5� ; "�� où �2 ; 1 ; −2 et "��1 ; 2 ; −1.
b. � � �� où �2 ; 1 ; −1 et �3 ; 0 ; −2.
c. � � 5� ; !� où �1 ; 2 ; 2 et !�2 ; −5 ; −3.
Soit � un plan de vecteur normal d��.
- 5� ; "�� et � sont parallèles si et seulement si "�� et d�� sont orthogonaux.
- 5� ; "�� et � sont sécants si et seulement si "�� et d�� ne sont pas orthogonaux.
- 5� ; "�� et � sont perpendiculaires si et seulement si "�� et d�� sont colinéaires.
Deux plans � et �� de vecteurs normaux respectifs d�� et d����� sont :
- parallèles si et seulement si d�� et d����� sont colinéaires.
- sécants si et seulement si d�� et d����� ne sont pas colinéaires.
- perpendiculaires si et seulement si d�� et d����� sont orthogonaux.
Proposition 2. 21
Proposition 2. 22
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
12
2. Soit � le plan d’équation cartésienne 3D − 2E + F − 6 � 0 et � la droite de représentation
paramétrique ^D � −1 + _E � −1 − _F � 7 − 5_ ` où _ ∈ ℝ. a. Démontrer que � est contenue dans �.
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de � avec les axes du repère.
c. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de � avec les plans 3 ; =�, >�, ;3 ; =�, '��? et ;3 ; >�, '��?.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite � passant par �2 ; 3 ; 5 perpendiculaire au
plan � d’équation 3D − 2E + F + 5 � 0.
4. Déterminer une équation cartésienne du plan � passant �3 ; 1 ; 1 perpendiculaire à la droite �� où �1 ; 0 ; 5 et �3 ; −3 ; 8.
Exercice 2. 25 (à préparer : exercice 2. 24) QCM, sujets 6, 7, 8, 9
Exercice 2. 26 (à préparer : exercice 2. 27)
Exercice 2. 28
Exercice 2. 29 (à préparer : exercice 2. 30) Sujets 10, 11, 12
Exercice 2. 31 (à préparer : exercice 2. 32) Sujets 13, 14
Exercice 2. 33 (à préparer : exercice 2. 34)
Exercice 2. 35 (à préparer : exercice 2. 36)
Exercice 2. 38 Sujet 15
Exercice 2. 37
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
13
Exercices Exercice 2. 1 �������� est un cube cf annexe. Les points �, �, �, :, /, 0, �, h sont les milieux de certaines arêtes du cube. Dans chaque cas construire la section du cube �������� par le plan @. a. @ � ��� ; b. @ � ��� ; c. @ � �:/ ; d. @ � �/0 ; e. @ � ��h ; f. @ � ��:. Exercice 2. 2 ���� est un tétraèdre. �, �, � sont les points définis par ������� � �9 ��������, �������� � � ��������, ������� � 94 ��������. 1. a. Préciser la position relative de �� et ��. b. Préciser la position relative de �� et ��. c. Préciser la position relative de �� et ���. d. Placer le point d’intersection de �� et ���. 2. a. Préciser la position relative de ��� et ��� b. Tracer l’intersection de ces deux plans.
Exercice 2. 3 ���� est un tétraèdre, cf annexe � ∈ ���, � ∈ ��� et � ∈ ���. On suppose que la droite �� n’est pas parallèle au plan ���. 1. Placer le point d’intersection de �� et du plan ���. 2. Représenter la section du tétraèdre par le plan ���. Exercice 2. 4 ���� est un tétraèdre cf annexe. Les points �, �, �, : sont les milieux respectifs des segments ����, ����, ����, ���� et / est un point de la face ���. Dans chacun des cas, construire la section du tétraèdre ���� par le plan @. a. @ � ��/ ; b. @ � ��: ; c. @ � �:/ ; d. @ � �:/ ; e. @ est le plan passant par � et parallèle aux droites �� et ��.
Exercice 2. 5 Nouvelle Calédonie, novembre 2016
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
14
Exercice 2. 6 Soit le cube ��������. 1. Représenter les points �, � et � définis par ������� � � ��������, ������� � � �������� et �������� � 9 ��������. 2. Exprimer le vecteur ������� en fonction des vecteurs ��������, �������� et ��������. 3. Même question avec le vecteur �������. 4. En déduire que les points �, � et � sont alignés. Exercice 2. 7 ���� est un tétraèdre, � est le milieu de ����, � est le point tel que �������� + ��������� + �������� + ��������� � 0�� et � est le centre de gravité du triangle ���, c’est à dire le point tel que �������� + �������� + �������� � 0��. 1. Démontrer que �������� + �������� � 2�������. En déduire que les points �, � et � sont alignés. 2. Démontrer que �, � et � sont alignés. Exercice 2. 8 �������� est un cube, � et � sont les points tels que 3������� � �������� et 3������� � ��������. 1. Construire le point � intersection du plan ��� et de la droite ��. 2. Trouver le nombre ' tel que �������� � '��������. 3. En déduire que �� est parallèle au plan ���. Exercice 2. 9 ROC On se propose de démontrer la théorème du toit. Soient �� et � deux plans sécants suivant une droite � et soient �� et � deux droites parallèles telles que �� ⊂ �� et � ⊂ � . 1. Justifier que si �� et � sont confondues alors �� � � � �. 2. On suppose que �� et � ne sont pas confondues. Soit "������ un vecteur directeur de �� et "�� un vecteur directeur de �. a. En supposant que �� et � ne sont pas parallèles démontrer que "������ ; "�� est un couple de vecteurs directeurs de ��. En déduire que �� et � sont parallèles. b. En déduire que "������ et !� sont colinéaires puis que �� et � sont parallèles à �. Exercice 2. 10 Soient _ ∈ ℝN, �, � et � trois points de l’espace. On considère les points � et � définis par les égalités vectorielles : �������� + 2�������� + _�������� � 0�� et ������� + 2������� � 0��. 1. Exprimer ������� en fonction de ������� et de _. 2. Soit � la fonction définie sur ℝN par �_ � �9N�. a. Montrer que ∀ _ ∈ ℝN ; 0 ≤ �_ < 1. b. Montrer que pour tout � ∈ �0 ; 1� il existe un réel positif _ tel que �_ � �. c. Montrer que l’ensemble des points � lorsque _ décrit ℝN est le segment ���� privé de �.
Exercice 2. 11 Dans un repère ;3 ; =�, >�, '��? on donne les points �5 ; 0 ; 0, �2 ; −1 ; 1, �10 ; 1 ; −2 et �3 ; 2 ; 1. 1. On pose "�� � ��������, !� � �������� et .��� � ��������. Démontrer que � ; "��, !�, .��� est un repère de l’espace. 2. On se place dans le repère � ; "��, !�, .���. � est le milieu du segment ����, : est le point tel que 3�:������ � �������� et � est le centre de gravité du triangle ���. Démontrer que les droites �� et �: sont parallèles. 3. Soit � le point tel que 3������� � ��������. Démontrer que la droite �� est parallèle au plan ��� Exercice 2. 12 On considère un cube ��������. 1. Justifier que i � ;� ; ��������, ��������, ��������? est un repère de l’espace. Dans la suite de l’exercice l’espace est rapporté au repère i. 2. Donner sans justification les coordonnées des sommets du cube. 3. Déterminer les coordonnées des points �, � et �, milieux respectifs des faces ����, ���� et ����. 4. a. Démontrer que les points �, �, � et � sont coplanaires. b. Tracer la section du cube �������� par le plan ���. 5. a. Démontrer que le centre de gravité : du triangle ��� est également le centre de gravité du triangle ���. b. Démontrer que les points �, � et : sont alignés. 5. a. Quelle est la nature du triangle ��� ? b. Démontrer que �� est perpendiculaire au plan ���. 6. Calculer le volume du tétraèdre ����. Exercice 2. 13 Polynésie, juin 2017, n°3, 4pts
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 14 Centres étrangers, juin 2011
15
Exercice 2. 15 1. Donner un point et un vecteur directeur de la droite paramétrique ^D � 2_ + 1E � 3_ F � 2 ̀où _ ∈ ℝ.
2. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par le vecteur "��4 ; 6 ; −8. 3. Soient �2 ; 1 ; −1 et �2 ; −1 ; 1. a. Donner une représentation paramétrique de la droite b. Donner une représentation paramétrique du segment c. Donner une représentation paramétrique de la demi4. Soit � la droite de représentation paramétrique a. Le point �1 ; −3 ; 13 appartient-il à b. Le vecteur "��0 ; −1 ; −4 dirige-t-il � c. Déterminer les coordonnées du point 5. Soient �−2 ; 0 ; −2 et �13 ; −10 ; 3. a. La droite �� admet-elle pour représentation paramétrique b. Déterminer les coordonnées du point
TS 2017/2018
onner un point et un vecteur directeur de la droite � de représentation
Donner une représentation paramétrique de la droite passant par �1 ; −3 ; 4 dirigée par onner une représentation paramétrique de la droite ��. une représentation paramétrique du segment ����. Donner une représentation paramétrique de la demi-droite ���.
la droite de représentation paramétrique ^D � 4 E � −3_ F � 1 + 12_ ̀où _ ∈ ℝ. il à � ? � ? Déterminer les coordonnées du point � de � de paramètre 0.
pour représentation paramétrique ^D � 1 − 3_ E � −2 + 2_F � −1 − _ ̀où _ ∈ ℝ ? Déterminer les coordonnées du point � de �� d’abscisse −5.
2 Géométrie dans l’espace
c. La droite �� passe-t-elle par le point � K−10 ; ��9 ; − �49 R ? Exercice 2. 16 L’espace est rapporté à un repère orthonormé ;3 ; =�, >�, '��?. On note �1 ; −2 ; −1 et �3 ; −5 ; −2. 1. Démontrer qu’une représentation paramétrique de � est ^D � 1 +E � −2F � −12. �� est la droite de représentation paramétrique ^D � 2 − _� E � 1 + 2_�F � _� ` où _ Démontrer que les droites � et �� ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan � passant par le point �0 ; −3 vecteurs "��1 ; −4 ; 0 et !�0 ; −5 ; 1. a. Démontrer que � contient �. b. Démontrer que le plan � et la droite �� se coupent en un point les coordonnées. Exercice 2. 17 1. Déterminer un vecteur normal de chacun des plans suivants : a. � ∶ D + E + 2 � 0 ; b. � ∶ F � 2D − 1. 2. � est le plan passant par �3 ; 1 ; −2 et de vecteur normal d��4 ; a. Déterminer une équation cartésienne de �. b. Le point �0 ; 2 ; 0 appartient-il à � ? 5. a. Justifier que les points �0 ; −2 ; −1, �2 ; 7 ; 2 et �1 ; 10 ; b. Démontrer que le plan ��� admet pour équation cartésienne c. Le vecteur d��−6 ; −2 ; 10 est-il normal au plan ��� ? Exercice 2. 18 Pondichéry, avril 2017, n°5, 3pts
16
R. On note � la droite passant par
+ 2_ 2 − 3_1 − _ ` où _ ∈ ℝ. _� ∈ ℝ. ; 0 et dirigé par les
se coupent en un point � dont on déterminera
; 6 ; 3. ; 2 définissent un plan. admet pour équation cartésienne 3D + E − 5F − 3 � 0.
Exercice 2. 19 1. Dans chacun des cas suivants donner une représentation paramétrique de la droite parallèle à � et passant par �−4 ; 5 ; −2 a. � � �� où �−1 ; 3 ; −8 et �−3 ; b. � a pour représentation paramétrique 2. On donne les droites � et �� de représentations paramétrique
^D � 6 − 3_ E � −7 + 2_F � −1 + _ ` où _ ∈ a. Démontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection. b. � et �� sont-elles perpendiculaires ? 3. Montrer que les systèmes d’équations suivants ^D � 3 + 2_E � 5 − 2_F � 1 + _ ̀ où _ ∈ ℝ et ^D � 7 − 4_E � 1 + 4_F � 3 − 2_ ̀où _ Exercice 2. 20 Pondichéry 04.16 n°3
TS 2017/2018
Dans chacun des cas suivants donner une représentation paramétrique de la droite � 2. ; 3 ; −4.
a pour représentation paramétrique ^D � 2 E � −2_ F � 2 − 5_ ̀où _ ∈ ℝ. de représentations paramétriques :
ℝ, ^D � −3 + _ E � −3 F � −5 + 2_ ̀où _ ∈ ℝ. Démontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point
Montrer que les systèmes d’équations suivants déterminent une même droite. ∈ ℝ.
Sujets 1 – 3
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 21 Amérique du nord 05.14 n° 3
17
Sujets 1 – 3
Exercice 2. 22 1. Dire si les plans sont parallèles, perpendiculaires ou ni l’un ni l’autre. a. � ∶ D + 3E − F � 0 et ��: −D + 2E + 5 b. � ∶ L9 + P9 + F + 1 � 0 et �� ∶ −3D − E c. � ∶ D − E + F + 1 � 0 et �� ∶ D � E ; d. � ∶ D − 2E + F � 3 et �� ∶ F � −D + 22. a. Justifier que les plans � ∶ D − 3E +donner une représentation paramétrique de leur intersection. b. Même question avec � ∶ D + 2E + F �3. Donner une équation du plan �� parallèle à le point �−5 ; 0 ; 7. Exercice 2. 23 Amérique du Nord 06.16 n°4
TS 2017/2018
Dire si les plans sont parallèles, perpendiculaires ou ni l’un ni l’autre. 5F + 4 � 0 ; − F + � 0 ;
2E − 5. + 2F � 5 et �� ∶ 2D + E + 7F � 1 sont sécants et donner une représentation paramétrique de leur intersection. � 1 et �� ∶ D + E + F � 2. parallèle à � d’équation −2D + F − 1 � 0 et passant par Amérique du Nord 06.16 n°4 Sujets 4 et 5
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 24 1. Etudier les positions relatives du plan � et de la droite �. a. � ∶ D − E + F � 0 et � ∶ ^ D � 2_ + 1E � −_ − 1F � _ + 2 ̀où _ ∈ ℝ ;
18
b. � ∶ D + 2E + F � −1 et � ∶ ^D � −_ +E � 2 F � _ + 32. Soient �0 ; 3 ; −4, �4 ; 2 ; 1 et � ∶ ^D �E �F � a. Donner une représentation paramétrique de la droite b. Vérifier que 2D + E + F + 1 � 0 est une équation de c. Démonter que �� et � sont sécants et préciser les coordonnées de leur point d’intersection. 3. Quelle est l’intersection du plan � ∶ 2D +4. Dans chaque cas dire si le plan � et la droite a. � ∶ D + 2E � 4 et � ∶ ^D � _ + 1 E � _ F � 2_ − 1` où _ b. � ∶ D − E − F � 1 et � passant par �05. Déterminer une équation du plan � perpendiculaire à la droite �3 ; 5 ; −1 ∈ �. 6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par perpendiculaire au plan � d’équation D −7. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan � ∶ 2D − E + F + 5 � 0 et passant par b. Déterminer les coordonnées du point c. En déduire la distance de � à �. 8. Déterminer une droite � passant par le point � ∶ 3D − 2E − 3F − 7 � 0 et qui la droite Exercice 2. 25 Centres étrangers 06.14 n°4
TS 2017/2018
+ 1 3 ` où _ ∈ ℝ. � −_ − _� � −_� + 1 � 2_ + 3_� − 2 ̀où _ ; _� ∈ ℝ .
Donner une représentation paramétrique de la droite ��. est une équation de �. sont sécants et préciser les coordonnées de leur point E − 2F � 8 et de la droite � ∶ ^D � 1 + _ E � 4 + 2_F � 3 + 2_ ̀ _ ∈ ℝ.
et la droite � sont perpendiculaires. _ ∈ ℝ ;
0 ; 1 ; 2 et �2 ; −1 ; 0. perpendiculaire à la droite �� où �5 ; 2 ; 0 et éterminer une représentation paramétrique de la droite passant par �1 ; −4 ; 3 − 2E − 4F + 6 � 0. Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan et passant par �2 ; 1 ; 0. Déterminer les coordonnées du point �, projeté orthogonale de � sur �.
passant par le point �3 ; −2 ; −4 qui est parallèle au plan et qui la droite 5� ; "�� où �2 ; −4 ; 1 et "��3 ; −2 ; 2. Centres étrangers 06.14 n°4 Sujets 6, 7, 8, 9
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 26 Amérique du Nord 05.13 n°1
Exercice 2. 27 Antilles Guyane, juin 2017, n°5, 5pts
19
Sujets 6, 7, 8, 9
Sujets 6, 7, 8, 9
Exercice 2. 28 Amérique du Nord, juin 2017, n°4, 5 pts
TS 2017/2018
Amérique du Nord, juin 2017, n°4, 5 pts
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 29 Nouvelle Calédonie, mars 2017, n°5, 5pts
20
Sujets 10, 11, 12
Exercice 2. 30 Pondichéry 04.15 n°4
TS 2017/2018
Sujets 10, 11, 12
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 31 Centres étrangers, juin 2017, n°2, 4pts
21
Exercice 2. 32 Métropole 09.15 n°3
TS 2017/2018
Sujets 13, 14
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 33 Métropole, juin 2017, n°2, 3pts
22
Sujets 13, 14
Exercice 2. 34 Liban, juin 2017, n°1, 6ptsTS 2017/2018
Liban, juin 2017, n°1, 6pts
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 35 Polynésie 09.15 n°3
Exercice 2. 36 Nouvelle Calédonie 03.16 n°3
23
Exercice 2. 37 Métropole juin 2011
TS 2017/2018
2 Géométrie dans l’espace
Exercice 2. 38 1. Soient �2 ; 5 ; −1 et �4 ; 1 ; −3. a. Déterminer une équation de la sphère £ de diamètre ����. b. Déterminer une équation du plan tangent à £ en �. 2. a. Déterminer le centre et le rayon de la sphère £ ∶ D + E + F b. Montrer que le plan d’équation D � 4 est tangent à S en �4 ;
24
Sujet 15
� − 4D + 6E + 9 � 0. −3 ; 0.
3. On considère la sphère £ de centre ¤32 ; −1 ; 1 et � la droite de représentation paramétrique
^D � 1E � −3 +F � a. Montrer que le point � appartient à la droite
b. Montrer que le point � appartient à la sphère
c. Montrer que la droite � coupe la sphère Sujets 1 Antilles Guyane 09.15 n°4 2 Amérique du Sud 11.14 n°2 3 Antilles Guyane 06.13 n°1 4 Antilles Guyane 06.14 n°1 5 Liban 05.16 n°3 6 Asie 06.16 n°4 7 Métropole 09.14 n°4 8 Nouvelle Calédonie 11.14 n°3 9 Polynésie 06.15 n°1 10 Antilles Guyane 06.16 n°4 Exercice 2. 1
TS 2017/2018
3 ; 1 ; 3 et de rayon 3, � le point de coordonnées
représentation paramétrique : + _+ 2_ _ ̀ où _ ∈ ℝ.
appartient à la droite �.
appartient à la sphère £.
coupe la sphère £ en un deuxième point.
11 Liban 05.15 n°1 12 Amérique du Nord 06.15 n°1 13 Métropole 06.14 n°4 14 Nouvelle Calédonie 11.15 n°3 15 Nouvelle Calédonie 03.11 n°4 QCM 1 Métropole 06.16 n°2 QCM 2 Amérique du Sud 11.15 n°2 QCM 3 Liban 05.14 n°2 QCM 4 Asie 06.14 n°1
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
25
Exercice 1
Exercice 2. 3
2 Géométrie dans l’espace TS 2017/2018
26
Exercice 2. 4
