1 Eléments de mécanique des - uliege.be · 10 19 • 3 solutions de base : – Champ de vitesse uniforme – Source/Puits ponctuel(le) – Ligne tourbillonnaire rectiligne : vortex

1

1

Eléments de mécanique des fluides

.be

q

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

• Etude de solutions analytiques d’écoulement potentiel• Utilisation du principe de superposition

– Écoulement irrotationnel complexeVortex libre

Objectifs de la séance

.be

– Vortex libre– Génération de « corps » imperméable– Couche tourbillonnaire - utilité

• Portance et traînée en écoulement irrotationnel– Effet Magnus-Robbin– Quantification de la portance – liaison à l’amplitude de la circulation– Paradoxe de d’Alembert


http://w

ww.hach.ulg.ac. Paradoxe de d Alembert

• Modélisation de corps complexes– Problème direct et indirect– Transformation conforme– Application aux ailes d’avion

2

3

Solutions analytiques

.be

d’écoulements irrotationnels


http://w

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4

• Coordonnées polaires

Rappel mathématique : Coordonnées polaires

( ) ( )x y z r zθ→

y⎧ ⎛ ⎞

.be

cossin

x ry r

θθ

=⎧⎨ =⎩

w v u w v u⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞

( )r zU v v vθ=

2 2

Atan yx

r x y

θ⎧ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ = +⎩


http://w

ww.hach.ulg.ac.

, ,w v u w v uUy z z x x y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇× = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )1 1, ,z r z rrvvv v v vU

r z z r r rθθ

θ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇× = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

3

5

• Les deux équations

pour un fluide incompressible en stationnaire ou non

Rappel : Deux équations similaires …

0ΔΨ =

.be

pour un fluide incompressible en stationnaire ou non

isopotentielle

ligne de courant

0φΔ =

constanteφ

t tΨ ;u v∂Ψ ∂Ψ

= = −

;u vx yφ φ∂ ∂

= =∂ ∂

en 2D


http://w

ww.hach.ulg.ac. ligne de courantconstante ;u v

y x= =

∂ ∂en 2D

6

• L’équation de Laplace est linéaire et donc le principe de superposition est d’application

Principe de superposition

2 0f f∇ = Δ =

.be • La combinaison de solutions simples peut permettre

( )

2

2 2

0

0

f fg g

m f gm f g

∇ = Δ == +

∇ = ∇ + =


http://w

ww.hach.ulg.ac. La combinaison de solutions simples peut permettre

d’envisager des écoulements complexes

4

7 • Types d’écoulements irrotationnels principaux en 2D:

Types d’écoulements irrotationnels principaux.be

– Champ de vitesse uniforme– Source ou puits– Vortex


http://w

ww.hach.ulg.ac.

8

• Définition du problème :– Écoulement 1D selon x– vitesse caractéristique à l’infini

Solutions analytiques : Champ de vitesse uniforme

0U

U ∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠U∞

.be

• Solutions :– En terme de fonction de courant :

– En terme de potentiel de vitesse :

0

u Uy

vx

ψ

ψ

∞∂⎧ = =⎪ ∂⎪

⎨∂⎪ = = −⎪ ∂⎩

u Uxφ

∞∂⎧ = =⎪ ∂⎪

⎨


http://w

ww.hach.ulg.ac. p

U yU x

ψφ

∞

∞

=⎧⎨ =⎩

lignes de courant horizontalesisopotentielles verticales

0vyφ⎨ ∂⎪ = =

⎪ ∂⎩

5

9Solutions analytiques : Champ de vitesse uniforme

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

10

• Définition du problème :– Source : apport ponctuel – Puits : retrait ponctuel– Position : (0,0)

Solutions analytiques : Source/Puits

.be

os t o : (0,0)– Débit spécifique [m²/s] : Q– Problème symétrique solution symétrique– Il est préférable de travailler en coordonnées cylindriques

• Solutions :– Puisque la solution est symétrique, le débit est conservée sur

l’ensemble des cercles centrés en (0,0)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Définition de l’intensité de la source/puits :

2Qm

bπ= ±

Débit total

périmètre du tube d’injection/retrait

par symétrie2r r r

C C

Q v ds v ds rvπ= = =∫ ∫

6

11

• Source/Puits

Solutions analytiques : Source/Puits

2Qm

b= ±

0r

mvU r

±⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.be

m/r

2 bπ

12

10

rm Qvr rb r r

vr rθ

ψ φπ θψ φ

θ

± ∂ ∂⎧ = = = =⎪⎪ ∂ ∂⎨ ∂ ∂⎪ = = − =⎪ ∂ ∂⎩

0 0⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


http://w

ww.hach.ulg.ac. ⎩

lnmm r

ψ θφ

= ±⎧⎨ = ±⎩

Lignes de courant radialesIsopotentielles circulaires

12

• Rappel : un fil tourbillonnaire engendre un champ de vitesse bidimensionnel dans le plan perpendiculaire au fil

Solutions analytiques : Fil tourbillonnaire rectiligne

v Γ=

.be

• La vitesse varie de manière inversement proportionnelle à la distance

2v

rθ π=


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Si R 0, vθ ∞

7

13

• A l’extérieur du noyau, comment est l’écoulement ?


2v

rθ πΓ

=

.be

• L’écoulement est irrotationnel• La vitesse dérive donc d’un potentiel• φ est univoque le long de C

( )1

1

1 1 1 2

0 car direction radiale

0CC a b c d b d

U dr v R v R U drθ θ θ= + + + +

=

Γ = = − Δ + =∫ ∫i i


http://w

ww.hach.ulg.ac. • φ est univoque le long de C2

• Ce type de courbe est réductible

2

2 2 2 2

0CC C C C

U dr dr dx dy dx yφ φφ φ

⎛ ⎞∂ ∂Γ = = ∇ = + = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫i i

14

• Rappel de la loi de Helmholtz (slide 24 séance 4)

« La circulation Γ du champ de vitesse autour d’un tube tourbillonnaire est constante


2v

rθ πΓ

=

.be

et représente une mesure de l’intensitédu tube tourbillonnaire »

• Ce type de courbe est dite irréductible

3

3

fil tourbillonnaireCC

U drΓ = = Γ∫ i


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Ce type de courbe est dite irréductible

• Le point de percée du fil tourbillonnaire constitue un point singulier

8

15

• Vortex libre

Solutions analytiques : fil tourbillonnaire rectiligne

vθΓ

=00

U⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

.be

10

12

rvr r

vr r rθ

ψ φθ

ψ φπ θ

∂ ∂⎧ = = =⎪⎪ ∂ ∂⎨ Γ ∂ ∂⎪ = = − =⎪ ∂ ∂⎩

2 rθ π2

Uv

rθ πΓ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


http://w

ww.hach.ulg.ac.

ln2

2

rψπ

φ θπ

Γ⎧ = −⎪⎪⎨ Γ⎪ =⎪⎩

Lignes de courant circulaires

Isopotentielles radiales

16

Solutions analytiques : fil tourbillonnaire rectiligne

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

9

17

• Vortex « forcé » vs. vortex « libre »– Vortex « libre » : écoulement irrotationnel

La vitesse tangentielle décroît avec l’écartement au centre

Vortex « libre ».be

La vitesse tangentielle décroît avec l écartement au centre

1 tev v r Crθ θ→ =∼


http://w

ww.hach.ulg.ac.

18

• Vortex « forcé » vs. vortex « libre »– Vortex « forcé » : écoulement rotationnel

La vitesse tangentielle est constante

Vortex « forcé »

.be

a v tesse ta ge t e e est co sta te

v rθ ∼


http://w

ww.hach.ulg.ac.

10

19

• 3 solutions de base :– Champ de vitesse uniforme– Source/Puits ponctuel(le)– Ligne tourbillonnaire rectiligne : vortex « libre »

Résumé des solutions analytiques.be

Ligne tourbillonnaire rectiligne : vortex « libre »

20

rQv

rvθ

π⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

0

2

rv

vrθ π

=⎧⎪⎨ Γ

=⎪⎩


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Source/Puits Vortex « libre »

20

• Par superposition de solutions analytiques simples, il est possible de représenter l’écoulement autour de corps :

– La forme du corps est le résultat secondaire de la superposition :

Principe de superposition

.be

a o e du co ps est e ésu tat seco da e de a supe pos t o :

problème direct

– La forme du corps est une donnée et l’écoulement est recherché quelles sont les intensités de chaque solution de base ?


http://w

ww.hach.ulg.ac.

problème indirect

11

21

• Recherchons les solutions pour :– Doublet

« combinaison d’une source et d’un puits de même intensité symétriquement disposé autour du centre »Dipôle

Solutions combinées.be

– Dipôle« combinaison d’une source et d’un puits de même intensité au même point d’application »

– Corps fictif immobile (ellipse)« combinaison d’un doublet et d’un champ uniforme »

– Corps fictif immobile (cercle)« combinaison d’un dipôle et d’un champ uniforme »


http://w

ww.hach.ulg.ac. p p

– Corps fictif en rotation (cercle)« combinaison d’un dipôle, d’un champ uniforme et d’un vortex libre centré sur le dipôle »

– Couche tourbillonnaire« combinaison d’une série infiniement mince de vortex libres »

22

• Doublet source & puits (à même débit)

Solutions analytiques : Doublet

.be Passage en coordonnées cartésiennes…


http://w

ww.hach.ulg.ac. g

2 2

Atan yx

r x y

θ⎧ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ = +⎩

12

23


– Source:

Solutions analytiques : Doublet .be

( )

1

2 21

Atan

ln ln

ym mx a

m r m x a y

ψ θ

φ

⎧ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎪⎪ +⎝ ⎠⎨⎪ ⎡ ⎤= = + +⎪ ⎣ ⎦⎩


http://w

ww.hach.ulg.ac.

24


– Puits:


.be

( )

2

2 22

Atan

ln ln

ym mx a

m r m x a y

ψ θ

φ

⎧ ⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎪⎪ −⎝ ⎠⎨⎪ ⎡ ⎤= − = − − +⎪ ⎣ ⎦⎩


http://w

ww.hach.ulg.ac.

13

25



( ) ( )2 22 2ln lnit m x a y m x a yφ φ φ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.be

On sait que

( ) ( )ln lnsource puit m x a y m x a yφ φ φ+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2⎡ ⎤

ln lnxa x a=

ln ln ln aa bb

− =


http://w

ww.hach.ulg.ac.

( )( )

2 2

2 2

1 ln2

x a ym

x a yφ

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥→ =⎢ ⎥− +⎣ ⎦

26



Atan Atansource puitsy ym m

x a x aψ ψ ψ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.be

On sait que tan( ) tan( )tan( )1 tan( ) tan( )

a ba ba b−

− =+

Atan tan Atan tan Atan Atany ym m x a x aψ ψ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎩ ⎭

Atan( ) Atan( )b b− = −


http://w

ww.hach.ulg.ac. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎩ ⎭

tan Atan tan Atan=Atan

1 tan Atan tan Atan

y yx a x a

y yx a x a

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎬

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

14

27



tan Atan tan Atan=Atan

y yx a x aψ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎬

.be

Atan1 tan Atan tan Atanm y y

x a x a

⎨ ⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

2 2 2-2=Atan Atan

1

y yayx a x a

y ym x y aψ

⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎛ ⎞+ − = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎪ ⎪++⎩ ⎭


http://w

ww.hach.ulg.ac. x a x a+ −⎩ ⎭

2 2 22= - Atan aym

x y aψ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

28


.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

15

29


Solutions analytiques : Doublet.be ( )

2 2 2

2 2

2Atan

1 ln

aymx y a

x a y

ψ

φ

⎧ ⎛ ⎞= −⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎪ ⎝ ⎠⎪

⎨ ⎡ ⎤+ +⎪ ⎢ ⎥⎪


http://w

ww.hach.ulg.ac. ( )

( )2 2ln

2m

x a yφ ⎢ ⎥=⎪ ⎢ ⎥− +⎪ ⎣ ⎦⎩

30

• Dipôle

– Doublet source/puits au même point→ a tend vers 0!!

Solutions analytiques : Dipôle

.be

a te d ve s 0!!

– Cependant, il faut un débit!!→ m tend vers ∞!!

Enfin, on fixe le produit am…


http://w

ww.hach.ulg.ac.

16

31

• Dipôle


2 2 22Atan

doublet

aym

ψ ψ=

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

.be

2 2 2 0

2

2 2 2 0

2

Atan

2

am

am

Taylor

am

am

mx y a

amyx y a

λ

λ

λ

→→∞

=

→→∞

=

⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

−=

+ −Intensité du dipôle

( )Atana a a→ ∼


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 2y

x yλ−

=+

32

• Dipôle


( )( )

2 2

2 2 0

1 ln2

doublet

am

x a ym

x a y

φ φ

→→∞

=

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥=⎢ ⎥− +⎣ ⎦

.be

( )( )

( ) ( )

2

2 2

2 2 0

2

2 22 2

1 12

1

am

Taylor

am

am

x a ym

x a y

x a y x a ym

λ

λ

=

→→∞

=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= −⎜ ⎟− +⎝ ⎠

+ + − − −=

Intensité du dipôle

( )ln 1a a a→ + ∼


http://w

ww.hach.ulg.ac.

( )

( )

2 2 0

2

2 2 22 0

2

2

1 4 22

am

am

am

am

mx a y

ax amxmx yx a y

λ

λ

→→∞

=

→→∞

=

=− +

− −= =

+− +

17

33

• Dipôle


2 2y

x yλψ −⎧ =⎪ +⎪

⎨

.be

2 2x

x yλφ

⎨ −⎪ =⎪ +⎩

2sin sin

cos cos

rrr

r

λ θ λ θψ

λ θ λ θφ

− −⎧ = =⎪⎪⎨ − −⎪ = =⎪


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 rr

φ⎪⎩

34


.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Doublet Dipôle

18

35

• Ecoulement autour d’un corps fictif immobile

Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse).be

⎛ ⎞


http://w

ww.hach.ulg.ac.

12 2 2

2tansource puit uniaxialayU y m

x y aψ ψ ψ ψ −

∞⎛ ⎞

= + + = − ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠( )( )

2 2

2 2

1 ln2source puit uniaxial

x a yU x m

x a yφ φ φ φ ∞

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= + + = +⎢ ⎥− +⎣ ⎦

36

Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse)

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

19

37


Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse).be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

38

• Ecoulement autour d’un corps fictif immobile– En utilisant un dipôle, on va définir un cercle– Il est plus facile de travailler en coordonnées polaires

Solutions analytiques : Corps fictif immobile (cercle)

.be

sinsinU rr

λ θψ θ∞= −

sincosU rr

λ θφ θ∞= −

1 ψ φ∂ ∂⎧ 1 iλ θ∂ ⎛ ⎞


http://w

ww.hach.ulg.ac. 1

1

rvr r

vr rθ

ψ φθψ φ

θ

∂ ∂⎧ = =⎪⎪ ∂ ∂⎨ ∂ ∂⎪ = − =⎪ ∂ ∂⎩ 2

1 sinsin

coscos

rv U rr r

Ur

λ θθθ

λ θθ

∞

∞

∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

= −

20

39


Solutions analytiques : Corps fictif immobile (cercle)

2coscosrv Ur

λ θθ∞= −

.be

– Déterminons le rayon du cercle rc tel que la vitesse radiale vc,r soit nulle pour tout θ

, 2coscos 0c r

cv U

r

r

λ θθ

λ

∞= − =

⇔ =

r

Intensité du dipôle


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Par définition de rc, le cercle est une ligne de courant

cr U∞⇔ =

Vitesse uniforme

40

• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation

– Ecoulement uniforme 1D– Dipôle

Solutions analytiques : Corps fictif en rotation

.be

pô e– Vortex « libre »

sinsin ln2

source dipole vortex

U r r

ψ ψ ψ ψ

λ θθ∞

= + +

Γ= − −


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2r π

21

41

• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation– Position du corps fictif


1 sinsinrv U r λ θθ∞∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

.be

– Analyse des vitesses tangentielles sur le corps fictif

2coscos

r r r

Ur

θλ θθ

∞

∞

⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

= −Cercle inchangé!!

( ) 2sinsin

2cv r r Uθψ λ θθ∞

∂ Γ− = = = + −

∂


http://w

ww.hach.ulg.ac. ( ) 2 2

2 sin2

ccc

c

r rr

Ur

θ π

θπ

∞

∞

∂

Γ= −

42

• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation

– Cette vitesse tangentielle possède des 0 : points d’arrêt


.be

( ) 0 2 sin2

sin4

cc

c

v r r Ur

r U

θ θπ

θπ

∞

∞

Γ= = = − +

Γ⇒ =


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Fonction de la vitesse uniforme d’écoulement et de l’amplitude de rotation …

22

43

• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation– Analyse de la position des points d’arrêt


sin4 U

θ Γ=

.be

•

4 cr Uπ ∞

sin 0θ =

0θ

°⎧⎨

0Γ =


http://w

ww.hach.ulg.ac.

180θ = ⎨ °⎩

44

• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation– Analyse de la vitesse à la circonférence (r = rc)…


sin4 U

θ Γ=

.be

•

sin 0.5θ = −

30θ

− °⎧⎨

2cr Uπ ∞

Γ= −

4 cr Uπ ∞


http://w

ww.hach.ulg.ac.

150θ

⎧= ⎨− °⎩

23

45

• Écoulement autour d’un corps fictif en rotation– Analyse de la vitesse à la circonférence (r = rc)…


sin4 r U

θπ

Γ=

.be

•

4 cr Uπ ∞

Γ

4cr Uπ ∞

Γ= − sin 1θ = − 90θ = − °


http://w

ww.hach.ulg.ac.

4cr Uπ ∞

Γ>

46

• Calcul du temps de parcours

Solutions analytiques : obstacle circulaire en rotation

2 sin2 2 sinc

ds dsv U dtdt r U

θ θπ θ

∞Γ

= = − + ⇒ =Γ

− +

.be

• Le temps de parcours vaut

2 sin2

22

sin sin4 4

c

c

c

c c

Ur

r d UdU dt dtr

U r U r

θπ

θ θ

θ θπ π

∞

∞∞

∞ ∞

+

− −⇒ = ⇒ =

Γ Γ− −


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Le temps de parcours vaut

parcours2

1

parcours0

2avec et sin 4 c c

Ud d a ta U r r

τθ

θ

θ τ τ τθ π

∞

∞

− Γ= = = =

−∫ ∫

24

47

• Calcul du différentiel de temps de parcours• Les points d’arrêt sont situés de façon symétriques à l’axe

OY, d’un angle


⎛ ⎞Γ

.be

• Temps de parcours extrados :

• Temps de parcours intrados :

parcours, extrados sin

a

a

da

π θ ε

θ ε

θτθ

+ −

− +

−= −

−∫

asin4arrêt a

cr Uθ θ

π ∞

⎛ ⎞Γ≡ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 a dπ θ ε

θτ− −

−= ∫


http://w

ww.hach.ulg.ac. Temps de parcours intrados :

• Différentiel :

parcours, intrados sina

aπ θ ε

τθ

+ +

=−∫

parcours, intrados parcours, extradosτ τ τΔ = −

48


log sin log cossin 2 2dθ θ θ

θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫a = 0 primitive périodique

sin tan 1 cos1dθα αθ

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥∫

≠ 0

.be

1 2lnsin sin cos sin tan 1 cos

2

dθθθ α α α α

⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥+ +

⎣ ⎦

∫2

sin4

cos 1 sin

ca

U rα

π

α α

∞

Γ= =

= −2

2 2

tan 1 11 2lnsin sin 1

a adθ

θθθ α

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥∫

a ≠ 0


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 2sin sin 1 tan 1 1

2a a aθθ α− − ⎢ ⎥+ + −

⎣ ⎦

∫( ) ( )

tan tan2 2

π θ π θ+ − += primitive périodique

Pour un cylindre, en rotation ou non, le temps de parcours via l’intrados ou l’extrados est égal

25

49Solutions analytiques : Corps fictif en rotation

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

50


.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

26

51

• Un doublet représente une ellipse• Un dipôle représente un cercle

Solutions analytiques : Corps symétrique.be

• Généralisation :

Une série continue de sources et de puits d’intensités variables représente un corps fictif imperméable symétrique


http://w

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52

• Que représente une série continue de fils tourbillonnaires ?

Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire

.be


http://w

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27

53

• Une distribution de fils tourbillonnaires rectilignes, orientés selon z, est placée parallèlement dans l’épaisseur


0 y h≤ ≤

.be

( ) ( )0,0, z f yΩ = Ω =

L’intensité de rotation est seulement fonction de y


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Par symétrie,

• La vitesse d’écoulement sera 1

0

en en 0

u y hu y

=⎧⎨ =⎩

( )0, point ,v x y= ∀

54


r3r1

r2

.be

31

2vθ

3vθ

1vθ


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Par symétrie, ( )0,v x

u f y= ∀

=

28

55 • Rappel (par Stokes) :

C idé i d l h


( )S S C

n U dS n dS U dr∇× = Ω = = Γ∫ ∫ ∫i i i

( )

1 0Si 0 pour Constante zh u u→ − = ⇒ Ω → ∞

.be

• Considérons une portion L de la couche :

( )1 00 00 0 0

lim limL h h

z zh hdydx L dy u u L

→ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− Ω = − Ω = − = Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( )zn yΩ = Ωi


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ww.hach.ulg.ac.

56

• La couche constitue une « couche de discontinuité » : la vitesse tangentielle change de façon discontinue au travers de celle-ci

• L’intensité de la couche est définie par unité de longueur :


.be

• L’intensité de la couche est définie par unité de longueur :

Idéalisation d’une couche de cisaillement dans les fluides de faible viscosité (ex. : couche limite à la paroi, sillage, …)

1 0u uL

γ Γ− = =


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ww.hach.ulg.ac. ( p , g , )

Dans un fluide parfait, la couche sera transportée et déformée de façon stableDans un fluide visqueux, la couche tourbillonnaire sera « diffusée » voire instable

29

57

• Dans un fluide faiblement visqueux, la couche tourbillonnaire est instable (instabilités de Kelvin-Helmholtz)

– Fluide homogène mais gradient de vitesse important (ex. : vent au dessus d’un relief marqué, …)

Couche tourbillonnaire : illustrations de l’instabilité .be

– Couches de fluides de densité et/ou de viscosité différentes


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ww.hach.ulg.ac.

58

• La combinaison de solutions analytiques simples permet la représentation de corps fictif

• Dans le cas d’un fluide parfait il est possible de remplacer ce

Principes de traînée et portance

.be

• Dans le cas d’un fluide parfait, il est possible de remplacer ce corps fictif par un corps réel :– Pas d’interaction visqueuse avec le fluide vitesse tangentielle – Respect de la condition d’imperméabilité vitesse normale

• Y a-t-il développement de portance et de traînée sur ce corps?


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ww.hach.ulg.ac.

30

59

« Un objet en rotation dans un fluide subira une force de portance directement proportionnelle à la vitesse de rotation »

Effet Magnus‐Robins : portance

Vs

.be

Vi

s iV V>

Ecoulement irrotationnel H est une constante sur le domaine


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ww.hach.ulg.ac.

s ip p<Bernoulli…

La différence de pression provoque un effort vers le haut…

60

Effet Magnus‐Robins : Cours élémentaire de football

.be


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ww.hach.ulg.ac.

31

61Effet Magnus‐Robins : Cours élémentaire de football

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

62

• Effet Magnus-Robins« Un objet en rotation dans un fluide subira une force de

portance directement proportionnelle à la vitesse de rotation »

Effet Magnus‐Robins : applications

.be

– Lift au ping-pong, tennis…– Effets au football…– Alcyone (navire du commandant Cousteau)– …


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ww.hach.ulg.ac.

32

63

• Rappel : les efforts totaux appliqués sur le corps engendrent :– Parallèlement à l’écoulement traînée – « Drag »– Perpendiculairement à l’écoulement portance – « Lift »

Corps immergé dans un fluide parfait.be

port 0ance c sios nF p τθ θ= −( ) dA∫

traînée 0 cossinF p τ θθ= + dA⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟∫


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traînée de form traînée de frott ee em nt⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Fluide parfait = pas de viscosité

64

Corps cylindrique immergé dans un fluide parfait

portanceF

.be

portanc ,e

2

0

sinc rel cp r dFπ

θ θ= − ∫U∞

θ

,c relp

traînéeF


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ww.hach.ulg.ac.

traînée

2

,0

cosc rel cp r dFπ

θ θ= − ∫

Attention : θ des coordonnées polaires

33

65

• Par Bernoulli, on a

Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : champ de pression

22 1 2 sin2 2 2

c

c

pp UU

g g g g rθ

ρ ρ π∞ ∞

∞⎛ ⎞Γ

+ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

.be

22 1 2 sin2 2 2c

c

Up p U

rρ ρ θ

π∞

∞ ∞⎛ ⎞Γ

= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

22

,1 2 sin

2 2 2c relU

p Ur

ρ ρ θπ

∞∞

⎛ ⎞Γ= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 2 2 crπ⎝ ⎠

66

• Force de portance…

Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : portance

22

,1 2 sin

2 2 2c relc

Up U

rρ ρ θ

π∞

∞⎛ ⎞Γ

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

sinlp r dFπ

θ θ= − ∫

.be

portan0

ce

22 2 1 2 sin sin2 2 2 c

cF

UU r d

r

π

ρ ρ θ θ θπ

∞∞

⎡ ⎤⎛ ⎞Γ⎢ ⎥= − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

portanc ,e0

sinc rel cp r dF θ θ= ∫

2222 i

UdF

π

θ θ∞ Γ∫


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ww.hach.ulg.ac. 2

0portance sin

2 cc

r dU r

F ρ θ θπ

∞

∞

= − ∫

portanceF Uρ ∞= − Γ

34

67Théorème de Kutta‐Joukowski

« Selon la théorie des fluides parfaits, la portance par unité d d d fl d d

.be

d’épaisseur de tout corps immergé dans un fluide possédant un champ de vitesse uniforme vaut

représentant la circulation totale contenue dans le corps. »

portanceF Uρ ∞= − Γ

Γ


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ww.hach.ulg.ac.

68

• Rappel : la région hors du cylindre est doublement connexe

une solution univoque n’est possible que si la circulation t défi i

Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : portance

.be

est définie (théorème de Dirichlet)

• Dans un fluide faiblement visqueux, une rotation du cylindre peut engendrer une circulation.

• En fluide parfait, la viscosité est nulle le cylindre ne peut pas engendrer de vitesse tangentielle et donc une circulation


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Il n’existe pas de critère pour déterminer la circulation autour d’un corps réel dans un fluide parfait

35

69

• Force de traînée…

Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : traînée

22

,1 2 sin

2 2 2c relc

Up U

rρ ρ θ

π∞

∞⎛ ⎞Γ

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.be

traînée

2

,0

cosc rel cp r dFπ

θ θ= − ∫22 2

traînée0

1 2 sin cos2 2 2

0

cc

UU br dF

r

π

ρ ρ θ θ θπ

∞∞

⎡ ⎤⎛ ⎞Γ⎢ ⎥= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫


http://w

ww.hach.ulg.ac.

cylindre avec circtr ulaînée ati, on 0F =

70

• Un corps immergé dans un fluide parfait à vitesse constante ne subit pas de force de traînée :

Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : traînée

0F

.be

traînée 0F =

F

portanceF


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ww.hach.ulg.ac.

U∞

traînéeF

36

71

« La force exercée sur un corps arbitraire qui se meut dans un fluide parfait incompressible à vitesse constante selon une

trajectoire rectiligne est nulle, pourvu que Γ=0 »

Paradoxe de d’Alembert.be

• Explication physique :– Si ≠0, la puissance mécanique xU∞ devrait être transformée

au sein du fluide en chaleur ou en énergie cinétique• Soit un transport en aval de l’énergie interne croissante

– pour un fluide parfait pas de dissipation d’énergie

• Soit un transport de l’énergie cinétique croissante sous forme de mouvement

traînéeF traînéeF


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ww.hach.ulg.ac. Soit un transport de l énergie cinétique croissante sous forme de mouvement

ondulatoire– pas de phénomène ondulatoire en incompressible d’étendue infinie

– Si Γ ≠0, une force de portance existe qui est perpendiculaire à U∞ et qui ne produit donc pas d’énergie dans l’écoulement.

72

• Le paradoxe de d’Alembert ne s’applique pas

– en présence d’un mécanisme de transport d’énergie ou de quantité de mouvement (ex. : ondes de surface à la surface libre d’un fluide idéal)

Paradoxe de d’Alembert

.be

– En présence d’un mouvement instationnaire– Pour un fluide visqueux


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ww.hach.ulg.ac.

37

73

• Une aile d’avion développe généralement de la portance• Historiquement, l’écoulement autour d’un tel corps a été

approché par le principe de superposition :D’un écoulement homogène et parallèle

Application du principe de superposition : aile d’avion bidimensionnelle.be

– D un écoulement homogène et parallèle– D’une combinaison de dipôle (corps symétrique)– D’une couche tourbillonnaire selon sa ligne de squelette


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ww.hach.ulg.ac.

α : angle d’attaque

74

• Complexité de la théorie :

– Soit problème direct le profil est un résultat (peu utile en pratique)

– Soit problème indirect il faut caractériser les intensités des

Application : aile d’avion bidimensionnelle

.be

So t p ob è e d ect aut ca acté se es te s tés desdipôles et de la circulation totale ainsi que leurs distributions spatiales


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ww.hach.ulg.ac.

38

75

• Une seconde approche consiste en l’utilisation des mathématiques des nombres complexes et de la transformation conforme

Application : aile d’avion bidimensionnelle.be

• Principe : « Utiliser des solutions d’écoulements connues dans des conditions

simples (ex. : cercle) et les transposer dans un autre plan pour obtenir une géométrie complexe »

• Transformation de Joukowski :

2

où est un nombre réelaz az

ς = +


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ww.hach.ulg.ac. • Transformation de Joukowski : z=x+iy

= +iς ξ η

76

• La transformation de Joukowski « convertit » un cercle de rayon a en un plan


.be


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ww.hach.ulg.ac.

2

où est un nombre réel

z=x+iy= +i

az az

ς

ς ξ η

= +

39

77

• Si cette transformation est appliquée à une combinaison :– d’un écoulement uniforme formant un angle α avec l’horizontale– d’un dipôle cercle– aucune circulation

Application : plan portant.be

aucune circulation

α


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ww.hach.ulg.ac.

Points de vitesse infinie

78

• Si cette transformation est appliquée à une combinaison :– d’un écoulement uniforme formant un angle α avec l’horizontale– d’un dipôle cercle– Circulation

Application : plan portant

4 sinaUπ α∞Γ = Incidence du flux d’air

.be

C cu at o ∞

Uintrados = Uextrados


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ww.hach.ulg.ac.

Points de vitesse infinie

40

79

• Complexité de la théorie :– Rappel : en fluide parfait, pas de critère pour déterminer la circulation

autour d’un corps observations à partir de fluides peu visqueux

Application : plan portant.be

– Si Γ = 0, la théorie potentielle indique que les vitesses aux bords d’attaque et de fuite tendent vers l’infini


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ww.hach.ulg.ac.

– En pratique, de telles vitesses sont impossibles et il est observé un décollement de l’écoulement

80

• Complexité de la théorie :– Un décollement peut être évité si le bord d’attaque est arrondi

création d’une circulation autour du corpsdéplacement du point P2 vers le bord de fuite


.be

dép ace e t du po t 2 ve s e bo d de u te


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Le développement d’une circulation telle que le point P2 est au droit du bord de fuite est appelée « condition de Kutta » (1902)

41

81

• Complexité de la théorie :– Le développement d’une circulation telle que le point P2 est au droit du

bord de fuite est appelée « condition de Kutta » (1902)

Application : aile d’avion bidimensionnelle.be – Si le bord de fuite est « tranchant » condition de point d’arrêt (a)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Si le bord de fuite est un point de « rebroussement » ve=vi (b)

82

• En stationnaire et en aval d’un profil bidimensionnel, il n’y a pas de discontinuité dans le champ de vitesse

pas de couche tourbillonnaire dans l’écoulement aval:


.be

pas de couche tourbillonnaire dans l’écoulement aval:

Pas de sillage

• L’amplitude de la portance d’une aile est fonction de la vitesse d’écoulement la circulation augmente avec la vitesse


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ww.hach.ulg.ac.

• Mais, le théorème de Kelvin dit que :

0DDt

Γ=

42

83

• Lors de l’accélération de l’aile, la circulation doit s’adapter constamment de manière à vérifier la condition de Kutta

une couche tourbillonnaire doit être crée derrière l’aile pour

Application : aile d’avion bidimensionnelle.be

une couche tourbillonnaire doit être crée derrière l’aile pour que la circulation totale soit conservée

0DΓ=


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ww.hach.ulg.ac.

• Cette couche est instable et tend à s’enrouler en un tourbillon dit « de démarrage »

0Dt

=

84

• Une fois que la vitesse de l’aile est constante, ce tourbillon s’éloigne de manière à ne plus influencer l’écoulement autour de l’aile.


.be

le mouvement redevient stationnaire

0DDt

Γ=


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ww.hach.ulg.ac.

• A chaque accélération, un nouveau tourbillon est créé

43

85

• Pour une aile bidimensionnelle, la portance est représentée par une couche tourbillonnaire de longueur infinie selon l’axe z :

Application : aile d’avion bidimensionnelle.be • Mais pour un profil tridimensionnel l’envergure est finie


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ww.hach.ulg.ac. Mais pour un profil tridimensionnel, l envergure est finie

Quelle est la couche tourbillonnaire représentative?

86

• Selon les théorèmes d’Helmholtz :– Un fil tourbillonnaire ne peut prendre naissance ou s’éteindre dans le fluide– Sa longueur doit être infinie ou être une courbe fermée

• La couche tourbillonnaire doit donc se présenter sous la forme

Application : aile d’avion tridimensionnelle

.be

d’un U s’étendant vers l’infini et transitant par le profil


http://w

ww.hach.ulg.ac.

44

87

• Pour une aile tridimensionnelle, il existe, comme en 2D, une dépression sur l’extrados et une surpression sur l’intrados.

• En bout d’aile la pression doit cependant s’égaler et la circulation

Application : aile d’avion tridimensionnelle.be

• En bout d aile, la pression doit cependant s égaler et la circulation tendre vers 0


http://w

ww.hach.ulg.ac.

88

• Une aile 3D est donc idéalisée par deux couches tourbillonnaires : – Une « fixée » à l’aile : produisant un différentiel de pression portance– Une « libre », résultat direct de la variation de la circulation de long de

l’envergure, qui génère une discontinuité dans les vitesses tangentielles

Application : aile d’avion tridimensionnelle

.be

selon z


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Aux extrémités, cette discontinuité génère ainsi un écoulement de contournement

45

89

• Tout comme dans le cas de la couche tourbillonnaire de Kelvin-Helmholtz, cette couche est instable et tend à s’enrouler pour former un tourbillon de bout d’aile.

Application : aile d’avion tridimensionnelle.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Les fils tourbillonnaires libres se rejoignent par le « fil de démarrage »

90

Illustrations : aile d’avion tridimensionnelle

.be


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46

91

• La formation en V des oiseaux migrateurs est principalement due au principe que chaque oiseau, à l’exception du premier, vole dans un vortex de bout d’aile porteur

il diminue ainsi sa traînée et améliore sa portance

Tourbillons de bout d’ailes : oiseaux migrateurs.be

il diminue ainsi sa traînée et améliore sa portancemoins de fatigue et plus d’endurance


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ww.hach.ulg.ac.

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1 Eléments de mécanique des - uliege.be · 10 19 • 3 solutions de base : – Champ de vitesse uniforme – Source/Puits ponctuel(le) – Ligne tourbillonnaire rectiligne : vortex